河北省正定中学-高三数学理科第二次月考试卷
河北省正定中学高三数学上学期第二次月考试题文(扫描版)
高三数学（文科）参考答案及评分标准一．选择题（1）C （2）D （3）D （4）A （5）C （6）B （7）A （8）C （9）D （10）C （11）A （12）B 二．填空题（13）3 （14）11212n n --+ （15）31+ （16）230三．解答题（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为(0)d d >∵123,,a a S 成等比数列，∴2213a a S =，即；2(1)33d d +=+，又0d >，得2d =， ………3分 ∴1(1)221n a n n =+-⨯=-，………4分2(121)2n n nS n +-==． ………5分（Ⅱ）2111111()4141(21)(21)22121n S n n n n n ===----+-+ ………7分∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ ………10分 （18）解：（Ⅰ）∵22cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，，∴2cos 2a b c d ⋅-⋅=θ，………3分 ∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴02cos22<<θ，∴d c b a ⋅-⋅的取值范围是（0，2）………6分（Ⅱ）∵2()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ，2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ，………8分∴22()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ，………10分∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴2cos20>θ，∴()()f a b f c d ⋅>⋅ ………12分（19）解：（Ⅰ）∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+．………1分∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-，∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ………3分即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-．所以 ()ln 2x f x x =-………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得当1x >时，()0k f x x +<恒成立即 ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-．令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--．………8分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=． 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=． ……10分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=．因此，当1x >时，2ln 2x k x x<-恒成立，则12k ≤．∴ k 的取值范围是1(,]2-∞…12分 （20）解：（Ⅰ）由正弦定理可得，3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =-,从而可得3sin()2sin cos A C B A +=，………3分 3sin 2sin cos B B A =，又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是3cos 2A =， 又A 为三角形内角，因此，6A π=． ………5分（Ⅱ）255cos()2sin sin cos 1sin cos()1226C B B C B B ππ--=+-=+--， 5533sin coscos sin sin 1sin cos 13sin()166226B B B B B B πππ=++-=--=-- (8)分 由6A π=可知，5(0,)6B π∈，所以2(,)663B πππ-∈-，从而1sin()(,1]62B π-∈-, 323)1(31]62B π--∈-，故25cos()2sin 22CB π--的取值范围为32(,31]2+--．………12分（21）解：（Ⅰ）在1320n n a S +++=中，令1n =可得21320a a ++=，24a =；令2n =可得32320a S ++=，38a =-；………2分当2n ≥时，1320n n a S +++=与1320n n a S -++=相减得()113n n n n a a S S +--=--，即130n n n a a a +-+=，12n n a a +=-（2n ≥），而1n =时也符合该等式，故数列{}n a 是首项为2-，公比也为2-的等比数列，其通项公式为()2nn a =-．………5分（Ⅱ）2480n n a ma m ---=，即()()22248nnm m ---=+，()()()()2288242424nn n nm --==--+-+-+，………8分若存在整数对(),m n ，则()824n-+必须是整数，其中()24n -+只能是8的因数1±，2±，4±，8±，显然()241n -+=±无解，()242n-+=±，可得1n =，2m =-；()244n-+=±可得3n =，14m =-；()248n-+=±可得2n =，1m =；综上所有的满足题意得整数对为()2,1-，()14,3-，()1,2．………12分（22）解：（Ⅰ）当()()()()221,1,'212x x a f x x bx e f x x b x b e --⎡⎤==++=-+-+-⎣⎦, …1分 所以,0b = 时,()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞； ………2分0b >时, ()f x 的单调递增区间为()1,1b -,递减区间为()(),1,1,b -∞-+∞； ………3分 0b <时, ()f x 的单调递增区间为()1,1b -,递减区间为()(),1,1,b -∞-+∞ ． ………4分（Ⅱ）由()11f =得21,12a b e b e a ++==--． ………5分由()1f x =得221x e ax bx =++,设()221x g x e ax bx =---, 则()g x 在()0,1内有零点．……6分设0x 为()g x 在()0,1内的一个零点, 则由()00g =，()10g =知()g x 在区间()00,x 和()0,1x 上不可能单调递增,也不可能单调递减,设()()'h x g x =,则()h x 在区间()00,x 和()0,1x 上均存在零点, 即()h x 在()0,1上至少有两个零点．()()'4,'4x x g x e ax b h x e a =--=-． ………8分当14a ≤时,()()'0,h x h x > 在区间()0,1上递增,()h x 不可能有两个及以上零点； 当4ea ≥时,()()'0,h x h x < 在区间()0,1上递减,()h x 不可能有两个及以上零点；当144ea <<时,()'0h x =得()()ln 40,1,x a =∈所以()h x 在区间()()0,ln 4a 上递减, 在()()ln 4,1a 上递增,()h x 在区间()0,1上存在最小值()()ln 4h a ,若()h x 有两个零点, 则有：()()()()ln 40,00,10h a h h <>>．()()()()1ln 444ln 464ln 4144e h a a a a b a a a e a ⎛⎫=--=-+-<< ⎪⎝⎭, ………10分设()()3ln 1,12x x x x e x e ϕ=-+-<<,则()1'ln 2x x ϕ=-,令()'0x ϕ=,得x e =,当1x e <<时,()()'0,x x ϕϕ> 递增, 当e x e <<时,()()'0,x x ϕϕ< ， 递减,()()()()max 10,ln 40x e e e h a ϕϕ==+-<∴< 恒成立．由()()01220,140h b a e h e a b =-=-+>=-->,得2122e a -<<． 当2122e a -<<时, 设()h x 的两个零点为12,x x ,则()g x 在()10,x 递增, 在()12,x x 递减, 在()2,1x 递增, 所以()()()()1200,10g x g g x g >=<=,则()g x 在()12,x x 内有零点．综上,实数a 的取值范围是21,22e -⎛⎫⎪⎝⎭． ………12分。
河北省石家庄市高三数学第二次模拟考试试题 理(扫描版)新人教A版
数学理科答案一、选择题1—5：DBACA 6—10：BABAD 11—12：BC二、填空题 13. 5 14.20x y -+=15. (1,3]三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）17. 解：（Ⅰ）：由已知的等差中项和是A c a B b cos C cos cos 得2bcosB=acosC+ccosA …………………………2分代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,化简得2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ，………………………4分所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在三角形ABC 中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以.………………………6分 （Ⅱ）当△ABC 的外接圆面积为π时，则R=1，所以直径2R=2， b=2RsinB=3，……………………8分由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号。
所以得到ac ≤3，………………………10分 则433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC .…………………12分 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品的频率为6.05040.05080.0=⨯+⨯，二级品的频率为4.05.06.05020.0=⨯+⨯，三级品的频率为0所以，在A 型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件D ，恰好有n 个一级品为事件n D ，则=)(2D P 213101426=C C C ，=)(3D P 6131036=C C ……………………………2分因为事件32D D 、为互斥事件，所以，=+=)()()(32D P D P D P 326121=+ 即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为32……………………………4分（Ⅱ）设投资A 、B 两种型号节能灯的利润率分别为1X 、2X ，由频率分布直方图知，A 型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为53、52，0 B 型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为107、41、201 所以1X 、2X 的分布列分别是：……………………………………………………………….6分则1X 、2X 的期望分别是：53255253)(221a a a a X E +=⨯+⨯=，10720262045107)(2222a a a a a X E +=++⨯= 所以，a a X E X E 1012014)()(221-=-71()107a a =-………………………………8分因为61101<<a ，所以从长期看 当71101<<a 时，投资B 型号的节能灯的平均利润率较大 6171<<a 时，投资A 型号的节能灯的平均利润率较大x z71=a 时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等 …………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）因为,AE EF ⊥所以,PE EF ⊥又因为PE EB ⊥，且,FE EB B =所以PE ⊥平面FEB ，即PE ⊥平面BCDFE …………………….4分（Ⅱ）在梯形ABCD 中，易求得2AB =．设AE t =(02)t <<，建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)E ，(,0,0)A t -，(0,0,)P t ，(2,0,0)B t -，(4C t -，所以BC =，(2,0,)PB t t =--，设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则1100BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以20(2)0x t x tz ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩， 令1y =得1(3,1,n =-为平面PBC 的一个法向量， 易知2(1,0,0)n =为平面PEF 的一个法向量，…………………8分所以(121212cos ,||||nn n n n n <>===，…………..10分因为平面PEF 与平面PBC 所成二面角的余弦值为 =23t =或2t =-（舍）. 此时点E 为线段AB的三等分点（靠近点A ）。
正定中学高三数学上学期第二次月考试题文(扫描版)
