空间向量高中数学教案课程
高中数学空间向量的教案
高中数学空间向量的教案
教学目标：
1. 理解空间向量的概念和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。
3. 能够解决空间向量相关的实际问题。
教学重点：
1. 空间向量的概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。
教学难点：
1. 空间向量的数量积和向量积的计算方法。
2. 解决空间向量相关的实际问题。
教学准备：
1. 讲义、PPT等教学材料。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 实物或图片展示空间向量的应用场景。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示实物或图片，引入空间向量的概念，提出问题：“在三维空间中，我们如何表示和计算向量呢？”
二、讲解（15分钟）
1. 空间向量的概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法的计算方法。
3. 空间向量的数量积和向量积的定义和计算方法。
三、练习（20分钟）
1. 向学生提供一些简单的空间向量计算题目，让学生独立或分组完成。
2. 指导学生解决一些较难的空间向量实际问题，引导学生思考向量在现实生活中的应用。
四、总结（5分钟）
通过与学生讨论和解答疑问，总结本节课的重点和难点，强化学生对空间向量的理解和掌握。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的空间向量的练习题目，鼓励学生在课后继续复习和巩固所学知识。
六、反馈评估（10分钟）
收集学生在课堂上的表现和作业答案，及时对学生的理解和掌握情况进行评估和反馈，为下一节课的教学做好准备。
高三数学下册《空间向量》教案、教学设计
接着，展示一个地球仪，提出另一个问题：“地球上的物体受到的重力可以看作是一个向量，那么如何用空间向量表示这个重力呢？”让学生在思考中感受到空间向量的重要性。在此基础上，正式引入本节课的主题——空间向量。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.空间向量的基本概念及其坐标表示。
2.空间向量的线性运算、点积和叉积运算。
3.空间向量在解决空间几何问题中的应用。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学难点
1.空间向量与平面向量的区别和联系，帮助学生建立起空间向量的概念。
2.空间向量的坐标表示方法，特别是向量的线性运算在坐标形式下的表达。
3.学生对空间向量运算规律的掌握，尤其是点积和叉积的应用。
4.将空间向量应用于实际问题，提高学生学以致用的能力。
（三）教学设想
1.采用情境导入法，通过实际生活中的例子引入空间向量的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.利用多媒体教学资源，如几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解空间向量的性质和运算。
3.设计具有梯度的问题和练习题，由浅入深地引导学生掌握空间向量的知识和方法，突破教学难点。
1.空间向量与平面向量的联系和区别是什么？
2.如何利用坐标表示空间向量，并进行线性运算？
3.点积和叉积在空间几何中有哪些应用？
讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每组选取一名代表汇报讨论成果，分享小组的智慧。
高中数学备课教案向量的空间几何应用
高中数学备课教案向量的空间几何应用一、授课目标本课程的目标是要使学生掌握向量的空间几何应用，包括向量的数量积、向量的叉积及其在空间几何上的应用。
学生通过本节课程的学习，能够在解决空间几何问题时灵活运用向量的方法。
二、教材分析本节课程主要参考教材是高中数学课程标准实验教科书。
通过教材分析，可以看出使用向量的方法来解决空间几何问题，是高中数学课程中比较重要的一环。
本课程将着重于引导学生掌握向量的空间几何应用，认真贯彻数学课程标准，有利于学生的数学素养的提高。
三、教学过程本节课程的全过程分为导入、讲解、练习、总结等几个环节。
1.导入向学生介绍向量的概念及相关术语，例如向量的起点、终点、方向、大小等，以及向量的基本运算法则。
同时，引导学生思考一下向量的应用场景，如何运用向量解决空间几何问题。
2.讲解本节课程的重点是向量的空间几何应用。
首先讲解向量的数量积及其几何意义，例如向量的数量积可以用来计算向量夹角、判断两个向量的方向关系等问题。
接着讲解向量的叉积及其几何意义，例如向量的叉积可以用来计算向量所在平面的法向量、计算向量的面积等问题。
通过以上内容的讲解，学生应掌握向量的数量积和叉积的相关概念、运算法则及其几何意义。
3.练习在讲解完毕后，教师应引导学生进行一些练习，以便巩固所学知识。
这些练习可以是选择题、填空题、计算题等，还可以加入实际应用题，让学生更好地理解向量的空间几何应用。
4.总结在讲解和练习之后，教师应对所有学生的练习结果进行点评，帮助学生找出自己的不足和需要改进的地方。
同时，教师还应对本节课程进行总结，概括本节课程所涉及的知识点和思考题，加深学生对向量的空间几何应用的理解。
四、教学反思本节课程通过向学生介绍向量的概念及相关术语，如何运用向量解决空间几何问题，讲解向量的数量积及其几何意义，向量的叉积及其几何意义等几个环节，使学生更好地掌握向量的空间几何应用。
在后续的教学中，可以进一步引导学生深入理解向量的空间几何应用，在实际应用场景中熟练运用向量的方法，提升学生的数学水平和综合素质。
高中数学面试空间向量教案
高中数学面试空间向量教案教学目标：1. 了解空间向量的定义和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法、数量乘法等基本运算法则。
3. 能够应用空间向量解决实际问题。
教学重点：1. 空间向量的定义和性质。
2. 空间向量的基本运算法则。
3. 空间向量的应用题解决能力。
教学难点：1. 空间向量的几何意义。
2. 如何将实际问题转化为空间向量的问题进行求解。
教学准备：1. 讲义、黑板、彩色粉笔。
2. 教学PPT。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）老师简要介绍空间向量的概念和作用，引发学生对于空间向量的兴趣。
二、讲解空间向量的定义和性质（15分钟）1. 定义空间向量，并与平面向量进行比较。
2. 讲述空间向量的性质，包括共线向量、夹角公式等。
三、空间向量的基本运算法则（20分钟）1. 空间向量的加法、减法。
2. 空间向量的数量乘法等基本运算法则。
