高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案
基本初等函数知识点(一轮复习)
基本初等函数中学阶段（初高中）我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。
什么是基本初等函数？就是那些：幂函数（一次二次负一次）、指数、对数、三角等。
力求在这些具体函数中，运用函数的性质（奇偶性、周期、单调等的性质），掌握某些函数的特殊技巧。
一、一次函数初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。
解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。
那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下……画出以下解析式的图像：要求快（1）y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根据以下条件，设出一次函数的解析式：(1)直线经过(1,2)点(2)直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与y轴的交点位置。
因为两个参数，所以要有两个条件才能解得解析式。
二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。
十分重要的内容，属于幂函数中最重要的一类。
二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幂函数的内容要求较低，只要求会简单幂函数的图象与性质．1、二次函数的三种表示形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(顶点坐标为(h，k))；(3)双根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(图象与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0))求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于7.求f(x)的解析式．Ans：f(1＋x)＝f(1－x)知二次函数对称轴为x＝1.∴已知最大值和对称轴，用顶点式，设f(x)＝a(x－1)2＋15＝ax2－2ax＋15＋a.∵x21＋x22＝7 即(x1＋x2)2－2x1x2＝7∴4－2(15＋a)a＝7，∴a ＝－6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX ：函数y=x 2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________.解析:y=x 2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0进阶Eg ：(建议一做)：已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0≤x ≤1时有最大值2, 求m 的值 (1)若(2b x a =-<=0) (2)若(0<2b x a =-<1) (3)若(2bx a=->=1) key:m=-1 or m=2 解析：每种情况分别画出草图。
高考数学复习第2章基本初等函数导数及其应用第6讲指数与指数函数理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖P
若将本例(2)变为函数 y＝|3x－1|在(－∞，k] 上单调递减，则 k 的取值范围如何？ 解：由本例(2)作出的函数 y＝|3x－1|的图像知，其在(－∞， 0]上是减少的，所以 k∈(－∞，0]．
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指数函数的图象及应用 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函 数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象数形结合求解.
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4 ． (·高 考 江 苏 卷 ) 不 等 式 2x2 － x<4 解 集 为 {_x_|_－__1_<_x_<_2_}_(或__(_－__1_，__2_)_)__．
解析：因为
<4，所以
<22，
所以 x2－x<2，即 x2－x－2<0，所以－1<x<2.
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5．若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实 数a取值范围是_______(_－___2_，__－__1_)_∪__(1_，____2_) __． 解析：由题意知 0<a2－1<1，即 1<a2<2， 得－ 2<a<－1 或 1<a< 2.
A．y＝－1x
B． y＝ x2＋ 2
C． y＝ x3－ 3
D． y＝ log1|x|
e
(义3)域(2和01值5·高域考都山是东[－卷1，)已0知]，函则数af＋(xb)＝＝－a_x_32＋__b_(_a_＞_.0，a≠1)的定
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[解析] (1)把 b 化简为 b＝1243，而函数 y＝12x在 R 上为减 函数，43>23>13，所以1243<1223<1213，即 b<a<c.
高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.
2019届高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第6讲指数与指数函数课件文
第6讲 指数与指数函数
1．根式的概念 如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，正 数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数；当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数．
2．幂的有关概念
m
(1)正分数指数幂：a n ＝
——函数与不等式交汇探索
设 a＞0，b＞0，则下列说法一定正确的序号是 __①______． ①若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a＞b； ②若 2a＋2a＝2b＋3b，则 a＜b； ③若 2a－2a＝2b－3b，则 a＞b； ④若 2a－2a＝2b－3b，则 a＜b.
【解析】 因为 a>0，b>0， 所以 2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b. 令 f(x)＝2x＋2x(x>0)， 则函数 f(x)为单调增函数． 所以 a>b.
a≠1，函数 1
f(x)＝42xa， －x，x≥x＜0，0，
若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为____2________．
(3)(2018·苏北四市高三质量检测)设 f(x)是定义在 R 上的奇函
数，当 x＞0 时，f(x)＝2x－3，则不等式 f(x)≤－5 的解集为
_(－___∞__，__－__3_]___．
【解析】 (1)因为 a0＝1， 所以该函数的图象过点(2 018，2 019)． (2)当 a＜1 时，41－a＝21，所以 a＝12；当 a＞1 时，代入不成 立．
(3)因为当 x＞0 时，f(x)＝2x－3， 所以当 x＜0，即－x＞0 时，f(－x)＝2－x－3，因为函数 f(x) 是 定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，所以 f(x)＝－2－x＋3. 当 x＞0 时，不等式 f(x)≤－5 等价为 2x－3≤－5， 即 2x≤－2，无解，故 x＞0 时，不等式不成立； 当 x＜0 时，不等式 f(x)≤－5 等价为－2－x＋3≤－5， 即 2－x≥8， 得 x≤－3； 当 x＝0 时，f(0)＝0，不等式 f(x)≤－5 不成立． 综上，不等式 f(x)≤－5 的解集为(－∞，－3]．
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 函数与基本初等函数-第六节 对数与对数函数
2
+ 1 + lg 5 lg 2 + lg 52 = lg 2 + lg 5 + 1 lg 2 + 2lg 5 = 1 + 1 lg 2 +
2lg 5 = 2 lg 2 + lg 5 = 2.
（3）
lg 3 2 −lg 9+1 lg 27+lg 8−lg 1 000
解原式=
lg 0.3⋅lg 1.2
[解析]由− + − > ，得 < < .设函数 = − + − = ，
= − + − ，则抛物线 = − + − 的对称轴方程是 = ,∴函数
= − + − 的单调递增区间是(, ]，单调递减区间是[, ). ∵ = 是减函
[解析]由函数图象可知， 在上单调递增，故 > .函数图
象与轴的交点坐标为 , ，由函数图象可知− < < ，解得 < < .
log − log
=_______________；
log ∈ .
③log =________
log
log > 0，且 ≠ 1， > 0， > 0，且 ≠ 1).
（3）换底公式：log =_____(
换底公式的推广：①log =
B.
C.
D.
[解析] = + ，函数的定义域为 −, +∞ ，有 = ，函数图象过
原点，A，D选项不符合， = +
高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第6讲对数与对数函数理新人教A版
答案
解析
4．已知函数 f(x)＝flo2gx2x，，0x<≥x<11，，
则
f
22的值是(
)
A．0
B．1
1 C.2
D．－12
答案 C
解析
∵f(x)＝
log2x，x≥1， f2x，0<x<1，
0< 22<1，
2>1，
∴f
22＝f(
2)＝log2
f(x)＝
21－x，x≤1， 1－log2x，x>1，
则满足
f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案 D
答案
解析 当 x≤1 时，由 21－x≤2 得 1－x≤1，∴0≤x≤1. 当 x>1 时，由 1－log2x≤2 得 x≥12，∴x>1. 综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选 D.
答案 C
答案
解析 函数 y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除 A，B；又函数 y ＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除 D.故选 C.