高三数学（文科）参考答案及评分标准 一．选择题（1）C （2）D （3）D （4）A （5）C （6）B （7）A （8）C （9）D （10）C （11）A （12）B二．填空题（13）3 （14）11212n n --+ （15）31+ （16）230 三．解答题（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为(0)d d >∵123,,a a S 成等比数列，∴2213a a S =，即；2(1)33d d +=+， 又0d >，得2d =， ………3分∴1(1)221n a n n =+-⨯=-， ………4分2(121)2n n n S n +-==． ………5分 （Ⅱ）2111111()4141(21)(21)22121n S n n n n n ===----+-+ ………7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ………10分 （18）解：（Ⅰ）∵22cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，， ∴2cos 2a b c d ⋅-⋅=θ，………3分∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴02cos22<<θ，∴d c b a ⋅-⋅的取值范围是（0，2）………6分（Ⅱ）∵2()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ，2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ，………8分∴22()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ，………10分∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴2cos20>θ，∴()()f a b f c d ⋅>⋅ ………12分（19）解：（Ⅰ）∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x '=+． ………1分 ∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-，∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ………3分 即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-．所以 ()ln 2x f x x =-………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得当1x >时，()0k f x x +<恒成立即 ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-． 令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--． ………8分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=． 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=． ……10分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=． 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤．∴ k 的取值范围是1(,]2-∞ …12分 （20）解：（Ⅰ）由正弦定理可得，3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =-,从而可得3sin()2sin cos A C B A +=， ………3分3sin 2sin cos B B A =，又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是3cos 2A =， 又A 为三角形内角，因此，6A π=． ………5分 （Ⅱ）255cos()2sin sin cos 1sin cos()1226C B B C B B ππ--=+-=+--， 5533sin cos cos sin sin 1sin cos 13sin()166226B B B B B B πππ=++-=--=-- ………8分由6A π=可知，5(0,)6B π∈，所以2(,)663B πππ-∈-，从而1sin()(,1]62B π-∈-, 323)1(31]62B π--∈-，故25cos()2sin 22C B π--的取值范围为32(,31]2+--． ………12分（21）解：（Ⅰ）在1320n n a S +++=中，令1n =可得21320a a ++=，24a =；令2n =可得32320a S ++=，38a =-； ………2分当2n ≥时，1320n n a S +++=与1320n n a S -++=相减得()113n n n n a a S S +--=--，即130n n n a a a +-+=，12n n a a +=-（2n ≥），而1n =时也符合该等式，故数列{}n a 是首项为2-，公比也为2-的等比数列，其通项公式为()2n n a =-．………5分 （Ⅱ）2480n n a ma m ---=，即()()22248n n m m ---=+，()()()()2288242424n n n n m --==--+-+-+， ………8分 若存在整数对(),m n ，则()824n -+必须是整数，其中()24n -+只能是8的因数1±，2±，4±，8±，显然()241n -+=±无解，()242n-+=±，可得1n =，2m =-；()244n -+=±可得3n =，14m =-；()248n -+=±可得 2n =，1m =；综上所有的满足题意得整数对为()2,1-，()14,3-，()1,2．………12分 （22）解：（Ⅰ）当()()()()221,1,'212x x a f x x bx e f x x b x b e --⎡⎤==++=-+-+-⎣⎦, …1分 所以,0b = 时,()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞； ………2分0b >时, ()f x 的单调递增区间为()1,1b -,递减区间为()(),1,1,b -∞-+∞； ………3分 0b <时, ()f x 的单调递增区间为()1,1b -,递减区间为()(),1,1,b -∞-+∞ ． ………4分 （Ⅱ）由()11f =得21,12a b e b e a ++==--． ………5分由()1f x =得221x e ax bx =++,设()221x g x e ax bx =---, 则()g x 在()0,1内有零点．……6分 设0x 为()g x 在()0,1内的一个零点, 则由()00g =，()10g =知()g x 在区间()00,x 和()0,1x 上不可能单调递增,也不可能单调递减,设()()'h x g x =,则()h x 在区间()00,x 和()0,1x 上均存在零点, 即()h x 在()0,1上至少有两个零点．()()'4,'4x x g x e ax b h x e a =--=-． ………8分 当14a ≤时,()()'0,h x h x > 在区间()0,1上递增,()h x 不可能有两个及以上零点； 当4e a ≥时,()()'0,h x h x < 在区间()0,1上递减,()h x 不可能有两个及以上零点； 当144e a <<时,()'0h x =得()()ln 40,1,x a =∈所以()h x 在区间()()0,ln 4a 上递减, 在()()ln 4,1a 上递增,()h x 在区间()0,1上存在最小值()()ln 4h a ,若()h x 有两个零点, 则有：()()()()ln 40,00,10h a h h <>>．()()()()1ln 444ln 464ln 4144e h a a a a b a a a e a ⎛⎫=--=-+-<< ⎪⎝⎭, ………10分 设()()3ln 1,12x x x x e x e ϕ=-+-<<,则()1'ln 2x x ϕ=-,令()'0x ϕ=,得x e =,当1x e <<时,()()'0,x x ϕϕ> 递增, 当e x e <<时,()()'0,x x ϕϕ< ，递减,()()()()max 10,ln 40x e e e h a ϕϕ==+-<∴< 恒成立．由()()01220,140h b a e h e a b =-=-+>=-->,得2122e a -<<． 当2122e a -<<时, 设()h x 的两个零点为12,x x ,则()g x 在()10,x 递增, 在()12,x x 递减, 在()2,1x 递增, 所以()()()()1200,10g x g g x g >=<=,则()g x 在()12,x x 内有零点． 综上,实数a 的取值范围是21,22e -⎛⎫⎪⎝⎭． ………12分。
精品解析：河北省石家庄正定中学高三上学期第二次半月考数学试题(原卷版)
河北正定中学高三第二次半月考试卷（考试时间:120分钟分值:150分）一.选择题（此题共12小题，每题5分，共60分，1.・8题为单项选择题，9—12为多项选择题）1.假设集介4={4.V=J2K1"函数y = m（2-/）的定义域为〃，那么人＜＞A. B.(扼,+oo) C. D. [72,+00)2. FeR, /（A）＞8或/（同＜2”的否认是（A.*)景，/(&)<8且/(心)22 B-孜景，/（与）＜8且/（&）＞2C. WcR, /(.v)<8fiJc/(.v)^2D. PxcR, /(x)<8或/(x)>23.据记栽，欧拉公式?v=cosA + /sinA（xe/?）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为•,数学中的天桥特别是当x=4时,得到个令人假设迷的优美恒等式/' + 1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底c 191周率耸，虚数单位i,自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式''.根据欧拉公式，假设夏数二=。
苧'的共辄复数为；，那么；=（4・〃=砥，A.a>b>cB.b>a>cC.c> a>hD.c>b> a5.己知平面。
，0，/和直线/,以下命.题中错误的选项是（）A.假设al/?, Z?〃X，那么al/B.假设al/?,那么存在lua，使得/〃/?c.假设“JLy,。
顷 an#=/，那么/±rD.假设a±/?, Ufa.Wi]/±^6.己知衡址病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数它指的是.在自然情况下（没有外力介入,同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染绐多少人的平均数它的简单计算公式 是：RO = 1 +确诊病例增长率x 系列间隅中系列间隔是指在•个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单 40%・两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上R 。
河北省正定中学高三数学上学期第二次月考试题理(扫描版)
2016-2017学年高三质量检测第二次考试理科数学答案一、选择题答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 CCDDAABABCAB二、填空题答案：13. 3ln 22- 14.7210- 15.1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， 16. e (,32e)(3,)2-∞--+∞17.【解析】（1） 解：由题可知25183a a +=，又528a a =， ……………………………………2分故223a = ∴13a = ……………………………………………………………………4分（2）∵点()11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上， ∴sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又∵φπ<，∴34φπ= …………………………………………………6分如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222412283cos 2283PM PN MNPM PN β+-+-===-，又∵πβ<<0 ∴56βπ=…………8分∴35226ππφβ-=- ∴()3553sin 2=sin cos 2662πππφβ⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭ ………………………10分18.【解析】（1）因为bx xex f xa +=-)(，所以b e x x f x a +-='-)1()(.…………………1分依题设，⎩⎨⎧-='+=,1)2(,22)2(e f e f 即⎩⎨⎧-=+-+=+--,1,222222e b e e b e a a ……………………………3分解得e b a ==,2； ……………………………………………………5分（2）由（1）知ex xe x f x +=-2)(.∴)1()(12--+-='x x e x e x f02>-xe，∴)(x f '与11-+-x e x 同号. ……………………………6分令11)(-+-=x e x x g ，则11)(-+-='x ex g .所以，当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减； ……………………8分 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. ………………10分故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值，从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g . 11分综上可知，0)(>'x f . …………………………12分19.【解析】（1）由题意可得函数的周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴2ω=，…………1分又由题意当512x π=时，0y =，得5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合02πϕ<<可解得6πϕ=，………………………………………………………………………2分再由题意当0x =时，1y =，∴sin16πA =，∴2A = ……………………………………3分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………4分 （2）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈ ，得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 ∴当0k=时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ……………………5分 若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数，则[,][,]36m m ππ-⊆-……………………6分∴630m m m π⎧≤⎪⎪π⎪-≥-⎨⎪⎪>⎪⎩， 解得06m π<≤……………………………………7分 ∴m 的最大值是6π………………………………………………………8分（3）解法1：方程()+10f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于直线y a =与曲线()2sin 2+16g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（02x π<<）有两个交点. ……………9分∵当02x π<<时， 由（2）知()2sin 2+16g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，…………………………………………………………………………10分且(0)2g =，()26g π=，()22g π=.