江西省高安中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ） 6.πA 3.πB65.πC32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）2.A 1.B 2.C 4.D8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，3π-23π6π22-若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=；(1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b q p 2=⋅，求cb的值；(2)若n p ⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．ABCD江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故21s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ）6.πA 3.πB65.πC32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）2.A 1.B 2.C 4.D8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，3π-23π6π22-若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=；(1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b q p 2=⋅，求cb的值；(2)若n p ⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．ABCD江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故21s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n ＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ） 6.πA 3.πB65.πC32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）2.A 1.B 2.C 4.D8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，3π-23π6π22-若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=；(1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b q p 2=⋅，求cb的值；(2)若n p ⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．ABCD江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故21s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ）6.πA 3.πB65.πC32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）2.A 1.B 2.C 4.D8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，3π-23π6π22-若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=；(1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b q p 2=⋅，求cb的值；(2)若n p ⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．ABCD江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故21s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n ＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。
2017-2018学年江西师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年江西师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若集合M={1，3}，N={1，3，5}，则满足M∪X=N的集合X的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0；q：∃x0∈R，x02+x0=﹣1．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．（5分）已知a＞0，b＞0且a≠1，则“log a b＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P （μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．（10+）πC．4+（5+πD．6+（5+π9．（5分）将红、黑、黄、蓝4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放到同一个盒子，则不同放法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．3610．（5分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b12．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数a的值为．14．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m=；15．（5分）设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（﹣x﹣2）+f（x）=0；③当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1）．则f（）+lg14=．16．（5分）已知m＞0，函数f（x）=．若存在实数n，使得关于x的方程f2（x）﹣（2n+1）f（x）+n2+n=0有6个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知一次函数f（x）满足：f（1）=2，f（2x）=2f（x）﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若|g（x）|﹣af（x）+a≥0，求实数a的取值范围．19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）20．（12分）袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．（1）求随机变量X的分布列和均值E（X）；（2）求甲摸到白色球的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求点D到平面PBC的距离；（2）设Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求二面角B ﹣CQ﹣D的余弦值．22．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx．（1）设f（x）在x1处的切线为l1，g（x）在x2处的切线为l2，若l1∥l2，求x1+g （x2）的值；（2）若方程af2（x）﹣f（x）﹣x=0有两个实根，求实数a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）（g（x）﹣b），若h（x）在[ln2，ln3]内单调递减，求实数b的取值范围．2017-2018学年江西师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若集合M={1，3}，N={1，3，5}，则满足M∪X=N的集合X的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据并集的定义，结合题意写出对应集合X，即可得出结论．【解答】解：集合M={1，3}，N={1，3，5}，若M∪X=N，则集合X={5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}，共4个．故选：D．【点评】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0；q：∃x0∈R，x02+x0=﹣1．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】利用指数函数的值域判断p；利用配方法说明x2+x+1＞0恒成立判断q．再由复合命题的真假判断得答案．【解答】解：∵指数函数的值域为（0，+∞），∴对任意x∈R，y=2x＞0恒成立，故p为真命题；x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，不存在x0∈R，使x02+x0=﹣1成立，故q为假命题．则p∧q，￢p为假命题，￢q为真命题，（￢p）∧（￢q），（￢p）∧q为假命题，p∧（￢q）为真命题．故选：D．【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，考查函数值域的求法，比较基础．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据线面垂直的性质定理进行判断．②根据线面平行的判定定理进行判断．③根据线面平行的判定定理进行判断．④根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断．【解答】解：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β成立，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α∥β不一定成立，有可能相交，故②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β；故③错误，④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故④错误，故正确的是①，故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．4．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．【点评】本题考查独立性检验的应用，这种问题一般运算量比较大，通常是为考查运算能力设计的，本题有创新的地方就是给出了观测值，只要进行比较就可以，本题是一个基础题．5．（5分）已知a＞0，b＞0且a≠1，则“log a b＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】已知log a b＞0，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；【解答】解：∵a＞0，b＞0且a≠1，若log a b＞0，∴a，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，若“（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴或，可以推出a，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，∴“log a b＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题以对数的定义与运算为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．【解答】解：因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、D不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x+）是增函数．故选：B．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．7．（5分）设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P （μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6857，故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．（10+）πC．4+（5+πD．6+（5+π【分析】由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知其直观图如下，半个圆柱的表面积为π×1×（2+2）+π×12+2×2×1=5π+4，两个半圆锥的表面积为π×1×=π，故表面积为4+（5+）π．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．9．（5分）将红、黑、黄、蓝4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放到同一个盒子，则不同放法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36【分析】根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算个小球放入3个不同的盒子的放法数目，再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目，两个相减得到结果．【解答】解：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C42A33=36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36﹣6=30种；故选：C．【点评】本题考查排列组合及简单的计数原理的应用，是基础题，注意用间接法，可以避免分类讨论，简化计算．10．（5分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】画出图形，利用直线与直线的位置关系以及射影，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判断定理，判断结论的正误即可．【解答】解：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB=2：3：4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故选：B．【点评】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．12．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数a的值为2．【分析】解绝对值不等式|x﹣a|＜1，可求得其解为a﹣1＜x＜a+1，依题意知，a ﹣1=1且a+1=3，从而可得实数a的值．