上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)

建平中学2019学年度第二学期期末考试

高二数学试卷 2020.06.30

说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；

（2）请认真答卷，并用规范文字书写．

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．半径为1的球的表面积为______________． 【答案】4π

2．二项式()10

1x +的展开式中5

x 的系数为_____________．

【答案】252

3．圆锥的底面半径为1，一条母线长为3，则此圆锥的高为_______________．

【答案】4．若2

666n n

C -=，则正整数n 的值为_______________．

【答案】37

5．已知0

01x y x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

，则2x y -的最小值为_____________．

【答案】1-

6．数据110,119,120,121的方差为_____________． 【答案】19.25

7．已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解415

x y z =⎧⎪

=⎨⎪=-⎩

，设

1

112

223

3

3d b c A d b c d b c =，11122233

3

a d c B a d c a d c =，111

2

2233

3

a b d C a b d a b d =，则A B C ++=_____________． 【答案】0

8．已知{

}*

,2020,N a b x x x ∈≤∈，满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________．

【答案】2039190

9．已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，小明同学为了求解

此方程组，将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，则a b +=_____．

【答案】2

10．

111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0!

++++++++++=_______． 【答案】

4

14175

11．已知等边ABC △的边长为2，设BC 边上的高为AD ，将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点C

A BCD -的外接球的体积为_____________．

【答案】

6

12．

()()()()

2

3

4

6

54326

54321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立，

则3a =______________． 【答案】6

二、选择题（每题5分，满分20分）

13．三阶行列式11

1213

21

222331

32

33

a a a a a a a a a 中23a 的代数余子式为（ ） （A ）

1112

3132

a a a a （B ）1112

3132

a a a a -

（C ）1112

23

3132

a a a a a （D ）1112

23

3132

a a a a a -

【答案】B

14．已知球O 的半径为1，A B 、为球O 上的任意两点，则A B 、两点的球面距离的最大值为（ ） （A ）2 （B ）π （C ）2π （D ）2π+ 【答案】B

15．从老杨、老王及其他100名市民中随机抽取5名进行新冠病毒的核酸检测，则“老杨被抽中进行检测，但老王未被抽中进行检测”的概率为（ ）

（A ）

1920 （B ）97102 （C ）19

396

（D ）48510302

【答案】D

16．已知空间向量()111,,a x y z =和()222,,b x y z =，设1211

2

x x D y y =和1221

2

x x D z z =

，则“a b ∥”

是“120D D ==”的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】A

三、解答题（本题共有5大题，满分76分） 17.（14分）已知34z i =+，其中i 为虚数单位． （1）求Re Im z z z +-的值；

（2）若实数,x y 满足6z x z y ⋅+⋅=，其中z 为z 的共轭复数，求x 的值． 【答案】

（1

）Re Im 342z z z +-=+=．

（2）336

164401

x y x z x z y x y y ⎧+==⎧⋅+⋅=⇒⇒⎨

⎨-==⎩⎩，故1x =．

18.（14分）已知圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为4和9，设圆柱Γ的高为1h ，体积为1V ，圆柱Λ的高为2h ，体积为2V ，其中12h h >．

（1）求

1

2

h h 的值； （2）求

1

2

V V 的值． 【答案】

（1）由题意得129,4h h ==，故

1294

h h =． （2）设圆柱Γ的底面半径为1r ，圆柱Λ的底面半径为2r

由题意得22

2111111222222244494

2999492r V r h r h r V r h r h ππππ

⎛⎫⎛⎫==⇒==⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1249=V V ．

19.（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，

2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．

（1）若1h =，求异面直线BM 与1A C 所成角的大小； （2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小； （3）若3h =，求点M 到平面1A BC 的距离． 【答案】