初三数学培优之直角三角形中的比例线段

初三数学培优之直角三角形中的比例线段

阅读与思考

借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论． 如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC 于D ，则

1．图中角的关系：∠B =∠DAC ，∠C =∠DAB ； 2．同一三角形中三边平方关系：

AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2；BC 2=AB 2+AC 2．

3．三角形之间的关系： △ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系： AD 2=BD •DC ，AB 2=BD •BC ，AC 2=CD •BC ．

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：

①一线段是两个三角形的公共边； ②另两条线段在同一直线上．

例题与求解

【例1】如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CB 于E ．若BE =6，CE =4，则AD =________．

（上海市竞赛试题）

解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD ．

例1题图 例2题图

【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，下列结论：

①CD •AB =AC •BC ； ②22

AC AD

BC BD

=； ③

222

111

AC BC CD +=； ④AC +BC >CD +AB ． 其中正确的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个

C ．2个

D ．1个

（江苏省竞赛试题）

解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．

C

A

B D

E

C

A

B

A

B C D

【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积． （全国初中数学联赛试题）

解题思想：欲求△EFC 的面积，由于EC =1

2

，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系．

本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．

【例4】如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找一点C ，使△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．

（江苏省竞赛试题）

解题思想：注意分类讨论．

能力训练

A 级

1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB =∠ADC =900，AC

AD =2，当AB =_______时，这两个直角三角形相似．

2．如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB 于点D ，∠A 的平分线AF 交CD 于E ，过E 引EG ∥AB 交BC 于G ，若CE

，则BG 的长为____________． （上海市竞赛试题）

3．如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形，BD =20，EA =10，则AB =_________________．

（“五羊杯”竞赛试题） A

B

E

F C

D

B

（第1题图）

（第2题图）

（第3题图） B

D C

F

E G

A

B

C

D

E

A

4．如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）

A ．y x =

B ．y x >

C ．y x <

D ．不确定

（江苏省竞赛试题）

5．如图，矩形ABCD 中，AB

，BC =3，AE ⊥BD 于E ，则EC 等于（ ）

A

B

C

D

．

2

6．在△ABC 中，AD 是高，且2

AD BD CD =⋅，那么∠BAC 的度数是（ ）

A ．小于900

B ．等于900

C ．大于900

D ．不确定

（全国初中数学联赛试题）

7．如图，在△ABC 中，已知∠C =900，AD 是∠CAB 的角平分线，点E 在AB 上，DE ∥CA ，CD =12，BD =15，求AE ，BE 的长．

（上海市中考试题）

8．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC ．

（西安市中考试题）

A

C

D

E （第7题图）

（第4题图）

A

B

C

D

（第5题图）

E

（第8题图）

A

B C D

E

F

G

9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，D ，E ，F 分别为垂足，求证：CD 3=AB ·AE ·BF ．

(四川省中考试题)

10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD =16，AB

=．

⑴ 求证：CE =EF ；⑵ 求EG 的长． （河南省中考试题）

11．如图，在△ABC 中，已知∠ACB =90°，BC =k ·AC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ．

⑴当k =2时，则CE

BF

=_____________； ⑵当k =3时，连结EF ，DF ，求

EF

DF

的值； ⑶当k =___________

时，EF DF 不需证明）．

A

B

E

（第10题图）

D C

G

A

B

E （第9题图）

D F

C

A

B

E

（第11题图）

D F

C P