2017_2018学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2第1课时直线的点斜式方程课件新人教B版必修2
【新】版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第2课时直线的两点式学业分层测评苏教版必修2
2.1.2 第2课时 直线的两点式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________________．【解析】 由直线的两点式方程得y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y ＋3＝0.【答案】 x －y ＋3＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________． ①可以写成两点式或截距式； ②可以写成两点式或斜截式或点斜式； ③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．【答案】 ②3．直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则a ________0，b ________0.【解析】 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.【答案】 < >4．若直线l 过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2 017，a )在l 上，则a 的值为________． 【解析】 ∵(－1，－1)，(2,5)，(2 017，a )三点共线， ∴5－－2－－＝a －52 017－2，∴a ＝4 035. 【答案】 4 0355．经过点A (2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________.【导学号：41292074】【解析】 由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为y －01－0＝x ＋22＋2，即x －4y ＋2＝0. 【答案】 x －4y ＋2＝06．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．图2－1－5【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置． 【答案】 ①7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________． 【解析】 AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.【答案】 128．直线mx ＋ny ＋p ＝0(mn ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m ，n ，p 满足的条件是________．【解析】 当p ＝0时，直线在两坐标轴上的截距相等， 当p ≠0时，因mn ≠0，∴－p m ＝－p n， 即m ＝n .【答案】 p ＝0或p ≠0且m ＝n 二、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.【解】 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k－3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．【解】 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋－4b ＝1，12|a |·|b |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.故直线l 的方程为x 5－y 2＝1或－2x 5＋y4＝1.即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.[能力提升]1．过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线的方程为__________．【解析】 当b ＝0时，设直线方程为y ＝kx ， 则2k ＝－1，所以k ＝－12，所以直线方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当b ≠0时，设直线方程为x 3b ＋y b ＝1，则23b ＋－1b ＝1，解得b ＝－13.所以直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝02．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则yx的取值范围是________．【解析】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，23．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________.【导学号：41292075】【解析】 由A ，B ，P 三点共线，得y －0x －3＝4－00－3， 即y ＝－43(x －3)，x ∈[0,3]．∴xy ＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43x －＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3.当x ＝32时，xy 取得最大值3，此时x ＝32，y ＝2，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 34．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，设直线l 与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b )，且有a ＞0，b ＞0，根据题中两个条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12ab ＝2，|a －b |＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1.。
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
_新教材高中数学第二章平面解析几何2
1．设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方 向向量吗？ 提示：(1，1).
2．如果a ＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ 提示：(2，1).
已知直线l经过点A(－1，3)与B(2，0)，则直线l的一个方向向量为________，斜 率k＝________，倾斜角θ＝________． 解析：―A→B ＝(3，－3)＝3(1，－1)，
知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴 相交 ，
将x轴绕着它们的交点按 逆时针 方向旋转到与直线重合时所转的 最小正角 记为 θ，则称θ为这条直线的倾斜角；
(2)范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行或重合 的直线的倾斜角为0°.
2．2 直线及其方程
2．2.1 直线的倾斜角与斜率
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置 数学抽象
的几何要素
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直 直观想象
线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量 数学运算
求直线的方向向量或法向量
[例4] 已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向
量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[解]
―→ AB
＝(4－1，5－2)＝(3，3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方
向向量垂直，法向量可以为(－1，1).因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的 取值范围是多少？
【提示】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标． 【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________． 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程 为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝ ＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距 ． 直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】 直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】 设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)． 当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
高中数学课件：第二章 2.2.2 直线方程的几种形式
截
直线l不与 坐标轴平行
x y a＋b＝1
距
式
上的截距分别为
a和b
或重合，且 不过原点
2．直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 二元一次方程 以用一个关于x、y的 表示． (2)每个关于x、y的二元一次方程都表示 一条直线 ． 3．直线的一般式方程 把关于x、y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
[研一题] [例3] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y
＝2m－6.根据下列条件确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3. (2)直线l的斜率是－1.
① m2－2m－3≠0 [自主解答] (1)由题意可得 2m－6 m2－2m－3＝－3 ② 由①可得 m≠－1，m≠3， 5 5 由②可得 m＝3 或 m＝－ ，∴m＝－ . 3 3 2m2＋m－1≠0 (2)由题意得 m2－2m－3 －2m2＋m－1＝－1 1 m≠－1，m≠ 2 ∴ m＝－1或m＝－2， ∴m＝－2.