解析
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则 a 的取值范围是(
)
A.0，
2
2
B.
22，1
C．(1， 2)
答案 B 解析 要使函数 f(x)＝ 1－ln x有意义，则1x>－0，ln x≥0， 解得 0<x≤e，则函数 f(x)的定义域为(0，e]．故选 B.
答案
解析
2．(2019·吉林模拟)不等式 log3(2x－1)≤2 的解集为( )
高考数学一轮复习基本初等函数知识点
高考数学一轮复习基本初等函数知识点每一章知识点掌握对温习是十分有利的，查字典数学网为您提供的是基本初等函数知识点，希望可以协助到你。
一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：普通地，假设，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，正数的次方根是一个正数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以兼并成(0).由此可得：正数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
留意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规则：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规则了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推行到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也异样可以推行到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：普通地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是正数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特征函数性质向x、y轴正负方向有限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋向是越来越陡图象上升趋向是越来越缓函数值末尾增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值末尾减小极快，到了某一值后减小速度较慢;留意：应用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)假定，那么;取遍一切正数当且仅当;(3)关于指数函数，总有;(4)事先，假定，那么;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：普通地，假设，那么数叫做以为底的对数，记作：(底数，真数，对数式)说明：1留意底数的限制，且;2;3留意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以在理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+).留意：1对数函数的定义与指数函数相似，都是方式定义，留意区分。
高考总复习一轮数学精品课件 第3章 函数与基本初等函数 第6节 指数与对数运算
3
1.(-3) =
3
-3 =
6
2
(-3) .( × )
2.log2a2=2log2|a|.(
)
3.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1).( × )
1
2 4
1
4
2
4.(m ) = ( ) .( × )
题组二 回源教材
1
2
1
2
-
5.(人教A版必修第一册习题4.1第8题改编)已知 + =3 ,则a+a-1=______,
于底数的右上角
个
正整数指数幂 an=···…·(n∈N*)
指 有理指数幂 零指数幂 a0=1(a≠0)
数 的分类
-n 1
负整数指数幂 a = (a≠0,n∈N*)
幂
0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义
aman=am+n(a>0,m,n∈Q)
有理指数幂 m n mn
(a ) =a (a>0,m,n∈Q)
5
a-3b 25
,所以 4 = ,故选
3
9
C.
9.(2021·全国甲,文6)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助
视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的
数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法
的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(
1
5+
(4)(2024·辽宁沈阳模拟)若log32=m,则log296=________(用含m的式子表示).
解析 由
高考数学一轮复习 突破140必备 专题06 函数与导数中的恒成立问题学案
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题06 函数与导数中的恒成立问题函数与导数中的恒成立问题一直是历年高考、模考中的一个热点，是考察学生综合素质的一个好的题型。
它主要涉及到基本初等函数的图像及性质，结合不等式，渗透着分类讨论、转化化归、数形结合、推理论证等数学思想。
恒成立问题常见的处理方法是分离参变量，利用转化的数学思想将其转化为最值问题，再利用导数判断单调性求出最值，进而得出参数的范围。
比如对于含有参数的函数0)(≥λ、x f 对于D x ∈上恒成立，利用参变分离转化为)(x g ≥λ或者)(x g ≤λ，即max )(x g ≥λ或min )(x g ≤λ，只需要运用导数求解)(x g 的最值就能解决。
这种常见题型资料比较多，这里笔者不在累赘。
用此方法解题需要满足两个条件，一是分离参数是可行的，二是分离完后形成的新的函数用导数可以判断单调性求出最值。
但是往往出题者想考察学生分类讨论，推理论证等数学思想，在题型的设置上就会让分离后的新函数无法简单的用导数判断单调性。
就算可以判断出单调性，最值点也是在开区间的地方取到，那也要借助与高等数学中的洛必达法则求极限。
笔者看到很多论文着重写洛必达法则在解决函数与导数中的恒成立问题的妙用，觉得并不太妥当，一是学生根本就不知道洛必达法则是什么，用来解决什么问题，就生搬硬套，记住遇到”“00或者”“∞∞就分子分母分别求导，直到能算出具体的值，二是现在很多的题目设置已经开始让分离后的新函数无法简单的通过导数求出单调性，也就不能说明为什么最值会在开区间那个点处取到，也许记住洛必达法则能够得到答案，但大题中解题过程非常的重要，洛必达法则真的能保证得满分吗？这貌似也不符合学生的认知规律，我们需要通过这样的题培养分类讨论，推理论证的数学思想，提高综合能力，为我们进入大学学习高等数学奠定良好的数学基础。
下面我们通过几个模考例题来谈谈这类题目的解题过程及规律。
高三数学一轮复习教学计划
高三数学一轮复习教学计划高三数学一轮复习教学计划1一、背景分析近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。
二、指导思想在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。
通过复习，让学生在数学学习过程中，更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。
老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，加强教改力度，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。
三、目标要求第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。
为此，我们确立了一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力;使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规范的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。
具体要求如下：1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力;以及数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优等生”放弃大部分“中等生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。
高考数学一轮复习资料 第6讲 三角函数篇之三角函数知识点概述
第一部分：基本知识点回顾第一节：三角函数概念1. 角的概念2. 象限角第I 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ,222ππαπα 第II 角限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,222ππαππα 第III 象限角的集合： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα 第IV 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,)1(2232παππα3. 轴线角4. 终边相同的角①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,180| ββ;③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ;④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ.5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π6.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =α，扇形面积公式211||22S R R α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。
7. 任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+，则sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=，注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基础知识（一） 同角三角函数的基本关系式： ①平方关系；1cos sin 22=+αα ②商式关系；αααtan cos sin = 任意角三角函数定义单位圆定义： 坐标点定义： 象限角的三角函数值的符号轴线角的三角函数值 三角函数线 同角三角函数的基本关系式 诱导公式三角函数的图像与性质 定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性（最值）、对称性三角函数的图像 三角函数的性质 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 五点作图法 三角函数的图像变换相关概念的物理意义 先相位后周期：先周期后相位：三角恒等变换1.和、差角公式；2.二倍角公式；3.升、降幂公式；4.半角公式；5.辅助角公式（收缩代换）. 解三角形正弦定理 余弦定理及推论 解三角形的四种类型 三角形的面积公式 角的有关概念任意角 定义 分类终边相同角的概念 按旋转方向分： 按终边位置分：弧度制 定义及规定 弧度与角度的换算特殊角的度数与 弧度数的对应表 扇形公式③倒数关系。
高考数学复习知识点讲解教案第6讲 函数的概念及其表示
[解析] ，因为，所以 ，所以的值域为 .
（2） 函数 的值域为_ _______.
[解析] 令,，易知,在 上均单调递增，所以在上是增函数，当 时，，当时， ，故所求函数的值域为 .
（3） 函数 的值域为_ ________.
[解析] 由①，可得②，由
（3） 已知，则 ___________________.
[解析] 令，则 ，，所以 .
