05-06-3高等数学A期末试卷参考答案及评分标准
A5AB.大一高等期末试题(参考答案)
因此设 f ( x, y) x 2 g( y) ，从而
(t ,1)
2xydx
( 0,0 )
f (x , y)dy
t
0dx
0
12
2
[ t g ( y )] dy t
0
1
g( y)dy ，（ 5 分）
0
(1, t )
2 xydx
( 0,0 )
f ( x, y)dy
1
0dx
0
t
t
[1 g( y )]dy t
0，
2z
2
4 ，可知在驻点 (0, 2) 与 (0, 16 ) 有 H
y 1 2z 8y
7
0 。( 5 分)
在 (0, 2) 点， z 1 ，因此
2z
2
4
0 ，所以 (0, 2) 为极小值点，极小值为
z 1 ；( 6 分)
x 15
在 (0, 16 ) 点， z 7
2
8 ，因此
z
2
7
x
4
0 ，所以
(0,
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1
2
0 2
34
（7 分）
7.
解
：L所
围
区
域D
：
2
x
2
y
2
a
,由
格
林
公
式
，
可
得
2
xy d y
L
( xy 2 ) (
x
D
( x 2 y) )dxdy =
y
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
高数A(二)A卷参考答案
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、 ，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程： ，变量分离可得：
两边积分可得： 是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设 为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又 即 为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为 得 所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
05 06 3高等数学A期末试卷参考答案及评分标
05 06 3高等数学A期末试卷参考答案及评分标05-06-3高等数学a期末试卷参考答案及评分标05-06-3高等数学期末考试参考答案和评分标准06。
6.二十三一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1（3）．阿迪？021y20f（x，y）dx？？阿迪？122y？y20.404f（x，y）dx2.x？2岁？2z？43（1）（6）．3x5．x3?y3?x2y?c6（4）．37（9）．?二.计算下列各题(本题共4小题，满分33分)10．（本题满分7分）2xdx?2ydy??dx?38．2?i9（7）．ak?12xy??dz?xz??dy（3分）y2（2x？？）y2y3？xz z（2x？？）Yz2y3？xz？？（1+1）DZ？dx？Dy（2分）？，？十、xy xx yxy？？11.（这个问题的满分是7分）ln2x？十、2.自然对数？1.（x？1）21N（x？1）2n（2+4点）n?1?0?x?2（1分）N3nn？11? 1nn？这道题的满分是10分？？十、十、3x3倍？（2分）3n?1n?1n?1n?1n?1?113x21x1??x?ln(1?3x)??ln(1?3x)（2+3分）??x?（1分）331? 3x31？3x3n？3.8.1.4s？4.LN2（2点）3.4.N1n？1.4.13.（这道题的满分是9分）取C（2,0）分，L、BC和Ca之间的区域记为D（1分）nilbccaxx2y2dxyxx2y2dyy24y2dyx2dx（2分）01?? 1.2.ydxdy？1.d175555？8.5（4+2分）33123？？2辛克森？12n？1sin2n？2xn，Lim三（14）（该问题的满分为9分）？？林？n2nn？？一nn？12sinxn2？2sinx（3分）何时2sinx？1，即何时3?5??x?时，原级数绝对收敛，（2分）当44?3?5?3?3?5?,?x?,2sin2x?1时，即当?x?时，原级数发散，（2分）当x?时，244原系列变成(1)n1n11，此时该级数条件收敛。
2005-2006第一学期工商学院高数期末试卷A(8学分)答案
2 x 1 2
](1
2 2 ) e 2x 1
1
(cot x) ln x . 2．求极限 lim
x 0 1 ln x
(cot x) 解： lim
x 0
e ＝ lim
x 0
1 ln cot x ln x
e 1
1 ( csc 2 x) ln cot x x cot x 其中 lim lim lim ( ) 1 . x 0 x 0 x 0 1 ln x sin x cos x x
Q
50 Q 10Q 200 2
1 Q 2 15Q 200 2
L(Q) Q 15 ，所以，当 Q 15 时， L(Q) 0 .
当 Q 15 时，工厂日总利润 L 最大.
6
九、(７分)某工厂生产某产品,日总成本为 C 元, 其中固定成本为 200 元, 每多生产一单位产品, 成本增加 10 元. 该商品的需求函数为 Q 50 2 P ,求 Q 为多少时工厂日总利润 L 最大?
