中学数学第2讲 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
利用导数研究函数的极值(最值)
第14讲利用导数研究函数的极值/最值讲义高考中对导数这种方法要求很高，每年的考查形式灵活，难度较大.函数的单调性与极值，作为基础知识，我们一定要把这部分知识点理解好，掌握好，应用好，不管以什么样的形式考查都能处理的游刃有余.为了学习好导数这种方法，下面我们认真来学习用导数研究函数的极值与最值(1)明确函数的定义域，并求函数的导函数)(x f '； (2)求方程的根；(3)检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值，这个根叫做函数的极大值点；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值，这个根叫做函数的极小值点. 注意：函数的极值不一定是一个，有的题可能是多个，需要灵活掌握.函数的最大值和最小值(1)设是定义在区间上的函数，且在内可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：①求在内的极值；②将在各极值点的极值与、比较，来确定函数的最大值和最小值.(2)若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.注意：有时极大（小）值也是最大（小）值，有时不一定，需要具体问题具体分析.)(x f )(x f 0)(/=x f )(x f '0)(='x f )(x f )(x f )(x f y =[]b a ,),(b a )(x f y =[]b a ,)(x f y =),(b a )(x f y =)(a f )(b f )(x f []b a ,)(a f )(b f )(x f []b a ,)(a f )(b f讲义一、导入二、知识讲解知识点1 求函数极值知识点2 求函数最值【教学建议】【题干】1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【答案】D【解析】：由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【题干】2.已知函数f(x)＝2e f′(e)ln x－xe(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A．2e－1 B．－1e C．1 D．2ln 2【答案】D．【解析】由题意知，f′(x)＝2e f′（e）x－1e(x>0)，令x＝e得，f′(e)＝2f′(e)－1e，∴f′(e)＝1e，∴f′(x)＝2x－1e.令f′(x)＝0，得x＝2e.当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0；当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，2e)三、例题精析例题1上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 【题干】3.已知函数f (x )＝(x －2)(e x －ax )，当a ＞0时，讨论f (x )的极值情况． 【答案】见解析【解析】∵f ′(x )＝(e x －ax )＋(x －2)(e x －a )＝(x －1)(e x －2a )， 当a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln 2a .①当a ＝e2时，f ′(x )＝(x －1)(e x －e)≥0，∴f (x )单调递增，故f (x )无极值；②当0＜a ＜e2时，ln 2a ＜1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：； ③当a ＞e2时，ln 2a ＞1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )有极大值f (1)＝a －e ，极小值f (ln 2a )＝－a (ln 2a －2)2.综上，当0＜a ＜e 2时，f (x )有极大值－a (ln 2a －2)2，极小值a －e ；当a ＝e 2时，f (x )无极值；当a ＞e2时，f (x )有极大值a －e ，极小值－a (ln 2a －2)2.【题干】 1. 若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 【答案】D【解析】函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根．f ′(x )＝x 2－ax ＋1，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得Δ＝a 2－4＞0，解得a ＜－2或a ＞2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解．又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a ＜103.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103.例题2【题干】2.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________． 【答案】－7 【解析】由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在R 上单调递增，无极值，舍去；a ＝2，b ＝9满足题意， 故a －b ＝－7.【题干】已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0＜a ＜3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围． 【答案】见解析.【解析】 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )＜0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3上单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0上单调递减． 综上，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3上单调递减； 当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0上单调递减． (2)当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3单调递减，在⎝⎛⎭⎫a3，1单调递增， 所以f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，0＜a ＜2，2，2≤a ＜3.所以M －m ＝⎩⎨⎧2－a ＋a 327，0＜a ＜2，a 327，2≤a ＜3.当0＜a ＜2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2. 例题3当2≤a ＜3时，y ＝a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，1. 综上，M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，2.【题干】1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．【答案】（1）f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)；（2）5e 5 【解析】(1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x （e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )的符号相同． 又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋ce－3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5ex. 因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大值，而f (－5)＝5e －5＝5e 5＞5，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.【题干】2. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝⎛⎭⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升)．(1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少？ 【答案】见解析例题4【解析】(1)由题意，得下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎝⎛⎭⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0)．(2)y ′＝3v 25－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得，v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减；当v >1032时，y ′>0，函数单调递增． 若c <1032时，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增， ∴当v ＝1032时，总用氧量最少．若15≥c ≥1032时，则y 在[c ，15]上单调递增，∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少．。
2020学年高中数学1.3.2利用导数研究函数的极值第2课时利用导数研究函数的最值课件新人教B版选修2_2
已知函数 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋3. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在[－3，3]上的最值． 解：(1)f′(x)＝6(x＋2)(x－1)，由 f′(x)>0，得 x<－2 或 x>1，由
f′(x)<0 得－2<x<1. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)， 单调递减区间为(－2，1)． (2)令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝1.
