河南省中原名校联盟2016届高三数学4月仿真模拟联考试题 理
河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题(扫描版)
中原名校2015-2016学年 学期第一次联考高 数学试题 理 答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.DDDAC BBAAA DC二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分(13) {}1,0,1−(14) (令5) 223 (16) 三、解答题： 本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本题满 10 )解 由题意 若命题p 为真 则21016ax x a −+>对任意实数x 恒成立. 若0,a =显然 成立 (2)若0,a ≠则20110,4a a > ∆=−< 解得2,a >.....................................4 故命题p 为真命题时 a 的取值范围为()2,.+∞. (5)若命题q 为真 则39x x a −<对一 实数x 恒成立. 而21139(3).24x x x −=−−+因为0x > 所 31x > 所 ()(39),0x x −∈−∞ 因 0a ≥故命题q 为真命题时 0a ≥ (7)又因为命题p 或q 为真命题 命题p 且q 为假命题 即命题p q 一真一假.若p 真q 假 则20a a > < 解得a ∈Φ……………………………….9 若p 假q 真 则20a a ≤≥ 解得02a ≤≤.....................................11 综 所述 满足题意得实数a 的取值范围为[]0,2. (12)(18) (本题满 12 )解 依题意可设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠则'()2f x ax b =+'2()62,3,2,()32.f x x a b f x x x =−==−∴=−Q (2)点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图232n S n n ∴=− (3)当2n ≥时 221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=− (5)当1n =时11a =也适合 *6 5.()n a n n N ∴=−∈ (6)由 知[]133111((65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===−−+−−+………7 故11111111(1)()()(1277136561261n T n n n =−+−++−=− −++ L …………………9 因 要使*11(1()2612016m n N n −<∈+成立 m 必须且仅需满足122016m ≤......令令 即1008,1008m m ≥∴满足要求的最小 整数为 (12)(19) (本题满 12 )解： 因为//m n u r r 所 a cos B (2c b )cos A ＝0 由 弦定理得sin A cos B (2sin C sin B )cos A ＝0 ……… 2分所 sin A cos B 2sin C cos A sin B cos A ＝0即sin A cos B sin B cos A ＝2sin C cos A所 sin(A B )＝2sin C cos A .又A B C ＝π 所 sin C ＝2sin C cos A ……… 4分因为0<C <π 所 sin C >0所 cos A ＝120<A <π 所 A ＝π3……… 6分由余弦定理得a 2＝b 2 c 2 2bc cos A ……… 8分所 16＝b 2 c 2 bc bc 所 bc 16当且仅当b ＝c ＝4时 上式取 ＝ ……… 10分所 ABC ∆面 为S ＝12bc sin A 43 所 ABC ∆面 的最大值为4 3.……… 12分(20) (本题满 12 )解 蓄水池的侧面积的建造成本为1002200rh rh ππ×=元底面积成本为2160r π元 蓄水池的总建造成本为2(200160)rh r ππ+即2200160rh r ππ+12000π= h=21(3004)5h r r=− 2()V r r h π= 2r π=•21(3004)5r r −=5π3(3004)r r − (4)又由0r > 0h >可得0r <<故函数()V r 的定义域为 (6)由 中()5V r π=3(3004)r r − 0r <<可得'()V r =5π2(30012)r − 0r << '()V r =5π2(30012)0r −= 则5r =………………………8 当(0,5)r ∈时 '()0V r > 函数()V r 为增函数.当r ∈时 '()0V r < 函数()V r 为 函数且当5,8r h ==时该蓄水池的体积最大. . (12)(21) (本题满 12 )解 ()f x 在[]1,1− 为增函数 证明如设任意12,x x []1,1∈− 且12x x < 在()()0f a f b a b+>+中 1a x = 2b x =− 可得1212()()0()f x f x x x +−>+− 又 ()f x 是奇函数 得22()()f x f x −=− 1212()()0f x f x x x −>− 12x x < 120x x −< 12()()0f x f x −< 即12()()f x f x <故()f x 在[]1,1− 为增函数 (4)()f x 在[]1,1− 为增函数等式11(()21f x f x +<− 即 111121x x −≤+<≤− 解之得3,12x ∈−−即为原 等式的解集 ……………8 由 I 得()f x 在[]1,1− 为增函数 且最大值为(1)1f =因 若2()21f x m am ≤−+对所有的[]1,1a ∈−恒成立 2211m am −+≥对所有的[]1,1a ∈−恒成立,设2()20g a ma m =−+≥对所有的[]1,1a ∈−恒成立 (10)1 若0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈−恒成立2 若0m ≠若()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈−恒成立必须(1)0g −≥且(1)0g ≥ 2m ≤−或2m ≥综 m 的取值范围是02m m =≤−或或2m ≥ (12)(22) (本题满 12 )解： '()f x =2a2ax 1 x 2 2x 2a ＝x [2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2)]2ax 1. 因为x ＝2为()f x 的极值点 所 f ′(2)＝0即2a4a 1 2a ＝0 解得a ＝0. ……… 2分 因为函 ()f x 在区间[3 ∞)上为增函所 '()f x =x [2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2)]2ax 10在区间[3 ∞)上恒成立 ……… 3分 当a ＝0时 '()f x =x (x 2) 0在[3 ∞)上恒成立 所 ()f x 在[3 ∞)上为增函 故a ＝0符合题意 ……… 5分当a ≠0时 由函 ()f x 的定义域可知 必须有2ax 1>0对x 3恒成立 故只能a >0 所 2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2) 0在[3 ∞)上恒成立函 g (x )＝2ax 2 (1 4a )x (4a 2 2) 其对 轴为x ＝1 14a因为a >0 所 1 14a要使g (x ) 0在[3 ∞)上恒成立 只要g (3) 0即可 即g (3)＝ 4a 2 6a 1 0所 3 134 a 3 134. 因为a >0 所 0<a 3 134. 综上所述 a 的取值范围为0 3 134 ……… 7分 当a ＝ 12时 函 3(1)(1)3x b y f x x −=−−−有零点等价于方程f (1 x )＝(1 x )33 b x 有实根 f (1 x )＝(1 x )33 b x 可化为ln x (1 x )2 (1 x )＝b x. 问题转化为b ＝x ln x x (1 x )2 x (1 x )＝x ln x x 2 x 3在(0 ∞)上有解 即求函 g (x )＝x ln x x 2 x 3的值域 ……… 8分因为函 g (x )＝x (ln x x x 2) 函 h (x )＝ln x x x 2(x >0)则'()h x = 1x1 2x ＝(2x 1)(1 x )x 所 当0<x <1时 '()h x >0 从而函 h (x )在(0,1)上为增函 当x >1时 '()h x <0 从而函 h (x )在(1 ∞)上为减函因此h (x ) h (1)＝0.……… 10分 而x >0 所 b ＝x ·h (x ) 0因此当x ＝1时 b 取得最大值0.……… 12分。
河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题
河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x xy N =∈+=，则M N = （ ）A ．()(){}1,1,1,1-B ．{}1C ．[]0,1 D．⎡⎣2、命题“x ∃∈Z ，使220x x m ++≤”的否定是（ ）A ．x ∃∈Z ，使220x x m ++> B ．不存在x ∈Z ，使220x x m ++> C ．对x ∀∈Z ，使220x x m ++≤ D ．对x ∀∈Z ，使220x x m ++>3、在C ∆AB 中，若点D 满足D 2DC B = ，则D A =（ ）A ．12C 33A +AB B ．52C 33AB -A C ．21C 33A -ABD ．21C 33A +AB4、为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为（ ）A ．310B ．110 C ．320 D ．1205、函数()21log f x x=+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、设()0cos f x x=，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，，()()1n n f x f x +'=，n *∈N ，则()2016f x =（ ）A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x -7、由曲线1y x =，直线12x =，2x =及x 轴所围成图形的面积是（ ）A ．1ln 22B ．2ln 2C ．154D ．1748、已知集合{},,a b c M =，{}1,0,1N =-，从M 到N 的映射f 满足()()()0fa f bf c--=，那么映射f 的个数为（ ）A ．7B ．5C ．4D ．2 9、若函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e =+，则（ ）A ．()()()023g f f <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f << D ．()()()230f f g <<10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A ．6766升B ．4744升C ．3733升 D ．1升11、下列命题中是假命题的是（ ） A ．R m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-⋅是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则6a ≤-或0a ≥ C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称12、设m ，n ∈Z ，已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若函数()121x g x m -=++有唯一的零点，则m n +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知集合{}10x ax A =+=，{}1,1B =-，若A B =A ，则实数a 的所有可能取值的集合为 ．14、若25a bm ==，且112a b +=，则m = ．15、已知点()1,1A -，()1,2B ，()C 2,1--，()D 3,4，则向量AB 在CD方向上的投影为 ． 16、已知函数()()22211f x x x k=---+，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个不同的零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个不同的零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个不同的零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个不同的零点．其中真命题的序号是 （把你认为正确的序号全写上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）设命题:p 函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；命题:q 不等式39xxa -<对一切正实数x 均成立．()I 如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；()II 如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）均在函数()y f x =的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得2016n mT <对所有的n *∈N 都成立的最小正整数m ．19、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m =A B，(),2n a c b =-，且//m n ．()I 求角A 的大小；()II 若4a =，求C ∆AB 面积的最大值．20、（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为r 米，高h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．()I 将V 表示成r 的函数()V r ，并求函数的定义域；()II 讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．21、（本小题满分12分）已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若a ，[]1,1b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b +>+成立．()I 判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明；()II 解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；()III 若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数()()32ln 2123x f x ax x ax=++--（R a ∈）．()I 若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；()II 若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；()III 当12a =-时，函数()()3113x by f x x -=---有零点，求实数b 的最大值．河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考 数学（理）试题参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.DDDAC BBAAA DC 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(13){}1,0,1-(14) (15) 223 (16) ①②③④ 三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (17) (本题满分10分)解： （Ⅰ）由题意，若命题p 为真，则21016ax x a -+>对任意实数x 恒成立.若0,a =显然不成立；……………………………….2分若0,a ≠则20110,4a a >⎧⎪⎨∆=-<⎪⎩解得2,a >……………………………….4分故命题p 为真命题时，a 的取值范围为()2,.+∞……………………………….5分（Ⅱ）若命题q 为真，则39xxa -<对一切正实数x 恒成立.而21139(3).24x x x -=--+ 因为0x >，所以31x >，所以()(39),0x x -∈-∞，因此0a ≥故命题q为真命题时，0a ≥.……………………………….7分 又因为命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，即命题p 与q 一真一假.若p 真q 假，则20a a >⎧⎨<⎩解得a ∈Φ……………………………….9分 若p 假q 真，则20a a ≤⎧⎨≥⎩解得02a ≤≤……………………………….11分 综上所述，满足题意得实数a 的取值范围为[]0,2……………………………….12分(18) (本题满分12分)解：（Ⅰ） 依题意可设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠则'()2f x ax b =+'2()62,3,2,()32.f x x a b f x x x =-==-∴=- …………………2分点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上， 232n S n n ∴=-…………………3分当2n ≥时，221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦………………5分当1n =时11a =也适合，*6 5.()n a n n N ∴=-∈………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知[]133111().(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+………7分故11111111(1)()()(1).277136561261n T n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦L …………………9分因此，要使*11(1)()2612016mn N n -<∈+成立，m 必须且仅需满足122016m ≤……11分即1008,1008m m ≥∴满足要求的最小正整数为………………………12分 (19) (本题满分12分)解：（Ⅰ）因为//m n u r r，所以acos B －(2c －b)cos A ＝0，由正弦定理得sin Acos B －(2sin C －sin B)cos A ＝0，……… 2分所以sin Acos B －2sin Ccos A ＋sin Bcos A ＝0， 即sin Acos B ＋sin Bcos A ＝2sin Ccos A ， 所以sin(A ＋B)＝2sin Ccos A.又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin Ccos A ，……… 4分 因为0<C<π，所以sin C>0，所以cos A ＝12，又0<A<π，所以A ＝π3……… 6分（Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ，……… 8分所以16＝b2＋c2－bc≥bc ，所以bc≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，上式取“＝”，……… 10分 所以ABC ∆面积为S ＝12bcsin A≤43，所以ABC ∆面积的最大值为43.……… 12分 (20) (本题满分12分)解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为1002200rh rh ππ⨯=元，底面积成本为2160r π元，∴蓄水池的总建造成本为2(200160)rh r ππ+ 即2200160rh r ππ+12000π=∴h=21(3004)5h r r =-∴2()V r r h π= 2r π=•21(3004)5r r -=5π3(3004)r r -………………………4分又由0r >，0h >可得0r <<故函数()V r的定义域为………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）中()5V r π=3(3004)r r -，（05r <<可得'()V r =5π2(30012)r -，（05r <<）∵令'()V r =5π2(30012)0r -=，则5r =………………………8分 ∴当(0,5)r ∈时，'()0V r >，函数()V r 为增函数.当r ∈时，'()0V r <，函数()V r 为减函数且当5,8r h ==时该蓄水池的体积最大. . ………………………12分 (21) (本题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 在[]1,1- 上为增函数，证明如下：设任意12,x x []1,1∈-，且12x x <，在()()0f a f b a b +>+中令1a x =，2b x =-，可得1212()()0()f x f x x x +->+-，又∵()f x 是奇函数，得22()()f x f x -=-，∴1212()()f x f x x x ->-．∵12x x <，∴120x x -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <故()f x 在[]1,1-上为增函数……………4分（Ⅱ）∵()f x 在[]1,1-上为增函数，∴不等式11()()21f x f x +<-，即 111121x x -≤+<≤- 解之得3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即为原不等式的解集；……………8分 （Ⅲ）由（I ），得()f x 在[]1,1- 上为增函数，且最大值为(1)1f =，因此，若2()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，2211m am -+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立,设2()20g a ma m =-+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立………………………10分 若0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈-恒成立 若0m ≠若()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立必须(1)0g -≥且(1)0g ≥，2m ≤-或2m ≥综上：m 的取值范围是02m m =≤-或或2m ≥ ………………………12分 (22) (本题满分12分)解：（Ⅰ）'()f x =2a2ax ＋1＋x2－2x －2a ＝x[2ax2＋ 1－4a x － 4a2＋2 ]2ax ＋1.因为x ＝2为()f x 的极值点，所以f′(2)＝0， 即2a4a ＋1－2a ＝0，解得a ＝0. ……… 2分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[3，＋∞)上为增函数，所以'()f x =x[2ax2＋ 1－4a x － 4a2＋2 ]2ax ＋1≥0在区间[3，＋∞)上恒成立．……… 3分①当a ＝0时，'()f x =x(x －2)≥0在[3，＋∞)上恒成立，所以()f x 在[3，＋∞)上为增函数，故a ＝0符合题意． ……… 5分②当a≠0时，由函数()f x 的定义域可知，必须有2ax ＋1>0对x≥3恒成立，故只能a>0， 所以2ax2＋(1－4a)x －(4a2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立． 令函数g(x)＝2ax2＋(1－4a)x －(4a2＋2)，其对称轴为x ＝1－14a，因为a>0，所以1－14a <1，要使g(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，即g(3)＝－4a2＋6a ＋1≥0， 所以3－134≤a≤3＋134.因为a>0，所以0<a≤3＋134.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3＋134 ……… 7分（Ⅲ）当a ＝－12时，函数3(1)(1)3x by f x x -=---有零点等价于方程f(1－x)＝ 1－x 33＋b x 有实根，f(1－x)＝ 1－x 33＋b x 可化为ln x －(1－x)2＋(1－x)＝bx. 问题转化为b ＝xln x －x(1－x)2＋x(1－x)＝xln x ＋x2－x3在(0，＋∞)上有解，即求函数g(x)＝xln x ＋x2－x3的值域． ……… 8分因为函数g(x)＝x(ln x ＋x －x2)，令函数h(x)＝ln x ＋x －x2(x>0)，则'()h x = 1x ＋1－2x ＝ 2x ＋1 1－x x，所以当0<x<1时，'()h x >0，从而函数h(x)在(0,1)上为增函数，当x>1时，'()h x <0，从而函数h(x)在(1，＋∞)上为减函数，因此h(x)≤h(1)＝0. ……… 10分 而x>0，所以b ＝x·h(x)≤0，因此当x ＝1时，b 取得最大值0. ……… 12分。
2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考数学(理)试题 解析版