∴23a <<∴ 实数a 的取值范围是(2,3)……………………………………12分解法2：设2(0)62t x x ππ=+<<，则()2sin 1h t t =+，(,)66t π7π∈ 方程()+10f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于直线y a =与曲线()2sin 1h t t =+，(,)66t π7π∈有两个交点. ………………9分()2sin 1h t t =+在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,26π7π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，…………………10分()26h π=且，()22h π=，7()26h π=， ∴ 23a <<，即实数a 的取值范围是(2,3) ………………………………………12分20.【解析】（1）由已知得()14250a a x a x +=-+->①，………………………1分∴()()24510a x a x -+--=，()()141x a x ∴+--⎡⎤⎣⎦=0②当4a =时，②式的解为1x =-，代入①式，成立．………………………2分 当3a =时，②式的解为121x x ==-，代入①式，成立．………………………3分当3a ≠且4a ≠时，②式的解为114x a =-，21x =-，且12x x ≠.若1x 是原方程的解，则11240a a x +=->，即2a >；…………………………………………………4分若2x 是原方程的解当且仅当2110a a x +=->，即1a >．………………………5分于是满足题意的(]1,2a ∈．…………………………………………………6分综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4． ……………………………………………………7分（2）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．……………………………………………8分函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()()1f t f t +，，()()max min 2211()()1log log 11f x f x f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭……9分即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． …………………………10分 令()2()11h t at a t =++-，因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12t =时，()h t 有最小值3142a -，由3142a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ……………………………………………12分 21.【解析】（1）在14(21)1n n S n a +=-+中，令1n =，得23a =，………………1分∵14(21)1n n S n a +=-+，∴当2n ≥时，14(21)1n n S n a -=-+，………………2分两式相减，得：14(21)(23)(2)n n n a n a n a n +=---≥⇒ 121(2)21n n a n n a n ++=≥-…3分12321123212123255312123252731n n n n n n n a a a a a n n n a a n a a a a a n n n --------=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----，故21n a n =- …………………………………………………………6分（2）证明：由21,n a n =-得222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦．……………9分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦…22211111162(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦． …………………………………11分2115(1)16264n T ∴<+= ………………………………………………………12分22.【解析】（1）当1a =-时 ()ln(1),(1)f x x x x =+->-， ……………………1分1()111xf x x x -'∴=-=++，当(1,0)x ∈-时 ()0f x '>；()f x 的单调递增，当(0,)x ∈+∞时 ()0f x '＜，()f x 的单调递减，∴当0x =时，()(0)0f x f ==极大值，无极小值， …………………………3分（2）[1,2]x e ∈-当时， ()()f x g x ≥不等式恒成立等价于ln(1)(12)0x a x +--≥ln(1)12x a x +-≤即：恒成立. …………………………………………………4分令2ln(1)ln(1)1(),[1,2]()xx x x x x e x x x ϕϕ-+++'=∈-∴=， ………………………5分[1,2]x e ∈-当时， 1,ln(1)11x x x <+>+， min ln 3()0()(2).2x x ϕϕϕ'<∴==…6分ln 32ln 312.24a a -∴-≤∴≥，则实数a 的取值范围2ln 3[,).4-+∞ ……………7分（3）由（1）得：当0()x f x >时， (0,)+∞在区间单调递减，则：ln(1)0x x +-<，即：ln(1),ln ln(1)22n n n n nx x a +<∴=+<， …………………………………………8分则：1223123ln ln ln 2222n nna a a +++<++++， ……………………………9分记：231232222n n n M =++++① 231112122222n n n n nM +-∴=++++② …10分①－②得：21111122222n n n n M +=+++-，1111.222n n n nM +∴=-- …………………………11分 21222ln 22n n n n n M T T e ++∴=-<∴<<则：，， …………………………………12分。
河北正定中学高三数学第二次月考试卷(理)
河北正定中学2008-2009学年度高三数学第二次月考试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码的准考证号码、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷上的答案无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）(A) 2(1)ln n n +- (B) 2ln n + (C)2ln n n + (D)1ln n n ++ 2. 设集合A=｛1-x xx＜0｝，B=｛2x x -＜2｝那么“A m ∈”是“B m ∈” ( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<4．要得到函数)22cos(3π-=x y 的图像，可以将函数)42sin(3π-=x y 的图像作如下平移（ ）(A) 左移4π个单位 (B) 右移4π个单位 (C) 左移8π个单位 (D) 右移8π个单位5．数列=+++=+=∞→++)(lim ,56,51,}{21111n n n n n n a a a a a a a 则中（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）416．若奇函数))((R x x f ∈满足)3()()3(,1)3(f x f x f f +=+=，则)23(f 等于（ ）(A) 0 (B)1 (C) 21 (D) 21-7．已知c x b ax y ++=的图像关于y x =-对称的图像所对应的函数是213+-=x x y ，则=++c b a （ ） (A)0(B)1(C)2(D)48．已知函数]2,2[)()(-==在和x g y x f y 的图象如下所示给出下列四个命题：（1）方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 （2）方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 （3）方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 （4）方程0)]([=x g g 有且仅有4个根其中正确的命题个数是（ ） （A ）4个（B ）3个（C ）2个 （D ）1个9．若关于x 的方程a a ma xx(01)11(2=+++＞0且)1≠a 有解，则m 的取值范围是（ ） (A) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,31 (B)(]1,00,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞-31,(D)[)+∞,1 10．若函数)(x f 的导函数是34)(2+-='x x x f ，则函数)()(x a f x g = (01a <<)的单调递减区间是（ ）(A)[]0,3log a (B) []a a ,3(C) (],log 3(0,)a -∞+∞ (D)[]1,3log a11.数列}{n a 满足)(,*12N n a a a n n n ∈=++且2,121==a a ，数列}{n a 的前2008项和为（ ） （A ）2344 （B ）2007 （C ）2341 （D ）200812．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为同族函数，那么，函数的解析式为22log y x =值域为{2,4}的同族函数共有（ ）个(A)16 (B)9 (C)125 (D)225第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
河北正定中学1213学年度高三第二次月考理科数学试题(附答案)
河北正定中学2012-2013学年度高三第二次月考理科数学一.选择题1.如果复数i bi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A. 32-B. 32C. 2D.22.已知集合{}{}m B m A ,1,,3,1==，A B A = ，则m =（ ）31313030或或或或D C B A3．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（ ）A ．sin(2)2y x π=+B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+4.如右图，在数表中，已知每行的数都成等比数列，第一列数成等差数列，那么位于右表中的第4行第5列的数是（ ）A 、500B 、2500C 、12500D 、645．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．31 B ．32C ．34D ．386．函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．（1，2）D ． (2,3)7．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，x x f x x f 32cos )(,32sin)(ππ==，,34tan )(x x f π=则可以输出的函数是)(x f = （ ）A ．x x f 32sin)(π= 正视图侧视图俯视图B ．x x f 32cos )(π=C ．x x f 34tan )(π=D ．非上述函数8. 用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数数字相邻，奇数数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )A ．36B ．32C ．24D ．209.函数()323221x a y --=π的部分图象大致是右面四个图象中的一个，试根据你的判断选出合适的图象， 根据图象可知，a 可能的取值是 （ ） A ．21B ．23 C ．2 D ．410. 在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB 、、两两垂直，ABD ACD ABC ∆∆∆、、面积分别为26,23,22，则三棱锥BCD A -的外接球体积为（ ） ππππ6463626D C B A11．已知定点()()0,2,0,221F F -，动点N 满足1=（O 为坐标原点），F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅F ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆12.定义在R 上的函数()y f x =是增函数，且函数(3)y f x =-的图像关于(3,0)成中心对称，若s,t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≥--，则14s ≤≤时，则3t s +的范围是 （ ）A [-2,10]B [4,16]C [-2,16]D [4,10] 二、填空题 13.设⎰-=212)23(dx x n ，则nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2展开式中含2x 项的系数是______________ 14． 已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．15．已知半径为1的圆O 上有定点P 和两动点A 、B ，AB =3，则⋅的最大值为 ___________． 16. 设y x ,为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是_____________. 三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*,n S n n =∈N .数列{}n b 是等比数列，且满足1134,2b a b b ==.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18．