上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)
上海市2019-2020学年高二第二学期期末数学检测试题

同步练习一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数()cos f x x m x =+,其图象关于直线3x π=对称,为了得到函数()g x x=的图象,只需将函数()f x 的图象上的所有点( ) A .先向左平移6π个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变 B .先向右平移6π个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变 C .先向右平移3π个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变 D .先向左平移3π个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变 2.在复平面内,复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3.若不等式2xln x≥-x 2+ax -3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0)B .(-∞,4]C .(0,+∞)D .[4,+∞)4.已知()23()f x x x R =+∈,若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>,则a ,b 之间的关系是( ) A .2a bB .2a b <C .2b aD .2b a >5.设函数()x f x xe =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点 B .1x =为()f x 的极小值点 C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点6.已知复数z 满足(1i)2z ⋅+=,则z =( )A .1BC .2D .37.已知函数22()1x f x e ax bx =-+-,其中,a b ∈R ,e 为自然对数的底数,若(1)0f =,'()f x 是()f x 的导函数,函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点,则a 的取值范围是( )A .22(3,1)e e -+B .2(3,)e -+∞C .2(,22)e -∞+D .22(26,22)e e -+8.设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{}1A B ⋂=,则B = ( )A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,59.已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,则3x 的系数为( ) A .14B .14-C .240D .240-10.复数22cos sin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.平面内平行于同一直线的两直线平行,由类比思维,我们可以得到( ) A .空间中平行于同一直线的两直线平行 B .空间中平行于同一平面的两直线平行 C .空间中平行于同一直线的两平面平行 D .空间中平行于同一平面的两平面平行 12.若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++,若684a =,则实数a 的值为( )A .1B .2C .2-D .3-二、填空题:本题共4小题 13.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'()ln f x xf e x =+,则()f e =__________.14.《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件15.已知33210n n A A =,那么n =__________.16.已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0,函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭,函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测,函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)

2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、填空题1. 已知,则________________________ .2. 若正方体的体对角线长是4,则正方体的体积是______________________________ .3. 经过抛物线的焦点,且以为方向向量的直线的方程是____________________________ .4. 在二项式的展开式中,含的项的系数是______________________________ .(用数字作答)5. 若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的标准方程为.6. 设<a href=""> 分别是双曲线<ahref=""> 的左、右焦点,若点<ahref=""> 在双曲线上,且,则_________________________________ .7. 若五个人排成一排,则甲乙两人之间仅有一人的概率是____________________________ .(结果用数值表示)8. 已知,,若直线与射线(为端点)有交点,则实数的取值范围是______________________________________ .9. 圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为 cm,半径为 cm,则该圆锥的体积为 ________ .10. 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是______________________________ .11. 在一个水平放置的底面半径为<a href="/"> cm的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径为<a href="/"> cm 的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升<ahref="/"> cm,则<a href="/">___ ____cm .12. 如图,中,,在三角形内挖去半圆,圆心在边AC上,半圆与BC、AB相切于点C、M ,与AC交于点N,则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为____________________ .13. 已知抛物线,过定点作两条互相垂直的直线,与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,设的斜率为.若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为,则弦MN的中垂线在y轴上的截距为_________________________________ .14. 半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离是_________________________________ .二、选择题15. 四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如下图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为,,,,则它们的大小关系正确的是()A ._________B ._________C .D .16. 已知直线平面,直线在平面内,给出下列四个命题:① ;② ;③ ;④ ,其中真命题的个数是()A .①②____________________________B .①④____________________________C .②③______________________________D .②④17. 方程的图象表示曲线C,则以下命题中甲:曲线C为椭圆 , 则1< t<4 ;乙:若曲线C为双曲线 , 则 t > 4 或 t<1 ;丙:曲线C不可能是圆; ________________________丁:曲线C表示椭圆,且长轴在 x 轴上 , 则.正确的有()A . 1个____________________________B . 2个____________________________C . 3个____________________________D . 4个18. 将正整数n表示成k个正整数的和(不计较各数的次序),称为将正整数n分成k个部分的一个划分,一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同,则称为不同的划分,将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P ( n,k ),则P( 10,3 )的值为()A . 12______________________________B . 10_________________________________C . 8______________________________D . 6三、解答题19. (本题满分 1 2分)如图,直线平面,为正方形,,求直线与所成角的大小.20. (本题满分 1 4分)本题共有2个小题,第 1 小题满分6分,第 2 小题满分8分.在二项式的展开式中:(1)若第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项;(2)若所有项的二项式系数和等于4096,求展开式中系数最大的项.21. (本题满分 1 4分)本题共有2个小题,第 1 小题满分6分,第2小题满分8分.已知圆.(1)求过点的圆C的切线的方程;(2)如图,为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足求的轨迹.22. (本题满分 1 6分)本题共有3个小题,第 1 小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.如图,圆锥的轴截面为等腰直角三角形,为底面圆周上一点.(1)如果的中点为,,求证:平面;(2)如果 , ,求此圆锥的体积;( 3 )如果二面角大小为,求的大小.23. (本题满分 1 8分)本题共有3个小题,第 1 小题满分5分,第 2 小题满分8分,第3小题满分5分.定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆.(1)若椭圆,判断与是否相似?如果相似,求出与的相似比;如果不相似,请说明理由;(2)写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程;若在椭圆上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围;(3)如图:直线与两个“相似椭圆” 和分别交于点和点,试在椭圆和椭圆上分别作出点和点(非椭圆顶点),使和组成以为相似比的两个相似三角形,写出具体作法.(不必证明)参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学理试题 含答案参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )。
如果事件A 、B 相互独立,那么P (A·B )=P (A )·P (B )。
若(x ,y ),…,(x ,y )为样本点,=+为回归直线,则 =,==∑∑=-=-----ni ini i ix xy y x x121)())((=∑∑=-=----ni i ni iixn x yx n yx 1221,=-。
K=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-,其中n=a+b+c+d 为样本容量一、选择题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 函数f (x )=3x -x 的单调增区间是A. (0,+)B. (-,-1)C. (-1,1)D. (1,+)2. (x+1)的展开式中x 的系数为A. 4B. 6C. 10D. 203. 在复平面内,复数6+5i ,-2+3i 对应的点分别为A ,B 。
若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i4. 用数字0,1,2,3组成无重复数字的四位数,这样的四位数的个数为A. 24B. 18C. 16D. 125. =A. 1B. e -1C. eD. e+16. 高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后,得到2×2列联表:则随机变量K 的观测值为班组与成绩统计表 优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计1971 90A. 0.600B. 0.828C. 2.712D. 6.0047. 设随机变量~N (0,1),若P (≥1)=p ,则P (-1<<0)=A. 1-pB. pC. +pD. -P8. 某游戏规则如下:随机地往半径为l的圆内投掷飞标,若飞标到圆心的距离大于,则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于且小于,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A. B. C. D.9. 从甲、乙等5名志愿者中选出4名,分别从事A,B,C,D四项不同的工作,每人承担一项。
2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析