第一章 导数及其应用
第 2 课时 利用导数ຫໍສະໝຸດ 究函数的最值第一章 导数及其应用
1.了解函数的最值与极值的区别和联系． 2.理解函数最 值的概念． 3．掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的 求法．
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在闭区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不间断的 曲 线 ， 则 该 函 数 在 [a ， b] 上 一 定 能 够 取 得 __最__大__值___ 和 __最__小__值___，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在 __极__值__点___或_区__间__端__点__处取得． 2．求可导函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(2)已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值 的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极 值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
1.函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间[－4，4]上
的最大值为 10，则其最小值为( )
[解] (1)f′(x)＝cosx－1， 令 f′(x)＝0，得 x＝0， 所以 f(0)＝0－0＝0，
中学数学 利用导数研究函数的极值和最值(含答案)
专题4 利用导数研究函数的极值和最值专题知识梳理1.函数的极值（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。
如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.(2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根；①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。
①根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值；①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
考点探究)(x f x 0x 0f (x )<f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 0x 0f (x )>f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '¢f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ÎI f (x )£f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ÎI f (x )³f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,考向1 利用导数研究函数的极值 【例】已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值. 【解析】因为1()ln f x x x =+，所以2111'()x f x x x x-=-+=,令，得x =1，列表:所以是f x 的极小值1，无极大值。
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
导数及其应用利用导数研究函数的极值最值课件
导数及其应用 利用导数研究函数的极值最值 课件 理 ppt xx年xx月xx日contents •导数及其应用•利用导数研究函数的极值最值•课件制作技巧•案例分析•导数的进一步学习与拓展目录01导数及其应用1导数的定义23导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在某一点的斜率。
导数的定义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率。
导数的几何意义导数的物理意义是速度的变化率，即物体运动的速度在某一时刻的变化率。
导数的物理意义导数的计算根据导数的定义，通过求极限来计算导数。
定义法公式法表格法图像法利用导数的运算法则和公式来计算导数。
利用导数表来计算导数。
利用函数图像来估计导数。
最优问题导数可以帮助我们找到最优解，例如在经济学、工程学等领域中，利用导数可以找到最优的成本、价格、利润等。
导数在实际问题中的应用运动问题导数可以描述物体的运动状态，例如速度、加速度等，利用导数可以解决运动问题，例如计算轨迹、碰撞时间等。
物理问题导数可以描述物理现象的变化规律，例如温度、压力、电流等，利用导数可以解决物理问题，例如计算热传导、弹性力学等。
02利用导数研究函数的极值最值极值的定义：设函数$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义。
若在$x_{0}$的左侧$f(x)$单调递增。
在$x_{0}$的右侧$f(x)$单调递减定义法：判断导数由正变负的点，这些点为可能极值点，再检验这些点两侧的导数值，确定是否为极值点。
表格法：通过列表计算函数在各点的导数值，并判断其正负，从而得到极值点。
极值的判定方法极值的概念及判定方法最值的定义及求法最值的定义：函数在某区间内取得最大（小）值的点称为最值点。
对于连续函数，还可以利用介值定理求解最值。
最值的求法利用定义法或表格法求极值点，然后比较极值与端点函数值的大小关系，从而得到最值。
1导数在极值最值问题中的综合应用23导数在极值最值问题中的应用非常广泛，例如在经济、物理、工程等领域都有应用。
利用导数求解函数的极值与最值
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
用导数研究函数的性质 第2课时极值与最值课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
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新知引入
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数
为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
观察下图，我们发现当 = 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数ℎ()在此点处的导数是多
少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?