2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知{}2|x y R y M =∈=，{}2|22=+∈=y x R x N ，则=N M （ ）A ．()(){}1,1,1,1-B ．{}1 C ．[]1,0 D ．[]2,0 【答案】D 【解析】试题分析：{}2|x y R y M =∈={}0|≥=y y ；{}2|22=+∈=y x R x N {}22|≤≤-=x x ，=∴N M {} 0|≥y y {}22|≤≤-x x ={}20|≤≤x x ，故答案为D ．【考点】集合的运算．2．命题“Z x ∈∃，使022≤++m x x ”的否定是（ ） A ．Z x ∈∃，使022>++m x x B ．不存在Z x ∈，使022>++m x x C ．R x ∈∀，使022≤++m x xD ．R x ∈∀，使022>++m x x【答案】D【解析】试题分析：命题“Z x ∈∃，使022≤++m x x ”的否定是R x ∈∀，使022>++m x x ，故答案为D ．【考点】含有量词的命题的否定．3．在ABC ∆中，若点D 满足2=，则=（ ）A ．3231+B ．3235- C ．3132- D ．3132+【答案】D【解析】试题分析：由DC BD 2=，得()-=-2，因此+=23，因此3132+=，故答案为D ． 【考点】平面向量的应用．4．为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为（ ）A ．103 B ．101 C ．203 D ．201 【答案】A【解析】试题分析：从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员共有1025=C 种，甲、乙、丙中有2个被选中有323=C 种，故所求事件的概率103=P ，故答案为A ． 【考点】1、组合的运算；2、随机事件的概率．5．函数()x x f 2log 1+=与()x x g -=12在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）【答案】C【解析】试题分析：对于函数()xx g -=12，当0=x 时，函数值为2，过点()2,0，排除B ，D ，对于函数()x x f 2log 1+=，当1=x 时，函数值为1，过点()1,1，排除A ，故答案为C ． 【考点】函数图象．6．设()x x f cos 0=，()()x f x f '=01，()()x f x f '=12，⋅⋅⋅，()()x f x f n n '=+1，*N n ∈，则()=x f 2016（ ）A ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos - 【答案】B【解析】试题分析：()()x x x f sin cos 1-='=，()x x f cos 2-=，()x x f sin 3=，()x x f cos 4=，()x x f sin 5-=，因此()x f n 的周期4=T ，()()x x f x f cos 02016==，故答案为B ．【考点】1、函数求导；2、函数的周期性．7．由曲线x y 1=，直线21=x ，2=x 及x 轴所围成图形的面积是（ ） A ．2ln 21 B ．2ln 2 C ．415 D ．417[【答案】B【解析】试题分析：曲线x y 1=，直线21=x ，2=x 及x 轴所围成图形的面积221221|ln 1x dx x =⎰2ln 221ln 2ln =-=，故答案为B ． 【考点】定积分的应用．8．已知集合{}c b a M ,,=，{}1,0,1-=N ，从M 到N 的映射f 满足()()()0=--c f b f a f ，那么映射f 的个数为（ ）A ．7B ．5C ．4D ．2 【答案】A【解析】试题分析：()()()N c f b f a f ∈,, ，且()()()0=--c f b f a f ，所以分两种情况，0000=--或者()0110=---，当()()()0===c f b f a f 时，只有一个映射；当()()()c f b f a f ,,中恰有一个为0，而另两个分别为1,1-时，有62213=⋅A C 个映射，因此所求的映射共7个，故所求答案为A ． 【考点】映射的概念．9．若函数()x f ，()x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x e x g x f +=，则（ ） A ．()()()320f f g << B ．()()()230f f g << C ．()()()302f g f << D ．()()()032g f f << 【答案】A【解析】试题分析：因为()()xe x g xf +=①，令x -代x 得()()xe x g xf -+-=-，由于函数()x f ，()x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，()()xe x g xf -+=-②，联立①②得()2x x e e x g -+-=，()2xx e e x f --=，()10-=g ，由于函数()x f 是增函数，()()320f f <<∴，故答案为A ．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．10．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A ．6667升 B ．4447升 C ．3337升 D ．1升 【答案】A【解析】试题分析：由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⨯+42566289932344111d a d a d a ，解得667,22131==d a ， 6667667422135=⨯+=∴a ，故答案为A ．【考点】等差数列的通项公式和前n 项和公式．11．下列命题中是假命题的是（ ） A ．R m ∈∃，使()()3421+--=m m xm x f 是幂函数，且在()+∞,0上递减B ．函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=411lg 2a x a x x f 的值域为R ，则6-≤a 或0≥aC ．关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是1≤aD ．函数()x a f y +=与函数()x a f y -=的图象关于直线a x =对称 【答案】D【解析】试题分析：对应A ，当2=m 时，()xx f 1=是幂函数，且在()+∞,0上递减；对于B ，函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=411lg 2a x a x x f 的值域为R ，则()041412≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+a a ，解得6-≤a 或0≥a ；对于C ，当0=a 时，方程化为012=+x 存在一个负根；当0≠a ，若关于x 的二次方程0122=++x ax 有根，则044≥-=∆a ，即1≤a ，若方程0122=++x ax 无负根，则01,022121≥=⋅≥-=+ax x a x x ，这种情况不存在，关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是1≤a ；对于D ，函数()x a f y +=与函数()x a f y -=的图象关于直线0=x 对称，故答案为D ．【考点】命题的真假性．12．设Z n m ∈,，已知函数()()4log 2+-=x x f 的定义域是[]n m ,，值域是[]2,0，若函数()121++=-m x g x 有唯一的零点，则=+n m （ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 【答案】C【解析】试题分析：()()4log 2+-=x x f 的值域是[]2,0，()[]4,14∈+-∴x ，[]0,3-∈-∴x ，[]3,0∈∴x ①若关于x 的方程0121=++-m x 有唯一的实数解，则2-=m ，又由函数()()4log 2+-=x x f 的定义域是[]n m ,，结合①可得3=n ，即1=+n m ，故答案为C ．【考点】1、对数函数的定义域和值域；2、函数的零点． 二、填空题13．已知集合{}01|=+=ax x A ，{}1,1-=B ，若A B A = ，则实数a 的所有可能取值的集合为______ 【答案】{}1,0,1-【解析】试题分析：由于A B A = ，B A ⊆∴，当0=a 时，∅=A ，符合题意；当0≠a 时，1±=a ，实数a 的所有可能取值的集合为{}1,0,1-．【考点】集合间的基本关系． 14．若m b a ==52，且211=+ba ，则=m ______ 【答案】10【解析】试题分析：由m a =2，得m a lg 2lg =⋅，2lg lg m a =∴，同理得5lg lg mb =，2lg 5lg lg 2lg =+∴mm ，21lg =∴m ，10=∴m ．【考点】对数的运算．15．已知点()1,1-A ，()2,1B ，()1,2--C ，()4,3D ，则向量在方向上的投影为_____． 【答案】223． 【解析】试题分析：()1,2=，()5,5=，向量在CD 方向上的投影为==⋅θcos 2232515=，故答案为223． 【考点】1、向量的坐标运算；2、投影的求法．16．已知函数()()k x x x f +---=11222，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个不同的零点；②存在实数k ，使得函数恰有4个不同的零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个不同的零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个不同的零点．其中真命题的序号是______（把你认为正确的序号全写上）． 【答案】①②③④【解析】试题分析：函数()()k x x x f +---=11222的零点个数就是方程()011222=+---k x x根的个数，方程()011222=+---k x x 化为()()011222=+---k x x ()11-≤≥x x 或（1） 或()()011222=+-+-k x x ()11<<-x （2）①当2-=k 时，方程（1）的解为3±，方程（2）无解，原方程有2个不同的实数根；②当41=k 时，方程（1）的解为26±，方程（2）的解为22±，原方程有,4个不同的实数根；③当0=k 时，方程（1）的解2,1±±，方程（2）的根0，原方程有5个不同的实数根； ④当92=k 时，方程（1）的根232,315±±，方程（2）的根为36,33±±，原方程有8个不同的实数根；故答案①②③④．【考点】函数的零点与方程的根．三、解答题17．（本小题满分10分）设命题:P 函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=16lg 2a x ax x f 的定义域为R ；命题:q 不等式a x x <-93对一切正实数x 均成立．．（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()+∞,2；（2）[]2,0【解析】试题分析：(1)正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假；(2)解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意p 或q 为真，p 且q 为假说明q p ,一真一假．试题解析：（1)若命题p 是真命题，则有①当0=a 时，定义域{}0|<x x 不符合题意；②由⎪⎩⎪⎨⎧<⨯->016410aa a ，得⎩⎨⎧-<>>220a a a 或，2>∴a 因此所求实数a 的取值范围()+∞,2（2）命题q 是真命题，不等式a xx <-93对一切正实数x 均成立，令x t 3=，2t t y -=，1>t ，当1=t ，0max =y ，0≥∴a若命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，则q p ,一真一假 ①若p 真q 假，则⎩⎨⎧<>02a a ，得空集②若p 假q 真，则⎩⎨⎧≥≤02a a ，得20≤≤a综上，实数a 的取值范围20≤≤a【考点】1、命题逻辑连结词；2、集合的运算．18．（本小题满分12分）已知二次函数()x f y =的图象经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()n S n ,)(*N n ∈均在函数()x f y =的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得2016m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．【答案】（1）56-=n a n )(*N n ∈；（2）1008．【解析】试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：①()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，②()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔．试题解析：（1） 依题意可设二次函数()()02≠+=a bx ax x f 则()b ax x f +='2()26-='x x f ，2,3-==∴b a ，()x x x f 232-=∴点()n S n ,)(*N n ∈在函数()x f y =的图像上，n n S n 232-=∴当2≥n 时，1--=n n n S S a ()()[]12132322-----=n n n n 56-=n当1=n 时11=a 也适合，56-=∴n a n )(*N n ∈（2）由（1）知13-=n n n a a b ()()[]516563-+-=n n ⎪⎭⎫⎝⎛+--=16156121n n 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1615611317171121n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=161121n 因此，要使()*2016161121N n m n ∈<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-成立，m 必须且仅需满足201621m ≤ 即1008≥m ，所以m 的最小值1008【考点】1、由n S 推n a ；2、数列求和；3、恒成立的问题．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()B A m cos ,cos =，()b c a n -=2,，且n m //． （1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）3π=A ；（2）34．【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；(2)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．试题解析： //，所以()0cos 2cos =--A b c B a ， 由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ，A C AB B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴()A C B A cos sin 2sin =+∴，由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21cos =A ，由于π<<A 0，3π=∴A （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622，因此16≤bc ，当且仅当4==c b 时，等号成立；因此ABC ∆面积34sin 21≤=A bc S ，因此ABC ∆面积的最大值34 【考点】1、正弦定理的应用；2、三角形的面积公式；3、基本不等式的应用． 20．（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为r 米，高h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数()r V ，并求函数的定义域；（2）讨论函数()r V 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）()()343005r r r V -=π，()350<<r ；（2）当()5,0∈r 时，()0>'r V ，函数()r V 为增函数．当()35,5∈r 时，()0<'r V ，函数()r V 为减函数且当8,5==h r 时该蓄水池的体积最大．【解析】试题分析：利用导数解决生活中的优化问题时：（1）既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，；（2）一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的应舍去；（3）如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点． 试题解析：（1） 蓄水池的侧面积的建造成本为rh rh ππ2002100=⨯元， 底面积成本为rh π160元，∴蓄水池的总建造成本为()2160200r rh ππ+即πππ120001602002=+r rh ()2430051r rh -=∴ ()()22430051r rr r V -⋅=∴π()343005r r -=π又由0>r ，0>h 可得350<<r 故函数()r V 的定义域为()35,0 （2）由（1）中()()343005r r r V -=π，()350<<r ，可得()()2123005r r V -='π，()350<<r ∵令()()01230052=-='r r V π，则5=r ∴当()5,0∈r 时，()0>'r V ，函数()r V 为增函数． 当()35,5∈r 时，()0<'r V ，函数()r V 为减函数 且当8,5==h r 时该蓄水池的体积最大． 【考点】利用导数求函数的单调性和最值．21．（本小题满分12分）已知()x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11=f ，若a ，[]1,1-∈b ，0≠+b a 时，有()()0>++ba b f a f 成立．（1）判断()x f 在[]1,1-上的单调性，并证明；（2）解不等式：⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ； （3）若()122+-≤am m x f 对所有的[]1,1-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()x f 在[]1,1-上为增函数；（2）⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈1,23x ；（3）m 的取值范围是0=m 或2-≤m 或2≥m ． 【解析】试题分析：（1）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由()()21x f x f -的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（2）利用函数的单调性得到111211≤-<+≤-x x 从而进行求解，这里要注意1-x 的符合问题；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔，对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是学生容易漏掉的地方． 试题解析：（1）函数()x f 在[]1,1-上为增函数，证明如下： 设任意[]1,1,21-∈x x ，且21x x <， 在()()0>++b a b f a f 中令1x a =，2x b -=，可得()()()02121>-+-+x x x f x f ，又()x f 是奇函数，得()()22x f x f -=-，()()02121>--∴x x x f x f ．21x x < ，021<-∴x x ， ()()021<-∴x f x f ，即()()21x f x f <故()x f 在[]1,1-上为增函数 （2）()x f 在[]1,1-上为增函数， ∴不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ， 即111211≤-<+≤-x x 解之得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈1,23x ，即为原不等式的解集； （2）由（1），得()x f 在[]1,1- 上为增函数，且最大值为()11=f ，因此，若()122+-≤am m x f 对所有的[]1,1-∈a 恒成立，1122≥+-am m 对所有的[]1,1-∈a 恒成立,设()022≥+-=m ma a g 对所有的[]1,1-∈a 恒成立若0=m 则()00≥=a g 对[]1,1-∈a 恒成立若0≠m 若()0≥a g 对所有的[]1,1-∈a 恒成立必须()01≥-g 且()01≥g ，2-≤m 或2≥m综上：m 的取值范围是0=m 或2-≤m 或2≥m【考点】1、判断函数的单调性；2、解不等式；3、恒成立的问题．22．（本小题满分12分）已知函数()()ax x x ax x f 2312ln 23--++=（R a ∈）． （1）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（2）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当21-=a 时，函数()()x b x x f y ----=3113有零点，求实数b 的最大值． 【答案】（1）0=a ；（2）41330+≤<a ；（3）0． 【解析】试题分析：（1）求函数()x f 的极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()x f '；（3)解方程()0='x f ，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验()x f '在()0='x f 的根0x 左右两侧的符号，如果在0x 附近的左侧()0>'x f ，右侧()0<'x f ，那么()0x f 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0<'x f ，右侧()0>'x f ，那么()0x f 是极小值；（2）函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增，若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减，若可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f 或()()0≤'x f 恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔． 试题解析：（1）()a x x ax a x f 221222--++=' 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即02142=-+a a a ，解得0=a （2）因为函数()x f 在区间[)+∞,3上为增函数，所以()[]012244222≥+---+='ax a ax x ax x x f 在区间[)+∞,3上恒成立． ①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意．②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以()()02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立．令函数()()()2441222+--+=a x a ax x g ，其对称轴为a x 411-=， 因为0>a ，所以1411<-a，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立， 只要()03≥g 即可，即()016432≥++-=a a g 所以41334133+≤≤-a ． 因为0>a ，所以41330+≤<a 综上所述，a 的取值范围为41330+≤<a （3）当21-=a 时，函数()()xb x x f y ----=3113有零点等价于方程()()xb x x f +-=-3113有实根， ()()x b x x f +-=-3113可化为()()xb x x x =-+--11ln 2． 问题转化为()()x x x x x x b -+--=11ln 232ln x x x x -+=在()+∞,0上有解 即求函数()32ln x x x x x g -+=的值域． 因为函数()()2ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2>-+=x x x x x h 则()x x x h 211-+='()()xx x -+=112，所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，因此()()01=≤h x h ．而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0．【考点】1、函数极值的应用；2、函数的导数与单调性的关系；3、函数的零点．。
中原名校2016年高考冲刺仿真统一考试 理科数学答案
x Î 0,1 ，所以 h( x ) 3x 2 2 x 0 成立，则函数 h( x) 在区间 0,1 上为增函数，又
高三理科数学 第 4页 共 13 页
此时 h(0) 0 ，所以 h( x) 0 在区间 0,1 上恒成立，即 f ¢( x ) > 0 ，故函数 f ( x ) 在区 间 0,1 上为单调递增函数，所以 f ( x ) 在区间 0,1 上无极值；当 a 0 时，
15． 【答案】 56 【命题意图】本题考查二项式定理，着重考查逻辑推理能力.