2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则在复平面上表示的点位于 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且,则 ( )A .-6或-2B .-6C .2或-6D .2【答案】 【解析】试题分析:,若,则两直线平行,或直线过点两种情况,当平行时,,当过点时,代入,解得:,故先A.考点:1.集合的运算;直线的位置关系.3.已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下:0 1 2 3 42.24.3t4.86.7且回归方程是,则t= ( ) A .2.5 B .3.5 C .4.5 D .5.54.设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是( )A. B. C. D.【答案】【解析】试题分析:,,,所以考点:1.解不等式;2.几何概型.6.下列四个结论:①若,则恒成立;②命题“若”的逆命题为“若”;③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个 D.4个7.已知函数,且,则函数的图象的一条对称轴是( ) A. B. C. D.8.设随机变量X服从正态分布,则成立的一个必要不充分条件是()A.或2 B.或2 C. D.【答案】【解析】试题分析:若等式成立,那么,解得,解得或,所以必要不充分条件是.考点:1.正态分布;2.必要不充分条件.9.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.D.10.设,则的最小值为()A. 2B.3C.4D.11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标,若是3的倍数,则满足条件的点的个数为()A.252 B.216 C.72 D.42【答案】【解析】试题分析:将集合分为:,,,若是3的倍数,那么3个集合各取3个数,共有,或各取1个,共,所以考点:排列12.设函数,则函数的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.的展开式中,含项的系数为_________.(用数字作答)14.已知函数是上的奇函数,且为偶函数.若,则__________ 【答案】 【解析】试题分析:因为是偶函数,所以,所以函数关于对称,那么,所以函数满足,所以函数是的周期函数,所以 考点:函数的性质15.函数的图象存在与直线平行的切线,则实数的取值范围是______.据此规律,第个等式可为____________________________________. 【答案】nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 【解析】试题分析:根据归纳推理,观察所得,等号左边,第行有个数字加减,等号有边,第行有个数字相加,并且是后个,所以,猜想第个等式是nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-.考点:归纳推理三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题共10分)已知函数 (1)解关于的不等式;(2)若的解集非空,求实数的取值范围.考点:1.含绝对值不等式的解法;2.含绝对值不等式的性质.18.(本小题共12分)在极坐标系中,曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C :,曲线C 与有且仅有一个公共点. (1)求的值;(2)为极点,A ,B 为C 上的两点,且,求的最大值.1 9.(本题满分12分)某中学一名数学老师对全班名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分分),其中分(含分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:(I)根据以上两个直方图完成下面的列联表:(II)根据中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?(Ⅲ)若从成绩在的学生中任取人,求取到的人中至少有名女生的概率.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)【解析】试题分析:(Ⅰ)每一个小矩形的面积,表示此分数段的频率,频率=人数,将不同等级的燃烧,填入表格;(Ⅱ)根据表格,计算相关系数,根据表,得到结论;(Ⅲ)根据频率分布直方图得到成绩在的学生共有男生4人,女生2人,取到2人至少有1名女生的对立事件是2人都是男生,所以可以先按对立事件计算概率,然后用1减.试题解析:解:(1)成绩性别优秀不优秀总计男生13 10 23女生7 20 27总计20 30 50……………4分20.(本小题满分12分)如图,是半圆的直径,是半圆上除、外的一个动点,垂直于半圆所在的平面,∥,,,.⑴证明:平面平面;⑵当三棱锥体积最大时,求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析:(1)根据面面垂直的判定定理,线面垂直,则面面垂直,,所以证明平面,又可证明,得证;(2)第一步,要先证明点在什么位置时,体积最大,首先根据上一问的垂直关系,和即,可以判断与二面角的平面角互补二面角的余弦值为.…………………12分考点:1.面面垂直的判定定理;2.空间向量求二面角;3.基本不等式求最值.21.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅱ) 因为直线:与圆相切22.(本小题满分12分)已知函数,(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若k为正常数,设,求函数的最小值;(Ⅲ)若,证明:.【答案】(Ⅰ)的单调递增区间是,单调递减区间是;(Ⅱ);(Ⅲ)详见解析.【解析】试题分析:利用导数考察函数的综合问题,(Ⅰ)第一步,求函数的导数,定义域,第二步,求函数的极值点,并判断导数的正负区间,即单调区间;(Ⅱ)首先求函数和函数的定义域,然后求函数的导。
上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(原卷版)

建平中学2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷2020.06.30说明:(1)本场考试时间为120分钟,总分150分;(2)请认真答卷,并用规范文字书写.一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)1.半径为1的球的表面积为______________.2.二项式()101x +的展开式中5x 的系数为_____________.3.圆锥的底面半径为1,一条母线长为3,则此圆锥的高为_______________.4.若2666n nC -=,则正整数n 的值为_______________.5.已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则2x y -的最小值为_____________.6.数据110,119,120,121的方差为_____________.7.已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解415x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩,设111222333d b c A d b c d b c =,111222333a d c B a d c a d c =,111222333a b d C a b d a b d =,则A B C ++=_____________.8.已知{}*,2020,N a b x x x ∈≤∈,满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________.9.已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -⎛⎫=⎪⎝⎭,小明同学为了求解此方程组,将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a b +=_____.10.111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0!++++++++++=_______.11.已知等边ABC △的边长为2,设BC 边上的高为AD ,将ABC △沿AD 翻折使得点B 与点C 之间的距离为3,此时三棱锥A BCD -的外接球的体积为_____________.12.()()()()23465432654321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立,则3a =______________.二、选择题(每题5分,满分20分)13.三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 中23a 的代数余子式为()(A )11123132a a a a (B )11123132a a a a -(C )1112233132a a a a a (D )1112233132a a a a a -14.已知球O 的半径为1,A B 、为球O 上的任意两点,则A B 、两点的球面距离的最大值为()(A )2(B )π(C )2π(D )2π+15.从老杨、老王及其他100名市民中随机抽取5名进行新冠病毒的核酸检测,则“老杨被抽中进行检测,但老王未被抽中进行检测”的概率为()(A )1920(B )97102(C )19396(D )4851030216.已知空间向量()111,,a x y z = 和()222,,b x y z = ,设12112x x D y y =和12212x x D z z =,则“a b ∥”是“120D D ==”的()(A )充分非必要条件(B )必要非充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分又非必要条件三、解答题(本题共有5大题,满分76分)17.(14分)已知34z i =+,其中i 为虚数单位.(1)求Re Im z z z +-的值;(2)若实数,x y 满足6z x z y ⋅+⋅=,其中z 为z 的共轭复数,求x 的值.18.(14分)已知圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形,若该矩形的两边分别为4和9,设圆柱Γ的高为1h ,体积为1V ,圆柱Λ的高为2h ,体积为2V ,其中12h h >.(1)求12h h 的值;(2)求12V V 的值.19.(14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 为等腰直角三角形,AB AC ⊥,2AB AC ==,14AA =,M 是侧棱1CC 上一点,设MC h =.(1)若1h =,求异面直线BM 与1A C 所成角的大小;(2)若2h =,求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小;(3)若3h =,求点M 到平面1A BC 的距离.20.(16分)三棱锥P ABC -中,已知APB BPC CPA ∠=∠=∠,设,,PA a PB b PC c ===,其中0,0,0a b c >>>.(1)若2APB π∠=,证明:PA BC ⊥;(2)若2APB π∠=,判断ABC △是否为锐角三角形,并求出此时ABC △的面积S (用,,a b c 表示);(3)若3APB π∠=,1abc =,判断三棱锥P ABC -的体积是否为一个定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.21.(18分)已知抛物线()2:20C x py p =>,过定点()()0,0M m m >作直线AB 交抛物线C 于,A B 两点,设()()1122,,,A x y B x y ,其中120,0x x <>.(1)若2212x x =,求直线AB 的斜率;(2)若1240x x m +=,求p 的值;(3)若点P 是直线:0l y m +=上任意一点,设直线,,PA PB PM 的倾斜角分别为,,αβγ,是否存在实数λ使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立,若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.。
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题_4

2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题本试卷共 2 页,共 22 题。
满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效.一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上.)1.若直线平分圆的面积,则的值为A. B. C. D.2.为了研究高一阶段男、女生对物理学习能力的差异性,在全年级学生中进行抽样调查,根据数据,求得的观测值,则至少有()的把握认为对物理学习能力与性别有关.参考数据:0.152.072A.90% B.95% C.97.5% D.99%3.已知抛物线的焦点到准线的距离为,则实数a等于A. B. C. D.4.在平行六面体中,若,则A. B. C. D.5.在某次学科知识竞赛中(总分100分),若参赛学生成绩服从(>0),若在(70,90)内的概率为0.7,则落在[90,100]内的概率为A.0.2 B.0.15 C.0.1 D.0.056.已知双曲线(,)与椭圆有共同焦点,且双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的方程为A. B. C. D.7.法国的数学家费马(PierredeFermat)曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想:当整数时,找不到满足的正整数解.该定理史称费马最后定理,也被称为费马大定理.现任取,则等式成立的概率为A. B. C. D.8.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问相逢时驽马行几里?A.540 B.785 C.855 D.9509.设随机变量,,若,则A. B. C. D.10.函数的图象大致形状是11.设分别是双曲线的左、右焦点,点为双曲线右支上一点, 线段交左支于点,若为正三角形,且,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.设椭圆的右焦点为,直线与椭圆交于两点,现给出下述结论:①为定值;②的周长的取值范围是;③当时,为直角三角形;④当时,的面积为.其中所有正确结论的序号是A.①②③ B.②④ C.①③ D.①③④二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数在点处的切线方程为▲.14.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院,每家医院至少去1人),则共有▲种分配方案.(用数字作答)15.已知数列:的前项和为,则▲.16.是奇函数的导函数,,且对任意的都有,则▲,使得成立的的取值范围是▲.(第一空2分,第二空3分)三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知,设.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的展开式中的常数项.18.(本小题满分12分)在①;②这两个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.设等差数列的前项和为,数列为等比数列,,.求数列的前项和.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面为梯形,,点为的中点,且,点在上,且.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若平面平面,且,求直线与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线,直线()与交于两点,为的中点,为坐标原点.(Ⅰ)求直线斜率的最大值;(Ⅱ)若点P在直线上,且△PAB为等边三角形,求点P 的坐标.21.(本小题满分12分)已知函数,.(Ⅰ)为函数的导数,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数与的图象有两个交点、,求证:.22.(本小题满分12分)足球运动被誉为“世界第一运动”.深受青少年的喜爱.(Ⅰ)为推广足球运动,某学校成立了足球社团,由于报名人数较多,需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取,规则如下:踢点球一次,若踢进,则被录取;若没踢进,则继续踢,直到踢进为止,但是每人最多踢点球3次.下表是某同学6次的训练数据,以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团,该同学进行了“点球测试”,每次点球是否踢进相互独立,他在测试中所踢的点球次数记为,求的分布列及数学期望;点球数203030252025进球数101720161314(Ⅱ)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第次触球者是甲的概率记为,即.(i)求 (直接写出结果即可);(ii)证明:数列为等比数列,并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题本试卷共 2 页,共 22 题。