得分
解： L(Q) R(Q) C (Q)
Q P (10Q 200)
1 1 ( , ) ，下凸区间为 ( ,1), (1, ) ，极小值为 f (0) 1 . 2 2
x 2 , x 1 七、 （５分）确定常数 a 、 b 的值，使函数 f ( x) 在其定义域内可导． ax b , x 1
得分
解：显然函数 f ( x) 在 x 1 及 x 1 时是可导的， x 1 处，
得分
五、证明题（每题５分，共 1０分）
得分
１．函数 f ( x) 和 g ( x) 都在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， f (1) g (1) ，且对所有 x (0, 1) 有
2005―2006学年度第一学期期末考试题高一数学参考答案及评分标准
2005―2006学年度第一学期期末考试题高一数学 参考答案及评分标准一、选择题：每小题6分.二、填空题：每小题6分 （11）()141212-+-nn n（12）51 （13）41 （14） ①、②、③ (15) ()15+=x x f三、解答题(16) 解: ①当0=x 时，1=n S ； -------------------------------------- 2分 ②当1=x 时，()21321+=+⋯+++=n n n S n ------------------------- 6分③当0≠x 且1≠x 时，12321-+⋯+++=n n nx x x S ①()nn nnx xn xx xS+-+⋯++=-1212 ②① －②得 ()nnnn n nx xxnxxx x S x ---=-+⋯+++=--111112∴ ()xnxx xS nn n ----=1112-------------------------- 15分（17）解：①当0<x 时，有xx x ->-112，从而有122-<-x x ，0122>-+x x ，21>x 或1-<x ，此时解为1-<x -------------------- 5分② 当10<<x 时，有xx x 112>-，从而有122-<x x ，0122<+-x x ，此时解集为∅ ----------------------- 9分 ③ 当1>x 时，有x x x 112>- ，从而有122->x x ，0122>+-x x ，R x ∈，此时解为1>x --------------------------------------------- 14分 综上，原不等式解集为{}1,1>-<x x x 或 --------------------- 15分(18) 解: 设原计划生产辆数为)0(,,>+-d d a a d a ，则实际生产辆数为600,,200++--d a a d a ------------------- 3分依题意有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++++--=②①a d a d a d a a 3326006002002 ------------------- 8分由②得600+=d a 代入①整理，得 01200004002=-+d d--------------- 12分解得200=d 或600-=d （舍）, 从而800=a∴ 原计划生产汽车辆数分别为600、800、1000. --------------------------- 15分 (19) 解: （Ⅰ）设()y x Q ,，∵ p 、Q 两点关于原点对称，∴p 点的坐标为（-x,-y ），又点 p(-x,-y)在函数y=f(x)的图象上，∴-y=log a (-x+1)，即g(x)=-log a (1-x) -------3分 （Ⅱ）由2f(x)+g(x)≥0得2log a (x+1)≥log a (1-x)∵0＜a ＜1 ，∴由对数性质有 2x +1>01x >0x (1,0](x +1)1x-∴∈-≤-⎧⎪⎨⎪⎩ ------------ 7分 （Ⅲ）由题意知：a ＞1且x ∈[0，1]时2(x 1)lo g m1xa+≥-恒成立。
高等数学(A)下期末试卷及答案
来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。
来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。
高等数学A1期末考试卷及解答.doc
题答要不名内姓线封密号学级班业专院学题答要不内线封密江苏科技大学08 － 09 学年（ 1）学期高等数学 A1 课程试题( A )卷题号一二三四五六七总分得分一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分 )x ln 1 x1．limx2 _______________ ;x 0 e 112. 函数f x x x在区间 0, 上的最大值为 ____________3. 求顶点为A(1, 1,2), B(5, 6,2) 和 C(1,3, 1) 的三角形的面积为________4.反常积分1 dx ________x ln2e x5.设f ( x) 1 1 x21 1________2 f ( x)dx ,则 f ( x) dx1 x 0 0二、单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分 )x sin x2的水平渐近线为（）．1.曲线y2xＡ． y 0; B．y 1 ；C．y 2 ；D．x 0．2. 下列极限正确的是（）。