探究点三 函数的值域
例3（1） 函数 的值域为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设，则，且 ，则 ，所以函数的值域为 .故选A.
［思路点拨］（1）设，化简函数为 ，结合二次函数的性质，即可求解.
5.［教材改编］ 设， ，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合 的函数关系的是____.（填序号）
②
①
②
③
④
[解析]对于①，在集合中找不到与2对应的元素，故不是从集合到集合 的函数；对于③，在集合中可以找到两个元素与1对应，故不是从集合到集合 的函数；对于④，在集合中找不到与2对应的元素，故不是从集合到集合 的函数．故填②.
[解析] 由，解得，故函数的定义域为 ，设，则 ，所以，所以函数的值域为 .
探究点四 以分段函数为背景的问题
微点1 分段函数求值
例4（1） 已知函数则 的值为( ) Bຫໍສະໝຸດ A. B. C. D.18
[解析] 函数 ， ．故选B．
［思路点拨］（1）根据分段函数的解析式求出，再求 的值.
（3）的值域是 .（4）且的值域是 .（5）且的值域是 .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 给出下列函数：（1）；（2） ；（3）；（4）.其中与函数 是同一个函数的是________.（填序号）
【高考数学】一轮总复习：第二章 第6讲 指数、对数运算
方法二：因为 3a＝4b＝36，两边同时取以 6 为底数的对数，得 alog63＝blog64 ＝log636，即 alog63＝2blog62＝2， 所以2a＝log63，1b＝log62， 所以2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1. 答案：1
[A 级 基础练]
1．若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
1
4·(y4)
1
4＝2x2|y|＝－2x2y.
2．计算：lg4
7
2－lg
2
83＋lg
7
5＝________．
解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－ 2lg 2＝12.
答案：12
指数幂的化简与求值
(自主练透)
1．计算：－32－2＋－287－23＋(0.002)－12＝________．
3．lg 2＋lg 5＋20＋(513)2×3 5＝________． 解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝123. 答案：123
指数式与对数式的互化
(师生共研)
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设 alog34＝2，则 4－a＝( )
A．116
√B．19
C．18
D．16
(2)(一题多解)已知 a，b，c 是不等于 1 的正数，且 ax＝by＝cz，1x＋1y＋1z＝0， 则 abc 的值为________． (3)已知 5x＝2y＝( 10)z，且 x，y，z≠0，则xz＋yz的值为________．
②a 的 n 次方根的表示： xn＝a⇒xx＝ ＝□n5a，±当n an为奇，数当且n为n∈偶N数*，且nn>∈1时N*，时.
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.4
∴u＝x2－2kx＋k 能取所有正值， ∴Δ≥0 即 4k2－4k≥0. 解得 k≥1 或 k≤0. 答案：C
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4．(2010· 重庆卷)函数 y＝ 16－4x的值域是( A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
)
解析：要使函数有意义，则 16－4x≥0.又因为 4x＞0， ∴0≤16－4x＜16，即函数 y＝ 16－4x的值域为[0,4)． 答案：C
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疑难精讲 1.函数值域的求法 (1)配方法：若函数类型为一元二次函数，则采用此法求其 值域，其关键在于正确化成完全平方式． (2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值 域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如 y＝ax＋ b± cx－d(a，b，c，d 均为常数且 ac≠0)的函数常用此法求解． (3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数 x2， 则常用此法．通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式 Δ≥0，确定 y 的范围，即为原函数的值域． (4)不等式法：借助于重要不等式 a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0) 求函数的值域． 用不等式法求值域时， 要注意均值不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”．
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2．(1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变量的范围变 化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变量 x 是否属于 R. (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键．分段 函数的值域应分段分析，再取并集． (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 域，这是求值域的重要环节.
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基本初等函数 教案 2022届高三数学一轮复习备考
基本初等函数（讲案）【教学目标】一、二次函数【知识点】1．二次函数解析式的三种形式：一般式：()()20f x ax bx c a ≠＝＋＋； 顶点式：()()20()f x a x h k a ≠＝－＋； 两根式：()()120()()f x a x x x x a ≠＝－－． 2．二次函数的图象与性质 （1）二次函数系数的特征：a) 二次函数()20y ax bx c a ≠＝＋＋中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； b) 2ba-的值决定图象对称轴的位置； c)c 的取值决定图象与y 轴的交点；d) 24b ac －的正负决定图象与x 轴的交点个数．解析式()()20f x ax bx c a >＝＋＋ ()()20f x ax bx c a <＝＋＋图象定义域 ()∞∞－，＋()∞∞－，＋值域24,4ac b a⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦单调性在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增；在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减 在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上单调递增；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减 奇偶性 当0b ＝时为偶函数，当0b ≠时为非奇非偶函数顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称性图象关于直线2bx a=-成轴对称图形3. 常用结论（1）一元二次不等式恒成立的条件a) “()200ax bx c a >≠＋＋恒成立”的充要条件是“0a >，且0∆<”． b) “()200ax bx c a <≠＋＋恒成立”的充要条件是“0a <，且0∆<”． （2）二次函数在闭区间上的最值设二次函数()()20f x ax bx c a >＝＋＋ ，闭区间为[]m n ，． a) 当2bm a-≤时，最小值为()f m ，最大值为()f n ； b) 当-22b m n m a +<≤时，最小值为2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最大值为()f n ； c) 当22m n bn a+<-≤时，最小值为2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最大值为()f m ；d) 当2bn a->时，最小值为()f n ，最大值为()f m ． 【例题讲解】★☆☆例题1．已知二次函数()f x 满足()1(2)11f f ＝－，－＝－，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 答案：()2447f x x x ＝－＋＋ 解析：法一：利用二次函数的一般式 设()()20f x ax bx c a ≠＝＋＋．故所求二次函数为()2447f x x x ＝－＋＋. 法二：利用二次函数的顶点式 设()2()f x a x m n ＝－＋.()2f f ＝()2f ＝－法三：利用零点式由已知()10f x ＋＝的两根为1221x x ＝，＝－， 故可设())1(1)2(f x a x x ＋＝－＋， 即()221f x ax ax a ＝－－－.解得4a ＝－或0a ＝ (舍去)，故所求函数解析式为()2447f x x x ＝－＋＋.★☆☆练习1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.解析：法一：设所求解析式为()()20f x ax bx c a ≠＝＋＋．法二：设所求解析式为()()20f x ax bx c a ≠＝＋＋．法三：设所求解析式为()2()f x a x h k ＝－＋. 由已知得()21)2(f x a x ＝＋－，★★☆练习2．已知二次函数() f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有()22)(f x f x －＝＋，则函数的解析式()f x ＝____________. 答案：243x x －＋ 解析：2()()2f x f x －＝＋对x R ∈恒成立，() f x ∴的对称轴为2x ＝.又() f x 的图象被x 轴截得的线段长为2，()0f x ∴＝的两根为1和3.设() f x 的解析式为()()0()(3)1x a x x a ≠＝－－． 又() f x 的图象经过点()4,3，331a a ∴＝，＝.∴所求() f x 的解析式为())1()3(f x x x ＝－－， 即()2 43f x x x ＝－＋. 【题型知识点总结】1. 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：★☆☆例题2．若一次函数y ax b ＝＋的图象经过第二、三、四象限，则二次函数2y ax bx ＝＋的图象只可能是( )答案：选C解析：因为一次函数y ax b ＝＋的图象经过第二、三、四象限，所以00a b <<，，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程02bx a=-<，只有选项C 适合． ★☆☆练习1．