四、解题实例演练（20分钟）老师出示几道空间向量的实例题，让学生进行计算，引导学生独立思考解题思路。
五、课堂练习（10分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识点。
六、总结（5分钟）老师总结本节课的重点内容，提醒学生注意复习，做好课后作业。
七、作业布置布置相关的空间向量作业，并提醒学生按时完成。
教学反思：本节课将空间向量的定义、基本性质、运算法则、实际应用等内容有机地进行了整合和讲解，引导学生深入理解空间向量的概念。
同时，通过实例题的演练，帮助学生更好地掌握空间向量的计算方法，提高解题能力。
需要注意的是，在教学过程中加强与学生互动，及时解答学生提出的疑问，确保教学效果。
用空间向量研究直线、平面的位置关系 高中数学获奖教案
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.二、教学重难点1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系三、教学过程1.创设情境，从图形中探究新知问题1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？观察下图回答。
【预设的答案】位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0【设计意图】类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，类比学习用空间向量解决空间中的垂直问题，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想.热身活动1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u 1=(1,0,1),u 2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )【预设的答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√【设计意图】进一步将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言。
优秀高中数学向量教案
优秀高中数学向量教案
课时安排：2个课时
课堂内容：
第一课时：
1.引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法。
让学生了解向量的性质和运算规则。
2.教授向量的加法和减法。
通过示范和练习，让学生掌握向量加减法的方法。
3.讨论向量的数量积和向量的夹角。
引导学生理解向量的数量积和夹角的概念，并通过实例演练加深理解。
第二课时：
1.复习向量的加减法，数量积和夹角概念。
2.讲解向量的应用，如解决平面几何问题，力的合成与分解等。
3.进行一些综合练习，让学生熟练运用向量知识解题。
作业布置：完成课堂练习，巩固所学内容。
课堂评价：通过课堂练习和课后作业，检查学生对向量的理解和掌握情况。
补充材料：提供相关的练习题和习题解析，帮助学生巩固向量知识。
教学目标：使学生掌握向量的概念、运算方法和相关的应用，提高学生的数学解题能力和思维能力。
高中数学精编空间向量教案
高中数学精编空间向量教案一、教学目标：1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握向量的加法、减法和数乘运算；3. 能够使用向量的线性组合、共线性和共面性等性质解决实际问题；4. 熟练运用向量相关理论证明和计算。
二、教学内容：1. 空间向量的定义和性质；2. 向量的加法、减法和数乘运算；3. 向量的线性组合、共线性和共面性；4. 向量的坐标表示和点积、向量积的计算。
三、教学步骤：1. 导入：通过引入几何问题或实际生活中的例子，让学生感受到向量的重要性和应用场景；2. 概念讲解：介绍空间向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和基本运算规则；3. 练习演练：给学生提供一些简单的向量加减法、数乘的练习题目，帮助学生掌握向量的计算方法；4. 深化拓展：引导学生思考向量的线性组合、共线性和共面性等性质，通过相关题目加深对向量概念的理解；5. 应用实践：设计一些综合性的问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提升解决问题的能力；6. 总结反思：对本节课所学内容进行总结，强化学生对空间向量相关知识的理解和记忆。
四、教学方式：1. 教师讲授搭配学生讨论：教师介绍知识点的同时，与学生互动讨论，激发学生思考和学习兴趣；2. 小组合作探究：设计一些小组活动，让学生合作探索讨论，提升学生团队合作和问题解决能力；3. 案例分析：结合实际案例，让学生分析和解决问题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
五、教学评价：1. 课堂表现评价：通过学生课堂积极参与和表现情况，评价学生的学习态度和表达能力；2. 练习题目评价：通过给学生布置一定量的练习题目，评价学生对知识点的掌握程度和运用能力；3. 知识应用评价：通过设计一些综合性实际问题，评价学生对所学知识点的应用能力和解决问题的能力。
高中高三数学《空间向量》教案、教学设计
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：
高中数学向量课程教案
高中数学向量课程教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念，掌握向量的性质和运算法则
2. 能够进行向量的加减运算和数量乘法运算
3. 能够解决向量的几何问题，掌握向量的应用
二、教学重点和难点：
1. 向量的基本概念和性质
2. 向量的加减法和数量乘法运算
3. 向量在几何问题中的应用
三、教学内容：
1. 向量的定义和表示方法
2. 向量的相等和共线性
3. 向量的加减法和数量乘法
4. 向量的数量积和夹角余弦公式
5. 向量的几何应用
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际生活中的例子，引出向量的概念和意义
2. 概念讲解：详细介绍向量的定义、表示方法和性质
3. 计算训练：进行向量的加减法和数量乘法的计算练习
4. 应用拓展：引导学生解决实际几何问题，运用向量知识进行推理和证明
5. 总结回顾：对本节课的内容进行总结，强化学生对向量知识的理解和掌握
五、教学资源：
1. 教科书、教学课件
2. 向量练习题和解析
3. 实际几何问题解决案例
六、作业布置：
1. 课后完成向量相关练习题目
2. 查阅相关资料，扩展对向量知识的理解
七、课堂评价：
1. 课堂参与度
2. 作业完成情况
3. 知识掌握情况
八、教学反思：
