重庆市万州高级中学2015-2016学年高二上学期期末模拟测试数学试卷(理)
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2016年重庆市万州二中高二理科上学期人教A版数学期末考试试卷
2016年重庆市万州二中高二理科上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 直线x+3y−1=0的倾斜角为 A. π3B. π6C. 2π3D. 5π62. “1<m<2”是“方程x2m−1+y23−m=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是 A. 若l⊥m，m⊥n，则l∥nB. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC. 若m⊥α，α⊥β，则m∥βD. 若m⊥α，m∥β，则α⊥β4. 三棱锥S−ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为 A. 163B. 38C. 42D. 2115. 下列推断错误的个数是 ①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，②命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2=1，则x≠1”，③“x<1”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件，④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．A. 1B. 2C. 3D. 46. 若“∃x∈12,2，使得2x2−λx+1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 A. −∞,22B. 22,3C. −22,3D. λ=37. 若圆C:x2+y2−22x−22y−12=0上有四个不同的点到直线l:x−y+c=0的距离为2，则c的取值范围是 A. −2,2B. −22,22C. −2,2D. −22,228. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 83+2π B. 83+π C. 4+2π D. 4+π9. 已知F1，F2为双曲线C:x2−y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2= A. 14B. 35C. 34D. 4510. 已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为 A. B. C. 2 D.11. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=4FQ，则QF= A. 72B. 3 C. 52D. 212. 双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，若PQ不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. 1,2B. 1,C. 1,3D. R二、填空题（共4小题；共20分）13. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合，则p的值为．14. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为．15. 已知空间四点A0,3,5，B2,3,1，C4,1,5，D x,5,9共面，则x=．16. 抛物线y2=2px p>0的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π3，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则 MNAB的最大值是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C:x2m +y28−m=1的焦点在x轴上．命题q：直线l:x−y+m=0与圆O:x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．18. 已知圆C经过A3,2，B1,6，且圆心在直线y=2x上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点P−1,3且与圆C相切，求直线l的方程．19. 如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离．20. 已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F，抛物线上一点P的横坐标为2， PF =3．（1）求抛物线的方程；（2）过F且倾斜角为30∘的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．21. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若二面角P−AC−E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．22. 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P −1,22在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足PM+F2M=0．（1）求椭圆的标准方程；（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B．当OA⋅OB=λ且满足23≤λ≤34时，求△AOB面积S的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】因为直线x+3y−1=0的斜率等于−33，设直线x+3y−1=0的倾斜角为θ，则tanθ=−33，0≤θ<π，解得θ=5π6．2. C 【解析】若方程x2m−1+y23−m=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则3−m>0,m−1>0,3−m>m−1,即m<3, m>1, m<2,解得1<m<2，即“1<m<2”是“方程x2m−1+y23−m=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．3. D 【解析】对于A，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A不正确；对于B，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故B不正确；对于C，因为α⊥β，所以设α∩β=a，在平面β内作直线b⊥a，则b⊥α，因为m⊥α，所以m∥b，若m⊄β，则m∥β，若m⊂β，也成立，所以m∥β或m⊂β．故C不正确；对于D，若m⊥α，m∥β，则存在l⊂β，使l∥m，所以l⊥α，则α⊥β，故 D 正确．4. C 【解析】由已知可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为2所以BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=42．5. B【解析】对于①，命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”正确；对于②，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故错；对于③，“x<1”时“x2−3x+2>0”成立，“x2−3x+2>0”时“x>2，或x<1“，故正确；对于④，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错．6. A 【解析】若“∃x∈12,2，使得2x2−λx+1<0成立”是假命题，即“∃x∈12,2，使得λ>2x+1x成立”是假命题，由x∈12,2，当x=22时，函数取最小值22，故实数λ的取值范围为 −∞,22．7. D 【解析】圆C:x2+y2−22x−22y−12=0，配方为： x−22+ y−22=16，因为圆上有四个不同的点到直线l:x−y+c=0的距离为2，所以圆心到直线l的距离d=2<2，解得−2<c<28. D 【解析】由三视图知：几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱与半圆柱的高都是2，三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且腰长为2，半圆柱的底面半径为1，所以几何体的体积V=12×2×22+12×π×12×2=4+π．9. C 【解析】将双曲线方程x2−y2=2化为标准方程x22−y22=1，则a=2，b=2，c=2，设PF1=2PF2=2 m，则根据双曲线的定义，PF1−PF2=2a可得m=22，所以PF1=42，PF2=22，因为F1F2=2c=4，所以cos∠F1PF2=PF12+PF22− F1F222PF1PF2=2×42×22=2432=34．10. D【解析】设两圆的圆心分别为O1，O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE= OA2−AE2=25−4=21，因为圆O1的半径为4，所以O1E= O1A2−AE2=16−4=23，所以O2E=21−12=3，所以圆O2的半径为9+4=13．11. B 【解析】设Q到l的距离为d，则QF=d，因为FP=4FQ，所以PQ=3d，所以不妨设直线PF的斜率为−22dd=−22，因为F2,0，所以直线PF的方程为y=−22x−2，与y2=8x联立可得x=1，所以QF=d=1+2=3．12. C 【解析】双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F c,0，左顶点A−a,0，圆F:x−c2+y2=a+c2，则双曲线的一条渐近线方程为y=bax，圆心F c,0到渐近线bx−ay=0的距离为d=a2+b2=bcc=b，则PQ=2a+c2−b2≥2b，即有a+c2≥2b2=2c2−a2，即为c2−2ac−3a2≤0，由离心率e=ca，得e2−2e−3≤0，解得−1≤e≤3；又e>1，所以1<e≤3．第二部分13. 4【解析】由椭圆x 26+y22=1，可得a2=6，b2=2，所以c=2−b2=2，所以椭圆的右焦点为F2,0．由抛物线y2=2px可得其焦点为p2,0．所以p2=2，解得p=4．14. 29π cm2【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即2+32+42=2R，R=292．所以该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×2922=29π．15. −6【解析】因为A0,3,5，B2,3,1，C4,1,5，D x,5,9，所以AB=2,0,−4，AC=4,−2,0，AD=x,2,4，因为四点A，B，C，D共面，所以存在实数λ，μ使得，AD=λAB+μAC，所以x,2,4=λ2,0,−4+μ4,−2,0，所以x=2λ+4μ,2=−2μ,4=−4λ.解得x=−6．16. 1【解析】设AF=a，BF=b，连接AF，BF，过点A，B分别作AQ，BP与l垂直的垂线，垂足分别为Q，P，由抛物线定义，得AF=AQ，BF=BP，在梯形ABPQ中，2MN=AQ+BP=a+b．由余弦定理得，AB2=a2+b2−2ab cos60∘=a2+b2−ab，配方得，AB2=a+b2−3ab，又因为ab≤a+b22，所以a+b2−3ab≥a+b2−34a+b2=14a+b2，得到AB ≥12a+b．所以 MNAB ≤1，即 MNAB的最大值为1．第三部分17. 命题p：椭圆C:x2m +y28−m=1的焦点在x轴上；p为真时：m>8−m>0，解得4<m<8；命题q：直线l:x−y+m=0与圆O:x2+y2=9有公共点；q为真时：圆心O到直线l的距离：d=2≤3，解得−32≤m≤32；因为命题p,q中有且只有一个为真命题，若p真q假，则：4<m<8,m<−32或m>32,解得：3<m<8；若p假q真，则：m≤4或m≥8,−32≤m≤32,解得：−32≤m≤4；综上，实数m的取值范围是−3≤m≤4或3<m<8．18. （1）因为圆心在直线y=2x上，故可设圆心为C a,2a，半径为r，则圆C的标准方程为x−a2+y−2a2=r2．因为圆C经过A3,2，B1,6，所以3−a2+2−2a2=r2, 1−a2+6−2a2=r2,解得a=2，r=，所以圆C的标准方程为x−22+y−42=5．（2）由（1）知，圆C的圆心为C2,4，半径r=5．直线l经过点P−1,3，①若直线斜率不存在，则直线l:x=−1．圆心C2,4到直线l的距离为d=3>r=5，故直线与圆相离，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l:y−3=k x+1，即kx−y+k+3=0．圆心C2,4到直线l的距离为d=1+k2=1+k2．因为直线与圆相切，所以d=r，即2=5，所以3k−12=5+5k2，解得k=2或k=−12，所以直线l的方程为2x−y+5=0或x+2y−5=0．19. （1）法一：如图，取OB中点E，连接ME，NE．∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD ． 又 ∵NE ∥OC ，∴ 平面 MNE ∥ 平面 OCD ， ∴MN ∥ 平面 OCD ． 法二：如图，作 AP ⊥CD 于点 P ，分别以 AB ，AP ，AO 所在直线为 x ，y ，z 轴建立坐标系．则 A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，P 0,22,0 ，D − 22, 22,0 ，O 0,0,2 ，M 0,0,1 ，N 1− 24, 24,0 ，所以 MN = 1− 24, 24,−1 ,OP = 0, 2,−2 ,OD= −22, 22,−2 .设平面 OCD 的法向量为 n = x ,y ,z ，则 n ⋅OP =0，n ⋅OD=0，即 2y −2z =0,−22x + 22y −2z =0,取 z = 2，解得n = 0,4, 2 .因为MN ⋅n = 1−24, 24,−1 ⋅ 0,4, 2=0,所以 MN ∥ 平面 OCD ．（2）法一：因为CD∥AB，所以∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．如图，作AP⊥CD于P，连接MP．因为OA⊥平面ABCD，所以CD⊥MP，因为∠ADP=π4，所以DP=2,MD=MA2+AD2=2,所以cos∠MDP=DPMD=12,所以∠MDC=∠MDP=π3 ,所以AB与MD所成角的大小为π3．法二：设AB与MD所成的角为θ，因为AB=1,0,0,MD= −2,2,−1,所以cosθ=AB⋅MDAB⋅MD=12,得θ=π3，故AB与MD所成角的大小为π3．