2 3 4 4 【 解 析 】 依 题 意 ， 展 开 式 中 的 常 数 项 为 a 6 C6 22 C1 4 a C6 2 1 ， 故
a 6 240a 3 239 0 ，故 a 3 239 a 3 1 0 ，因为 a Z ，故 a 1 ，故 m an
2 7 3 ， , 2 ， 所 以 sin ， 即 3 3 2
5 5 5 7 3 2 1 21 2 sin sin cos cos sin ， 故 6 6 6 3 2 3 2 6
，
5 B x y log 2 1 x x x 1 ，故 ðR B x x 1 ，故 A I ðR B 1， . 2
14． 【答案】
7 1 , 2 5
【命题意图】本题考查二元一次不等式组与平面区域，意在考查数形结合能力. 【解析】 作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 设 D 3, 2 ， 则
c b÷ e = = 1+ ç ÷ = 10 ，故选 A. ç ç a a÷
河南省中原名校学术联盟2016届高三复习质量检测考试理科数学试题扫描版含答案
2016年高三复习前期摸底考试理科数学参考答案及评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】集合{|12,}N x x x R =-<<∈，所以{0,1}M N ⋂=2．【答案】C 【解析】2sin 2415sin(636018075)sin 75+=⨯++=-=-3．【答案】D 【解析】01,012≠+=-a a 得1=a ，i i i ai i a -=++=++11120152015 4．【答案】 C【解析】p ⌝:2,1x x R x e ∀∈+<，故选C ．5．【答案】 B【解析】频率0.00025000.00035000.25=⨯+⨯=，所以人数为0.25100002500⨯=6．【答案】A【解析】0]cos )32[cos()sin()1)((320320=---=-=+⎰⎰ϕϕπϕππdx x dx x f 得3πϕ= ,()sin()13f x x π=--的零点56π 7．【答案】D 【解析】当111,11110=⨯==S i , 当221,22121=⨯==S i , 当242,33132=⨯==S i 8．【答案】B【解析】 2212()3333CM CB BM CB BA CB CA CB CB CA =+=+=+-=+． 212121()33333CM CB CB CA CB CB CA CB ∴=+=+= 9．【答案】A【解析】由三视图知道，这个四面体的两个面都是两直角边分别为公共斜边为2的直角三角形，所以外接球的一条直径是这条公共斜边，所以半径1R =，表面积4S π=．10．【答案】B【解析】直线l 为圆C 的切线，所以，因为||PC 的最小值是点C 到y 轴的距离为5，所以||PM 的最小值是3．11．【答案】B 【解析】55215135577576266C x C C x C C x x ---=-. 12．【答案】A【解析】记()()x x g x e f x e =⋅-，则'()()'()(()'()1)0x x x xg x e f x e f x e e f x f x =⋅+⋅-=+->，所以()g x 是R 上的增函数，不等式可以化为：()(0)g x g >，所以0x >．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．【答案】1【解析】函数()f x 为R 上奇函数、增函数，(1)()0f a f b -+=得(1)()()f a f b f b -=-=-， 1,1a b a b -=-+=.14．【答案】2241x y +=【解析】抛物线的准线方程是2x =-，那么椭圆的半焦距2c =，2a b =，结合222a b c =+，解得2211,4a b ==，所以方程是2241x y +=． 15．【答案】3 【解析】试题分析：如下图所示，不等式组1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为阴影部分：z ＝OM →·ON →,∴3z x y =-易知，当直线30x y z --=经过点(1,0)A 时，z 取得最大值，max 3z =，16．【答案】420【解析】由给出排列规律可知，第1列的每个数为该数所在行数的平方，第1行的每个数满足（列数-1）2+1，则上起第20行左起第21列的数为（21-1）2+1+（20-1）=420.三、解答题：满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）当1m n ==时，1122(111)1a a =+-⇒=，………………………1分 当1m =时，12(11)21n n a a n a n +=+-⇒=-，………………………………3分 ∴{}n a 是等差数列，其前n 项和21212n n S n n +-=⨯=；…………………………5分 （2）(21)2n n b n =-⋅，∴23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，…………………………………7分从而23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减得：2311122(222)(21)2226(21)2n n n n n T n n +++-=++++--⋅=⨯---⋅，∴1(23)26n n T n +=-⋅+．……………………………………………………………10分18．解：（1）依题意，得()f x 1cos 2sin 222x x -=+1sin(2)62x π=-+ …………2分 ∴()f x 的最小正周期为π， …………………………………………………3分 由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈即()f x 的递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈．……………………………6分 （2）由3(),2f A =得sin(2)16A π-=， 0A π<<， ∴262A ππ-=， ∴3A π=，……………………………………………………………………………8分根据余弦定理得，2222242cos ()393b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+-=-,∴53bc =， ……………………………………………………………………10分∴1155sin 322312ABC S bc A ∆==⨯⨯=1235.…………………………………12分 19．解：（1）由表格计算得： 6.5,80x y ==，所以804 6.5106a a =-⨯+⇒=，…2分 所以估计日销售利润2( 3.5)(4106)4120371z x x x x =--+=-+-， 当15x =元时，估计日销售利润最大，即定价15元；…………………………………6分（2）散点图中，有两个样本点在回归直线下方，所以X 可能取值有0,1,2，…………7分34361(0)5C P X C ===，2142363(1)5C C P X C ===，1242361(2)5C C P X C ===，……………10分 所以X 的分布列是：0121555EX =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………12分 20．解：（1）存在，且2BF =.…………………………………………………………1分 证明： O 是AB 的中点，AC BC =，∴CO AB ⊥，又平面ABDE ⊥平面ABC ，所以CO ⊥平面ABDE ，CO AF ∴⊥，…………3分 又tan 60AE EOA EOA AO∠==∠=︒，tan 30BF FAB FAB BA ∠==⇒∠=︒， 90EOA FAB AF EO ∴∠+∠=︒⇒⊥，AF ∴⊥平面EOC ；……………………………………………………………………6分(2)如图，分别以,OC OB ，过点O 且平行AE 的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．……………………………………………………………………………………7分则(0,A，B ，(3,0,0)C ，(0,E，F ，平面EOC的法向量AF =，………………………………………………9分 设平面EBC 的法向量(,,)n x y z =，由(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅-=⇒=，由(,,)(0,3)03n EB x y z z y ⊥⇒⋅-=⇒=， 令1x =，得(1,3,2)n =，……………………………………………………………11分cos ,8AF n <>==，∴所求二面角的余弦值是812分 21．解：（1）a =C过点，∴221313b +=，解得1b =， ∴椭圆C 的方程为：2213x y +=.…………………………………………………4分 （2）直线l 过点B 时，AB //QR ，直线l ⊥x 轴时，(1,(1,)33P Q -，13:1(2)12PB y x --=--，∴(3,23R -， A∴(1,1),(2,2)AB QR ==，//AB QR ，猜测，无论l 转动到何位置，都有//AB QR .…………………………………………6分 证明：直线l ⊥x 轴时，由上述知道//AB QR ，直线l 不垂直x 轴时，设l 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 将l 的方程代入椭圆方程得：2222(13)6330k x k x k +-+-=， 得：22121222633,1313k k x x x x k k-+==++.………………………………………………8分 又PB 的方程为：1111(2)2y y x x --=--，令3x =得：11112R y y x -=+-， ∴12211(3,1)2y QR x y x -=-+--. ∴11222211111(1)(3)1222y y y x x y x x --⨯+---⨯=+---- 11212211(1)12()4(1)(2)2k x x x x x k x x x --+-++---=- 22221212111233(1)[3](1)[2()3]1313022k k k k x x x x k k x x -----+--++===-- ∴//AB QR .……………………………………………………………………12分22．解：（1） 2()ln 32()f x a x x x a R =+-+∈,∴)(x f 的定义域为),0(+∞, ∴223'()23a x x a f x x x x-+=+-=. 由20'()0230x f x x x a >⎧≥⇔⎨-+≥⎩，判别式. （一）980a -≤即98a ≥时，'()00f x x ≥⇔>，∴递增区间是(0,)+∞；………2分（二）980a ->即98a <时，1x =2x =①0a ≤时，10x <，2'()0f x x x ≥⇔≥，递增区间是)+∞； ②908a <<时，120x x <<，12'()00f x x x x x ≥⇔<≤≥或.∴递增区间是0（，)+∞．…………………………………5分（2） (1)0f =，1314x =<，23114x a ==⇔=. （一）98a ≥时，()f x 是区间(0,)+∞的增函数，对任意的1x >，()(1)0f x f >=恒成立； ………………………………………………………………………………………………7分（二）891 a ≤时，21x ≤，()f x 是区间[1,)+∞上的增函数，对任意的1x >，()(1)0f x f >=恒成立；………………………………………………………………9分（三）1a <时，21x >，∴()f x 是区间2[1,)x 上的减函数，存在02(1,)x x ∈，使得0()(1)0f x f <=．综上：实数a 的取值范围是[1,)+∞．………………………………………………………12分。
2016年河南省百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2016年河南省百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．若复数z的共轭复数为，且满足：=1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．1 B．3 C． D．43．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3+S6=18，则S5=（）A．14 B．10 C．9 D．55．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（）A．B．C．D．6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x﹣1）与抛物线交于A，B两点，点A 在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A．3 B．C．D．7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2C．3D．49．已知f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，则下列结论错误的是（）A．f（x）在区间（0，）上单调递增B．f（x）的一个对称中心为（﹣，0）C．当x∈[0，]时，fx）的值域为[1，]D．先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位后得到函数y=2cos（4x+）的图象10．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（）A．24πB．36πC．60πD．78π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，=，直线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．向量||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，则向量与的夹角为______．14．已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（x m+）dx=______．15．若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a2+b2的最大值为______．16．已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比为q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，c n=b n（b n+1﹣b n+2），求数列{c n}的前n项和T n．18．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，99%的把握认为4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．19．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD 的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．2016年河南省百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）答案与解析一、选择题1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x﹣x2＞0}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（0，1）解：由A中y=2x﹣1＞﹣1，得到A=（﹣1，+∞），由B中不等式变形得：x2﹣x＜0，即x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），则A∩B=（0，1），选D2．若复数z的共轭复数为，且满足：=1﹣2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为（）A．1 B．3 C． D．4解：=1﹣2i，∴=（1+i）（1﹣2i）=3﹣i，∴z=3+i．则|z|==．选C3．下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（）A．f（x）=﹣xe|x|B．f（x）=x+sinxC．f（x）=D．f（x）=x2|x|解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，选A4．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3+S6=18，则S5=（）A．14 B．10 C．9 D．5解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，∴S3+S6=3a1+d+6a1+ d=9a1+18d=9（a1+2d）=18，∴a3=a1+2d=2，∴S5=5a3=10，选B5．从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为（）A．B．C．D．解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，基本事件总数n==120，十位数字比个位数字和百位数字都大包含的基本事件个数m==40，∴十位数字比个位数字和百位数字都大的概率为p==．选C6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x﹣1）与抛物线交于A，B两点，点A 在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A．3 B．C．D．解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=ky+1（k＞0），代入抛物线方程可得y2﹣4ky﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=﹣4，由|AF|=3|BF|，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得k2=，∴k=，∴m=．选B7．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确解：模拟执行程序，可得a=2，n=1执行循环体，a=，n=3满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9…由于2015=3×671+2，可得：n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．选B8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2C．3D．4解：如图所示，设三棱锥E﹣ADD1的外接球的半径为r，∵三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则=36π，解得r=3．取AD1的中点F，连接EF．则三棱锥E﹣ADD1的外接球的球心一定在EF上，设为点O．设正方体的棱长为x，在Rt△OFD1中，由勾股定理可得：+（x﹣3）2=32，x＞0．化为：x=4．∴正方体的棱长为4．选D9．已知f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，则下列结论错误的是（）A．f（x）在区间（0，）上单调递增B．f（x）的一个对称中心为（﹣，0）C．当x∈[0，]时，fx）的值域为[1，]D．先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位后得到函数y=2cos（4x+）的图象解：f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+===，当x∈（0，）时，∈（），则f（x）在区间（0，）上单调递增，A正确；∵f（）=，∴f（x）的一个对称中心为（﹣，0），B正确；当x∈[0，]时，∈[]，f（x）的值域为[1，2]，∴C错误；先将函数f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y=2sin（4x+）的图象，再向左平移个单位后得到函数y=2sin[4（x+）+]=2sin（）=2cos（4x+）的图象，D正确．∴错误的命题是C．选C10．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（）A．24πB．36πC．60πD．78π解：根据三视图可知几何体是：一个圆柱挖掉两个顶点相同的圆锥所得的组合体，且底面分别是圆柱的上下底面所得的组合体，圆柱的高是8、圆锥的高是4，设圆柱、圆锥的底面半径是r，∵体积为48π，∴=48π，解得r=3，则圆锥的母线长是=5，∴该几何体的表面积S=2π×3×8+2×π×3×5=78π，选D11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，=，直线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．选B12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣解：令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，则y′=﹣（a+2），a+2＜0，y′＞0，函数递增，无最值．当a+2＞0时，﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值，且为﹣ln（a+2）+a﹣b+3，∴﹣ln（a+2）+a﹣b+3≤0，∴b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，∴≥，令t=a+2（t＞0），则y=，∴y′=，∴（0，）上，y′＜0，（，+∞）上，y′＞0，∴t=，y min=1﹣e．∴的最小值为1﹣e．选C二、填空题13．向量||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，则向量与的夹角为．解：因为||=1，||=，（+）（2﹣）=﹣1，所以，所以=﹣1，所以向量与的夹角的余弦值为=，所以向量与的夹角为135°14．已知（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m，则（x m+）dx=．解：（x+y）5的通项公式：T r+1=，令5﹣r=1，r=4，解得r=4；令5﹣r=2，r=3，解得r=3．