新北师大版初中九年级数学下册3.8 圆内接正多边形强化练习
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定5．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为________．知识点2正多边形的画法6．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形7．用尺规作图(不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹)．(1)如图3－8－2，已知正五边形ABCDE，求作它的中心O；(2)如图3－8－3，已知⊙O，求作⊙O的内接正八边形．3－8－23－8－38．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA .∵OA 2＝AB 2＋OB 2， ∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2，解得OA ＝2.故选B. 2．C 3.A4．B [解析] 设正多边形的边数为n ，则正多边形的中心角为360°n ，正多边形的一个外角等于360°n ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm [解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等． 6．D7．解：(1)如图，点O 即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH 即为所求．8．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝2×sin30°＝1； 如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2×sin45°＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝2×cos30°＝ 3. 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90° 72° (3)∠MON ＝360°n.。
九年级数学下册第三章圆3.8圆内接正多边形作业设计(新版)北师大版
九年级数学下册第三章圆3.8圆内接正多边形作业设计（新版）北师大版3.8 圆内接正多边形一、选择题1．若正六边形的边心距是，则它的边长是（）A．1 B．2 C．2 D．32．下列正多边形的中心角等于内角的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2-r2=a2 B．a=2R sin 36° C．a=2r tan 36° D．r=R cos 36°4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定5．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正七边形6．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A． B． C． D．二、填空题7．若一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为________．8．如图，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．9．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．三、解答题10．用尺规作图（不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）．（1）如图①，已知正五边形ABCDE，求作它的中心O；（2）如图②，已知⊙O，求作⊙O的内接正八边形．①②11．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON．（1）求图①中∠MON的度数；（2）图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；（3）试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系（直接写出答案）．参考答案一、1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A二、7．5 cm 8．10 cm 9．a=c=b三、10．解：（1）如图①，点O即为所求．（2）如图②，八边形ABCDEFGH即为所求．①②11．解：（1）（方法一）如图①，连接OB，OC．∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°．又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°．（方法二）如图②，连接OA，OB．∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB=BC，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°．∵BM=CN，∴AM=BN．又∵OA=OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM=∠BON，∴∠MON=∠AOB=120°．（2）90°；72°．（3）∠MON=．①②。
九年级数学下册 第3章 圆 3.8 圆内接正多边形同步测试 (新版)北师大版
《圆内接正多边形》分层练习◆基础题1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定2．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：33）A．1 B．2 C．D．4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB的面积为（）A．6 B．C．12 D．5．正八边形的中心角等于度．6．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．7．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为cm2．8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG= °．9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB，求⊙O的半径．10．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．◆能力题1．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A B．C D．2．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”（用圆内接正多边形的周长代替圆周长），来计算圆周率π的近似值．他从正六边形算起，一直算到正24576边形，将圆周率精确到小数后七位，在世界上领先一千多年．根据这个办法，由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是（）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.144．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．6．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．7．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．8．（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：AB=AC．◆提升题1．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE2．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何（）A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A3．小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形，然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案，他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是分米2．4．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．已知长宽分别为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的最小值是cm．5．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、A E．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．6．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO= （用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n，正多边形的一个外角等于360 n ︒，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．2．【答案】A解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴AD=3OD，∴AD：OA：OD=3：2：1．3．【答案】B，∴OB AB=12OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（12OA）2+2，解得OA=2．4．【答案】C解：如图，连接OA；取AC的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=12OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角=36012︒=30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB∴AF；在△AOF中，由勾股定理得：2R==；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=12OD=1，112OCDS OC DE∆=⋅=，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．5．【答案】45解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°．6．【答案】cm解：设正多边形的中心是O ，其一边是AB ，∴∠AOB =∠BOC =60°，∴OA =OB =AB =OC =BC ，∴四边形ABCO 是菱形，∵AB =6cm ，∠AOB =60°，∴cos ∠BAC =AMAB，∴AM =6cm ），∵OA =OC ，且∠AOB =∠BOC ，∴AM =MC =12AC ，∴AC =2AM （cm ）．7．【答案】24解：连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：()821808-⨯︒=135°，∴∠HGM =45°，∴MH =MG ，设MH =MG =x ，则HG =AH =AB =GF ，∴BG ×GF =2+1）x 2=12，∴四边形ABGH 面积=12（AH +BG ）×HM =+1）x 2=6，∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm 2）．8．【答案】45°解：设正八边形ABCDEFGH 的外接圆为⊙O ；∵正八边形ABCDEFGH 的各边相等，∴18AH GH ==圆周长，∴AHG 的度数为23608⨯︒=90°，∴圆周角∠ACG =190452⨯︒=︒．9．解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接BO ，∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴点O 即是三角形内心也是外心，∴∠OBD =30°，BD =CD =12BC =12AB∴cos 30°=2BD BO BO ==，解得：BO =2，即⊙O 的半径为2cm ．10．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF 中，AB =BC ，∠ABC =∠C =120°，在△ABG 与△BCH 中120AB BCABC C BG CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BCH ；（2）解：由（1）知：△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG =∠HBC ，∴∠BPG =∠ABG =120°，∴∠APH =∠BPG =120°． ◆ 能力题1．【答案】B解：延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点E ．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE =4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离则△BCE 的边EC，△ACE 边EC，则S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC =12×42．【答案】B解：360°÷n =()2180n n-⨯︒．故这个正多边形的边数为4．3．【答案】B解：由题意n =6时，π≈62l rd r==3． 4．【答案】52tan α解：如图所示：∵正n 边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD =52tan α．5．【答案】12解：连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB =3606︒=60°，∠AOC =3604︒=90°，∴∠BOC =30°，∴n =36030︒=12．6．【答案】72°解：连接OA 、OB 、OC ，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠AOB =∠BOC =72°，∵OA =OB ，OB =OC ，∴∠OBA =∠OCB =54°，在△OBP 和△OCQ 中，OB OCOBP OCQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBP ≌△OCQ ，∴∠BOP =∠COQ ，∵∠AOB =∠AOP +∠BOP ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠BOP =∠QOC ，∵∠POQ =∠BOP +∠BOQ ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠POQ =∠BOC =72°．