专题+平面向量的数量积年领军高考数学一轮复习(文理通用)

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题28平面向量的数量积最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.基础知识融会贯通1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b投影 |a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 .【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.重点难点突破【题型一】平面向量数量积的运算【典型例题】平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，||＝2，||＝3，，则（ ）A ．3B ．﹣3C ．2D ．﹣2【解答】解：平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，||＝2，||＝3，∴23，∵，∴，，则（•3．故选：B ．【再练一题】若向量（2，3），（﹣1，2），则•（）＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵向量（2，3），（﹣1，2），∴（2，3）﹣（﹣2，4）＝（4，﹣1），∴•（）＝8﹣3＝5故选：A．思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．【题型二】平面向量数量积的应用命题点1求向量的模【典型例题】已知向量，满足||＝1，||＝2，（），则|2|＝（）A．B．C．2D．2【解答】解：由已知得：；∴；∴；∴．故选：C．【再练一题】△ABC中，AB＝5，AC＝10，25，点P是△ABC内（包括边界）的一动点，且（λ∈R），则||的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，AB＝5，AC＝10，25，∴5×10×cos A＝25，cos A，∴A＝60°，B＝90°；以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，∵AB＝5，AC＝10，∠BAC＝60°，∴A（0，0），B（5，0），C（5，5），设点P为（x，y），0≤x≤5，0≤y，∵λ，∴（x，y）（5，0）λ（5，5）＝（3﹣2λ，﹣2λ），∴，∴y（x﹣3），①直线BC的方程为x＝5，②，联立①②，得，此时||最大，∴|AP|．故选：B．命题点2求向量的夹角【典型例题】设、是夹角为60°的单位向量，则2和32的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵、是夹角为60°的单位向量，∴•||||cos60°，则（2）•（32）＝62﹣22•6﹣2，|2|，|32|，∴2和32的夹角α满足cosα，即α＝60°，故选：B．【再练一题】设与是不共线的两个向量，若平面向量x y（x，y∈R），则称数对（x，y）为向量在基底下的坐标，设基底向量（1．﹣1），（﹣1，2），平面向量，在基底与下的坐标分别为（﹣1，1），（3，2）．则向量与夹角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：平面向量x y（x，y∈R），且（1．﹣1），（﹣1，2），∴（﹣1，1）+（﹣1，2）＝（﹣2，3），32（3，﹣3）+（﹣2，4）＝（1，1），∴向量与夹角的余弦值是cosθ．故选：A．思维升华(1)求解平面向量模的方法①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝x2＋y2即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．【题型三】平面向量与三角函数【典型例题】设（2cos x，1），（cos x，sin2x），f（x）•，x∈R．（1）若f（x）＝0且x∈[，]，求x的值．（2）若函数g（x）＝cos（ωx）+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）•2cos2x sin2x＝1+cos2x sin2x＝2sin（2x）+1 …由f（x）＝0，得2sin（2x）+1＝0，可得sin（2x），…又∵x∈[，]，∴2x…∴2x，可得x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2sin（2x）+1，因为g（x）与f（x）的最小正周期相同，所以ω＝2，…又∵g（x）的图象过点（，2），∴cos（2）+k＝2，由此可得1+k＝2，解得k＝1，…∴g（x）＝cos（2x）+1，其值域为[0，2]，…2kπ﹣π≤2x2kπ，（k∈Z）…∴kπx≤kπ，（k∈Z），…所以函数的单调增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．…【再练一题】在△ABC中，CA＝CB＝2，记，且（k为正实数），（1）求证：；（2）将与的数量积表示为关于k 的函数f （k ）； （3）求函数f （k ）的最小值及此时角A 的大小． 【解答】解：（1）证明：因为，所以，即（2）因为，则，即，，得．（3）．显然当k ＝1时，f （k ）的最小值为2，此时，，所以．思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．基础知识训练1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的正射影的数量为（ ）A ．1B 2C ．12D ．22【答案】D 【解析】由()a ab ⊥-得()0a a b ⋅-=，所以1a b a a ⋅=⋅=，所以向量a 在b 方向上的正射影的数量为12cos ,22a b a a b b⋅===， 故选D.2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是（ ）A ．95-B ．0C ．45-D ．1【答案】A 【解析】由等腰梯形的知识可知5cos B =， 设BP x =，则5CP x =-，∴2565·()?··1?·()(5)?·(1)55EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x x =+=+=-+--=-， 05x ，∴当355x =时，·EP BP取得最小值95-． 故选：A ．3．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确．．．的是 A ．方向上的投影为B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 对于A 选项，方向上的投影为，故其正确.对于B 选项，，故其正确 对于C 选项，成立，故其正确.对于D 选项，这与矛盾.故选：D4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，且；∴，且；∴； ∴；又；∴．故选：D ．5．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅，故选B ．6．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】已知向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 的方向上的投影为12+，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，因为向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1+， 则有3()||1a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 变形可得：3112a b +⋅=+，即cos c 21o 1s a b θθ⋅=⨯⨯==， 又由0θπ≤≤，则6πθ=， 故选A ． 7．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知向量a ，b 满足2a =，且()40a b a λλ+=>，则当λ变化时，a b •的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】由已知，(1)4a b λ-=，则2(1)4a a b λ-=⋅，因为||2,0a λ=>，则11a b λ⋅=->-，选D .8．