通过学生表现和评价反馈，对本节课的教学效果进行总结和改进。
及时调整教学策略，提升教学质量和效果。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
空间向量高中数学教案
空间向量高中数学教案
一、教学目标：
1.认识空间向量的基本概念和性质；
2.掌握空间向量的表示方法和运算规律；
3.能够应用空间向量解决实际问题。
二、教学重点：
1.空间向量的定义和表示方法；
2.空间向量的加法和减法；
3.空间向量的数量积和夹角公式。
三、教学内容：
1.空间向量的概念和表示方法：
（1）空间向量的定义；
（2）空间向量的表示方法：坐标表示、分量表示；
2.空间向量的加法和减法：
（1）向量的加法和减法规律；
（2）向量相等的条件；
3.空间向量的数量积和夹角公式：
（1）向量的数量积定义和性质；
（2）向量夹角的余弦公式。
四、教学过程：
1.导入：通过一个实际问题引入空间向量的概念；
2.讲解：讲解空间向量的定义、表示方法、运算规律和性质；
3.练习：让学生进行一些空间向量的计算练习；
4.拓展：引导学生应用空间向量解决实际问题；
5.总结：对本节课所学内容进行总结回顾。
五、课后作业：
1.完成课上未完成的练习题；
2.阅读相关教材知识，做一些拓展练习；
3.思考并总结今天所学内容，准备下节课的复习。
六、教学反思：
通过本节课的教学设计，学生能够掌握空间向量的基本概念和运算方法，锻炼学生的空间思维能力，提高解决问题的能力。
在教学过程中要注重引导学生主动思考和探究，激发学生学习的兴趣和积极性。
空间向量数学教案高中版
空间向量数学教案高中版
年级：高中
学科：数学
教学目标：
1. 学生能够理解空间向量的定义和性质；
2. 学生能够进行空间向量的加法、减法和数乘运算；
3. 学生能够应用空间向量解决几何问题。
教学内容：
1. 空间向量的定义和性质；
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算；
3. 空间向量的数量积和向量积；
4. 应用空间向量解决几何问题。
教学重点：
1. 空间向量的定义和性质；
2. 空间向量的加法、减法和数乘运算；
3. 应用空间向量解决几何问题。
教学难点：
1. 空间向量的数量积和向量积的运算；
2. 应用空间向量解决复杂的几何问题。
教学准备：
1. 教案和课件；
2. 黑板和粉笔；
3. 笔记本和笔。
教学过程：
1. 引入：通过简单的例子引入空间向量的概念，并说明其在几何问题中的重要性；
2. 讲解：讲解空间向量的定义和性质，包括向量的表示、加法、减法、数乘运算等；
3. 练习：让学生进行一些基础的空间向量运算练习，加深他们对空间向量的理解；
4. 拓展：讲解空间向量的数量积和向量积，并进行相关实例演练；
5. 应用：让学生应用空间向量解决一些几何问题，提高他们的综合运用能力；
6. 总结：总结本节课的内容，强调重点和难点，并布置相关作业。
教学反思：
本节课主要围绕空间向量的定义、运算和应用展开，通过简单到复杂的教学设计，让学生逐步加深对空间向量的理解和运用能力。
在教学过程中，需要注意引导学生思考和实践，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
同时，需要及时调整教学进度和方法，确保教学效果的达成。
高中数学教案空间向量
高中数学教案空间向量教学目标：1. 理解向量在三维空间中的表示方法；2. 掌握向量的基本运算法则；3. 能够进行空间向量的坐标化表示和计算。
教学内容：1. 空间向量的概念；2. 空间向量的表示方法；3. 空间向量的基本运算法则。
教学重点和难点：重点：向量在三维空间中的表示方法和基本运算法则；难点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的计算方法。
教学准备：1. 讲义和习题集；2. 白板和马克笔；3. 手绘坐标轴和向量示意图。
教学过程：一、导入新知识（10分钟）1. 引入空间向量的概念，让学生思考什么是空间向量；2. 引导学生分析向量在二维和三维空间中的区别，并讨论其表示方法。
二、讲解空间向量（20分钟）1. 讲解空间向量的表示方法，包括点坐标和向量坐标的关系；2. 介绍空间向量的基本运算法则，如向量的加减、数量积和叉积等。
三、练习与讨论（15分钟）1. 给学生几个简单的例题，让他们尝试计算空间向量之间的关系；2. 导入一些复杂的题目，引导学生思考如何运用所学知识解决问题。
四、拓展延伸（10分钟）1. 让学生思考空间向量的应用领域，如物理学、工程学等；2. 提出一些拓展问题，激发学生的思维和求解能力。
五、总结反思（5分钟）1. 总结本节课的重点知识和难点，强化学生对空间向量的理解；2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。
板书设计：1. 空间向量：- 定义- 表示方法2. 空间向量的基本运算法则：- 加减法- 数量积- 叉积教学反馈：1. 随堂小测验，检验学生对空间向量的掌握程度；2. 鼓励学生在家完成相关习题，并定期布置作业。
教学资源：1. 数学课本和习题集；2. 电子板书和教学PPT；3. 网络资源和相关视频资料。
高中数学空间向量特色教案
高中数学空间向量特色教案
目标：学生能够熟练掌握空间向量的概念、性质和运算，能够应用空间向量解决实际问题。
教学重点：空间向量的加法、减法、数量积和向量积的运算规律和性质。
教学难点：能够灵活运用空间向量解决实际问题。
教学准备：
1. 准备投影仪、幻灯片等教学辅助工具。
2. 准备相关例题和习题。
3. 准备实物模型或图片，帮助学生理解空间向量的概念。
教学过程：
一、导入（5分钟）
引导学生回顾二维向量相关知识，通过现实生活中的例子引出空间向量的概念，在黑板上
画出空间向量的表示形式。
二、讲解（15分钟）
1. 通过实物模型或图片展示空间向量的概念，介绍空间向量的定义和性质。
2. 详细讲解空间向量的加法、减法、数量积和向量积的运算规律和性质。
三、练习（20分钟）
1. 布置一些基础练习题，让学生巩固空间向量的运算规律。
2. 布置一些实际问题练习题，让学生运用空间向量解决实际问题。
四、拓展（10分钟）
引导学生思考更复杂的空间向量问题，提高他们的问题解决能力。
五、总结（5分钟）
总结空间向量的基本概念和运算规律，强调空间向量在实际问题中的应用。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够清楚地理解空间向量的概念和运算规律，并能够熟练运用空
间向量解决实际问题。
在以后的教学中，可以通过更多的实例和案例来帮助学生进一步理
解和应用空间向量的知识。
高中数学空间向量关系教案
高中数学空间向量关系教案一、教学目标：1. 理解和掌握空间向量的定义和性质；2. 掌握向量的加法、数乘和点积运算；3. 能够应用空间向量进行解题；4. 理解空间向量的线性相关和线性无关性质。
