初中数学竞赛专题：不等式(2)

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全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲几何不等式

第二十三讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y 点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．又 CD＞BC-BD，所以BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以AN=BC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．下面是一个非常著名的问题——费马点问题．例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1知所以 h=h a＋h b＋h c．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OC=h=定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。

初中数学竞赛专题：不等式

初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组）5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1πy 与1031y 的大小. 解析首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π31<,所以110π31y y >5.1.2★解关于x 的不等式233122x xa a+-->. 解析由题设知0a ≠,去分母并整理得(23)(23)(1)a x a a +>+-.当230a +>,即3(0)2a a >-≠时,1x a >-；当230a +=,即32a =-时,无解；当230a +<,即32a <-时,1x a <-.评注对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知20,434.29a b b a a b -<⎧⎪-⎨=⎪-⎩所以 2,7.8a b b a <⎧⎪⎨=⎪⎩由728a a <,可得0a <,从而0a <,78b a =. 于是不等式(4)230a b x a b -+->等价于721()2028a a x a a -+->,即5528ax a ->,解得14x >-. 所求的不等式解为14x >-.5.1.4★★如果关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解集为107x <,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析由已知得(2)5a b x b a ->-,①710x ->-.②由已知①和②的解集相同,所以27,510,a b b a -=-⎧⎨-=-⎩ 解得5,3.a b =-⎧⎨=-⎩ 从而ax b >的解集是35x <. 5.1.5★求不等式111(1)(1)(2)326x x x +---≥ 的正整数解.解析由原不等式可得1736x ≤,所以72x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90,80x a x b -⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a ,b ）共有多少对？解析由原不等式组可解得98ab x <≤.如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得01,93 4.8a b ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩≤≤即09,2432.a b <⎧⎨<⎩≤≤ 所以,a =1,2,…,9共9个,25b =,26,…,32共8个,于是有序数对（a ,b ）共有9872⨯=个. 5.1.7★★★设a 、b 是正整数,求满足89910a b<<,且b 最小的分数a b. 解析欲求b 的最小值,只需将b 放入一个不等式,然后估计出b 的下界,这里要用到整数的离散性,即若整数x 、y 满足x y >,则1x y +≥. 原不等式等价于8,99,10aba b ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 即89,109.b a a b <⎧⎨<⎩所以 819,1019.b a a b +⎧⎨+⎩≤≤故 9181910b b -+⋅≤, 解得19b ≥.又分数1719满足817991910<<,故b 最小且满足题意的分数是1719. 5.1.8★已知520m ≤≤,2530n ≤≤,求mn的最大值和最小值. 解析因为520m ≤≤,2530n ≤≤,所以m 的最大值为20,最小值为5；n 的最大值为30,最小值为25.故m n 的最大值为204255m n ==；m n 的最小值为51306m n ==. 5.1.9★★求同时满足6a b c ++=,23a b c -+=和0b c ≥≥的a 的最大值及最小值. 解析由6a b c ++=和23a b c -+=,得32a b +=,932ac -=. 再由0b c ≥≥得,393022a a +-≥≥,解此不等式,得332a ≤≤. 所以a 的最大值为3,最小值为32.5.1.10★求适合2x y x y ->+,且y 满足方程3523y y x -=+的x 取值范围. 解析 3523y y x -=+,所以35y x =+.于是2(35)35x x x x -+>++,2x <-.故x 的取值范围是2x <-.5.1.11★★当x 、y 、z 为非负数时,323y z x +=+,343y z x +=-,求334w x y z =-+的最大值和最小值.解析由323,343,y z x y z x +=+⎧⎨+=-⎩解得14,57.3z x x y =-+⎧⎪-⎨=⎪⎩因为x 、y 、z 均为非负数.所以,从上面可得1547x ≤≤.334357416w x y z x x x =-+=-+-+269x =-.56727w -≤≤. 所以w 的最大值是677,w 的最小值是52-. §5.2 含绝对值的不等式（组）5.2.1★（1）解不等式1|32|2x -<-；（2）解不等式|32|3x ->-.解析根据绝对值的非负性,易知（1）无解,（2）的解集为全体实数. 5.2.2★★解不等式|5||23|1x x ---<.解析原不等式的零点为5、32.根据零点的情况分类讨论. （1）当5x >时,原不等式化为(5)(23)1x x ---<,解之,得3x >-.所以,此时不等式的解为5x >. （2）当32x <时,原不等式化为(5)(23)1x x --+-<,解之,得1x <-.（3）当352x ≤≤时,原不等式化为(5)(23)1x x ----<,解之,得73x >.所以,此时不等式的解为753x <≤. 综上,原不等式的解为1x <-或73x >.评注解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法. 5.2.3★解不等式|7||2|3x x +--<.解析1 如图,分别用A 、B 两点代表7-和2.|7||2|x x +--表示某点C （x 所对应的点）到A 点和B 点的距离差.又当1x =-时,C 点到A 、B 两点的距离差恰好为3.A B x当点C 靠近点A 时,C 到A 、B 两点的距离差变小,所以原不等式的解为1x <-.解析2 因为7-、2分别是|7|x +和|2|x -的零点,于是分三种情况讨论：（1）当7x <-时,原不等式变为(7)(2)3x x -++-<,此式恒成立,故7x <-是原不等式的解. （2）当72x -<≤时,原不等式变为(7)(2)3x x ++-<,解得 1x <-.所以,71x -<-≤是原不等式的解. （3）若2x ≥,原不等式变为(7)(2)3x x +--<,即53<,此不等式无解.5.2.4★★解不等式||3||3||3x x +-->. 解析原不等式等价于|3||3|3x x +-->,①或 |3||3|3x x +--<-. ②①的解为32x >；②的解为32x <-. 所以,原不等式的解为32x <-或32x >. 5.2.5★解不等式：25||60x x -+>.解析注意22(||)x x =,整体分解. 由题意得(||2)(||3)0x x -->,即 ||3x >或||2x <, 而由||3x >得3x >或3x <-,由||2x <得22x -<<.所以,原不等式的解为3x <-或22x -<<或3x >.5.2.6★★解不等式组：22350,|2|10.x x x ⎧+->⎨-<⎩解析由22350x x +->得7x <-或5x >. 由|2|10x -<得812x -<<. 于是原不等式组的解就是75,812,x x x <->⎧⎨-<<⎩或即87x -<<-或512x <<.5.2.7★★a 取何值时,不等式|25||42|x x a ++-<无实数解？解法1 欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,关键是求出|25||42|x x ++-的最小值. 因|25|x +、|42|x -的零点分别是52-、2.当52x -≤时,|25||42|(25)4214x x x x x ++-=-++-=--.当52x =-时,|25||42|x x ++-有最小值9；当522x -<≤时,|25||42|25429x x x x ++-=++-=,最小值及最大值都是9；当2x >时,|25||42|252441x x x x x ++-=++-=+,无最小值. 故|25||42|x x ++-的最小值为9.欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,则9a ≤. 解法2 由||||||a b a b ++≥,得|25||42||2542|9x x x x ++-++-=≥,故欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,只需9a ≤即可. 5.2.8★★若不等式|1||3|x x a ++-≤有解,求a 的取值范围. 解析1 利用不等式性质：|1||3||1(3)|4x x x x ++-+--=≥,又|1||3|x x a ++-≤, 可得4a ≥.解析2 根据绝对值的几何意义,因为|1|x +、|3|x -分别表示数轴上点x 到点1-和3的距离,所以|1||3|x x ++-表示数轴上某点到A ：1-和B ：3的距离和.从图可见,不论x 在A 点左边或者B 点右边时,x 到A 、B 点距离和至少为4；当x 在AB 两点之间时,x 到A 、B 点距离和为4.所以4a ≥.x评注解绝对值不等式常用分类讨论方法（1）当1x -≤时,原不等式化为224a x -≥≥；（2）当13x -<<时,原不等式化为4a ≥；（3）当3x ≥时,原不等式化为224a x -≥≥. 综上所述,4a ≥.本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义. 5.2.9★已知0n <且||m nm m n-=+,求m 的取值范围. 解析整理可得(1||)1||m m n m -=+.因为0n <,所以(1||)01||m m m -<+,即 (1||)0m m -<.（1）当0m <时,1||0m ->,解之得10m -<<. （2）当0m >时,1||0m -<,解之得1m >. 综上,m 的取值范围为10m -<<或者1m >. 5.2.10★解不等式24||30x x -+>. 解析1 因为24||3(||1)(||3)0x x x x -+=-->,所以||1x <或||3x >,即11x -<<或者3x >或者3x <-.解析 2 考虑函数2()4||3f x x x =-+.注意到对任意实数x ,有()()f x f x -=.从函数图象来看,这个函数的图象关于y 轴对称,即只需作出0x >时的图象,再把函数图象关于y 轴作对称即可. 如图,可知,原不等式的解为使得图象在x 轴上方的x 的取值集合：11x -<<或者3x >或者3x <-.评注当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意：(||)f x表示的函数图象是()f x在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折；|()|f x的图象是把()f x在x轴下方的图象关于x轴翻折后的图象.由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的.5.2.11★★解不等式2|41|3x x x-+>.解析（1）当2410x x-+≥,即2x≥2x≤,原不等式变形为2413x x x-+>. 解不等式组,得x>或x.（2）当2410x x-+<,即22x<,原不等式变形为2(41)3x x x--+>.此时,不等式组无解. 综上,原不等式的解为x>或x.（本题从几何解释为使2|41|y x x=-+的图象在3y x=图象上方的x的取值范围.如图.）5.2.12★★已知||1x≤,||1y≤,且|||1||24|k x y y y x=++++--,求k的最小值和最大值.解析解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论.因为||1x≤,||1y≤,所以11x-≤≤,11y-≤≤.所以10y+≥.又222y -≤≤,故3233y x --≤≤,从而240y x --<. 当0x y +<时,有()(1)(24)25k x y y y x y =-+++---=-+. 因为11y -≤≤,所以3257y -+≤≤,此时37k ≤≤. 当0x y +≥时,有()(1)(24)25k x y y y x x =+++---=+. 同样,当11x -≤≤时,3257x +≤≤,即37k ≤≤. 综上所述,37k ≤≤.又当1x =时,7k =,当1x =-时,3k =,所以,k 的最值是3,最大值是7.5.2.13★★实数a 、b 、c 满足不等式||||a b c +≥,||||b c a +≥,||||c a b +≥.