2019-2020年高二下学期期末考试 数学理 含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合,则A. B. C. D.2.已知是虚数单位,则等于A.B.C.D.3.公差不为零的等差数列第项构成等比数列,则这三项的公比为A.1 B.2 C.3 D.44.从中任取个不同的数,设表示事件“表示事件“取到的个数均为偶数”,则A.B.C.D.5.在中,已知,且,则A.B.C. D.6.执行如右图所示的程序框图,输出的值为A.B.C.D.7. 如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为锐角的菱形,俯视图为正方形,则此几何体的内切球表面积为A.B.C.D.8.函数的图象是A.B.C.D.9. 已知函数,如果存在实数,使得对任意的实数,都有成立,则的最小值为A.B.C.D.10.已知球的直径,是球球面上的三点,是正三角形,且,则三棱锥的体积为(A)(B)(C)(D)俯视图11. 过双曲线的左焦点,作圆:的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知函数的两个极值点分别为且,记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为,若函数的图象上存在区域D内的点,则实数的取值范围为A.B.C.D.试卷Ⅱ(共90 分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分, 共20分.13.某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人,且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列,在三月进行全市联考后,准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析,则应从B校学生中抽取_____人.14.过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A,直线l与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若,,则抛物线的方程为.15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,令,则的值为.16.观察下列算式:,若某数按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)已知中,角所对的边分别是,且(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求面积的最大值.18.(本小题满分12分)在某大学自主招生考试中,所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数; (Ⅱ)若等级A ,B ,C ,D ,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分. (i )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(ii)若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分. 从这人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)在三棱柱中,侧面为矩形,为 中点,与交于点,丄面.(Ⅰ )证明:(Ⅱ)若求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率且经过点,抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合.(Ⅰ)过的直线与抛物线交于两点,过分别作抛物线的切线,求直线的交点的轨迹方程; (Ⅱ)从圆上任意一点作椭圆的两条切线,切点分别为,试问的大小是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学含答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。
1. 已知集合6,2,0,4,2,1B A ,则B A _________。
2. 如果复数mi i 11是实数,则实数m _________。
3. 已知2053cos x x ,则x 2sin 的值为_________。
4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m,作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线5y x 上的概率为_________。
5. 已知函数0,log 0,22xx x x x f ,则2f f 的值为_________。
6. 执行下边的程序框图,若4p ,则输出的S _________。
7. 直线b x y平分圆082822y x y x 的周长,则b __________。
8. 等比数列n a 的各项均为正数,31a ,前三项的和为21,则654a a a __________。
9. 已知实数y x,满足2211y x y x xy ,若y x z 3在y x,处取得最小值,则此时y x,__________。
10. 在R 上定义运算⊙:a ⊙b b a ab 2,则满足x ⊙02x 的实数x 的取值范围是__________。
11. 在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,D 为斜边BC 的中点,则AD AB 的值为__________。
12. 已知函数2,0,6sin 2x x x f ,则该函数的值域为__________。
13. 把数列n 21的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第k 行有12k 个数,第k 行的第s 个数(从左数起)记为s k,,则20121可记为__________。
14. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动,设顶点y x P ,的纵坐标与横坐标的函数关系式是x f y ,x f y 在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积记为S ,则S=__________。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案

2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案一、选择题(共12小题,共60分) 1.设,则下列不等式一定成立的是( ) (A) (B) (C) (D)2.已知实数x ,y 满足,则z =4x +y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03.若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩,表示的平面区域是一个三角形区域,则的取值范围是( )A. B. C. D.或4.等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为( ) A .66 B .99 C .144 D .2975.已知,则“”是“成立”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为( ) A .66 B .99 C .144 D .297 7.已知,则“”是“成立”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 8.已知变量x,y 满足约束条件 则的取值范围是( ) A . B . C . D .(3,6] 9.当时,的最小值为( )A .10B .12C .14D .16 10.已知实数满足,则目标函数的最大值为( ) A . B . C . D . 11.在中,内角的对边分别为,若,,,则等于( )A .1B .C .D .2 12.已知数列是公比为2的等比数列,若,则= ( )A .1B .2C .3D .4第II 卷(非选择题)二、填空题(4小题,共20分)13.已知向量,若⊥,则16x +4y 的最小值为 .14.在锐角中,,三角形的面积等于,则的长为___________. 15.已知数列中,,,则=___________. 16.不等式的解是___________. 三、解答题(8小题,共70分)17.已知等比数列{a n }满足:a 1=2,a 2•a 4=a 6. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记数列b n =,求该数列{b n }的前n 项和S n .18.已知数列的各项均为正数,是数列的前n 项和,且. (1)求数列的通项公式;(2)n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值.19.在中,已知内角,边.设内角,面积为. (1)若,求边的长; (2)求的最大值. 20.等差数列中,,(),是数列的前n 项和. (1)求;(2)设数列满足(),求的前项和.21.已知的三个内角成等差数列,它们的对边分别为,且满足,. (1)求;(2)求的面积.22.已知函数,且的解集为. (1)求的值;(2)若,且,求证:. 23.已知数列满足首项为,,.设,数列满足. (1)求证:数列是等差数列; (2)求数列的前项和. 24.已知正实数、、满足条件, (1)求证:;(2)若,求的最大值.参考答案 1.D 【解析】试题分析:本题主要考查不等式的性质,在不等式的性质中,与乘除相关的性质中有条件“均为正数”,否则不等式不一定成立,如本题中当都是负数时,都不成立,当然只能选D ,事实上由于函数是增函数,故是正确的. 考点:不等式的性质. 2.B 【解析】试题分析:画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z =4x +y 取得最大值为8考点:线性规划. 3.D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域(如图1所示),由于直线斜率为,纵截距为,自直线经过原点起,向上平移,当时,0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域(如图2所示);当时,0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域(如图3所示),当时,220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域(如图1所示),故选D.图1 图2 图3 考点:平面区域与简单线性规划. 4.B【解析】由已知及等差数列的性质得, 所以,19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点:等差数列及其性质,等差数列的求和公式.5.B【解析】解得其解集,解得, 因为,所以,”是“成立”的必要不充分条件,选. 考点:充要条件,一元二次不等式的解法. 6.B【解析】由已知及等差数列的性质得, 所以,19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点:等差数列及其性质,等差数列的求和公式.7.B【解析】解得其解集,解得, 因为,所以,”是“成立”的必要不充分条件,选. 考点:充要条件,一元二次不等式的解法. 8.A 【解析】试题分析:画出可行域,可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点(),()则可知k =的范围是. 考点:线性规划,斜率. 9.D 【解析】试题分析:因为所以=16.考点:基本不等式的应用.10.C【解析】试题分析:作出可行域如图:再作出目标函数线,并平移使之经过可行域,当目标函数线过点时纵截距最小但最大,此时.故C正确.考点:线性规划问题.11.A【解析】试题分析:由正弦定理得,即。