7．（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB =BC =CD =DE =EF =FA ，∠A =∠ABC =∠C =∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，AB DE A D AP DQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．8．（1）解：连接OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠O=3606︒=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4；（2）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=12BC=5，∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AB=AC．◆提升题1．【答案】B解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴C E D ED E E F，∴DE2=EF•CE，故D选项正确．2．【答案】A解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．3．【答案】2解：设O是原正六边形的中心，连接AO，FO，MO，设FO与AE交于点Q，AO与BE交于P，∵一个面积为6分米2的正六边形，连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案，∴∠AOF=16×360°=60°，S△AOF=16×6=1（分米2），∴△OAF是等边三角形，∵AB=AF，∴OA⊥BF，∴AP=OP，∴AM=OM，同理：OF⊥AE，OQ=FQ，∴OM=FM，∴点M是△AOF的外心，∴S△OAM=13S△AOF=13（分米2），∴S△OPM=12S△OAM=16（分米2），∴中间的正六边形的面积是：12×S△OPM=2（分米2）．4．【答案】2解：如图：矩形ABCD 中AB =1，BC =2，则覆盖ABCD 的两个圆与矩形交于E 、F 两点，由对称性知E 、F 分别是AD 和BC 的中点，则四边形ABFE 、EFCD 是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r =2，两圆心距=1． 5．解：（1）如图1中，连接OA 、OD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，∴∠AED =12∠AOD =45°． （2）如图2中，连接CF 、CE 、CA ，作DH ⊥AE 于H ．∵BF ∥DE ，AB ∥CD ，∴∠ABF =∠CDE ，∵∠CFA =∠AEC =90°，∴∠DEC =∠AFB =135°，∵CD =AB ，∴△CDE ≌△ABF ，∴AF =CE =1，∴AC =AD AC ，∵∠DHE =90°，∴∠HDE =∠HED =45°，∴DH =HE ，设DH =EH =x ，在Rt △ADH 中，∵AD 2=AH 2+DH 2，∴344=（4﹣x ）2+x 2，解得x =32或52，∴DE DH =2或2． 6．解：（1）∵正三角形ABC 的边长为a ，由折叠的性质可知，点O 是三角形的重心，∴CO ； （2）△CDE 为等边三角形；（3）由（2）知△CDE 为等边三角形，∴CD =CE =DE =12CO ÷cos 30°=13a ，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=13a，BG=BF=GF=13a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=13a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．。
3.8 圆内接正多边形课后练习2020-2021学年 北师大版九年级下册数学
第三章圆8.圆内接正多边形课后练习2020-2021学年下学期九年级下册初中数学北师大版一、单选题（共12题）⌢上，则∠P的度数为（）1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在ABA. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 63.已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（）A. 2B. 1C. √3D. √324.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 156.正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为√2，则这个正多边形为（）2A. 正十二边形B. 正六边形C. 正四边形D. 正三角形7.一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A. 3：2B. 1:√3C. 1:√2D. √2:√38.正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（）A. 2 √2B. √2C. 1D. √229.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的直径为2，则该正六边形的周长是（）A. 12B. 6√3C. 6D. 3√310.半径为a的圆的内接正六边形的边心距是（）A. a2B. √2a2C. √3a2D. a11.半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A. √32R2 B. πR2 C. 3√32R2 D. 3√34R212.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH 的长为（）A. √5cmB. 5 √3cmC. 3 √5cmD. 10 √3cm二、填空题（共6题）13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧CD上，则∠BFE的度数为________14.如图，正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，连接HD；若线段HD恰好是⊙O 的一个内接正n边形的一条边，则n=________．15.若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为________.16.数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________.17.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB=3cm，则⊙O的半径为________.18.我国古代数学家刘徽创造的“割圆术”，利用了圆内接正多边形和外切正多边形的面积或周长，无限逼近圆来近似估计圆的面积或周长，从而估算出π的范围.如图1，用圆内接正方形和外切正方形周长可得2 √2<r<4，那么利用图2中的圆内接正六边形和外切正六边形周长可进一步将π的范围缩小到________(结果保留根号)三、综合题（共4题）19.如图，已知圆O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距n，面积S ．20.如图，ABCDE是⊙O的内接正五边形．求证：AE∥BD.21.试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。
北师大版九年级下册3.8圆内接正多边形同步练习题(word无答案)
3.8圆内接正多边形同步练习一、选择题1．⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（）A．：2 B．1：1 C．1：D．：2．半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A．R2B．πR2C．R2D．R2 3．边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a C．D．4．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．5．边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为（）A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．2C．D．47．正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．28．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（）A．2 B．C．4 D．9．边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．10．正六边形的半径为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（）A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．27πcm2 11．如果一个圆的内接正六边形的周长为30cm，那么圆的半径为（）A．6 B．5 C．4 D．312．若正六边形的边长等于4，则它的边心距等于（）A．4 B．2 C．2D．13．若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（）A．9πB．10πC．12πD．15π14．如图，⊙O的内接正六边形的面积为6cm2，则⊙O的周长为（）A．πcm B．B2πcm C．4πcm D．8πcm二、填空题15．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为．16.如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）三、解答题17．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．18．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．。
九年级下第三章圆8圆内接正多边形习题新版北师大版
11．由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的 __圆__心__角___就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
12．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆
规不能作出的正多边形是( D )
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正七边形
13．【教材P98读一读变式】【中考·兰州】如图，已知⊙O， 用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD(写出结论，不写作 法，保留作图痕迹)．
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度 沿AF，DC向终点F，C运动， ∴AP＝DQ＝t cm，PF＝QC＝(6－t)cm. 在△ABP和△DEQ中， A∠BA＝＝D∠ED，， AP＝DQ， ∴△ABP≌△DEQ(SAS)．∴BP＝EQ.
同理可证PE＝QB，∴四边形PBQE为平行四边形．
5．【2021·赤峰】如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺
帽时，扳手张开的开口b＝20 mm，则边长a＝ 20 3 ___3_____mm.
6．【中考·衢州】如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，
可得边长为2的正六边形，则原来的纸条宽为( C )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
7．【2020·凉山州】如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都 内接于⊙O，则AD∶AB＝( )
解：如图，四边形ABCD即为所求．
14．【2021·上海】六个带30度角的直角三角尺拼成一个正
六边形，直角三角尺的最短边为1，则中间正六边形的面 积为__3_2_3____．
15．【中考·镇江】在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC
＝78°，AC＝10，小霞用5张这样的三角形纸片拼成
了一个内外都是正五边形的图形(如图②)．
九下第3章圆8圆内接正多边形作业新版北师大版
【点拨】 连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝
60°，进而可求出∠COG＝30°.根据圆的周长求出圆的半 径，进而求出CG，然后在Rt△OCG中利用勾股定理求出 OG.
【点方法】 设圆的半径为 R，则正三角形的边心距为12R.正方形
的边心距为 22R，正六边形的边心距为 23R. 【答案】C
【点拨】
连接OA，OC，OE，易得S△ABC＝S△AEF＝S△CDE＝ S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
9 如图，正六边形ABCDEF外接圆的半径为4，则其内 切圆的半径是___2__3___．
【点拨】 过点 O 作 OG⊥AB 于 G，连接 OA，OB，如图所示，
则 OG 为正六边形内切圆的半径，易得△OAB 是等边三角形，
北师版 九年级下
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
习题链接
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1B 2A 3B 4C
5A 6 7D 82
答案呈现
9 10 11 12
1 [2023·临沂]将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图
形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60°
B．90°
C．180°
D．360°
【点拨】 由于正六边形的中心角为3660°＝60°，所以正六边形绕
【点拨】
连接P4P5，P5P6.∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4 ＝ P4P5 ＝ P5P6 ＝ P6P7 ， P1P7 ＝ P1P3 ＝ P4P6. ∴ b － a ＝ P3P4 ＋ P7P6－P1P3.∵P5P4＋P5P6＞P4P6，∴P3P4＋P7P6＞P1P3.∴b－ a＞0.∴a＜b.