（x﹣y）（x+y）5的展开式中x2y4的系数为m=×1﹣=﹣5，则（x m+）dx=dx==ln2+．15．若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a2+b2的最大值为．解：∵Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，∴，即，作出不等式组对应的平面区域如图：z=a2+b2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知A到原点的距离最大，由得，即A（，），则z的最大值为z=（）2+（）2=16．已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为．解：∵AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，根据余弦定理可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，且AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，即AC2=AD2+22﹣4AD•cos∠ADC，且，∵∠ADB=π﹣∠ADC，∴，∴，当AC=2时，AD取最小值，此时cos∠ACB==，∴sin∠ACB=，∴△ABC的面积S=AC•BC•sin∠ACB=，三、解答题17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比为q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，c n=b n（b n+1﹣b n+2），求数列{c n}的前n项和T n．解：（I）∵S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，∴2（S3+a3）=S1+a1+S2+a2，∴=3a1+2a2，化为9a3=a1，∴q2=，q＞0，解得q=．∴a n=．（II）b n==，c n=b n（b n+1﹣b n+2）==﹣，∴数列{c n}的前n项和T n=﹣++…+=1﹣﹣=﹣．18．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，50“”（为“”（Ⅱ4人中赞成“使用微信交流”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望参考数据如下：参考公式：K2=，（n=a+b+c+d）．K2=≈9.524＞6.635所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，ξ所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD 的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），∵=，∴E（﹣2，0，），=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，1），则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==，∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．解：（I）由题意可得e==，直线AB的方程为bx+ay=ab，由题意可得=，又a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），设直线l的方程为y=k（x﹣n），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2﹣4nk2x+2k2n2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，由假设可得P（x1，﹣y1），F（1，0），N（x2，y2）三点共线，可得k PN=k NF，即=，由y1=k（x1﹣n），y2=k（x2﹣n），可得（x1+x2﹣2n）（x2﹣1）=（x2﹣x1）（x2﹣n），化简为（n+1）（x1+x2）﹣2x1x2﹣2n=0，即有（n+1）•﹣2•﹣2n=0，化简可得n=2，代入判别式可得2k2＜1，故存在异于F的一点G，且为（2，0），使N、F、P三点共线．21．已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间[，e]上的最值；（2）若存在一点x0∈[1，e]，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求实数b的取值范围．解：（1）当b=1时，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），，令G'（x）=0，得x=1，∵，∴G（x）在区间上；（2）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得成立，设，又，①当1+b≤0，即b≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上h'（x）＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；②当b+1＞0，即b＞﹣1时，在x∈（0，1+b）上h'（x）＜0，在x∈（1+b，+∞）上，h'（x）＞0，∴h（x）在（0，1+b）上单调递减，在（1+b，+∞）上单调递增；综上所述：当b＞﹣1时，h（x）的递减区间为（0，1+b）；递增区间为（1+b，+∞）；当b≤﹣1时，h（x）只有递增区间为（0，+∞）．∴要使得在[1，e]上存在一点x0，使得成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由，可得，∵，∴；②当1+b≤1，即b≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，故h（x）在[1，e]上最小值为h（1），由h（1）=1+1+b＜0，可得b＜﹣2（满足b≤0）；③当1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1时，h（x）在[1，1+b]上单调递减，在（1+b，e]上单调递增，∴h（x）在[1，e]上最小值为h（1+b）=2+b﹣bln（1+b），∵0＜ln（1+b）＜1，∴0＜bln（1+b）＜b，∴2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不满足题意，舍去．综上b＜﹣2或b＞，∴实数b的取值范围为．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等边三角形ABC内接于圆O，以B、C为切点的圆O的两条切线交于点D，AD交圆O于点E．（Ⅰ）证明：四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC的面积．（Ⅰ）证明：由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，∴△DBC是等边三角形∴四边形ABDC为菱形；（Ⅱ）解：设AB=2x，则AE=x，由切割线定理可得DB2=DE•DA，∴4x2=2（2+x），∴x=，∴AB=2，∴等边三角形ABC的面积S==3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴﹣y=4，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=4．（II）将代入曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ得ρ=，∴A点的极坐标为（，）．将θ=代入直线l的极坐标方程得﹣ρ=4，解得ρ=4．∴B点的极坐标为（4，）．∴|AB|=4﹣=3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，而3和﹣3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为{x|x≤﹣2，或x≥2}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x﹣2|=，∴f（x）≥4，若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y=a|x﹣1|（图中红色部分）有2个不同的交点，如图所示：由于A（﹣2，4）、B（2，4）、C（1，0），∴﹣2＜﹣a＜K CA，或a＞K CB，即﹣2＜﹣a＜﹣，或a＞4，求得＜a＜2，或a＞4．。
2016届河南省中原名校高三上学期第三次联考理科数学试题(扫描版)
中原名校2015—2016学年上期第三次联考高三理科数学试题参考答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分。
1．【答案】C 【解析】{}{}10,3,21，，==B A ，由A S ⊆，φ≠B S ，集合S 中必含1，再由A S ⊆ 得集合S 的个数为4，故答案选C ．考点：1.不等式的解法；2集合的运算． 2．【答案】A【解析】由()ax ax x g 22sin cos -=化简得()ax x g 2cos =，其最小正周期为π，可得1±=a ．故答案选A ．考点：充分条件必要条件的判断． 3．【答案】C【解析】,a b 为非零实数，220a b >，将a b <两边同除以22a b ，可得ba ab 2211＜．故答案选C ．考点：不等式的性质． 4．【答案】D 【解析】抛物线方程214y x =-可化为y x 42-=，∴抛物线的准线方程为1=y ∵点A 在抛物线214y x =-的准线上∴)1,3(-A ，所以三角函数的定义得21sin =α 考点：抛物线性质，三角函数的定义及求值5．【答案】A【解析】因为ln 60>，故1ln 6ln 06-=<，1ln 6111(ln )ln ln 6666f e -=-=-，所以1(ln 6)(ln )6f f =-=66ln +．考点：函数的奇偶性. 6．【答案】D【解析】 由{}n a 是等比数列，得28151a a a =⋅又∵{}n b 是等差数列∴81512b b b =+而815115115122a a a b b b b ==≥+ ∵1≠q ∴151a a ≠即151b b ≠考点：等差、等比数列的性质，基本不等式 7．【答案】B 【解析】由2()36f x x ax b '=++，则有2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩，而当3,1==b a 时，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，此时函数无极值，故不合题意。
河南省中原名校联盟2016届高三毕业班第四次联考——理科综合
12015—2016学年高三毕业班第四次联考理科综合试题组题审核：中原名校联谊试题研究中心组 （考试时间：150分钟试卷满分：300分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 O —16 Na —23 Fe —56 Cu —64 Cl —35．5Ba —137第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共13小题。
每小题6分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．常言道“马无夜草不肥”，是有其科学依据的，生物体内有一种被称为“BMAL I ”的蛋白质，能促进脂肪堆积，这种蛋白质在白天减少，夜间增多。
下列哪类蛋白质在生物体内的功能与“BMAL I ”最相似 A ．血红蛋白 B ．抗体 C ．胰岛素 D ．胃蛋白酶 2．下列有关高中生物实验分析的叙述，错误的是 A ．“叶绿体中色素的提取和分离”实验中，不加碳酸钙，滤液呈淡绿色 B ．“观察洋葱根尖有丝分裂”实验中，若细胞呈长方形，则细胞不分裂C ．“观察质壁分离与复原”实验中，若观察到细胞壁与原生质层分开，说明细胞正在质壁分离 D ．“32P 标记噬菌体侵染细菌”实验中，若保温时间过短或过长，上清液的放射性都会较强3．下列关于内环境及其稳态的叙述，错误的是A ．内环境处于稳态时，其渗透压、温度和pH 并非恒定不变B ．组织液和淋巴液之间可通过毛细淋巴管进行相互转化C ．人体各器官、系统的有效配合对维持内环境稳态至关重要D ．人体某部位组织液短时间增多过快可能与淋巴管堵塞有关 4．下列有关植物茎的向光性生长的叙述，正确的是 A ．单侧光可使茎背光侧生长素浓度比向光侧低 B ．生长素对茎背光侧和向光侧均有促进作用 C ．植物茎的向光性生长体现了生长素的两重性 D ．单侧光导致茎弯曲部位的生长素出现横向运输5．如图所示为某家庭的遗传系谱图，该家庭的6位成员的染色体及基因总数进行分析发现：Ⅰ1和Ⅰ2各有两条染色体异常、Ⅱ3有四条染色体异常、Ⅱ4和Ⅲ6的染色体正常、Ⅲ6有一条染色体异常，正常个体的基因总数不变，Ⅲ5多了一部分基因。
河南省中原名校高三理综4月仿真模拟联考试题(扫描版)
河南省中原名校2016届高三理综4月仿真模拟联考试题（扫描版）河南省中原名校2015—2016学年下期第二次联考生物试题解析及评分标准1．C【解析】线粒体和叶绿体在遗传上具有半自主性，其内的少量DNA也可以控制自身部分蛋白质的合成，但多数蛋白质来自细胞核基因控制合成，A错误。
小鼠细胞和人细胞的融合体现了细胞膜具有流动性，B错误。
唾液腺细胞和肝细胞是受精卵分裂分化形成的，其中的DNA相同但mRNA不完全相同，C正确。
溶酶体内部含有多种水解酶，能分解衰老、损伤的细胞器，吞噬并杀死侵入细胞的病毒或病菌，D错误。
【命题意图】本题考查与细胞结构和功能相关的知识，意在考查考生“能理解所学知识的要点，把握知识间的内在联系，形成知识的网络结构”的能力。
2．B【解析】叶肉细胞中固定CO2的场所是叶绿体基质，暗反应中CO2的固定，不消耗ATP 和[H]，A错误。
从题图分析，O a段三碳化合物的含量持续上升，说明消耗的五碳化合物越来越多，因此五碳化合物的含量有所下降，B正确。
ab段C3化合物浓度不变的原因是C3化合物生成的量与被还原的量基本相等，达到动态平衡，C错误。
黑暗条件下叶肉细胞不能进行光反应，不能为暗反应提供[H]和ATP等物质，导致三碳化合物还原受阻，其含量上升，细胞内没有淀粉的合成；但是细胞始终进行细胞呼吸，有ATP的产生与利用；此外，还可能进行其他的生物化学反应，存在物质的转变，D错误。
【命题意图】本题考查光合作用的知识，意在考查考生“能理解所学知识的要点，把握知识间的内在联系，分析问题、获得正确结论”的能力。
3．B【解析】在低于最适浓度的范围内，随着2,4－D溶液浓度的升高，其促进生根的作用增强，A错误。
新鲜肝脏研磨液中的过氧化氢酶和氯化铁均能催化过氧化氢分解释放出氧气，但酶的作用具有高效性，B正确。
无水乙醇只能提取色素，不能分离色素；分离色素使用的是层析液，C错误。
0.3 g/mL蔗糖溶液中洋葱表皮细胞发生质壁分离，但清水中洋葱表皮细胞不会吸水胀破，D错误。
河南省名校联盟2016届高三4月高考仿真模拟联考 理科综合
河南省名校中原联盟2016届高三4月高考仿真模拟联考理 科 综 合（考试时间：150分钟 试卷满分：300分）可能用到的相对原子质量：H －1 C －12 N －14 O －16 Si －28 Mn －55第Ⅰ卷 选择题（共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．下列有关细胞的叙述，正确的是A ．线粒体内的蛋白质均由其自身的基因控制合成B ．小鼠细胞和人细胞的融合体现了细胞膜具有选择透过性C ．乳腺上皮细胞和肝细胞中的DNA 相同但mRNA 不完全相同D ．溶酶体可吞噬并杀死侵入细胞的病毒或病菌，不能分解衰老、损伤的细胞器2．用14CO 2“饲喂”叶肉细胞，让叶肉细胞在光下进行光合作用。
一段时间后，关闭光源，将叶肉细胞置于黑暗环境中，含放射性的三碳化合物浓度的变化情况如图所示，下列相关叙述正确的是A ．叶肉细胞利用14CO 2的场所是叶绿体基质，暗反应全过程都消耗ATP 和[H] B ．Oa 段叶肉细胞中五碳化合物浓度有所下降 C ．ab 段三碳化合物浓度不变的原因是14CO 2消耗殆尽 D ．b 点后叶肉细胞内没有有机物的合成3．根据下表所列出的相关实验操作，预期结果合理的是4．某植物的高茎（B ）对矮茎（b ）为显性，花粉粒长形（D ）对圆形（d ）为显性，花粉粒非糯性（E ）对花粉粒糯性（e ）为显性，非糯性花粉遇碘液变蓝色，糯性花粉遇碘液呈棕色。
现有品种甲（BBDDee ）、乙（bbDDEE ）、丙（BBddEE ）和丁（bbddee ），进行了如下两组实验：下列分析合理的是A ．由组合一可知，基因B ／b 和基因D ／d 位于两对非同源染色体上 B ．由组合二可知，基因E ／e 仅和基因B ／b 位于不同对同源染色体上C ．若仅用花粉鉴定法(检测F 1花粉性状)即可验证基因自由组合定律，可选用的亲本组合有甲×丙、丙×丁D ．除单独使用花粉鉴定法外，可用于验证基因自由组合定律的亲本组合另有2个5．研究表明，糖尿病可分为Ⅰ型糖尿病和Ⅱ型糖尿病等。
河南省名校中原联盟高三4月高考仿真模拟联考
2016届河南省名校中原联盟高三4月高考仿真模拟联考理综化学部分（考试时间：150分钟试卷满分：300分）可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Si－28 Mn－55第Ⅰ卷选择题（共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）7．化学与生活、社会发展息息相关，下列有关说法正确的是A．“青蒿一握，以水二升渍，绞取汁”，屠呦呦对青蒿素的提取属于化学变化B．“丹砂（HgS）烧之成水银，积变又还成了丹砂”，该过程发生了分解、化合、氧化还原反应C．干燥剂硅胶和硅橡胶的主要化学成分都是二氧化硅D．铜制品在潮湿的空气中生锈，其主要原因是发生了析氢腐蚀8．下列说法中不正确的是A．正戊烷、新戊烷、异戊烷互为同分异构体B．互为同系物C．四氯乙烯分子中所有原子都处于同一平面D．扁桃酸（）属于甲酸酯且有羟基直接连在苯环上的同分异构体共有13种9．设N A为阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．标准状况下，6．0gNO和2．24LO2混合，所得气体的分子数目为0．2N AB．常温常压下，1 L0．1mol·L－1的硝酸铵溶液中氮原子数目为0．2N AC．1 mol有机物中最多有6 N A个原子在一条直线上D．1 mol甲基（）所含的电子数为7 N A10．下列实验装置或操作设计正确、且能达到目的的是A．实验Ⅰ：配制一定物质的量浓度的稀硫酸B．实验Ⅱ：用二氧化碳作喷泉实验C．实验Ⅲ：进行中和热的测定D．实验Ⅳ：验证酸性的强弱，H2SO4＞H2CO3＞HClO11．下列图示与对应的叙述相符的是A．图1中的△H1＞△H2B．对于可逆反应A（s）＋3B（g）2C（g）△H＞0，压强对平衡常数K的影响符合图2C．图3表示充满NO2气体的试管，倒置于水槽中，向其中缓慢通入氧气直至试管中全部充满水，假设溶质不扩散，溶质的物质的量浓度与通入氧气的体积关系D．由图4可说明烯烃与H2加成反应是放热反应，虚线表示在有催化剂的条件下进行12．短周期元素X、Y、Z、W、U原子序数依次增大。
河南省中原名校2016届高三下学期第一次联考理科数学试题 Word解析版
中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考数学（理）试题组题审核：中原名校联谊试题研究中心组 （考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合A={x|-2015≤x<2016}， <1），则A I B=( ) A. (2015,2016) B. (2015,2016] C. [2015,2016) D.(-2016,-2015) 2．函数f(x)= 12sin2x+12tan 3πcos2x 的最小正周期为( ) A ．3πB. π C ．2π D. 4π 3．已知复数z 满足(2+i)z =l+2i+3i 2 +4i 3（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( ) A ．62+55i B ．62-55i . C ．- 62+55i . D ．一62-55i 4．“C=5”是“点(2，1)到直线3x+4y 十C=0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3+S 7= 37，则31119a a +=( ) A ．47 B. 73 C. 37 D. 746．过双曲线2222x y a b-=1（a>0，b>0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐姬警雾于彳，曰两点，若△OAB 的面积为3，则双曲线的离心率为( )A.B ． C. D.7．菜市中心购物商场在“双l1”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行 统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所 示．已知12：00时至16：00时的销售额为90万 元，则10时至12时的销售额为( ) A. 120万元 B. 100万元 C. 80万元 D ．60万元8．如图，在直角梯形ABCD 中．AB=2AD=2DC ，E 为BC 边上一点，3BC EC =uu u r uu u r，F为AE 中点，则BF =uu u r( )A ．2133AB AD -uuu r uuu rB ．1233AB AD -uuu r uuu rC ．2133AB AD -+uuu r uuu rD ．1233AB AD -+uuu r uuu r9．运行如图所示的程序，若输入x 的值为256，则输出的y 值 是( )，A ．3 B. -3C.13 D. - 13 10. 已知（5511()()ax bx a b+-+的展开式中含x 2与x 3的项的系绝对值之比为1:6，则a 2 +b 2的最小值为( )A. 6B. 9C. 12 D ．1811.如图ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S- ABCD 是高为l 的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C l ，D 1在同一个球面上，则该 球的表面积为( )A ．916π B ．2516πC ． 4916πD ．8116π 12.在数列{a n }中，a 1=3, a n）A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }单调递增C ．数列{a n }先递减后递增D ．数列{a n }先递增后递减第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=(9x +1)·9kx (k ∈R)为偶函数，则实数k 的值为 ．14. 已知直线l ：y=kx+t 号圆：x 2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C ：x 2 =4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是____．15．设x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩x+y ≥1，若M=3x+y ，N=17()22x -，则M-N 的最小值为 。