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈，若2AB =，则()AP AB AC ⋅+=（ ）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值 【答案】C【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =，则3AO =，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈， 所以点P 在直线BC ，所以AP 在AO 方向上的投影为AO ， 因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==.故选C9．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，||13a b +=，则||b =（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】解：根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+293||||13b b =-+=；∴解得4b =，或1-（舍去）．10．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)】已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=（ ）A ．3B ．3C ．7D ．7【答案】B【解析】 22221||||||2||||cos14212332a b a b a b π⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭, 所以a b +=3故选:B . 11．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】在矩形ABCD 中，4AB ,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+. ∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=.12．【湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三下学期2月月考】正ABC 的边长为1，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12- 【答案】B【解析】解：∵正ABC 的边长为1，∴()AB BC BC CA CA AB BA BC CB CA AC AB ⋅+⋅+⋅=-⋅+⋅+⋅()311cos6032︒=-⨯⨯⨯=-. 故选：B ．13．【天津市河北区2019届高三一模】在平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，60BAD ∠=︒，点E 在CD 上，满足2DC DE =，则AC BE ⋅=_____________.【答案】12-【解析】由题意得 AB •AD =2×1×cos60°＝1， AC BE ⋅=（AB AD + ）•（1AD AB 2-）21AD 2=+ AB •1AD 2- 2AB =112+-212=-， 故答案为12- 14．【天津市部分区2019届高三联考一模】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，点,E F 分别在边,AD DC 上，()12BE BA BD =+，13DF DC =，则BE BF ⋅=_________. 【答案】223【解析】连接,AC BD 交于O ，以O 为原点，以,OC OD 为x 轴，y 轴的正半轴建立直角坐标系，菱形边长为2，60ABC ∠=，()(()(1,0,0,,1,0,A B C D ∴-， ()12BE BA BD =+E ∴为AD 的中点，12E ⎛- ⎝⎭，11,,333BF DC F ⎛=∴ ⎝⎭，1331,,,2233BE BF ⎛⎫⎛∴=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，11522623BE BF ∴⋅=-+=. 故答案为223. 15．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考】已知A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-.若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为__. 【答案】3【解析】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--， 所以1212525252,,333333OC OA OB x x y y ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，得()()2221214x x y y -+-=， ①又A ，B 在圆O 上，所以22114x y +=，22224x y +=， ②联立①②得12122x x y y +=，所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简并整理，得()()()222211221212511632x y x y x x y y +-+++ 511442632=⨯-⨯+⨯ 3=.优解由条件易知OAB ∆为正三角形.又由M 为AB 的中点， 则1OM (OA OB)2=+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 22152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭3=.16．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=，点P 在边CD 上，则AP PC ⋅的取值范围是______． 【答案】250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 因为点P 在边CD 上，所以设()01DP λDC λAB λ==≤≤， 则 λAP AD DP A A D B =+=+，()1PC λAB -=， 所以()()1PC A AP D λλAB AB ⋅=+⋅- ()()223 141161612445224λλλλλλ⎛⎫=-+-⨯=-++=-- ⎪⎝+⎭， 又01λ≤≤，所以2504AP PC ≤⋅≤，故答案为250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 17．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】若向量(2,),(2,1)a x b ==-不共线，且()()+⊥-a b a b ，则⋅=a b ______【答案】3-【解析】因为+a b =(0,x +1), -a b =(4,x -1)，且()()+⊥-a b a b ，所以04+(1)(1)0x x ⨯+-=，解得1x =或1x =-，因为 向量(2,),(2,1)a x b ==-不共线，所以1x =-不成立，所以2(2)113⋅=⨯-+⨯=-a b ，故填3-.18．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知点D 为ABC ∆的外心，4BC =，则BD BC ⋅=___________.【答案】8【解析】设BD BC ，的夹角θ，则21||||cos ||82BD BC BC BD BC θ⋅=⋅⋅==. 19．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考】在ABC ∆中，2A B =，1sin 3B =，23AB =. （Ⅰ）求sin ,sin AC 的值；（Ⅱ）求CA CB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）sin 9A =；23sin 27C =；（Ⅱ）80-. 【解析】（Ⅰ）2A B B =∴，为锐角，又1sin ,cos 33B B =∴=1sin sin22sin cos 2339A B B B ===⨯⨯=222217cos cos2cos sin39A B B B⎛⎫==-=-=⎪⎝⎭⎝⎭()sin sin sin cos cos sinC A B A B A B=+=+7123939327=+⨯=（Ⅱ）sin sin sinAB AC BCC B A==,23AB=,9,AC BC∴==()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B=-+=-+71939327=-⨯+=-cos980CA CB CA CB C⎛∴⋅=⨯⨯=⨯=-⎝20．