3
∴BD＝2－AB＝ 3－1.∴BE＝BD＋DE＝ 3. 易得 MN＝BE＝ 3.∴ON＝OM＋MN＝2 3. ∴中间正六边形的中心到直线 l 的距离为 2 3.
北师大版九年级下册数学 3.8 圆内接正多边形 同步习题
3.8 圆内接正多边形同步习题一．选择题1．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．B．C．D．2．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，CE相交于点F，则∠BFC的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．90°3．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（）A．2B．1C．D．4．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．155．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．6．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°7．如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB（图中阴影部分）的面积为（）A．πB．C．3πD．8．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB ＝，则EG的长为（）A．2B．2C．3D．2二．填空题11．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）．12．用两条宽均为2cm的纸条（假设纸条的长度足够长），折叠穿插，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正六边形ABCDEF，则折出的正六边形的边长为cm．13．同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为．。
北师大九年级下《3.8圆内接正多边形》课时练习含答案解析
北师大版数学九年级下册第3章第8节圆内接正多边形同步检测一、选择题1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴360°n =36°，解得n=10．故选A．分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形答案：B解析：解答：设正边形的边数是n．根据题意得：180-360360n n，解得：n=4．故选B．分析：设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值3.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．8√3cm B．4√3cm C．8cm D．4cm答案：A解析：解答：如图所示：∵半径为8cm的圆的内接正三角形，∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB= √32×8=4√3（cm），∵BD=CD，∴BC=2BD=8√3cm．故它的内接正三角形的边长为8√3cm．故选：A．分析：欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．4.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（）A．a=2rsin36° B．a=2rcos36° C．a=rsin36° D．a=2rsin72°答案：A解析：解答：作OF⊥BC．∵∠COF=72°÷2=36°，∴CF=r•sin36°，∴CB=2rsin36°．故选A．分析：作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长．5.正八边形的中心角是（）A．45° B．135° C．360° D．1080°答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．分析：根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．6.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（）A．△ACE是等边三角形B．既是轴对称图形也是中心对称图形C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDCD．图中一共能画出3条对称轴答案：B解析：解答： A.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．故选B．分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．7.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B．60° C．90° D．120°答案：B解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为360 ÷60 =6，其中心角为360° ÷6 =60°．故选B．分析：根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A．3 B．2√2 C．3√2 D．6答案：C解析：解答：如图所示：⊙O的半径为3，∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=2×3=6，AB BC AC，AB=BC，∵222∴22AB BC=36，解得：AB=3√2，即⊙O的内接正方形的边长等于3√2，故选C．分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可．9.如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，AB的长度是（）A．6πcm B．8πcm C．36πcm D．96πcm答案：B解析：解答：连接OB、OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6 =60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OB=AB=24cm，∴60248 180ππ故选B分析：连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和∠AOB度数，根据弧长公式求出即可．A．2 B．1 C．√3 D．2√3答案：C解析：解答：已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，如图：连接OA，作OM⊥AB于点M，得到∠AOM=30°，则OM=OA•cos30°=√3．则正六边形的边心距是√3．故选C．分析：根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．11.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3√3 B．9√3 C．18√3 D．36√3答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2√3，高为3，因而等边三角形的面积是3√3，∴正六边形的面积=18√3，故选C．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．12.已知某个正多边形的内切圆的半径是√3，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（）A．八 B．六 C．四 D．三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22−(√3)2=1，∴正多边形的边长为2，∴正多边形的中心角为60°，∴此正多边形是正六边形，故选B．分析：根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．13.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（）A．1：2 B．1：√ 3 C．√3：1 D．2：12答案：D解析：解答：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴OA：OD=2：1．故选D．分析：先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．14、已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．23 B．33 C．43 D．63答案：B解析：解答：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD3∴BC3，∴△ABC的面积=12BC•AD=12×23×3=33；故选：B．分析：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=12BC•AD，即可得出结果．15.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°答案：B解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=12×（180°-150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED=(180°−120°)÷ 2 =30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故选B分析：根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA，∠AED，据此即可解答．二、填空题16.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是 .答案：正七边形解析：解答：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形．故答案为：正七边形．分析：利用直尺和圆规可以将圆等分为6份、4份，这样即可得出正三角形、正方形、正六边形等，但是无法得到正七边形．17.一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，则边心距是 .答案：8cm解析：解答：∵一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，∴设边心距是hcm，则12×60×h=240，解得：h=8（cm），即边心距为8cm.分析：根据正n边形的面积=12周长×边心距，进而得出答案．18.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是 . 答案：√3：2．解析：解答：∵一个正多边形的一个外角为60°，∴360°÷60°=6，∴这个正多边形是正六边形，设这个正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是32r，∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是：3：2．分析：由一个正多边形的一个外角为60°，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．19.