二、教学内容：1. 空间向量的定义和表示；2. 向量的加法、数乘和点积；3. 向量的夹角和垂直性；4. 向量的共线性和线性相关性。
三、教学重点和难点：重点：学习空间向量的基本性质和运算方法；难点：理解空间向量的线性相关性质。
四、教学过程：1. 导入：通过一些实际生活中的例子引入空间向量的概念，让学生初步了解向量的定义和表示。
2. 学习向量的加法、数乘和点积运算，讲解运算规则和方法。
3. 练习：让学生进行练习，掌握向量加法、数乘和点积的计算方法。
4. 学习向量的夹角和垂直性质，讲解向量夹角的计算方法和垂直向量的性质。
5. 练习：让学生进行练习，巩固向量夹角和垂直性的应用。
6. 学习向量的共线性和线性相关性质，讲解向量线性相关的定义和判定条件。
7. 练习：让学生进行练习，掌握向量共线性和线性相关性质的应用。
8. 拓展：进一步讨论空间向量的应用和相关题型，引导学生思考更复杂的问题。
五、教学反馈：1. 对学生进行课堂练习和作业布置，检验学生是否掌握了空间向量的相关知识。
2. 对学生提问和讨论，强调重点和难点内容，帮助学生加深理解。
六、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固空间向量的相关知识。
2. 准备相关综合题型的解答，提高空间向量的应用能力。
七、教学效果评估：通过学生课堂表现和作业成绩，对学生的空间向量学习情况进行评估，并对学生的表现进行激励和指导。
空间向量及其运算教案讲课教案.docx
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。
教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（ 1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
课堂类型：新授课教学方法：研讨、探究、启发引导教学用具：多媒体教学过程：一、创设情境（老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长方体中的过同一点的三条边上的向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）：这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量精品文档板书：空间向量及其运算（老师） : 实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。
二、讲授新课（老师） : 接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。
（一）复习回顾平面向量的基本概念1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量；2.画法：用有向线段AB 画出来；3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；5.单位向量：在平面中模为 1 的向量称为单位向量；6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量；（二）空间向量的基本概念（老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义，（学生）在空间中，既有大小又有方向的量（老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生）（学生）回答向量概念、画法、 .表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。
高中数学备课教案向量的空间向量方程与直线方程
高中数学备课教案向量的空间向量方程与直线方程高中数学备课教案向量的空间向量方程与直线方程一、引言在高中数学中，向量是一个重要的概念，它代表着具有大小和方向的量。
在解决问题时，我们经常需要使用向量的空间向量方程与直线方程。
本文将介绍向量的空间向量方程与直线方程的概念、推导过程以及解题方法。
二、向量的空间向量方程1. 概念向量的空间向量方程是指通过向量方程表示的线性方程组。
在三维空间中，空间向量方程通常由一组系数和一个常向量构成。
2. 推导过程假设有一个向量A（a1, a2, a3）和一个平面上的点P（x, y, z），当这个点P满足条件A⋅P = b时，称该点P满足向量的空间向量方程。
推导过程如下：A⋅P = b(a1, a2, a3)⋅(x, y, z) = ba1x + a2y + a3z = b因此，向量的空间向量方程为a1x + a2y + a3z = b。
3. 解题方法为了求解向量的空间向量方程，可以根据问题的特点使用不同的求解方法。
方法一：联立方程法将向量的空间向量方程与其他方程联立，构成一个线性方程组，利用线性方程组求解的方法求解未知数。
方法二：参数方程法将向量的空间向量方程转化为参数方程，通过引入参数求解未知数。
方法三：降维法通过观察题目所给条件，将三维问题转化为二维问题，降低求解难度。
三、直线的方程1. 概念直线的方程是指通过直线上的一点和直线的方向向量来表示直线的方程。
在三维空间中，直线的方程通常由一个点和一个与其平行的向量构成。
2. 推导过程假设有直线L，其上有一点P0(x0, y0, z0)，且直线L的方向向量为a（a1, a2, a3），则点P(x, y, z)在直线L上时，可以表示为：P - P0 = ta其中，t为参数。
进一步展开得到：(x - x0, y - y0, z - z0) = t(a1, a2, a3)化简可得：x = x0 + ta1y = y0 + ta2z = z0 + ta3因此，直线的方程为：⎧⎨ x = x0 + ta1⎩⎪y = y0 + ta2z = z0 + ta33. 解题方法求解直线的方程时，可以根据已知条件选择不同的解题方法。
空间向量基本定理(第1课时)-高中数学获奖教案