2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A .(,2)-∞ B .(2,)+∞ C .(,)-∞+∞D .(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选:D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析,平面内一组基底必须不共线,求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2.椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是( )A .没有交点B .有一个交点C .有两个交点 D .由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为:()2730x y m x y +-++-=,令30,270xy x y +-=+-=,解出直线过定点()3,1A ,再将()3,1A 代入22:1169x y C +=,判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为:()2740x y m x y +-++-= ,令+-=+-=40,270xy x y ,解得3,1x y ==,所以直线过定点()3,1A ,将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<,所以点()3,1A 在椭圆的内部, 所以直线与椭圆必相交, 所以必有两个交点. 故选:C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆,直线与椭圆的位置关系,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于基础题.3.过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点,使点P为AB 的中点,则这样的直线( )A .存在一条,且方程为210x y --=B .存在无数条C .存在两条,且方程为2(1)0x y ±+=D .不存在 【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时,将直线方程为1x = 代入2212y x -=,得0y =,与双曲线只有一个交点,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=,得()()222221320k x k k x k k ----+-=,分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时,直线方程为1x = 代入2212y x -=,得0y = ,与双曲线只有一个交点,不符合题意. 当直线的斜率存在时,设直线方程为()11y k x -=-,代入2212y x -=,得()()222221320k x k k x k k ----+-=,当220k -=时,直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点,不符合题意.当22k -≠0时,因为点P 为AB 的中点, 由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ,解得2k = 而当2k =时,222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<,所以直线与双曲线不相交. 故选:D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,还考查了分类讨论的思想方法,属于中档题.4.已知圆心为O ,半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ,其中0OA OB ⋅=,存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=,则实数,λμ的关系为A .221λμ+=B .111λμ+= C .1λμ= D .1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===,且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=,即OC OA uOB λ=--.平方得:221λμ+=. 故选A.二、填空题5.直线l 的倾斜角范围是__________; 【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.范围:倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 故答案为:0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.6.方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆,其焦点坐标是_________;【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆,确定22,4a m b ==,再由,,a b c 的关系求出c ,写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆,所以22,4a m b == ,所以c==所以焦点坐标为:(0,.故答案为:(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.7.抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程,可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=,因此,该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解,解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式,考查计算能力,属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________; 【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义,i -对应点的坐标,直线又经过原点()0,0,根据斜率公式求得斜率,再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ,直线又经过原点()0,0 ,所以斜率103k ==-,所以tan α= ,又因为[0,)απ∈ , 所以56πα=.故答案为:56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率,倾斜角及其关系,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9.下面四个命题:①,a b 是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数;②任何两个负数不能比较大小;③12,z z C ∈,且22120z z +=,则120z z ==;④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________; 【答案】④【解析】①采用特殊值法,当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法,当121,z z i ==时来判断.④根据题意,是两个共轭虚数,则虚部不为零来判断. 【详解】 当0ab 时,则()()0a b a b i -++=,不是纯虚数,故错误.②因为负数是实数,实数可以比较大小,故错误. ③当121,z z i ==时,符合12,z z C ∈,且22120z z +=,而120z z ==不成立,故错误.④因为是两个共轭虚数,所以设()0z a bi b =+≠ ,其共轭复数是()0za bib =-≠,则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数,故正确. 故答案为:④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.10.已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点,点B 和点在C 双曲线的右支上,ABC ∆是等边三角形,则ABC ∆的面积为_________; 【答案】【解析】根据题意得()1,0A -,再根据双曲线和等边三角形的对称性,得到AB k =AB 的方程,求出点(B ,从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得,()1,0A - ,因为点B 和C 在双曲线的右分支上,ABC ∆是等边三角形,根据对称性得,AB k =,所以直线AB 的方程是)1y x =+ ,代入双曲线方程,得220x x --= , 解得2x = 或1x =- (舍去),所以(B , 所以1233332∆ABCS .故答案为:【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算,还考查了分析解决问题的能力,属于基础题.11.直线l 经过点()2,1P -,且点()1,2--A 到l 的距离为1,则直线l 的方程为______. 【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时,设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=;当直线与x 轴垂直时,l 方程为2x =-也符合题意.由此即可得到此直线l 的方程. 【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+,即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1,1=,解之得43k =-, 得l 的方程为4350x y ++=.当直线与x 轴垂直时,方程为2x =-,点()1,2--A 到l 的距离为1,∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=. 故答案为:2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点,且到定点的距离等于定长的直线l 方程,着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识,属于基础题. 12.直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________; 【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得,291840xx -+= ,根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得,291840x x -+=,解得13x =-或13x =+,所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--,故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为:4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于基础题.13.当实数,a b 变化时,两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点,则点(,)m n 所在曲线的方程为_________; 【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ,令210x y ++=且10x y +-=,求得定点坐标,再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ,对任意的实数,a b 都成立,所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩,解得23x y =-⎧⎨=⎩,所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-, 因为 2l 也通过定点()2,3-, 将()2,3-代入220++=m x y n , 得226n m =-. 故答案为:226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用,还考查了分析,解决问题的能力,属于基础题.14.动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1,动点P 的轨迹方程是_________;【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+,两边平方化简,再去绝对值求解. 【详解】 设(),P x y ,1x =+, 两边平方化简整理得222y x x=- ,当0x > 时,20y =, 当0x ≤ 时,24y x =-,综上:20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为:20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.椭圆2214x y +=的一个焦点是F ,动点P 是椭圆上的点,以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切,则定圆的方程是_________; 【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点,M 是线段PF 的中点,根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ,再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点,M是线段PF 的中点,根据题意得,1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-,即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切, 所以定圆的圆心是()0,0O ,半径r a 2== ,所以定圆的方程为224x y +=, 故答案为:224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题. 16.若实数x 、y 满足42x y x y -=-,则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】 令(),0y a x y b a b =-=≥、,此时,()22x y x y a b =+-=+,且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是,a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图,在aOb 平面内,点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分,即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而,{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17.已知x ∈R ,设22log (3)log (3)z x i x =++-,当x 为何值时: (1)在复平面上z 对应的点在第二象限? (2)在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】(1)32x -<<-;(2)5x =【解析】(1)由复平面上z 对应的点在第二象限,根据复数的几何意义,则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.