求证：0a b c ++=.解析1 若a 、b 、c 中有一个为零时,设0a =,则||0b c +=,所以,0b c +=,故0a b c ++=.下面可设a 、b 、c 均不等于零.（1）当a 、b 、c 全为正数时,则b c a +≤,c a b +≤,a b c +≤,这不可能.（2）当a 、b 、c 为二正一负时,不妨设0a >,0b >,0c <.则由||b c a +≤,得a b c a -+≤≤,所以0a b c ++≥.又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而0a b c ++=.（3）当a 、b 、c 为一正二负时,不妨设0a >,0b <,0c <,于是由||b c a +≤,得a b c -+≤,所以0a b c ++≥.又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而0a b c ++=.（4）当a 、b 、c 全为负数时,于是由条件得a b c a +-≤≤,b c a b +-≤≤,c a b c +-≤≤,所以2()a b c a b c ++++≤,所以0a b c ++≥,矛盾.综上所述,得0a b c ++=.解析2 把题设的3个不等式两边平方后相加,得2222222()222a b c a b c ab bc ca +++++++≥,故 2()0a b c ++≤,从而0a b c ++=.5.2.14★★★★实数a 、b 、c 满足a b c ≤≤,0ab bc ca ++=,1abc =.求最大的实数k ,使得不等式||||a b k c +≥恒成立.解析当a b ==2c =时,则实数a 、b 、c 满足题设条件,此时4k ≤. 下面证明：不等式||4||a b c +≥对满足题设条件的实数a 、b 、c 恒成立.由已知条件知,a 、b 、c 都不等于0,且0c >.因为10ab c =>,210a b c+=-<, 所以0a b <≤.由根与系数的关系知,a 、b 是一元二次方程22110x x c c++= 的两个实数根,于是4140c c∆=-≥, 故 314c ≤. 所以 21||()4||a b a b c c c +=-+==≥4. 5.2.15★★★已知（1）0a >；（2）当11x -≤≤时,满足2||1ax bc c ++≤；（3）当11x -≤≤时,ax b +有最大值2.求常数a 、b 、c .解析由（1）知2y ax bx c =++为开口向上的抛物线,由（1）、（3）知2a b +=.①由（2）知||1a b c ++≤, ② ||1c ≤. ③由①、②知|2|1c +≤.④ 由③、④得1c =-.故0x =时,2y ax bx c =++达到最小值.因此,02b a-=,0b =. 由①得2a =.故 2a =,0b =,1c =-.5.2.16★★★证明|||2|||24max{,,}A x y x y z x y x y z x y z =-++-+-+++=,其中max {x ,y ,z }表示x 、y 、z 这三个数中的最大者.解析欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x 为x 、y 、z 中的最大者,即证4A x =,依次再考虑y 、z 是它们中的最大值便可证得.（1）当x y ≥,x z ≥时,|2|222224A x y x y z x y x y z x z x z x =-++-+-+++=-++=.（2）当y z ≥,y x ≥时,|2|222224A y x x y z y x x y z y z y z y =-++-+-+++=-++=.（3）当z x ≥,z y ≥时,因为||2max x y x y -++={x ,y }2z ≤,所以2||||24A z x y x y x y x y z z =----+-+++=.从而 4max A ={x ,y ,z }.§5.3 一元二次不等式5.3.1★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++<.解析分解因式(3)()0x x a --<.（1）若3a >,解为3x a <<；（2）若3a <,解为3a x <<；（3）若3a =,原不等式变成2(3)0x -<,无解.5.3.2★★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式2(1)10ax a x -++<.解析（1）0a =时,原不等式为10x -+<,解为1x >.（2）0a ≠时,分解因式得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. ①若0a >,则1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. （i ）11a >,即01a <<时,解为11x a <<. （ii ）11a <,即1a >时,解为11x a <<.（iii ）11a=,即1a =时,不等式无解.②若0a <,则1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭, 解为1x >及1x a <.5.3.3★★若一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,求不等式20cx bx a ++<的解. 解析 1 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以,不等式20ax bx c ++>与(1)(2)0x x --<等价.即20b c x x a a++<（0a <）与2320x x -+<等价.所以 3,2,0,b a c a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<⎪⎩即3,2,0.b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩ 故不等式20cx bx a ++<,即2230ax ax a -+<,且0a <.化为22310x x -+>,解得1x >,或12x <.解析2 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以20ax bx c ++=的根是1,2,且0a <.由韦达定理,得3,2.b a c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故不等式20cx bx a ++<的解是1x >,或12x <.5.3.4★★★欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,求m 的取值范围.解析不等式2320x x -+<的解是12x <<.不等式2(1)(3)20m x m x -+--<,即 [(1)2](1)0m x x -+-<. ①（1）当1m =时,不等式为220x -<,即1x <,符合题意；（2）当10m ->,即1m >时,不等式①之解为211x m<<-,符合题意；（3）当10m -<,即1m <时,我们分两种情况讨论：若211m <-,即1m <-时,不等式①之解为1x >,或21x m <-,不合题意；若211m >-,即11m -<<时,不等式①之解为21x m>-,或1x <,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,则须221m -≥,从而01m <≤. 综上所述,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,m 的取值范围是0m ≥5.3.5★★对一切实数x ,不等式2(6)20ax a x +-+>恒成立,求a 的值.解析由于不等式对一切x 恒成立,故a 应该满足20,6420,a a a >⎧⎨∆=(-)-⋅<⎩ 即20,20360,a a a >⎧⎨-+<⎩所以 218a <<.5.3.6★★设有不等式2221(2)3238t t x x t --+-≤≤, 试求对于满足02x ≤≤的一切x 成立的t 的取值范围.解析令232y x x =-+,02x ≤≤,则在02x ≤≤上y 能取到的最小值为14-,最大值为2,从而总有2211(2),8432,t t t ⎧--⎪⎨⎪-⎩≤≥ 即22220,10,t t t ⎧--⎪⎨-⎪⎩≥≤ 所以111;t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩≤≤≤或11 1.t t ⎧⎪⎨-⎪⎩≥≤≤ 于是t的取值范围为11t --≤≤5.3.7★解不等式21311x x x x -+>-+. 解析原不等式可化为213011x x x x -+->-+, 即 220(1)(1)x x x x -+>-+. ① 因为22172024x x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,所以①式等价于 (1)(1)0x x -+>,所以 1x <-或1x >.5.3.8★★解不等式12>. 解析首先,由30,10x x -⎧⎨+⎩≥≥ 得13x -≤≤.将原不等式变形为1>.由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得78x ->,所以780x ->,即78x <,并且2(78)16(1)x x ->+,所以264128330x x -+>,x >x <.综上可得,原不等式的解为1x -≤. 5.3.9★求不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个数.解析不等式21(1)37x x x -<-<+等价于不等式组22(1)1,(1)37,x x x x ⎧->-⎪⎨-<+⎪⎩即22320,560.x x x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 解2320x x -+>得2x >或1x <；解2560x x --<得16x -<<.故原不等式组的解为11x -<<或26x <<.x 的整数解为0x =,3,4,5共四个.5.3.10★★实数a 、b 、c 满足()()0a c a b c +++<.证明：2()4()b c a a b c ->++.解析要证2()4()b c a a b c ->++,即证2()4()0b c a a b c --++>,联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.设辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++,令10x =,得函数值1y a b c =++；令21x =-,得函数值22()y a c =+.因为()()0a c a b c +++<,所以120y y <.这说明,辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++上两点11(,)x y 、22(,)x y 分布在x 轴的两侧,由此可见抛物线与x 轴有两个交点,也就是说方程2()()0ax b c x a b c +-+++=有两个不相等的实数根. 因此2()4()0b c a a b c ∆=--++>,故2()4()b c a a b c ->++.评注有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究,将一些抽象的数量关系通过函数图象形象直观地反映出来,这种数形结合的思想非常重要.5.3.11★★★满足下列两个条件：（1）对所有正整数x ,220010x x n -+≥；（2）存在正整数0x ,使20020020x x n -+<的正整数n 的个数有几个？解析先求满足条件（1）的正整数n .由22220012001200124n x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≥ 对所有正整数x 都成立,则n 不小于222001200124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的最大值,故 222001200110001000100124n ⎛⎫--+=⨯ ⎪⎝⎭≥. 再求满足条件（2）的正整数n .240n ∆=2002->,21001n <.由于∆是正整数,且大于1,故此时方程220020x x n -+=的两根1x 、2x （均大于0）,满足 22121212()()4x x x x x x -=+-=∆>1,即12||1x x ->,从而,当21001n <时,必存在正整数0x ,使得20020020x x n -+<.所以,满足条件（1）、（2）的正整数n 有21001100010011001-⨯=（个）.5.3.12★★★设a 为实数,解不等式x <解析（1）若0a ≤,由原不等式,得10,0.x x -⎧⎪⎨<⎪⎩≥ 此为矛盾不等式组,无解.（2）若0a >,则有2210,(1).x a x x -⎧⎪⎨->⎪⎩≥①② 由①,得 1x ≥.由②,得2220x a x a -+<,2(2)(2)a a a ∆=+-.此时又分两种情形：当02a <≤时,0∆≤,则不等式①②无解；当2a >时,∆>0,注意到222212a a=>=. 此时不等式②的解为x <. 综上所述,当2a >时,原不等式才有解,此时不等式的解集为x <. 5.3.13★★★设0a >,解不等式1x +.①解析因为0a >,①的左端非负,因此10x +≥. 下面分两种情形讨论.（1）0x ≥时,①式左右两边平方得22(1)a x x +≤,整理得22(2)10x a x +-+≥.②因为2222(2)4(4)a a a ∆=--=-,所以2a <时,0∆<,②对一切0x ≥成立.2a ≥时,0∆≥,22(2)1x a x +-+有实根,而且两根的积为1,和为非负数22a -,所以两根均为正.②的解为x 及0x ≤. （2）10x -<≤时,①式变为1x +. ③③式两边平方整理得22+++≥. ④x a x(2)10因为22+++有两个不相等的实数根,由韦达定理知,两根均为负.x a x(2)40a∆=+->,所以22(2)1由于两根积为1,较小的根小于1-,较大的根大于1-,所以④的解为<>.x a0(0)综合（1）、（2）,原不等式的解为：当2a≥时,x及x当02<<时,ax。