（3）法一：∵AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等．如图，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q．∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．因为OP=OD2−DP2=OA+AD−DP=4+1−1 2=32,AP=DP=2 2 ,所以AQ=OA⋅AP=2×22322=2,所以点B到平面OCD的距离为23．法二：设点B到平面OCD的距离为d，则d为OB在向量n=0,4,2上的投影的绝对值．由OB=1,0,−2，得d=OB⋅nn=23.所以点B到平面OCD的距离为23．20. （1）由抛物线定义可知， PF =2+p2=3，所以p=2，所以抛物线方程为y2=4x．（2）由y2=4x，得F1,0．所以过A，B的直线方程为y=33x−1，联立直线方程和椭圆方程得y2−43y−4=0．设A x1,y1，B x2,y2，则y1+y2=43，y1y2=−4，所以S△OAB=S△OAF+S△OFB=12y1−y2=1248+16=4．21. （1）因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC．因为AB=4，AD=CD=2，所以AC=BC=22．所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，又BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC，因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC．（2）如图，以点C为原点，DA，CD，CP分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C0,0,0，A2,2,0，B2,−2,0．设P0,0,2a a>0，则E1,−1,a，CA=2,2,0，CP=0,0,2a，CE=1,−1,a，取m=1,−1,0，则m⋅CA=m⋅CP=0，m为面PAC的法向量．设n=x,y,z为面EAC的法向量，则n⋅CA=n⋅CE=0，即x+y=0,x−y+az=0,取x=a，y=−a，z=−2，则n=a,−a,−2，依题意cos⟨m,n ⟩= m ⋅nm ⋅ n =a2+2=63，则a=2或−2舍．于是n=2,−2,−2，PA=2,2,−4．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=cos⟨PA,n ⟩= PA⋅nPA ⋅ n =23．22. （1）因为PM+F2M=0，所以点M是线段PF2的中点，又O为F1F2的中点，所以OM是△PF1F2的中位线，又OM⊥F1F2，所以PF1⊥F1F2，所以c=1,1a+12b=1, a2=b2+c2,解得a2=2，b2=1，c2=1，所以椭圆的标准方程为x 22+y2=1．（2）因为圆O与直线l相切， k2+1=1，即m2=k2+1，由x22+y2=1,y=kx+m消去y：1+2k2x2+4kmx+2m2−2=0，因为直线l与椭圆交于两个不同点，所以Δ>0，所以k2>0，设A x1,y1，B x2,y2，则x1+x2=−4km1+2k ，x1x2=2m2−21+2k，y1y2=kx1+m kx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=m2−2k21+2k2,OA⋅OB=x1x2+y1y2=1+k21+2k2=λ，所以23≤λ≤34，所以23≤1+k21+2k2≤34，解得：12≤k2≤1．S=S△AOB=1AB ⋅1=121+k −4km1+2k22−42m2−21+2k2=2k4+k242,设μ=k4+k2，则34≤μ≤2，S=2μ4μ+1，μ∈34,2，因为S关于μ在34,2上单调递增，S34=64，S2=23．所以64≤S≤23．。
重庆市万州高级中学2015-2016学年高二上学期期末模拟测试理综化学试题(答案不全)
重庆市万州高级中学2015-2016学年度高二（上）期末模拟测试理科综合能力测试卷（满分300分考试用时150分钟）可能用到的相对原子质量: H-1、O-16、N-14、Fe-56、Cu-64、Ag-108第I卷一、选择题：（本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）7、下列关于电解质溶液的判断正确的是()A. 60℃时，NaCl溶液的pH<7，则溶液呈酸性B. 将pH＝4的CH3COOH溶液加水稀释，溶液中所有离子的浓度均减小C. 常温下，CH3COOH分子可能存在于pH>7的碱性溶液中D. 相同温度下，1 mol·L－1氨水与0.5 mol·L－1氨水中c(OH－)之比是2∶18、一定量的盐酸跟过量的铁粉反应时，为了减缓反应速度，且不影响生成氢气的总量，可向盐酸中加入适量的( )① NaOH固体② H2O ③ NH4Cl固体④ CH3COONa固体⑤NaCl固体⑥KCl溶液A．②④⑥B．①② C．②③⑤ D．②④⑤⑥9、25℃时，下列有关溶液中微粒的物质的量浓度关系错误的是( )A．0.1mol/LCH3COONa与0.1mol/LHCl溶液等体积混合：c(Na+)=c(Cl-)>c(CH3COO-)>c(OH-)B．0.1mol/LNH4Cl与0.1mol/L氨水溶液等体积混合：c(NH3·H2O)>c(NH4+)>c(Cl-)>c(OH-)C．0.1mol/LNa2CO3与0.1mol/LNaHCO3溶液等体积混合：2c(Na+)=3c(CO32-)+3c(HCO3-)+3c(H2CO3)D．Na2C2O4溶液与HCl溶液等体积混合(H2C2O4是二元弱酸)：2c(C2O42-)+c(HC2O4-)+c(OH-)+c(C l-)=c(Na+)+c(H+)10、常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是()A．pH＝1的溶液中：Fe2+、NO3-、SO42-、Na+B．由水电离的c(H+)＝1×10－14 mol·L－1的溶液中：Ca2+、K+、Cl-、CH3COO-C．c(Fe3+)＝0.1 mol·L－1的溶液中：K+、ClO-、SO42-、SCN-D．c(H＋)/c(OH-)＝1012的溶液中：NH＋4、Al3+、NO－3、Cl－11、下列说法不正确的是（）A．K sp只与难溶电解质的性质和温度有关B．由于K sp(ZnS)＞K sp(CuS)，所以ZnS沉淀在一定条件下可转化为CuS沉淀C．其他条件不变，离子浓度改变时，K sp不变D．两种难溶电解质作比较时，K sp小的溶解度一定小12、一定温度下，有可逆反应：2A(g)＋2B(g)C(g)＋3D(g)；ΔH＜0。
2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题(四)(含答案)
2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题卷（理科）（四）一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分） 1．如果命题"()p q ⌝∨”为假命题，则（ ）A ．,p q 均为真命题B ．q p ,均为假命题C ．q p ,至少有一个为真命题D ．q p ,中至多有一个为真命题2．设双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x的焦距为x y 6=，则此双曲线的方程为（ ）A ．1622=-y x B ．124422=-y x C ．1622=-y x D ．132422=-y x 3．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥C ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 4．下列命题中，真命题是 （ ）A ．00,20x x R ∃∈≤使成立B ．2,2x x R x ∀∈>都有成立C ．0=+b a 的充要条件是ab=-1 D ．1>a 且1>b 是1>ab 的充分条件5．已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A ．1或3- B ．1-或3 C ．1或3 D ．1-或36．设c b a ,,分别是△ABC 中，C B A ,,所对边的边长，则直线0s i n=++⋅c ay x A 与0sin sin =+⋅-C y B bx 的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 7．已知圆C ：02222=-+-y x x ，点)0,2(-A 及点),4(a B ，从A 点观察B 点， 要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),1()1,(+∞⋃--∞ B ．),2()2,(+∞⋃--∞C ．),334()334,(+∞⋃--∞ D ．),23()23,(+∞⋃--∞ 8．一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为（ ）A．6+ B．12+ C．12+ D．18+9．点)1,3(-P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为)5,2(-=的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) A ．22B ．31C ．33 (D ．2110．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-．若方程1(2)kx ⊗-=有解，则k 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ﹒40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ﹒10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ﹒14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）11．已知302010x y x y x y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则222415x y x y +-++的最大值为12．已知()(1,5,1),2,14,2,24a b a x b =-=-+=，则x =13．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是),4(a ，则当||4a >时，||||PA PM +的最小值 （结果用a 表示）14．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 是圆F ：42122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为_____________15．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1； ④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确命题的序号是________三、解答题（共6道题，共75分）16．已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆4)3(:22=-+y x C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线063:=++y x m 相交于点N ．（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：AN AM ⋅是定值．17．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，14,2AA AB ==，点E ，F 分别在1CC 和1A A 上，且1A F CE =（1）求证：1B F ∥平面BDE （2）若1AO BE ⊥，求CE 的长； （3）在（2）的条件下，求二面角1A BE O --的余弦值．18．(12分)已知椭圆)0(33:222>=+b b y x C . （1）求椭圆C 的离心率；（2）若B A b ,,1=是椭圆C 上两点，且3=AB ，求△AOB 面积的最大值.19．（12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥． （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．20．（13分）已知曲线E 上的点到直线2y =-的距离比到点)1,0(F 的距离大1 （1）求曲线E 的方程；（2）若过)4,1(M 作曲线E 的弦AB ，使弦AB 以M 为中点，求弦AB 所在直线的方程.（3）若直线b x y l +=:与曲线E 相切于点P ,求以点P 为圆心，且与曲线E 的准线相切的圆的方程．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（1）求椭圆的方程；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
2015-2016学年高二上期末数学(理)试卷
2015-2016学年度高二第一学期期末（理科）数学试题一．选择题 (本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.“若α＝4π，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠4π，则tan α≠1B ．若α＝4π，则tan α ≠12．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A 。