【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测（三)】已知(3cos,cos)a x x=，(sin,cos)b x x=，函数()f x a b=⋅.（1）求()f x的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]xππ∈-时，求()f x单调递增区间.【答案】(1) Tπ=；26kxππ=+（k Z∈）. (2)5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ【解析】解：（1）()23sin cos cosf x a bx x x=⋅=+111cos2sin222262x x xπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭所以()f x的周期22Tππ==,令262x kπππ+=+（k Z∈），即26kxππ=+（k Z∈）所以()f x的对称轴方程为26kxππ=+（k Z∈）.（2）令222262k x kπππππ-≤+≤+（k Z∈）解得36k x kππππ-≤≤+（k Z∈），由于(],xππ∈-所以当1,0k=-或1时，得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且sin sin sin 2sin()a A c C b B a A B +-=+. （1）求B 的值；（2）若向量(cos ,cos 2)m A A =，(12,5)n =-，4a =，当m n ⋅取得最大值时，求b 的值.【答案】（1）4B π=；（2）522b =. 【解析】（1）因为ABC ∆中，()sin sin A B C +=，所以()sin sin sin 2sin a A c C b B a A B +-=+变形为sin sin sin 2sin a A c C b B a C +-=. 由正弦定理得：2222a c b ac +-=.由余弦定理得：2222cos 2a c b B ac +-==， 又因为0B π<<，∴4B π=.（2）因为12cos 5cos2m n A A ⋅=-2234310cos 12cos 510cos 55A A A ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以当3cos 5A =时，m n ⋅取得最大值，此时4sin 5A =， 由正弦定理得sin 52sin aB b A ==. 22．【广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第二次联考】已知向量，函数.（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)由，得,从而得 故能力提升训练1．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．21-B ．22C ．12D ．22- 【答案】D【解析】解：由()a a b ⊥+得，()0a a b ⋅+=，20a a b +∴⋅=1a b ∴⋅=-，∴向量a 在b 方向上的投影为2cos 2a b a b a a a b b θ⋅⋅=⋅===-⋅ ，故选D . 2．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】若已知向量，若，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】∵向量，且， ∴，即 ∴， 故选：D3．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试】已知向量的夹角为，则（ ） A ．-16B ．-13C ．-12D ．-10 【答案】C【解析】∵向量的夹角为， ∴， ∴．故选C ． 4．【山东省青岛市2019届高考模拟检测（二模)】已知平面向量的夹角为，且，则（ ）A ．3B ．9C ．12D ．15【答案】D【解析】本题正确选项：5．【山东省济宁市2019届高三二模】已知向量满足，且，则的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】 由题意可得：， 结合题意有：， 则， 故的夹角为.故选：D.6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为______．【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10112MC k -==-+， 根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x ⋅=-， 令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．7．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO →→→+=，|AB||AO|→→=，则CA CB →→⋅=______.【答案】12【解析】因为2AB AC AO →→→+=，所以点O 是线段BC 的中点，O 是ABC ∆外接圆的圆心，因此ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，又因为|AB||AO|→→=，所以2,4AB BC ==,因此030ACB ∠=,23AC =， 所以cos 323412.2CA CB CA B CB AC →→→→∠=⨯⨯⋅==⋅⋅ 8．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)】已知向量,a b 满足()21,b a a a b ==⊥-，则a 与2a b +的夹角的余弦值为__________．【答案】32 【解析】由()a a b ⊥-得221,24434a b a b a a b b ⋅=+=+⋅+= a 与2a b +的夹角的余弦值为()2223cos<,2>=222a a ba ab a a b a a b a a b ⋅++⋅+==++. 9．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅的最大值为34-，则m =________.【答案】12 【解析】 以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系， 因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，(0,3)A ，则(2,0)BC =，(1,3)CA =-，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =，其中01t ≤≤，则(2,0)BD t =，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(,3)CE tmCA tm tm ==-，因此(1,3)E tm tm -，所以(21,3)AD t =--，(22,3)DE tm t tm =--，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭， 因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤， 所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅取得最大值， 即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍） 故答案为1210．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．【答案】5﹣213【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin 2,36AB AC π=⋅⋅=∴=. 取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=221113,()3222DM ∴=+=, 所以PM 有最小值为2﹣132， 代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣13故答案为：5﹣213。