一次函数y ax b ＝＋与二次函数2y ax bx c ＝＋＋在同一坐标系中的图象大致是( )答案：选C解析：若0a >，则一次函数y ax b ＝＋为增函数，二次函数2c y ax bx ＝＋＋的图象开口向上，故可排除A ；若0a <，一次函数y ax b ＝＋为减函数，二次函数2c y ax bx ＝＋＋的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知00a b >>，，从而02ba-<，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C. ★☆☆练习2．对数函数a y log x ＝ (0a >且1a ≠)与二次函数21()y a x x ＝－－在同一坐标系内的图象可能是( )答案：选A解析：若01a <<，则a y log x ＝在(0)∞，＋上单调递减，21()y a x x ＝－－开口向下，其图象的对称轴在y 轴左侧，排除C ，D. 若1a >，则a y log x ＝在(0)∞，＋上是增函数，21()y a x x ＝－－图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.【题型知识点总结】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.★☆☆例题3．(1)已知函数()221f x x ax a ＝－＋＋－在[]0,1x ∈时，有最大值2，则a 的值为________． (2)设二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是________．答案：(1)1-或2 (2)[]0,2解析：(1)函数()2221()21f x x ax a x a a a ＝－＋＋－＝－－＋－＋，对称轴方程为x a ＝. 当0a <时，()()01max f x f a ＝＝－， 所以12a －＝，所以1a ＝－.当01a ≤≤时，()21max f x a a ＝－＋，所以212a a －＋＝，所以210a a －－＝，当1a >时，()()1max f x f a ＝＝，所以2a ＝. 综上可知，1a ＝－或2a ＝.(2)依题意0a ≠，二次函数()22f x ax ax c ＝－＋图象的对称轴是直线1x ＝，因为函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，所以0a >，即函数图象的开口向上，所以()()02f f ＝，则当()()0f m f ≤时，有02m ≤≤. ★★☆练习1．(2019·杭州模拟)已知()22444f x x ax a a ＝－＋－－在[]0,1内的最大值为5-，则a 的值为( )A.54 B ．1 或 54 C ．1- 或 54 D ．5-或 54答案：选D()()214max f x f a ∴＝＝－－.令245a －－＝－，得1a ±＝(舍去)．()()204max f x f a a ∴＝＝－－.令245a a －－＝－，得5a ＝－或1a ＝(舍去)．★☆☆练习2．若函数234y x x ＝－＋的定义域为[0]m ，，值域为7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围为( ) A ．(]0,4B. 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：选C【题型知识点总结】1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．★★☆例题4．(1)已知函数()21f x x mx ＝＋－，若对于任意]1[x m m ∈，＋，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数()221f x x x ＝＋＋，()f x x k >＋在区间[]31－，－上恒成立，则k 的取值范围为________．答案：(1)2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)(),1∞－解析：(1)作出二次函数()f x 的草图如图所示，对于任意]1[x m m ∈，＋，都有()0f x <， 则有()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即22210(1)(1)10m m m m m ⎧+-<⎨+++-<⎩， 解得202m -<<. (2)由题意得21x x k >＋＋在区间[]31－，－上恒成立． 设()2]31[1g x x x x ∈＝＋＋，－，－，则()g x 在[]31－，－上递减． () 11()min g x g ∴＝－＝.1k ∴<.故k 的取值范围为(),1∞－．★☆☆练习1． 已知函数()()2321x x f x a a a >＝＋－，若在区间[]1,1－上()8f x ≤恒成立，则a 的最大值为________． 答案：252a ≤≤－，又1a >，所以a 的最大值为2 .★★☆练习2．(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(1]∞－，上递减的函数()221f x x tx ＝－＋，且对任意的12[]01x x t ∈，，＋，总有()()122||f x f x ≤－，则实数t 的取值范围是( )A.[B. C.[2]3，D. [1]2， 答案：选B解析： 由于()221f x x tx ＝－＋的图象的对称轴为x t ＝，又()y f x ＝在(1]∞－，上是减函数，所以1t ≥. 则在区间[01]t ，＋上，()()01max f x f ＝＝， ()()222211min f x f t t t t ＝＝－＋＝－＋，要使对任意的12[]01x x t ∈，，＋，都有()()122||f x f x ≤－，★★☆练习3．若关于x 的不等式2420x x a >－－－在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．()2∞－，－B ．()2∞－，＋C ．()6∞－，＋D ．()6∞－，－答案：选A解析：不等式2420x x a >－－－在区间()1,4内有解等价于242()max a x x <－－，令()()2421,4f x x x x ∈＝－－，， 所以()()42f x f <＝－，所以2a <－.★★☆练习4．已知函数()223f x x ax ＝＋＋，若()y f x ＝在区间[]4,6－上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(][)64∞∞－，－，＋解析：由于函数()f x 的图象开口向上，对称轴是x a ＝－， 所以要使()f x 在[]4,6－上是单调函数， 应有 4a ≤－－或6a ≥－，即6a ≤－或4a ≥. 【题型知识点总结】1. 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥，()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.二、幂函数【知识点】 1. 幂函数的定义一般地，形如y x α＝的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数.幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2) x α的系数为1；(3)只有一项．2. 常见的5种幂函数的图象3. 幂函数的性质①幂函数在(0)∞，＋上都有定义；②当0α>时，幂函数的图象都过点(1)1，和(0)0，，且在(0)∞，＋上单调递增； ③当0α<时，幂函数的图象都过点(1)1，，且在(0)∞，＋上单调递减. 4. 对于形如()nmf x x = (其中*m N n Z m ∈∈，，与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称； (2)当,m n 都为奇数时，()f x 为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，0x > (或0x ≥)，()f x 是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．【例题讲解】★☆☆例题1．(1)(2019·洛阳二模)已知点1 ,2a ⎛⎫⎪⎝⎭在幂函数()()1b f x a x ＝－的图象上，则函数()f x 是( ) A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数(2)(2018·上海卷)已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α＝为奇函数，且在(0)∞，＋上递减，则α＝______.答案：(1)选A (2)1-()()00∞∞－，，＋不是单调函数.(2)由题意知α可取1,1,3-.又y x α＝在(0)∞，＋上是减函数，0α∴<，取=1α-.★☆☆练习1．函数()253()1m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为( )A.2B.1-C. 12-或D. 0.答案：B解析：由题意得211,1530m m m m ⎧--=∴=-⎨-->⎩ ，选B. ★☆☆练习2．已知幂函数()()222322m m f x n n x--=-+⋅(),2m N m ∈≥为奇函数，且在()0,+∞上是减函数，则()f x = . 答案：3x -解析：由函数为幂函数得，22221,210n n n n -+=∴-+=，解得1n =．因为函数在()0,+∞上是减函数，所以2230m m --<，解得13m -<<．又因,2m N m ∈≥,所以2m =,所以()3f x x -=．同时满足函数为奇函数，所以()3f x x -=．★★☆例题2．已知幂函数()()223m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间()0,+∞是减函数.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求满足()()33132mm a a --+<-的a 的取值范围.)23,32⎛⎫⎪⎝⎭解析：（1）因为幂函数()f x 在()0,+∞上是减函数，所以2230m m --<，且m Z ∈则m 可能取值为0,1,2，当=0m 时，223=3m m ---；当=1m 时，223=4m m ---；当=2m 时，223=3m m ---，因为()f x 为偶函数，所以()4f x x -=★☆☆练习1．（2017甘肃省武威阶段考）已知幂函数()2122m f x m m x+=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()211y f x a x =--+在区间()2,3上为单调函数，求实数a 的取值范围． 答案：（1）()2f x x =（2）3a ≤或4a ≥∴()2f x x =．（2）由（1）得()2211y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-，由题意知()2211y x a x =--+在(2,3)上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， 即3a ≤或4a ≥.★★☆练习2．