n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)B ．n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)D ．n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)3．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若，则”的逆命题是真命题B ．命题“，”的否定是：“，”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α＝4π4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知→AB ＝a ，→AD ＝b ，→AA1＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量→BD1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．sin θ＝|n||a||n ·a|B ．cos θ＝|n||a||n ·a|C ．sin θ＝|n||a|n ·aD ．cos θ＝|n||a|n ·a 6．已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则非p 是 ( )A ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<07.“”是“方程表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8 . 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D的中点，N 是棱A 1B 1上任意一点，则直线NO 、AM 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面不垂直D ．异面垂直9． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝21，则下列结论中错误的是 ( )A ．△AEF 的距离与△BEF 的面积相等B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．AC ⊥BE10．若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和30则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )A ．B ．C ．D ． 11.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(非p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤112.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D1B D1P ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围是( ) A.31 B.21 C.，11 D.，11二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.已知命题存在．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．14.如图，椭圆的中心在坐标原点，当→FB ⊥→AB 时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.15．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
【精品】2015-2016年重庆市部分区县高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0 2．（5分）直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0之间的距离为（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），则（）A．l⊂α B．l⊥α C．l∥α D．l与α斜交4．（5分）已知两直线l1，l2的斜率恰是方程x2+bx﹣1=0的两实根，则l1，l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．无法确定5．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）双曲线﹣=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一焦点的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．127．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）在圆x2+y2+2x﹣4y=0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．9．（5分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②10．（5分）如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）过点M（0，2）的直线l与抛物线y2=﹣4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（）A．|MA|+|MB|=2|MC| B．|MA|•|MB|=|MC|2C．|MA|=|MB|•|MC| D．|MA|2=|MB|2+|MC|2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．14．（5分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆O、正方形ABCD绕直线AC 旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1V2，则V1：V2=．15．（5分）已知命题p：+=1表示椭圆，命题q：+=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是．16．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．18．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．19．（12分）已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A﹣BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．20．（12分）平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．22．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，），求弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为：∃x∈R，x2＜0．故选：A．2．（5分）直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0之间的距离为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0，∴由平行线间的距离公式可得d==，故选：B．3．（5分）已知直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），则（）A．l⊂α B．l⊥α C．l∥α D．l与α斜交【解答】解：∵直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），，∴，∴l⊥α．故选：B．4．（5分）已知两直线l1，l2的斜率恰是方程x2+bx﹣1=0的两实根，则l1，l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2+bx﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：C．5．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）双曲线﹣=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一焦点的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：双曲线﹣=1的a=4，设双曲线的焦点为F1，F2，由题意可设|PF1|=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，即有|2﹣|PF2||=8，解得|PF2|=10（﹣6舍去），故选：C．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°．故选：C．8．（5分）在圆x2+y2+2x﹣4y=0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，∴过（0，1）的直径斜率为=﹣1，∴与此直径垂直的弦的斜率为1，∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是故选：B．9．（5分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②【解答】解：在①中，平行于同一平面的两条直线互相平行或相交，故①错误；②分别和两条异面直线均相交的两条直线不一定是异面直线，如右图此各情况下两直线相交，故②错误；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故③正确；④若两个平面垂直，那么由面面垂直的性质定理得一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直，故④正确．故选：C．10．（5分）如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定【解答】解：∵如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，∴M是BC的中点，∵AB=AC=BD=DC，∴AM⊥BC，DE⊥BC，∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面AMD，∴∠BAM是直线AB与截面ADM所成角，∵BM=，BM⊥AM，∴sin∠BAM==，∴∠BAM=30°．∴AB与截面ADM所成角为30°．故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得，PF1=∵tan30°====∴∵0＜e＜1∴e=故选：D．12．（5分）过点M（0，2）的直线l与抛物线y2=﹣4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（）A．|MA|+|MB|=2|MC| B．|MA|•|MB|=|MC|2C．|MA|=|MB|•|MC| D．|MA|2=|MB|2+|MC|2【解答】解：如图，设直线l的方程为y=kx+2，∴，代入抛物线方程并整理得：；设A（x1，y1），B（x2，y2），则；∴=；∵；∴，；∴；∴|MA||MB|=|MC|2．故选：B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由=≠1，解得：a=．综上，a=0或，故答案为：0或；14．（5分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆O、正方形ABCD绕直线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1V2，则V1：V2=．【解答】解：设AC=BD=2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，故V1=2××π=，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，故V2=（）3=，故V1：V2=：=1，故答案为：．15．（5分）已知命题p：+=1表示椭圆，命题q：+=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜3，且m≠2．【解答】解：命题p：+=1表示椭圆，则，解得﹣2＜m＜6，且m≠2．命题q：+=1表示双曲线，则（m﹣3）（m+1）＜0，解得﹣1＜m＜3．若命题“p∧q”为真命题，则，解得﹣1＜m＜3，且m≠2．故答案为：﹣1＜m＜3，且m≠2．16．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【解答】解：由题意可得，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，根据两圆圆心距d==|a|，可得2﹣1＜|a|＜2+1，即：＜|a|＜，∴﹣＜a＜﹣或＜a＜，故实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：∵2x+（m+1）y+2m=0（m∈R），令x=0，得y=﹣，令y=0，得x=﹣m，∵直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，∴﹣m=﹣2×，解得m=3或m=0，当m=0时，直线为2x+y=0，当m=3时，直线为x+2y+3=0．18．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．【解答】解：（Ⅰ）双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为x﹣y=0，可得=，又一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，可得：c=1，即a2+b2=1，解得a=，b=，则双曲线的方程为4x2﹣y2=1；（Ⅱ）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），由球与双曲线渐近线相切，可得：半径r==，可得球的表面积为S=4πr2=4π•=3π．19．（12分）已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A﹣BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由已知中的三视图，可得A，B，C，D四点位置如下图所示：∵正方体的棱长为2，故AB=BD=AC=CD=，AD=2，BC=，令E为AD的中点，连接BE，CE，则BE⊥AD，CE⊥AD，则AD⊥平面BCE，∴AD⊥BC；（Ⅱ）解：由勾股定理可得：BE=CE=，由海伦公式平面BCE的面积S=，又由AD=2，故四面体A﹣BCD的体积V=××2=1．20．（12分）平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x，y），则∵B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|，∴（x+1）2+y2=2（x﹣1）2+2y2，∴x2+y2﹣6x+1=0∴顶点A的轨迹方程为x2+y2﹣6x+1=0；（Ⅱ）x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，∴A到x轴的最大距离为2，∴△ABC的面积的最大值为=2．