【解答】解：∵|x﹣a|＜1，∴﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1，∴不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|a﹣1＜x＜a+1}，∵不等式|x﹣a|＜1的解集为{x|1＜x＜3}，∴a﹣1=1且a+1=3，解得：a=2．故答案为：2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用，属于中档题．14．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为=1.3x﹣1，则m= 3.1；【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意，=2.5，代入线性回归方程为=1.3x﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故答案为3.1．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（﹣x﹣2）+f（x）=0；③当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1）．则f（）+lg14=1．【分析】由①②知函数f（x）是周期为2的奇函数，结合当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1）和对数的运算性质，可得答案．【解答】解：由①②知函数f（x）是周期为2的奇函数，于是f（）=f（）=f（﹣）=﹣f（），又当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1），所以f（）=﹣f（）=﹣lg=lg，故f（）+lg14=lg+lg14=lg10=1．故答案为：1【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，对数的运算性质，难度中档．16．（5分）已知m＞0，函数f（x）=．若存在实数n，使得关于x的方程f2（x）﹣（2n+1）f（x）+n2+n=0有6个不同的根，则m的取值范围是（，+∞）．【分析】画出分段函数的图象，通过方程f2（x）﹣（2n+1）f（x）+n2+n=0有6个不同的根，求出f（x）的值，结合函数的图象列出不等式求解即可．【解答】解：作出f（x）的图象如图所示．当x＞m时，x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2，f2（x）﹣（2n+1）f（x）+n2+n=0即[f（x）﹣n][f（x）﹣（n+1）]=0即f（x）=n或f（x）=n+1，∴要使方程f2（x）﹣（2n+1）f（x）+n2+n=0有6个不同的根，则4m﹣m2+1＜m，即m2﹣3m﹣1＞0．又m＞0，解得m＞．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，难度比较大．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．18．（12分）已知一次函数f（x）满足：f（1）=2，f（2x）=2f（x）﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若|g（x）|﹣af（x）+a≥0，求实数a的取值范围．【分析】（1）设f（x）=kx+b，由条件可得k，b的方程，解方程可得f（x）的解析式；（2）求得g（x）的解析式，以及|g（x）|的解析式，由|g（x）|≥ax可分两种情况讨论，运用参数分离和分类讨论，运用导数判断单调性，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b，则k+b=2，2kx+b=2kx+2b﹣1，解得k=b=1，故f（x）=x+1；（2）由（1）得：g（x）=，|g（x）|﹣af（x）+a≥0可化为|g（x）|≥ax，∵|g（x）|=，∴由|g（x）|≥ax可分两种情况：①恒成立，若x=0，不等式显然成立；若x＜0时，不等式等价于x﹣2≤a．∵x﹣2＜﹣2，∴a≥﹣2；②恒成立，方法一[分离参数]：可化为a≤在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=x﹣（x+1）ln（x+1），则由t′（x）=﹣ln（x+1）＜0知t（x）在（0，+∞）上单调递减，故t（x）＜t（0）=0，于是h′（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上单调递减，又当x＞0时，恒有h（x）=＞0，于是a≤0．方法二[分类讨论]：ln（x+1）≥ax等价为ln（x+1）﹣ax≥0，令φ（x）=ln（x+1）﹣ax，则φ′（x）=﹣a=，当a≤0时，φ（x）在（0，+∞）上单调递增，故有φ（x）＞φ（0）=0成立；当0＜a＜1时，φ（x）在（0，﹣1）上单调递增，在（﹣1+∞）是递减．取x=﹣1，易知φ（﹣1）=﹣2lna+a﹣＜0，故不合题意；当a≥1时，φ（x）在（0，+∞）上单调递减，显然不合题意．所以a≤0．综合①②得﹣2≤a≤0．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论和参数分离，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．20．（12分）袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．（1）求随机变量X的分布列和均值E（X）；（2）求甲摸到白色球的概率．【分析】设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知=，解得x=3，（1）袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．求出概率，得到随机变量X的分布列然后求解期望．（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2=“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3=“甲第3次摸球时摸出白色球”．求出概率，利用互斥事件概率的和求解即可．【解答】解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知=，所以=，即x2﹣x﹣6=0，解得x=3（x=﹣2舍去）．（1）袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==．随机变量X的分布列为所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2=“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3=“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，所以甲摸到白色球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，互斥事件的概率的求法，考查计算能力．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求点D到平面PBC的距离；（2）设Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求二面角B ﹣CQ﹣D的余弦值．=S△BCD×PA=．设点D到平面PBC的距离为h．由【分析】（1）推导出V P﹣BCDPA⊥平面ABCD得PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进崦BC⊥PB．由V D﹣BCP=S△BCP =V D﹣BCP，能求出点D到平面PBC的距离．×h=h，V P﹣BCD（2）以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣CQ﹣D的余弦值．=BC×AB=，由于PA⊥平面ABCD，从而PA即为三棱【解答】解：（1）S△BCD锥P﹣BCD的高，=S△BCD×PA=．故V P﹣BCD设点D到平面PBC的距离为h．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC，又由于BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB．由于BP==，=BC×PB=．故V D﹣BCP=S△BCP×h=h所以S△PBC因为V P=V D﹣BCP，所以点D到平面PBC的距离h=．﹣BCD（2）以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．设=λ，（0≤λ≤1）因为=（﹣1，0，2），所以=（﹣λ，0，2λ），由=（0，﹣1，0），得=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==．设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤．当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．∵y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP==，所以BQ=BP=．=（0，﹣1，0），=（1，1，﹣2）设平面PCB的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，得：y=0，令z=1，则x=2．∴=（2，0，1）是平面PCB的一个法向量．又=+=（﹣λ，﹣1，2λ）=（﹣，﹣1，），=（﹣1，1，0）设平面DCQ的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，取x=4，则y=4，z=7，∴=（4，4，7）是平面DCQ的一个法向量．从而cos＜，＞==，又由于二面角B﹣CQ﹣D为钝角，∴二面角B﹣CQ﹣D的余弦值为﹣．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx．（1）设f（x）在x1处的切线为l1，g（x）在x2处的切线为l2，若l1∥l2，求x1+g （x2）的值；（2）若方程af2（x）﹣f（x）﹣x=0有两个实根，求实数a的取值范围；（3）设h（x）=f（x）（g（x）﹣b），若h（x）在[ln2，ln3]内单调递减，求实数b的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，根据直线的斜率相等，求值即可；（2）得到a=，令φ（x）=，根据函数的单调性求出φ（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（3）求出h（x）的导数，问题转化为b≥lnx+在[ln2，ln3]内恒成立，令t（x）=lnx+，根据函数的单调性求出b的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=e x，g′（x）=由题意知：=，故x1+g（x2）=x1﹣ln=0．（2）方程af2（x）﹣f（x）﹣x=0ae2x﹣e x﹣x=0a=，令φ（x）=，则φ′（x）=﹣，当x＜0时，e x＜1，e x﹣1＜0，所以e x+2x﹣1＜0，所以φ′（x）＞0，故φ（x）单调增；当x＞0时，e x＞1，e x﹣1＞0，所以e x+2x﹣1＞0，所以φ′（x）＜0，故φ（x）单调减．从而φ（x）max=φ（0）=1又，当x＞0时，φ（x）=＞0，原方程有两个实根等价于直线y=a与φ（x）的图象有两个交点，故0＜a＜1．（3）由题意h（x）=f（x）（g（x）﹣b）=e x（lnx﹣b），得h′（x）=e x（lnx+﹣b）因为h（x）在[ln2，ln3]内单调递减，所以h′（x）=e x（lnx+﹣b）≤0在[ln2，ln3]内恒成立，由于e x＞0，故只需lnx+﹣b≤0在[ln2，ln3]内恒成立，即b≥lnx+在[ln2，ln3]内恒成立，令t（x）=lnx+，t′（x）=﹣=，当ln2≤x＜1时，t′（x）＜0，故t（x）单调减；当1≤x≤ln3时，t′（x）＞0，故t（x）单调增．下面只要比较t（ln2）与t（ln3）的大小．思路：[详细过程略]t（x）=lnx+先证明：x1+x2＞2又，ln2+ln3=ln6＜2故当x1=ln2时，ln3＜x2即t（ln3）＜t（ln2）所以t（x）max=t（ln2）=ln2+所以b≥ln2+．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道综合题．。
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ）6.πA 3.πB65.πC32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）2.A 1.B 2.C 4.D8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，3π-23π6π22-若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=；(1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b q p 2=⋅，求cb的值；(2)若n p ⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．ABCD江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故21s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n ＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。