2．三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求这个 三角形三边所在直线的方程．
解：(1)直线 AB 的方程由两点式可得 y－0 x－－5 ＝ ， －3－0 3－－5 化简得：3x＋8y＋153 x－3 (2)直线 BC 的方程由两点式可得 ＝ ， 2－－3 0－3 化简得：5x＋3y－6＝0，这就是直线 BC 的方程． (3)因为直线 AC 在 x 轴、y 轴上的截距分别是－5,2，由 直线方程的截距式得 AC 的方程为 即 2x－5y＋10＝0. x y ＋2＝1， －5
[悟一法] 把直线方程一般式Ax＋By＋C＝0化成其它形式时，
要注意式子成立的条件．特别是当B＝0时，直线的斜率
原创2：2.2.2 直线方程的几种形式（二）（问题导学式）
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
y
解析：由题设条件可知b≠0，将直线方程化成斜截式
得：y＝－ x－ ．∵直线过第一、二、三象限，∴它
的斜率与在y轴上的截距均为正，
∴－ >0，－ >0.∴ab<0，bc<0，∴应选择D.
O
x
课堂练习
1.若直线 l 在 x 轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
【问题1】上述四种直线方程有什么共同特征？Fra bibliotek【提示】
它们都含有x，y这两个变量，并且x，y的次数都是
一次的，即它们都是关于x，y的二元一次方程，它们又都可以
变形为Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的形式.
探究点1
直线的方程与二元一次方程之间的关系
【问题2】关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）
1 3
(2)由(1)知直线恒过定点A( ， ).
5 5
y
1 3
A( ， )
5 5
直线OA的斜率为kOA＝3.
直线l恒过A点，且斜率为a，
则要使直线l不经过第二象限，须k＝a≥3.
O
x
规律总结：
1.直线过定点问题通常方法有：
①化直线为点斜式，从而求出定点；
②以参数a为主元，化直线为关于参数a的方程，根据等式恒成
都表示直线吗？
【提示】
A C
A
若B≠0，方程可化为：y＝− x− ，表示斜率为− ，在
B B
B
C
C
y轴上截距为− 的直线；若B=0，方程可化为x＝− ，表示垂直于x
高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学
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求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直 线 l 的方程．
解：法一：设直线 l 的斜率为 k，因为直线 l 与直线 3x＋4y ＋1＝0 平行，所以 k＝－34． 又因为直线 l 过点(1，2)，
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解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0， 得(m－2)2≠4 即 m－2≠±2， 所以当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4， 当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3 ＝0，此时 l1∥l2； 当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0， 此时 l1∥2． 故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2． (3)由12/13(/2202)1知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
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1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直 线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单 独讨论．
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1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
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【解】 (1)k1＝12－－((－－21))＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系课件北师大版必修220171016317
������ = 4, ������ = -1, ������ = 0.
故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4,-1,0). 答案:(-2,-1,-4) (-2,1,-4) (4,-1,0)
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)关于哪条坐标轴对称 ,哪个坐标不变 ,其余的坐标分量变为原 来的相反数 ,即 P(x,y,z) P(x,y,z) P1(x,-y,-z); P2(-x,y,-z);
P(x,y,z) P3(-x,-y,z). (3)关于原点对称的点 ,三个坐标分量均变为原来的相反数 . P(x,y,z) P1(-x,-y,-z).
【做一做2-3】 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0)
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 由点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). 解:方法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步 骤进行: (1)在x轴上取横坐标为4的点M1; (2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向 向左平移2个单位长度,得到点M2; (3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移 5个单位长度,即可得到点M,如图所示.
【做一做1】 下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的 是( )
A.①③ 答案:C
B.③ C.①②
D.①②③
2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x,y,z),第一个是x坐标,第二个是y坐标, 第三个是z坐标. 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有 序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确 定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组 之间就建立了一一对应的关系.