某单位为了提高员工身体素质，特于近期举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图（单位：分）.若分数在175分以上（含175分）者定为“运动健将”，并给予特别奖励，其他人员则给予“运动积极分子”称号，同时又特别提议给女“运动健将”休假一天的待遇.（I ）若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取10人，然后再从这10人中选4人，那 至少有1人是“运动健将”的概率是多少？（II ）若从所有“运动健将”中选3名代表，有ξ表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.19．已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11ABB A 是菱形，且160,A AB M ∠=︒是11A B 的中点，.MB AC ⊥（I ）求证：MB ⊥平面;ABC （II ）求二面角11A BB C --的余弦值.20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222F F QF =，若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线8650172345674211801119981612458991577899男女1:30l x -=相切.过定点(0,2)M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点（点G 在点,M H 之间）.（I ）求椭圆C 的方程：（II ）若实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围.21．已知函数21()2(0),()ln .2f x ax x ag x x =+≠= （1）若()()()h x f x g x =-存在单调增区间，求a 的取值范围；（2）是否存在实数0a >，使得方程'()()(21)g x f x a x =-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由.22. 如图，AB 是⊙O 的弦，C 、F 是⊙O 上的点，OC 垂直于弦AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ，连结CF 交AB 于E 点。
2021届河北省石家庄正定中学高三上学期第二次半月考数学试卷
河北正定中学高三第二次半月考试卷数 学(考试时间:120分钟 分值:150分)一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，1--8题为单选题，9—12为多选题)1．若集合{A x y ==，函数()2ln 2y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．)+∞C ．12⎡⎢⎣D ．)+∞2．“x R ∀∈，()8f x >或()2f x <”的否定是（ ） A ．0x R ∃∈，()08f x <且()02f x > B ．0x R ∃∈，()08f x ≤且()02f x ≥ C ．x R ∀∈，()8f x ≤或()2f x ≥D ．x R ∀∈，()8f x <或()2f x >3．据记载，欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数34i z eπ=的共轭复数为z ，则z =（ ）A ．-B ．CD - 4．已知a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（ ）A ．若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥B ．若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l βC ．若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥6．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数0R ．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是：01R =+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%时，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天.根据以上0R 数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A ．243B ．248C ．363D ．10927．若3sin 2sin 703παα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．23B ．233-C ．3-D ．3 8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．6（多选题）9．已知x R ∈，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值可能有（ ） A ．2B ．1C ．12D ．2-（多选题）10．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）A ．直线PB 与平面AMC 平行 B ．直线PB 与直线AD 垂直C ．线段AM 与线段CM 长度相等D ．PB 与AM 所成角的余弦值为2 （多选题）11．函数()2sin()f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数C ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[]ππ-，上是增函数 D ．3x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3，若3(3)2f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最小值为32+ （多选题）12．已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若x ，y 满足约束条件25,22,7,x y y x x -≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为_________．14．已知向量()1,1a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b +=，则b =________. 15．在等腰直角三角形ABC中，,2C CA π∠==D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为ABCD 的外接球的体积为________. 16．若数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，，且对任意*n N ∈都有n a m <，则m 的最小值为________. 三．解答题（本题共6小题，共70分） 17．（本小题10分）在ABC ∠中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b ccos sin C c B =-.（1）求B ；（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC ∆的面积取得最大值时，求AD 的长. 18．（本小题12分）在①21n n S b =-②),2(41≥=--n b b n n ③)2(21≥+=-n b b n n 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列}{n a 为等比数列，,,322131a a a a ==数列}{n b 的首项,11=b 其前n 项和为n S ， ，是否存在*N k ∈，使得对任意k k n n b a b a N n ≤∈,*恒成立？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（本小题12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20．（本小题12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值． 21．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，12F PF ∆面积的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．（本小题12分）已知函数()()22ln 2f x ax a x x=-+-+，其中a R ∈.（1）当4a =时，求函数()f x 的极值；（2）若02a <<，试讨论函数()f x 在()1,e 上的零点个数.河北正定中学高三第二次半月考数学答案1．选A 【解析】21yx 的定义域为1,2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭，1,2A ⎡⎫∴=-∞⎪⎢⎣⎭， ()2ln 2y x =-满足220x->，即x<，(B ∴=∴12A B ⎡⋂=⎢⎣．故选：A.2．选B 【解析】由题意，命题“x R ∀∈，()8f x >或()2f x <”的否定是 “0x R ∃∈，0()8f x ≤且0()2f x ≥”.故选：B. 3．选A 【解析】欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈，则34co 33442sn 2si i z i e πππ==++=-，所以22z --=，故选：A. 4．选C【解析】51110.26511115566a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10611155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a b >>，而3377235log log 17c =>=，所以c a b >>.故选：C. 5．选D 【解析】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ，根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知，m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确；对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误．故选：D ．6．选D 【解析】记第1轮感染人数为1a ，第2轮感染人数为2a ，…，第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 是等比数列，公比为q RO =，由题意140%53RO =+⨯=，即3q =，所以13a =，总人数为()66313109213S -==-人.故选：D ．7．选B【解析】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=，设cos β=，sin β=，且β为cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2παβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ． 8．选B 【解析】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n +，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mn m n ≤+，当且仅当m n =时取等号，故22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN ≥所以AB MN．9．选BCD 【解析】因为x ∈R ，条件2:p x x <，所以p 对应的集合为()01A =，；因为条件1:q a x≥，所以当0a =时，q 对应的集合为()0B =+∞，； 当>0a 时，q 对应的集合为10B a ⎛⎤= ⎥⎝⎦，；当0a <时，q 对应的集合为()10B a ⎛⎤=-∞+∞ ⎥⎝⎦，，； 因为p 是q 的充分不必要条件，所以A ⫋B ，所以当0a =时，q 对应的集合为()0B =+∞，，此时满足A ⫋B ，故0a =满足题意；当>0a 时，q 对应的集合为10B a ⎛⎤= ⎥⎝⎦，，此时满足A ⫋B ，需11a ≥，解得(]0,1a ∈；当0a <时，q 对应的集合为()10B a ⎛⎤=-∞+∞ ⎥⎝⎦，，，此时满足A ⫋B ，故0a <满足题意；所以实数a 的取值范围是：(]1-∞，.故选：BCD ． 10．选ABD 【解析】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确.平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形；设4=AD ，则23OP OB ==，26PB ∴=，162MN PB ==. 在MAN △中，23AM AN ==，6MN =，可得2cos 4AMN ∠=，故异面直线PB 与AM 所成角的余弦值为24；在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确，故选：ABD11．选ABD 【解析】如图所示：1732422T πππ=-=，所以6T π=，2163πωπ∴==，()22f π=，2(2)2sin()23f ππϕ∴=+=，即2sin()13πϕ+=，2223k ππϕπ∴+=+（k Z ∈），26k πϕπ∴=-（k Z ∈）， ϕπ<，6πϕ∴=-，()12sin 36f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，故A 正确；把()y f x =的图像向左平移2π个单位，则所得函数12sin 2sin 3223x y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确；把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]x ππ∈-，，213263x πππ∴-≤-≤，12sin 26y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在[],ππ-上不单调递增，故C 错误；由3(3)()2f x a f π+≥可得3(3)2a f f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，3x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3恒成立，令3()(3)2g x f f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，3x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3，则()32sin()6g x x π=--， 33x ππ-≤≤，266x πππ∴-≤-≤，31()32g x ∴-≤≤+，32a ∴≥+，a ∴的最小值为32+，故D 正确. 