2017-2018学年江西省宜春市高安中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i是虚数单位，则复数的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．1D．i2．（5分）设集合M＝{﹣2，2}，N＝{x|＜2}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．N∩M＝{2}D．N∪M＝R 3．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2＜e x，那么命题￢p为（）A．∃x∈R，x2≥e x B．∀x∈R，x2＜e x C．∀x∈R，x2≥e x D．∀x∈R，x2＞e x 4．（5分）设向量，则与垂直的向量可以是（）A．（4，﹣6）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（3，2）5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a10＝15，且S2＝S7，则a8）A．6B．7C．8D．96．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．A．12B．24C．48D．967．（5分）定义在R上的函数为偶函数，记a＝f（log0.52），b＝f（log21.5），c＝f（m），则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．（5分）已知a，b∈R，则a＞|b|是a|a|＞b|b|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y﹣1＝0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝的图象上存在关于直线y＝x对称的点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）11．（5分）对33000分解质因数得33000＝23×3×53×11，则33000的正偶数因数的个数是（）A．48B．72C．64D．9612．（5分）若曲线C1：y＝ax2与曲线C2：y＝e x（其中无理数e＝2.718…）存在公切线，则整数a的最值情况为（）A．最大值为2，没有最小值B．最小值为2，没有最大值C．既没有最大值也没有最小值D．最小值为1，最大值为2二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值是．15．（5分）设函数，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范是．16．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F，点P，Q在抛物线上，且，过弦PQ的中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a4＝a2a3，前三项和S3＝13．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n+n，的前n项和为T n，求T n．18．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a sin（C）＝b+c．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．19．（12分）某名校从2008年到2017年考入清华、北大的人数可以通过以下表格反映出来．（为了方便计算，将2008年编号为1，2009年编号为2，以此类推……）（1）根据最近5年的数据，利用最小二乘法求出y与x之间的线性回归方程，并用以预测2018年该校考入清华、北大的人数；（结果要求四舍五入至个位）（2）从这10年的数据中随机抽取2年，记其中考入清华、北大的人数不少于20的有x年，求x的分布数列和数学期望．参考公式：．20．（12分）已知椭圆的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x+3y+12＝0的距离为3，椭圆C的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆，设过点M（0，1）斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）知函数f（x）＝，g（x）＝x1nx﹣ax+b，f（x）与g（x）在交点（1，0）处的切线相互垂直．（1）求g（x）的解析式；（2）已知k＞0，若函数F（x）＝kf（x）+g（x）有两个零点，求k的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣1|（1）若f（x）≤2的解集为[﹣3，1]，求实数a的值；（2）若a＝1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：复数＝＝﹣1+i，故复数的虚部为1，故选：C．2．【解答】解：∵＜2，，∴﹣2∈N，2∈N，∴M⊆N．故选：B．3．【解答】解命题p：∃x∈R，x2＜e x，那么命题￢p为∀x∈R，x2≥e x，故选：C．4．【解答】解：∵向量，∴＝（2，﹣3），在A中，（2，﹣3）•（4，﹣6）＝26，故A错误；在B中，（2，﹣3）•（3，﹣2）＝12，故B错误；在C中，（2，﹣3）•（4，6）＝﹣10，故C错误；在D中，（2，﹣3）•（3，2）＝0，故D正确．故选：D．5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a10＝15，且S2＝S7，∴a1+9d＝15，2a1+d＝7a1+d，解得a1＝﹣12，d＝3．则a8＝﹣12+3×7＝9．故选：D．6．【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．7．【解答】解：∵定义在R上的函数为偶函数，∴f（x）＝f（﹣x），即，解得：m＝0，∴，当x≥0时，为减函数，∵a＝f（log0.52）＝f（﹣1）＝f（1），b＝f（log21.5），c＝f（0），1＞log21.5＞0，故a＜b＜c，故选：C．8．【解答】解：若a＞|b|，则a＞|b|≥0，a＞b则a|a|＝a2，则a|a|＞b|b|成立，当a＝1，b＝﹣2时，满足a|a|＞b|b|，但a＞|b|不成立，即a＞|b|是a|a|＞b|b|的充分不必要条件，故选：A．9．【解答】解：双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y﹣1＝0平行，可得＝，即a2＝2b2＝2c2﹣2a2，可得，所以离心率e＝．故选：A．10．【解答】解：由y＝lnx的反函数为y＝e x，函数y＝x+a与y＝lnx的图象上存在关于直线y＝x对称的点，则函数y＝x+a与函数y＝e x的图象有交点，即x+a＝e x有解，即a＝e x﹣x，令h（x）＝e x﹣x，x≤0．则h′（x）＝e x﹣1当x≥0时，h′（x）＞0，∴h（x）是递增函数，当x＝0时，可得h（x）求得的最小值为1．∴实数a取值范围是[1，+∞）．故选：D．11．【解答】解：根据题意，33000＝23×3×53×11，则33000的正偶数因数可以写成2a×3b×5c×11d的形式，其中b、c、d都是自然数，a是正整数；则分4步分析：①，对于a，即因数中含有2的情况有3种，即a＝1，a＝2，a＝3；②，对于b，因数中含有3的情况有2种，即b＝0，b＝1；③，对于c，因数中含有5的情况有4种，即b＝0，b＝1，b＝2，b＝3；④，对于d，因数中含有11的情况有2种，即d＝0，d＝1；则33000的正偶数因数的个数有3×2×4×2＝48个；故选：A．12．【解答】解：由y＝ax2，得y′＝2ax，由y＝e x，得y′＝e x，曲线C1：y＝ax2与曲线C2：y＝e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，e x2），则2ax1＝e x2＝，可得2x2＝x1+2，∴a＝，记f（x）＝，则f′（x）＝，当x∈（﹣∞，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x＝2时，f（x）min＝．∴a的范围是[，+∞），可得整数a的最小值为2，无最大值．故选：B．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：设黑色部分的面积为S，∵如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，∴＝，解得S＝9．据此可估计黑色部分的面积为9．故答案为：9．14．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；化目标函数为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点B时，直线在y轴上的截距最小，由，解得B（3，1）；∴z的最小值为3+2×1＝5．故答案为：5．15．【解答】解：函数，的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．16．【解答】解：如图：过P、Q分别作准线的垂线P A、QB，垂足分别是A、B，设|PF|＝2a，|QF|＝2b，由抛物线定义，得|PF|＝|P A|，|QF|＝|QB|，在梯形ABQP中，2|MM1|＝|P A|+|QF|＝2a+2b，∵|MM1|＝a+b，由余弦定理得，PO2＝4a2+4b2﹣8ab cos＝4a2+4b2+4ab＝4（a+b）2+（4﹣8）ab＝（2+）（a+b）2，则的最小值为＝故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．【解答】解：（1）∵a4＝a2a3，∴a4＝a1a4，∵a4≠0，∴a1＝1，∵，且q＞0，解得q＝3，∴．（2）∵，∴，∴T n＝+……+＝×＝．18．【解答】解：（1）△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a sin（C）＝b+c．所以2a（sin C）＝b+c，整理得，即，化简得，由于0＜A＜π，解得A＝．（2）由（1）得：A＝，且a＝2，所以：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得4＝b2+c2﹣bc，由于△ABC的面积为，所以：，解得bc＝4，所以，解得b＝c＝2．19．【解答】解：（1），，，∴，故当x＝11时，y≈15，所以，2018年该校考入清华北大的人数约为15人．………………（6分）（2）随机变量x的取值分别为0，1，2，，，∴．………………（12分）20．【解答】解：（1）由已知椭圆C的方程为+＝1，（a＞b＞0），设椭圆的焦点F1（0，c），由F1到直线4x+3y+12＝0的距离为3，得＝3，又椭圆C的离心率e＝，∴，又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝3．∴椭圆C方程为．………………（5分）（2）存在．理由如下：由（1）得椭圆E：＝1，设直线AB的方程为y＝kx+1，（k≠0），联立，消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx﹣12＝0．△＝（8k）2+4（4k2+1）×12＝256k2+48＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，．假设存在点P（0，t）满足条件，∵＝λ（），∴PM平分∠APB．由题意直线P A与直线PB的倾斜角互补，∴k P A+k PB＝0．即+＝0，即x2（y1﹣t）+x1（y2﹣t）＝0．（*）将y1＝kx1+1，y2＝kx2+1代入（*）并整理得2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，∴﹣2•+＝0，整理得3k+k（1﹣t）＝0，即k（4﹣t）＝0，∴当t＝4时，无论k取何值均成立．∴存在点P（0，4），使得．……………（12分）21．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝，则，则f'（1）＝1，又g'（x）＝1+1nx﹣a，g'（1）＝1﹣a，f（x）与g（x）在交点（1，0）处的切线相互垂直，则1﹣a＝﹣1，解可得a＝2．又（1，0）在g（x）上，b＝2，故g（x）＝x1nx﹣2x+2；（2）由题知+1+1nx﹣2＝＝＝，令F′（x）＝0可得x＝，①，即0＜k＜1时，令F'（x）＜0，得；令F'（x）＞0，得或x＞e，∴F（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间（e，+∞）上单调递增，故存在x0使+2＜k1nx0+2＜0．又，F（1）＝0，，∴F（x）在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，在区间（e，+∞）上有一个零点，共3个零点，不符合题意，舍去．②k＝1时，令F'（x）＜0，得1＜x＜e，令F'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞e，∴F（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，e）上单调递减，在区间（e，+∞）上单调递增，又∵F（1）＝0，F（e）＜0，，∴F（x）有两个零点，符合题意．③，即1＜k＜e2时，令F'（x）＜0，得，令F'（x）＞0，得或x＞e，∴F（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间（e，+∞）上单调递增，∵F（1）＝0，∴F（x）在区间上存在一个零点，若要F（x）有两个零点，必有F（e）＝0，解得k＝e2﹣2e∈（1，e2）．④，即k≥e2时，令F'（x）＜0，得，令F'（x）＞0，得0＜x＜e或，∴F（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵F（1）＝0，∴F（x）在区间（0，e）上存在一个零点，又＝+2＞0，∴在区间∴上不存在零点，即F（x）只有一个零点，不符合题意．综上所述，k＝1或k＝e2﹣2e．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴x+y＝1．即直线l的普通方程为x+y﹣1＝0．∵ρ＝2cos（θ+）＝2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2＝2x﹣2y，即x2+y2﹣2x+2y＝0．（2）将代入x2+y2﹣2x+2y＝0得t2﹣t﹣1＝0，∴t1+t2＝，t1t2＝﹣1．∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）显然a≠0，当a＞0时，解集为：[，]，﹣，，无解；当a＜0时，解集为：[，﹣]，令﹣＝1，，解得a＝﹣1，综上a＝﹣1．（2）a＝1时，令h（x）＝f（2x+1）﹣f（x﹣1）＝|2x|﹣|x﹣2|＝，由此可知，h（x）在（﹣∞，0]，上是单调递减，在[0，+∞）上单调递增，则x＝0时，h（x）取得最小值﹣2，由题意可知﹣2≤3﹣2m，则实数m的取值范围是（﹣∞，]．。
2017-2018学年高二(下)期末数学试卷(文科)-解析版
2017-2018学年高二（下)期末数学试卷(文理科）注意：没有学的就不做一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．1、已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则集()U C A B = ( )A 、{1,2}B 、{2,5}C 、{1,2,5}D 、{2,3,4,5}2．（5分)（2014•湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x"的否定是( ）A ．∀x ∉R,x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2=xC ．∃x ∉R,x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2=x3．（5分)（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为（ ）A ．50B ．40C ．25D ．204．（5分）（2016春•遵义期末）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的T 的值为( ）A ．29B ．30C ．31D ．325．（5分）（2012•湖北)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表分组 ［10，20） ［20，30） [30，40） [40，50) [50，60)［60，70） 频数 2 3 4 5 42 则样本数据落在区间[10，40］的频率为（ ）A ．0.35B ．0。