2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
任一直线均有倾斜角 α，α∈[0°，180°)，但并不是所有的 直线都有斜率．当 α＝90°时，斜率不存在．有关斜率的问 题要分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论．
1．直线 l 过点 M(－ 3， 2)，N(－ 2， 3)，则 l 的斜率为( )
A．
6 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．1
C．
6 3
D． 6
解析：选 B．l 的斜率为－
【答案】 (1)D (2)135°
分类讨论思想——求直线的倾斜角 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画 出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形 内角和定理及其有关推论．
一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴
(2)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A， 直线 l1 和 l2 向上的方向所成的角为 120°，如图，则直线 l2 的倾斜角为___________．
【解析】 (1)因为 0°≤α<180°，显然 A，B，C 未分类讨 论，均不全面，不合题意，通过画图(如图所示)可知：
第二章 平面解析几何初步
2．2 直线的方程
2．2．1 直线方程的概念与直线的斜率
第二章 平面解析几何初步
1．了解直线的方程与方程的直线的概念． 2．理 解直线的倾斜角和斜率的概念． 3．掌握过两点的直线斜率 的计算公式．
1．直线的方程与方程的直线的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做 __这__条 ___直__线__的__方__程__，这条直线叫做__这__个__方__程__的__直__线___．
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.2 直线方程的几种形式 两点式、截距式、一般式练习 新人
第19课时 直线方程的几种形式——两点式、截距式、一般式课时目标1.掌握直线方程的两点式、截距式、一般式及各种方程之间的互化． 2．掌握待定系数法求直线方程的方法．识记强化1．经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫直线的两点式方程．2．把方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)叫做直线的一般式方程．3．所有直线的方程都是关于x ，y 的二元一次方程，关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( ) A.y ＋11＋1＝x B.y －1－1＝x －1－1 C.y －10－1＝x －1－1－1 D ．y ＝x 答案：A解析：设x 1＝0，y 1＝－1，x 2＝1，y 2＝1，则经过A 、B 两点的直线方程为y －－11－－1＝x －01－0，即y ＋11＋1＝x . 2．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5 答案：B解析：将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y轴上的截距分别为2，－5.3．当A ·C ＞0，B ·C ＜0时，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：令x ＝0，得直线在y 轴上的截距为－C B ；令y ＝0，得直线在x 轴上的截距为－C A.因为A ·C ＞0，B ·C ＜0，所以－C B ＞0，－C A＜0，所以该直线过第一、二、三象限，故该直线不过第四象限．4．直线x a ＋y b＝1(ab ＜0)的图象可能是( )答案：C解析：直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，且ab ＜0，排除A ，B ，D ，故选C. 5．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(2，－1) 答案：D解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 6．已知直线l 1：ax －y －b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠b ，ab ≠0)，则它们的图象为( )答案：A解析：考虑直线与坐标轴的交点． 二、填空题(每个5分，共15分)7．已知直线l 过A (3，－5)和B (－2,5)，则直线l 的方程为________． 答案：2x ＋y －1＝0解析：因为直线l 过点A (3，－5)和B (－2,5)，由两点式方程，得y －－55－－5＝x －3－2－3，即y ＋510＝x －3－5，可化为2x ＋y －1＝0. 8．已知直线与两坐标轴相交且被两轴截得的线段的中点是(2,4)，则此直线的方程为__________．答案：2x ＋y －8＝0解析：设直线与x 轴的交点为(a,0)，与y 轴的交点为(0，b )，则由已知得：a 2＝2，b2＝4，即a ＝4，b ＝8，所以所求直线的方程为x 4＋y8＝1，即2x ＋y －8＝0.9．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 答案：2解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.三、解答题10．(12分)求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程． 解：设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，当a ＝0时，直线过原点(0,0)，所以由直线方程的两点式，可得直线的方程为y －02－0＝x －05－0，可化为2x －5y ＝0. 当a ≠0时，可设直线的截距式方程为x a ＋y2a ＝1.又直线过点(5,2)，将其代入，得5a ＋22a＝1，解得a ＝6，此时直线的方程为x 6＋y2×6＝1，可化为2x ＋y －12＝0.所以所求直线的方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.11．(13分)三角形的顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (1,2)，求这个三角形三边所在直线的方程．解：∵直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由直线方程的两点式，得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5，可化为3x ＋8y ＋15＝0.∵直线BC 过B (3，－3)，C (1,2)两点，由直线方程的两点式，得直线BC 的方程为y －－32－－3＝x －31－3，可化为5x ＋2y －9＝0.∵直线AC 过A (－5,0)，C (1,2)两点，由直线方程的两点式，得直线AC 的方程为y －02－0＝x －－51－－5，可化为x －3y ＋5＝0.能力提升12．(5分)若两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)的坐标，分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线方程为________．答案：3x －5y ＋6＝0解析：因为两点确定一条直线，所以由题意可知所求直线方程为3x －5y ＋6＝0.13．(15分)一条直线从点A (3,2)出发，经过x 轴反射，通过点B (－1,6)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．解：点A (3,2)关于x 轴的对称点A ′(3，－2)，由两点式可得直线A ′B 的方程为 y －－26－－2＝x －3－1－3，整理得2x ＋y －4＝0；点B 关于x 轴的对称点B ′(－1，－6)，由两点式得直线AB ′方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，整理得2x －y －4＝0.即入射光线所在的直线方程为2x －y －4＝0；反射光线所在的直线方程为2x ＋y －4＝0.。
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点斜式 点P(x0，y0) 和斜率k 斜率k和在y轴上的截 距b
y－y0＝ ________
k( x－x0 ) ________
斜截式
y＝kx＋b 斜率存在 ___的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，代入直线
点斜式方程化简得 y＝kx＋b，则称b为直线l在y轴上的截距.