1A limsin xB limsin x1; C lim x sin1 sin1; 1; D lim x 1x x x 0 2 x x x x 0 1x3 若 f ( x) 二阶可导，且f (x) f ( x) ，又当 x (0,) 时， f ( x) 0, f (x) 0 ，则曲线yf (x) 在 ( ,0) 内 ()(A)单调下降且凸 (B)单调下降且凹 (C) 单调上升且凸(D)单调上升且凹；4. 函数 y ex4 有界且至少有一实根的区间是 ( )(A)［0， 3］(B) ［1， 0］(C) ( ， 1) (D) ［ 2，4］5．下列函数中，在x 0 处连续的是（）1sin x, x 0（ A ） f xe x 2 , x0 （ B ） f xx0, x1, x 011（ C ） f xe x , x 0 （ D ）f x1 2 x x , x 00, xe 2 ,x 0三 .解下列各题 (3 6 分=18 分)x231. limsin 2 tdtxx 0t t sin t dt2．求曲线 sin( xy) ln( y x)x 上点 (0,1)处的切线方程x(t)te ucosudu，求d 2 2y, 其中3．设xt 2y(t)udx2e sin udu四 .解下列各题 (3 7 分=21 分)1.求不定积分x 2 ln( x 2 1)dx2.求定积分1x 3 1 x 2 dx3．求定积分2x 3 cosx sin 2xdx2 五． (本题 6 分)设 f ( x) 在［ 0， a ］上连续，在 (0， a)内可导，且 f (a) 0 ，证明存在(0, a) ，使f f ( ) 0六.(本题共 7 分)已知 : f (x)的一个原函数是ln( x 1 x2 ) ，求 xf ( x) dx, xf (x) dx七 .（本题共 8 分）（ 1）求由曲线 y ln x 与直线y 1所围成的封闭图形的面积（ 2）求上述图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积 .高等数学 A1 课程试题（ A）卷参考答案及评分标准2008.12.28一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.1.2. e e；3. ；4. 1 ；5.252 4二、 . 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1 (C) 2. (C) 3 (C) 4. (A) 5 (A)三 .解下列各题（每小题 6 分，共 18 分）31. 解原式 = lim 2 x sin2 x LLLLL3分2sin xx 0 x x= lim2 x3 LL4分 L L Lx 0x sin x=lim6x 2LL5分L L Lx 01 cos x= lim 6x212LLLLL6分x 01 x 222. 解: 等式两边对x求导y xyy 11.cos xyy x将点（ 0， 1）代入上式得 y(0,1)1切线方程为 yx 13 解 :. dx e t costL L LLL1分dtLLLLL1分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分dy e tsin tL L LL L 2 分dtdydy e t sin t tan t L L L L L 4 分dxdt =e tcostdxdtd 2 ytantLLLLL5 分2dtudxdt 0 e sin udu= 1LLLLL 6 分e t cos 3 t四 . 解下列各题 (3 7 分=21 分) 1. 解：原式 = ln x 21 d 1 x 331 x 3 ln x 22 x 4 2 dx3 1 1 x3= 1 3 ln x 2 1 2 x 4 1 13 x 3 1 x 2 dx= 1x 3 ln x 2 12x 2 1 dx2 1 2 dx 333 1 x= 1x 3 ln x 212 x3 2 x2arctan x C39 3 32. 解 法一: 令 x sin t t, 22原式 =2sin 3 t cos 2 tdt=2 (sin 3t sin 5 t) dt=2sin 3 tdt2sin 5 tdtLLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分LLLLL2分LLLLL4分LLL LL5分2 4 2 6 分= - 5LLLLL3 3= 2LLLLL7分15解法二:令 1x 2 t, 则 x 2 1 t 2 , 2xdx 2tdt ;LLL LL2分1 t 2t t dt =1 2 dtLLLLL6分原式 =11 t2 t=1t 2 t 4 dt 01 1 2LLLLL7分3 5153解原式=2 x3 sin 2 xdx2cos xsin 2 xdxLLLLL4 分22=0+ 1 sin3x 2LLLLL6 分322LLLLL7分=3五本题6分证明 : 令 F x xf xLLLLL2分则由已知 F x 在 0,a 上连续、在 0,a 内可导、且 F 0 F a 0LLLLL4分据罗尔定理存在点 0, a , 使F 0，即 ff ( ) 0所以，原命题成立LLLLL6分六、本题 7 分 解由已知：f x dx ln x1 x 2Cf xln x 1 x 21x 2x1 fxx231 xfx dx xdf x= xf x f x dx=x ln x 1x 2C1 x 2xfx dx xdf x= xf x f x dx=x 21 Cx 231 x 21LLLLL1分LLLLL2分LLLLL3分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分七、（本题 8 分）1e y dy（1）面积 A= e y=e y 1 e y 10 0LLLLL1分=e e1（ 2）体积V x e1 dx e= e1e=1 ee1=ee1体积 V y e2 y dy= 1 2 y 1( e2 0 = [ 1 e22 2e1 ln2 xdxexln 2e ex 1 2 1 ln xdxe e12 e ee xln x 1 1 dxe e ee5 4e e1e 2 y dy1e 2 y 1)2011e 2 1 ]2LLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL7分=e2 e 22LLLLL8分。
大学高等数学期末考试题A卷(答案)
广东海洋大学2006 —— 2007 学年第 二学期《高等数学》试题答案（A 卷）一、填空题。
（每小题3分，共24分） 1.曲线2x y =与直线xy 2= 所围成的平面图形面积为A= 34；2.设向量{}2,3,1-=a，{}2,2,1-=b，则a·b= -3 ；3. 函数221yx z--=的定义域为 }1),({22≤+y x y x ；4.过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程为： 3x -7y +5z -4=0 ；5.设函数x y Z cos =，则yx Z ∂∂∂2= -sinx ；6.改变累次积分I=⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的次序为I = ⎰⎰10),(X yy d y x f dy ；7. 设曲线方程为⎩⎨⎧=+-=++0380422222z y x z y x ，该曲线在Oxy 面上的投影方程为： ⎩⎨⎧==+0042z y x .8. 写出函数x x f sin )(=的幂级数展开式，并注明收敛域：x sin = )(,)!12()1(!5!312153R x n xxxx n n ∈+--+-+---二、选择题。