45C ．0.55D ．0.656．（5分)(2013•湖南）“1＜x ＜2"是“x ＜2”成立的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2016春•遵义期末)已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为3x +4y=0，则双曲线离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分)(2012•湖南）设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据（x i ,y i ）（i=1，2，…，n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0。
【数学】江西省高安中学2017-2018学年高二下学期期中考试(理)
江西省高安中学2017-2018学年高二下学期期中考试（理）一、单选题（单项选择题，每小题5分，共60分）1．若复数z 满足()201811i z i +=-，则复数z 的模为（ ） A.12B. 1C.2D.32．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如表：X -2 -1 1 2 3 y2436404856且回归方程为 5.7ˆˆyx a =+，则当4x =时， y 的预测值为（ ） A. 58.82 B. 60.18 C. 61.28D. 62.083．．下列说法错误的是（ ）A. 对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小B. 在回归直线方程ˆy=0.2x+0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D. 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( ) A.49B.29C.12D.135．)2()21(5x x +-展开式中3x 的项的系数是（ ）A ．100B ．-100C ．120D ．-1206．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是（ ）A. B. C. D.7.甲、乙等5人排一排照相，要求甲乙相邻但不排在两端，那么不同的排法有（）种A．36 B．24 C．18 D．248．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）种A．240 B．180 C．150 D．5409．参数方程21{11xty tt==-（t为参数）所表示的曲线是（）10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过,,C M D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A.16B.13C.12D.2311．已知函数()222xf x xe ax ax=--在[)1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. (],e-∞ B. (],1-∞ C. [),e+∞ D. [)1,+∞12．已知可导函数()f x的导函数为()f x'，()02018f=，若对任意的x R∈，都有()()f x f x>'，则不等式()2018xf x e<的解集为（）A. ()0,+∞ B.21,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.21,e⎛⎫-∞⎪⎝⎭D. (),0-∞二、填空题（每小题5分，共20分）13.定义运算bc ad d b c a -＝ ，若复数i ix +-=11,ix xi i y += 24则=y 14．已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a =_____．15．设,P Q 分别为直线,{62x t y t ==-（为参数）和曲线C ： 15,{ 25x cos y sin θθ=+=-+（θ为参数）的点，则PQ 的最小值为_________．16．若定义在()0,+∞上的函数()f x 对任意两个不等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为 “z 函数”.给出下列四个定义在()0,+∞的函数：①21y x =-+；②sinx y x =+；③()21xy e x =-；④()2212ln x y x x x-=-+，其中“z 函数”对应的序号为__________． 三、解答题（共6小题）17．（10分）已知()f x 为一次函数，且2()()1f x x f t dt =+⎰，（1）求()f x 函数的解析式；（2）()(),x x f x =⋅若g 求曲线()y g x =与x 轴围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积18．（12分）为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和“导学案”两种教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验。
江西省高安中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理
江西省高安中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}60≤≤=x x P ，集合()(){}032≤-+=x x x Q ，则集合=PQ ( )A.[]2,0B.[]3,0C.[]6,2-D.[]6,3- 2.在复平面内，复数iiz -+=13对应的点的坐标为( ) A.()1,1- B.()1,2- C.()2,1 D.()2,2 3.设R x ∈，则“21≤+x ”是“03>-x ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件4.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,20,132x x x x f x ，若()2=a f ，则实数a 的值为（ ）A.2-B.2C.2-或1D.1或2 5.已知命题p ：若,b a >则33b a >，命题q ：若0=⋅b a ，则022=+b a . 下列命题中为真命题的是（ ）A.p 或qB.p 且qC.p ⌝或qD.p ⌝且q ⌝6.已知随机变量X ～()25,12N ，随机变量52+=X Y ，则DY 的值为（ ） A.20 B.48 C.100 D.1057.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为bx a y +=．已知250101=∑=i ix，1740101=∑=i i y ，4=b .该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ） A ．160B ．166C ．170D ．1728.()()5211x x --展开式中4x 的系数为（ ）A.160-B.80-C.0D.160 9.某单位安排甲、乙、丙、丁、戊5名工作人员从周日到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天，且安排值班两天的人员提出安排在不连续的两天， 则不同的安排方法种数为（ ）A.600B.1200C.1800D.2400 10.已知()()R b y a a a x b ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=>-+=-1221,114，dt t z ⎰--=1124则z y x ,,的大小关系为（ ）A.z y x >>B.y z x >>C.y x z >>D.x y z >>11. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-==1sin 3cos 3θθy x (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==12123t y t x (t 为参数).若()1,0P ,直线l 与曲线C 交于B A 、两点，则PB PA ⋅的值为（ ）A.2B.32C.62D.512. 下列命题中真命题的个数为（ ）①已知集合{},01=-=ax x A 集合{}1,1-=B ，若B A ⊆,则实数1±=a ；②命题“若b a >，则b a 22l og l og >”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有3个； ③函数()xxx f 224+-=的递减区间为[)+∞,1；④用数学归纳法证明“nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-”时， 由k n =的假设证明1+=k n 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为2211212111+++++++k k k k . A.1 B.2 C.3D.4二．填空题(每小题5分,共20分)13. 命题“任意N x ∈，()112≥-x ”的否定为 .14. 曲线()xx x f 1ln -=在点()()1,1f P 处的切线的方程为 . 15. 甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看郁金香花展，她们选择骑共享电动车出行，每辆电动车只能带一个孩子，但是孩子们都表示不坐自己妈妈的车， 则她们坐车不同的搭配方式有 .16. 如图所示的数阵中，用()k n A ,表示第n 行的第k 个数，则依次规律()3,7A 为 .31 61 61101 121 101151 221 221 151211 371 441 371 211...三．解答题(本题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l 的极坐标方程为()06sin cos =++θθρ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x (θ为参数). （1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）已知点M 在曲线C 上，求出点M 到直线l 的距离的最值.18. （本小题满分12分）已知函数()121+-+=x x x f .（1）求不等式()2->x f 的解集；（2）若函数()x f 的最大值为m ，且正实数b a ,满足m b a =+，求证：1≤+b a .19. （本小题满分12分）阿尔法狗(AlphaGo )是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序，由谷歌(Google )公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017年5月，在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以3比0的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，宜春市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了20名学生，并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表：（1）在某学生的比赛成绩等级为“A 或B ”的条件下，求该生的比赛成绩等级为“A ”的概率；（2）以频率估计概率，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选4人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的数学期望EX 与方差DX .20. （本小题满分12分）已知函数()()x a x x a x f 121ln 2+-+=.(其中,R a ∈且0≠a ） （1）当1>a 时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.21. （本小题满分12分）2019央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下C ︒20春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作原理：从石墨中分离出石墨烯， 制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料上再结晶做了20次试验，成功19次；对附着在B 材料上再结晶做了30次试验，成功16次.用22⨯列联表判断：是否有99%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层， 前三个环节生产合格的概率为32，最后一个环节生产合格的概率为43， 求制作石墨烯发热膜的四个环节中至少有三个环节生产合格的概率； （3）只要把石墨烯发热膜铺到衣服内就能制作完成一件石墨烯发热服.现有制作完的石墨烯发热服6件，其中生产合格的有4件，现在从中任意抽取3件，用X 表示取出的合格品的件数，求随机变量X 的分布列.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22χ，其中d c b a n +++=.22. （本小题满分12分） 已知函数()xx a ex f x 11-+=-图像经过()1,1.若命题:p 实数m 满足()()2102m f m f -<-；命题q ：函数()mx x m x x g 223123--=在R 上递增， 是否存在实数m 满足命题“p 或q ”为真命题？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.高安中学高二年级2018-2019学年度下学期期末考试高二年级理科数学试题参考答案一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.存在N x ∈，()112<-x 14.032=--y x15. 44 16.1391三．解答题(本题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 解：（1）由l ：()06sin cos =++θθρ，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的直角坐标方程为06=++y x . ……2分由θθsin ,cos 3==y x ，消去θ得1322=+y x . ……5分 （2）设()θθsin ,cos 3M，则点M 到直线l 的距离为d ，则263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πθθθd ……7分 [][]24,22,1,13sin ∈∴-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+d πθ . ……9分∴点M 到直线l 的距离的最大值为24，最小值为22. ……10分18. 解：(1)()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥--<<-+-≤=21,211,231,x x x x x x x f ……2分()2->∴x f ⎩⎨⎧->-≤⇔21x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-<<-34211x x 或22221<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-≥x x x∴原不等式的解集为()2,2- (5)分（2）由（1）得()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上递减 ()21max =∴x f ，即21=m 21=+∴b a ……7分要证1≤+b a ，只需证12≤++ab b a ，即证212≤ab ，即证41≤ab ， 而ab b a 221≥=+，所以41≤ab 成立，所以原不等式成立. ……12分19.