1.2.2空间向量基本定理（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行的关系.2.掌握利用空间向量基本定理中的基底法证明两直线的垂直和平行，求异面直线成角的三角函数值以及空间两点间距离.3.让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．二、教学重难点1.应用空间向量基本定理证明异面直线的垂直、两直线平行，求异面直线成角以及空间两点间距离是本节课的重点内容.2.向量的夹角运算、异面直线所成的角，以及相关向量之间的运算是本节课的难点三、教学过程1.1精简提问，温故知新问题1：上节课我们学习了空间向量基本定理，大家还记得它的内容吗？【预设的答案】如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x,y,z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b ，c都叫做基向量.问题2：在空间中如何选择基底？【预设的答案】（1）三个不共面的非零向量；（2）尽量选择已知夹角和模长的向量.【设计意图】本节课以空间向量基本定理为出发点，准确地回顾有利于课程的顺利展开.【教师总结】选定基底之后，利用空间向量基本定理可以将空间向量之间的运算转化为基向量之间的运算.问题3：我们学习过的向量之间的运算有哪些？【预设的答案】加法、减法、数量积追问：数量积的定义是什么？【预设的答案】a∙b=|a||b|cos⟨a,b⟩【教师总结】在数量积的运算中有两个经常用到的式子，a ∙a =|a |2和a ∙b =0⇔a ⊥ b .【设计意图】为本节课求空间两点间的距离，异面直线的夹角及证异面直线相互垂直做铺垫.1.2探究典例，掌握方法活动：如图，在平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝2， AA 1＝3，∠DAB ＝60°，∠BAA 1＝60 ° ，∠DAA 1＝60 ° ，M ，N 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点．（1）求证 MN ⊥AC 1 ．【活动预设】在学习立体几何的时候，如何证明两条异面直线相互垂直？【设计意图】利用几何法解答有时候比较困难，引入向量法来解决几何问题，通过具体实例，让学生体会利用“基底法”解决异面垂直的证明方法.【师生活动】教师分析解题思路，讲解如何找到合适的基底，提示相关的计算方法.学生动笔进行求解.然后教师给出规范解答过程.【活动预设】根据第一问的解题过程，能否总结出用向量法解决立体几何问题的思路？【设计意图】通过让学生自己思考，回顾解题过程，探寻用向量法解决立体几何问题的关键，使学生真正理解解答中每一步的具体含义和作用.活动：（2）求A C 1和B 1C 的长.【活动预设】如何将求A C 1和B 1C 的长转化为向量问题？【设计意图】通过具体实例，让学生体会空间向量法求解空间两点间的距离的方法，加深对用向量法解立体几何问题的理解.【师生活动】学生分析解题过程，教师根据学生的解答进行补充和评价.问题4：在立体几何的学习中，如何求两条异面直线所成角的余弦值？异面直线所成角的范围是多少？【预设的答案】利用等角定理，通过平移做出与异面直线所成角相等或互补的角，放在三角形中求解,(0,π].2【设计意图】回忆异面直线所成角的范围，为接下来用向量法求异面直线所成角的余弦值消除障碍.活动：（3）求A C1和B1C所成角的余弦值.【活动预设】（1）如何用向量表示A C1和B1C所成角的余弦值？（2）计算两向量所成角的余弦值的公式是什么？【设计意图】理解两直线所成的角与直线方向向量所成角的大小关系，以及相应的余弦值之间的关系。
用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)-高中数学获奖教案
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学内容两条直线所成的角，直线与平面所成角，两个平面的夹角.二、教学目标1、理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.2、理解直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角.3、理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间关系，会用向量方法求二面角的大小.4、让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.5、通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．三、教学重点与难点重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线与平面所成角、两个平面的夹角.难点：根据问题的条件选择适当的基底.四、教学过程设计导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.师生活动：学生独立思考、小组讨论后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角.设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路.1.典型例题，求解直线与直线所成的角例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线和？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？师生活动：首先教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利用向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线和的夹角，可以转化为求向量与向量的夹角.为此，选择为基底并表示向量，. 在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化成向量问题的途径：途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.→→ABCDM N ，BC AD , AM CN AM CN AM CN AM CN AM CN MA CN {},,CA CB CD MA CN追问2：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值. 师生活动：学生利用向量的数量的数量积求出向量，夹角的余弦值，从来解决问题. 解：化为向量问题 以为基底，则， 设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为.进行向量运算， 而都是正三角形，所以， 所以，， 回到图形问题所以，直线和夹角的余弦值为. 小结：研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题.追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？ 