故选：ABD .12．选BC 【解析】()y f x =图像 ()y g x =图像对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误.对于选项B ，当1x <时，/()(1)=+xf x x e ，可得，当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增；所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，/4(3)()-=x e x f x x， 当13x <<时，()f x 单调递减；当3x >时，()f x 单调递增；所以，当13x <<时， 3()27<<e e f x ，综上可得，选项B 正确. 对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1x ≥时，3(2)'()x e x g x x-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x 1 12x << 2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2(2)4e g =，综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.13．【答案】16【解析】根据约束条件作出可行域，联立257x y x -=⎧⎨=⎩，解得79x y =⎧⎨=⎩，所以(7,9)M ，根据可行域可知最优解为(7,9)M ，代入z x y =+可得max 7916z =+=. 14．【答案】1【解析】两边平方，利用向量数量积的定义可得1b =. 15．【答案】1805π【解析】翻折前，因为ABC 是等腰三角形且，2C π∠=，所以222CA CB CD AB ===，所以12622AD BD AB CA ====，翻折后，设底面三角形ABD 外接圆半径为R ， 由余弦定理得2221cos 22AD BD AB ADB AD BD ∠+-==-⋅，所以23sin 1cos ADB ADB ∠∠=-=,由正弦定理得2sin R ADB AB ∠=，解得6R =，因为ABC 是等腰三角形且D 为AB 的中点，所以在四面体ABCD 中，CD ⊥平面ABD ，所以CD 所在球的截面图如图所示，O 为球心，所以外接球半径222044R R CD =+，解得035R，外接球体积3043V R π==.故答案为：. 16．【答案】8【解析】根据题意，数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，当1n =时，有32213a a a a -=-=，则233,6a a ==，4533,2a a ==， 分析可得：在4142434,,,n n n n a a a a ---中，最大为41n a -， 设41n nb a -=，则有316b a ==，且14341116644n n n n a a b b ++-===++， 变形可得：11(488)n n b b +-=-，所以数列{}8n b -是首项为6﹣8＝﹣2，公比为14的等比数列，则()111282()44n n n b ----=-⨯=，则1284n n b -=-，即411284n n a --=-，又{}41n a -为递增数列，且418n a -≤，所以若对任意任意*n N ∈都有n a m ＜成立，则8m ≥，即m 的最小值为8；故答案为8 17．【解析】（1cos sin sin A B C C B =-， 结合()sin sin A B C =+sin sin sin B C C B =-， 因为sin 0C ≠，所以tan B =()0,πB ∈，得2π3B =. （2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++，因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤， 当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =. 在ACD △中，由余弦定理得222π2cos 1212176AD CA CD CA CD =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=⎝⎭.即AD =. 18．【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ,因为321=a ，所以,32,23213===a a q a a a 所以故.32nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛= ①,12-=n n b s ,2121-1-）（则≥-=n b s n n 两式相减整理得,1),2(211=≥=-b n b b n n又 所以}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以.21-=n n b所以.34212321nn n n n b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 由指数函数的性质知，数列}{n n b a 单调递增，没有最大值，所以不存在*N k ∈，使得对任意k k n n b a b a N n ≤∈,*恒成立.②，由)2(41≥=--n b b n n ,11=b 知数列}{n b 是首项为1，公比为41-的等比数列， 所以,411-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n b所以().61441321nn n n n b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=-因为()11122444.1.66633nnn n a b n ⎛⎫⎛⎫=-⨯-≤⨯≤⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取得最大值所以存在1=k ，使得对任意k k n n b a b a N n ≤∈,*恒成立.③}{.2)2(21的等差数列是公差为知数列由n n n b n b b ≥+=-.12,11-==n b b n 所以又,32)12(n n n n n b a c ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==设()().323253212321211nn n n n n n n c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+=-++则.3,211n n n n c c n c c n <≥>≤++时，当时，所以当 >>><<54321c c c c c 即所以存在3=k ，使得对任意k k n n b a b a N n ≤∈,*恒成立.19．【解析】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 20．【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,2AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以3BO PA =． 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()()33130,0,0,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,,0,0,0,3,,0,3322O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111123033022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 令10x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =， 记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223030n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩， 令21x =，则2233,y z ==，所以231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 记二面角P AM N --的大小为θ，则12121239cos cos<,13n n n n n n θ⋅=>==⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为3913． 21．【解析】（Ⅰ）设222a b c -=，则c a =设(),P x y ，则1212,F PF F PF S c y y b S bc ∆∆=≤∴≤=解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2224240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0，即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=，即()2222224280444n m nmnmn n n --+=+++.解得：1m =.直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()1,0B . 22．【解析】（1）当4a =时 ，()246ln 2f x x x x =--+，()()()222211624x x f x x x x --=-+='，0x >，令()0f x '>得10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,+∞，()0f x '<得1,12⎛⎫⎪⎝⎭所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增 所以当12x =时，函数取得极大值16ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1x =时，函数取得极小值()14f =， （2）()()()222122ax x a f x a x x x--+-+='=，令()0f x '=得12x a =或21x =因为02a <<，所以21>a ，所以当 2e a ≥，即20a e<≤时，()f x 在()1,e 上单调递减， 若函数()f x 有零点，则()()1020f a f e ae a e ⎧=>⎪⎨=--<⎪⎩，解得：()201a e e <<-， 若函数()f x 无零点，则()20f e ae a e=--≥，即()221a e e e ≥≥-当21e a <<时，即22a e <<时，()f x 在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由于()10f a =>，()()()22241120f e a e e e e e e=-->--=->， 令()()()()2ln 1l 222n 242ln n 222l g a f a a a a a a a +-+⎛⎫==-+-+=-⎝+⎪⎭， 令()()2ln ln 2h a g a a a ==+-'，则()220a h a a-'=<， 所以()h a 在2,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，()()210h a h >=>，即()'0g a >，所以()g a 在2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增， ()2420g a g e e ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，即20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在()1,e 上没有零点， 综上，当()201a e e <<-时，()f x 在()1,e 上有唯一零点，当()221a e e >≥-时，()f x 在()1,e 上没有零点．。
解析】河北省石家庄正定中学2021届高三上学期第二次半月考数学试题
河北正定中学高三第二次半月考试卷数 学(考试时间:120分钟 分值:150分)一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，1--8题为单选题，9—12为多选题)1. 若集合{A x y ==，函数()2ln 2y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. 12⎡⎢⎣B.)+∞C. 12⎡⎢⎣D.)+∞【★★答案★★】A 【解析】 【分析】求出集合A 和集合B ，即可求出交集 【详解】21yx 的定义域为1,2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭，1,2A ⎡⎫∴=-∞⎪⎢⎣⎭，()2ln 2y x =-满足220x ->，即x <<，(B ∴=∴12A B ⎡⋂=⎢⎣． 故选：A.【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，属于基础题. 2. “x R ∀∈，()8f x >或()2f x <”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，()08f x ≤且()02f x ≥ B. 0x R ∃∈，()08f x <且()02f x > C. x R ∀∈，()8f x ≤或()2f x ≥ D. x R ∀∈，()8f x <或()2f x >【★★答案★★】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得★★答案★★. 【详解】由题意，命题“x R ∀∈，()8f x >或()2f x <”的否定是 “0x R ∃∈，0()8f x ≤且0()2f x ≥”. 故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3. 据记载，欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z =34i eπ的共轭复数为z ，则z =（ ）A. 22-- B. 22-+ C.22i + D.22- 【★★答案★★】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式，代入可得复数z ，化简后由共轭复数定义即可得z . 