数学竞赛历年的不等式题

（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ）【解】因为20,1210x x x x >≠⎧⎨+->⎩，解得 1,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 320122x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<；或 32122x x x x >⎧⎨+->⎩ 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1, 12x x >≠且. 1．（05）使关于xk ≥有解的实数k 的最大值是（） A解：令6,y x =≤≤则2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤-(6)] 6.x +-=0y k ∴<≤实数D 。

（2004年全国）3．不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4）解：原不等式等价于22331log 0222log 10x x ++>⎪-≥⎩ 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ．（2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =244x -+299y -的最小值是D (A)58 (B)1124(C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}25133215|{-<<-<<-x x x 或；（2003年全国）13已知523≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x证明：容易证明：当a ，R b ∈时，2222b a b a +≤+．其中等号成立，当且仅当b a =．所以)3151()321(3153212x x x x x x x -+++-++=-+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-++≤x x x x x x 822322)315()1(22)32()1(2 19214521422)8(2234=+≤+=-+-≤x x x ．由于不等式2)32()1(2321-++≤-++x x x x 中等号成立，当且仅当321-=+x x ，即4=x ；不等式2)315()1(23151x x x x -++≤-++中等号成立，当且仅当x x 3151-=+，即27=x ．所以上述不等式第一个不等号中的等号就不可能成立．所以1923153212<-+-++x x x ．（2008年全国）14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，2211()022x x --+-->． …15分所以2x >，即x <x >故原不等式解集为(,)-∞+∞ ． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x x x ， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x <+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x <+，即222()10x x +->，解得2x >(2x <舍去)，故原不等式解集为(,)-∞+∞ ．。

3.3一元一次不等式(2)

去括号
15x + 100-10x ≤ =120 单项式乘以多项式法则
2 移项 15x -10x ≤ =120 -100 不等式基本性质1
合并同类项两边都除以5
≤ 5x =20 合并同类项法则
x≤=4
不等式基本性质2 3
解方程
1 x 1 2x =1 2 3
3(1+x) - 2(1+2x)<6 3+3x-2-4x<6
系 1.5 x 2 x 0.4 0.6 0.3 15 x 20 x 4 3 6 数 3.5 x 1.3 先 35 x 13 13 化 x 13 35 x 整
35
6 15 x 3 20 x 4
0.2 x 0.1 1 x 1 0.4 6 2x 1 1 x 不等式可化为 1 4 6 去分母，得（2 x 1 （ x） 12 3 ） 21
解：去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得
3x-4x<5
-x<5 x>-5
两边都除以-1，得
与解一元一次方程的步骤类似可得解一元一次不等式的步骤： ①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为一. （注意系数的符号）不等式基本性质3；单项式乘以多项式法则不等式基本性质2 合并同类项法则不等式基本性质3
数学老师要给数学竞赛获奖的10名学生购买奖品，准备120元钱到超市购买钢笔和文具盒，到超市后发现钢笔每支要 10元，文具盒每个15元。问：能买几个文具盒？最多能买几个文具盒？解：设买文具盒X个，由题意得
15x + 10 10-x =120 15x + 10 10-x 120

浙教版初中数学八年级上册 3.3 一元一次不等式(2) 课件教学课件

小明最后的分数得分-扣分
其数学表达式 10x-5(20-x)
据题意，小明最后得分要求：超过90分
用数学表达式表示为： 10x-5(20-x)>90
拓展提高
解：设小明答对x道题，则他答错或者不答的题数为 (20-x)，根据题意，得：
10x-5(20-x)>90
解这个不等式，得
10x-100+5x>90 15x>190 x > 12 2
、
_________、 _________四种常见最简不等式.
例3 解不等式 10.5x0.1x0.2
0.2 0.3
还记得它吗
10.5x0.1x0.2
0.2
0.3
例3 解不等式 10.5x0.1x0.2
0.2 0.3
解法一
解法二你会选择哪种解法?
1 5x 1 10x 2
2
3
0.6 3(0.5x 0.1) 2( x 0.2)
数轴上表示出来. 2
3
解下列不等式，并把解在数轴上表示出来.
(1)5x313x; (2)1y11y;
3
2
(3 )3 ( 1 3 x ) 2 (4 2 x ) 0 ;
(4)1(2m)3m;
6
10
1.解一元一次不等式和解
的思路和步骤类似.
2.解一元一次不等式的基本思路是：把原不等式变形成_________、
作业（5）系数化为1
骤
两边知同数时的除系书以数上未 P1作01业作在乘本（以业把（1；题不）或，等与除号（以方5））向这负改两数变步，若要
解的情况
一般只有一。个解
一般解集含有无数个解
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。