如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为答案：33 2解析：解答：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=1，∴EO=sin60°×1=3 2，∴S△AOB=12×EO×AB=34，∴⊙O的内接六边形的面积为：6×34=332．分析：利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出△AOB的面积，进而得出答案．20.人民币1993年版的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果设这个正九边形的半径为R，那么它的周长是 .答案：18Rsin20°解析：解答：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OA=OB=R，∵九边形ABCDEFGHI是正九边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI，∠AOB=360°÷9 =40°，在△AOM中，sin∠AOM=AM OA，AM=OAsin20°=Rsin20°，∵OA=OB，OM⊥AB，∴AB=2AM=2Rsin20°，即正九边形的周长是9×2Rsin20°=18Rsin20°.分析：连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，根据正九边形得出AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,∠AOB=40，在△AOM中求出AM=OAsin20°=Rsin20°，根据三线合一定理得出AB=2AM=2Rsin20°，即可求出正九边形的周长．三、证明、计算题21.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O 于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．答案：见解析解析：解答：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，̂=AF̂=BÊ=BĈ=FĈ，∴AE∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCD为正五边形．分析：要求证五边形AEBCD是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可．22.如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．答案：√2解析：解答：如图，设大正方形的边长为1，则HF=1，则S正方形ABCD=1，S正方形EFGH=2S△HGF=2×1×（1÷2）÷2=0.5，∵正方形ABCD∽正方形EFGH，∴AB：EF=√2:1=√2．分析：设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积=边长×边长”求出大正方形的面积，从而得出△HGF的面积：1×（1÷2）÷2=0.25，即可得出正方形EFGH的面积：0.25×2=0.5，再根据相似得出边之比．23.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．答案：(1)略；(2)120°解析：解答：（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，BG＝CH，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．分析：（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．24.如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？答案：63cm解析：解答：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=AM :AB，∴AM=6×33（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=12 AC，∴AC=2AM3cm）．扳手张开的开口b至少为3.分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．25.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．答案：(1)45°；(2)8√2解析：解答：：（1）连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，ssssss∴∠P=12∠BOC=45°；（2）过点O作OE⊥BC于点E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE23242 2OB∴BC=2BE=2×4282分析：（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，△BOC是等腰直角三角形，根据∠BOC=90°，由圆周角定理可以求出；（2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．。
北师大版九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形 同步训练题(有答案)
3.8圆内接正多边形班级姓名【基础演练】1．下列说法错误的是( )A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等2．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形，你认为正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．中心角为30°的圆内接正n边形的n等于( )A．10 B．12 C．14 D．154．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( )A. 3 B．2 C．3 D．2 35．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝( )A．30°B．35° C．45° D．60°第5题第6题6．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于( )A．30° B．45° C．55° D．60°7．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A．6，3 2 B．32，3C．6，3 D．62，3 28．如图，人民币的一角硬币正面图案中有一个圆内接正九边形，如果这个圆内接正九边形的半径是R，那么它的边长是( )A．Rsin20° B．Rsin40° C．2Rsin20° D．2Rsin40°第8题第9题9．如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )A．6 2 mm B．12 mm C．6 3 mm D．4 3 mm10．半径为1的圆内接正三角形的边心距为____________．11．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于____________(结果保留根号)．12．若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积．(结果保留根号)【能力提升】 13．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点M 为BC 中点，点N 为DE 中点，则∠MON 的大小为( )A ．108°B ．144°C ．150°D ．166°第13题 第14题 第15题14．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB 交⊙O 于C ，则下列结论错误的是( )A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵ D ．∠BAC ＝30°15．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S 阴影S 空白＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．616．如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为( )A ．2 3B ．4 C.13 D.11第16题 第17 题 第18题17．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为____________．18．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的内接正三角形ACE 的面积为483，试求正六边形的周长．【拓展培优】19．如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案)．参考答案【基础演练】1．C 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10.1211．1＋ 2 12．如图，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D.∵∠AOB ＝360°÷6＝60°，OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形．∵正六边形的周长为24，∴AB ＝4.∵OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝30°，AD ＝2.在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得OD ＝2 3.∴S △AOB ＝12×4×23＝4 3.∴S 正六边形＝6×43＝24 3.【能力提升】13．B 14.D 15.C 16.C 17.2 618．连接OA ，作OH ⊥AE 于点H ，则∠OAH ＝30°，在Rt △OAH 中，设OA ＝R ，则OH ＝12R ，由勾股定理，得AH ＝OA2－OH2＝R2－（12R ）2＝32R ，∴334R2＝483，∴R ＝8.即正六边形的边长为8，周长为48.【拓展培优】19．(1)连接OA ，OB.∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°.∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN.∴△AOM ≌△BON(SAS)．∴∠AOM ＝∠BON.∴∠AOM ＋∠BOM ＝∠BON ＋∠BOM.∴∠AOB ＝∠MON ＝120°.(2)90° 72°(3)∠MON ＝360°n.。
九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形练习北师大版
13.8 圆内接正多边形1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ． (2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．B ．C ．D ．4.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为，则⊙O 的半径为______________________．第5题图 第6题图6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．E A9．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E．求证：五边形ABCDE是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