河南省中原名校高三数学下学期第一次联考试题 理(扫描
河南省中原名校2016届高三数学下学期第一次联考试题理（扫描版）中原名校2015-2016学年下期高三第一次联考理科数学答案 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．【答案】A【解析】∵{}{}02016120152016B x x x x =≤-<=<≤，∴=A B I {}20152016x x <<，故选A ． 2．【答案】B 【解析】因为13()sin 2cos 2sin(2)23f x x x x π=+=+，所以最小正周期22T ππ==，故选B ． 3．【答案】C【解析】由23123422i i i i +++=--， 得22(22)(2)62622(2)(2)555i i i i z i i i i ++-+=-=-=-=--++-，则z 的共轭复数是6255i -+，故选C ． 4．【答案】B【解析】由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3等价于22334=+，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B ． 5．【答案】D【解析】由3737S S +=，得11(33)(721)37a d a d +++=，整理，得1102437a d +=，于是31119a a +＝11119(2)(10)2(1024)74a d a d a d +++=+=，故选D ．6．【答案】D【解析】由题意，得x c =代入b y x a =±，得交点(,),(,)bc bcA cB c a a-，则12132bc bc c a ⨯⨯=，整理，得13c a =，故选D ． 7．【答案】D【解析】该商场11月11日8时至22时的总销售额为()902000.1000.1252=+⨯万元，所以10时至12时的销售额为()2000.150260⨯⨯=万元，故选D ．8．【答案】C【解析】取AB 的中点G ，连结DG ，CG ，则DG BC P ，所以12BC GD AD AG AD AB ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴221()332AE AB BE AB BC AB AD AB =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝2233AB AD +u u u r u u u r ，于是BF AF AB =-u u u r u u u r u u u r ＝12AE AB-u u u r u u u r ＝12221()23333AB AD AB AB AD +-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选C ．9．【答案】C【解析】根据程序框图及条件可知2562x =>→82x =>→32x =>→2log 32x =<，所以2221log log 3log 3311()2223y -====，故选C ．10．【答案】C【解析】5511()()ax bx a b+-+的展开式中含2x 项的系数为232232551110()()()b a C a C b ab ab --=，含3x 的项的系数为3233235511()()10()C a C b a b a b -=-，则由题意，得10()110()6b a ab a b -=-，即||6ab =，则2222||||2||12a b a b ab +=+≥=，故选C ．11．【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，O 为球心，设1OG x =，则12OB SO x ==-，同时由正方体的性质知1122B G =，则在11Rt OB G ∆中，2221111OB G B OG =+，即2222(2)()2x x -=+，解得78x =，所以球的半径198R OB ==，所以球的表面积为281416S R ππ==，故选D ．12．【答案】A【解析】由113,2n n a a a -==+，知0n a >，212n n a a -=+ ①，则有212n n a a +=+ ②．由②-①得2211n n n n a a a a +--=-，即111()()n n n n n n a a a a a a ++-+-=-．∵0n a >，∴1n n a a +-与1n n a a --同号．由21530a a -=-<，易知，10n n a a --<，即1n n a a -<，由此可知数列{}n a 单调递减，故选A ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．【答案】12-【解析】由题意知()()(91)9(91)9xkx x kx f x f x ---=⇒+=+g g 对于x ∈R 恒成立，则由2119991x kx x+=+，299kx x -=，即(21)91k x +=，于是由210k +=，得12k =-． 14．【答案】(,3)(0,)-∞-+∞U【解析】因为直线与圆相切，所以t t k k t 2111222+=⇒=++．又把直线方程代入抛物线方程并整理得0442=--t kx x ，于是由016)2(16161622>++=+=∆t t t t k ，得 0>t 或3-<t ．15．【答案】12【解析】作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线30x y M +-=经过点(1,2)A -时目标函数3M x y =+取得最小值－1．又由平面区域知13x -≤≤，则函数17()22x N =-在1x =-时，N 取得最大值32-，由此可知M N -的最小值为311()22---=．16．【答案】1a =±【解析】由()0f x =，得cos2sin 0x a x +=，即22sin sin 1=0x a x --．设2()2sin sin 1g x x a x =--，令sin t x =，则2()21g x t at =--．考察(0,2)x π∈的函数()g x 的零点个数，即如下图所示为sin t x =，(0,2)x π∈的图象，易知：（1）方程2210t at --=的一个根为1，另一个根为(1,0)-时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时2211102(1)(1)10a a ⨯-⨯-=⎧⎨⨯--⨯-->⎩，解得1a =；（1）方程2210t at --=的一个根为－1，另一个根为(0,1)时，()g x 在(0,2)π内有三个零点，此时22(1)(1)1021110a a ⎧⨯--⨯--=⎨⨯-⨯->⎩，解得1a =-．综上可知当1a =±时，()cos 2sin f x x a x =+在(0,2)π内有3个解．再由933=可知，236n =⨯=．综上可知1a =±，6n =．三、解答题 （第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【答案】（1）120︒；（2）43(4,2．【解析】（1）由正弦定理，得cos sin cos 2sin sin A AC B C=-+， ∴2cos sin cos sin sin cos 0A B A C A C ++=，则2cos sin sin()0A B A C ++=． ∵A B C π++=，∴sin()sin A C B +=，∴2cos sin sin 0A B B +=．∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-，∴120A =︒．……………5分（2）由正弦定理，得43sin sin sin b c a B C A ===，……………6分 ∴4343(sin sin )[sin sin(60)]b c B C B B +=+=+︒- ＝43(sin sin 60cos cos 60sin )B B B +︒-︒……………8分 ＝431343(sin cos )sin(60)3223B B B +=+︒．……………9分 ∵120A =︒，∴(0,60)B ∈︒︒，∴60(60,120)B +︒∈︒︒，∴3sin(60)(,1]2B +︒∈， ∴43(2,]b c +∈，故ABC ∆的周长43(4,2]a b c ++∈+．……………12分 18．【答案】（1）121140；（2）分布列见解析；0.75．【解析】（1）设i A 表示所抽取3名中有i 名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为事件A ，则3121241201331616121()=()()==140C C C P A P A P A C C ++．……………5分 （2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为41=164，………6分则由题意知X 的可能取值为0，1，2，3．3327(=0)=()=464P X ；11231327(=1)=C ()()=4464P X ； 2213139(=2)=C ()()=4464P X ；33311(=3)=C ()=464P X ．……………9分 所以X 的分布列为X 01 2 3P2764 2764964164……………10分由表格得272791(X)=0123=0.7564646464E ⨯+⨯+⨯+⨯． （或1(X)=3=0.754E ⨯）……………12分 19．【答案】（1）见解析；（2）22117．【解析】（1）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又∵BC ⊂平面ABC ，∴1AA BC ⊥．……………………2分 又∵AF ⊥平面1A DE ，DE ⊂平面ADE ，∴AF DE ⊥．又∵,D E 分别为1BB 和1CC 的中点，∴DE BC P ，∴AF BC ⊥．……………………4分 而1AA ⊂平面11AA B B ，AF ⊂平面11AA B B ，且1AA AF A =I ， ∴BC ⊥平面11AA B B ．又∵1A D ⊂平面11AA B B ，∴1BC A D ⊥．……………………5分（2）由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，从而BC AB ⊥，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -．……………………6分∵3AB BC ==，∴11113A B B C DE ===，则由111Rt A B D Rt C DE ∆≅∆，知113C D =22112C E C D DE =-=，则(0,0,2)D ，(3,0,2)E ，1(3,0,4)C ，1(0,3,4)A ，1(0,3,2)DA =u u u u r ，1(3,0,2)DC =u u u u r，(3,0,0)DE =u u u r．……………………7分设平面11A DC 的一个法向量),,(1z y x n =，则由111100n DA n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u u r g u r u u u u rg ，得320320y z x z +=⎧⎨+=⎩，取3z =，可得1(2,2,3)n =--u r ．……………………9分 设平面1A DE 的一个法向量),,(2z y x n =，则由21200n DA n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u u rg u u r u u u rg ，得32030y z x +=⎧⎨=⎩，取3z =，可得2(0,2,3)n =-u u r ，……………………11分 ∴121212221cos ,n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是22117．……………………12分 20．【答案】（1）22142x y +=；（2）[2,3]． 【解析】（1）因为(),0F c ，()0,Q b ，42,33b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(,)FQ c b =-u u u r ，42(,)33bFP c =-u u u r ， 由题设可知0FQ FP =u u u r u u u r g ，则2242033b c c -+= ①……………………2分 又点P 在椭圆C 上，∴22232199b a b +=，解得24a =，所以2224b c a +== ②①②联立解得，22c =，22b =，故所求椭圆的方程为22142x y +=．……………………5分 （2）设,,A B M 三点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，00(,)x y ，由,A B 两点在椭圆C 上，则2211222224(1)24(2)x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则 由（1）－（2），得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-= （3）．由线段OM 的中点与线段AB 的中点重合，则120120(4)(5)x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又2121y y k x x -=-，即2121()y y k x x -=- （6）……………………8分把（4）（5）（6）代入（3）整理，得002x ky =-，于是由00220224x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得220042x y =-，202221y k =+， 所以222200022||4421OM x y y k =+=-=-+．……………………10分因为2||2k ≤，所以21212k ≤+≤，有2212≤≤，所以22||3OM ≤≤，即||OM 的取值范围为2,3]．……………………12分21．【答案】（1e （2）见解析． 【解析】（1）因 为2()x af x x-'=，且[]1,x e ∈，则 ①当1a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，其最小值为(1)1f a =≤，这与函数在[]1,e 上的最小值是32相矛盾；②当1a e <<时，函数()f x 在[1,)a 上有()0f x '<，单调递减，在(,]a e 上有()0f x '>，单调递增，∴函数()f x 的最小值为3()ln 12f a a =+=，得a e =③当a e ≥时，()0f x '≤，函数()f x 在[]1,e 上单调递减，其最小值为()12af e e=+≥，与最小值是32相矛盾． 综上所述，a 的值为e ．……………………5分（2）要证1()121x x F x e e xe -+>+，即证1()211x x F x e e xe ->++，……………………6分 当1a =时，1ln ()1ln x F x x x x =+++，222111ln ln ()x x xF x x x x x--'=-++=，…………7分 令)ln x x x ϕ=-（，则111x x x xϕ-'=-=（）， 当1x >时，()0x ϕ'>, ()x ϕ递增；当01x <<时，()0x ϕ'<, ()x ϕ递减，∴()x ϕ在1x =处取得唯一的极小值，即为最小值，即()(1)10x ϕϕ≥=>，∴()0F x '>， ∴()F x 在0+∞（，）上是增函数，∴当1x > 时，()F x 为增函数，…………9分 故()(1)2F x F >=，故()211F x e e >++． 令=)(x h 121+-xx xe e ，则11122(1)(1)2(1)()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---'+-+-'==++g ．…………10分 ∵1>x , ∴01<-x e ，∴0)(<'x h ，即)(x h 在），（∞+1上是减函数， ∴1>x 时，12)1()(+=<e h x h ，所以()2()11F x h x e e >>++，即1()211x x F x e e xe ->++， 所以1()121x x F x e e xe -+>+．……………………12分请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．【答案】（1）见解析；（2）AD=2． 【解析】（1）由题意知AB 为圆的直径，则AC BC ⊥．又∵G 为BF 中点，∴GF GC =，GFC GCF ∠=∠．…………2分由CE AB ⊥，知2GCF CAE π∠=-∠，2ABC CAE π∠=-∠，∴GCF ABC ∠=∠，则Rt ADF Rt ACB ∆∆:，∴DAC BAC ∠=∠，∴»»BCCD =，即BC CD =．……………………4分 （2）∵,,,A B C D 四点共圆，所以HDC ABC ∠=∠，又∵CH 为O 的切线，∴DCH DAC BAC ∠=∠=∠，…………6分∴Rt CDH RtABC ∆:，∴2DHC π∠=，且BC ABDH CD=．…………7分 由（1）知BC CD =，且4AB =，1DH =，∴2CD =，223CH CD DH =-=．…………8分由切割线定理，得2()HC HD AH HD AD DH ==+g g， 2(3)1(1)AD =⨯+，解得2AD =．……………………10分23．【答案】（1）26cos 10sin 90ρρθρθ--+=；（2）52或15．【解析】（1）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 6=0ρθρθ++，则 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线的直角坐标方程为346=0x y ++．…………………………2分由35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数α，得22(3)(5)25x y -+-=，即2261090x y x y +--+=（*），由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入（*）可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．…………………………5分 （2）设直线l '：34=0x y t ++与曲线C 相切．由（1）知曲线C 的圆心为(3,5)，半径为5， 解得=4t -或=54t -，…………………………7分所以l '的方程为344=0x y +-或3454=0x y +-，即314y x =-+或32742y x =-+．又将直线l 的方程化为3342y x =--，所以35=1()22m --=或273=()1522m --=．…………………………10分24．【答案】（1）6；（2）(,4)-∞．【解析】（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，所以1122m m x ---+≤≤．……2分Θ不等式的整数解为－3，则11322m m ---+≤-≤，解得57m ≤≤． 又不等式仅有一个整数解－3，∴6m =．……………………4分（2）因为()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，故1()()02f xg x ->，所以213a x x <-++对任意x ∈R 恒成立．……………………5分设()213h x x x =-++，则313()531311x x h x xx x x ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪+>⎩……………7分 作出()h x 图象得出当1x =时，()h x 取得最小值4，故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(,4)-∞．……………………10分。
河南省中原名校联盟2016届高三数学4月模拟试卷 理(含解析)