（每小题3分，共15分）1.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D ）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.下列方程中，通解为12e e x x y C C x =+的微分方程是（ A ）． (A) 02=+'-''y y y (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 (D) '=y y ． 3. 设函数),(v x f Z=，),(y x v ϕ=，其中ϕ,f 都有一阶连续偏导数，则xZ ∂∂等于（ B ）班级：姓名：学号：试题共 页加白纸张密封线(A)xf ∂∂ ;(B)vf xf ∂∂+∂∂·x∂∂ϕ ; (C)xxf ∂∂+∂∂ϕ ; (D)xf ∂∂·x∂∂ϕ4.设函数),(y x f Z=在点（1，2）处有)2,1(='x f ，)2,1(='y f ，且1)2,1(="xx f ，0)2,1(="xy f ，2)2,1(="yy f ，则下列结论正确的是（ D ）（A ）)2,1(f 不是极大值； （B ）)2,1(f 不是极小值； （C ）)2,1(f 是极大值； （D ）)2,1(f 是极小值。
高等数学试卷A及答案
能源科技技术学院高等数学期末试题（A 卷）一．选择题（共10小题，每小题4分）1．方程236y xy x y '+=是（ ） A ．一阶线性微分方程 B ．齐次微分方程C ．可分离变量的微分方程D ．二阶微分方程2．设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都为正项级数，且n n u v <，则下列结论正确的是（ ）A ．若1n n u ∞=∑收敛，则1n n v ∞=∑收敛B ．若1n n v ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑发散C ．若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛D ．若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑发散3．方程231x y +=在空间表示的图形为（ ） A ．平行于xo y 面的平面 B ．平行于oz 轴的平面 C ．过oz 轴的平面 D ．一条直线 4．设D 域由2,y x y x ==围成，则sin Dx d xσ=⎰⎰（ ）A ．110sin x x dx dyx ⎰⎰B．1sin y x dy dx x ⎰ C．1xxdx dyx⎰⎰D．1xx dy dxx⎰5．下列哪些函数是线性相关的（ ）①．2x x e e -与e ②．223x x -与③．cos 3sin 3x x 与 ④．224312x x --+与A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③ 6．下列方程表示椭圆面的是（ ） A ．22219916xyz+-= B ．222439x y z ++=C ．22249436x y z +-= D ．22349xyz +=7．下列命题正确的是（ ）A ：若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛 B ：若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散C ：若级数1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠ D ：级数1n n u ∞=∑发散，则必有lim n n u →∞=∞8．设D 是由222x y a +=所围成闭区域且Dπ=⎰⎰，则a=( )。
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005.6.4一.(10分) 设()()200523456131123143-++++=x x x x x x f ,求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-215f 的值. 解:记215-=s ,满足12=+s s , (4分) ()()()[]()111311200520052232-=-=-+++=s s s s s f (6分)二.(15分) 设()αC 为()αx +1的Maclaurin 级数中2005x 项的系数,试求积分()⎰∑=+⋅---=1020051d 11y ky y C I k解:()()()()()()()!20052005211,!200520041------=----=y y y y C C αααα()()()()!20052005211+++=---y y y y C , (5分)()()()()()()()2005!2005!2005!2006200521!20051d 1200521!20051d 11101200512005110=-=+++=++++=+---=⎰∑∑⎰==y y y y ky y y y y k y y C I k k (10分)三.(15分) 试证不等式: ππ222d sin 202->⎰x x 解:⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==πππππππ02020202d sin 1121d sin d sin 21d sin 21d sin t t t t t t t t t t t t t x x ,（7分） 设()=t f π+-t t 11， ()()0112133<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='t t t f π,()t f 在[]π,0上单调减少,(5分) ππππ222221121d sin 202-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎰x x , (3分) 四.