（1）求出函数 的定义域；
（2）求导数()′ 及函数()′ 的零点；
（3）用零点将 的定义域为若干个区间，列表给出()′ 在各个区间上的正负，并得出 单调性与极值；
（4）确定 图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
解 （1）函数的定义域为 ∈ ，
因为 ′ = + 1 ′ e + + 1 (e )′ = e + + 1 e = + 2 e ，
令 ′ =0,解得： = −2. ′ 、 的变化情况如表所示
(−∞, −)
-2
(−, +∞)
′
-
+
单调递减
端点处取得.
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
即时训练
求下列各函数的最值．
π π
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈[− 2 , 2 ].
解 (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
由（1）及图可得，当 = −2时，有最小值 −2 = −
利用导数研究函数的极值与最值Ppt优选文档
解:
3 因为 f(x)1x34x4, 所以 f(x)x24.
3
令 f(x)0, 解得 x 2, 或 x2.
当 f(x)0, 即 x2 , 或 x2 ;
当 f(x)0, 即 2x2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
Y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附 近，y=f（x）y的导数的符号有什么规律？
f (x4 ) f (x1)
o a X1
X2
X3 X4 b
x
从而我们得出结论: 若x0满足 f/(x)=0,
且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值 点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足 “左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0) 是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
练习1
下图是导函数 y f(x)的图象, 试找出函数 y f (x)
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
y
y f (x)
x2 x3
a x1 O
x4 x5
x
x6
b
例1 求函数 f(x)1x3 4x4的极值.
3、练习
1.求 出 函 数 f( x ) x 3 3 x 2 2 4 x 2 0 的 单 调 区 间
解 f(x)3x26x2 4 3 (x 4 )x ( 2 )
令f(x)0， 得 临 界 点 x1 4 , x22
区间 (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f ’(x) +
反之, 若 f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极
第二节 第二课时 导数与函数的极值、最值
第二课时导数与函数的极值、最值[知识排查·微点淘金]知识点1函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．[微思考]导函数f′(x)的零点与可导函数f(x)的极值点有何关系？提示：可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f′(x)的变号零点．[微提醒]1．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；f(x)＝|x|，x0＝0是f(x)的极小值点，但f(x)在x＝0处导数不存在．2．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．知识点2函数的最值(1)一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[微提醒]函数的最值是对定义域而言的整体概念，而极值是局部概念，在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个，并且有最值的未必有极值；有极值的未必有最值．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)函数f (x )在区间(a ，b )内一定存在最值．(×)(2)函数的极大值一定比极小值大．(×)(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件．(×)(4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．(√)2．(链接教材选修2－2 P 32A 组T 5(4))函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB ．2eC ．eD ．e 2解析：选C 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，当f ′(x )＞0时，解得0＜x ＜e ；当f ′(x )＜0时，解得x ＞e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e.故选C.3．(混淆极值点与极值的概念)函数g (x )＝－(x －1)2的极值点是________，函数f (x )＝x 3的极值________(填存在或不存在)．答案：1 不存在4．(忽视极值的存在条件)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＝9，2a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经验证，当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 当a ＝4，b ＝－11时，符合题意．答案：4 －11一、应用探究点——利用导数求函数的极值(多向思维)[典例剖析]思维点1 由图象判断函数极值[例1] 已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )在(－∞，－4)上单调递减B ．函数f (x )在x ＝－1处取得极大值C ．函数f (x )在x ＝－4处取得极值D ．函数f (x )只有一个极值点解析：由题中导函数的图象可得，当x ≤2时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增；当x ＞2时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)，故A 错误；当x ＝2时函数取得极大值，故B 错误；当x ＝－4时函数无极值，故C 错误；只有当x ＝2时函数取得极大值，故D 正确．故选D.答案：D知图判断函数的极值的情况：先找出导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点．思维点2 已知函数求极值[例2] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x 2x， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表. x(0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 －f(x)ln 2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－axx.当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，当x∈(0，1a)，则f′(x)>0，若x∈(1a，＋∞)，则f′(x)<0，故函数在x＝1a处有极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝1a.