2016年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则（∁U A）∪B=（）A．（2，3] B．（﹣∞，1]∪（2，+∞）C．[1，2）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．已知i是虚数单位，若，则a+b的值是（）A．0 B．C．D．3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②5．双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4] C．[2，4）D．（2，+∞）6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知实数x，y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是（）A．B．C．D．18．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣3 D．10．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．212．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C． D．6﹣4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是．14．已知等比数列{a n}为递增数列，a1=﹣2，且3（a n+a n+2）=10a n+1，则公比q= ．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．16．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．（1）求cos C的值；（2）若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．18．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．．19．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2016年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则（∁U A）∪B=（）A．（2，3] B．（﹣∞，1]∪（2，+∞）C．[1，2）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，先求出∁U A={x|x＜0，或x＞2}，再求（∁U A）∪B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，∴∁U A={x|x＜0，或x＞2}，∴（∁U A）∪B={x|x＜0，或x≥1}．故选D．2．已知i是虚数单位，若，则a+b的值是（）A．0 B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简为，再利用两个复数相等的充要条件求出a、b的值，即可得到a+b的值．【解答】解：若，则 a+bi=﹣=﹣=，∴a=，b=0，∴a+b=．故选D．3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据已知中条件p：a＜0，条件q：a2＞a，我们可以判断出条件p与条件q之间的充要关系，然后再根据四种命题之间充要性的相互关系，即可得到答案．【解答】解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1故条件p是条件q的充分不必要条件则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选A．5．双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4] C．[2，4）D．（2，+∞）【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：椭圆的半焦距c=4．要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan60°=，即b＜ a∴＜a，整理得c＜2a∴a＞2，又a＜c=4则此双曲线实半轴长的取值范围是（2，4）故选A．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知实数x，y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是（）A．B．C．D．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】在坐标系中画出满足约束条件的可行域，进而分析x2+y2+2x的几何意义，借助图象数形分析，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件件的平面区域如下图中阴影部分所示：∵x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1，表示（﹣1，0）点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x=0，y=1时，x2+y2+2x取最小值1故选D8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又，即sinφ＜0，0＜φ＜2π当k=1时，此时φ=，满足条件故选C．9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣ C．﹣3 D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，i的值，观察规律可知S出现周期为4，当i=2019时，不满足条件i≤2016，结束循环输出S，输出的s的值为2．【解答】解：模拟执行程序，可得：s=2，i=1满足条件i≤2016，执行循环体，满足条件i≤2016，执行循环体，满足条件i≤2016，执行循环体，满足条件i≤2016，执行循环体，s==2，i=5…，观察规律可知S出现周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2016时，满足条件i≤2016，执行循环体，s=2，i=2019，不满足条件i≤2016，结束循环输出S，输出的s的值为2．故选：A．10．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是=同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P=故选B11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C． D．6﹣4【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．∴V P﹣ABC=×3×2×2=2=1+x+4y，即x+4y=1，∵+≥8恒成立，∴+=（+）（x+4y）=1+≥1+4a+4≥8，解得a≥∴正实数a的最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出（1﹣）6的展开式，可得（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数．【解答】解：∵（1﹣）6=•+•+…+•，∴（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为：31．14．已知等比数列{a n}为递增数列，a1=﹣2，且3（a n+a n+2）=10a n+1，则公比q= ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知可得0＜q ＜1，再由3（a n +a n+2）=10a n+1，得到关于q 的一元二次方程，求解一元二次方程得答案．【解答】解：∵等比数列{a n }为递增数列，且a 1=﹣2＜0， ∴公比0＜q ＜1，又∵3（a n +a n+2）=10a n+1，两边同除a n ， 可得3（1+q 2）=10q ，即3q 2﹣10q+3=0，解得q=3或，而0＜q ＜1，∴．故答案为：．15．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsin θ ）=（1，1），用cos θ，sin θ表示 λ和μ，根据cos θ，sin θ 的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．【解答】解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则E （，0），C （1，1），D （0，1），A （0，0）．设 P （cos θ，sin θ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cos θ，sin θ）=（，﹣λ+μsin θ ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得 0≤θ≤，∴0≤cos θ≤1，0≤sin θ≤1．（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．16．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为1﹣3a．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】作函数f（x）与y=a的图象，从而可得函数F（x）=f（x）﹣a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，从而结合图象解得．【解答】解：作函数f（x）与y=a的图象如下，，结合图象可知，函数f（x）与y=a的图象共有5个交点，故函数F（x）=f（x）﹣a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，∴b+c=2×（﹣4）=﹣8，e+f=2×4=8，﹣（﹣x+1）=a，故x=1﹣3a，即d=1﹣3a，故b+c+d+e+f=1﹣3a，故答案为：1﹣3a．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．（1）求cos C的值；（2）若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．【考点】解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，得到关于sin的关系式，把sin的值代入即可求出值；（2）把sin2A+sin2B=sin2C利用正弦定理化简，得到一个关于a，b和c的关系式，记作①，然后根据余弦定理表示出cosC，把（1）中求出的cosC的值代入，得到关于a，b和c 的另一关系式，记作②，又根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于的一个关系式，且由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，把sinC的值代入关系式中化简，得到又一个关于a，b的关系式，记作③，联立①②③组成方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值．【解答】解：（1）因为sin=，所以cosC=1﹣2sin2=1﹣2=﹣；（2）因为sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得：a2+b2=c2．①由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC，将cosC=﹣代入，得：ab=c2．②由S△AB C=absinC=及sinC==，得：ab=6．③联立①②③，解得或，经检验，满足题意．所以或．18．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．．【考点】独立性检验的应用；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题设知K2=≈2.932＞2.706，由此得到结果．（2）（i）记题设事件为A，利用组合数公式得P（A）=，由此能求出事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率．（ii）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：（1）K2=≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．…（2）（ⅰ）记题设事件为A，则所求概率为P（A）==．…（ⅱ）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．X的期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1．…19．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【分析】解法1（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；（2）先证明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BD⊥EG；（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【解答】解法1（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．…过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．…∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，…又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．…∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．…（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…取DE的中点M，连接MH，MG∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…在△GMH中，，∴…∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…解法2（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．…∴，，…∴，…∴BD⊥EG．…（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x=1，得．…设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则…∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由条件可知，故求的椭圆方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．因为直线AE的方程为：，直线AD的方程为：，从而列式求解即可．【解答】解：（1）由条件可知，故所求椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即△＞0恒成立．设点E（x1，y1），D（x2，y2），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线AE的方程为：，直线AD的方程为：，令x=3，可得，，所以点P的坐标．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线PF2的斜率为=====，所以k•k'为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知 f （x ）=lnx ﹣≥0，即≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n ，累加可得要征的结论．【解答】解：（1）由题意可得 f′（x ）=，∴当a ＞0时，令f′（x ）=0，求得x=a ，由ax ＞0，求得x ＞0，函数的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a ）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数；在（a ，+∞）上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数，故函数f （x ）的极小值为f （a ）=lna 2，无最大值．当a ＜0时，由ax ＞0，求得x ＜0，可得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0），此时函数（﹣∞，a ）上，f′（x ）=＜0，f （x ）是减函数；在（a ，0）上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数，故函数f （x ）的极小值为f （a ）=lna 2，无最大值．（2）证明：取a=1，由（1）知 f （x ）=lnx ﹣≥f （1）=0，∴≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n ，则 1++…+≥ln +ln +ln +…+ln =ln ，故要征得不等式1++…+≥ln成立．【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA•FB，证明：EF ∥CD ．【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质． 【分析】（I ）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB ，∠EDC=∠B ，从而△EDC ∽△EBA ，所以有，利用比例的性质可得，得到；（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得，；φ；； =2cos（+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为 y=1．（Ⅱ）由题意可得，；φ；； =2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos[（+φ）﹣φ]=8×=4．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作中原名校联盟2016届高三四月高考仿真模联考数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜lgx ≤0}，B ＝{x ｜2x≤32}，则A ∩B ＝A ．（－∞，1]B ．（0，13]C ．[13，1 ] D ．2．若复数2a ii＋的实部与虚部相等，则实数a ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线ˆy ＝bx ＋a 近似的刻画其相关关系，根 据图形，以下结论最有可能成立的是A ．线性相关关系较强，b 的值为1．25B ．线性相关关系较强，b 的值为0．83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0．87D ．线性相关关系太弱，无研究价值4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为 A ．92＋14π B ．82＋14π C ．92＋24π D ．82＋24π 5．下列说法错误的是A ．命题“若2x －5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2x －5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥2()2x y ＋”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．若命题p ：0x ∃∈R ，20x ＋0x ＋1＜0，则p ⌝：x ∀∈R ，2x ＋x ＋1≥0 6．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为A ．12 B ．18C ．316 D ．1167．点A （1，2）在抛物线2y ＝2px 上，抛物线的焦点为 F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则｜AB ｜＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．68．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＋－≤－≥，设OA uu r 与OB uu u r 的夹角为θ，则tan θ的最大值为 A ．12 B ．47 C ．34 D ．949．己知角ϕ的终边经过点P （5，－12），函数f （x ）＝sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），满足对任意的x ，存在x 1，x 2使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，且｜x 1－x 2｜的最小值为4π，则f （4π）的值为 A ．513 B ．－513 C ．1213 D ．－121310．设点P 是双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）与圆22x y ＋＝22a b ＋在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF 1｜＝3｜PF 2｜，则双曲线的离心率为 A ．5 B ．52 C ．10 D ．10211．如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意1x ≠2x ，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f（x 1）则称函数f （x ）为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－3x ＋x ＋1；②y ＝3x －2（sinx －cosx ）；③y ＝xe ＋1：④f （x ）＝ln ,00,x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≠＝0．其中函数是“H 函数”的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数f （x ）＝xe －ax 有两个零点x 1＜x 2，则下列说法错误的是 A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．有极小值点0x ，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。
中原名校联盟届高三四月高考仿真模联考