【详解】欧拉公式cos sin ()ixe x i x x R =+∈，则34co 33442sn 2si i z i e πππ==++=-，根据共轭复数定义可知z =， 故选：A.【点睛】本题考查了数学文化与简单应用，复数的相关概念和共轭复数定义，属于基础题.4. 已知a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. c b a >>【★★答案★★】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性得到11651155⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，幂函数的单调性得到11551156⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到a ，b的关系，再利用“1”与c 比较.【详解】因为51110.26511115566a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10611155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a b >>， 而3377235log log 17c =>=， 所以c a b >>． 故选：C ．【点睛】本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5. 已知平面α，β，γ和直线l ，下列命题中错误的是（ ） A. 若αβ⊥，//βγ，则αγ⊥ B. 若αβ⊥，则存在l α⊂，使得//l β C. 若a γ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【★★答案★★】D 【解析】 分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A 正确；根据线面平行的判定定理可知B 正确； 根据面面垂直的性质定理可知C 正确；根据线面垂直的判定定理可知D 错误．【详解】对于A ，因为αβ⊥，所以存在直线a ⊂α，使a ⊥β，又β∥γ，所以a ⊥γ，有α⊥γ，正确；对于B ，α⊥β，设α∩β＝m ，则在平面α内存在不同于直线m 的直线l ，满足l ∥m ， 根据线面平行的判定定理可知，l ∥β，正确；对于C ，过直线l 上任意一点作直线m ⊥γ，根据面面垂直的性质定理可知， m 既在平面α又在平面β内，所以直线l 与直线m 重合，即有l ⊥γ，正确； 对于D ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β不一定成立，D 错误． 故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 6. 已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：1RO =+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO 数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ） A. 243B. 248C. 363D. 1092【★★答案★★】D 【解析】 【分析】可知每轮传播人数是等比数列，先求出传播指数RO ，即可由等比数列前6项和得出． 【详解】记第1轮感染人数为1a ，第2轮感染人数为2a ，…，第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 是等比数列，公比为q RO =，由题意140%53RO =+⨯=，即3q =，所以13a =，总人数()66313109213S -==-人.故选：D ．【点睛】本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前6项和．7. 若3sin 2sin 03παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 3-C.【★★答案★★】A 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cos β=，sin β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论． 【详解】由已知3sin 2sin 3sin 2sin cos cos sin 0333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin αα=1αα=，设cos β=，sin β=，且β为锐角，cos sin sin cos sin()1ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2sin 3cos 2πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====--⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．8. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（ ） A. 1C. 2【★★答案★★】B 【解析】 【分析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB 数值，代入22||||AB MN 化简即得★★答案★★．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n +，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mn m n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN ≥AB MN的最小值为B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题．9. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值可能有（ ） A.12B. 1C. 2D. 2-【★★答案★★】ABD 【解析】 【分析】先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合间包含关系，进行求解得选项．【详解】因为x ∈R ，条件2:p x x <，所以p 对应的集合为()01A =，；因为条件1:q a x≥，所以当0a =时，q 对应的集合为()0B =+∞，； 当>0a 时，q 对应的集合为10B a ⎛⎤= ⎥⎝⎦，；当0a <时，q 对应的集合为()10B a ⎛⎤=-∞+∞⎥⎝⎦，，； 因为p 是q 的充分不必要条件，所以A ⫋B ，所以当0a =时，q 对应的集合为()0B =+∞，，此时满足A ⫋B ，故0a =满足题意； 当>0a 时，q 对应的集合为10B a ⎛⎤= ⎥⎝⎦，，此时满足A ⫋B ，需11a≥，解得(]0,1a ∈； 当0a <时，q 对应的集合为()10B a ⎛⎤=-∞+∞ ⎥⎝⎦，，，此时满足A ⫋B ，故0a <满足题意； 所以实数a 的取值范围是：(]1-∞，. 故选：ABD ．【点睛】本题考查集合包含关系，以及简易逻辑，属于中档题．10. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）A. 直线PB 与平面AMC 平行B. 直线PB 与直线AD 垂直C. 线段AM 与线段CM 长度相等D. PB 与AM 2【★★答案★★】ABD 【解析】【分析】连接MN ，利用线面平行的判定定理判断A ；设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B ；根据面面垂直的性质得出POB 为直角三角形，求出,,,PB AM MN AN 的长度，利用余弦定理得出PB 与AM 所成角的余弦值，证明ANM ∠不是直角，从而得出AMC ∆不是等腰三角形，从而判断CD.【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确.平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形 设4=AD ，则23OP OB ==，26PB ∴=，162MN PB ==. 在MAN △中，23AM AN ==，6MN =，可得2cos 4AMN ∠=故异面直线PB 与AM 所成角的余弦值为2 在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.11. （多选题）函数()2sin()f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. ()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 C. 若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[]ππ-，上是增函数 D. 3x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3，若3(3)2f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则a 32 【★★答案★★】ABD 【解析】 【分析】根据函数图像可得6T π=，进而求出2163πωπ==，再利用最值与特殊值可求出解析式，即可判断A ；利用图像的平移伸缩变换可判断B ；通过函数的平移伸缩变换求出变换后的解析式，根据正弦函数的单调区间整体代入即可判断C ；不等式化为3(3)2a f f x π⎛⎫≥-⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求出max3(3)2f f x π⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可判断D. 【详解】如图所示：1732422T πππ=-=，所以6T π=， 2163πωπ∴==， ()22f π=，2(2)2sin()23f ππϕ∴=+=，即2sin()13πϕ+=， 2223k ππϕπ∴+=+（k Z ∈），26k πϕπ∴=-（k Z ∈）， ϕπ<，6πϕ∴=-，()12sin 36f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，故A 正确；把()y f x =的图像向左平移2π个单位， 则所得函数12sin 2sin 3223x y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确； 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变， 得到的函数12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]x ππ∈-，，213263x πππ∴-≤-≤， 12sin 26y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在[],ππ-上不单调递增，故C 错误；由3(3)()2f x a f π+≥可得3(3)2a f f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，3x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3恒成立， 令3()(3)2g x f f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3，则()2sin()6g x x π=--，33x ππ-≤≤，266x πππ∴-≤-≤，1()2g x≤≤，2a ∴≥，a ∴2，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式、三角函数的平移伸缩变换、三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.12. （多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A. 点(0,0)是函数()f x 的零点B. 12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C. 函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D. 若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【★★答案★★】BC 【解析】 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()x e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：极小值2(2)4e g =，()y g x=图像综上可得，22424<<eae或2a e>，a的取值范围是222e e,(,)e82⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若x，y满足约束条件25,22,7,x yy xx-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则z x y=+的最大值为_________．【★★答案★★】16【解析】【分析】作出可行域，根据图形得到最优解，将最优解代入目标函数可得结果. 【详解】根据约束条件作出可行域，如图：联立257x y x -=⎧⎨=⎩，解得79x y =⎧⎨=⎩，所以(7,9)M ，根据可行域可知最优解为(7,9)M ，代入z x y =+可得max 7916z =+=. 故★★答案★★为：16.【点睛】本题考查了线性规划求最值，属于基础题. 14. 已知向量()1,1a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b +=，则b =________. 【★★答案★★】1 【解析】【分析】利用向量模的坐标表示求出2a =，再将1a b +=两边平方，利用向量的数量积即可求解.【详解】由()1,1a =，则112a =+=因为1a b +=，两边平方可得22221a b a a b b +=+⋅+=，222cos ,1a b a b b ++=，整理可得222221b b ⎛⎫+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得1b =.故★★答案★★为：1【点睛】本题考查了利用向量数量积的定义求向量的模，向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 在等腰直角三角形ABC 中，,622C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为63，此时四面体ABCD 的外接球的体积为_____. 