(1)求图10－1中∠APN的度数；(2)图10－2中，∠APN的度数是_______，图10－3中∠APN的度数是________。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°图3－8－23－8－38．[2019·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形ABCDEFG …的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON 的度数；(2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA . ∵OA 2＝AB 2＋OB 2，∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2， 解得OA ＝2.故选B.2．C 3.A4．B[解析] 设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360°n，正多边形的一个外角等于360°n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm[解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等．6．D7．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH即为所求．8．A[解析] 如图①，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图②，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；如图③，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝ 3.则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝2 2.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。
九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形能力提升 (新版)北师大版
圆内接正多边形能力提升1.(2015湖北随州中考)如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是()A.R2-r2=a2B.a=2R sin 36°C.a=2r tan 36°D.r=R cos 36°2.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16 cm2,则该半圆的半径为()A.(4+) cmB.9 cmC.4 cmD.6 cm3.(2015四川达州中考)已知正六边形ABCDEF的边心距为,则正六边形的半径为.4.如图,正六边形内接于☉O,☉O的半径为10,则圆中阴影部分的面积为.5.如图,点M,N分别是正八边形相邻两边AB,BC上的点,且AM=BN,则∠MON=.(第4题图)(第5题图)6.如图,四边形ABCD内接于大圆O,且各边与小圆相切于点E,F,G,H.求证:四边形ABCD是正方形.7.如图,已知边长为1的圆内接正方形ABCD中,P为边CD的中点,直线AP交圆于点E.(1)求弦DE的长;(2)若Q是线段BC上一动点,当BQ长为何值时,三角形ADP与以Q,C,P为顶点的三角形相似.创新应用8.如图,正六边形的螺帽的边长a=12 mm,用它来固定航天飞机的某个部位,现在宇航员要将其加固拧紧,选择的这个扳手的开口b最小应是多少?请结合下面右图算一算.参考答案1.A2.C3.24.100π-1505.45°6.证明:如图,连接OE,OF,OG,OH,OB.∵四边形ABCD的边AB,BC与小圆分别切于点E,F,∴OE=OF,且OE⊥AB,OF⊥BC.在Rt△BOE和Rt△BOF中,∠OEB=∠OFB=90°,OE=OF,OB=OB, ∴Rt△BOE≌Rt△BOF,∴BE=BF.由垂径定理,得BE=AB,BF=BC,∴AB=BC.同理AB=BC=CD=DA.∴A,B,C,D是大圆O的四等分点.∴四边形ABCD是正方形.7.解:(1)如图①,过点D作DF⊥AE于点F.在Rt△ADP中,AP=.又S△ADP=AD·DP=AP·DF,∴DF=.∵的度数为90°,∴∠DEA=45°.∴DE=DF=.(2)如图②,当Rt△ADP∽Rt△QCP时,有,得QC=1.即点Q与点B重合,∴BQ=0.如图③,当Rt△ADP∽Rt△PCQ时,有,解得QC=,即BQ=BC-CQ=.∴当BQ=0或BQ=时,△ADP与以点Q,C,P为顶点的三角形相似.8.解:易得b=2OG.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB=12 mm.∵OG⊥AB,∴AG=BG=AB=6(mm),∴OG==6(mm),∴b=2OG=12(mm).即扳手的开口b最小应是12 mm.。
北师大版九年级数学下册第三章圆第8节圆内接正多边形课后练习
第三章圆第8节圆内接正多边形课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD⊙BC，BD平分⊙ABC，⊙A＝130°，则⊙BDC 的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．115°2．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．38B．34C．24D．283．如图，在⊙O中，已知⊙OAB=22.5°，则⊙C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°4．如图，O是ABC的内切圆，切点分别是D、DF，连接DF EF OD OE、、、，若100,30A C∠=∠=，则DFE∠的度数是()A．55B．60C．65D．705．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A．12 mm B．123mm6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙BOD=88°，则⊙BCD的度数是A．88°B．92°C．106°D．136°8．如图所示，在⊙O中，OA＝AB，OC⊙AB，则下列结论正确的是⊙AB的长等于圆内接正六边形的边长⊙弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长⊙弧AC=弧CB⊙⊙BAC=30°A．⊙⊙⊙B．⊙⊙⊙C．⊙⊙⊙D．⊙⊙⊙9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则CPD∠的度数为（）A．30B．36︒C．60︒D．72︒10．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，⊙CAD=100°，则⊙B的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°评卷人得分二、填空题11．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则⊙CBF的度数为_____．13．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么⊙ADC的度数是__________________.14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙C=130°，求⊙BOD=___°．15．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，⊙C=130°，则⊙ADB的度数为____．16．如图，已知O为四边形ABCD的外接圆，若0120BCD∠=，则BOD∠度数为_____________．17．圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为____．18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙B＝135°，则⊙AOC的度数为_____．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若⊙ADC=130°，则⊙AOC的大小为______度．20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙CBE是它的一个外角，若⊙D=80°，则⊙CBE的度数是_________°．评卷人得分三、解答题21．如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊙AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊙AC于点F，交CE于点G，连接BE．（1）求证：BE=BG；（2）过点B作BH⊙AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH=4，AC=27，求CE的长．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙ABC=130°，求⊙OAC的度数．23．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.（⊙）如图⊙，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小；（⊙）如图⊙，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.24．如图，半径为R 的圆内，ABCDEF 是正六边形，EFGH 是正方形．（1）求正六边形与正方形的面积比；（2）连接OF ，OG ，求⊙OGF ．25．如图，⊙O过⊙ABCD的三顶点A、D、C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H，射线AD交边CD于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且⊙PCD=2⊙DAF．（1）求证：⊙ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是⊙O的切线；（3）若AB=2，AD=，求⊙O的半径．26．(1)方法选择==．求证：如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，AB BC AC=+.BD AD CD小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM AD=，连接AM…=…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD请你选择一种方法证明．(2)类比探究【探究1】如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．