(2018·邢台期末)已知幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数2()()4x g x f x =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案：选A解析：设幂函数()f x x α＝.() f x 的图象过点∴函数()2f x x －＝，其中0x ≠.∴函数()=g x 21x =+【题型知识点总结】1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2. 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．三、指数与指数函数【知识点】 1、指数的定义自然数指数：,,na R n N a ∈∈叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数.零指数：a R ∈且0a ≠，定义01a =（00无意义）.分数指数幂：m na=)*10,,,1m nm naa m n N n a-==>∈>2、指数的运算性质（下列各式在有意义的前提下） （1）m n m n a a a +⋅= （2）()nmmn a a =（3）()mm m ab a b =⋅（4）mm n n a a a-=（5）1p p a a-=（6）m na = 3、指数函数的概念（1）定义：一般地，形如()01,xy aa a x R =>≠∈且形式的函数叫做指数函数.（2）对于定义需要注意形式上的严格性：在指数函数的定义表达式xy a =中，x a 前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则不是指数函数.比如12,,1xx x y a y ay a +===+等，都不是指数函数.（3）指数函数xy a ＝(0a >，且1a ≠)的图象与性质底数1a > 01a <<图象性 质定义域为R ，值域为(0)∞，＋图象过定点()0,1当0x >时，恒有1y >； 当0x <时，恒有01y << 当0x >时，恒有01y <<； 当0x <时，恒有1y > 在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数 xy a ＝(0a >,且1a ≠）的图象和性质与a 的取值有关，应分1a >与01a <<来研究.（4）常用结论：指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<.运用竹竿法解释（用1x =去和各个图像相交）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称.【例题讲解】★☆☆例题1．（1）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）计算()5313432234a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为( )A.232b -B.232bC.7332b -D.7332b答案： （1）100（2）选A=100★★☆练习1130.132-⎛⎫-答案：1★☆☆练习2．若1,0,b b b b a b a a a a -->>+=-且则的值等于（ ） A B ．22-或 C ．2- D ．2 答案：选D b b a a -+=1,0,b b a b a a ->>∴>，∴2b b a a --=.【题型知识点总结】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.★★☆例题2．（1）函数()101xy a a a -=>≠且的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=，()0,0m n >>上，则11mn+的最小值为 .答案：4解析：由题知，()1,0,0m n m n +=>>. 所以()11112224n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =时取“=”. （2）函数()x bf x a-=的图象如图，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是( )A.1,0a b ><B.1,0a b >>C.01,0a b <<>D.01,0a b <<< 答案：选D解析：因为图像单调递减，所以01a <<，因为图像与y 轴的交点在()0,1之间，所以图像向左平移了，则0b <.★☆☆练习1．若函数()||12x f x －＝，则()f x 的大致图象为( )答案：选B解析：()||12x f x －＝的图象是由||2x y ＝的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B 正确．★☆☆练习2．(2019·贵阳监测)已知函数()142x f x a －＝＋的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．()1,6B ．()1,5C ．()0,5D ．()5,0答案：选A解析：由于函数xy a ＝的图象过定点()0,1，当1x ＝时，()426f x ＝＋＝，故函数()142x f x a －＝＋的图象恒过定点(1,6)P . 【题型知识点总结】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. ★☆☆例题3．（1）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .（2）求函数()[]()311214,2xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎭⎝∈- ⎝⎭的值域.∵ 2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∴ 12t =时,min 34y =;8t =时,max 57y =, ∴ 函数11142x xy ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]3,2x ∈-上的值域为3,574⎡⎤⎢⎥⎣⎦.★★☆练习1．（1）求函数[]221,0,33x xy x -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的值域.（2）已知x 满足910390xx -⋅+≤，求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域.答案：（1）1,327⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）[]1,2 解析：（1）令22t x x =-，因为[]0,3x ∈，所以[]1,3t ∈-，所以函数值域为1,327⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）令3x t =，则不等式为21090t t -+≤，解得19t ≤≤，所以[]0,2x ∈；再将函数变型为21144222x xy ⎛⎫⎛⎫=⨯-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12xm ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,14m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2442y m m =-+，所以函数值域为[]1,2.★★☆例题4. （1）函数()22xx f x a -+=的单调区间为 .答案：当1a >时，函数在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单增；在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单减； 当01a <<时，函数在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单减；在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单增. 解析：根据复合函数单调性同增异减进行讨论即可.（2）若函数|1|3xy ＝－在(]k ∞－，上单调递减，则k 的取值范围为________． 答案：(0]∞－，解析：函数|31|xy =- 的图象是由函数3xy ＝的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(0]∞－，上单调递减，所以k 的取值范围为(0]∞－，．★☆☆练习1答案：[]2,4()g x 在[]0,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，故答案为[]2,4.★☆☆练习2A.是偶函数，且在R 上是增函数 B.是奇函数，且在R 上是增函数 D.是奇函数，且在R 上是增函数 答案：选B根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B.★★☆练习3．已知函数()|2|2x m f x －＝ (m 为常数)，若()f x 在区间[2)∞，＋上是增加的，则m 的取值范围是______.答案：(4]∞－，的取值范围是(,4]-∞.★☆☆例题A ．b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<答案：选A 像性质可知答案选A. ★☆☆练习1．设0.40.7a=，0.70.4b =，0.40.4c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c << B.a c b << C. b c a << D. c b a << 答案：选C解析：因为0.4x y =单调递减，所以b c <，又因为0.4y x =在[)0+∞，上单调递增，所以c a <，故选C. ★☆☆练习2．下列关系中正确的是（ ）A. 221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 121333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C. 212333111525⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D. 221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：选D★☆☆例题6. (2019·郴州质检)已知函数1()xx f x e e=-，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式0(2)11)(f x f x >－＋－－的解集为( )A. 4,(2,+)3⎛⎫-∞-∞ ⎪⎝⎭B ．(2,)+∞ C. 4,(2,+)3⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭D ．(2)∞－， 答案：选B()f x -=(211())(1)f x f x f x >－－－－＝＋，易证()f x 是R 上的单调递增函数，211x x ∴>－＋，解得2x >，∴不等式0(2)11)(f x f x >－＋－－的解集为(2,)+∞★★☆练习1 （1）求,a b 的值.（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.