师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化成直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别为，则 在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：几何问题向量问题向量运算几何解释设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.MA CN AM CN MA CN {,}CA CB CD，12MA CA CM CA CB =-=- 11.22CN CA CD =+ MA CN 和θAM CN θcos CN MA ⋅= 1122CA CD ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 12CA CB ⎛⎫- ⎪⎝⎭211112424CA CA CB CD CA CD CB =-⋅+⋅-⋅ 2181418121=-+-=ACD ABC ∆∆和MA CN == 2cos 3θAM CN 32⇒⇒12,l l θ,u v cos cos ,.u v u v u v u v u vθ⋅⋅=<>== →→→2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角问题2：你能用向量方法求问题1中的直线与平面所成的角吗？一般地，如何求直线和平面所成的角？追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化成向量问题？师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线与平面所成的角转化成直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法.即将直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而得到直线与平面所成角的一般表达式 其中，为直线的方向向量，为平面的法向量.设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线和平面所成角的量表达式.问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义.教师可以追问学生：“角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角.在学生讨论、交流的基础上，教师小结如下：如右图，平面和平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面和平面的夹角. 类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是，，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面和平面的夹角为，则 追问1：如何求平面的法向量？师生活动:学生思考、回答后，师生共同总结求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则 AB BCD AB BCD AB BCD sin cos ,.u n u n u n u n u nα⋅⋅=<>== u n αβ090αβαβ2n1n αβ1n 2n αβθ1212121212cos cos ,.n n n n n n n n n n θ⋅⋅=<>== a b (),,n x y z = 0,0.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩根据这个不定方程组，可以求得一个法向量. 教师在学生回答的基础上进一步指出，求得的是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.追问2：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？师生活动：学生思考、回答，教师与学生共同总结.二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是；而平面和平面的夹角是指平面和平面相交，形成的四个二面角中不大于的二面角.设计意图：引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，建立平面与平面的夹角的概念，并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解，使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系，体会一般性寓于特殊性之中的道理.通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析，使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入.3.巩固应用，解决立体几何中的角度问题例8 如图1.4-22，在直棱柱中，，，，为中点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书.设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.分析：平面与平面夹角可以转化为平面与平面法向量的夹角.解：转化为向量问题以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为，的夹角或其补角.进行向量运算平面的一个法向量为.()0000,,n x y z = ()0000,,n x y z = (),,n x y z = ()0000,,n x y z = 0n kn = θ0θπ≤≤αβαβ090111C B A ABC -2==CB AC 31=AA 090=∠ACB P BC R Q ，1AA 1BB AQ Q A 21=12RB BR =PQR 111C B A PQR 111C B A PQR 111C B A 1C C C B C A C 11111，，轴轴、轴、z y x 111C B A 1n PQR 2n PQR 111C B A 1n 2n 111C B A )1,0,0(1=n由题意，，，，，.设，则即 所以 令得，则 回到图形问题设平面与平面夹角为，则， 即平面与平面. 小结：用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系和它们之间距离、夹角等问题；把向量运算的结果“翻译”成相应的几何问题.4.归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：（1）这节课主要学习了哪些内容？（2）研究这些内容主要用了什么方法？（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，直线、平面间的角度刻画了它们的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，从而将直线、平面间的角度问题转化为相应的求相应的方向向量、法向量的夹角.