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0在f(x)定义域内的根．(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．注意：(1)导数为零的点不一定是极值点．(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格．[学会用活]1．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1，5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，C 错误，故选C.2．(2021·安徽毛坦厂中学联考)已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2解析：选B 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝（x －1）（x －2）x， ∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.故选B. 二、应用探究点——已知函数极值求参数值(范围)(思维拓展)[典例剖析][例3] (1)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝________．解析：因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ， 所以若k 是偶数，则x ＝k 不是极值点，则k 是奇数，若k ＜52，由f ′(x )＞0，解得x ＞52或x ＜k ；由f ′(x )＜0，解得k ＜x ＜52， 即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ≥1，k ∈Z ，k 为奇数，所以k ＝1，若k ＞52，由f ′(x )＞0，解得x ＞k 或x ＜52； 由f ′(x )＜0，解得52＜x ＜k ， 即当x ＝k 时，函数f (x )取得极小值不满足条件．答案：1(2)已知函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，求实数a 的取值范围．解：因为f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝x ＋(a －1)－a x＝x 2＋（a －1）x －a x ＝（x ＋a ）（x －1）x， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－a ，因为函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，所以x ＝1，此时a ≥0. 所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以f (x )极小值＝f (1)＝12＋a －1＝a －12， 因为f (x )极小值≥1，所以a －12≥1，解得a ≥32. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. [拓展变式][变条件]若本例(2)变为f (x )存在两个极值点x 1，x 2(x 1≠x 2)，求a 的取值范围．解：解法一：由例(2)的解析知，f ′(x )＝0解得x ＝1或x ＝－a .因为f (x )在(0，＋∞)上存在两个不相等的极值点，∴－a ＞0且－a ≠1即a ＜0且a ≠－1.解法二：f (x )在(0，＋∞)上有两个不等的极值点⇔f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不等的变号零点，设g (x )＝x 2＋(a －1)x －a .即g (x )在(0，＋∞)上有两个不等零点．故有⎩⎨⎧g （0）＞0，－（a －1）2×1＞0，Δ＞0.解得a ＜0且a ≠－1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 [学会用活]3．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．0解析：选B 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6.当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x ＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值，不合题意．故选B.4．(2021·长春市质量监测)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)解析：选C f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x ，令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3.由题意知，g (x )在(0，＋∞)内先减后增或先增后减，结合函数g (x )的图象特征知，⎩⎨⎧－a ＋22＞0，a ＋3≤0，或⎩⎨⎧－a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3.故选C.三、应用探究点——利用导数研究函数的最值(思维拓展)[典例剖析][例4] 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x 2. ①若k ≤0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减．②若0＜k ＜1e ，则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2， 由k ＜1e ，得1k＞e ， 则x －1k＜0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立， 所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立， 所以f (x )在[1e，e]上单调递减． 综上，当k ＜1e时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1e＋k －1， f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.[拓展变式][变条件]若本例条件中的“k ＜1e ”改为“k ≥1e”，则函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上的最小值是多少？ 解：f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2， ∵k ≥1e ，∴0＜1k≤e ，若0＜1k ≤1e ，即k ≥e 时，f ′(x )≥0在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上恒成立， f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上为增函数，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. 若1e ＜1k ＜e ，即1e＜k ＜e 时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1k 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1k ，e 上为增函数，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝k －1－k ln k .当k ＝1e时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上为减函数，无最小值． 综上，当1e＜k ＜e 时，f (x )min ＝k －1－k ln k ，当k ≥e 时， f (x )min ＝e －k －1，当k ＝1e时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，e 上无最小值．