第九章不等式与不等式组(二)单元测试卷2021-2022学年人教版数学七年级下册

2021-2022学年度初中数学七年级下册不等式与不等式组模拟试题（二）一、单选题1．﹣（﹣a ）和﹣b 在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（）A ．﹣a ＜1B ．b ﹣a ＞0C ．a ＋1＞0D ．﹣a ﹣b ＜0 2．某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t （℃）的变化范围是（）A ．t ＞33B ．t ≤24C ．24＜t ＜33D ．24≤t ≤33 3．若关于x 的分式方程2x x -+1＝22ax x --有整数解，且关于y 的不等式组2(1)15210y a y y -+-≤⎧⎨+<⎩恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（） A ．0 B ．24 C ．﹣72 D ．12 4．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摞起来的高度为15cm ，9只饭碗摞起来的高度为20cm ，李老师家的碗橱每格的高度为31cm ，则里面一摞碗最多只能放（）A ．16只B ．15只C ．14只D ．13只 5．设[x ）表示大于x 的最小整数，如[3）=4，[-1.2）=-1，下列结论：℃[0）=0；℃[x ）-x 的最小值是0；℃[x ）-x 的最大值是1；℃存在实数x ，使[x ）-x =0.5成立，其中正确的是（）A ．℃℃B ．℃℃C ．℃℃℃D ．℃℃℃6．已知关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有4个整数解，则a 的取值范围是（） A ．﹣1＜a ＜﹣12 B ．﹣1≤a ≤﹣12 C ．﹣1＜a ≤﹣12 D ．﹣1≤a ＜﹣12 7．下列说法正确的个数是（）（1）一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（2）当0a ≠时，a 总是大于0；（3）若mn =0，则m 、n 中必有一个数为0；（4）如果0a ≥那么5a -一定有最小值-5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 9．若10a -<<，则有（）A ．1a a >B ．33a a <C ．2a a ->D ．32a a <- 10．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩下16人无处住；若每间住6人，有一间宿舍住人但不足4人，那么这群女生的人数是（）A ．52B ．56C ．60或56D ．60二、填空题11．若0622x k x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，则k 的取值范围是________． 12．已知关于x 的不等式组223x x x m ⎧->+⎨≥⎩只有两个整数解，则实数m 的取值范围是 __________．13．若点P 为数轴上一个定点，点M 为数轴上一点将M ，P 两点的距离记为MP ．给出如下定义：若MP 小于或等于k ，则称点M 为点P 的k 可达点．例如：点O 为原点，点A 表示的数是1，则O ，A 两点的距离为1，1＜2，即点A 可称为点O 的2可达点．（1）如图，点B 1，B 2，B 3中，___是点A 的2可达点；（2）若点C 为数轴上一个动点，℃若点C 表示的数为﹣1，点C 为点A 的k 可达点，请写出一个符合条件的k 值 ___； ℃若点C 表示的数为m ，点C 为点A 的2可达点，m 的取值范围为 ___；（3）若m ≠0，动点C 表示的数是m ，动点D 表示的数是2m ，点C ，D 及它们之间的每一个点都是点A 的3可达点，写出m 的取值范围 ___．14．有一根长22cm 的金属棒，将其截成x 根3cm 长的小段和y 根5cm 长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则x ＋y ＝__．15．某学校举办“创文知识”竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？如果设小聪答对a 题，则他答错或不答的题数为()20a -题，根据题意列不等式：___________． 16．为了迎接“母亲节”的到来，枣庄市购物中心超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于20%，那么这种商品最多打______折．17．不超过数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x ]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[37]6x +=5的x 的整数值有________ 18．如果不等式组320x x m ->⎧⎨≥⎩有解，则m 的取值范围是______．三、解答题19．西大附中为打造“书香校园”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本．(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？20．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x －7＞26(2)3x ＜2x ＋121．解下列不等式组32122x x x +>⎧⎪⎨≤⎪⎩． 22．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x 个，需要长方形纸板________________张，正方形纸板_____________张（请用含有x的式子）（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．23．“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？24．解下列不等式：(1)2x﹣1＜﹣6；(2)145 23--<x x；(3)解不等式组：3(2)41213x xxx--≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．参考答案：1．B【详解】解：﹣（﹣a ）＝a ，由数轴可得a ＜﹣1＜﹣b ＜0，℃a ＜﹣1，℃﹣a ＞1，故A 选项判断错误，不合题意；℃﹣b ＜0，℃b ＞0，b ﹣a ＞0，故B 正确，符合题意；℃a ＜﹣1，℃a +1＜0，故C 判断错误，不合题意；℃a ＜﹣b ，℃a +b ＜0，℃﹣a ﹣b ＞0，故D 判断错误，不合题意．故选：B ．2．D【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间， ℃该市气温t （℃）的变化范围是：24≤t ≤33；故选：D ．3．D【详解】先解分式方程，再解一元一次不等式组，进而确定a 的取值．解：℃2x x -+1＝22ax x --， ℃x +x ﹣2＝2﹣ax ．℃2x +ax ＝2+2．℃（2+a ）x ＝4．℃x ＝42a+ ． ℃关于x 的分式方程2x x -+1＝22ax x --有整数解， ℃2+a ＝±1或±2或±4且42a +≠2． ℃a ＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6．℃2（y ﹣1）+a ﹣1≤5y ，℃2y ﹣2+a ﹣1≤5y ．℃2y ﹣5y ≤1﹣a +2．℃﹣3y ≤3﹣a ．℃y ≥﹣1+3a ． ℃2y +1＜0，℃2y ＜﹣1．℃y ＜12-． ℃﹣1+3a ≤y ＜12-． ℃关于y 的不等式组2(1)15210y a y y -+-≤⎧⎨+<⎩恰有2个整数解， ℃﹣3＜﹣1+3a ≤﹣2． ℃﹣6＜a ≤﹣3．又℃a ＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6，℃a ＝﹣3或﹣4．℃所有满足条件的整数a 的值之积是﹣3×（﹣4）＝12．故选：D ．4．B【详解】解：设碗底的高度为xcm ，碗身的高度为ycm ，由题意得：615920x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，设李老师一摞碗能放a 只碗，由题意得：5+53a ≤31，解得：a ≤7815.65=，则一摞碗最多只能放15只，故选：B ．5．B【详解】解：由题意可知：℃[x ）表示大于x 的最小整数，℃设[x ）＝n ，则n －1≤x ＜n ，℃[x ）－1≤x ＜[x ），℃0＜[x ）－x ≤1，℃℃[0)1=，故℃错误；℃[)x x -可无限接近0，但取不到0，无最小值，故℃错误；℃[)x x -的最大值是1，当x 为整数时，故℃正确；℃存在实数x ，使[)0.5x x -=成立，比如x =1.5，故℃正确，故选：B ．6．D【详解】解：解不等式组得：22x x a ≤⎧⎨>⎩， ℃该不等式组恰有4个整数解，℃－2≤2a ＜－1，解得：﹣1≤a ＜﹣12，故选：D ．7．D【详解】℃一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远,℃（1）正确； ℃a ≥0，℃当0a ≠时，a 总是大于0，℃（2）正确；℃mn =0，℃m =0或n =0，℃（3）正确；℃5055a -≥-≥-，℃5a -一定有最小值-5℃（4）正确；故选D ．8．C【详解】解：解方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩得：213322x a y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，℃关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥， ℃213a +≥322a --，解得：a ≥-1813， ℃关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ℃7323a --≤<-，解得-2≤a ＜1， ℃1813-≤a ＜1， ℃符合条件的整数a 的值有：-1，0，共2个，故选：C ．9．C【详解】解：采用特殊取值法，取12a =-，则12a=-，由122-<-，A 选项错误； 33111111,,282888⎛⎫⎛⎫-=-=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 2111111,,222424⎛⎫⎛⎫--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；由1184->-知321122⎛⎫⎛⎫->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误；故选：C ．10．B【详解】解:设有x 间宿舍，则有6（x -1）＜4x +16＜6（x -1）+4，整理得()()61416416614x x x x ⎧-+⎪⎨+-+⎪⎩＜①＜②，解不等式℃得11x ＜，解不等式℃得9x ＞，℃不等式组的解集为911x ＜＜，℃x =10，当x =10时4×10+16=56人，故选择B ．11．21k -<≤-【详解】解：0622x k x -≥⎧⎨->-⎩①②由℃得：,x k ≥由℃得：x ＜4,k x ∴≤＜4,622x k x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，∴ 不等式组的整数解为：3,2,1,0,1,-∴ 21k -<≤-故答案为：21k -<≤-12．32m -<-【详解】解：当2x 时，223x x ->+，13x ∴<-，13x ∴<-；当2x >时，223x x ->+，5x ∴-＞，∴不等式的解为13m x ≤<-，不等式组|2|23x x x m ->+⎧⎨⎩只有两个整数解，∴两个整数解为1-和2-，32m ∴-<-，故答案为：32m -<-．13． 2B 、3B ##B 3、B 2 3 13m -≤≤ 12m -≤≤【详解】解：（1）由题意知：1>2B A 2，2<2B A 2，3<2B A 2，℃2B 、3B 是点A 的2可达点，故填：2B 、3B ；（2）℃当点C 表示的数为﹣1时，=2CA ≤k ，故k ＝3，故填：3；℃当点C 表示的数为m 时，=1CA m -≤2，解得：13m -≤≤，故填：13m -≤≤；（3）由题意知：=1CA m -，21DA m =-，即：13m -≤，213m -≤，解得：12m -≤≤，故填：12m -≤≤．14．6【详解】℃一根长22cm 的金属棒，将其截成x 根3cm 长的小段和y 根5cm 长的小段， ℃3x +5y ≤22， ℃2253y x -≤， ℃2250y -≥，且y 为正整数，℃y 的值可以为1、2、3、4，当y ＝1时，x≤173，则x ＝5，此时，所剩的废料是：22﹣5﹣3×5＝2cm ，当y ＝2时，x≤4，则x ＝4，此时，所剩的废料是：22﹣2×5﹣4×3＝0cm ，当y ＝3时，x≤73，则x ＝2，此时，所剩的废料是：22﹣3×5﹣2×3＝1cm ，当y ＝4时，x≤23，则x ＝0（舍去）， ℃废料最少的是：x ＝4，y ＝2，℃x ＋y ＝6，故答案为：615．()10520140a a --≥【详解】解：根据题意，得10a −5（20−a ）≥140．故答案是：10a −5（20−a ）≥140．16．七五【详解】解：设这种商品可以按x 折销售，则售价为320×0.1x ，那么利润为320×0.1x -200，所以相应的关系式为320×0.1x -200≥200×20%，解得：x ≥7.5．℃这种商品最多可以按7.5折销售．故答案为：七五．17．8，9.【详解】解：因为原方程即为[37]6x +=5, 所以5≤376x +<6，所以37563766x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩，解得：232933x ≤<，因为x 是整数，所以x =8， 9，故答案为：8，9.18．32m <【详解】解：320x x m ->⎧⎨≥⎩，解不等式320x ->，解得32x <，因为不等式组320x x m->⎧⎨≥⎩有解，所以32m x ≤<，所以32m <. 故答案为：32m <.19．(1)共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方案1费用最低，最低费用是22320元(1)解：设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角(30)x -个，依题意得：()()80303019005060301620x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：1820x ≤≤，又∵x 为整数，∴x 可以取18，19，20，∴共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个；(2)选择方案1的费用为：860185701222320⨯+⨯=（元)；选择方案2的费用为：860195701122610⨯+⨯=（元)；选择方案3的费用为：860205701022900⨯+⨯=（元)．223202*********<<，∴方案1费用最低，最低费用是22320元．20．(1)x ＞33，见解析(2)x ＜1，见解析【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以：x －7＋7＞26＋7，x ＞33．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：（2）3x ＜2x ＋1；解:（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x ，不等号的方向不变，所以：3x －2x ＜2x ＋1－2x ，x ＜1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：21．14x -<≤【详解】解：解不等式3x +2>x 得：x >-1，解不等式122x ≤，得：4x ≤，则不等式组的解集为：14x -<≤．22．（1）长方形纸板用了（x +300）张，正方形纸板用了（200﹣x ）张；（2）共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；（3）293或298 【详解】解：（1）设生产竖式纸盒x 个，则生产横式纸盒（100﹣x ）个，则长方形纸板用了43(100)300x x x +-=+张，正方形纸板用了2(100)200x x x +-=-张 ℃长方形纸板用了（x +300）张，正方形纸板用了（200﹣x ）张．（2）依题意，得：300340200162x x +≤⎧⎨-≤⎩，解得：3840x ≤≤． ℃x 为整数，℃x ＝38，39，40，℃共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．（3）设可以生产竖式纸盒m 个，横式纸盒1622m -个，由此可得，m 为偶数，依题意，得：43(81)2m a m =+-∵290300a << ∴43(8129030)02m m +-<< ∴18.822.8x ≤≤∴20m =或22m =∴293a =或298a =答：a 的值为293或298．23．(1)政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元(2)共有3种方案(1)设政府对划线新增一个停车位补贴x 元，对建设改造新增一个停车位补贴y 元，依题意得：4380002500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：{x =500y =2000．答：政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元．(2)设老旧小区划线新增m 个停车位，则建设改造新增(100)m -个停车位，依题意得：()100 1.55002000100143000m mm m -⎧⎨+-⎩，解得：3840m ．又m 为整数，m ∴可以为38，39，40，∴老旧小区新增停车位共有3种方案．24．(1)x ＜﹣2.5(2)x ＞1.4(3)x ≤1，在数轴上表示它的解集见解析(1)解：移项得：2x ＜﹣6+1，合并得：2x ＜﹣5，解得：x ＜﹣2.5；(2)解：去分母得：3（x ﹣1）＜2（4x ﹣5），去括号得：3x ﹣3＜8x ﹣10，移项得：3x ﹣8x ＜﹣10+3，合并得：﹣5x ＜﹣7，解得：x ＞1.4；(3) 解：3(2)41213x x xx --≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②由℃得：x ≤1，由℃得：x ＜4，解得：x ≤1．。