进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.5.布置作业教科书习题1.4第9，10题.五、目标检测设计教科书练习第1，2，3，4题.设计意图：考查利用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的能力.)310(，，P )202(，，Q )120(，，R )112(--=，，PQ )210(-=，，PR 2(,,)n x y z =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022PR n PQ n ⎩⎨⎧=-=--,02,02z y z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,2,23z y z x 2z =)2,4,3(2=n 121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅PQR 111C B A θ12cos cos ,n n θ=<>=PQR 111C B A 38P。
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空间向量1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第1课时 空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在基础过关考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直2．线性运算律(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．(2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．6．空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： ．(2) 空间向量的长度或模： ．(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ．空间向量的数量积的常用结论：(a) cos 〈a 、b 〉＝ ； (b) ?a ?2＝ ；(c) a ⊥b ⇔ ．例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( )A ．?21a ＋21b ＋c B ．21a ＋21b ＋cC ．21a ?21b ＋cD ．?21a ?21b ＋c解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.证明：记,,,1c AA b AC a AB ===则典型例题 ABCD AC 1B 1(4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ；(b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．CC DC AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB DC =+=+,∴11,,DC AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设.)1(,k k k ACMCEB NB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅k k (3) 设正方体的边长为a ,也即时AC AM21=a 22=例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD ⊥BC ； (2) GH ∥BD ．证明：(1) AD ⊥BC ⇔0=⋅BC AD ．因为AB ⊥CD 0=⋅⇔，0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ，而0)()(=+⋅+=⋅．所以AD ⊥BC ．(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF ，+=＝32(+)＝32． 变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：+=＝1GC +＝1FC ++＝FC A ++11＝+2，所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 21，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．解：设1m =∴m m m 2343++=又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴12343=++m m m ∴193=m ∴AP ︰PC 1＝3︰16变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OBB 1的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥．证明：法一：)(21OC OB OM +=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴故QNPM ⊥1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ＝bab a ⋅．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，n 为与AB 共线的向量，则｜AB ｜＝||n n CD .5．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d ＝||n n P P o .第2课时 空间向量的坐标运算设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b (1) a ±b ＝(2) λa ＝ ． (3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ． (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则AB ＝ ，=AB ． AB 的中点M 的坐标为 ． 若＝－1)，b ＝(－2,3,5)（1）若(k a +b )∥(a －3b )，求实数k 的值；小结归纳典型例题基础过关法二：PM ·QN ＝(PQ ＋QM )·(QM ＋MN )＝)(21OC AB +·)(21BA OC +＝)(4122AB OC -＝0（2）若(k a +b )⊥(a －3b )，求实数k 的值； （3）若b a k +取得最小值，求实数k 的值． 解：(1)31-=k ； (2)3106=k ； (3)278-=k 变式训练1. 已知O 为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∥OA u u ur ，求AC u u u r ．解：设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--u u u r u u u r，∵,OC OA BC ⊥u u u r u u u r u u u r ∥OA u u ur ，∴0OC OA ⋅=u u u r u u u r ，()BC OA R λλ=∈u u u r u u u r ，∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩解此方程组，得7211,1,,101010x y z λ=-===。