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]内的最值的思路(1)若所给的问题中不含有参数，则只需求f ′(x )，并求f ′(x )＝0在区间[a ，b ]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的问题中含有参数，则需求f ′(x )，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．[学会用活]5．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k )′e x ＋(x －k )(e x )′＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.所以当x ∈(－∞，k －1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(k －1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)当k －1≤0即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上递减，在(k －1，1]上递增，所以f (x )在[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1即k ≥2时，f (x )在[0，1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝(1－k )e.综上可知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－k ，k ≤1，－e k －1，1＜k ＜2，（1－k ）e ，k ≥2.限时规范训练 基础夯实练1．(2021·安徽滁州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )①f (b )＞f (a )＞f (c )；②函数f (x )在x ＝c 处取得极小值，在x ＝e 处取得极大值；③函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值；④函数f (x )的最小值为f (d )．A ．③B ．①②C ．③④D ．①④解析：选A 由题图可知，当x ≤c 时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在(－∞，c ]上单调递增，又a ＜b ＜c ，所以f (a )＜f (b )＜f (c )，故①不正确；因为f ′(c )＝0，f ′(e )＝0，且当x ＜c 时，f ′(x )＞0；当c ＜x ＜e 时，f ′(x )＜0；当x ＞e 时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝c 处取得极大值，在x ＝e 处取得极小值，故②不正确，③正确；由题图知，当d ≤x ≤e 时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[d ，e ]上单调递减，从而f (d )＞f (e )，故④不正确．故选A.2．若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．e解析：选C f ′(x )＝a e x －cos x ，若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意，故选C.3．(2021·江西重点中学盟校联考)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在x ＝1处取极值0，则a －b ＝( )A ．0B ．2C ．－2D ．1解析：选A f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取极值0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.验证：当a ＝－1，b ＝－1时，f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，易知x ∈⎝⎛⎭⎫－13，1时，f ′(x )＜0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在x ＝1处取得极值，符合题意．故a ＝－1，b ＝－1，则a －b ＝0，选A.4．(2021·昆明市高三诊断)设函数f (x )＝(x 2－2x ＋2)e x －13x 3－12x 2的极值点的最大值为x 0，若x 0∈(n ，n ＋1)，则整数n 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C f ′(x )＝x 2e x －x 2－x ，令f ′(x )＝x 2e x －x 2－x ＝0，则x ＝0或x e x －x －1＝0，所以x ＝0为一个极值点．当x ≠0，x e x －x －1＝0时，则e x ＝1＋1x .当x ＞1时，e x ＞e ，1＋1x ∈(1，2)，所以不存在使e x ＝1＋1x 成立的x 0；当0＜x ＜1时，e x ∈(1，e)，1＋1x ＞2，所以存在使e x＝1＋1x成立的x 0.又因为x 0为极值点的最大值，x 0∈(n ，n ＋1)，所以整数n 的值是0.故选C.5．(2021·江西八校联考)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在(1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解， 所以Δ＝1－8a ＞0，且2×12－1＋a ＜0， 所以a ∈(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)6．(2021·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________．解析：由题意知，当x ∈(0，2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0；当1a <x <2时，f ′(x )＜0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－23.(1)若函数f (x )在区间(a ，a ＋5)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝x 2＋2x ，x ∈R ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝0，∴当x ∈(－∞，－2)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数． ∴x ＝－2，x ＝0分别为函数f (x )的极大值点与极小值点． 由题意得－2∈(a ，a ＋5)或0∈(a ，a ＋5)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－2，a ＋5＞－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＋5＞0，解得－7＜a ＜0， 故实数a 的取值范围为(－7，0)． (2)由(1)得，f (x )的极小值为f (0)＝－23，令f (x )＝－23，即13x 3＋x 2＝0，解得x ＝－3或x ＝0.∵函数f (x )在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＞0，－3≤a ＜0，解得－3≤a ＜0，故实数a 的取值范围为[－3，0)． 综合提升练8．