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ取BC中点O，连结AO，以O为原点，OB为x轴，过O作BB1平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B1（1，2，0），A1（0，2，），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣），=（1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣1，﹣），•=1﹣4+3=0，•=﹣1﹣2+3=0，∴AB1⊥A1B，AB1⊥A1D，∵A1B∩A1D=A1，∴AB1⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）=（1，1，），=（1，﹣1，），=（2，﹣1，0），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设平面A1DB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，2，﹣），设二面角A﹣A1D﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==．∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为22．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，），求弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．∴=，b=1．又a2﹣c2=b2，从而a=，c=1．∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵线段MW的中点为（1，），∴2（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）=0，∴直线MN的斜率为﹣1，∴直线MN的方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0，与椭圆方程联立可得3x2﹣6x﹣2.5=0，∴|MN|=•=．（Ⅲ）假设存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F．∵B（0，1），F（1，0），∴k BF=﹣1．由BF⊥MN，知k MN=1．设直线l的方程为y=x+m，代入=1得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=﹣，x1x2=．由题意，有•=0．∴x 1（x 2﹣1）+y 2（y 1﹣1）=0，即x 1（x 2﹣1）+（x 2+m ）（x 1+m ﹣1）=0，∴2x 1x 2+（x 1+x 2）（m ﹣1）+m 2﹣m=0．于是2•2+（﹣）（m ﹣1）+m 2﹣m=0．解得m=﹣或m=1．经检验，当m=1时，△PQN 不存在，故舍去m=1．当m=﹣时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y=x ﹣．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =第21页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f(q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第22页（共22页）。
2015-2016高二期末考试理科数学试卷题(含答案)
2015-2016 高二期末考试理科数学试卷题 ( 含答案 )2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二理科数学2016.1本试卷共 6 页， 22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生第一检查答题卡能否整齐无缺损，监考教师散发的考生信息条形码能否正确；以后务必用 0.5 毫米黑色笔迹的署名笔在答题卡指定地点填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向正确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整齐、不污损 .2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，答案不可以答在试卷上 . 不按要求填涂的，答案无效 .3．非选择题一定用0.5 毫米黑色笔迹的署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内相应地点上，请注意每题答题空间，早先合理安排；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；禁止使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答无效 .4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答 .漏涂、错涂、多涂的答案无效 .一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分60 分．在每题给出的四个选项高二理科数学第2页（共 4 页）中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．不等式x22x 5 2x 的解集是(A ．x | x 5或x1B．C．x | 1x5D．)x | x 5或 x1 x | 1 x52．已知向量a( 1,0,2), b (1,1,0) ，且a k b与2b a 相互垂直，则 k 值为（）A ．7B．3C．1555 D．13．“x2y2”是“x y ”的（）A．充足不用要条件B．充足必需条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件4．若方程E :x2y 2 1 表示焦点在y轴上的双1m m2曲线，则实数 m 的取值范围为（）A．1,2B．,1)(2,C．(,2)D．(1, )5．在ABC中, a23,b 22,B 45，则角 A等于() A．30B．60C．60或120D．30或1506．已知1, a1, a2,8成等差数列，1, b1 ,b2 , b3 , 4 成等比数高二理科数学第3页（共 4 页）列，那么a1a2的值为()b2A ．5B．5 C ．52 D．527 ．若动点M (x, y)始终满足关系式x2( y 2)2x2( y 2) 28，则动点 M 的轨迹方程为（）A． x2y 2 1 B．x2y2 1 C．x2y21 161212161216 D．x 2y 218．已知等差数列a n 的前n项和S n ，且知足-2，则a1（）S n 1 n2nA ．4B．2C．0D．2x y09．已知x, y知足拘束条件x y2，若z x ay的最y0大值为 4，则a（）A ．3B．2C．2 D．310．在ABC中, a2, c1，则角C的取值范围是()高二理科数学第4页（共 4 页）A ．0,B ．, 26 3D ． (0, ]611．已知直线 l : y kx 2k 1与抛物线 C : y 2且仅有一个公共点，则实数为( )C ．,6 24x，若 l 与 C 有k的取值会合A ．1,1B ． 1,0C ．1,0,122D ． 0,1212．已知圆 C 1 : x2y 2 b 2与椭椭圆 C 2:x 2y 2，若在22 1ab椭圆 C 2上存在一点P，使得由点 P 所作的圆C 1的两条切线相互垂直，则椭圆C 2的离心率的取值范围是（）A ． [ 2 , 3 ]B ．[ 1 ,1) C．[ 3,1)2 222D ．[2,1)2二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，满分 20 分．13．已知命题 p : x R, x 21 m; 命题 q : 指数函数 f (x)(3 - m) x是增函数 .若“ p q”为假命题且“ p q ”为真命题，则实数m的取值范围为.高二理科数学 第5页 （共 4 页）14．已知点M , N分别是空间四周体OABC 的边OA和BC 的中点， P 为线段 MN 的中点，若OP OA OB OC ，则实数. 15．设数列a n的前n项和为S n，且a11, a n 1S n S n 1，则数列 an的通项公式 a n．x2y216．已知双曲线C :1，点M与曲线C的焦94点不重合，若点 M 对于曲线 C 的两个焦点的对称点分别为 A, B ，且线段MN的中点P恰幸亏双曲线 C 上，则| AN BN |三、解答题：本大题 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分 10 分）设命题p : x24ax 3a20 （此中a0 ， x R ），命题 q : x2 5x 6 0 ，x R.（1）若a 1，且p q为真，务实数x的取值范围；（2）若p是q的充足不用要条件，务实数a的取值范围．18．（本小题满分 12 分）高二理科数学第6页（共 4 页）已知函数 f ( x) log2 x, g( x) x 22x，数列a n的前n项和记为Sn， b n为数列b n的通项，n∈ N*.点(b n ,n)和 (n, S n ) 分别在函数 f ( x)和 g (x) 的图象上．（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）令Cn1，求数列 C n的前n项和T n．a n f (b2n 1 )19．（本小题满分 12 分）已知 a 、b、c 分别是ABC 的三个内角 A 、B 、C所对的边（1）若ABC面积S ABC3 ,c 2, A 60 , 求 a 、b的值；2（2）若a c cosB，且b c sin A，试判断ABC的形状．20．（本小题满分 12 分）已知直线 l 过点 M (1,1) ，且与x轴，y轴的正半轴分别订交于 A, B 点，O为坐标原点．（1）当|OA | |OB |获得最小值时，直线l的方程；（2）当| MA |2| MB |2获得最小值时，直线l的方程．高二理科数学第7页（共 4 页）21．（本小题满分 12 分）如下图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1AD 1，E为CD的中点．（1）求证：B1E AD1（2）若二面角A B1E A1的大小为 30°，求AB的长．22．（本小题满分 12 分）如图示，A, B 分别是椭圆 C：x2y21(a b0)a2b2的左右极点，F 为其右焦点，2是| AF |与| FB |的等差中项， 3 是| AF |与| FB |的等比中项.点P是椭圆C上异于 A 、B 的任一动点，过点A作直线 l x 轴.以线段 AF 为直径的圆交直线AP 于点 A、M ，连结FM 交直线l于点Q .（1）求椭圆 C 的方程；高二理科数学第8页（共 4 页）（2）试问在x轴上能否存在一个定点直线 PQ 必过该定点N？l 若存在，求出 N 点的坐QM 标，若不存在，说明理A由.N，使得yPF BO x宝安区 2015-2016 学年度第一学期期末调研考试一试题高二数学（理科）选择题： BACAC BBDAD CD一、填空题高二理科数学第9页（共 4 页）13)m[1,2)1(n1) a n1( n2)n( n1)14)16) 12315)4三、解答题17[解](1) 当＝1时，由2－4x＋3＜0，得 1xa＜x＜3，................1分即命题 p 为真时有1＜x＜3.命题q为真时，2 x 3................2分由 p∧q 为真命题知， p 与 q 同时为真命题，则有 2＜x＜3.即实数x的取值范围是(2,3) ．................4分(2) 由x2－4ax＋3a2＜0，得 ( x－3a)( x－a)＜0.高二理科数学第10页（共4页）又a＞0，所以a＜x＜3a，................6分由p 是q 的充足不用要条件知，q 是 p 的充足不用要条件．有{ 2 x 3}{ x| a＜x ＜3a} ．................8 分解得 1＜a<2.因此a 23a 3即数a的取范是(1,2) ．................10分18解(1) n log 2 b n b n2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2分S n n 22n S n 1(n 1)22( n 1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分高二理科数学第11页（共 4页）故a n 2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ . 6 分(2) C n1分( 2n1)( 2n1)81 (111)10分22n2n1故Tn11⋯⋯⋯⋯⋯ .1224n2分19.[ 解] 1）得 b 1⋯⋯⋯3分SABC1bc sin A3，1 b 2 sin 60 3 ，2222由余弦定理得：a2b2c22bc cos A 12222 1 2cos60 3 ，因此 a3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（2）由余弦定理得：a c a2c2 b 2 a 2b2 c 2，2ac因此 C 90⋯⋯8分在 Rt ABC 中，sin A a，因此 b c a ac c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分因此 ABC是等腰直角三角形；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分高二理科数学第12页（共4页）20.[ 解 ](1)A( a, 0)， B(0， b)( a>0，b>0)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1分x y 1 1直l的方程a＋b＝1，a＋b＝1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3分因此 | OA| ＋| OB| ＝a＋b＝( a＋b) (1 1)a bb a b a＝ 2 ＋a＋b≥ 2 ＋ 2a·b＝4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5分当且当 a＝b＝2取等号，此直 l的方程 x＋y－2＝0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分(2)直 l 的斜率 k， k<0，直 l的方程 y－1＝k( x－1)，A 11,0，B(0,1－kk)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7 分因此 | MA|2＋| MB|2＝1 121＋ 12＋ 12＋ (1k高二理科数学第13页（共4页）22121－1＋k) ＝2＋k＋k2≥2＋2 k·k2＝4.21当且当 k ＝k2，即 k＝－1，上式等号成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯.11分∴当 | MA|2＋|MB|2获得最小，直 l 的方程 x＋y－2＝0.．