解：(1)记“某学生的比赛成绩等级为“A 或B ””为事件M ,记“该学生的比赛成绩等级为“A ””为事件N,由题意知()()()()()53106,103206,212064===∴===+=M P MN P M N P MN P M P 即在某学生的比赛成绩等级为“A 或B ”的条件下， 该生的比赛成绩等级为“A ”的概率53. ……5分（2）由(1)知每个学生的比赛成绩等级为“A 或B ”的频率为21， 又因为随机变量X 可取0，1，2，3，4则⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4~B X ，()()4,3,2,1,02112144=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k (8)分所以X 的分布列为：……10分则121214,2214=⋅⋅==⋅=DX EX ， 所以随机变量X 的期望值为2,方差为 1. ……12分20. 解：（1）因为()()()()()xa x x x a x a x a x x a x f -⋅-=++-=+-+='1112, ……2分所以当1>a 时,()f x ，()x f '随x 变化的变化情况为……4分可知()f x 的极大值为()211--=a f ，极小值为()a a a a a f -+-=ln 212. ……6分（2）由（1）知当1>a 时，()f x 在()()+∞,,1,0a 上递增，在()a ,1上递减; ……7分当1=a 时，()f x 在()+∞,0上递增; ……8分当10<<a 时，()f x 在()()+∞,1,,0a 上递增，在()1,a 上递减; ……10分当0<a 时，()f x 在()1,0上递 减在()+∞,1上递增. ……12分 21. 解：（1）由题意可列联表如下……2分()635.6921.91535302016114195022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ ∴有99%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关. ……4分（2）记“制作石墨烯发热膜的四个环节中至少有三个环节生产合格”为事件D ,则()271743324132433132333333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=C C C D P ……7分（3）由题意知X 可取1，2，3， ……8分()()()513,532,5113634361224362214=========C C X P C C C X P C C C X P……11分∴ 随机变量X 的分布列为……12分22. 解：因为(),111a a f =-+=且(),11=f 得1=a . ……1分所以()()011>-+=-x x x e x f x 又 ()012121>++='-xx ex f x 恒成立,∴函数在()f x 在()+∞,0上递增, ……3分 ∴若命题p 为真，则()()3210201002102222<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<->->-⇔-<-m m m m m m f m f ……6分若命题q 为真，则()022≥--='m mx x x g 在R 上恒成立， 即()082≤+-=∆m m ，解得08≤≤-m ……10分要使“p 或q ”为真命题，则命题p 为真或命题q 为真，即32<<m 或08≤≤-m 所以存在实数[]()3,20,8⋃-∈m 满足条件. ……12分。
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ）6.πA 3.πB65.πC32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.C 81.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）2.A 1.B 2.C 4.D8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，3π-23π6π22-若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=；(1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .(1)若b q p 2=⋅，求cb的值；(2)若n p ⊥，边长2=c ，3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为nS 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．ABCD江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-.（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，20.证明 ∵bA bB a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴B C sin 2sin =∴,故21s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即有4＝(a ＋b )2－3ab .∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是首项为1，公差为12的等差数列，因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）2＝n ＋1，所以a n ＝n.因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,)(6221-21-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0)1)((11=--+--n n n n b b b b ，}{n b 是各项均为正数的数列所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2），所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2）＝2n ＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）＋2n ，则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1n ＋3）＝4（n ＋1）（n ＋3）>0，所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝43.又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝53.。
江西省高二下学期数学期末考试试卷(理科)
江西省高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数f（x）=2x2﹣4的图象上一点（1，﹣2）及邻近一点（1+△x，﹣2+△y），则等于（）A . 4B . 4△xC . 4+2△xD . 4+2（△x）22. （2分）已知复数 z=(1-i)(1+2i)，其中 i 为虚数单位，则的实部为（）A . -3B . 1C . -1D . 33. （2分）从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种在3块不同的土质的土地上进行试验，共有种植方法数为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高三下·西安开学考) 6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（）A . 12B . 9C . 6D . 55. （2分）已知随机变量X的分布列如表，则X取负数的概率为（）X﹣2﹣101P0.10.40.30.2A . 0.1B . 0.4C . 0.5D . 0.046. （2分） (2017高二下·中山期末) 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．A . 1 193B . 1 359C . 2 718D . 3 4137. （2分） (2016高三上·洛阳期中) 由y=x，y= ，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A . ln2+1B . 2﹣ln2C . ln2﹣D . ln2+8. （2分） (2017高二下·长春期末) 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地不同的路有（）A . 11条B . 14条C . 16条D . 48条9. （2分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚，另一只是右脚，且不成对的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·大名期中) 函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）B . （0，1）∪（1，+∞）C . （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D . （﹣1，0）∪（1，+∞）11. （2分）观察下列各式：，，，，，…，则（）A . 199B . 123C . 76D . 2812. （2分） (2016高二下·昆明期末) f'（x）是函数f（x）的导函数，f''（x）是函数f'（x）的导函数．对于三次函数y=f（x），若方程f''（x0）=0，则点（）即为函数y=f（x）图象的对称中心．设函数f（x）= ，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A . 1008B . 2014C . 2015D . 2016二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=________14. （1分） (2016高三上·宜春期中) 已知a= cosxdx，则x（x﹣）7的展开式中的常数项是________．（用数字作答）15. （1分） (2018高二下·抚顺期末) 甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为。
【高二数学试题精选】江西宜春高安2018年高二数学下学期期末联考试卷(理科带解析)
江西宜春高安2018年高二数学下学期期末联考试卷（理科
带解析）
5 c 2018学年江西省宜春市樟树中学、高安二中联考高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分）
1．复数z满足（1+i）2 z=﹣1+i，其中i是虚数单位．则在复平面内，复数z对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限c．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】设出复数z，利用复数相等，求解复数z，然后判断复数对应点所在象限即可．
【解答】解复数z=x+i，满足（1+i）2 z=﹣1+i，
可得2i（x+i）=﹣1+i，
解得x= ，= ，
z=（，），
复数对应点在第一象限．
故选A．
2．已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（ RP）∩Q=（）
A．[0，1）B．（0，2]c．（1，2）D．[1，2]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交。
2016-2017学年江西省宜春市高安中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|＜2x≤2}，B＝{x|y＝ln（x﹣）}，则A∩B＝（）A．B．（﹣1，1]C．D．∅2．（5分）“a＝1”是“复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i，（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5分）如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）＝0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.44．（5分）设x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推广到x+≥n+1，则a＝（）A．2n B．2n C．n2D．n n5．（5分）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，若＝（1，1，1），＝（﹣1，0，1），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．直线l在平面α内或直线l与平面α平行6．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y＝﹣x3+x+1；②y＝3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y＝e x+1；④f（x）＝．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程必过；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（）A．0B．1C．2D．38．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（x+4），f（1）＝1，则f（﹣1）+f（8）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．19．（5分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国元首的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（）A．96种B．100种C．124种D．150种10．（5分）已知抛物线x2＝2py和﹣y2＝1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|＝|PF|，则抛物线的方程是（）A．x2＝4y B．x2＝2y C．x2＝6y D．x2＝2y 11．（5分）若a和b是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，那么函数f（x）＝lg（ax2+4x+4b）的值域为R（实数集）的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（x+2）＝f（x），f（2﹣x）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+1，则方程的解的个数为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设命题P：存在n∈N，使n2＞2n，则￢P为．14．（5分）已知，则的展开式中常数项为．