【★★答案★★】1805π 【解析】 【分析】根据条件找到截面圆半径与外接球半径的关系，即可建立关系求解. 【详解】翻折前，因为ABC 是等腰三角形且，2C π∠=所以222CA CB CD AB ===， 所以12622AD BD AB CA ====， 翻折后，设底面三角形ABD 外接圆半径为R ，由余弦定理得2221cos 22AD BD AB ADB AD BD ∠+-==-⋅，所以23sin 1cos ADB ADB ∠∠=-=, 由正弦定理得2sin R ADB AB ∠=，解得6R =， 因为ABC 是等腰三角形且D 为AB 的中点， 所以在四面体ABCD 中，CD ⊥平面ABD ， 所以CD 所在球的截面图如图所示，O 为球心，所以外接球半径222044R R CD =+，解得035R ，外接球体积3043V R π==.故★★答案★★为：.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球问题，关键是建立关系找出半径. 16. 若数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，，且对任意*n N ∈都有n a m ＜，则m 的最小值为________. 【★★答案★★】8 【解析】 【分析】根据题意，分析数列{}n a 的前5项，结合递推公式分析可得在在4142434,,,n n n n a a a a ---中，最大为41n a -，设41n n b a -=，分析可得316b a ==，且1164n n b b +=+，将其变形可得11(488)n n b b +-=-，可以得到数列{}8n b -是首项为﹣2，公比为14的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列{}n b 通项公式，则有411284n n a --=-，据此分析n a m ＜恒成立可得★★答案★★．【详解】解：根据题意，数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，当1n =时，有32213a a a a -=-=，则233,6a a ==，4533,2a a ==， 分析可得：在4142434,,,n n n n a a a a ---中，最大为41n a -， 设41n nb a -=，则有316b a ==，且14341116644n n n n a a b b ++-===++， 变形可得：11(488)n n b b +-=-，所以数列{}8n b -是首项为6﹣8＝﹣2，公比为14的等比数列，则()111282()44n n n b ----=-⨯=，则1284n n b -=-， 即411284n n a --=-，又{}41n a -为递增数列，且418n a -≤，所以若对任意任意*n N ∈都有n a m ＜成立，则8m ≥，即m 的最小值为8； 故★★答案★★为8【点睛】本题考查数列的递推公式，注意查找规律，分析局部数列的性质是解题的关键，属于难题.三．解答题（本题共6小题，共70分）17. 在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B =-.（1）求B ；（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长.【★★答案★★】（1）23π；（2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及A B C π++=可得sin sin sin B C C B =-，从而得到tan B =（2）在ABC 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤，而1sin 2ABC S ac B ∆==，故当4ac =时，ABC 的面积取得最大值，此时2a c ==，π6C =，在ACD △中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1cos sin sin A B C C B =-， 结合()sin sin A B C =+，sin sin sin B C C B =-，因为sin 0C ≠，所以tan B = 由()0,πB ∈，得2π3B =.（2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++， 因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =. 在ACD △中，由余弦定理得222π2cos1212176AD CA CD CA CD =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=⎝⎭.即AD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.18. 在①21n n S b =-②14(2)n n b b n --=≥，③12(2)n n b b n -=+≥，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，若问题中的k 存在，求出11,b =的值；若k 不存在，说明理由. 已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列}{n b 的首项11,b =其前n 项和为n S ， ，是否存在k *∈N ，使得对任意*,n n k k n N a b a b ∈≤恒成立.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【★★答案★★】条件性选择见解析，存在3k =，使得对任意*,n n k k n N a b a b ∈≤恒成立.【解析】 【分析】由数列{}n a 为等比数列可得23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①通过1n n n S S b --=，整理可得12(2),n n b n b -=≥进而求出}{n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；②由14(2)n n b b n --=≥，可知}{n b 为等比数列，求出}{n b 的通项公式，求出n n a b ，利用单调性可判断；③由12(2)n n b b n -=+≥可知{}n b 是等差数列，求出}{n b 的通项公式，求出n n a b ，利用作差法求最大项即可判断. 【详解】设等比数列}{n a 的公比为q ，因为123a =，所以312a a a =， 所以322,3a q a == 故23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭①21,n n s b =-则-1-1212,n n s b n =-≥（） 两式相减整理得12(2),nn b n b -=≥又11,b = 所以}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12.n n b -=所以12142.323n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由指数函数的性质知，数列}{n n a b 单调递增，没有最大值，所以不存在*k N ∈，使得对任意*,n n k k n N a b a b ∈≤恒成立.②由14(2)n n b b n --=≥，11,b =知数列}{n b 是首项为1，公比为14-的等比数列， 所以11,4n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()12114.346nn nn n a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()1112444,6663nnn n a b ⎛⎫⎛⎫=-⨯-≤⨯≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当1n =时取得最大值2.3所以存在1k =，使得对任意*,n n k k n N a b a b ∈≤恒成立.③由12(2)n n b b n -=+≥可知{}n b 是以2为公差的等差数列， 又11b =，所以2 1.n b n =-设2(21),3nn n n c a b n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 则()()11225222121.3333n n nn n n c c n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以当2n ≤时，1n n c c +>，当3n ≥时，1.n n c c +< 则12345c c c c c <<>>>所以存在3k =，使得对任意*,n n k k n N a b a b ∈≤恒成立.【点睛】本题主要考查了数列求和、不等式恒成立问题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，难度适中，属于中档题.19. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有多少的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【★★答案★★】（1）概率分别为：43100，27100，21100，9100；（2）350；（3）填表见解析；有95%的把握认为锻炼的人次与该市的空气质量有关.【解析】【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）利用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得★★答案★★； （3）完善列联表，由公式计算卡方的值，从而查表即可， 【详解】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：2162543100100++=；该市一天的空气质量等级为2的概率为：5101227100100++=；该市一天的空气质量等级为3的概率为：67821100100++=；该市一天的空气质量等级为4的概率为：7209100100++=；（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=；（3）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表，人次400 人次400> 总计 空气质量好33 37 70 空气质量不好 22 8 30 总计5545 100由表中数据可得：2()100(3383722) 5.820 3.841()()()()70305545n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 【点睛】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题． 20. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角PAM N 的余弦值．【★★答案★★】（1）见解析； （2【解析】 【分析】（1）连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．由题意可证得BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥．由线面平行的性质定理可得//BD MN ，据此即可证得题中的结论；（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以1,2AO PA PO ==，因为PA =，所以BO PA =． 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()(10,0,0,1,0,0,,1,0,0,0,,,2O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(233330,,0,,0,,1,,0,2DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x yz =，则111112303302n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 令10x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223030n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩， 令21x =，则2233,3y z ==，所以231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 记二面角P AM N --的大小为θ，则12121239cos cos<,n n n n n n θ⋅=>==⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为39．【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>312,F F分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF △3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【★★答案★★】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，直线MN 过定点()10B ,. 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得2c a =，再由三角形的面积12F PF S bc ≤=,,a b c 即可求解.（2）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，将直线与椭圆方程联立，由直线12,l l 斜率之和为0，结合韦达定理可得1m =，代入直线方程即可求解.【详解】（1）设222a c b -=，则2c a =，设(,)P x y ， 则12F PF Sc y =，y b ≤，12F PF S bc ∴≤解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设MN 方程(),0x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2224240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0，即1212044y y x x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=， 即()2222224280444n m nm nmn n n --+=+++，解得：1m =. 