⋯⋯⋯⋯⋯⋯.12分21[ 解](1) 明：以A原点，→，→，→的方向分，AB AD AA1xy ，z 的正方向成立如所示的空直角坐系．⋯⋯⋯1分AB＝a， A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，a,1,0)→a,1,0) .E(，B1( a, 0,1)，AB1＝( a, 0,1)，AE( 22故→＝(0,1,1)，AD1B1E(a,1, 1)⋯⋯⋯⋯⋯.2分∵2→→＝－aAD· BE2×0＋1×1＋(－1)×1＝11高二理科数学第14页（共4页）0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3分∴B 1E⊥AD 1. ⋯⋯⋯⋯.4分(2)A 1D ，B 1C ，由 方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 及 AA 1＝AD ＝1，得 AD 1⊥A 1D .∵ B 1C ∥ A 1D ，∴AD 1⊥ B 1C .确良. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5分又由 (1) 知 B 1E ⊥AD 1，且 B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面 DCB 1A 1，∴→是平面的一个法向量，此→AD 1A 1B 1EA D 1＝ (0,1,1) ． . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分→与 所成的角 θ ，AD 1 n→1cos θ ＝n ·AD＝→| n || AD 1|高二理科数学 第15页 （共 4页）a－2－a.. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8a 222· 1＋ 4 ＋a分∵二面角 A - B 1E - A 1 的大小 30°，∴ |cos θ | ＝ cos 30 ° ， 即3a23⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分5a 2＝ 2 ，2·1＋ 4解 得 a ＝ 2 ， 即 AB 的2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22.（ 1） 由意 得AF a c ，FBa c ， ........................................................1分即(a c) (a c) 2（ ac ）（ a c ） ( 3) 2，............................................................高二理科数学 第16页 （共 4页） (2)分解得： a 2, c 1 ，b 2 a 2 b 2 3，........................................................................................3分所求椭圆的方程为：x 2 y 2 1............................43............................................4分(2) 假定在 x 轴上存在一个定点N (n,0)，使得直线PQ必过定点 N (n,0) (5)分设动 点 P( x 0, y 0) ，由 于 P 点异于ly A 、B，Q PM故 y 0且 x 02AFBOx由点 P 在椭圆上，故有222x 0y 01 y 02 3( 4 x 0 ) .......① (6)a 2b 24分又由（ I ）知 A(2,0), F (1,0)，因此直线AP的斜率高二理科数学 第17页 （共 4页）KAPy0 (7)x02分又点 M 是以线段 AF 为直径的圆与直线AP 的交点，因此 AP FM ，所以kAP KMF1kMF1x2 ，.....kAP y0............................8分所以直线FM的方程：y x02( x1) ........................... y0 (9)分联立 FM、 l 的方程y x022)) .y0，得交点 Q( 2, 3(x0x2y0所以P、 Q两点连线的斜率y03( x02)y02y03( x02) ......②kPQx0 2y0 ( x0 2)将.①式代入②式，并整理得：K PQ 3( x2) ..............................4 y0...........................10分高二理科数学第18页（共4页）y0又P、N两点连线的斜率 k PNx0n恒成立若直线 QP 必过定点 N (n,0) ，则必有kPQ K PN即3( x0 2)y0整理得：4y0x0 n4 y023(x0 2)( x0n) ....③ ......................11分将. ①式代入③式，得43( 4x2 )3( x02)(x0 n)4解得： n 2故直线PQ过定点2，0 . ....................................12分高二理科数学第19页（共4页）。
2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题(五)(含答案)
2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题卷（理科）（五）一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）1．若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）A ．等于0B ．等于4π C ．等于2π D ．不存在2．若直线α//a ，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或平3．直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:280l mx y ++=平行，则m 等于（ ）A ．1B ．23-C ．－2或1D ．－24．已知221||12x y m m+=--表示焦点在y 轴上椭圆，则m 范围为（ ）A ．2m <B ．1m <-或312m <<C ．1m <-或12m <<D ．12m << 5．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ．15 C ．35 D ．756．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0lg =x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则lg 0x ≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则:p x R ⌝∀∈，均有1sin ≤xD ．“2x >”是“211<x ”的充分不必要条件 7．圆22221x y +=与直线sin 10(,,)2x y R k k Z πθθθπ⋅+-=∈≠+∈位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．由θ确定 8．已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相 切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）AB ．23 CD ．599．已知正方体ABCD --1111A BC D 中，M 为AB 中点，棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，且满足条件13PD PM =，则动点P 在底面ABCD 上形成的轨迹是（ ） A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．圆10．在球O 的表面上有A B C 、、三个点，若3AOB BOC COA π∠=∠=∠=，且O 到平面ABC的距离为）A ．48πB ．36πC ．24πD ．12π二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知圆222:r y x C =+与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r ＝_______________12．设双曲线22221x y a b -=与22221(0,0)x y a b a b-+=>>离心率分别为12,e e ，则当,a b 变化时，12e e +最小值为 .13．椭圆C 的左右焦点分别为()()123,0,3,0F F -,长轴长为10,点()1,1A 是椭圆内一点,点P 是椭圆上的动点,则253PA PF +的最小值为14．已知条件a x p >:，条件02:2>-+x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____________15、如图，正方体ABCD --1111A BC D 中，点11,BC N AB M ∈∈，且BN AM =，有以下四个结论：①MN AA ⊥1；②MN C A //11；③MN 与面1111A B C D 成0°角；④MN 与11C A 是异面直线。
2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题(六)(含答案)
- 1 -2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题卷（理科）（六）一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ B ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2.抛物线24y x =-的焦点坐标是（） A ．（– 1，0）B ．（0，– 1）C ．（116-，0） D ．（0，116-） 3.圆22230x y x +--=的圆心到直线y = x 距离为（） A ．12BCD ．24.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 （ A ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、即不充分也不必要条件5.已知点F 1（– 3，0）和F 2（3，0），动点P 到F 1、F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为（）A ．22145x y -=B ．221(0)45x y x -=>C ．22145y x -=D ．221(0)45y x y -=>6.若直线2(1)20(1)(2)10mx m y m x m y ++-=+--+=与直线互相垂直，则m 的值为（）A ．– 1B ．–2C ．– 1或– 2D ．– 1或127.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A.12- B. 2 C. 12+ D. 22+8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( B )A ．4 B．262D ．8 9.在△ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，P A ⊥平面ABC ，P A = 8，则点P 到BC 的距离是（）AB．C．D．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A, B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是12.直线2310x y -+=关于直线y = x 对称的直线方程为_________________．13.双曲线221129x y -=-的渐近线方程为______________．14．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为______3_____________15．已知抛物线21:4C x py =，圆2222:()C x y p p +-=，直线1:2l y x p =+，其中0p >，直线l 与12,C C 的四个交点按横坐标从小到大依次为,,,A B C D ，则AB CD ⋅的值为________- 2 -三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(13分) 已知双曲线C 与椭圆22925225x y +=有相同的焦点，且离心率e = 2（1）求双曲线C 的方程；（2）若P 为双曲线右支上一点，F 1、F 2为其焦点，且PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积．17.已知⊙C ：22(3)(3)4x y -+-=，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与⊙C 相交，求k 的取值范围；（2）若l 与⊙C 交于A 、B 两点，且||2AB =，求l 的方程．18.(12分) 如图，D 是△ABC 所在平面外一点，DC ⊥AB ，E 、F 分别是CD 、BD 的中点，且AD = 10，CD = BC = 6，AB =（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求异面直线AD 与BC 所成的角．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l，求△AOB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．20. （本题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且CD ⊥面PAD ，E 为侧棱PD 的中点.（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为45︒，求ADCD.21.（本题12分）设,A B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||AB =u u u r P 满足OP OA OB =+u u u r u u r u u u r，记动点P 的轨迹为C 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题及答案