AB AC【探究2】如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，ABC∠=︒，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．30(3)拓展猜想如图⊙，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是______．::::BC AC AB a b c参考答案：1．B【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得出⊙C的度数，进而利用平行线的性质得出⊙ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．【详解】⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙A=130°，⊙⊙C=180°-130°=50°，⊙AD⊙BC，⊙⊙ABC=180°-⊙A=50°，⊙BD平分⊙ABC，⊙⊙DBC=25°，⊙⊙BDC=180°-25°-50°=105°，故选B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出⊙C的度数．2．D【解析】【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【详解】如图1，⊙OC=1，⊙OD=1×sin30°=12；如图2，⊙OB=1，⊙OE=1×sin45°=22；如图3，⊙OA=1，⊙OD=1×cos30°=32，则该三角形的三边分别为：12、22、32，⊙（12）2+（22）2=（32）2，⊙该三角形是以12、22为直角边，32为斜边的直角三角形，⊙该三角形的面积是11222228⨯⨯=，故选D．【点睛】考查正多边形的外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键．3．D【解析】【详解】分析：⊙OA=OB，⊙⊙OAB=⊙OBC=22.5°．⊙⊙AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．如图，在⊙O取点D，使点D与点O在AB的同侧．则1D AOB67.52∠=∠=︒．⊙⊙C与⊙D是圆内接四边形的对角，⊙⊙C=180°﹣⊙D =112.5°．故选D．4．C【解析】【分析】由已知中⊙A＝100°，⊙C＝30°，根据三角形内角和定理，可得⊙B的大小，结合切线的性质，可得⊙DOE的度数，再由圆周角定理即可得到⊙DFE的度数．【详解】解：⊙B＝180°−⊙A−⊙C＝180−100°−30°＝50°⊙BDO＋⊙BEO＝180°⊙B、D、O、E四点共圆⊙⊙DOE＝180°−⊙B＝180°−50°＝130°又⊙⊙DFE是圆周角，⊙DOE是圆心角⊙DFE＝12⊙DOE＝65°故选：C．【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E 四点共圆，进而求出⊙DOE的度数是解答本题的关键．5．A【解析】【详解】试题解析：已知圆内接半径r为12mm，则OB=12，⊙BD=OB•sin30°=12×12=6，则BC=2×6=12，可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．故选A．6．A【解析】【分析】根据正六边形的内角和求得⊙BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】⊙在正六边形ABCDEF中，⊙BCD＝(62)1806-⨯＝120°，BC＝CD，⊙⊙CBD＝12（180°﹣120°）＝30°，故选A．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．7．D【解析】【分析】首先根据⊙BOD=88°，应用圆周角定理，求出⊙BAD的度数；然后根据圆内接四边形的性质，可得⊙BAD+⊙BCD=180°，据此求出⊙BCD的度数【详解】由圆周角定理可得⊙BAD=12⊙BOD=44°，根据圆内接四边形对角互补可得⊙BCD=180°-⊙BAD=180°-44°=136°，故答案选D．考点：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．8．D【解析】【分析】首先由垂径定理确定⊙正确，再由在⊙O 中，OA=AB ，确定△OAB 是等边三角形，即可得到⊙AOB=60°，得到⊙正确，又由垂径定理，求得⊙AOC=30°，得到⊙正确，根据同弧所对圆周角等于其对圆心角的一半，即可求得⊙BAC=15°，则问题得解．【详解】解：⊙在⊙O 中，OC⊙AB ，⊙弧AC=弧BC ，故⊙正确；12AOC BOC AOB ∠=∠=∠, ⊙OA=OB ，OA=AB ，⊙OA=OB=AB ，⊙⊙AOB=60°，⊙弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长，故⊙正确；1302AOC BOC AOB ∠=∠=∠=︒ ⊙弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长，故⊙正确；1152BAC BOC ∴∠=∠=︒,故⊙错误. ⊙结论正确的有⊙⊙⊙．故选：D ．9．B【解析】【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接CO 、DO ，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即⊙COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故⊙CPD=172362︒⨯=︒,【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 10．C【解析】【分析】先求出⊙A'=100°，再利用圆内接四边形的性质即可．【详解】如图，翻折△ACD，点A落在A'处，⊙⊙A'=⊙A=100°，⊙四边形A'CBD是⊙O的内接四边形，⊙⊙A'+⊙B=180°，⊙⊙B=80°，故选C．【点睛】折叠问题，主要考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是得出⊙A'=100°．11．34πa2【解析】边长是a,则利用特殊三角形知内切圆半径是32a,233Sπ24a⎛⎫==⎪⎪⎝⎭πa212．18°【解析】【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到⊙COD=3605︒=72°，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】设圆心为O，连接OC，OD，BD．⊙五边形ABCDE为正五边形，⊙⊙COD=3605︒=72°，⊙⊙CBD=12∠COD=36°．⊙F是CD弧的中点，⊙⊙CBF=⊙DBF=12∠CBD=18°．故答案为：18°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．13．135°【解析】【分析】利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得⊙ABC=12⊙AOC=45°；然后由圆内接四边形的对角互补来求⊙ADC的度数．【详解】⊙⊙AOC=90°，⊙AOC=45°，⊙⊙ABC=12又⊙点A、B、C、D共圆，⊙⊙ADC+⊙ABC=180°，⊙⊙ADC=135°．故答案是：135°．14．100°【解析】【详解】试题分析：根据圆内接四边形的性质可得：⊙A=180°－130°=50°，根据圆周角和圆心角的关系可得：⊙BOD=2⊙A=100°.考点：(1)、圆的内接四边形；(2)、圆心角；(3)、圆周角15．40°．【解析】【分析】由AD是直径，可得⊙ABD＝90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，⊙C＝130°，可求得⊙A 的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．【详解】解：⊙AD是直径，⊙⊙ABD＝90°，又⊙ABCD是⊙O的内接四边形，⊙C＝130°，⊙⊙A＝180°﹣130°＝50°，⊙⊙ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．故答案为40°．【点睛】此题考查了圆周角定理以及弧、弦与圆心角的关系，圆内接四边形的性质．注意掌握数形结合思想的应用．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出⊙A，根据圆周角定理计算即可．【详解】⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙⊙A=180°-⊙BCD=60°，由圆周角定理得，⊙BOD=2⊙A=120°，故答案为120°．【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 17．8【解析】【分析】求出正六边形的中心角，连接两个顶点，可得等边三角形，于是可得到正六边形的边长．【详解】连接OA，OB，⊙正六边形，⊙⊙AOB=3606=60°，又OA=OB，⊙⊙AOB是等边三角形，⊙AB=OA=8．故答案为8．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60°，得到等边三角形是正确解答本题的关键；求得中心角的度数是此类题目常用的，比较重要，应注意掌握．【解析】【分析】由圆内接四边形的性质先求得⊙D的度数，然后依据圆周角定理求解即可.【详解】⊙四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙⊙B＋⊙D＝180°，⊙⊙D＝180°－135°＝45°，⊙⊙AOC＝90°，故答案为90°.【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.19．100【解析】【详解】根据圆内接四边形的对角互补，可求得⊙B=180°-⊙ADC=50°，由圆周角定理可求得⊙AOC=2×50°=100°.故答案为100°.20．80【解析】【详解】试题分析：如图连接AC，⊙CBE是∆ABC的外角，所以⊙CBE=⊙CAB+⊙ACB，⊙CAB是BC所对的圆周角，⊙ACB是AB所对的圆周角，由图可知AB+BC=AC，且AC所对的圆周角为⊙D,所以⊙D=⊙CAB+⊙ACB，所以⊙CBE=⊙D=80°【结束】21．（1）见解析；（2）6【解析】（1）利用圆周角定理、等角的余角相等、等角对等边即可解答；（2）连接OB ，OE ，AE ，CH ，利用平行线性质、圆内接四边形性质证出四边形BGCH 是平行四边形，有平行四边形的性质证明OBE ∆是等边三角形，再证明1302BAE BOE ∠=∠=︒. 设DE x =，则AE=2x ，因为BE BG =，AB CD ⊥，所以DG DE x ==，4CD x =+，又因为在Rt ADE ∆中，AD=22AE DE -=3x.在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=，即()()()2223427x x ++=，解得11x =，230x =-<（舍去），所以1DG =，即6CE CG GD DE =++=.【详解】（1）证明：⊙BC BC =，⊙BAC BEC ∠=∠.⊙BF AC ⊥于点F ，CE AB ⊥于点D ，⊙90BFA BDG BDE ∠=∠=∠=︒.⊙ABF ABE ∠=∠，⊙BGD BEC ∠=∠，（等角的余角相等）⊙BE BG =.（2）解：连接OB ，OE ，AE ，CH .⊙BH AB ⊥，⊙90ABH BDE ∠=︒=∠，⊙//BH CD .⊙四边形ABHC 内接于O ，⊙180ACH ABH ∠+∠=︒，⊙90ACH AFB ∠=︒=∠，⊙//BF CH ，⊙四边形BGCH 是平行四边形，⊙4CG BH ==.