(15分) 设()x f 在区间[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()211,00==f f ,试证: ()ηξηξ≠∈∃,1,0,,使得 ()()ηξηξ+='+'f f .解: 设 ()()()()22121211x x x f x f x F -+---=, (8分) ()x F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,()021,00=⎪⎭⎫⎝⎛=F F ,由Rolle 定理,,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃ξ使得(),0='ξF 取⎪⎭⎫⎝⎛∈-=1,211ξη,得()()ηξηξ+='+'f f .五.(15分) 设()x f 在[]b a ,上有连续导函数,且()0=a f ,试证: ()()()()⎰⎰'-≤b aba x x f ab x x fd 2d 222解:()()()()()()⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=ba xa xa xa x x f a x t t f t t t f x fd )(d )(d 1d 2222(10分) ()()()⎰⎰'-≤b a ba x x f ab x x fd )(2d 222(5分)六.(15分) 设()x f 在[]π,0上连续,证明:两个不等式()[]()[]4d sin ,4d cos 022ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f 不能同时成立.解: 用反证法,设两个不等式同时成立,则()()()()()()2d sin ,2d cos 212212ππππ<-<-⎰⎰x x x f x x x f (3分)()()()()()()()πππππ<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤-=⎰⎰⎰221221022d sin d cos d cos sin xx x f x x x f x x x 矛盾.说明两个不等式不能同时成立. (12分)七.(15分) 考察所有的具有如下性质的正整数,它们的十进制表示中没有数字9,证明由所有这样的正整数的倒数构成的级数收敛.解:设m S 表示所考察的级数的m 项的部分和,数列{}m S 单调递增,只需证明数列{}m S 有上界. (3分)对于给定的部分和m S ,令n 为整数m 中数字的个数,恰好有n 个数字,并且十进制表示中每个数字都不是因9的整数个数是198-⨯n 个(第一个数字不为零),(如1=n ,即;8,,2,12=n ,即 ,3;88,80;;28,,20;18,,10=n ),于是它们的倒数的和小于111098--⨯n n 于是80109109181098109810988212=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+<- n m S , 所以原级数收敛. (12分)。
《高等数学》A卷参考答案及评分标准
四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）
的收敛域为 （ 1,1 ..........................4 分 ） 21、解：设水箱长、宽、高分别为 x, y , z ..............................1 分 因为 xyz =8 ,从而高 z 于是水箱表面的面积为
因此，所给曲线积分与积分路径无关..............................4 分 为方便计算取有向线段 OA 与 AB 为积分路径。 在 OA 上， y 0 ， x 自 0 到
；在 AB 上， x = ， y 自 0 到 1 ； 2 2
(2 xy
L
3
y 2 cos x) d x (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) d y
=
OA AB
(2 xy 3 y 2 cos x) dx (1 2 y sin x 3 x 2 y 2 ) dy
1
2 0
2 (2 x 0 0 cos x)dx (1 2 y 3 y 2) dy 0 4
............6 分
( y y2
中国矿业大学银川学院
期末考试试卷评分标准及参考答案 《高等数学》 （A 卷）
（本卷适用专业：2015 级所有工科专业） 题号 分值 一 30 分 二 20 分 三 34 分 四 16 分 总分 100 分
而点 ( ， 2， 1) 所对应的参数为 t 1 所以曲线在 t 1 处切线的切向量为 ( , 1,2) ..........................4 分
2 3 1 y ) | 0 ............................................7 分 4
2005-2006学年第一学期期末考试《高等数学》(A)评分标准及标准答案
e y + (xe y − e−y + ye−y ) y′ = 2x
Байду номын сангаас∴ y′ = 2x − e y
(1′)
xey − e−y + ye−y
x=0⇒ y=0
(1′)
∴ y′ x=0 = 1
(1′)
∫ ∫ 5、
x+
3
x
dx
( 2′)
==
(
x
+
−1
x6
) dx =
2
3
x2
+
6
5
x6
+
c
(3′) ；
x
35
∫ ∫ ∫ 6、
x→ 0
x→ 0
(1′)；
∫ 3、 f ′ ( x) = 2x x ln tdt + x2ln x, (3′) ∴ f′ ( e) = e2 (2′) ； e
4、方程两边同时对 x 求导（ y 是 x 的函数），得
e y + xey y′− y′e− y − ye− y (− y′) = 2x
(2′)
0
0
0
0
(1′)
∫ ∫ =
1
e
f(
x) dx
+
xe
f
( x)
0
1 0
−
1 e f (x)dx
0
(2′)
= e f (1)
(1′)
四、解答题
1、①定义域： (−∞, +∞) ；
② y′ = 6x2 −12x −18 = 0,⇒ x = −1, x = 3;
③列表
x (−∞, −1)