(2)由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.,则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上,代入直线方程求解即可. 【详解】(1)因为复平面上z 对应的点在第二象限,所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩,所以03131x x <+<⎧⎨->⎩,解得32x -<<-.(2)因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上, 所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ,所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩,解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 18.已知直线与抛物线交于两点.(1)求证:若直线l 过抛物线的焦点,则212y y p ⋅=-; (2)写出(1)的逆命题,判断真假,并证明你的判断. 【答案】(1)证明见解析;(2)逆命题:若212y y p =-,则直线过抛物线的焦点;真命题.见解析【解析】(1)不妨设抛物线方程为22y px = ,则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,当直线的斜率不存在时,直线方程为2px =代入22y px =,验证.当直线的斜率存在时,设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =,得2220ky py kp --=,再由韦达定理验证.(2)逆命题:直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明:当直线的斜率不存在时,设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =,解得12y y == ,再由212y y p ⋅=-,求解.当直线的斜率存在时,设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =,得2220ky py pb -+= ,由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-,求得k 与b 的关系现求解.【详解】(1)设抛物线方程为22y px = ,则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, 两个交点()()1122,,,A x y B x y ,当直线的斜率不存在时,直线方程为2px =,代入22y px =,得1,2y p y p==- ,所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时,设直线方程为()2py k x =-, 代入22y px =, 得2220ky py kp --= ,由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时,则212y y p ⋅=-.(2)逆命题:若212y y p ⋅=-,则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明:当直线的斜率不存在时,设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-,所以22p -=-,解得2pm =,所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时,设直线方程为y kx b =+, 代入22y px =, 得2220ky py pb -+=,由韦达定理得122pby y k⋅=,又因为212y y p ⋅=-, 所以2pkb =-,所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭, 所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.(1)若圆C 的方程是222x y r +=,求证:过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.(2)若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=,则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______,并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析;(2)200()()()()x a x a y b y b r --+--=;证明见解析;【解析】(1)设(),P x y 为切线上任一点,则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=,再由点00(,)M x y 为圆上的切点,则有PM CM⊥ ,即有0PM CM ⋅=求解即可.(2)设(),P x y 为切线上任一点,则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点,则有PM CM⊥ ,即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】(1)设(),P x y 为切线上任一点, 有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ,因为PM CM⊥ ,所以0PM CM ⋅= , 即()()0000,,0x x y y x y --⋅=,又点00(,)M x y 在圆上, 所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.(2)设(),P x y 为切线上任一点, 则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--,因为PMCM⊥ ,所以0PM CM ⋅= , 即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=,又点00(,)M x y 在圆上, 所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题,还考查推理论证的能力,属于中档题.20.已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ,P 为动点,若124PF PF +=.(1)求动点P 的轨迹E 方程;(2)若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -,设直线l 过点M ,且与轨迹E 交于R Q 、两点,直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问:当直线l 在变化时,点S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条定直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.【答案】(1)2214x y +=;(2)是,4x =【解析】(1)根据124PF PF +=,且124F F >,由椭圆的定义可知,动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆,再求出,a b ,写出方程.(2)先设直线的方程为1x my =+,如果存在,则对任意m 都成立,首先取特殊情况,当0m =时,探究出该直线为:4l x =,再通过一般性的证明即可. 【详解】(1)双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ,设动点P (),x y , 因为124PF PF +=,且124F F > ,所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===,所以的轨迹E 方程;2214x y +=.(2)由题意设直线的方程为1x my =+,取0m =,得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 直线1A R的方程是63y x =+,直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭,由对称性可知:交点为(24,S .若点S 在同一条直线上,则该直线只能为:4l x =. 以下证明 对任意的m ,直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ,设()()1122,,,R x y Q x y ,由韦达定理得:12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ,由011422y y x =++ ,得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' , 由022422y y x '=-- ,得20222y y x '=-,因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-,()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时,点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系,还考查了特殊与一般的思想,运算求解的能力,属于难题. 21.已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -,并经过点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点,12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点,且122x x =,证明:直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上;(3)你能否将(2)推广到一般椭圆中?写出你的结论即可.【答案】(1)2212x y +=;(2)证明见解析;(3)若椭圆22221x y a b +=,若212x x a =,则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上; 【解析】(1)已知焦点12(1,0),(1,0)F F -,利用椭圆的定义,求得椭圆的长轴长,再求得2b ,写出方程即可.(2)设()(),,,M m n N m n -,得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--,直线BN的方程为()22n y x x X m=--,设设交点()00,P x y ,分别代入直线AM ,BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ,()0200y n x my nx +=+,两式化简得到220022x y +=,说明交点在椭圆上.(3)根据(2)的论证过程,推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意,椭圆的长轴长:2a =+,解得22a = , 又2211b a =-=,所以椭圆的方程是2212x y +=.(2)设()(),,,M m n N m n - ,则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①,直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ,代入①②得()0100y n x my nx -=-③,()0200yn x my nx +=+④,③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-,又因为2212m n +=,122x x =,所以220022x y +=,所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程, 所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.(3)若椭圆22221x y a b +=,若212x x a =,则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上; 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法,以及点与椭圆的位置关系,还考查了推理论证,运算求解的能力,属于难题.。
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题_9

2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题
本试卷共 4 页,150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将答题卡交回,试卷自行保存。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
(1)已知全集U 2, 1,1, 2, 3, 4 ,集合 A 2,1, 2, 3, 集合
B 1, 2, 2, 4,
则CU A ∪ B 为
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题
本试卷共 4 页,150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将答题卡交回,试卷自行保存。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
(1)已知全集U 2, 1,1, 2, 3, 4 ,集合 A 2,1, 2, 3, 集合B 1, 2, 2, 4,
则CU A ∪ B 为。
2019-2020学年度高二下数学期末考试答案