数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式

（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。

初中数学竞赛不等式(含答案)

12．不等式A 卷1．不等式2(x + 1) -12732-≤-x x 的解集为_____________。

2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和523x x -<的整解为______________。

3．如果不等式33131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。

4．不等式22)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。

5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。

6．关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->+25332b x x 的解集为-1<x <1，则ab____________。

7．能够使不等式(|x| - x )(1 + x ) <0成立的x 的取值范围是_________。

8．不等式2<|x - 4| <3的解集为_____________。

9．已知a,b 和c 满足a ≤2,b ≤2,c ≤2,且a + b + c = 6，则abc=______________。

10．已知a,b 是实数，若不等式(2a - b)x + 3a – 4b <0的解是94>x ，则不等式(a – 4b)x + 2a – 3b >0的解是__________。

C 卷一、填空题1．不等式2|43|2+>--x x x 的解集是_____________。

2．不等式|x| + |y| < 100有_________组整数解。

3．若x,y,z 为正整数，且满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥1997213z y y z x 则x 的最小值为_______________。

4．已知M=1212,12122000199919991998++=++N ，那么M ，N 的大小关系是__________。

初中数学竞赛专题2-绝对值不等式学案

初中数学竞赛专题2绝对值不等式基础概念绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；（5）a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．（5）对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤.（6）123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ . （7）||||||||||b a b a b a +≤-≤-. 加强：||||||||||a b a b a b -≤-≤+. 绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．例题解析【例1】解不等式2321-->+x x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴23=x ，如图所示．（1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x∴2>x 与条件矛盾，无解．（2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故230≤<x ．（3）当23>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<x ，故623<<x ．综上，原不等式的解为{}60<<x x ．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．【例2】求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间当3<x 时，原不等式变为27,)3()4(a x a x x -><-+-有解的条件为327<-a ，即1>a ；当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<a x ，有解的条件为427>+a ∴1>a ．以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ．因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．【例3】求证 b a a b a -≥-22分析：使用分析法证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2b ，即只需证明 ba b a b b a -≥-22222，即 ba b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1<ba 时， 0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理： b a b a a b a a b a ⋅-=-≥-2222 （1）如果1≥ba ，则0≤-b a ，原不等式显然成立．（2）如果1<a b ，则b a b ->-，利用不等式的传递性知a b a -，b a b ->，∴原不等式也成立．【例4】关于实数x 的不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ⊆的a 的取值范围．分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x ， 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ，∴{}R a a x a x A ∈+≤≤=,122．解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ．当31>a 时（即213>+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B ．当31≤a 时（即213≤+a 时），得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B ．当31>a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ；当31≤a 时，要满足B A ⊆，必须⎩⎨⎧+≥+≥;12,1322a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a ∴1-=a ．所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或．说明：在求满足条件B A ⊆的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．【例5】已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换．证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．。

不等式赛题例析

数，利用一次函数的增减性从而求得不等式的最小值或最大值，实际上这也是代数中一种重要的求最值的方法．解原不等式两边同乘以３，０得
１（一１一ｌ（ｘ２ ≥６６３３，５３）０４一）（ｘ一）一９
ｊｂ — ＋ｂ
Ｉ＜ — ＿厂，
ｆ（一）＋Ｉ２１— ｘ一）３０２（２口，＞（１３
分析此题先解出不等式的解集．然后再去掉２ｘ一＋Ｉ４中的两个绝对值符号，Ｉ１＋ＩＩ要去绝对值符号必须进行分类讨论，然后将２ｘ＋Ｉ４化简成为一次函Ｉ一１＋Ｉｌ
“
绝对值为一个正数的数有两个就可将此不等式化为两个不等式从而求出其解集．
１
０
Ｄ．若０＜，ｂ则二＞ ÷ 分析选项Ａ中，ｏ＜ｂ当口与ｂ为负数时，若，则
解由一１６ｉｌ１＜，ｒ２侍２＿ｘ
－
１＜６，
例３（０８四川省初中数学联赛（二组）２０年初初赛试题）于的不等式：２关ｌｘ一１＜６的所有非负整数解Ｉ的和为一分析
绝对值不等式只需根据绝对值的代数定义，
ｃ若Ｉ｝６则口＜．口＜，ｂ
１
可为正数也可为负数．选项ｃ中，口＜，｝Ｉｂ即说明６为正数、口也为正数，ｆｌ当然就有口＜所以选项ｃ正确．ｂ．
选项Ｄ，只要举一个反例（口６为负数时）如、就可说明是说错的．

初中数学竞赛专题讲义第七讲含绝对值的方程及不等式

初中数学竞赛专题讲义第七讲含绝对值的方程及不等式从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零掉绝对值符号再求解．解(1)当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．例2求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．｜x-(2x+1)｜=3，即｜1+x｜=3，所以x=2或x=-4．｜x+(2x+1)｜=3，即｜3x+1｜=3，的个数为2．例3若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a，所以｜x-2｜=1±a．(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a 和x=1-a．(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由｜x-2｜=1-a，求得x=1+a或x=3-a．原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．解设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．例5设求x+y．分析从绝对值的意义知两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．解由题设有把③代入①得解之得y=-3，所以x=4．故有x+y=4-3=1．例6解方程组分析与解由①得x-y=1或x-y=-1，即x=y+1或x=y-1．与②结合有下面两个方程组解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得｜y+1｜+2｜y｜=3．组(Ⅰ)的解为同理，解(Ⅱ)有故原方程组的解为例7解方程组解由①得x+y=｜x-y｜+2．因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③把③代入②有x+y=x+2，所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以x-2=x，④或x-2=-x．⑤④无解，所以只有解⑤得x=1．故为原方程组的解．说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．例8解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．＜x≤5，x＞5．-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，-(x-5)-(2x+3)＜1，(3)当x＞5时，原不等式化为x-5-(2x+3)＜1，解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．的解．例9解不等式1≤｜3x-5｜≤2．分析与解此不等式实际上是解对｜3x-5｜≥1：对｜3x-5｜≤2：所以①与②的公共解应为例10解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．解从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．即x≤-3．即x＞3．说明本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．例11当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？解法1 (1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解．解法2按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故｜x+2｜+｜x-1｜≥｜(x+2)-(x-1)｜=3．其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．练习七1．解下列方程：(1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1；(2)｜｜1+x｜-1｜=3x；(3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2；(4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜．2．解方程组：3．解下列不等式：(2)5≤｜5x-3｜≤10；(3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6；(4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．4．若a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？。

全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)