N D 1C 1B 1A 12015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D) 330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD === a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =±（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+( B)2( C)4+( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C上且满足12MF MF +=uuu r uuu u r 则12MF F ∆的面积为(A)(B) (C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅= ，则1BC 与BM的夹角的最大值为(A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BA第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11BC A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)OD 1C 1B 1A 1D CBA N MDCBAP在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，AC BD O = ，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P A B C D -中，P A A B C D ⊥底面，底面A B C D 为直角梯形，//,90A D B C B A D ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2. …2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O所以点C 到直线l的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O = ，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A = ，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=.所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBC ADNM MN ⊂= 平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PA AB A = ，所以DA PAB ⊥平面.所以PB DA ⊥. ……7分 因为AM DA A = ，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n因为(2,1,2)PC =- ，(0,2,2)PD =-,所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,6BP BP BP ⋅〈〉===n n n所以二面角P DN A --……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC = ………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0).………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k 的取值范围为( .………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >. 即21113k >. 所以2103k <<. …12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为( . ………14分。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题 6
上学期期末素质测试试卷高二数学（必修③⑤，选修2-1.理科卷）（全卷满分150分,考试时间为120分钟）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．已知集合{}{}2230,430M x x x N x x x =->=-+>,则M N = (A)()0,1 (B)()1,3 (C)()0,3 (D)()3,+∞ 2. 抛物线26y x =的焦点到准线的距离为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）43．甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（A ）中位数 （B ）众数 （C ）方差 （D ）频率分布4．若实数a b c ，，满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是 （Ａ）ab ac > （Ｂ）22cb ab <（Ｃ）()0c b a -> （Ｄ）()0ac a c -<5．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 6．已知5432()54321f x x x x x x =+++++，若用秦九韶算法求(5)f 的值，下面说法正确的是（A ）至多4乘法运算和5次加法运算 （B ）15次乘法运算和5次加法运算 （C ）10次乘法运算和5次加法运算 （D ）至多5次乘法运算和5次加法运算7．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）978．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5o C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在0o C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均最高气温高于20o C 的月份有5个9．ABC △的两边长为23，，其夹角的余弦为13，则其外接圆半径为 （Ａ）922 （Ｂ）924 （Ｃ）928 （Ｄ）22910．设()n f x 是等比数列21,,,,()n x x x -- 的各项和，则()20162f 等于（A ）2016213+ （B ）2016213- （C ）2017213+ （D ）2017213-11．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若点P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（A ）直线 （B ）圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =， 则输出y 的值为______________;14．△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为__________;15．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的 最大值=______________;16. 设方程()0f x y =，的解集非空．如果命题“坐标满足方程()0f x y =，的点都在曲线C 上”是不正确的，有下面5个命题: ①坐标满足()0f x y =，的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足()0f x y =，； ③坐标满足()0f x y =，的点不都在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足()0f x y =，；⑤坐标满足()0f x y =，的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上。
2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣13．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞05．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=110．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．512．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．3．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率．【解答】解：∵椭圆+=1中a=3，b=2，∴c==，∴e==，故选：C．【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．【解答】解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x ＞2或x＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假．7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义．【分析】要判断：“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc≠0的情况下，先判断，“ac＞0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac ＞0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结．【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc≠0，ac＞0；反之，当abc≠0，ac＞0时，可能有a=b，方程表示圆，故“abc≠0，ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件．故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a，进而求得b，则问题解决．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF1|﹣|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20．又∵|PF1|•|PF2|=2，∴4a2=20﹣2×2=16∴a2=4，b2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y2=1．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力．10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===故选C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．故选C．【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0）是关键，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，∴=，∴2=（）2=+2||•||cos60°+2•||cos60°+2•cos60°=1+1+1+++=6，∴AC1的长为||=．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=3．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0 ∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x A2（x A2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，¬q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明•的取值范围为[3+2，+∞）．【解答】解：此命题为真命题．证明如下：∵F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3，∴双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有=1，（），解得，（x0），∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），∴==x0（x0+2）+=，这个二次函数的对称轴为，∵，∴当时，取得最小值=3+2，∴•的取值范围为[3+2，+∞）．【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【考点】轨迹方程；抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B=﹣16p2∴x2+y2﹣4px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ的值，可得的坐标以及||的值，从而得出结论．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，建立空间坐标系．则有题意可得D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．此时，=（0，，），||=，故当||=时，ES⊥平面AMN．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。
(新课标)2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷(理)
2015-2016学年度上学期（期末）考试高二数学理试题【新课标】试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．2＋iD ．2－i2．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( )A ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1≤0B ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1<0C ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1≥0D ．¬p：∀x ∈C ，x 2＋1>03．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( )A ．7B ．15C ．25D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．235．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1 C．m >1 D ．m >26．下列命题中，假命题．．．是( ) A ．若命题p 和q 满足p ∨q 为真，p ∧q 为假，，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －17．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 0528．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )A ．789B ．262C ．86D ．279．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。