《高等数学》(I)期末考试试卷(A)(答案)
2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：1．=-+--→45215lim 22x x x x 81.2. =--⎰+→xdt e x t x cos 1)1(lim 001. 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x x x x f 在0=x 处连续，则=b 1. 4. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y . 5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )(C x x x +-sin cos .6. ⎰-=+2223sin )sin (cos ππtdt t t 32.7. =⎰∞+-022dx xe x 1.8. 若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=)4,2,4(--.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求极限()x x x cos ln 1203sin 1lim +→.解 ()()x x x x x e x 3sin 1ln cos ln 1lim cos ln 120203sin 1lim +→→=+ (2分)()x x x x x x x x x cos ln )3(lim cos ln 3sin lim 3sin 1ln cos ln 1lim 202020→→→==+ （4分） ,18cos sin 18lim 0-=-=→xxx x （5分） ()18cos ln 1203sin 1lim -→=+∴e x x x （6分）2. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx y d . ,cot sin cos t ab t a t b dx dy -=-= （3分） ta b t a t a b dx y d 32222sin sin csc -=-= （6分） 3. 设x x y cos =，求dy .解 ,ln cos x x e y = （2分）)cos ln sin (ln cos xx x x e y x x +-=' （5分） )cos ln sin (cos xx x x x x +-= （6分） 4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dx dy . 解 方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y （4分）)0(≠++-=∴y ye x e x y dx dy （6分） 三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx x x . （或令t x =+1）解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分） 35)1(3233023=++-=x （6分） 2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .解 dx x x x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+10101010221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分） dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=102111312ln （4分）2ln 3121ln 312ln 10=-+-=x x （6分） 3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dt t f . 解 ⎰⎰⎰-+=2110220)2()(dt t dt t dt t f （3分） 65)2(2131212=--=t （6分） 4. 证明方程0111304=+--⎰xdt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.解 ⎰+--=x dt t x x f 041113)(设， （1分） 则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t ，由零点定理， 至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分）又0113)(4>+-='xx f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分） 综上所述，方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.解 x x a x f 3cos cos )(+=' （1分）201233cos 3cos )3(=⇒=-=+='a a a f 令πππ， (3分) 又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3(<''πf ， （5分） 3)3(=∴πf 为极大值. （6分）2．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212x y x y 得交点)2,1(-，)2,1( （2分）34)1(2)21(21022102=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分） 2)1(2)21(21022102πππ=-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程. 