由上式易知()f x 在(),-∞+∞上为减函数, 又因()f x 是奇函数,从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+,因()f x 是减函数,由上式推得2222t t t k ->-+,【题型知识点总结】1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1 ”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.3.对可化为2·0xxa b a c ＋＋＝或()2·00x x a b a c ≥≤＋＋形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.四、对数与对数函数【知识点】 1.对数与对数运算（1）对数的定义：()0,1xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．a) 负数和0没有对数． b) 对数式与指数式的互化：()log 0,1,0x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数lg N ，即底数为10,10log N ；自然对数底数为e ，即ln N （其中 2.71828e =）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么： ①加法：log log a a M N +=log a MN ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：()log log n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =（5）换底公式()10log log log ln log 2.71828lg log a b a e N N bN N e N N N ====其中…称为的自然对数称为常数对数由换底公式推出一些常用的结论： a) 1log log log 1log a a b b b b a a=⋅=或 b) log log n ma a mb b n= c)log log n n a a b b =d) log n ma m a n=2. 对数函数及其性质(1)概念：函数a y log x ＝ (0a ＞，且1a ≠)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0)∞，＋. (2)对数函数的图象与性质（3）函数a y log x ＝与1ay log x ＝(0a ＞，且1a ≠)的图象关于y 轴对称．3. 反函数指数函数xy a ＝(0a ＞，且1a ≠)与对数函数a y log x ＝(0a ＞，且1a ≠)互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称.【例题讲解】★☆☆例题1解析： （1）（2）★☆☆练习1．2(lg5)lg 2lg50+⋅= ________ 答案：1 解析：2(lg5)lg 2lg50+⋅2(lg5)lg 2(lg51)=+⋅+2(lg5)lg 2lg5lg 2=+⋅+lg5(lg5lg 2)lg 21=++=★☆☆练习2．(1)计算：11lglg 2510042⎛⎫-÷-= ⎪⎝⎭________. (2)计算：26666(13)+218=4log log log log -⋅________.答案： (1)20- (2)1★★☆例题2. （1）3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅= ________（2）8log 3p =，3log 5q =，那么lg5等于________ (),p q 用表示★★☆练习1．（1）设23420172018log 3log 4log 5log 2018log 4m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，求实数m 的值. （2）已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8. 解析：（1）原式利用换底公式化简得2log 4m=，所以16m =★★☆练习2【题型知识点总结】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab N ＝⇔a b log N ＝ (0a >，且1a ≠)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. ★☆☆例题3. 如图所示，曲线1234,,,C C C C 是底数分别为,,,a b c d 的对数函数的图像，则曲线1234,,,C C C C 对应的底数,,,a b c d 的取值依次为（ ） A. 113,2,,32B. 112,3,,32C. 112,3,,23D. 113,2,,23答案：选B 解析：如图所示，作出当1y =时的图象：由图象可知：图中的曲线1234,,,C C C C 是对数函数log2y x =、log?3y x =、13log y x=; 12log y x= 则曲线1234,,,C C C C 对应的a 的值依次为112,3,,32.故选B ．★☆☆练习1. 若函数()()01xf x a a a -=>≠且是定义域为R 的增函数，则函数()()log 1a f x x =+的图像大致是（ ）答案：选D 解析：因为()1xxf x aa -⎛⎫== ⎪⎝⎭是R 上的增函数，所以11a >，解得01a <<，故()()1a f x log x =+的图象可看作由对数函数()()01a f x log x a =<<的图象向左平移一个单位长度得到的. 故选D.★☆☆练习2. (2019·海南三市联考)函数())|1|(a f x log x ＝＋ (0a ＞，且1a ≠)的大致图象是( )答案：选C解析：函数())|1|(a f x log x ＝＋的定义域为{1|}x x >－，且对任意的x ，均有()0f x ≥，结合对数函数的图象可知选C. 【题型知识点总结】1. 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.★☆☆例题3. 设211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭求()22log log 24x x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.★★☆练习1. 已知()[]()32log ,1,9f x x x =+∈，求函数()()()22g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值和最小值. 答案：22和6解析：由题意得()()()2233333log 4log 422log log 6log 6g x x x x x x =++++=++，令3log t x =，函数解析式化为266y t t =++因为[]1,9x ∈所以[]0,2t ∈，函数在此区间单调递增，所以最大值为22，最小值为6.★★☆例题（2）已知 0a >，若函数()23()f x log ax x ＝－在[]3,4上是增函数，则a 的取值范围是________． )()2,+∞令的递增区间，即求23t x =-为(),1-∞.（2）要使()23()f x log ax x ＝－在[]3,4上单调递增，则2y ax x ＝－在[]3,4上单调递增，且2y ax x >＝－恒成立，即132930a a ⎧≤⎪⎨⎪->⎩，解得13a >.★☆☆练习1. 已知函数()24)23(f x log ax x ＝＋＋，若()11f ＝，求()f x 的单调区间． 答案：略解析：因为()11f ＝，所以451()log a ＋＝， 因此541a a ＋＝，＝－，这时()24)23(f x log x x ＝－＋＋． 由2230x x >－＋＋，得13x <<－，函数()f x 的定义域为()1,3－． 令()223g x x x ＝－＋＋，则()g x 在()1,1－上单调递增，在()1,3上单调递减． 又4y log x ＝在(0)∞，＋上单调递增， 所以()f x 的单调递增区间是()1,1－，单调递减区间是()1,3． ★★☆练习2. 已知当104x <≤时，有log a x x <，则实数a 的取值范围为________． 答案：1,116⎛⎫⎪⎝⎭解析：若log a x x <在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时成立，则01a <<，且=y x 的图象在a y log x ＝图象的下方，作出图象如图所示． 由图象知11<log a 44，所以120114a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得1116a <<. 即实数a 的取值范围是1,116⎛⎫⎪⎝⎭.【题型知识点总结】1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.★☆☆例题答案：a b c <<所以a b c <<.★☆☆练习A.b a c << B.c a b << C.c b a << D.a b c << （2）实数30.3a =，3log 0.3b =，0.33c =的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a << A.a b c << B.b c a << C.c a b << D.c b a << 答案： （1）B（2）C （3）A（2）()30.30,1a =∈，3log 0.30b=<，0.331c =>易得答案选C★☆☆练习2. （2019⋅ 武汉理）若实数,a b 满足1a b >>,22log (log ),(log ),log a a a a m b n b l b ===,则,,m n l 的大小关系是（ ）A. m l n >>B. l n m >>C. n l m >>D. l m n >> 答案：选B解析：由题可知0log 1log log 1a a a b a =<<=，从而220(log )2log log a a a b b b <<=，所以n l <，又因为log (log )0a a m b =<，所以l n m >>.★★☆练习3. （2019⋅ 济南一模理10）若235log log log 1x y z ==<-，则有（ ） A. 235x y z << B. 532z y x << C. 325y x z << D. 523z x y << 答案：选B 解析：235log log log 1x y z ==<-∴设235log log log x y z k ===，则1,10k k <-∴+<， 则2,3,5kkkx y z ===，故11122,33,55k k k x y z +++===又因为函数1k y x+=在(0,)+∞上单调递减，所以111532k k k +++<<，所以532z y x <<.★★☆例题取值范围是（ ）A. ()1,10B. ()5,6C. ()10,12D. ()20,24 答案：C作出第二段图像易得()10,12c ∈.★★☆练习 1. 已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围 . 答案：()3,+∞解析：画出lg y x =的图象：因为0a b <<,且()()f a f b =, 所以lg lg a b =且01a <<,1b > 所以 lg lg a b -= 即1ab = 所以22y a b a a=+=+,()0,1a ∈ 因为2y a a =+在()0,1上为减函数,所以123y >+= 所以2a b +的取值范围是()3,+∞ 故答案为: ()3,+∞★☆☆例题7. 