15．（5分）用数学归纳法证明时，由n＝k不等式成立，证明n ＝k+1时，左边应增加的项数是．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）＝（1﹣2x）e﹣x，且f（0）＝0．则下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）①R有极大值，没有极小值；②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是﹣＜k＜0；③对任意x1，x2，∈（2，+∞）都有f（）≤恒成立．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程17．（12分）设p：实数x满足：x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），q：实数x满足：x＝（）m﹣1，m∈（1，2）．（Ⅰ）若a＝，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．如图为某市交管部门在一次夜间行动中依法查出的60名饮酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图（其中120≤Q＜140人数包含Q≥140）．（I）求查获的醉酒驾车的人数；（II）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C⊥AC1．（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC 所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点，离心率是．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上任意一点P作圆O：x2+y2＝3的切线l1，l2，设直线OP，l1，l2的斜率分别是k0，k1，k2，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，是否是定值，请说明理由，并加以证明．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．22．（10分）曲线C：ρ2﹣2ρcosθ﹣8＝0曲线E：（t是参数）（1）求曲线C的普通方程，并指出它是什么曲线．（2）当k变化时指出曲线K是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E截曲线C所得弦长的最小值．六、标题23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|2x+6|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）∃x∈R，f（x）≥|3m﹣2|，求m的取值范围．2016-2017学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由A中不等式变形得：2﹣1＜2x≤21，解得：﹣1＜x≤1，即A＝（﹣1，1]，由B中y＝ln（x﹣），得到x﹣＞0，解得：x＞，即B＝（，+∞），则A∩B＝（，1]，故选：A．2．【解答】解：当a＝1时，复数z＝a2﹣1+（a+1）i＝2i为纯虚数，满足充分性；当z＝a2﹣1+（a+1）i是纯虚数时，有a2﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，满足必要性．综上，“a＝1”是“复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i，（其中i是虚数单位）为纯虚数”的充要条件．故选：C．3．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）＝0.4，∴P（﹣2≤ξ≤2）＝0.8∴P（ξ＞2）＝[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]＝[1﹣0.8]＝0.1．故选：A．4．【解答】解：设x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推广到x+≥n+1，所以a＝n n；故选：D．5．【解答】解：∵•＝﹣1+1＝0，∴⊥，∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．故选：D．6．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y＝﹣x3+x+1；y'＝﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y＝3x﹣2（sin x﹣cos x）；y'＝3﹣2（cos x+sin x）＝3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y＝e x+1为增函数，满足条件．④f（x）＝，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选：C．7．【解答】解：①方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故①正确；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故②不正确；③线性回归方程必过必过样本中心点，故③正确；④由计算得K2＝13.079，对照临界值，可得其两个变量间有关系的可能性是99.9%，故④错误，综上知，错误的个数是2个故选：C．8．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，满足：f（x）＝f（x+4），∴f（8）＝f（4）＝f（0）＝0．又f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，∴f（﹣1）+f（8）＝﹣1故选：B．9．【解答】解：根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分组方法：按照1、1、3分组或，另一种是1、2、2分组；若按照1、1、3来分组时，共有＝60种分组方法；当按照1、2、2来分时共有＝90种分组方法；，根据分类计数原理知共有60+90＝150种分组方法，故选：D．10．【解答】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE＝PF∵|PQ|＝|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y＝x+m（m＜0）由消去y得．则△1＝8m2﹣24＝0，解得m＝﹣，即PQ：y＝由得，△2＝8p2﹣8p＝0，得p＝．则抛物线的方程是x2＝2y．故选：B．11．【解答】解：由已知，a和b是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，对应区域的面积为4，因为函数f（x）＝lg（ax2+4x+4b）的值域为R（实数集），所以（ax2+4x+4b）能取得所有的正数，所以，解得ab≤1且a＞0，对应的区域面积为4﹣＝4﹣（2a﹣lna）＝1+2ln2；由几何概型的公式得：故选：A．12．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x），∴f（x）的周期为2，∵f（2﹣x）＝f（x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出y＝f（x）与y＝|x|的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象共有6个交点，∴方程f（x）＝|x|共有6个解．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：由存在性命题的否定为全称命题，可得命题P：存在n∈N，使n2＞2n，￢P为任意n∈N，n2≤2n，故答案为：任意n∈N，n2≤2n．14．【解答】解：＝（x2+x）＝6，则（）6的展开式的通项为，当r＝4时为常数项，所以常数项为＝15．故答案为：15．15．【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）”时，当n＝k时，左边＝1+++…+，那么当n＝k+1时，左边＝1+++…+，∴由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k＝2k项，故答案为：2k．16．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）＝（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）＝xe﹣x，f′（x）＝（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得x＜1，令f′（x）＜0，解得x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值，故①正确；②∵k＝f′（x）＝（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）＝e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得x＞2，令f″（x）＜0，解得x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f′（x）最小值＝f′（x）极小值＝f′（2）＝﹣，而x→∞时，f′（x）→0，∴k的取值范围是﹣＜k＜0，故②正确；③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，∴f（）≤恒成立，故③正确．∴正确的命题是①②③．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程17．【解答】解：（I）p：a＜x＜3a（a＞0），时，…（1分）…（2分）∵p∧q为真∴p真且q真…（3分）∴，得，即实数x的取值范围为…（5分）（II）q是p的充分不必要条件，记，B＝{x|a＜x＜3a，a＞0}则A是B的真子集…（7分）∴或…（9分）得，即a的取值范围为…（10分）18．【解答】解：（I）（0.0032+0.0043+0.0050）×20＝0.25，0.25×60＝15，故醉酒驾驶的人数为15（人）．（II）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；∴X的所有可能取值为0，1，2．利用P（X＝k）＝（k＝0，1，2），可得：P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P （X＝2）＝．X的分布列为EX＝0×+1×+2×＝．19．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BC1，因为BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥AC1，AC1∩BC1＝C1，所以B1C⊥面ABC1．故B1C⊥AB．因为AB⊥BB1，且BB1∩BC1，所以AB⊥面BB1C1C．而AB⊂平面ABB1A1，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）因为∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，所以BD⊥CC1，又D是CC1中点，所以BD＝BC1，所以△C1BC为等边三角形．如图所示，分别以BA，BB1，BD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则A（2，0，0），，，）．设是平面ABC的一个法向量，则，即，取z＝1得．所以＝，所以直线AC1与平面ABC所成的余弦值为．20．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为．由已知可得，解得a2＝4，b2＝3．故椭圆C的标准方程为（2）设P（x0，y0），过P的斜率为k的直线为y﹣y0＝k（x﹣x0），由直线与圆O相切可得下，，即：，由已知可知k1，k2是方程的两个根，所以由韦达定理：k1+k2＝，k1k2＝，两式相除：，又因为，代入上式可得，为一个定值．21．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x）＝log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4＝＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．即log2（+a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x＝，若x＝﹣1是方程①的解，则+a＝a﹣1＞0，即a＞1，若x＝是方程①的解，则+a＝2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥＝，∴＝＝，∴实数a的取值范围是a≥．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．22．【解答】解：（1）∵曲线C：ρ2﹣2ρcosθ﹣8＝0，∴x+y﹣2x﹣8＝0，∴（x﹣1）2+y2＝9，表示圆心（1，0）半径为3的圆；（2）曲线E：消去参数得y﹣1＝k（x﹣2）m是一条恒过定点（2，1）的直线（但不包括x＝2），当直线E与圆心连线垂直时弦长最小，设圆心到直线E的距离为d，则d＝，所以弦长的最小值＝2＝2六、标题23．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣（x﹣1）+（2x+6）＝x+7；当﹣3≤x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣1）﹣（2x+6）＝﹣3x﹣5；当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）﹣（2x+6）＝﹣x﹣7；所以，当x＜3时，x+7≤1，所以x≤﹣6；当﹣3≤x＜1时，﹣3x﹣5≤1，所以﹣2≤x＜1；当x≥1时，﹣x﹣7≤1，所以x≥1，综上所述，不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤﹣6或x≥﹣2}．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）的最大值为4，因为∃x∈R，f（x）≥|3m﹣2|，所以|3m﹣2|≤4，所以﹣4≤3m﹣2≤4，所以，所以m的取值范围为．。
江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试卷