⊙BE OB OE ==，⊙OBE ∆是等边三角形，⊙60BOE ∠=︒.⊙BE BE =，⊙1302BAE BOE ∠=∠=︒. ⊙90ADE ∠=︒，⊙12DE AE =. 设DE x =，则2AE x =，⊙BE BG =，AB CD ⊥，⊙DG DE x ==，⊙4CD x =+，在Rt ADE ∆中，223AD AE DE x =-=.在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=， 即()()()2223427x x ++=，解得11x =，230x =-<（舍去）， ⊙1DG =，⊙6CE CG GD DE =++=.【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形的判定和性质、含30°角的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质的综合运用，难度较大.22．40°.【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质推出⊙ADC=50°，再根据圆周角定理推出⊙AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出⊙OAC 的度数．【详解】⊙四边形ABCD 内接于⊙O ，⊙⊙ADC+⊙ABC=180°，⊙⊙ABC=130°，⊙⊙ADC=180°﹣⊙ABC=50°，⊙⊙AOC=2⊙ADC=100°．⊙OA=OC ，⊙⊙OAC=⊙OCA ，⊙⊙OAC=12（180°﹣⊙AOC ）=40°． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出⊙AOC 的度数．23．（⊙）；58APD ∠=︒；（⊙）26APD ∠=︒.【解析】【分析】（⊙）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数. （⊙）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.【详解】解：（⊙）连接BD ，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形，⊙BCD BAD 180.∠∠+=︒⊙BCD 148,∠=︒⊙BAD 32.∠=︒又AB 是O 的直径，⊙BDA 90.∠=︒⊙BADABD 90,∠∠+=︒⊙ABD 58.∠=︒⊙APD ABD 58.∠∠==︒（⊙）连接AD,由（⊙）可知：BAD 32,∠=︒又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒⊙DP 切O 于点A,⊙OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒在APD 中，⊙PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒⊙APD 26∠=︒.【点睛】本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.24．（1）正六边形与正方形的面积比33︰2；（2）⊙OGF=15°．【解析】【分析】（1）设正六边形的边长为a ，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出三角形OFG 是正三角形，即可得出答案．【详解】（1）设正六边形的边长为a，则三角形OEF的边EF上的高为32a，则正六边形的面积为：6×12×a×32a=332a2，⊙正方形的面积为：a×a=a2，⊙正六边形与正方形的面积比332a2：a2=33︰2；（2）⊙OF=EF=FG，⊙⊙OGF=12×（180°-60°-90°）=15°．【点睛】本题考查了正多边形和圆，求得三角形的面积是解题的关键．25．(1)见解析；（2）见解析；（3）178．【解析】【分析】（1）要想证明△ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得⊙B=⊙ADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得⊙ADC+⊙AHC=180°，再根据邻补角互补，可知⊙AHC+⊙AHB=180°，从而可以得到⊙ABH和⊙AHB的关系，从而可以证明结论成立；（2）要证直线PC是⊙O的切线，只需要连接OC，证明⊙OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与⊙O相切于点A，可以得到⊙AEC的度数，又⊙PCD=2⊙DAF，⊙DOF=2⊙DAF，⊙COE=⊙DOF，通过转化可以得到⊙OCP的度数，从而可以证明结论；（3）根据题意和（1）（2）可以得到⊙AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=17，可以求得半径的长．【详解】（1）证明：⊙四边形ADCH是圆内接四边形，⊙⊙ADC+⊙AHC=180°，又⊙⊙AHC+⊙AHB=180°，⊙⊙ADC=⊙AHB，⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙⊙ADC=⊙B，⊙⊙AHB=⊙B，⊙AB=AH，⊙⊙ABH是等腰三角形；（2）证明：连接OC，如右图所示，⊙边AB与⊙O相切于点A，⊙BA⊙AF，⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙AB⊙CD，⊙CD⊙AF，又⊙FA经过圆心O，⊙DF CF=，⊙OEC=90°，⊙⊙COF=2⊙DAF，又⊙⊙PCD=2⊙DAF，⊙⊙COF=⊙PCD，⊙⊙COF+⊙OCE=90°，⊙⊙PCD+⊙OCE=90°，即⊙OCP=90°，⊙直线PC是⊙O的切线；（3）⊙四边形ABCD是平行四边形，⊙DC=AB=2，⊙FA⊙CD，⊙DE=CE=1，⊙⊙AED=90°，AD=17，DE=1，⊙AE=22(17)11714-=-=，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=AE﹣OA=4﹣r，⊙⊙OED=90°，DE=1，⊙r2=（4﹣r）2+12,解得，r=，即⊙O的半径是178．考点：1.圆的综合题；2.平行四边形的性质；3.勾股定理；4同弧所对的圆心角和圆周角的关系.26．(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：2BD CD AD =+；【探究2】32BD CD AD =+；(3)拓展猜想：c a BD CD AD b b=+. 【解析】【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到⊙ACB=⊙ABC=60°，如图⊙，在BD 上截取DM=AD ，连接AM ，由圆周角定理得到⊙ADB=⊙ACB=60°，得到AM=AD ，根据全等三角形的性质得到BM=CD ，于是得到结论；（2）类比探究：如图⊙，由BC 是⊙O 的直径，得到⊙BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到⊙ABC=⊙ACB=45°，过A 作AM⊙AD 交BD 于M ，推出△ADM 是等腰直角三角形，求得DM=2AD 根据全等三角形的性质得到结论；【探究2】如图⊙，根据圆周角定理和三角形的内角和得到⊙BAC=90°，⊙ACB=60°，过A 作AM⊙AD 交BD 于M ，求得⊙AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD ，根据相似三角形的性质得到BM=3CD ，于是得到结论；（3）如图⊙，由BC 是⊙O 的直径，得到⊙BAC=90°，过A 作AM⊙AD 交BD 于M ，求得⊙MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=c b CD ，DM=a bAD ，于是得到结论． 【详解】(1)方法选择：⊙AB BC AC ==，⊙60ACB ABC ∠=∠=︒，如图⊙，在BD 上截取=DM AD ，连接AM ，⊙60ADB ACB ∠=∠=︒，⊙ADM ∆是等边三角形，⊙AM AD =，⊙ABM ACD ∠=∠，⊙120AMB ADC ∠=∠=︒，⊙()ABM ACD AAS ∆≅∆，⊙BM CD =，⊙BD BM DM CD AD =+=+；(2)类比探究：如图⊙，⊙BC 是O 的直径，⊙90BAC ∠=︒，⊙AB AC =，⊙45ABC ACB ∠=∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，⊙45ADB ACB ∠=∠=︒，⊙ADM ∆是等腰直角三角形，⊙AM AD =，45AMD ∠=︒，⊙2DM AD =，⊙135AMB ADC ∠=∠=︒，⊙ABM ACD ∠=∠，⊙()ABM ACD AAS ∆≅∆，⊙BM CD =，⊙2BD BM DM CD AD =+=+；[探究2]如图⊙，⊙若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，⊙90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，⊙60ADB ACB ∠=∠=︒，⊙30AMD ∠=︒，⊙2MD AD =，⊙ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒，⊙ABM ACD ∆∆，⊙3BM AB CD AC==， ⊙3BM CD =，⊙32BD BM DM CD AD =+=+；故答案为32BD CD AD =+；(3)拓展猜想：c a BD BM DM CD AD b b=+=+； 理由：如图⊙，⊙若BC 是O 的直径，⊙90BAC ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ，⊙90MAD ∠=︒，⊙BAM DAC ∠=∠，⊙ABMACD ∆∆， ⊙BM AB c CD AC b==， ⊙c BM CD b=， ⊙ADB ACB ∠=∠，90BAC NAD ∠=∠=︒， ⊙ADMACB ∆∆， ⊙AD AC b DM BC a==， ⊙a DM AD b=， ⊙c a BD BM DM CD AD b b=+=+. 故答案为c a BD CD AD b b=+. 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
九年级数学下册第三章圆3.8圆内接正多边形练习北师大版(2021年整理)
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课时作业(二十八）[第三章8 圆内接正多边形]一、选择题1．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形2．2017·滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为错误!（)A.错误! B．2 错误!C。
错误! D．13．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( ）A。
错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!4．若正六边形的两条平行边相距12 cm，则它的边长为(）A．6 cm B．12 3 cmC．4 错误! cm D。