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且在[)0,+∞上增函数，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭的解集为 .答案：()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：题目等价于 181log 30x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或181log 30x x ⎧<-⎪⎨⎪>⎩，解得不等式的解集为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭★★☆练习1. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()00f ＝，当0x >时，()12f x log x ＝.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解不等式212()f x >－－. 答案：略解析：(1)当0x <时，0x >－，则12()()f x log x －＝－．因为函数()f x 是偶函数，所以不等式212()f x >－－转化为()214(||)f x f >－．又因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，【题型知识点总结】 1.对数值取正、负值的规律当1a >且1b > 或01a <<且01b <<时， 0a log b >； 当1a >且01b <<或01a <<且1b >时，0a log b <. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.【课后练习】【巩固练习】★☆☆1.已知幂函数()223)()22(n nf x n n xn Z -∈＝＋－的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数，则n的值为( )A ．3-B ．1C ．2D ．12或答案：选B∵幂函数()2232(2)n nf x n n x-＝＋－在(0,)+∞上是减函数，又()2f x x －＝的图象关于y 轴对称，2222130n n n n ⎧+-=⎨-<⎩ ∴n ＝1. ★★☆2. 若1122()(2)13a a <＋－，则实数a 的取值范围是________．★☆☆3. 若11223,x x-+=求33222232x x x x --+-+-的值★☆☆4. 151 lg 2lg 222-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________.答案:1-★☆☆5. (2019·南宁调研)函数()12f x ⎛⎪⎝⎭＝的单调递增区间是( )A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案: 选D解析：令20x x ≥－，得01x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为[]0,1，因为12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以函数()f x 的增区间就是函数2y x x ＝－＋在[]0,1上的减区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D.★☆☆6. 函数()x b f x a －＝的图象如图所示，其中a b ，为常数，则下列结论正确的是( )A ． 10a b ><，B ． 10a b >>，C ． 010a b <<>，D ． 010a b <<<，答案：选D解析：由()x b f x a －＝的图象可以观察出函数()x b f x a －＝在定义域上单调递减，所以 01a <<，函数()x b f x a －＝的图象是在x y a ＝的图象的基础上向左平移得到的，所以0b <.★☆☆7. (2019·安徽名校联考)幂函数||1m y x －＝与23()m m y x m Z -∈＝在(0)∞，＋上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1?2和 C ．2 D ．03和答案：选C解析：由题意可得2|1|030m m m m Z ->⎧⎪->⎨⎪∈⎩, 解得2m =.★★☆8. 已知0a ＞，且1a ≠，若函数|2|xy a ＝－与3y a ＝的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．答案：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：①当 01a <<时，作出函数|2|xy a ＝－的图象如图(1)．若直线3y a ＝与函数|2|xy a ＝－的图象有两个交点，则由图象可知 032a <<，所以203a <<.②当1a >时，作出函数|2|xy a ＝－的图象如图(2)，若直线3y a ＝与函数|2|xy a ＝－的图象有两个交点，则由图象可知 032a <<，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.★★☆9. (2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数()2f x ax ＝－，())2(a g x log x ＝＋ (0a ＞，且1a ≠)的图象大致为( )答案：选A解析：由题意，知函数()2f x ax ＝－(0a ＞，且1a ≠)为单调递减函数，当 01a <<时，函数()2f x ax ＝－的零点22x a=>，且函数())2(a g x log x ＝＋在()2∞－，＋上为单调递减函数，C ，D 均不满足；当1a >时，函数()2f x ax ＝－的零点22x a =<，且20x a=>，又())2(a g x log x ＝＋在()2∞－，＋上是增函数，排除B ，综上只有A 满足. ★★☆10. 求函数22()log log )f x x x =的最小值．答案：14-★☆☆11. 已知函数()a f x log x ＝ (0a ＞，且1a ≠)满足23f f a a ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则110f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为( ) A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,)+∞答案：选C所以()a f x log x ＝(0a ＞，且1a ≠)在(0,)+∞上单调递减，即 01a <<，结合对数函数的图象与性质可由★☆☆12. (2018·惠州调研)若0.522=2,log 3,log sin5a b c ππ==，则a b c ，，的大小关系为( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>答案：选D★☆☆13. 设函数()||a f x log x ＝ (0a ＞，且1a ≠)在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f 的大小关系是( )A ．(1)(2)f a f +>B ．(1)(2)f a f +<C ．(1)=(2)f a f +D ．不能确定答案：选A解析：由已知得 01a <<，所以112a <<＋，又易知函数()f x 为偶函数，故可以判断()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以(1)(2)f a f +>．★★☆14. (2019·临汾三模)已知函数() f x lnx ＝，若()()()0f m f n m n >>＝，则2211m n +=++( ) A.12 B. 1 C. 2 D. 4 答案：选C解析：由()()()0f m f n m n >>＝，可知10m n >>>，lnm lnn ∴＝－，则1mn ＝.★★☆15. (2019·衡阳检测)当]1(x ∈∞－，－时，不等式2 420()x xm m ⋅<－－恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(2,1)-B. (4,3)-C. (3,4)-D. (1,2)-答案：选D故原不等式恒成立等价于22m m -<，解得12m <<－. ★☆☆16. 已知函数()223f x x ax ＝＋＋，4[]6x ∈－，. (1)当2a ＝－时，求()f x 的最值；(2)求实数a 的取值范围，使()y f x ＝在区间[46]－，上是单调函数. 答案：（1）35 （2）][()64∞∞－，－，＋解析：(1)当2a ＝－时，()223(2)14f x x x x -=--＝＋，由于4[]6x ∈－，， ∴()f x 在[42]－，上单调递减，在[2]6，上单调递增， ∴()f x 的最小值是()21f ＝－，又()435615()f f －＝，＝，故()f x 的最大值是35.(2)由于函数()f x 的图象开口向上，对称轴是x a ＝－，所以要使()f x 在[46]－，上是单调函数，应有4a ≤－－或6a ≥－，即6a ≤－或4a ≥，故a 的取值范围是][()64∞∞－，－，＋.【拔高练习】★★★1. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[]0,1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点()()1,0,0,1A B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y x α=，y x β=的图象三等分，即有.BM MN NA ==那么，αβ=( )．A ．1B ．2C ．3D ．无法确定答案：A解析：由条件得12,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由一般性，得1233α⎛⎫= ⎪⎝⎭，2133β⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11213333ααββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即1αβ=. ★★★2. 已知幂函数22()()k k f x x k Z -++=∈满足(2)(3)f f <. （1）求k 的值，并求出相应的()f x 的解析式；（2）对于（1）中得到的函数()f x ，试判断是否存在q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-. 若存在，求出q ；若不存在，说明理由。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第6节指数函数
3
A.c<b<a
B.b<a<c
C.c<a<b
D.b<c<a
解析 因为函数
2
(0,1);c=(3)
1
3
2 x
y=( ) 在
3
1
3
,则 a,b,c 的大小关系为( C )
R 上单调递减,所以
3 -0.3 2 0.3 2 0
a=( ) =( ) <( ) =1,即
2
3
3
2 0
1
2
<(3) =1,即 c∈(0,1),又3>0.3,则(3)
1
.