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高一年级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},062|{Z x x xx A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B5.C6.D2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）213.+A 213.+-B 13.+C 13.--D4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）39.A 54.B 56.C42.D5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ）6.πA 3.πB 65.πC 32.πD6.已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ）2.A 1.B 21.C 81.D7.已知向量与满足),1(n =，),1(n -=，且⊥-)2(，则=||（ ） 2.A 1.B 2.C 4.D 8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设=，=，y x +=，则),(y x 为（ ）)31,31.(A )21,21.(B )32,31.(C )31,32.(D9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( ))32sin(2.π+=x y A )2sin(2.π+=x y B)321sin(2.π+=x y C )221sin(2.π+=x y D10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）1.A2.B3.C4.D11.在关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A .)4,3(B .)4,3()1,2( --C .]4,3(D .]4,3()1,2[ --12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan=+，若1=AB ，则BC AC +21的最大值为( ) 321.A 23.B 317.C 215.D二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.已知53)2sin(=+απ，)0,2(πα-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足3221+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.15.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)232sin(π+=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)42sin(π+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.其中所有正确命题的序号是__________.16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(22=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，与的夹角为120，若8)4(=+⋅b a b . (1) 求||b ； （2）求|2|b a +.18（12分）已知函数x x x x x f 22sin cos sin 2cos )(-+=； (1)求)(x f 在]2,0[π上的最大值及最小值；(2)若253)(=αf ，)2,8(ππα∈，求α2sin 的值.19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若1321-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a =，)cos ,(cos A B q =,)2,2(--=a b n .(1)若b 2=⋅，求cb的值； (2)若⊥，边长2=c ， 3π=∠C ，求ABC ∆的面积．21（12分）如图，ABC ∆中，3π=∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长22（12分）已知数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，11=a ，且))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足)(622+∈-+=N n b b T n n n ，.(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令nnn n n a b b a c +=，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. 13.5414.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分).18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22=+=+⋅=+⋅4||=⇒b ；（2）57|2|==+19.解：（1）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x f当8π=x 时，最大值为2；当2π=x 时，最小值为1-. （2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(ππα∈ 54)42cos(-=+⇒πα 1027)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+=⇒ππαα. 20.解：（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；(2)13-=n n bnS n n n --=-++-+-=∴+23313.....1313121，。
、高安市第二中学高二数学下学期期末联考试题 理-人教版高二全册数学试题
高安二中、樟树中学2017届高二（下）期末联考理科数学试卷一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内,每小题5分，共60分） 1. 复数z 满足()211i z i +⋅=-+，其中i 是虚数单位．则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q = ( )A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2] 3. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，则(1)f -=（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．34. 设x R ∈,则“21x -<”是“220x x +->”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点()1,1-，则该抛物线焦点坐标为（ ） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1-D ．()0,16.已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数据132,x - 234532,32,32,32x x x x ----的平均数和方差分别为( )A ．12,3B ．4,3C ．24,3D ．2,17. 由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A ．B ．4C ．D ．68.已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是( ) A ．1≤kB ．1<kC ．1≥kD ．1>k9.某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定在同一个城市投资的项目不超过两个，则该企业不同的投资方案有（ ）A.204种B. 96种C. 240种D. 384种 10.若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23a <<B ．12a <<C ． 13a <<D ． 14a << 11.给出下列四个结论：①若命题2000:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥；②“()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则ba 11+的最小值为1． 其中正确结论的个数为( ) A .1 B.2 C. 3 D.4 12.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x '满足()()01f x f x x '->-，22(2)()x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（ ）A ．(1)(0)f f <B ．3(3)(0)f e f >⋅C ．(2)(0)f e f >⋅D ．4(4)(0)f e f <⋅ 二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13. 已知函数()n f x x =的图象过点，则n = _______．14. 已知随机变量X 服从正态分布2(0,)N σ，且(20)0.4P x -≤≤=，则(2)P x >= _______．15. 二项式21(2)nx x-的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式的第3项的系数为_______． 16. 无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个； 由此推测：八位的“和谐数”总共有_________个．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)17、（本小题满分10分）已知曲线1C 的参数方程为34cos 44sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （2）求1C 与2C 交点所在直线的极坐标方程．18. （本小题满分12分）已知命题:p 方程22131x y a a -=+-表示双曲线，命题:q 点()2,a 在圆()2218x y +-=的内部．若p q ∧为假命题，q ⌝也为假命题，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：男公务员 女公务员 生二胎 40 20 不生二胎2020（1）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列，数学期望．(附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++)20()P k k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82820.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ，60ADC ︒∠=，E 、F 分别是SC 、BC 的中点． （1）证明：SD AF ⊥；（2）若2,4AB SA ==，求二面角F AE C --的余弦值．21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左焦点为(1,0)F -，过点(0,2)D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，是否存在定点E ，使AE BE ⋅恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）设定义在D 上的函数()y g x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y h x =．当0x x ≠时，若()()0g x h x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y g x =的“转点”．当8a =时，问函数()y f x =是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．高安二中、樟树中学2017届高二（下）期末联考理科数学试卷答案1-5 ACCAB 6-10 BCBCC 11-12 CB13. 14. 0.1 15. 80 16. 900017.解：（1）∵曲线C 1的参数方程为34cos 44sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ （ϕ为参数）， 得C 1的直角坐标方程：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=16，即x 2+y 2﹣6x ﹣8y+9=0 将cos ,sin x y ρθρθ==代入得C 1的极坐标方程为26cos 8sin 90ρρθρθ--+= …………………… 5分（2）∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ， 由ρ=4sinθ，得C 2的普通方程为：x 2+y 2﹣4y=0， 由，得：6x+4y ﹣9=0，∴C 1、C 2的交点所在直线方程为6x+4y ﹣9=0∴其极坐标方程为：6ρcosθ+4ρsinθ﹣9=0. ……………………10分18. 解：∵方程表示双曲线，∴（3+a ）（a ﹣1）＞0，解得：a ＞1或a ＜﹣3， 即命题P ：a ＞1或a ＜﹣3；…………………… 4分∵点（2，a ）在圆x 2+（y ﹣1）2=8的内部， ∴4+（a ﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a ＜3，即命题q ：﹣1＜a ＜3，…………………… 8分 由pΛq 为假命题，¬q 也为假命题，∴实数a 的取值范围是﹣1＜a≤1．…………………… 12分19. 解：（1）由于K 2===＜3.841，故没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．…………………………… 6分（2）题意可得，男公务员生二胎的概率为=，X～B（3，），X的分布列为X 0 1 2 3PE（X）=3•=2．…………………… 12分20. （1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，可得△ABC为正三角形．因为F为BC的中点，所以AF⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．………………………（2分）因为SA⊥平面ACDB，AE⊂平面ABCD，所以S A⊥AF．而SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD且SA∩AD=A，所以AF⊥平面PAD．又SD⊂平面SAD，所以AF⊥SD．……………………（6分）（2）解：由（Ⅰ）知AF，AD，AS两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为SC，BC的中点，所以，．设平面AEF的一法向量为，则因此取Z 1=﹣1，则、，、因为BD⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，所以BD⊥平面AEC ，故为平面AEC 的一法向量，且、， …………………… 10分，由于二面角E ﹣AF ﹣C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为…………………… 12分21.解：…………………… 4分（2）l 的方程为y=kx+2222220y kx x y =+⎧⎨+-=⎩, ()2212860k x kx +++= 60,2k ∆>>或62k <- 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则x 1+x 2=﹣又y 1y 2=（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=﹣，y 1+y 2=（kx 1+2）+（kx 2+2）=k （x 1+x 2）+4=设存在点E （0，m ），则==…………………… 8分要使得=t （t 为常数），只要=t ，从而（2m 2﹣2﹣2t ）k 2+m 2﹣4m+10﹣t=0即由（1）得 t=m 2﹣1， 代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点，使恒为定值…………………… 12分22. 解：（1）a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；∴x=时，f（x）极大值=﹣+ln，x=1时，f（x）极小值=﹣2；…………………… 4分（2）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x），则F（x0）=0，F′(x)=f′(x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；…………………… 6分当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，………… 10分x0=2时，F′（x）=（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，即点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．…………… 12分。
