【创新设计】-版高中数学 2.3.2方差与标准差试题 苏教版必修3

2.3.2 方差与标准差
双基达标
限时15分钟
1．已知一个样本的方差s 2＝110[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2
]，这个样本的平均
数是________．
解析 由方差公式的形式易知平均数为2. 答案 2
2．数据5,7,7,8,10,11的标准差是________． 解析 数据的平均数是：
x ＝
5＋7＋7＋8＋10＋11
6
＝8，标准差为：s ＝2.
答案 2
3．如图是全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________.
解析 由平均数和方差公式可知：平均数为85，方差为1.6. 答案 85；1.6
4．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5
＋1的标准差是________．
解析 若数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为s 2
，则样本ax 1＋b ，ax 2＋b ，ax 3＋b ，ax 4＋b ，
ax 5＋b 的方差为a 2s 2.
由题意知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42
×3＝48. ∴其标准差为48＝4 3. 答案 4 3
5．一个样本的方差是0，若中位数是a ，那么它的平均数是________．
解析 由于样本的方差是0，这组数每一个数都相等，又中位数是a ，所以它的平均数是a .
答案 a
6．对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：
解 他们的平均速度为：
x 甲＝16
(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)， x 乙＝16
(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)．
他们的平均速度相同，比较方差：
s 甲2＝16
[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]
＝473
(m 2/s 2
)， s 乙2＝16[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383
(m 2/s 2)．
∵s 甲2
＞s 乙2
，即s 甲＞s 乙．
故乙的成绩比甲稳定．∴选乙参加比赛更合适．
综合提高
限时30分钟
7．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所
示：
解析 成绩最好的为乙、丙，而表现最为稳定的为丙． 答案 丙
8．若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差约为________．(精确到小数点后两位)
解析 s 2
＝121[(a 1－x )2＋(a 2－x )2＋…＋(a 20－x )2＋(x －x )2
]＝121
×20×0.20＝4
21
≈0.19. 答案 0.19
9．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组．[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b |＝________.
答案 mh
10．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转
化关系为：Z ＝
x －x
s
(其中x 是某位学生考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次考试
的标准差，Z 是这位学生的标准分)．但考试分数转化成标准分后可能出现小数或负值．因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数．例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：T ＝40Z ＋60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平
均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为________．
解析 利用题中给出的公式算得Z ＝0.6，∴T ＝40×0.6＋60＝84. 答案 84
11．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图．
(1)则 表示的原始数据是什么？
(2)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； (3)比较两名同学成绩的优劣． 解 (1)103
(2)甲的平均数为87，标准差为12.3；乙的平均数为95，标准差为10.2. (3)甲的学习状况不如乙．
12．为了解A ，B 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)
轮胎A 96,112,97,108,100,103,86,98 轮胎B 108,101,94,105,96,93,97,106
(1)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定． 解 (1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98
8
＝100，
中位数为：100＋98
2
＝99；
B 轮胎行驶的最远里程的平均数为：
108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106
8
＝100，
中位数为：101＋97
2
＝99.
(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为： 112－86＝26， 标准差为：
s ＝
42
＋122
＋32
＋82
＋0＋32
＋142
＋2
2
8
＝
221
2
≈7.43； B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，
标准差为：
s ＝
82
＋12
＋62
＋52
＋42
＋72
＋32
＋6
2
8
＝
118
2
≈5.43. (3)由于A 和B 的最远行驶里程的平均数相同，而B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B 轮胎性能更加稳定．
13．(创新拓展)某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数(单位：分)情况如下表：
解 设第一组20名学生的成绩为x 1，x 2，x 3，…，x 20，第二组20名学生的成绩为x 21，
x 22，…，x 40，根据题意得
90＝
x 1＋x 2＋…＋x 20
20，80＝x 21＋x 22＋…＋x 40
20，
x ＝
x 1＋x 2＋…＋x 4040
＝
90×20＋80×20
40
＝85(分)，
第一组的方差s 12＝120(x 12＋x 22＋…＋x 202)－902
，①
第二组的方差s 22＝120(x 212＋x 222＋…＋x 402)－802
，②
由①＋②，得
36＋16＝120(x 12＋x 22＋…＋x 202＋x 212＋…＋x 402)－(902＋802
)，
∴
x 12＋x 22＋…＋x 402
40
＝7 276(分2
)
∴s 2
＝
x 12＋x 22＋…＋x 402
40
－852
＝7 276－7 225＝51(分2
)，
∴s ＝51(分).。