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()10B ,.【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题. 22. 已知函数()()22ln 2f x ax a x x=-+-+，其中a R ∈. （1）当4a =时，求函数()f x 的极值；（2）若02a <<，试讨论函数()f x 在()1,e 上的零点个数. 【★★答案★★】（1）当12x =时，函数取得极大值16ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1x =时，函数取得极小值()14f =； （2）当()201a e e <<-时，()f x 在()1,e 上有唯一零点，当()221a e e >≥-时，()f x 在()1,e 上没有零点．【解析】 【分析】（1）把4a =代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．【详解】（1）当4a =时 ，()246ln 2f x x x x=--+，()()()222211624x x f x x x x--=-+='，0x >， 令()0f x '>得10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,+∞，()0f x '<得1,12⎛⎫⎪⎝⎭所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增 所以当12x =时，函数取得极大值16ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当1x =时，函数取得极小值()14f =，（2）()()()222122ax x a f x a x x x --+-+='=， 令()0f x '=得12x a =或21x = 因为02a <<，所以21>a，所以当 2e a ≥，即20a e<≤时，()f x 在()1,e 上单调递减，若函数()f x 有零点，则()()1020f a f e ae a e ⎧=>⎪⎨=--<⎪⎩，解得：()201a e e <<-， 若函数()f x 无零点，则()20f e ae a e=--≥，即()221a e e e ≥≥- 当21e a <<时，即22a e <<时，()f x 在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 由于()10f a =>，()()()22241120f e a e e e e e e=-->--=->， 令()()()()2ln 1l 222n 242ln n 222l g a f a a a a a a a +-+⎛⎫==-+-+= -⎝+⎪⎭， 令()()2ln ln 2h a g a a a ==+-'，则()220a h a a-'=<， 所以()h a 在2,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，()()210h a h >=>，即()'0g a >，所以()g a 在2,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， ()2420g a g e e ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，即20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在()1,e 上没有零点， 综上，当()201a e e <<-时，()f x 在()1,e 上有唯一零点，当()221a e e >≥-时，()f x 在()1,e 上没有零点．【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
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河北省正定中学2007—2008学年高三年级第二次月考数学试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分） 1．5lg 24lg +等于（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－22．在等差数列{}n a 中，6321=++a a a ，66=a ，则该数列的前7项的和是 （ ） A ．14B ．20C ．28D ．563．函数2()22(2)f x x x x =++≤-的反函数是（ ）A．1()11)f x x -=-≥ B．1()12)f x x -=-≥ C．1()11)f x x -=-≥ D．1()12)f x x -=-≥ 4．若,a b 是非零向量且满足：(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥ ，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 5．给定下列命题①sin y x =在第一象限是增函数；②ABC ∆中三内角A 、B 、C 成等差的充要条件是B =60°；③若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆是正三角形； ④函数sin()y A x ωϕ=+的周期是2T πω=，其中正确命题的序号为（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③D ．①②④ 6．若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+7．已知函数(1)f x +为奇函数，函数(1)f x -为偶函数，且(0)2f =，则(4)f =（ ）A ．1-B ．1C ．2- D ．28．在△ABC 中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠的大小 （ ）A ．65πB ．6π C ．323ππ或D ．656ππ或9．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则||||||a b a b +-的取值范围是（ ）A ．()0,1B ． ()1,2C ． ()1∞，＋D ． (110．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中有可能成立的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设()()(),,,2F x f x f x x R ππ⎡⎤=+-∈--⎢⎥⎣⎦是函数()F x 的单调递增区间，将()F x 的图像按向量(,0)a π=平移得到一个新的函数()G x 的图像，则()G x 的单调递减区间必定是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知{a n }是等比数列，且231a a >=，则使不等式：0)1()1()1(2211>-++-+-nn a a a a a a 成立的正整数n 的最大值是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 （共4小题，每小题5分） 13．设x R ∈，函数)23sin(sin x x k y -+⋅=π的最小值是2-，则实数k = . 14．定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{}1,3,5,7,9的“孙集”的个数有 个15．右图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型，数字1出 现在第1行；数字2、3出现在第2行；数字 6、5、4（从左至右）出现在第3行；数字7、8、9、10 出现在第4行；依此类推。
试问第99行，从左至右算， 第67个数字为__________ 16．有以下四个命题①xsin 3x sin y 22+=的最小值是32；②已知10x 11x )x (f --=, 则)3(f )4(f >；③log (2) (0, 1)x a y a a a =+>≠在R 上是增函数； ④函数)6x 2sin(2y π-=的图象的一个对称中心是)0,12( π其中真命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题 17．（本小题10分）已知),(),,1(2x x x b x a -+== ，m 为常数且2m ≤-,求使不等式 221a b m a b ⎛⎫∙+>+ ⎪∙⎝⎭成立的x 的范围。
18．（本题满分12分）已知函数23()cos cos (,)2f x x x x R x R ωωωω=-+∈∈的相邻两最大值之间的距离为π，且图象关于直线6x π=对称。
（I ）求()f x 的解析式；（II ）若函数1()y f x =-的图象与直线[0,]2y a π=在上只有一个公共点，求实数a 的取值范围。
19．（本题满分12分）已知等差数列{}n a ，公差大于0，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 前n 项和112n n T b =-．（Ⅰ）写出数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n n c a b =，求证： 1n n c c +≤；20．（本题满分12分）某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n 个时，每平方米的平均建筑费用()f n 表示，且()()(1)20n m f n f m -==+，（其中*(,)n m n N >∈，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场?21．（本题满分12分）设函数)(x f y =定义域为R ，当0<x 时,1)(>x f ,且对于任意的R y x ∈,,都有)()()(y f x f y x f ⋅=+（I ）求)0(f 的值,并证明函数)(x f y =在R 上是减函数；（II ）记△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，若ac b c a +≥+222时，不等式233[sin cos()])4f m B A C f +++>恒成立，求实数m 的取值范围。
22．（本题满分12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2*232()n n S a n n n N =+--∈， （Ⅰ）求证： 数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设cos nn b a n π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n P ；（Ⅲ）设1n n c a n=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3744n T <.参考答案一、ACBBCDCBDCDB二、3±，26，4884，③④ 三、17．222(1,),(,)222(1)a xb x x x a b x x x x a b m a b==+-∴∙=+-=∙+>+∙解：分故（1）当2m =-时， 原不等式的解集为{|0}8x x >分（2）当2m <－时，原不等式的解集为{|20}x m x x <<->或 -------------10分 18．解：（1）1cos 23()222sin(2)16x f x x x ωωπω+=-+=-+ -------------2分21|2|T ππωω==∴=±由已知周期 --------- 4分当1,()sin(2)16f x x πω==-+时，3()sin()16362f πππ=-+= 与()16x f x πω=∴≠是的对称轴矛盾 --------- 6分1,()sin(2)16f x x πω=-=-++时()0()66f x f x ππ=∴=为的一个对称轴 ()sin(2)16f x x π∴=-++ --------------8分（2）71()sin(2),2[,]6666y f x x t x t ππππ=-=+=+∈令则 ------10分s i n [0,]2y t y a π∴==与在上只有一个交点。
由图象观察得：11122a a ∴-≤<=或 ---------------------------12分 19．解（Ⅰ）由题意得252512,27,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩ 所以253,9;a a =⎧⎨=⎩ 或259,3.a a =⎧⎨=⎩ ……2分又因为等差数列{}n a 的公差大于零，所以259,3a a =⎧⎨=⎩不合题意，舍去．2(2)00x x x ⇔+>⇔>原不等式由523a a d =+，得9323d -==． 2(2)21n a a n d n ∴=+-=-． ………4分 由112n n T b =-，得1111121.23T b b b ==-⇒= ……………5分当11112,()32n n n n n n n n b T T b b b b ---≥=-=-⇒=时，………6分11210,.33n n b b b -=≠∴= ……………………7分23n n b ∴=． ………………………………8分（Ⅱ）2(21)3n n n nn c a b -==， …………………9分1112(21)2(21)8(1)0333n n n n n n n n c c ++++---∴-=-=≤．………11分 ∴1n n c c +≤． ………………12分20．解：设建成x 个球场，则每平方米的购地费用为x1000101284⨯＝x 1280----------- 3分由题意知(5)400,()(5)(1f f x f ==+205-x )＝400(1+205-x ) ----------7分从而每平方米的综合费用为1280()y f x x =+＝6420()300x x++---------9分 ≥20⨯264+300＝620（元），当且仅当8x =时等号成立 -------11分 故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省. ------------12分21．解：(1) )0()1()1(f f f ⋅-=-,且当0<x 时，1)(>x f ，所以1)0(=f当0>x 时，0<-x ，1)(>-x f ，1)()()0(=-⋅=x f x f f ， 1)(0<<x f 对于R x ∈，0)(>x f ---------------3分设21x x <，则)()()()()]([)()(112111212x f x x f x f x f x x x f x f x f --⋅=--+=-]1)([)(121--⋅=x x f x f又21x x <，所以012>-x x ，1)(012<-<x x f ，0)()(12<-x f x f ，即 )()(12x f x f <，故函数)(x f 在R 上是减函数。