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江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高二年级理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，则复数21iz i=-的虚部等于（ ） A ．i - B ．i C ． 1- D ．1 2.设集合{}12,2,|2M N x x ⎧⎫=-=<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是( ) A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. {}2NM = D. NM R =3.已知命题:p x R ∃∈，2xx e <，那么命题p ⌝为（ ）A ．x R ∃∈，2x x e ≥B ．x R ∀∈，2x x e <C ．x R ∀∈，2x x e ≥D ． x R ∀∈，2x x e >4.设平面向量()()2,1,0,2a b ==-，则与+2a b 垂直的向量可以是（ ）A ．()4,6- B ．()4,6 C. ()3,2- D ．()3,25.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1510=a ，且72S S =，则=8a （ ）A ．6B ．7C ．8D ．96.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数 无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n 的值为( C )1,732,sin150.258,sin7.50.1305.=≈≈ A. 12 B. 24 C. 48 D. 97.定义在R 上的函数||1()()12x m f x -=-为偶函数， 记0.52(log 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则（ ） A.c a b << B.a c b << C.a b c << D.c b a <<8.已知a ，b R ∈，则||a b >是||||a a b b >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线10y --=平行，则双曲线C 的离心率为( )A.2B. D.310.若函数,0,()ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0)-∞B. [0,)+∞C. (,1]-∞D. [1,)+∞11．对33000分解质因数得115323300033⨯⨯⨯=，则33000的正偶数因数的个数是（ ）A ．48B ．72C ．64D ．9612.若曲线1C ：2y ax =与曲线2C ：xy e =（其中无理数 2.718e =…）存在公切线，则整数a 的最值情况为（ ） A ．最大值为2，没有最小值 B ．最小值为2，没有最大值 C ．既没有最大值也没有最小值D ．最小值为1，最大值为2二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在 正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可 估计黑色部分的面积为_____________.14. 若,x y 满足约束条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≤⎩，则函数2z x y =+的最小值为 ．15. 设函数2,0,()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范是 ．16.已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，点P ，Q 在抛物线上，且56PFQ π∠=，过弦PQ 的中点M 作准线l 的垂线，垂足为1M ，则1PQ MM 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.(本小题满分12分) 已知正项等比数列{}n a 满足423a a a =，前三项和313S =． （1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．18. (本小题满分12分)已知ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2sin 6a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆b ，c 的值.19. (本小题满分12分)某名校从2008年到2017年考入清华、北大的人数可以通过以下表格反映出来.（为了方便计算，将2008年编号为1，2009年编号为2，以此类推……）（1）根据最近5年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 之间的线性回归方程，并用以预测2018年该校考入清华、北大的人数；（结果要求四舍五入至个位）（2）从这10年的数据中随机抽取2年，记其中考入清华、北大的人数不少于20的有x 年，求x 的分布数列和数学期望.参考公式：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n y x x x yyx x b ni i ni ii ni ini ii1221121.20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为12,F F ，上焦点1F 到直线43120x y ++=的距离为3，椭圆C 的离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆22223:116y x E a b+=，设过点(0,1)M 斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得()||||PA PBPM PA PB λ=+？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21. (本小题满分12分)知函数1n ()xf x x=，()1n g x x x ax b =-+，()f x 与()g x 在交点(1,0)处的切线相互垂直.(1)求()g x 的解析式；(2)已知0k >,若函数()()()F x kf x g x =+有两个零点,求k 的取值范围 .请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1，0)，求PA PB +的值．23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x ax =-（1）若()2f x ≤的解集为[]3,1-，求实数a 的值；（2）若1a =，若存在x R ∈，使得不等式()()21132f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围.江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试高二年级理科数学答案一、选择题：1-6 DBCDDC 7-12 CAADAC 二、填空题 13.9 14.5 15.(,0)-∞三、解答题：17.解：（1）∵423a a a =，∴414a a a =，∵40a ≠，∴11a =， ∵23123113S a a a q q =++=++=，且0q >，∴3q =， ∴1113n n n a a q --==．………………6分 （2）∵13log 321n n b n n -=+=-， ∴111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， ∴11(1)22121n n T n n =-=++． ………………12分 18. 解：（1）由题意可得：2sin sin()sin sin 6A CBC π+=+2sin sin()sin()sin 6A C A C C π∴+=++，12sin cos )sin cos cos sin sin 2A C C A C A C C ∴+=++，sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，cos 1A A -=，2sin()1,.63A A ππ∴-=∴=………………6分（2）1sin 2ABC S bc A ∆==4bc ∴=，222222cos ,4a b c bc A b c bc =+-∴=+-， 2b c ∴==………………12分19. （1）67891024292120168,22,55x y ++++++++====22171226541142b -⨯-⨯-⨯-⨯==-+++，522842,2a =+⨯= 5422y x ∴=-+，故当11x =时，15y ≈，所以，2018年该校考入清华北大的人数约为15人.………………6分（2）随机变量x 的取值分别为0,1,2，262101(0)3C P x C ===，11462108(1)15C C P x C ===，242102(2)15C P x C ===18212401231515155EX ∴=⨯+⨯+⨯==.………………12分20. 解：（1）由已知椭圆方程为，设椭圆的焦点，由到直线的距离为3，得，又椭圆的离心率，所以，又，求得，.椭圆方程为.………………5分（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去并整理得.. 设，，则，.假设存在点满足条件，由于，所以平分.易知直线与直线的倾斜角互补，∴.即，即.（*）将，代入（*）并整理得， ∴，整理得，即，∴当时，无论取何值均成立. ∴存在点使得.……………12分21.解:(1)211()nxf x x-'=，(1)1f '∴=，又()11g x nx a '=+-，(1)1g a '=-，()f x 与()g x 在交点(1,0)处的切线相互垂直，11a ∴-=-,2a ∴=.又(1,0)在()g x 上, 2b ∴=，故()122g x x nx x =-+. ………………4分 (2)由题知2(11)()k nx F x x -'=112nx ++-2(11)11k nx nx x -=+-22(11)()k x nx x -=-()2211()x knx x-=-.①01<,即01k <<时,令()0F x '<,x e <;令()0F x '>,得0x <<x e >，()F x ∴在区间上单调递增,在区间)e 上单调递减,在区间(,)e +∞上单调递增,故存在0x 使000001n ()k1n x F x x x x =+0001n 22x x kx -+<021n 20k x +<+<.又(e)20e k F e =+-<，(1)0F =，222(e )20ekF =+>， ()F x ∴在区间上有一个零点,在区间)e 上有一个零点,在区间(,)e +∞上有一个零点,共3个零点,不符合题意,舍去.②1k =时,令()0F x '<,得1x e <<，令()0F x '>,得01x <<或x e >，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)e 上单调递减,在区间(,)e +∞上单调递增，又(1)0,()0F F e =<,222(e )20e F =+>,()F x ∴有两个零点,符合题意.③1e <<,即21k e <<时,令()0F x '<,x e <,令()0F x '>,得0x <<x e >，()F x ∴在区间上单调递增,在区间)e 上单调递减,在区间(,)e +∞上单调递增，(1)0F =，()F x ∴在区间上存在一个零点,若要()F x 有两个零点,必有()0F e =,解得222(1,)k e e e =-∈.e ≥,即2k e ≥时,令()0F x '<,得e x <<令()0F x '>,得0x e <<或x > ()F x ∴在区间(0,)e 上单调递增,在区间(e 上单调递减,在区间)+∞上单调递增，(1)0F =,()F x ∴在区间(0,)e 上存在一个零点，又F =+2=21)+=20+>，∴在区间∴上不存在零点,即()F x 只有一个零点,不符合题意. 综上所述, 1k =或2e 2e k =-.………………12分22.解：（1）直线l 消去参数t 得：10x y +-=，即直线的普通方程；由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得22cos 2sin ,2cos 2sin ,ρθθρρθρθ∴=-∴=- 故圆C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=.………………5分(2)点P 在直线l 上，且在圆C内，把1,22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22220x y x y +-+=，得：210t -=，设两个实根分别为12,t t ，则A 、B 两点所对应的参数为12,t t ，则12121t t t t +=⋅=-，12||||||||PA PB AB t t ∴+==-==10分23.解：（1）显然0a ≠，当0a >时，解集为13[,]a a -，133,1a a-=-=，无解； 当0a <时，解集为31[,]a a -，131,3a a-==-，1a =-， 综上所述1a =-.………………5分(2)当1a =时，令2,0,()(21)(1)|2||2|32,02,2,2x x h x f x f x x x x x x x --≤⎧⎪=+--=--=-<≤⎨⎪+>⎩由此可知()h x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，当0x =时，()h x 取到最小值-2，由题意知，322m -≥-，52m ∴≤………………10分。