解析 令f(x)=|ex-a|,由题意得f(x)的值域为[0,+∞),又y=ex的值域为(0,+∞),所
以-a<0,解得a>0,故a的取值范围为(0,+∞).
考向2比较值的大小
例3(1)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为
3.函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的图象与性质如下:
f(x)=a|x|
定义域
奇偶性
值域
单调性
图象
a>1
0<a<1
R
偶函数
[1,+∞)
(0,1]
在区间[0,+∞)上单调递增; 在区间(-∞,0]上单调递增;
在区间(-∞,0]上单调递减
在区间[0,+∞)上单调递减
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
考点一 指数函数的图象及其应用
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第六节 对数与对数函数
与地震里氏震级M之间的关系是lg E=4.8+1.5M.据中国地震台网测
定,2022年1月8日,11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震,1时45分在
中国青海海北州门源县发生6.9级地震.设智利中部沿岸近海地震所释放的
月 30 日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办,会上传出消息,未
来 6G 速率有望达到 1 Tbps,并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技,有
望打造出空天地融合的立体网络,预计 6G 数据传输速率有望比 5G 快 100 倍,
时延达到亚毫秒级水平.香农公式
C=Wlog2(1+ )是被广泛公认的通信理论
②loga =
logaM-logaN ;③logaMb= blogaM
.
换底公式的实质是将一个对数化为两个同底数的对数的商
(2)换底公式:logab=
lo g
lo g
(a>0,且 a≠1;b>0;c>0,且 c≠1).
微点拨 换底公式的实质是将一个对数转化为两个同底数的对数的商.由
lo g 2 500
lo g 2 12
=
8.96
≈2.5
3.58
倍.所以最大信息传递率 C 会提升到原来的 2.5 倍.
=
=
=
2+3lo g 2 5
2+lo g 2 3
≈
=
2+3×2.32
2+1.58
=
规律方法 对数运算的常用方法与技巧
(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.
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基本初等函数
⑶幂函数y x =≠αα()0都是无界函数；在第一象限中，当α<0时为减函数，当α>0时
为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点。
典例解析:
1．(教材习题改编)化简12－(－1)0
的结果为( )
A ．－9
B ．7
C ．－10
D ．9
解析：选B 原式＝(26)1
2
－1＝7.
2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x
的定义域是( ) A ．(－∞，0]
B ． 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)
a 23
·b －1－12
·a －12·b
136
a ·
b 5
；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23
－3π0
＋3748.
(1)原式＝
a －13
b 12·a －12b
1
3
a 16
b 56
＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a
.
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－2
3
－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.
由题悟法
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
以题试法
1．计算：
(1)(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912
－(2－1)0
；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12
·4ab
－13
0.1
－2
a 3
b －3
12
. 解：(1)原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25912－1
＝103－49＋5
3
－1＝－45. (2)原式＝412·4
3
2100·a 32·a －32·b 32·b －3
2
＝425a 0·b 0＝4
25.
指数函数的图象及应用
典题导入
(2012·四川高考)函数y ＝a x
－1
a
(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )
法一：当0<a <1时，函数y ＝a x －1a
是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x
的图象向
下平移1
a
个单位长度得到的，结合各选项知选D.
法二：因为函数y ＝a x
－1a
(a >0，且a ≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.
D
由题悟法
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
，且a ＋b
＝(1)2lg 49－3
lg 8＋lg 245
＝2×(5lg 2－－3×2lg 2＋2(lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2lg(2×5)＝2. ∴a ＋b ＝∵a ＋b
＝＝10((1)2 (2)10
(1)lg 7
＋－lg 2
3－lg 9＋1；⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 3＋lg 5lg 7×703－lg 2
3－2lg 3＋1
＝lg 10－
－
2
(2)原式＝
⎛⎪⎫lg 4－
＋3－210×2－11
(2)(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x
<log a x ，则a 的取值范围是 ⎛⎪⎫
2C ，D ；取a ＝12 ，x
若本例(2)变为：若不等式(x －1)2
<log x 在x ∈(1,2)
当0<a <1时，显然不成立； 当a >1时，如图，
要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2
的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，
只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2
≤log a 2，
又即log a 2≥1.
所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2]
由题悟法
1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．
2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
以题试法
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x
，x ≤1，log 1
3
x ，x >1，则y ＝f (1－x )的大致图象是( )
解析：选C 由题意可得f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
31－x
，x ≥0，log 1
3
－x ，x <0，因此当x ≥0时，y ＝f (1－
x )为减函数，且y >0；当x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.
对数函数的性质及应用
典题导入
已知函数f (x )＝log 4(ax 2
＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；
(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． (1)因为f (x )的定义域为R ，
1 2，④y＝x－1
，③y＝x
且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝－14.
二次函数的图象与性质
⎪⎧x2＋2x＋3，x∈，6]，
且f(x)＝
二次函数的综合问题
≤0，即－25≤≤25
时，⎪⎧
2≤0，
－25≤≤25－25
≤－25或>25
时，设方程若2
≥1，则⎩⎪⎪⎧
2
≥1，F
＝1－m 2≤0
⎩⎪⎨⎪⎧
2
≤0，F
＝1－m 2≥0。