全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到．鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________．三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】【分析】【详解】由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】【分析】【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到．鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对【答案】C 【解析】【分析】【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】【分析】【详解】解因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】【分析】【详解】解由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-．又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】【分析】【详解】解（算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】【分析】【详解】解由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >．由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】【详解】解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>．故选：D ．二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】【分析】【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．【答案】 4352【解析】【分析】【详解】 434370222y x ++≤=≤=．又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．【答案】6 【解析】【分析】【详解】因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1，所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．【答案】23x ≤≤ 【解析】【分析】【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个．【答案】334 【解析】【分析】【详解】解设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤．当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去．故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】【分析】【详解】解原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<；若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-；若0a =，则67a a-=，不等式无解．故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．【答案】196 【解析】【分析】【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>，所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==．所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．【答案】109 【解析】【分析】【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________．【答案】 329 335或334 【解析】【分析】【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334．三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？【答案】宾馆的底楼有客房10间【解析】【分析】【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房．简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =．答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】【分析】【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对，所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】【分析】【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+，故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-，故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+，故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①．又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②．由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确【解析】【分析】【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=；（3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）；（4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．【解析】【分析】【详解】解设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】【分析】【详解】解首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】【分析】【详解】解不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--，可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<．如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+．【答案】15 【解析】【分析】【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>．由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><．令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+．又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=．故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】【分析】【详解】解移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-．解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥．综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+．【答案】1x <-或1x > 【解析】【分析】【详解】解移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+．因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值．【答案】3a =【解析】【分析】【详解】解依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．【答案】18或20．【解析】【分析】【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）【答案】第10次至少要射9.9环【解析】【分析】【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）．答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩，解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解（1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意．（3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论：若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-．要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<．综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】解由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤．所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。

新初中数学方程与不等式之二元一次方程组真题汇编及答案解析(2)

新初中数学方程与不等式之二元一次方程组真题汇编及答案解析(2)一、选择题1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意所列方程组正确的是（）A ．2753x y y x +=⎧⎨=⎩B ．2753x y x y +=⎧⎨=⎩C ．2753x y y x -=⎧⎨=⎩D ．2753x y x y +=⎧⎨=⎩ 【答案】B【解析】【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为x+2y ，宽又是75厘米，故x+2y=75，矩的长可以表示为2x ，或x+3y ，故2x=3y+x ，整理得x=3y ，联立两个方程即可．【详解】根据图示可得，2753x y x y +=⎧⎨=⎩故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．2．二元一次方程3420x y +=的正整数解有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】A【解析】【分析】通过将方程变形，得到以x 的代数式，利用倍数逻辑关系，枚举法可得．【详解】 ∵由3420x y += 可得，34y 203, 54x y x =-=- ，,x y 是正整数． ∴根据题意，x 是4的倍数，则05x y ==，（不符题意）；4,2x y == 是方程的解，8,1x y ==- （不符题意）．故答案是A ．【点睛】本题既考查正整数的概念又考查代数式的变形，理解二元一次方程解的概念是本题的关键．3．若（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，则x＝（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】A【解析】【分析】由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x即可.【详解】解：∵（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，∴1050 x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得：23xy=-⎧⎨=⎩，故选：A.【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决此题的的关键.4．已知x、y满足方程组2827x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值是()A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】【分析】把两个方程相加可得3x+3y=15，进而可得答案.【详解】两个方程相加，得3x+3y=15，∴x+y=5，故选B.【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，灵活运用整体思想是解题关键．5．x=2y=7⎧⎨⎩是方程mx-3y=2的一个解，则m为( )A．8 B．232C．－232D．－192【答案】B【解析】【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：把x=2y=7⎧⎨⎩代入方程得：2m-21=2，解得：m=232，故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（）A．一组B．2组C．3组D．无数组【答案】B【解析】【分析】由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解．【详解】解：当x=1，则2+y=5，解得y=3，当x=2，则4+y=5，解得y=1，当x=3，则6+y=5，解得y=-1，所以原二元一次方程的正整数解为，．故选B．【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊解．7．已知关于x的方程x-2m=7和x-5=3m是同解方程，则m值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】【分析】根据同解方程，可得方程组，根据解方程组，可得答案．【详解】解：由题意，得2753x m x m -=⎧⎨-=⎩①②，由①得：7+2x m =，由②得：3+5x m =，∴7+23+5m m =，解得：2m =，故选C.【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出方程组是解题关键．8．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有120张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制盒底，得方程组 ( )A ．1204010x y y x +=⎧⎨=⎩B ．1201040x y y x +=⎧⎨=⎩C ．1204020x y y x +=⎧⎨=⎩D ．1202040x y y x +=⎧⎨=⎩【答案】C【解析】【分析】首先根据题意可以得出以下两个等量关系：①制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮的张数=120，②盒身的个数×2=盒底的个数，据此进一步列出方程组即可.【详解】∵一共有120张白铁皮，其中x 张制作盒身，y 张制作盒底，∴120x y +=，又∵每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒， ∴4020y x =，∴可列方程组为：1204020x y y x +=⎧⎨=⎩，故选：C.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.9．若方程组32232732x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩的解满足2020x y +=，则k 等于( ) A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】【分析】把两个方程相加，可得5x +5y =5k-5，再根据2020x y +=可得到关于k 的方程，进而求k【详解】解：32232732x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩①② ①+②得 5x +5y =5k-5，∴x +y =k -1.∵2020x y +=，∴k -1=2020，∴k=2021．故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，依据方程系数特点整体代入是求值的关键．10．二元一次方程3x+y ＝7的正整数解有( )组．A ．0B ．1C ．2D ．无数【答案】C【解析】【分析】分别令x=1、2进行计算即可得【详解】解:方程3x+y=7，变形得:y=7-3x ，当x=1时，y=4;当x=2时，y=1，则方程的正整数解有二组故本题答案应为：C【点睛】本题考查了二元一次方程的解，给出一个未知数的值求出另一个未知数的值即可.11．已知2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，那么x y -的值是（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】观察方程组，利用第一个方程减去第二个方程即可求解.【详解】2728x y x y ①②+=⎧⎨+=⎩， ①-②得，x-y=-1.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，利用整体思想可以是本题解决过程变得简单.12．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得－3分，不答的题得－1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x 道题，答错了y 道题，则( )A ．5372x y -=B ．5372x y +=C ．6292x y -=D ．6292x y +=【答案】C【解析】【分析】设欢欢答对了x 道题，答错了y 道题，根据“每答对一题得+5分，每答错一题得－3分，不答的题得－1分，已知欢欢这次竞赛得了72分”列出方程．【详解】解：设答对了x 道题，答错了y 道题，则不答的题有()20x y -- 道，依题意得：()532072x y x y ----=，化简得：6292x y -=．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20．13．已知关于x,y 的二元一次方程组323223x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩的解适合方程25x y -=,则m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】整理方程为3x+7y=2,与25x y -=组成新的方程组,求解得31x y =⎧⎨=-⎩,代入原方程组中任意一个方程即可求出m.【详解】解：将m=2x+3y 代入3232x y m +=-中得,3x+7y=2,∵x,y 的二元一次方程组323223x y m x y m+=-⎧⎨+=⎩ 的解适合方程25x y -=, ∴联立方程组25372x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得：31x y =⎧⎨=-⎩, ∴23m x y =+=3,故选C.【点睛】本题考查解二元一次方程组的方法,属于简单题,熟练掌握加减消元和代入消元的方法是解题关键.14．幼儿园阿姨分别给甲、乙两个小朋友若干颗糖果，她们数了一下，甲说“把你的一半给我，我就有14颗糖果”，乙说：“那把你的一半给我，我就有16颗糖果．”那么原来甲小朋友有糖果（）颗．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B【解析】【分析】设原来甲小朋友有x 颗，乙小朋友有y 颗，根据描述建立二元一次方程组求解．【详解】设原来甲小朋友有x 颗，乙小朋友有y 颗，由题意得： 11421162x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得812x y =⎧⎨=⎩∴甲小朋友原来有8颗故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，题目较简单，根据描述建立方程是解题的关键．15．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x 元，水笔每支为y 元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．3201036x yx y-=⎧⎨+=⎩B．3201036x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3201036y xx y-=⎧⎨+=⎩D．3102036x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】B【解析】分析：根据等量关系“一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，“20本练习本的总价+10支水笔的总价=36”，列方程组求解即可．详解：设练习本每本为x元，水笔每支为y元，根据单价的等量关系可得方程为x+y=3，根据总价36得到的方程为20x+10y=36，所以可列方程为：3 201036 x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，故选：B．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键．16．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得．【详解】解：设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得：故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．17．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（）A ．106cmB ．110cmC ．114cmD ．116cm 【答案】A【解析】【分析】通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm ，单独一个纸杯的高度为ycm ，则29714x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得17x y =⎧⎨=⎩则99x +y ＝99×1+7＝106即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm ．故选：A ．【点睛】本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把9cm 当作3个纸杯的高度，把14cm 当作8个纸杯的高度．18．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2B ．m ＞－3C ．－3＜m ＜2D ．m ＜3或m ＞2 【答案】A【解析】【分析】先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可.【详解】解325x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩，得 212x m y m =+⎧⎨=-⎩.∵x ＞y ＞0，∴21220m m m +>-⎧⎨->⎩ ，解之得m ＞2.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.19．若关于,x y 的方程组2315x y a x y +=-⎧⎨-=⎩的解满足3,x y +=则a 的值是（） A ．4 B ．1- C ．2 D ．1【答案】D【解析】【分析】①2⨯+②得21x y a +=+，再根据3x y +=，即可求出a 的值．【详解】2315x y a x y +=-⎧⎨-=⎩①②①2⨯+②得3363x y a +=+21x y a +=+∵3,x y +=∴1a =故答案为：D ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．20．若关于x ，y 的方程组2315x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解满足x ＋y ＝3，则m 的值为 ( ) A ．-2B ．2C ．-1D ．1 【答案】D【解析】【分析】首先把m 看成常数，然后进一步解关于x 与y 的方程组，求得用m 表示的x 与y 的值后，再进一步代入3x y +=加以求解即可.【详解】由题意得：2315x y m x y +=-⎧⎨-=⎩①②， ∴由①−②可得：()2315x y x y m +--=--，化简可得：336y m =-，即：2y m =-，将其代入②可得：25x m -+=，∴3x m =+∵3x y +=，∴323m m ++-=，∴1m =，故选：D.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.。