2019~2020学年度第二学期期末考试高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.BCDA BCDD二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.ACD 10.BC 11.BCD 12.ABD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1m - 14.8 15.(,1][2,)-∞+∞ 16. 157301()22 674四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)解:(1)………………………………………………………………………………4分(2)22105(15302040)211.9095550357011K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯. ······································· 8分 因为2 1.909 2.706K ≈<,所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”. ································· 10分 18.(本小题满分12分)解:(1)当0x 时,0x , ··································································· 1分 因为()f x 是定义在R 上的偶函数, 故22()()()2()323f x f x x x x x . ································ 5分 所以2223, 0 ,()23, 0 x x x f x x x x .······················································· 6分(2)223yx x 图象的对称轴为直线10x.又223yx x 的图象开口向上,所以()f x 在[0,)上单调递增. ········· 7分又()f x 是定义在R 上的偶函数, 故(21)(|21|)f m f m ,(2)(|2|)f m f m . ································ 9分 由(21)(2)f m f m ,得(|21|)(|2|)f m f m .又()f x 在[0,)上单调递增,所以|21||2|m m ,即22(21)(2)m m . ····································· 11分 解得11m .故m 的取值范围是(1,1).········································· 12分 19.(本小题满分12分) 解:(1)2(4(1)40)ax a bx f x b .由题意,2(41)40ax a x b 的解集为{|12}x x ,则0a .且11x ,22x 是方程2(41)40ax a x b 的两个实根.··············· 2分 故12(41)3a x x a,1242b x x a,解得1,6.a b ·················· 4分(2)()0f x ,即(1)(4)0ax x .·························································· 5分 ①当0a 时,有40x ,得4x . ··············································· 6分 ②当0a 时,有1()(4)0xx a ,此时14a .解得14x a . ············· 7分 ③当0a 时,有1()(4)0xx a. ···················································· 8分 若104a ,则14a .解得4x ,或1x a ; ···································· 9分 若14a ,此时不等式为2(4)0x .解得4x ;······························· 10分若14a,此时14a.可得1xa ,或4x . ······································ 11分 综上,0a 时,解集为1{|4}x x a ;0a 时,解集为{|4}x x ;104a 时,解集为{|4x x ,或1}x a ;当14a 时,解集为{|4}x x ≠;当14a 时,解集为1{|x x a,或4}x . ············································································· 12分 20.(本小题满分12分)(1)A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=; ············································ 2分 (2)B 恰好答对两个问题的概率为223214C ()339⋅=. ········································ 4分 (3)X 所有可能的取值为1,2,3.124236C C 1(1)C 5P X ===;214236C C 3(2)C 5P X ===;304236C C 1(3)C 5P X ===. ···································································· 7分所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. ·················································· 8分 由题意,随机变量Y ~2(3,)3B ,所以2()323E Y =⨯=. ·························· 9分 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=. ····························· 10分 212()3333D Y =⨯⨯=. ····································································· 11分 因为()()E X E Y =,()()D X D Y <,可见,A 与B 的平均水平相当,但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A . ·································································· 12分 21.(本题满分12分)解:(1)由题意,判别式214104a ∆=-⨯⨯, ·············································· 2分 解得11a -.所以实数a 的取值范围是11a -. ······························· 4分 (2)当1x >时,()ln 0g x x =-<,()min{(),()}()0h x f x g x g x =<,所以()h x 在(1,)+∞上无零点. ····························································· 6分由题意,()h x 在(0,1]上有三个零点. 5(1)4f a =+,(1)0g =, 若(1)(1)f g ,则54a -,(1)(1)0h g ==,1是()h x 的一个零点;若(1)(1)f g <,则54a <-,(1)(1)0h f =<,1不是()h x 的一个零点. ········· 8分当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->.由题意,1是()h x 的一个零点,且21()4f x x ax =++在(0,1)上有两个零点. ····································································································· 9分所以54a -,且21410,401,21(0)0,45(1)0,4a a f f a ⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=+>⎩解得514a -<<-. ······················ 11分综上,若()h x 有三个零点,a 的取值范围是514a -<<-. ······················· 12分 22.(本小题满分12分)证明:(1)()f x 的定义域为R .由()(1)e 1x f x x x =---,得()e 1x f x x '=-,()(1)e x f x x ''=+. ················· 1分()01f x x ''<⇔<-;()01f x x ''>⇔>-.所以()f x '在(,1)-∞-上单调递减,在(1,)-+∞上单调递增. ······················· 2分 所以1min ()(1)e 10f x f -''=-=--<. 当1x <-时,显然()0f x '<;当1x >-时, 1211()e 1022f '=-<,(1)e 10f '=->, ······························· 3分故存在唯一的实数01(,1)2x ∈,使得0()0f x '=.综上,()f x 在0(,)x -∞上单调递减,()f x 在0(,)x +∞上单调递增.因此,()f x 存在唯一的极值点,且为极小值点. ···································· 4分 (2)由(1)知,0()(1)20f x f <=-<,2(2)e 30f =->,且()f x 在0(,)x +∞上单调递增.所以()0f x =在0(,)x +∞上存在唯一的实根α,且(1,2)α∈. ··················· 5分 由12α<<,得21α-<-<-.()(1)e 1f αααα--=--+-e [(1)e 1]αααα-=---e ()f αα-=0=, ············ 6分 由(1),01(,1)2x ∈,所以0x α-<.又()f x 在0(,)x -∞上单调递减,所以()0f x =在0(,)x -∞上存在唯一的实根α-. 综上所述,()0f x =有且仅有两个实根,且两个实根互为相反数. ············· 7分 (3)由()(1)e 1n f n n n --=--+-e [(1)e 1]n n n n -=---e ()n f n -=,可得()e ()n f n f n =-,因此|()|e |()|n f n f n =-. 由(2)可知,对*n ∀∈N ,()0f n ≠,()0f n -≠.22|()|(22)|()|f n n n f n >++-⇔21|()|(1)|()|2f n n n f n >++-⇔21e |()|(1)|()|2n f n n n f n ->++-⇔21e 12n n n >++. ································ 9分令21()e 12x h x x x =---,求导得()e 1x h x x '=--,()e 1x h x ''=-.当0x >时,()e 10x h x ''=->,因此()e 1x h x x '=--在(0,)+∞上为增函数. 因此,当0x >时,()(0)0h x h ''>=,所以21()e 12x h x x x =---在(0,)+∞上为增函数. ································· 11分 所以,当0x >时,()(0)0h x h >=,即21e 102x x x --->.因此21e 12x x x >++.因为*n ∈N ,所以21e 12n n n >++. 因此原不等式成立.······················· 12分。
2019-2020学年浦东新区建平中学高二下学期期末数学试卷

2019-2020学年浦东新区建平中学高二下学期期末数学试卷一、单选题(本大题共4小题,共20.0分) 1.定义二阶行列式∣∣∣ab dc ∣∣∣=ac −bd ,那么∣∣∣sin50°cos40°−√3tan10°1∣∣∣=( ) A. 1B. −1C. √3D. 02.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则它的侧视图的面积为( )A. √32 B. √52C. 32D. 523. 我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就,哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数),在不超过15的素数中,随机选取2个不同的素数a 、b ,则|a −b|<3的概率是( )A. 15B. 415C. 13D. 254.设命题甲为“点P 的坐标适合方程F(x,y)=0”;命题乙为:“点P 在曲线C 上;命题丙为:“点Q 的坐标不适合方程F(x,y)=0”;命题丁为:“点Q 不在曲线C 上”,已知甲是乙的必要条件,但不是充分条件,那么( )A. 丙是丁的充分条件,但不是丁的必要条件B. 丙是丁的必要条件,但不是丁的充分条件C. 丙是丁的充要条件D. 丙既不是丁的充分条件,也不是丁的必要条件二、单空题(本大题共12小题,共53.0分) 5.如图,实心铁制几何体AEFCBD 由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知BC =EF =πcm ,AE =2cm ,BE =CF =4cm ,AD =7cm ,且AE ⊥EF ,AD ⊥底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗20%,则铸得的铁球的半径为______cm .6.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0−1三角数表、从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n 次全行的数都为1的是第2n −1行;第62行中1的个数是______ .7. 若圆锥的母线长为2cm ,底面圆的周长为2πcm ,则圆锥的表面积为______.8.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为_____________________. 9.若实数x ,y 满足不等式组{x ≥0y ≥x x −2y +2≥0.,则z =x +2y 的最大值为______.10. 若数据2,x ,2,2的方差为0,则x ______.11. 若线性方程组的增广矩阵为∣∣∣123112∣∣∣,则该线性方程组的解是______.12. 从5名志愿者中选出3名,分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作,每人承担一项工作,则不同的选派方案有______种(用数值作答).13. 已知{x =m y =t 是增广矩阵为(3−122012)的二元一次方程组的解,则m +t =______.14. 已知12+22+⋯+n 2=n(n+1)(2n+1)6,则312+512+22+712+22+32+⋯+2n+112+22+⋯+n 2(n ∈N ∗)的和是______________.15. 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的______倍. 16. 若(ax −1)3的展开式中各项的系数和为27,则实数a 的值是______ . 三、解答题(本大题共5小题,共76.0分)17. 已知关于t 的方程t 2−zt +4+3i =0(z ∈C)有实数解, (1)设z =5+ai(a ∈R),求a 的值. (2)设z =a +bi(a,b ∈R),求|z|的取值范围.BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿着18.已知四边形ABCD满足AD//BC,AB=AD=CD=12AE翻折成△B1AE,使面B1AE⊥面AECD,F是B1D的中点.