2015-2016年重庆市万州高中高二(上)期末数学模拟试卷(理科)及答案
2015-2016学年重庆市万州高中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知命题p：∃x∈（0，），使得cosx≥x，则该命题的否定是（）A．∃x∈（0，），使得cos x＞x B．∀x∈（0，），使得cos x≥xC．∃x∈（0，），使得cos x＜x D．∀x∈（0，），使得cos x＜x3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON的长为（）A．2 B．4 C．8 D．5．（5分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=17．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若=+x+y，则（）A．x=﹣B．x= C．x=﹣D．x=8．（5分）已知P是椭圆+=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若=，则△F1PF2的面积为（）A．3 B．2 C．D．9．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）四面体ABCD中，∠CBD=90°，AB⊥面BCD，点E、F分别为BC、CD 的中点，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面将四面体ABCD分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比为（）A．B．C．D．12．（5分）已知点O为坐标原点，F为椭圆C：=1的左焦点，点P、Q在椭圆上，点P、Q、R满足•=0，+2=，则|的最大值为（）A．6 B．（1++）C．3+3D．3+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于．14．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，点E是B1C1的中点，则异面直线AC1与BE所成角的大小为．15．（5分）点F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C的离心率为．16．（5分）设F为抛物线C：y2=﹣12x的焦点，过抛物线C外一点A作抛物线C的切线，切点为B．若∠AFB=90°，则点A的轨迹方程为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．19．（12分）在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的大小；（Ⅲ）若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．20．（12分）已知点A（4，8）关于直线l1：x+y=4的对称点B在抛物线C：y2=2px （p＞0）的准线上．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l2与x轴交于点D，与抛物线C交于E、F两点．是否存在定点D，使得为定值？若存在，请指出点D的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．（1）求AC1的长；（2）设直线AC1与平面A1DB交于点G，求证：．22．（10分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和椭圆C2：=1，离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．2015-2016学年重庆市万州高中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，∴“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，或x∈P”，∴“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选：A．2．（5分）已知命题p：∃x∈（0，），使得cosx≥x，则该命题的否定是（）A．∃x∈（0，），使得cos x＞x B．∀x∈（0，），使得cos x≥xC．∃x∈（0，），使得cos x＜x D．∀x∈（0，），使得cos x＜x【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x∈（0，），使得cosx≥x，则该命题的否定是：∀x∈（0，），使得cos x＜x．故选：D．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．4．（5分）如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是坐标原点，则ON的长为（）A．2 B．4 C．8 D．【解答】解：∵椭圆，∴a=9，根据椭圆的定义得：|MF2|=18﹣2=16，而ON是△MF1F2的中位线，∴，故选：C．5．（5分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，解得：k=；当直线l过B点时，直线l的斜率为=，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．故选：D．6．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C ．+=1D ．+=1【解答】解：∵F 1（﹣1，0）、F 2（1，0）， ∴|F 1F 2|=2，∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项， ∴2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|， 即|PF 1|+|PF 2|=4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a=4，a=2 c=1 ∴b 2=3， ∴椭圆的方程是故选：C ．7．（5分）如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若=+x+y，则（ ）A ．x=﹣B ．x=C ．x=﹣D ．x=【解答】解：根据题意，得；=+（+）=++=﹣+， 又∵=+x+y，∴x=﹣，y=，故选：A．8．（5分）已知P是椭圆+=1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若=，则△F1PF2的面积为（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：由题意可得：a=5，b=3，所以c=4，即F1F2=2c=8．设F1P=m，F2P=n，所以由椭圆的定义可得：m+n=10…①．因为，所以由数量积的公式可得：cos＜＞=，所以．在△F1PF2中∠F1PF2=60°，所以由余弦定理可得：64=m2+n2﹣2mncos60°…②，由①②可得：mn=12，所以．故选：A．9．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的焦点为（）双曲线的焦点为（c，0）（其中c2=a2+b2）所以p=2c经过两曲线交点的直线垂直于x轴，所以交点坐标为（）代入抛物线方程得b2=2ac即c2﹣2ac﹣a2=0解得离心率e=故选：B．11．（5分）四面体ABCD中，∠CBD=90°，AB⊥面BCD，点E、F分别为BC、CD 的中点，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面将四面体ABCD分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，过点E、F和四面体ABCD的外接球球心O的平面垂直于平面BCD，截面三角形与△ABD相似，面积比为，又因为较小部分的截面上的高高与四面体ABCD的对应的高之比为，所以较小部分的体积与四面体ABCD的体积之比为，故选：A．12．（5分）已知点O为坐标原点，F为椭圆C：=1的左焦点，点P、Q在椭圆上，点P、Q、R满足•=0，+2=，则|的最大值为（）A．6 B．（1++）C．3+3D．3+3【解答】解：由题意，P，Q关于x轴对称，设P（x，y），则R（x，3y），∵F（﹣，0），∴|=•+=|x+3|+，设x=3cosα（0＜α＜π），则|=|3cosα+3|+3sinα=3+3sin（α+）∴sin（α+）=1时，|的最大值为3+3，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于2．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=10，∴r=2．故答案为：2．14．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，点E是B1C1的中点，则异面直线AC1与BE所成角的大小为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C1（0，2，1），B（2，2，0），E（1，2，1），=（﹣2，2，1），=（﹣1，0，1），设异面直线AC1与BE所成角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=||=，∴θ=．∴异面直线AC1与BE所成角为．故答案为：．15．（5分）点F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C的离心率为2．【解答】解：由题意，△AOF是等边三角形，∴=，∴双曲线C的离心率为==2．故答案为：2．16．（5分）设F为抛物线C：y2=﹣12x的焦点，过抛物线C外一点A作抛物线C 的切线，切点为B．若∠AFB=90°，则点A的轨迹方程为x=3．【解答】解：∵F为抛物线C：y2=﹣12x的焦点，∴F点的坐标为（﹣3，0），设点B坐标为（，a），则切线BA的方程为：ay=﹣12（x）×，即y=﹣x+，…①，k FB=，∵∠AFB=90°，∴k FA=，故FA的方程为：y=（x+3），…②由①②得：﹣x+=（x+3）即x=﹣=，解得：x=3，故点A的轨迹方程为x=3，故答案为：x=3．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3），（Ⅰ）若点P（m，m+1）在圆C上，求PQ的斜率；（Ⅱ）若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值；（Ⅲ）若N（a，b）满足关系：a2+b2﹣4a﹣14b+45=0，求出t=的最大值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8．点P（m，m+1）在圆C上，所以m2+（m+1）2﹣4m﹣14（m+1）+45=0，解得m=4，故点P（4，5）．所以PQ的斜率是k PQ==；（2）如图，点M是圆C上任意一点，Q（﹣2，3）在圆外，所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r，|QC|﹣r．Q（﹣2，3），C（2，7），|QC|==4，r=2，所以|MQ|max=6，|MQ|min=2．（3）点N在圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上，t=表示的是定点Q（﹣2，3）与圆上的动点N连线l的斜率．设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．当直线和圆相切时，d=r，即=2，解得k=2±．所以t=的最大值为2+．19．（12分）在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的大小；（Ⅲ）若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．（2分）又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（4分）（Ⅱ）∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD∴AB⊥BD．∴∠CBD是二面角C﹣AB﹣D的平面角．（6分）∵在Rt△BCD中，BC=CD，∴∠CBD=45°．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为45°．（9分）（Ⅲ）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH．∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．（12分）∴∠BDH=30°．在Rt△BHD中，，∴．又∵在Rt△BHC中，BC=1，∴∠BCH=45°，∴在Rt△ABC中，AB=1．（14分）20．（12分）已知点A（4，8）关于直线l1：x+y=4的对称点B在抛物线C：y2=2px （p＞0）的准线上．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l2与x轴交于点D，与抛物线C交于E、F两点．是否存在定点D，使得为定值？若存在，请指出点D的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设B（m，n），则∴，所以抛物线C的方程为y2=16x．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），l2：x=sy+t，由．其中△=（16s）2+64t＞0，则y1+y2=16s，y1y2=﹣16t，=+=+====+，所以t=8时，存在定点D（8，0），使得为定值．21．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．（1）求AC1的长；（2）设直线AC1与平面A1DB交于点G，求证：．【解答】（1）解：∵∴==50，∴||=5（2）证明：由A，G，C1三点共线知，存在λ∈R，使得由B，D，A1，G四点共面知，存在x，y，z∈R，使得，且x+y+z=1由空间向量基本定理，得x=y=z=λ，∴，∴．22．（10分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和椭圆C2：=1，离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．【解答】解：（Ⅰ）由题知，且即a2=4，b2=2，∴椭圆C1的方程为；…（4分）（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时，必有，此时|AC|=2，…（5分）当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，得，设A（x1，y1），C（x2，y2），则，即x0=﹣2ky0…（8分）又，∴…（9分）==综上，无论P怎样变化，△AOC的面积为常数．…（12分）。