∴721,1,1010OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r 。
例2. 如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1，ο90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：N C B A 11⊥．解：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．3)01()10()01(222=-+-+-=∴BM . (2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）.1030,cos 111111=⋅>=<∴CB BA CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴C A .变式训练2. 在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．xyz B 1C 1 A 1 C BA MNCPED·(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离； (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．解：(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3, 0, 0)、C(3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,21, 1)，依题设N(x , 0, z )，则＝(－x ,21, 1－z )，由于NE ⊥平面PAC ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒163z x ，即点N 的坐标为(63, 0, 1)，从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，63.(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ，则d ||NE＝1233121|)0,21,63(||)0,21,63()1,0,63(|=⨯=--⋅.例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠οa PD PB 2==，点E 在PD 上，且PE :ED ＝2:1．(1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论． 解：（1）证明略； （2）易解得ο30=θ；（3）解 以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为 所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,21,23(a a ，=AP ),,0,0(a =PC ),21,23(a a a - =BP ),21,23(a a a -，设点F 是棱PC 上的点，==λ),21,23(a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-221131)1(3221)1(2123)1(23λλλλλλλa a a a a a a解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2321+-=．亦即，F 是PC 的中点时，AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.(1) 求和点G 的坐标； (2) 求GE 与平面ABCD 所成的角； (3) 求点C 到截面AEFG 的距离．解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)， E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴)1,0,1(-= 又∵=，设G(0，0，z)，则(－1，0，z) ＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=)2,4,1(=，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则21212||||)2cos(=⋅-GE DG θπ∴21212arcsin=θ (3)设0n ⊥面AEFG ，0n ＝(x 0，y 0，z 0)∵0n ⊥，0n ⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)∴),43,(430340000000000000z z z n z y z x z y z x -=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+- 取z 0＝4，则0n ＝(4，－3，4)∵414116||),4,0,0(00==∴=n d 即点C 到截面AEFG 的距离为414116． 变式训练4. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 31=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；(2)求点D 到平面PBG 的距离；yPAGBCDFE(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF的值． 解：(1)以G 点为原点，GC 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。