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作中原名校联盟2016届高三四月高考仿真模联考数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜lgx ≤0}，B ＝{x ｜2x≤32}，则A ∩B ＝A ．（－∞，1]B ．（0，13]C ．[13，1 ] D ．2．若复数2a ii＋的实部与虚部相等，则实数a ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两轴单位长度相同），用回归直线ˆy ＝bx ＋a 近似的刻画其相关关系，根 据图形，以下结论最有可能成立的是A ．线性相关关系较强，b 的值为1．25B ．线性相关关系较强，b 的值为0．83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0．87D ．线性相关关系太弱，无研究价值4．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为 A ．92＋14π B ．82＋14π C ．92＋24π D ．82＋24π 5．下列说法错误的是A ．命题“若2x －5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2x －5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥2()2x y ＋”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．若命题p ：0x ∃∈R ，20x ＋0x ＋1＜0，则p ⌝：x ∀∈R ，2x ＋x ＋1≥0 6．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为A ．12 B ．18C ．316 D ．1167．点A （1，2）在抛物线2y ＝2px 上，抛物线的焦点为 F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则｜AB ｜＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．68．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＋－≤－≥，设OA uu r 与OB uu u r 的夹角为θ，则tan θ的最大值为 A ．12 B ．47 C ．34 D ．949．己知角ϕ的终边经过点P （5，－12），函数f （x ）＝sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0），满足对任意的x ，存在x 1，x 2使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，且｜x 1－x 2｜的最小值为4π，则f （4π）的值为 A ．513 B ．－513 C ．1213 D ．－121310．设点P 是双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）与圆22x y ＋＝22a b ＋在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF 1｜＝3｜PF 2｜，则双曲线的离心率为 A ．5 B ．52 C ．10 D ．10211．如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意1x ≠2x ，都有x 1f （x 1）＋x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）＋x 2f（x 1）则称函数f （x ）为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－3x ＋x ＋1；②y ＝3x －2（sinx －cosx ）；③y ＝xe ＋1：④f （x ）＝ln ,00,x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≠＝0．其中函数是“H 函数”的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数f （x ）＝xe －ax 有两个零点x 1＜x 2，则下列说法错误的是 A ．a ＞e B ．x 1＋x 2＞2C ．x 1x 2＞1D ．有极小值点0x ，且x 1＋x 2＜2x 0第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。
河南省中原名校高考数学冲刺仿真试卷(理科).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2016年河南省中原名校高考数学冲刺仿真试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足z（2+i）=3﹣5i，则复数z的实部为（）A．﹣B．﹣C．D．2．已知命题p：∀x∈N*，3x2﹣2x+5＞lnx，则￢p为（）A．∀x∈N*，3x2﹣2x+5＜lnx B．∀x∈N*，3x2﹣2x+5≤lnxC．∃x∈N*，3x2﹣2x+5＜lnx D．∃x∈N*，3x2﹣2x+5≤lnx3．已知cosα=，α∈（，2π），则sin（）的值为（）A．B．C．D．4．为了加入大学的学生会，甲、乙两位大一新生分别在7个部门中选择4个进行面试，则他们所选的面试部门中，恰有3个相同的选法有（）种．A．210 B．420 C．630 D．8405．小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则小明绘制的建筑物的体积为（）A．16+8πB．64+8πC．64+D．16+6．已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y=0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1=0与抛物线C3的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能7．执行如图的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填（）A．i？B．i？C．i＞？D．i？8．已知边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE、CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则•=（）A．﹣6 B．﹣9 C．6 D．99．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）+m=0有3个实数根，则实数m的取值范围为（）A．（1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（1，5）D．（﹣5，﹣1）=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB 10．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B．C． D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线分别为l1，l2，直线l：y=﹣x+c过双曲线C的右焦点F（c，0），且分别与直线l1，l2交于A，B两点，若=，则双曲线C 的离心率为（）A． B．2C．4 D．12．已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0二、填空题13．已知集合A={x|2x2﹣3x﹣5＜0}，B={x|y=log2（1﹣x）}，则A∩（∁R B）=______．14．已知实数x，y满足则的取值范围为______．15．已知（2x++a）6（a∈Z）的展开式中常数项为1，则（m+an）8的展开式中含m3n5的项的系数为______．16．已知△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC且AD交BC于点D，AD=a，若≤m恒成立，则实数m的取值范围为______．三、解答题17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且=28，a3=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18．将某商场A，B两个品牌店在某日14：00﹣18：00四个时段（每个小时作为一个时段）的客流量统计并绘制成如图所示的茎叶图．（1）若从B商场中任选2个时段的数据，求这2个时段的数据均多于A商场数据平均数的概率；（2）从这8个数据中随机选取3个，设这3个数据中大于35的个数为X，求X的分布列和数学期望．19．多面体ABCDFE中，底面四边形ABCD为矩形，EF∥AD，AE=FD，FG=GD，AD=2AB=2EF=2，且四边形EADF的面积为．（1）判断直线BF与平面ACG的关系，并说明理由；（2）若平面EADF⊥平面ABCD，求平面FBC与平面ACG形成的锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣2，3）．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，且直线l交椭圆C于M、N两点，直线m交椭圆C于P、Q两点，求|MN|+|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣mx﹣n．（1）求函数f（x）在[0，1]上的最小值；（2）若方程f（x）=mx2+（n﹣m）x﹣n+1的一个解为1，且该方程还在（0，1）上有解，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线DA过圆O的圆心，且交圆O于A，B两点，BC=CO=BD，DM为圆O的一条割线，且与圆O交于M，T两点．（1）证明：DT•DM=DO•DC；（2）若∠DOT=80°，BM平分∠DMC，求∠BMC的大小．[选修4-4：坐标系于参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于B、D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式：f（x）≥2；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）≥m，求实数m的取值范围．2016年河南省中原名校高考数学冲刺仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足z（2+i）=3﹣5i，则复数z的实部为（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解复数为：a+bi的形式，即可得到结果．【解答】解：由题意可得：z===．复数z的实部为：．故选：C．2．已知命题p：∀x∈N*，3x2﹣2x+5＞lnx，则￢p为（）A．∀x∈N*，3x2﹣2x+5＜lnx B．∀x∈N*，3x2﹣2x+5≤lnxC．∃x∈N*，3x2﹣2x+5＜lnx D．∃x∈N*，3x2﹣2x+5≤lnx【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈N*，3x2﹣2x+5＞lnx，则￢p为：∃x∈N*，3x2﹣2x+5≤lnx．故选：D．3．已知cosα=，α∈（，2π），则sin（）的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数．【分析】cosα=，α∈（，2π），由同角三角函数的基本关系，即可求得sinα的值，根据两角和正弦公式将sin（）展开即可求得sin（）的值．【解答】解：因为cosα=，α∈（，2π），∴sinα=﹣，sin（）=sinαcos+cosαsin=﹣×（﹣）+×=，故答案选：A．4．为了加入大学的学生会，甲、乙两位大一新生分别在7个部门中选择4个进行面试，则他们所选的面试部门中，恰有3个相同的选法有（）种．A．210 B．420 C．630 D．840【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据分步计数原理，先选3门确定为甲乙相同的3门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．【解答】解：先出7门中选3门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有3门相同，故有C73×A42=420种情况，故选：B．5．小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则小明绘制的建筑物的体积为（）A．16+8πB．64+8πC．64+D．16+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个圆锥、一个圆柱及一个正方体由上而下拼接而成的．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个圆锥、一个圆柱及一个正方体由上而下拼接而成的．故所求的体积V=+π×12×2+43=64+．故选：C．6．已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y=0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1=0与抛物线C3的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】先求出抛物线C1的方程，再利用平移变换得出抛物线C3，注意到直线l：x+16y﹣1=0过点A（0，），且A在抛物线C3的内部，即可得出结论．【解答】解：圆C2：x2+y2+4x﹣2y=0的圆心坐标为（﹣2，1），代入抛物线C1：y=a（x+1）2﹣3，可得1=a﹣3，∴a=4．∴抛物线C1：y=4（x+1）2﹣3．将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3：y=4x2，注意到直线l：x+16y﹣1=0过点A（0，），且A在抛物线C3的内部，故直线l与抛物线C3相交，故选：A．7．执行如图的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填（）A．i？B．i？C．i＞？D．i？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，M，N的值，根据输出的值为，即可得解判断框中的条件．【解答】解：模拟执行程序，可得第一次，i=2，M=2，N=4；第二次，i=2，M=4，N=6；第三次，i=，M=6，N=；第四次，i=，M=，N=；第五次，i=，此时必须终止循环，观察可知判断框中可以填i？，故选：D．8．已知边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE、CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则•=（）A ．﹣6B ．﹣9C ．6D ．9【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据条件及向量数乘的几何意义便可得出，进而可得出，同样，这样就用表示出了，并且，带入进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：根据题意，，；∴==；又，且∠CDE=120°；∴===9． 故选D ．9．已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）+m=0有3个实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（1，3） B ．（﹣3，﹣1） C ．（1，5） D ．（﹣5，﹣1） 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f （x ）+m=0得f （x ）=﹣m ， 作出函数f （x ）的图象如图：由图象知要使f （x ）+m=0有3个实数根， 则等价为f （x ）=﹣m 有3个不同的交点， 即﹣5＜﹣m ＜﹣1，即1＜m ＜5， 即实数m 的取值范围是（1，5）， 故选：C10．已知在三棱锥P ﹣ABC 中，V P ﹣ABC =，∠APC=，∠BPC=，PA ⊥AC ，PB⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC ，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，可得PC 的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积． 【解答】解：由题意，设PC=2x ，则∵PA ⊥AC ，∠APC=，∴△APC 为等腰直角三角形， ∴PC 边上的高为x ，∵平面PAC ⊥平面PBC ， ∴A 到平面PBC 的距离为x ，∵∠BPC=，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PB=x ，BC=x ，∴S △PBC ==，∴V P ﹣ABC =V A ﹣PBC ==，∴x=2，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线分别为l1，l2，直线l：y=﹣x+c过双曲线C的右焦点F（c，0），且分别与直线l1，l2交于A，B两点，若=，则双曲线C 的离心率为（）A． B．2C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的渐近线方程，将A和B代入，求得A和B的横坐标，由=，﹣c=2丨﹣c丨，化简求得a和b的关系，由双曲线的离心率公式e==，即可求得e．【解答】解：由题意，设双曲线C的渐近线方程l1，l2分别为：y=x，y=﹣x，点A（x1，y1），A（x2，y2），A和B分别满足，，解得：x1=，x2=，∵=，∴﹣c=2丨﹣c丨，化简得：b=3a，故e===，故答案选：A．12．已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）e x，∴f′（x）=（）e x，设h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0．故选：A．二、填空题13．已知集合A={x|2x2﹣3x﹣5＜0}，B={x|y=log2（1﹣x）}，则A∩（∁R B）=[1，）．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（2x﹣5）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜，即A=（﹣1，），由B中y=log2（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴B=（﹣∞，1），即∁R B=[1，+∞），则A∩（∁R B）=[1，），故答案为：[1，）14．已知实数x，y满足则的取值范围为[，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（﹣3，2）的斜率，令：k=，由图象知：CD的斜率最小，BD的斜率最大，可得C（﹣1，﹣5），由可得B（2，1），此时BD的斜率k==，CD的斜率k==﹣．故答案为：[，]．15．已知（2x++a）6（a∈Z）的展开式中常数项为1，则（m+an）8的展开式中含m3n5的项的系数为﹣56．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用（2x++a）6（a∈Z）的展开式中常数项为1，求出a，确定（m+an）8的展开式的通项，即可求出（m+an）8的展开式中含m3n5的项的系数．【解答】解：（2x++a）6（a∈Z）的展开式中常数项为+=1，可化为（a3+239）（a3+1）=0，∵a∈Z，∴a=﹣1，∴（m+an）8的展开式的通项为，令r=5，可得所求系数为﹣56．故答案为：﹣56．16．已知△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC且AD交BC于点D，AD=a，若≤m恒成立，则实数m的取值范围为[2，+∞）．【考点】余弦定理．【分析】根据题意，利用正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角函数的有界性，即可求出m的取值范围．【解答】解：如图所示，由正弦定理知，=，由三角形面积公式可得bcsin∠BAC=a•AD，又AD=a，所以bcsin∠BAC=a2，由余弦定理得b2+c2=a2+2bccos∠BAC，故=2sin∠BAC+2cos∠BAC=2sin（∠BAC+）≤2，所以m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．三、解答题17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且=28，a3=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q（q不为1），运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项、公比，即可得到所求通项公式；（2）求得b n==3（﹣），运用数列的求和方法：分组求和及裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q不为1），由=28，a3=9，可得•=28，a1q2=9，解得a1=1，q=3，则数列{a n}的通项公式为a n=a1q n﹣1=3n﹣1；（2）=，可得b n====3（﹣），可得数列{a n+b n}的前n项和T n=（1+3+32+…+3n﹣1）+3（1﹣+﹣+…+﹣）=+3（1﹣）=+．18．将某商场A，B两个品牌店在某日14：00﹣18：00四个时段（每个小时作为一个时段）的客流量统计并绘制成如图所示的茎叶图．（1）若从B商场中任选2个时段的数据，求这2个时段的数据均多于A商场数据平均数的概率；（2）从这8个数据中随机选取3个，设这3个数据中大于35的个数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）先求出A组4个数据的平均数，从而得到B组4个数据比A组平均数多的有3个，由此能求出这2个时段的数据均多于A商场数据平均数的概率；（2）这8名促销员所促销件数多于35件的共有4人，则X的值可能为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）A组4个数据的平均数为=34（件）．B组4个数据比A组平均数多的有3个，所以所求的概率P==．（2）这8个数据中大于35的共有4个，则X的值可能为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==P（X=3）==．则X的分布列为X 0 1 2 3P所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．19．多面体ABCDFE中，底面四边形ABCD为矩形，EF∥AD，AE=FD，FG=GD，AD=2AB=2EF=2，且四边形EADF的面积为．（1）判断直线BF与平面ACG的关系，并说明理由；（2）若平面EADF⊥平面ABCD，求平面FBC与平面ACG形成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）直线BF∥平面ACG．下面给出证明：连接BD，交AC于点H，连接GH．底面四边形ABCD为矩形，可得BH=HD，利用三角形中位线定理可得BF∥HG，利用线面平行的判定定理即可证明BF∥平面ACG．（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．由平面EADF⊥平面ABCD，可得z轴在平面AEFD内．由等腰梯形EADF的面积为，可得高=．