解 过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，即 012=++-z y x ， （2分）令t z y x =-=-=-+11122，得t z t y t x -=+=--=,1,22， 代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)32,31,32(-M ， （4分） )35,35,35(0--=MM ， 取)1,1,1(--=s ， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u n n π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tantan 1π∈≥+x x x n n ， （1分） 140140,tan tan ＋即n n n n u u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ （2分）（2）=+-2n n u u ⎰⎰-+40240tan tan ππdx x dx x n n dx x x dx x x n n n )tan 1(tan )tan (tan 2402240+=+=⎰⎰--ππ （3分） x d x xdx x n n tan tan sec tan 4022402⎰⎰--==ππ 402tan 11πx n n --=11-=n （4分） （3）1,0+≥≥n n n u u u 且 ，即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分）设a u n n =∞→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得 0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分）五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有ab a f b f a x a f x f -->--)()()()(. 证明 设a b a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(， 2)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分） 又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ，于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ，即有a b a f b f a x a f x f -->--)()()()( （4分）。
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05-06-3高等数学A 期末试卷参考答案及评分标准 06。
6。
23
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1（3）
．
2
1
2
00
1
d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x +⎰⎰
⎰ 2．224x y z ++= 3（1）
．40 4（6）．2
3x 5．332x y x y C +++ 6（4）．3 7（9）．3
2
- 8．2i π 9（7）．1k a - 二.计算下列各题(本题共4小题，满分33分) 10．（本题满分7分）2
d d 2d 2d d xy z xz y
x x y y x y ϕϕϕ''-+=+
（3分）
3(2)2d d d x y y xz z x y x xy ϕϕϕϕ'-+=+''（2分）3(2)2,z x y z y xz x x y xy ϕϕϕϕ'
∂-∂+==
''
∂∂（1+1分） 11．（本题满分7分）(
)()2
2
21
1
ln 2ln 1(1)
(1)n n x x
x x n ∞
=-=--=--∑（2+4分）
02x <<（1分）
12．（本题满分10分）()()1
111
1311()33131n n n n n n n n S x x x x x n n ∞
∞
∞++===⋅==-++∑∑∑ （2分）
2311
ln(13)ln(13)133133
x x x x x x x =++-=+---（2+3分）1133x -<<（1分）
131844ln 21443n
n n S n ∞
=⎛⎫⎛⎫
==- ⎪ ⎪
+⎝⎭
⎝⎭∑（2分） 13．（本题满分9分）取点(2,0)C ，以L 、BC 、CA 为边界的区域记为D ，（1分）
(
(1
2
20
1
d 2d d L BC CA
I x y x y y y x x =
+-+-⎰⎰⎰ （2分）
(
)
175d d 183312D
y x y =--
-=--⎰⎰4+2分） 三（14）．（本题满分9分）记22sin ,n n n x a n =122122sin lim lim 12sin n n n n n n n n
a x n
a n x +++→∞→∞=⋅+ 22sin x =，（3分）当2
2sin 1x <时，即当
3544
x ππ
<<时，原级数绝对收敛，（2分）当22sin 1x >时，即当353,2442x x ππππ≤<<≤时，原级数发散，（2分）当35,44
x ππ
=时，
原级数变为
1
1
1
(1)
n n n
∞
-=-∑，此时该级数条件收敛。
（2分） 四（15）．（本题满分10分）（1）1z <<+∞，33011
()(1)11n n n f z z z z
∞
--==⋅=-+∑（1+2分） （2）112z <-<
2111111111()1111211111211f z z z z z z z z z '⎛⎫ ⎪
=-+=⋅-⋅-⋅ ⎪-+-- ⎪+++
-⎝-⎭（1+2
分）
1
1
100
0(1)2
(1)(1)(1)
(1)(1)n
n n
n
n n n n n n z z z ∞
∞
∞------==='⎛⎫=-------- ⎪⎝⎭
∑∑∑（3分）
1
20
1
(1)2
(1)(1)(2)(1)n
n n
n n n n z n z ∞
∞
----==-=--+-+-∑∑（1分）
五（16）．（本题满分6
分）0<
=<， （2
分）11n S <-
<，（3分）由基本定理得知原级数收敛。
（1分） 六（17）．（本题满分6分）由()2
212
z x y =
+指向上侧的单位法向量
⎧⎫=n
，（1分）
原积分d S S ⎡⎤
=+
⎰⎰22S S =（2分）
()22222422
30
2416111d d d 60222S x y S x y r r πσθπ≤+≤=-=-+=-=-⎰⎰⎰⎰（2+1分）。