1 2 3 4 5
2.直线 y－2＝－ 3(x＋1)的倾斜角及在 y 轴上的截距分别 为( ) B.120° ，2－ 3 D.120° ，2
A.60° ，2 C.60° ，2－ 3
1 2 3 4 5
解析 该直线的斜率为－ 3，
当 x＝0 时，y＝2－ 3，
∴其倾斜角为 120° ，在 y 轴上的截距为 2－ 3.
x＋2＝0， 令 x＋y－1＝0，
x＝－2， 解得 y＝3.
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3).
∵点(－2,3)在第二象限，
∴直线l总过第二象限.
规律方法
本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，
方法一体现了点斜式的应用，方法二体现代数方法处理恒 成立问题的基本思想.
第二章——
2.2.2 直线方程的几种形式
第1课时 直线的点斜式方程
[学习目标]
1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.
2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线
在y轴上的截距的含义.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实
重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[预习导引] 1.直线方程的几种形式 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜率存在
跟踪演练3 的取值范围.
已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k
解 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零， 且斜率不大于零，
－6≤0， 则 3－2k≤0，
3 得 k≥2.
所以，k
3 的取值范围是 kk≥2
.
1 2 3 4 5
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
解 过点 P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率 －7 kPQ＝ ＝ 7 ＝－1. 5－－2
又∵直线过点P(－2,3)， ∴直线的点斜式方程为 y－3＝－(x＋2).
－4－3
规律方法
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→
定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2) 点斜式方程 y － y0＝ k· (x － x0) 可表示过点 P(x0 ，y0) 的所有 直线，但x＝x0除外.
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
解 由直线方程的斜截式可得， 所求直线方程为y＝3x－3. (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
解 由题意可知，直线的斜率 k＝tan 60° ＝ 3，
所求直线的方程为 y＝ 3x＋5.
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
3 解 由题意可知所求直线的斜率 k＝tan 30° ＝3， 3 由直线方程的斜截式可知，直线方程为 y＝ 3 x.
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解 ∵倾斜角α＝150°，
3 ∴斜率 k＝tan 150° ＝－ 3 .
3 由斜截式可得方程为 y＝－ 3 x－2.
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ∵直线的倾斜角为60°，
∴其斜率 k＝tan 60° ＝ 3，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
要点三 直线过定点问题
例3 求证：不论 m 为何值，直线 l ： y ＝ (m － 1)x＋ 2m ＋ 1 总
过第二象限.
证明 方法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2,3)， 由于点(－2,3)在第二象限， 故直线l总过第二象限.
方法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(
)
A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
1 2 3 4 5
解析 方程变形为y＋2＝－(x＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案 C
1 2 3 4 5
5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过 定点P(3,3)，则直线l的方程为________. 解析 直线y＝x＋1的斜率为1， 所以倾斜角为45°， 又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，
要点一 直线的点斜式方程 例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； 解 ∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； 解 与x轴平行的直线，其斜率k＝0，
由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)， 即y＋4＝0.
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为 y＝ 3x＋3 或 y＝ 3x－3.
规律方法
1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离
的概念，而漏掉解“y＝ 3 x－3”. 2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数 值，可正、可负、可为零.
跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程：
答案 B
1 2 3 4 5
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( B ) A.k>0，b>0 C.k<0，b>0 B.k>0，b<0 D.k<0，b<0
解析 ∵直线经过一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
1 2 3 4 5
y＝4x－11 4.斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是__________.
跟踪演练 1
过点 ( － 1,2) ，且倾斜角为 135°的直线方程为
x＋y－1＝0 ___________. 解析 k＝tan 135°＝－1， 由直线的点斜式方程得 y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0.
要点二 直线的斜截式方程
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； 解 由直线方程的斜截式方程可知， 所求直线方程为y＝2x＋5.