专题02 方程、不等式中的含参问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学选填题高端精品(解析版)

专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。

初中数学重点梳理：不等式的证明和应用

不等式的证明和应用知识定位不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

知识梳理1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

设a>b,不等式组⎩⎨⎧>>b x ax 的解集是x>a ⎩⎨⎧<<b x ax 的解集是x<b ⎩⎨⎧<>ax bx 的解集是 b<x<a ⎩⎨⎧<>bx ax 的解集是空集 3.不等式证明的基本方法：（1）比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。

差值比较法：原理 A － B ＞0A ＞B ．商值比较法：原理若>1，且B>0，则A>B 。

3.不等式的应用：（1）几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理①三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

③在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。

直角三角形中，斜边大于任一直角边。

④有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。

⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和（2）不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题．其中，不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：（1）弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；（2）找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；（3）列出不等式(组)；（4）解这个不等式(组)，求出解集并作答．例题精讲【试题来源】【题目】已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．【答案】x＜xy2＜xy．【解析】分析用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．解因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．综上有x＜xy2＜xy．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若试比较A，B的大小．【答案】A＞B【解析】显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系．【答案】b＜c＜a【解析】解①+c得②+a得③+b得由④，⑤得所以c＜a．同理，由④，⑥得b＜c．所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．【答案】k≥-1或k＜-3．【解析】解将原方程变形为(3+k)x=2．(1)当 3+k＞0，即k＞-3时，方程有正数解．(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．(3)当方程解不大于1时，有所以1+k，3+k应同号，即得解为k≥-1或k＜-3．注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。

一元一次不等式(2)精品教案

第四环节布置作业
个性空间
（1）（2）
第二环节探究活动(教师指导，学生展示）
一、独立思考
例1一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），问：小明至少答对了几道题？
解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有（25－x）道题，根据题意，
列一元一次不等式解应用题的步骤：
3.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元。
（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由。
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
的解小？
第三环节课堂巩固（独立思考，互批，T2展示）
1.某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但利润率不能少于5%，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？（独立思考，展示）
2小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解，这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。
①_______;②___________________;
③;④;⑤
练1：小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，他还可能买多少根火腿肠？（独立完成，互批，帮扶）
二、合作探究（独立思考，自由展示）

专题2 不等式

专题2 不等式自主招生常见的不等式试题类型主要包括：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中不等式的证明是难点，也是重点．证明不等式的基本方法主要有：比较法（作差，作商）、放缩法、反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（构造函数，构造图形）等．它的关键在于恰当的变形和转化，除此之外，也涉及均值不等式和柯西不等式．构造适当的模型来处理不等式问题，也是自主招生考试试题中的热点．总之，不等式试题的特点是形式多样，解法灵活，解题时应重视转化，善于运用技巧．要点概括1．均值不等式．设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记n Q =12...nn a a a A n+++=，n G =12111...n nn H a a a =+++，则有n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是：12...n a a a ===. 2．柯西不等式，设1212,,...,;,,...,n n a a a b b b 是2n 个实数，则有222222212121122(...)(...)(...)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++即222111()()()nnniii ii i i a b a b ===≥∑∑∑，其中等号成立的条件是(1,2,...,)i i a b i n λ==，λ是一个常数.3．柯西不等式的几个绪论．(1) 12...1n b b b ====时，柯西不等式即为 22221212(...)(...)n n n a a a a a a +++≥+++．若(1,2,...,)i a i n =12...na a a n+++≥.(2)当1(1,2,...,)i ib i n a ==时，则柯西不等式即为 22221222212111(...)(...)n na a a n a a a ++++++≥． (3)若(1,2,...,)i i ab i n =、是正实数，则2121212(...)(...)...n n na a ab b b b b b ++++++≥+ 热点透视不等式问题是当前各高校自主招生考试中必定涉及的内容．该类题型要求考生在掌握相关知识及技能的同时，还必须了解和掌握常见不等式的解题策略，这些策略包括特征观察、数式比较、等价转化、函数单调性、有效放缩、合理构造、数学归纳法、重要不等式的运用等．1．解不等式问题．解不等式，需要同解变形，同解变形时需要保证每一步的转化都是等价转化．要密切关注不等式的结构形式，采取正确的应对策略和方法，才能有针对性地解题．例如，2004年同济大学自主招生，2008年浙江大学自主招生，2007年上海交通大学冬令营，2008年、2009 年、2010年复旦大学的自主招生考试的试题都有这类题型． 2．证明不等式，由于证明不等式的试题形式多样，方法灵活，对代数式的变形技能要求高，因此不等式的证明历来是自主招生考试的热点．其中，利用均值不等式和柯西不等式来证明是较为常见的处理方法；而放缩、构造等方法，是更高层次的变形技能．例如，2008年浙江大学自主招生考试，2008年北京大学自主招生考试的试题，2009年清华大学自主招生考试等均出现该类题型．3．不等式的应用，这类问题主要以求相应的最值，求取值范围，以及探讨函数性质的形式给出，常用的解题方法包括等价转化的代数方法，以及数形结合的思想方法．具体解题时应灵活应对．例如，2007年、2008年上海交通大学冬令营，2008年清华大学自主招生考试，2010年复旦大学自主招生考试的试题等均出现过该类题型．例题精析例1(2010年浙江大学自主招生)12,,...,n x x x 是小于1的正数，且12...1n x x x +++=，求证：3331122111...4n n x x x x x x +++---＞.【回顾】方法二的证明，抓住了问题的本质，证明的过程简洁而优美，但①式成立不容易想到．例2（2009北京大学自主招生）已知对任意的cos cos 21a x b x +≥-恒成立，求a b +的最大值.【回顾】通过换元，转化为二次不等式在给定范围上恒成立问题．寻求二次不等式恒立的条件，及解不等式组都是解题的易错点. 例3（2009年南京大学自主招生）P 为△ABC 内一点，它到三边BC 、CA 、AB 的距离分别为123d d d 、、．S 为△ABC 的面积．求证：2123()2a b c a b c d d d S++++≥（这里a b c 、、分别表示BC 、CA 、AB 的长）．(回顾】本题熟练使用柯西不等式是证明的关键．例4（2008年浙江大学自主招生）已知0,y 0,,x a x y b c =+==＞＞是否存在正数m ．使得对于任意正数x y 、可使a b c 、、为三边构成三角形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.【回顾】本题中利用构成三角形的条件得出不等式组并不难，但解出不等式组对考生的能力要求较高．例5（2003复旦大学保送生）12,,...,n a a a 是各不相同的正整数，2a ≥.求证：1231111()()()...()2a a a a na a a a ++++＜. 【回顾】本题通过观察不等式的特征，合理联想幂函数和指数函数的单调性，再合理放缩，使不等式得以证明．熟悉幂函数和指数函数的性质，并会灵活运用是解题关键．例6（2008年北京大学自主招生）实数(1i i a b i =、满足123a a a b b b++=++，122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤.求证：123123max(,,)max(,,)a a a b b b ≤．【回顾】本题是一道难度较大的试题，利用反证法，构造函数，来完成证明需要相当的技巧，平时应多加强这方面的练习．巩固提升一、选择题1.（2010年复旦大学自主招生）设实数0x y >、,且满足2x+y=5，则函数2(,)22f x y x x y x y=+++的最大值是（A ）978；（B ）19516；（C ）494；（D ）252.2.（2008年复旦大学自主招生）已知一个三角形的面积为14，且它的外接圆半径为1，a b c 、、分别是该三角形的三边长，若111,u v a b c=++=u 和v 的关系是（A ）u>v; (B)u=v ； (C)u<v; (D)不能确定.3.（2009年复旦大学自主招生）若1,01,x y a b >><<<则下列各式中一定成立的是（A ）a b x y >；（B ）a b x y <；（C ）xya b >；（D ）xya b <.4.（2009年复旦大学自主招生）设0,x y z >>>且有12,x y z y z ++=则422log log log x y z ++的最大值是（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6.5.（2009年复旦大学自主招生）若实数x 满足：对任意正数0,a >均有21.x a <+则x 的取值范围是（A ）（-1,1）；（B ）[]1,1-；（C ）(；（D ）不能确定. 6. （2009年复旦大学自主招生）设实数0,,,bc ca aba b c a b c≠、、且成等差数列，则下列不等式一定成立的是（A ）b ac ≤；（B ）2b ac ≥；（C ）222a b c ≤≤；（D ）2a cb +≤. 7. （2007年复旦大学自主招生）当a b 和取遍所有实数时，函数22(,)(53cos )(2sin )f a b a b a b =+-+-所能取到的最小值为（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4.8.（2007年武汉大学自主招生）已知函数2,0;(),0,x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩不等式()20f x +>的解集为（A ）(-∞；（B ）(,-∞；（C ）（-2,2）；（D ）(-.9.（2006年复旦大学自主招生）下列不等式正确的是（A）12011617k =<<；（B）12011819k =<<；（C）1202021k =<<；（D）1202223k =<<.10.（2007年全国数学联赛一试）若实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（A ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（C ）11,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（D ）[]3,3-.二、填空题11．（2008年南开大学自主招生）已知正数a b c 、、满足：26a ab ac bc +++=+，则32a b c ++的最小值是______________.12．（2008年南开大学自主招生）若对任意实数x 都有1()log (2)1,x a f x e -=+≤-则实数x 的取值范围是______________.13．（2006年武汉大学自主招生）已知不等式2236961x px x x ++-<≤-+对任意实数x 恒成立，则p=______________.14．（2004年上海交通大学自主招生）已知x y z 、、是非负整数，且10x y z ++=，2330x y z ++=，则53x y z ++值是______________.三、解答题15．（2009年清华大学自主招生）已知0x y z >、、，a b c 、、是x y z 、、的一个排列．求证：3a b cx y z++≥． 16．（2006年清华大学自主招生）已知a b 、为非负实数，44, 1.M a b a b =++=．求M 的最值． 17．（2008年南开大学自主招生）设a b c 、、为正数，且1a b c ++=．求222111()()()a b c a b c+++++的最小值．18．（2008年浙江大学自主招生）已知0,0a b >>.求证：111...2a b a b a nb+++<+++19．（2007年浙江省高中数学竞赛）设正实数a b c 、、及非负实数x y 、满足条件：666223,(1) 2.a b c x y ++=++≤求332332332111222I a x b y b x c y c x a y =+++++的最小值，并给出证明．20．已知11,2,...,,i a i n <=其中正整数n ≥2． (1)求证：对于一切的正整数i ，都有22112173i i a a +≥--； (2)求1ni S ==的最小值，其中约定11n a a +=.。