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重庆市万州高级中学2015-2016学年度高二（上）期末模拟测试数学（理工农医类）试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x∈M 或x∈P”是“x∈M∩P”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≥x ，则该命题的否定．．是 （ ▲ ） A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >x B ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x<xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x<x3．几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是 （ ▲ ） A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 24.如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2， N 是1MF 的中点，O 是坐标原点,则线段ON 的长为（ ▲ ）A. 2B. 4C. 8D.23 5. 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ▲ )A ．(0，512)B ．(512，＋∞) C．(13，34] D ．(512，34]6.已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F ,P 是平面内一动点，且满足12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ▲ ）A.221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134x y += 7. 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( ▲ )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝128. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21F PF ∆的面积为（ ▲ ）A ．33B ．3C ．32D ．339.2)0>>n m 的曲线在同一坐标系中的示意图应（ ▲ ）10.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ▲ ）A. 1B.1111.四面体ABCD 中，090,CBD AB BCD ∠=⊥面，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，过点E 、F 和四面体ABCD 的外接球球心O 的平面将四面体ABCD 分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD 的体积之比为（ ▲ ） A ．18 B ．316 C ． 14 D ．276412.已知点O 为坐标原点，F 为椭圆:C 2213x y +=的左焦点，点P 、Q 在椭圆上，点P 、Q 、R 满足0,20OF PQ QR PQ ⋅=+=OR +的最大值为（ ▲ ）A ．6 BC ． 3+．3+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在答题卡相应位置上。
13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ▲ . 14.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AA =，点E 是11B C 的中点,则异面直线1AC 与BE 所成角的大小为 ▲ .15.点F 为双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心的圆过坐标原点O ，且与双曲线C 的两渐近线分别交于A 、B 两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C 的离心率为 ▲ .16.设F 为抛物线:C 212y x =-的焦点，过抛物线C 外一点A 作抛物线C 的切线，切点为B .若090AFB ∠=,则点A 的轨迹方程为 ▲ .三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分） 已知:p 方程012=++mx x 有两个不相等的负实根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若"q p ∨"为真，"q p ∧"为假，求m 的取值范围. 18．（本小题满分12分）已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (Ⅰ)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(Ⅱ)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值； (III)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值． 19．（本小题满分12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直， 且BC ＝CD ＝1.(Ⅰ)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角C －AB －D 的大小；(III)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． 20．（本小题满分12分）已知点()4,8A 关于直线1:4l x y +=的对称点B 在抛物线()2:20C y px p =>的准线上.(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)直线2l 与x 轴交于点D ，与抛物线C 交于E F 、两点． 是否存在定点D ，使得2211DE DF+为定值？若存在，请指出点D 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，14AB =， 3AD =，15AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒.(Ⅰ)求1AC 的长；(Ⅱ)设直线1AC 与平面1A DB 交于点G ， 求证：113AG AC =. 22．（本小题满分10分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和椭圆222:12x C y +=1）在椭圆C 1上．(Ⅰ)求椭圆C 1的方程；(Ⅱ)设P 为椭圆C 2上一点，过点P 作直线交椭圆C 1于A 、C 两点，且P 恰为弦AC 的中点．求证：无论点P 怎样变化，△AOC 的面积为常数，并求出此常数。
重庆市万州高级中学2015-2016学年度高二（上）期末模拟测试数学（理工农医类）参考答案二、填空题: 13．2 14．4π15．2 16． 3x = 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解: 若p 真，则⎪⎩⎪⎨⎧<->-=∆02042m m 解得：2>m若q 真，则016)44(162<-+-=∆m m 解得：31<<m 因为""q p ∨为真，""q p ∧为假，则p 与q 一真一假若p 真，q 假：则⎩⎨⎧≥≤>312m m m 或 故3≥m若p 假，q 真，则⎩⎨⎧<<≤312m m 故21≤<m 所以m 的取值范围是}321|{≥≤<m m m 或18.解：圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8.(1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4， 故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是|QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2± 3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.19．解： 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC .又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC . (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD . ∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt△BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°. ∴二面角C －AB －D 的大小为45°. (3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH .∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°. 在Rt△BHD 中，BD ＝2，∴BH ＝22. 又∵在Rt△BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt△ABC 中，AB ＝1. 解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)、A (0,0，a )、C (0,1,0)、D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)、BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →²n ＝x ＋y ＝0，BA →²n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1，∴n ＝(－1,1,0)．∴cos〈CD →，n 〉＝CD →²n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°.(3)AC →＝(0,1，－a )、CD →＝(1,0,0)、BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →²m ＝y ′－az ′＝0，CD →²m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →²m |BD →||m |＝a a 2＋1²2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1.20．解：⑴设(),B m n ,则81448422n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩4,0,4,82pm n p ∴=-=-=-=,所以抛物线C 的方程为216y x =. ⑵设()()11222,,,,:E x y F x y l x sy t =+ 由2216160.16x sy ty sy t y x=+⎧--=⎨=⎩得()216640s t ∆=+>,()()()()()()()()2222222222121122221212222222221211111111281818181DE DF s y s y x t y x t y y y y y s t t t sy y t s t s +=+=+++-+-++-+-===++++所以8t =时,存在定点()8,0D ,使得2211DE DF +=164. 21．解: （1）11AC AB AD AA =++21AC ∴ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅85=，1AC ∴=（2）首先，由1,,A G C 三点共线知，存在R λ∈，使得 111()AG AC AB AD AA AB AD AA λλλλλ==++=++其次，由1,,,B D A G 四点共面知，存在,,x y z R ∈，使得 1AG xAB yAD zAA =++ ，且1x y z ++=由空间向量基本定理可得x y z λ===，13λ∴=，113AG AC ∴=22.解：（Ⅰ）由题知，112=+ba 且22=a c 即2,422==b a ，∴椭圆1C 的方程为12422=+y x ； （Ⅱ）当直线AC 的斜率不存在时，必有)0,2(±P ，此时2||=AC ，2=∆AO C S 当直线AC 的斜率存在时，设其斜率为k 、点),(00y x P ，则)(00x x k y y AC -=-： 与椭圆1C 联立，得04)(2)(4)21(2000022=--+-++kx y x kx y k x k ， 设),(),,(2211y x C y x A ， 则20021021)(22k kx y k x x x +--=+=即002ky x -= 又222020=+y x 220211ky +=∴ 220022002220021]4)(2)[21(4)(1611||21k kx y k kx y k k k kx y S AOC+--+--⋅+⨯+-⨯=∆ 2222202220020021)21()21(2||)21(221)()21(2||2k y k k y k kkx y k kx y ++-++=+--+-=221||220=+=k y综上，无论P 怎样变化，AOC ∆的面积为常数2．。