(Ⅰ)求四棱锥B1−AECD的体积;(Ⅱ)求平面ADB1与平面ECB1所成角的正弦值.19.如图所示,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点.(1)若C1M=1,求异面直线A1M和C1D1所成角的大小;(2)若C1M=2,求证BM⊥平面A1B1M.20.如图,四边形ABCD为边长为1的正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=45°,AF⊥PC于点F,FE//CD,交PD于点E.(1)求三棱锥P−ACD的体积;(2)求二面角C−AF−E的正弦值.21.求抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值.【答案与解析】1.答案:A解析:解:二阶行列式∣∣∣a bd c∣∣∣=ac−bd,那么∣∣∣sin50°cos40°−√3tan10°1∣∣∣=sin50°+√3tan10°cos40°=cos40°(1+√3tan10°)=2cos40°(12cos10°+√32sin10°)1cos10°=2cos40°sin40°1cos10°=sin80°×1cos10°=1.故选:A.直接利用定义,展开表达式求解即可.本题考查新定义的理解,辅助角公式,考查切化弦,考查学生的计算能力.2.答案:C解析:解:由题意可知三棱锥的后侧面垂直于底面,后侧面是正三角形,边长为2,底面是正三角形,边长为2,所以三棱锥的高为:√3,侧视图是直角三角形,直角边长为:√3,√3,所以侧视图的面积为:12×√3×√3=32.故选C.三棱锥的后侧面垂直于底面,求出三棱锥的高,求出三棱锥的侧视图的面积即可.本题考查由三视图求面积、体积,考查空间想象能力,是基础题.3.答案:B解析:解:不超过15的素数有:2,3,5,7,11,13,共6个随机选取2个不同的数,基本事件总数n=∁62=15,|a−b|<3包含的基本事件有:(2,3),(3,5),(5,7),(11,13),共4个,∴其对应的概率是p=415.故选:B.不超过15的素数有6个,随机选取2个不同的数,基本事件总数n=∁62=15,利用列举法求出符合条件的基本事件,由此能求出结论.本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.答案:A解析:解:∵甲为“点P的坐标适合方程F(x,y)=0”;命题乙为:“点P在曲线C上;∴得“乙⇒甲”,∵“若点P的坐标不适合方程F(x,y)=0,则点P不在曲线C上”,即“丙⇒丁”∴根据充分必要条件的定义可判断:丙是丁的充分条件,但不是丁的必要条件.故选:A.由已知条件,得“乙⇒甲”,即“点P在曲线C上,则点P的坐标适合方程F(x,y)=0”,它的逆否命题是:“若点P的坐标不适合方程F(x,y)=0,则点P不在曲线C上”,即“丙⇒丁”本题考查了曲线的方程,与曲线上的点的关系,充分必要条件,属于中档题.5.答案:√33解析:解:设铸得的铁球的半径为rcm,由题意可得几何体的体积为:12×2×π×4+13×12×2×π×(7−4)=5π.可得:5π×(1−20%)=43πr3,解得:r=√33.故答案为:√33.设出球的半径,利用几何体的体积与球的体积相等,转化求解球的半径即可.本题考查简单几何体的体积,考查运算求解能力与应用意识.6.答案:32解析:解:由已知中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…全行都为1的是第2n−1行;∵n=6⇒26−1=63,故第63行共有64个1,逆推知第62行共有32个1,故答案为:32.本题考查的知识点是归纳推理,我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,结合杨辉三角我们易得到第1行,第3行,第7行,…全都是1,则归纳推断可得:第n次全行的数都为1的是第2n−1行;由此结论我们可得第63行共有64个1,逆推即可得到第62行中1的个数本题考查了归纳推理,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质,(2)从已知某些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题7.答案:3πcm2解析:解:设圆锥的底面半径为r,∵圆锥的底面圆的周长为2πcm,∴2πr=2πcm,∴r=1cm,又∵圆锥的母线长为2cm,∴圆锥的表面积S=πr(r+l)=3πcm2,故答案为:3πcm2根据已知求出圆锥的底面半径,代入圆锥表面积公式,可得答案.本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的表面积公式,是解答的关键.8.答案:15解析:本题考查古典概型的计算与应用,组合数公式,属于基础题.求出符合条件的基本事件个数以及基本事件总数,相除即可.解:5根竹竿中选两个的选法有C52=10种,长度恰好相差0.3的有(2.5,2.8)和(2.6,2.9)两种,因此概率P=210=15.故答案为15.9.答案:6解析:解:作出不等式组{x ≥0y ≥x x −2y +2≥0对应的平面区域如右图,是位于△ABO 及其内部的阴影部分.将直线l :z =x +2y 进行平移,可知越向上平移,z 的值越大,当l 经过区域的右上顶点A 时,z 达到最大值 由{y =xx −2y +2=0解得A(2,2) ∴z max =F(2,2)=2+2×2=6 故答案为:6作出题中不等式组对应的平面区域如图,将直线l :z =x +2y 进行平移,并观察它在轴上截距的变化,可得当l 经过区域的右上顶点A 时,z 达到最大值.由此求出A 点坐标,不难得到本题的答案. 本题给出线性约束条件,求目标函数的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点,属于基础题.10.答案:=2解析:解:因为数据2,x ,2,2的方差为0,由其平均数为6+x 4,得到14[3(6+x 4−2)2+(6+x 4−x)2]=0,解得x =2; 故答案为:2.由已知利用方差公式得到关于x 的方程解之.本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用,熟记公式是关键,属于基础题11.答案:{x =1y =1(向量表示也可)解析:解:由二元线性方程组的增广矩阵为∣∣∣123112∣∣∣ 可得到二元线性方程组的表达式{x +2y =3 x +y =2 解得:{x =1y =1 故答案为:{x =1y =1.首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出x ,y ,即可 本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义,计算量小,属于较容易的题型.12.答案:60解析:解:根据题意,从5名志愿者中选出3名,分别从事三项不同的工作, 则有A 53=60种不同的选派方案; 故答案为:60.根据题意,分析可得这是排列问题,有排列数公式计算可得答案. 本题考查排列、组合的应用,注意排列、组合数公式的区别.13.答案:10解析:解:方法一:{x =m y =t 是增广矩阵为(3−122012)的二元一次方程组的解,则{3m −t =22t =2,解得m =8,t =2, 则m +t =10,方法二:A =(3−122012),设①②分别矩阵A 的第1、2行,对矩阵A 进行下列变换,,由最后一个矩阵可得{x =8y =2,∴m =8,t =2, ∴m +t =10. 故答案为:10.方法一:首先根据二元一次方程组的增广矩阵,写出二元线性方程组的表达式,然后根据方程求解m ,t 即可;方法二:根据线性方程组增广矩阵的变换可得线性方程组的解,即可求出m ,t 的值.此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式,计算量小,属于基础题,解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义,并由此写出二元线性方程组的表达式.14.答案:6nn+1解析:本题考查数列的通项公式及裂项相消法求和的应用,属于中档题目. 解:由题意可得2n+112+22+⋯+n 2=2n+1n(n+1)(2n+1)6=6n(n+1)=6(1n −1n+1),所以312+512+22+712+22+32+⋯+2n+112+22+⋯+n 2=6[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯…+(1n −1n +1)]=6(1−1n +1) =6nn+1.故答案为6nn+1.15.答案:8解析:解:设球原来的半径为 r ,则扩大后的半径为2r ,球原来的体积为4πr 33,球后来的体积为4π(2r)33=32r 33,球后来的体积与球原来的体积之比为4πr 3332πr 33=8,故答案为8.设球原来的半径为 r ,则扩大后的半径为2r ,求出球原来的体积和后来的体积,计算球后来的体积与球原来的体积之比.本题考查球的体积的计算公式的应用,关键是设出原来的半径,求出后来的半径,属于中档题.16.答案:4解析:本题考查了二项式系数的性质,考查了学生灵活处理和解决问题的能力,是基础的计算题. 写出二项式(ax −1)3的二项展开式,可知展开式右侧取x =1即为展开式中各项的系数和,在左侧同样取x =1,由各项的系数和为27列式求解a 的值. 解:∵(ax −1)3=a 3x 3−3a 2x 2+3ax −1. 等式右侧x 取1即为各项系数的和, 则a 3−3a 2+3a −1=(a −1)3. 由已知得:(a −1)3=27,解得a =4. 故答案为:4.17.答案:解:(1)设实数解为t ,由t 2−(5+ai)t +4+3i =0得(t 2−5t +4 )+(−at +3)i =0.故{t 2−5t +4=0−at +3=0解得{t =1a =3或{t =4a =34.∴a =3或a =34;(2)∵关于t 的方程t 2−zt +4+3i =0有实数根,设其实数根为t 0 ∵t 02−zt 0+4+3i =0(z ∈C),∴z =t 02+4+3it 0=t 0+4t 0+3t 0i ,∴|z|=√(t 0+4t 0)2+(3t 0)2=√t 02+25t 02+8≥√2√t 02⋅25t 02+8=3√2,当且仅当t 02=5时取等号. ∴|z |的取值范围为[3√2,+∞) ∴|z|∈[3√2,+∞).解析:本题考查了复数相等、复数模的计算公式、基本不等式,考查了计算能力,属于中档题. (1)设实数解为t ,由t 2−(5+ai)t +4+3i =0得(t 2−5t +4 )+(−at +3)i =0.利用复数相等即可得出;(2)由t 02−zt 0+4+3i =0(z ∈C),∴z =t 02+4+3it 0=t 0+4t 0+3t 0i ,利用模的计算公式和基本不等式即可得出.18.答案:解:(Ⅰ)取AE 的中点M ,连接B 1M ,∵BA =AD =DC =12BC =a ,E 是BC 的中点, ∴△ABE 为等边三角形,∴B 1M =√32a ,又∵面B 1AE ⊥面AECD ,∴B 1M ⊥面AECD , ∴四棱锥B 1−AECD 的体积: V =13×√32a ×a ×a ×sin π3=a 34.(Ⅱ)连接MD ,分别以ME ,MD ,MB 1为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系. 则E(a2,0,0),C(a,√32a,0),A(−a2,0,0),D(0,√32a,0),B 1(0,0,√32a),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3a 2,0),EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,0,√3a 2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3a 2,0),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,0,√3a 2), 设面ECB 1的法向量n⃗ =(x,y ,z), 则{n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2x +√3a 2y =0n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2x +√32az =0,令x =1,则n ⃗ =(1,−√33,√33), 设面ADB 1的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ,z),。
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2019-2020年高二下学期期末考试(数学)一、选择题:(每小题5分,共75分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}||1M x x =<,{}|31xN x =>,则MN =A.∅B. {}|0x x <C.{}|1x x <D.{}|01x x <<2. 设0.2611log 7,,24a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.b c a <<C.b c a >>D.a b c <<3. 在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4),(1,3),AB AC ==则AD = A.(2,4)B.(3,5)()1 , 1 C .()1,1--D.(—2,—4)4. 如图,大正方形的面积是13 ,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为2 ,向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为 A.113 B. 213 C. 313 D. 4135.为了得到函数3sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,只需把()3sin 2,5y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭上所有的点 A.向左平行移动10π个单位 B. 向右平行移动5π个单位 C. 向左平行移动5π个单位 D. 向右平行移动25π个单位6. 0105cos 等于 A 32- B462- C 462+ D 426- 7. 若n m ,是两条不同的直线,γβα,,是三个不同的平面,给出下列命题: ① 若n m n m ⊥⊥则,//,αα; ② 若βαγβγα//,,则⊥⊥; ③ 若n m n m //,//,//则αα;④ 若//,//,m αββγα⊥,则m γ⊥其中正确命题的个数为A .1B .2C .3D .48. 如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为 A. 1B.12 C. 13D.169. 若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线430x y -=和x 轴都相切,则该圆的标准方程是 A.