错误! cm5．2017·慈溪市期末如图K－28－1，A,B，C三点在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形的一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于（)图K－28－1A．12 B．15 C．18 D．206．如图K－28－2，在⊙O中，OA＝AB,OC⊥AB,交⊙O于点C,那么下列说法错误的是（）链接听课例1归纳总结图K－28－2A．∠BAC＝30°B.错误!＝错误!C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长二、填空题7．2017·邗江区一模如图K－28－3，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a应是________.错误!图K－28－38．正六边形的面积是18 错误!，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________．9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________．图K－28－410．2017·广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________．图K－28－5三、解答题11．已知:如图K－28－6,△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC,∠BAC＝36°，弦BD，CE 分别平分∠ABC,∠ACB.求证:五边形AEBCD是正五边形．图K－28－612．2018·平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中,对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证:AE＝BF;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形．图K－28－713．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈,分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积（结果精确到1平方米)．（1)比较这些面积的大小；（2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律（不需证明)．探究题（1）如图K－28－8①所示，M,N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数；(2M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM,ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________中，∠MON的度数是________．图K－28－8详解详析【课时作业】[课堂达标]1．［解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°,正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°,∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A。
26-初中数学北师大版九年级下册第三章8圆内接正多边形
初中数学·北师大版·九年级下册——第三章圆8圆内接正多边形测试时间:25分钟一、选择题1.下列说法:①各角相等的多边形是正多边形;②各边相等的三角形是正三角形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列说法正确的是()A.正多边形的中心到一顶点的距离叫做正多边形的边心距B.正多边形对角线的交点叫做这个正多边形的中心C.正多边形每一边所对的圆周角叫做正多边形的中心角D.正六边形的边长等于半径3.(2018辽宁沈阳大东一模)如图,圆O的内接正六边形的边长是12,则边心距是()A.6B.12C.6√2D.6√34.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是()A.4B.5C.6D.75.(2018天津和平一模)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形,则该三角形是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题6.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AC、GC是两条对角线,则∠ACG=.7.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,则对角线AC的长为.三、解答题8.(2016甘肃兰州中考)如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD(写出结论,不写作法,保留作图痕迹).9.如图,用等分圆周的方法在右边方框中画出左图.10.如图,在圆O的内接正六边形ABCDEF中,边长DE=2,OM⊥DE于点M,求该正六边形的中心角、半径以及边心距.11.如图,△ACD是☉O的内接等腰三角形,顶角∠CAD=36°,弦CE、DB分别平分∠ACD、∠ADC.求证:五边形ABCDE是正五边形.⏜上(不与C点重合).12.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧CD(1)求∠BPC的度数;(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.5年中考3年模拟·初中数学·北师大版·九年级下册——第三章圆8圆内接正多边形测试时间:25分钟一、选择题1.答案B①错误,如矩形虽满足各角相等,但不是正多边形;②正确;③错误,如圆内接矩形虽满足各角相等,但不是正多边形;④正确.故正确的说法共有2个.2.答案D正多边形的中心到一边的距离叫做正多边形的边心距,故A错误;正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,而对角线的交点不一定是正多边形的中心,故B错误;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,故C错误;正六边形被半径分成6个正三角形,故半径与边长相等,故D正确.3.答案D如图所示,连接OB、OC,过O作OG⊥BC于G,∵这个多边形是正六边形,∴△OBC是等边三角形,∴∠OBG=60°,OB=BC=12,=6√3.故选D.∴边心距OG=OB·sin∠OBG=12×√324.答案B这个正多边形的边数是360°÷72°=5.5.答案C如图1,图1∵OC=2,∴OD=2×sin 30°=1.如图2,图2∵OB=2,∴OE=2×sin 45°=√2.如图3,图3∵OA=2,∴OD=2×cos 30°=√3, ∴该三角形的三边长分别为1,√2,√3, ∵12+(√2)2=(√3)2,∴该三角形是直角三角形,故选C.二、填空题6.答案 45°解析 设正八边形ABCDEFGH 的外接圆为☉O. ∵正八边形ABCDEFGH 的各边相等, ∴AH⏜的长=GH ⏜的长=八分之一圆的周长, ∴AHG ⏜的度数=28×360°=90°, ∴∠ACG=12×90°=45°. 7.答案 2√3解析 如图,过点B 作BG ⊥AC,垂足为G.∵AB=BC,∴AG=CG,∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠ABC=120°,∴∠BAC=30°.在Rt △ABG 中,∵∠BAG=30°,AB=2,∴AG=√3,∴AC=√3×2=2√3.三、解答题8.解析 如图,过圆心O 作直径DB,作直径BD 的垂直平分线,交☉O 于A 、C 两点,连接AB 、BC 、CD 、DA,则四边形ABCD 即为☉O 的内接正四边形.9.解析 画一个圆,把圆五等分,分别以等分点为圆心,圆的半径为半径画弧即可得到图形. 图形如图所示:10.解析如图,连接OC,OD,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠COD=360°6=60°,即正六边形的中心角为60°.又∵OC=OD,∴△COD是等边三角形,∴OC=OD=CD=2,即正六边形的半径为2.又∵OM⊥DE,DE=2,∴DM=12DE=1.∴在Rt△MOD中,OM=√OD2-DM2=√22-12=√3,即正六边形的边心距为√3.11.证明∵△ACD是等腰三角形,∠CAD=36°,∴∠ACD=∠ADC=72°.∵CE、DB分别平分∠ACD、∠ADC,∴∠ACE=∠ECD=∠CAD=∠CDB=∠ADB=36°,∴AB⏜=BC⏜=CD⏜=DE⏜=EA⏜,∴点A、B、C、D、E是☉O的五等分点,∴五边形ABCDE是正五边形.12.解析(1)如图,连接OB,OC.∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=12∠BOC=45°.(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴OE=BE,∵OE2+BE2=OB2,∴BE=√OB 22=√642=4√2,∴BC=2BE=2×4√2=8√2,即正方形ABCD的边长为8√2。
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3.8 圆内接正多边形
1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )
(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形
A ．(1)(2)
B ．(2)(3)
C ．(1)(3)
D ．(1)(4) 2．以下说法正确的是
A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．
B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．
C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )
A ．
B
C ．
1:2:3 D ． 3:2:1 4.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB
B A 1
1的值为（ ）
A ．
21 B ．22
C ．
41 D ．4
2 5． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O
的半径为______________________．
第5题图 第6题图
6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在 AD 上，则∠BEC= ． 7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．
8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．
9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．
求证：五边形ABCDE 是正五边形
E
A
10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动。
(1)求图10－1中∠APN的度数；
(2)图10－2中，∠APN的度数是_______，图10－3中∠APN的度数是
________。
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
N 图10－1
N
图10
－2
A
M
图10－3
M
图10－4。