设平面FBC的一个法向量为=（x1，y1，z1），则，可得，同理可得平面ACG的一个法向量，利用=即可得出．【解答】解：（1）直线BF∥平面ACG．下面给出证明：连接BD，交AC于点H，连接GH．∵底面四边形ABCD为矩形，∴BH=HD，又FG=GD，∴BF∥HG，又BF⊄平面ACG，HG⊂平面ACG，∴BF∥平面ACG．（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，\建立空间直角坐标系A﹣xyz．A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），由平面EADF⊥平面ABCD，可得z轴在平面AEFD内．∵等腰梯形EADF 的面积为，则高==．∴E （0，，），F （0，，），G （0，，）．=（0，2，0），=（﹣1，﹣，），=（1，2，0），=（0，，）．设平面FBC 的一个法向量为=（x 1，y 1，z 1），则，即，取=．设平面ACG 的一个法向量为=（x 2，y 2，z 2），则，即，取=．∴===．∴平面FBC 与平面ACG 形成的锐二面角的余弦值是．20．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（﹣2，3）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作两条相互垂直的直线l ，m ，且直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，直线m 交椭圆C 于P 、Q 两点，求|MN |+|PQ |的最小值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且过点（﹣2，3），列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）椭圆C的右焦点F1（2，0），当直线l，m中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=14，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程，得，整理，得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由弦长公式求出|MN|=，设直线m的方程为y=﹣，同理得|PQ|=，由此利用换元法能求出|MN|+|PQ|的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣2，3），∴，解得a2=16，b2=12，c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知椭圆C的右焦点F1（2，0），当直线l，m中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=6+8=14，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，得，整理，得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，，，∴|MN|=•=设直线m的方程为y=﹣，同理得|PQ|=，∴|MN|+|PQ|=+=，设t=k2+1，则t＞1，∴|MN|+|PQ|=，∵t＞1，∴0＜，∴|MN|+|PQ|的最小值为．21．已知函数f（x）=e x﹣mx﹣n．（1）求函数f（x）在[0，1]上的最小值；（2）若方程f（x）=mx2+（n﹣m）x﹣n+1的一个解为1，且该方程还在（0，1）上有解，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出函数的最值，（2）构造函数g（x），转化为函数g（x）在（0，1）上有零点，根据零点存在定理和导数和与函数的关系，即可求出m的范围．【解答】解：（1）依题意，f′（x）=e x﹣m，①当m≤0时，f′（x）=e x﹣m＞0，∴f（x）在R上单调递增，从而f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）min=f（0）=1，①当m＞0时，f′（x）=e x﹣m＞0，即x＞lnm，∴f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增，当lnm≤0，即0＜m≤1，f（x）在（0，lnm）上单调递减，∴f（x）min=f（0）=1﹣n，当0＜lnm＜1，即1＜m＜e时，∴f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，1）上单调递增，∴f（x）min=f（lnm）=m﹣mlnm﹣n，当lnm≥1，即m≥e时，f（x）在[0，1]上单调递减，∴f（x）min=f（1）=e﹣m﹣n综上所述，f（x）min=（2）g（x）=﹣f（x）+mx2+（n﹣m）x﹣n+1=n﹣e x+mx+mx2+（n﹣m）x﹣n﹣1=﹣e x+mx2+nx+1，问题转化为，且g′（x）=n+mx﹣e x=﹣f（x），g（0）=g（1）=0，令x0为g（x）在（0，1）内的一个零点，则由g（0）=g（x0）=0知，g（x）在（0，x0）内不单调递增，也不单调递减，也不单调递增，从而﹣f（x）在（0，x0）内不能恒为正，也不能恒为负．∴﹣f（x）在（0，x0）内存在零点x1，同理﹣f（x）在（x0，1）存在零点x2，∴﹣f（x）在（0，1）内至少有两个零点x1，x2，由（1）知，当m≤1时，﹣f（x）在（0，1）内单调递减，∴﹣f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意，当1＜m＜e时，﹣f（x）在（0，lnm）上单调递增，在（lnm，1）上单调递减，∴x1∈（0，lnm），x2∈（lnm，1），从而﹣f（0）=n﹣1＜0，﹣f（1）=m+n﹣e＜0，否则，矛盾，∴﹣f（0）=n﹣1=e﹣2﹣＜0，即m＞2（e﹣2）；﹣f（1）=m+n﹣e=﹣1＜0，即m＜2，∴2（e﹣2）＜m＜2，当2（e﹣2）＜m＜2时，﹣f（x）在（0，1）的最大值为[﹣f（x）]max=n+mlnm﹣m，若[﹣f（x）]max=n+mlnm﹣m≤0，则﹣f（x）≤0，x∈[0，1]，从而g（x）在[0，1]上单调递减，这与g（0）=g（1）=0相矛盾，∴[﹣f（x）]max=n+mlm﹣m＞0，又f（0）＜0，﹣f（1）＜0，∴﹣f（x）在（0，lnm），（lnm，1）内各有一个零点x1，x2，∴g（x）在（0，x1）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增，在（x2，1）内单调递减，∴g（x1）＜g（0）=0，g（x2）＞g（1）=0，∴g（x）在（x1，x2）内有零点，∴m的取值范围是（2（e﹣2），2）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线DA过圆O的圆心，且交圆O于A，B两点，BC=CO=BD，DM为圆O的一条割线，且与圆O交于M，T两点．（1）证明：DT•DM=DO•DC；（2）若∠DOT=80°，BM平分∠DMC，求∠BMC的大小．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由割线定理可得DT•DM=DB•DA，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证；（2）结合（1）的结论证得△DTO∽△DCM，得到两个角∠DOT、∠DMC相等，结合圆周角定理即可求得∠BMC．【解答】（1）证明：由割线定理得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），因BD=OB，且BC=OC=，则DB•DA=r•3r=3r2，DO•DC=2r•r=3r2，所以DT•DM=DO•DC．（2）解：由（1）可知，DT•DM=DO•DC，且∠TDO=∠CDM，故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠DMB=40°，即有∠BMC=40°．[选修4-4：坐标系于参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于B、D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程；（2）判断直线l的定点A（﹣1，1）与圆C的位置关系得出当AC⊥l时，|BD|最小．利用斜率的关系列方程解出．【解答】解：（1）曲线C的普通方程为x2+（y﹣3）2=9，即x2+y2=6y，∴曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρsinθ，即ρ=6sinθ．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴，∴直线l的普通方程x+1=a（y﹣1），即x﹣ay+a+1=0．（2）曲线C的圆心为C（0，3），设A（﹣1，1），则直线l横过点A．∵|AC|==＜3，∴A在圆C内部，∴直线l与曲线C恒有两个交点，且当AC⊥l时，|BD|取得最小值．∴k AC==2，直线l的斜率为，∴=﹣1，解得a=﹣2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式：f（x）≥2；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）≥m，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可解不等式：f（x）≥2；（2）若∃x0∈R，使得f（x0）≥m，等价于f（x）max≥m，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，|x﹣2|﹣|x+1|≥2．x＜﹣1，不等式可化为2﹣x+x+1≥2，成立，∴x＜﹣1；﹣1≤x≤2，不等式可化为2﹣x﹣x﹣1≥2，解得x≤﹣，∴﹣1≤x≤﹣；x＞2，不等式可化为x﹣2﹣x﹣1≥2，无解；综上所述，不等式的解集为（﹣∞，﹣]；（2）∃x0∈R，使得f（x0）≥m，等价于f（x）max≥m，∵f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|=3，∴m≤3．2016年10月4日。
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中原名校联盟2016届高三四月高考仿真模拟联考数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜0≤x ≤2}，B ＝{y ｜1≤y ≤3}，则（C U A ）UB ＝ A ．（2，3] B ．（－∞，1]U （2，＋∞） C ．[1，2） D ．（－∞，0）U[1，＋∞）2．已知i 是虚数单位，若a ＋bi ＝2i i ＋－2ii －（a ，b ∈R ），则a ＋b 的值是 A ．0 B ．－25i C ．－25 D ．253．已知条件p ：a ＜0，条件q ：2a ＞a ，则p ⌝是q ⌝的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②5．双曲线22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）与椭圆221259x y ＋＝的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是A ．（2，4）B ．（2，4]C ．[2，4）D ．（2，＋∞） 6．若数列{n a }满足11n a －－1n a ＝d （n ∈N ﹡，d 为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝A ．10B ．20C ．30D ．407．已知实数x ，y 满足约束条件0,3440,x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≥,≥则22x y ＋＋2x 的最小值是A ．25 B1 C ．2425D ．1＜ 8．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋ϕ），其中0＜ϕ2π，若f （x ）≤｜f （6π）｜对x ∈R 恒成立，且f （2π）＞f （π），则ϕ等于 A ．6π B ．56πC ．76πD ．116π9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的 值是 A ．2 B ．－12C ．－3D ．1310．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为A ．585B ．1481C ．2281D ．258111．过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若｜AF ｜＝3，则△AOB 的面积为A ．2 B C ．2D ．12．如下图，在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝2，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：f （M ）＝（m ，n ，p ），其中m ，n ，p 分别表示三棱锥M －PAB ，M －PBC ，M －PAC 的体积，若f （M ）＝（1，x ，4y ），且1x ＋ay≥8恒成立，则正实数a 的最小值是A ．2C D ．6－第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。
）13．(2x＋x)6(1的展开式中x 的系数是__________________． 14．已知等比数列{n a }为递增数列，a 1＝－2，且3（n a ＋n a ＋2）＝10n a ＋1，则公比q ＝______________．15．如右图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC uuu r＝λDE u u u r ＋μAP uu u r ，则λ＋μ的最小值为_____________．16．定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝13(1)[0,2)14[2,)x x x x ,⎧⎪⎨⎪⎩log ＋∈－－,∈＋∞，则关于x 的函数F （x ）＝ f （x ）－a （0＜a ＜1）的所有零点之和为_____．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
） 17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，C ，已知sin 2C＝4． （1）求cosC 的值； （2）若△ABC，且2sin A ＋2sin B ＝213sin 16C ，求a ，b 及c 的值．18．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据（人数）：（1）能否有90％以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? （2）进一步调查： ①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述 发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的 概率； ②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X,求X 的分布列和数学期望．附：19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点． （1）求证：BD ⊥EG ：（2）求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点B （0端点，∠OF 2B ＝60°．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过右焦点F 2，且斜率k （k ≠0）的直线l与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点， 直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线 段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k '．试 问k ·k '是否为定值?若为定值，求出该定值； 若不为定值，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝lnax －x ax－（a ≠0）． （1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13…＋1n ≥ln !ne n （e 为自然对数的底数）．【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（1）若EC EB ＝13，ED EA ＝12，求DCAB的值； （2）若EF 2＝FA ·FB ，证明：EF ∥CD ．23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】 极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝（θ＋4π），曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a （a ＞0），射线θ＝ϕ，θ＝ϕ＋4π，θ＝ϕ－4π，θ＝2π＋ϕ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求｜OA ｜·｜OC ｜＋｜OB ｜·｜OD ｜的值． 24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数f （x ）＝｜x －a ｜．（1）若f（x）≤m的解集为[－1，5]，求实数a，m的值；（2）当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）＋t≥f（x＋2）．中原名校2016年四月份高考仿真模拟联考数学（理）试题参考答案一、选择题： 1．D因为{|2U C A x x =>或0}x <，{|13}B y y =≤≤，所以()U C A B =()[)+∞∞-,10, 。
2．D因为2121222415i i i i a bi i i +-++=-==+-+，所以22,0,55a b a b ==+= 3．B因为:0p a ⌝≥，:01q a ⌝≤≤，所以p ⌝是q ⌝必要不充分条件4．A由所给的正方体知，△PAC 在该正方体上下面上的射影是①，△PAC 在该正方体左右面上的射影是④， △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故①，④符合题意 5．A椭圆221259x y +=的半焦距4c =． 要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即60tan ba︒=＜即b 2223c a a ∴-＜整理得2c a ＜ ∴2a ＞ 又4a c =＜，则此双曲线实半轴长的取值范围是24（，）6．B由题意知：∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列 ∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝ ∴{}n x 是等差数列 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x + ∴12020x x +=又12051651620x x x x x x +=+∴+= 7．D满足约束条件件0,344,0,x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩的平面区域如下图中阴影部分所示：2222211x y x x y ++=++- （），表示10-（，）点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当01x y ==，时，222x y x ++取最小值1 8．C若()6f x f π⎛⎫≤∈⎪⎝⎭对x R 恒成立则6f π（）等于函数的最大值或最小值 即262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，则()62k k Z f f ππϕππ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈，又＞，即002sin ϕϕπ＜，＜＜当1k =时，此时76πϕ=，满足条件9．A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+; 11()12,4131()2s i +-===--;1132,511)3s i +===-……..，可知S 出现周期为4， 当 201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，,即输出的 2s =， 10．B分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是53 ，满足条件的事件数是131342C C C ∴这种结果发生的概率是 131********C C C = ,同理求得第二种结果的概率是 681,根据互斥事件的概率公式得到8614818181P =+=11．C设直线 AB 的倾斜角为 (0)θθπ<<及 BF m =，∵ 3AF =，∴点 A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴ 23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则sin θ= 因为2cos()m m πθ=+-所以231cos 2m θ==+ ∴AOB ∆的面积为113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=． 12．C∵PA PB PC 、、 两两垂直，且322PA PB PC ===．，．∴1132221432P ABC V x y -=⨯⨯⨯⨯==++即41x y +=，∵18ax y +≥恒成立， ∴11a a x y x y +=+（）(4)x y+414148ax ya a y x=+++≥++解得a ≥∴正实数a的最小值为二、填空题： 13．316(1的展开式中的第r项621661((1)r r r r rr r T C C x -+==-，若求x 的系数，只需要找到6(1展开式中的2x 的系数和常数项分别去乘x x +2中2x的系数和x 的系数即可。