()()22211x y -+-= B. ()()22211x y -++=C.()()22211x y ++-= D. ()()22311x y -+-=10. 为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班60名学生,将所得数据整理后,画出其频率分布直方图(如右图),已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是A . 32人B . 27人C . 24人D . 33人11. 如右图,该程序运行后输出的结果为. A .36 B .56 C .55 D .45 12. ABC ∆中,C AB BC A ∠===∠则,6,3,3π=A .6πB .4πC .43πD .4π或43π13. 与不等式302x x-≥-同解的不等式是 A .0)2)(3(≥--x x B .0)2lg(≤-x C .032≥--x xD .0)2)(3(>--x x14. 已知等差数列{}n a 前17项和1751S =,则5791113a a a a a -+-+= A .3 B .6 C .17 D .5115. 若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时,()21f x x =-,函数左视图主视图EDCBAP俯视图侧视图正视图()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩,则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为 A .5B .7C .8D .10注意:请同学们将填空,解答题的答案写到答题纸上.......................二 填空题 (每小题5分,共25分)16. 右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数 为 和方差为17. 不等式 log 21a < 的解集为 18. 点()3,1-到直线250x y --=的距离是19. 在约束条件y x S y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>2,01221目标函数下的最大值为 20. 化简sin(2)tan()tan()2cos()tan(3)ππαααππαπα-+--=-- 三 解答题(解答要有具体的解题步骤或解题说明,无过程不得分.......................) 21. (本题满分8分)已知(1cos2 , 1) , (1 , )M x N x a ++a R a R x ,,(∈∈是常数),且y ⋅=(O 为坐标原点). (1)求函数)(x f y =的单调递增区间; (2)若]2,0[π∈x 时,)(x f 的最大值为4,求a 的值;22. (本题满分8分)已知四棱锥P -ABCD 的直观图与三视图如图所示(1)求四棱锥P -ABCD 的体积;(2)若E 为侧棱PC 的中点,求证:PA//平面BDE.23. (本题满分10分)已知抛物线21()4f x ax bx =++与直线y x =相切于点A (1,1)。
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建平中学2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷 2020.06.30说明:(1)本场考试时间为120分钟,总分150分;(2)请认真答卷,并用规范文字书写.一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分) 1.半径为1的球的表面积为______________. 【答案】4π2.二项式()101x +的展开式中5x 的系数为_____________.【答案】2523.圆锥的底面半径为1,一条母线长为3,则此圆锥的高为_______________.【答案】4.若2666n nC -=,则正整数n 的值为_______________.【答案】375.已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则2x y -的最小值为_____________.【答案】1-6.数据110,119,120,121的方差为_____________. 【答案】19.257.已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解415x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩,设111222333d b c A d b c d b c =,111222333a d c B a d c a d c =,111222333a b d C a b d a b d =,则A B C ++=_____________. 【答案】08.已知{}*,2020,N a b x x x ∈≤∈,满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________.【答案】20391909.已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -⎛⎫=⎪⎝⎭,小明同学为了求解此方程组,将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -⎛⎫=⎪⎝⎭,则a b +=_____.【答案】210.111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0!++++++++++=_______. 【答案】41417511.已知等边ABC △的边长为2,设BC 边上的高为AD ,将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点CA BCD -的外接球的体积为_____________.【答案】612.()()()()23465432654321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立,则3a =______________. 【答案】6二、选择题(每题5分,满分20分)13.三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 中23a 的代数余子式为( ) (A )11123132a a a a (B )11123132a a a a -(C )1112233132a a a a a (D )1112233132a a a a a -【答案】B14.已知球O 的半径为1,A B 、为球O 上的任意两点,则A B 、两点的球面距离的最大值为( ) (A )2 (B )π (C )2π (D )2π+ 【答案】B15.从老杨、老王及其他100名市民中随机抽取5名进行新冠病毒的核酸检测,则“老杨被抽中进行检测,但老王未被抽中进行检测”的概率为( )(A )1920 (B )97102 (C )19396(D )48510302【答案】D16.已知空间向量()111,,a x y z =和()222,,b x y z =,设12112x x D y y =和12212x x D z z =,则“a b ∥”是“120D D ==”的( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充分必要条件 (D )既非充分又非必要条件 【答案】A三、解答题(本题共有5大题,满分76分) 17.(14分)已知34z i =+,其中i 为虚数单位. (1)求Re Im z z z +-的值;(2)若实数,x y 满足6z x z y ⋅+⋅=,其中z 为z 的共轭复数,求x 的值. 【答案】(1)Re Im 342z z z +-=+=.(2)336164401x y x z x z y x y y ⎧+==⎧⋅+⋅=⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩,故1x =.18.(14分)已知圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形,若该矩形的两边分别为4和9,设圆柱Γ的高为1h ,体积为1V ,圆柱Λ的高为2h ,体积为2V ,其中12h h >.(1)求12h h 的值; (2)求12V V 的值. 【答案】(1)由题意得129,4h h ==,故1294h h =. (2)设圆柱Γ的底面半径为1r ,圆柱Λ的底面半径为2r由题意得2221111112222222444942999492r V r h r h r V r h r h ππππ⎛⎫⎛⎫==⇒==⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1249=V V .19.(14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 为等腰直角三角形,AB AC ⊥,2AB AC ==,14AA =,M 是侧棱1CC 上一点,设MC h =.(1)若1h =,求异面直线BM 与1A C 所成角的大小; (2)若2h =,求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小; (3)若3h =,求点M 到平面1A BC 的距离. 【答案】(1)以A 为坐标原点,射线1,,AB AC AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴正半轴建立空间直角坐标系()()()()12,0,0,0,2,1,0,0,4,0,2,0B M A C ()()12,2,1,0,2,4BM AC =-=- ()112022140BM AC BM AC ⋅=-⨯+⨯+⨯-=⇒⊥故异面直线BM 与1A C 所成角的大小为2π. (2)()()()()12,0,0,0,0,4,0,0,0,0,2,2B A A M()()()12,0,4,2,0,0,0,2,2BA AB AM =-==设平面ABM 的一个法向量为n ,直线1BA 与平面ABM 所成角为θ则()1110100,1,1sin arcsin 252BA n n BA nθθ⋅=-⇒===⇒=⨯⋅故直线1BA 与平面ABM 所成角为10arcsin. (3)()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,0,2,1B C A M()()()1112,0,4,0,2,4,0,2,1A B AC A M =-=-=- 设平面1A BC 的一个法向量为n ,点M 到平面1A BC 的距离为d则()130,2,113A M n n d n⋅=-⇒=== 故点M 到平面1A BC 的距离为1.20.(16分)三棱锥P ABC -中,已知APB BPC CPA ∠=∠=∠,设,,PA a PB b PC c ===,其中0,0,0a b c >>>.(1)若2APB π∠=,证明:PA BC ⊥;(2)若2APB π∠=,判断ABC △是否为锐角三角形,并求出此时ABC △的面积S (用,,a b c 表示);(3)若3APB π∠=,1abc =,判断三棱锥P ABC -的体积是否为一个定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由. 【答案】(1)2APB BPC CPA π∠=∠=∠=,即,PA PB PA PC ⊥⊥,,PA PB PA PC PB PC P ⊥⊥=,故PA ⊥平面PBCPA ⊥平面PBC ,BC 平面PBC ,故PA BC ⊥.(2)在Rt APB △中,AB ==在Rt BPC △中,BC == 在Rt CPA △中,AC =在ABC △中,2222cos 00,22AB AC BC A A AB AC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中,2222cos 00,22AB BC AC B B AB BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中,2222cos 00,22AC BC AB A C AC BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭S == 综上所述,ABC △为锐角三角形,此时ABC △的面积S =(3)在射线PB 和PC 上分别取点D 和E 使得PD PE a ==,联结,AD AE 和DE在三棱锥P ADE -中,PA PD PE a ===,3APB BPC CPA π∠=∠=∠=故AD AE DE a ===,即三棱锥P ADE -为正四面体,易知3P ADE V -=333P ABC P ADE abc abc V V a a --==== 故三棱锥P ABC -.21.(18分)已知抛物线()2:20C x py p =>,过定点()()0,0M m m >作直线AB 交抛物线C 于,A B 两点,设()()1122,,,A x y B x y ,其中120,0x x <>.(1)若2212x x =,求直线AB 的斜率; (2)若1240x x m +=,求p 的值;(3)若点P 是直线:0l y m +=上任意一点,设直线,,PA PB PM 的倾斜角分别为,,αβγ,是否存在实数λ使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立,若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)设直线AB 的斜率为k ,则()22122212121212122202x x y y x x p p k x x x x p x x ---====--- 故直线AB 的斜率为0.(2)设直线AB 的方程为y kx m =+22122220242x pyx pkx pm x x pm m p y kx m⎧=⇒--=⇒=-=-⇒=⎨=+⎩故p 的值为2.(3)设点P 的坐标为()0,x m -,故101cot x x y m α-=+,202cot x x y m β-=+,0cot 2x mγ-= 1020102001212cot cot cot 222x x x x x x x x xy m y m kx m kx m mλαβλγ----++=+=+-++++ ()()()1201200221212224cot cot cot 242kx x m kx x x mx x k x x km x x m mλαβλγ+-+-⇒++=-+++ 212212222202x x pk x py x pkx pm x x pm y kx m ⎧+==⎧⎪⇒--=⇒⎨⎨=-=+⎪⎩⎩()()()0002222224cot cot cot 22242k pm m kx pk mx x k pm km pk m m λαβλγ-+--⇒++=--+⋅+ ()()2000222cot cot cot 12222x pk m x x m mm pk m λλαβλγ-+⎛⎫⇒++=-=-- ⎪+⎝⎭ cot cot cot 0αβλγ++=对0R x ∀∈恒成立,则1022λλ--=⇒=-综上所述,存在实数2λ=-使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立.。