上海七年级数学竞赛讲义：含参不等式(组)

上海数学竞赛讲义—含参不等式知识目标目标一：掌握含参不等式（组）的解法，理解分类讨论的本质原因目标二：掌握已知不等式（组）的解集，求参数的值（或范围）的解法目标三：掌握不等式组整数解问题的解法，理解等号的取舍原则 1．不等式的性质性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ；如果a ＜b ，那么a ±c ＜b ±c ．性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变．如果a ＞b ，并且c ＞0，那么ac ＞bc （或a bc c>）；性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向不变． 2．解一元一次不等式去分母→去括号→移项→合并同类项（化成为ax ＜b 或ax ＞b 的形式）→系数化为1（化成abx a b x ＜或＞的形式）．例如：112x +-＞13x x --解：去分母，得：3（x ＋1）﹣6＞6x ﹣2（x ﹣1）去括号，得： 3x ＋3﹣6＞6x ﹣2x ＋2 移项，得： 3x ﹣6x ＋2x ＞2＋6﹣3 合并同类项，得 ﹣x ＞5 系数化为1，得 x ＜5 3．在数轴上表示不等式的解集不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图x ＞ax ＜ax ≥ax ≤a4．解一元一次不等式组的步骤（1）第一步：求分解．分别解不等式组中的每一个不等式，求出它们的解集；（2）第二步：求公解．将每一个不等式的解集画在同一条数轴上，并确定其公共部分；（3）第三步：写组解．将第二步所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集． 5．解不等式组可以归纳为以下四种情况（表中a ＞b ）不等式图示解集x ax b⎧⎨⎩＞＞x ＞a（同大取大） x ax b ⎧⎨⎩＜＜ x ＜b（同小取小）x ax b ⎧⎨⎩＜＞b ＜x ＜a（大小交叉中间找） x ax b ⎧⎨⎩＞＜无解（大大小小无解了）解一元一次不等式组步骤示例：231135 212x x x x +≤+⎧⎪⎨+->-⎪⎩①②解：解不等式①，得8x ≤解不等式②，得45x >把不等式和的解集在数轴上表示出来（如下图）所以这个不等式组的解集是485x <≤．巩固练习：解不等式（组）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．①12(2)55x x -≤-②5113x x -->（2）解一元一次不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．①3(2)421152x x x x --≥⎧⎪-+⎨<⎪⎩②21315x x -≤≤-模块一：解含参不等式（组）——未知参数的取值范围题型一：解含参不等式——未知参数的取值范围例1：（1）解下列关于x的不等式：①2x＞a－1 ②ax－1＜3③ax≥b ④（a－1）x≤b＋2（2）解关于x的不等式253mx-－322x+≤1．（3）解关于x的不等式2mx＋3＜3x＋n．练：解关于x的不等式3x＋2≥a（x－1）．题型二：解含参不等式组——依据数轴分类讨论例2：解关于x的不等式组：2 3262(1)11x a xx x+⎧-⎪⎨⎪+-⎩＞＞练：求关于x 的不等式组：01223x a x x x -<⎧⎪-+⎨+<⎪⎩的解集．拓：解关于x 的不等式组：(2)39(1)98a x x a x ax ->-⎧⎨+>+⎩模块二：求参数的值或范围——已知不等式（组）的解集题型一：求参数的值——已知不等式的解集例3：关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，求m 的平方根．练：关于x 的不等式组2223xa xb ⎧+≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为0≤x ＜1，求a ＋b 的值．例4：已知关于x 的不等式（4a －3b ）x ＞2b －a 的解集为x ＜49，求ax ＞b 的解集．练：（武昌区2015－2016七下期末）已知关于x 的不等式（2a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集为x ＜107，求关于x 的不等式bx ＞b －a 的解集为（）A ．x ＞－2B ．x ＜3C ．x ＜－23D ．x ＞－32题型二：求参数的范围——已知不等式组的解集例5：（1）若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ＞a的解集是x ＞3，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ≥a的解集是x ＞3，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ＞a的解集是x ≥3，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ≥a的解集是x ≥3，则a 的取值范围是_________．（2）若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ＜a无解，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ＞3x ≤a无解，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ＜a无解，则a 的取值范围是_________．若不等式组⎩⎨⎧x ≥3x ≤a无解，则a 的取值范围是_________．练：（1）不等式组9511x x x m 的解集是x ＞2，求m 的取值范围．（2）若不等式组121x m x m 无解，求m 的取值范围．（3）已知关于x的不等式组21xxx a的解集为－1＜x＜2，求a取值范围．拓：若不等式2x＜4的解集使关于x的一次不等式（a－1）x＜a＋5恒成立，求a的取值范围．题型三：整数解问题例6：（1）已知关于x的不等式组321x ax的整数解只有四个，求a的取值范围．（2）已知关于x的不等式组2233244xx ax的整数解只有五个，求a 的取值范围．练：已知关于x的不等式组320x ax的整数解只有六个，求a的取值范围．【疯狂训练】（1）（汉阳区2015－2016七下期末）若不等式组1911123x ax x 有解，则实数a 的取值范围是（）． A ．a ＜－36 B ．a ≤－36 C ．a ＞－36 D ．a ≥－36（2）（外校2015－2016七下期末）若不等式组841x x x m的解集是x ＞3，则m 的取值范围是（）．A ．m ≥3B ．m ＝3C ．m ≤3D ．m ＜3（3）（江汉区2015－2016七下期末）已知a 、b 为常数，若ax ＋b ＞0的解集为23x ，则bx －a ＜0的解集是．（4）（武昌区2015－2016七下期末）已知关于x 的不等式组30217x a x 的所有整数解的和为－7，则a 的取值范围是．拓：解关于x 的不等式：①215x ②21x③123x ④143x x第6讲：含参不等式（组）【课后作业】1．若关于x 的不等式2(1)20a x a --+>的解集为2x <，求a 的值．2．不等式组3x x a ≥-⎧⎨>⎩的解集为3x ≥-,求a 的取值范围．3．己知关于x 的不等式组2012x m x +>⎧⎨-<⎩有四个整数解,求m 的取值范围．4．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有五个整数解,求a 的取值范围．5．解关于x 的不等式:（1）235ax x +≥+ （2）(1)2a x x ->-6．（梅苑中学2015－2016七下期中）在平面直角坐标系中, △ABC 的三个顶点A （－1,0）,B （－5,0）,C （－3,4）, 点P （0,m ）为y 轴上一动点．若△ABC 的面积大于△ABP 的面积, 求m 的取值范围．。

最常用二级结论：不等式(附二级结论的应用)

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a是非负实数，则12na a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ== 变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当n b b b === 21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。