(2021·广西一模)已知a 为正实数，若函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2a 2的极小值为0，则a 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A 由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax ＝3x (x －2a )， 又a ＞0，所以由f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2a ，由f ′(x )＜0 得0＜x ＜2a ，所以f (x )在x ＝2a 处取得极小值0， 即f (x )极小值＝f (2a )＝(2a )3－3a (2a )2＋2a 2＝－4a 3＋2a 2＝0， 由a ＞0，解得a ＝12，故选A.9．(2021·江西南昌模拟)若函数f (x )＝(x －1)e x －ax (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1e ，0 B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －a ＝x e x －a ，要使函数f (x )＝(x －1)e x －ax 有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不同的实数根，即方程a ＝x e x 有2个不同的实数根，即直线y ＝a 与g (x )＝x e x 的图象有2个交点．g ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＜－1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ＞－1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (－1)＝－e －1＝－1e，当x →－∞时，g (x )→0，当x →＋∞时，g (x )→＋∞，所以当－1e ＜a ＜0时满足直线y ＝a 与g (x )＝x e x 的图象有2个交点，即函数f (x )有两个极值点，故选A.10．(2021·南昌调研)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：选D f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0 有两个不等实根x 1，x 2，即曲线y ＝1＋ln x 与直线y ＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 在点(1，1)处的切线， 可知，0＜2a ＜1，0＜x 1＜1＜x 2，∴a ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 由0＜x 1＜1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)＜0， ∵当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0， ∴f (x 2)＞f (1)＝－a ＞－12，故选D.11．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0，得x ＝±a ，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞a 或x ＜－a 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0，解得a ＞22， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 12．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a ＞0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2，因为a ＞0，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)；②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0，在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e ＜a ＜－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a ＜x ＜e 时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.创新应用练13．(2021·重庆一中月考)已知函数f (x )＝xln x ＋ax ，x ＞1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值． 解：(1)∵f (x )＝xln x ＋ax ，x ＞1，∴f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2＋a .由题意，可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤1（ln x ）2－1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14对任意x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，1ln x∈(0，＋∞)， ∴当1ln x －12＝0时，函数t (x )＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14取得最小值为－14，∴a ≤－14.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. (2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，x ＞1，f ′(x )＝ln x －1＋2（ln x ）2（ln x ）2＝（2ln x －1）（ln x ＋1）（ln x ）2. 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＝0，x ＞1，得x ＝ e. f (x )与f ′(x )在(1，＋∞)上的变化情况如下表：∴f (x )极小值(e)4 e.。
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的最值导数是函数的变化率，通过研究函数的导数，我们可以找到函数的最值，包括最大值和最小值。
在数学中，研究最值问题是一个重要的课题，对于优化问题有着广泛的应用。
本文将详细介绍利用导数研究函数最值的方法，并以一些具体的例子加以说明。
首先，让我们回顾一下何为导数。
对于函数 f(x)，在其中一点 x0 处的导数 f'(x0) 表示函数在这一点的瞬时变化率。
导数可以通过求极限的方法来计算，即 f'(x0) = lim (h->0) (f(x0+h)-f(x0))/h。
在这个定义中，导数的意义即为函数在 x0 点的切线斜率。
一般情况下，当函数在其中一点的导数为零时，我们将这个点称为临界点。
进一步，若其中一段函数在临界点上方是递减的，在临界点下方是递增的，则这个临界点为函数的局部最大值点；若其中一段函数在临界点上方是递增的，在临界点下方是递减的，则这个临界点为函数的局部最小值点。
这是利用导数研究函数最值的一般思路。
接下来，我们通过一些具体的例子来说明利用导数研究函数最值的方法。
例子1：研究函数f(x)=x^2在定义域[0,2]上的最值。
首先，我们求出函数f(x)的导数f'(x)=2x。
根据上面的分析，我们要找到函数最值的点，就是要找到导数为零的点。
即：2x=0，解得x=0。
这意味着函数f(x)在x=0处可能取得极值。
接下来，我们进一步分析f(x)在x=0处的取值。
左探右探，不难发现，在定义域[0,2]上，当x=0时，f(x)的取值最小，为f(0)=0。
因此，函数f(x)在[0,2]上的最小值为0，最大值则取决于2处的取值，即f(2)=4、因此，f(x)在定义域[0,2]上的最大值为4例子2：研究函数f(x)=x^3-3x在整个实数范围上的最值。
同样地，我们首先求出函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-3、要找到函数f(x)的最值点，我们需要求解方程f'(x)=0，即3x^2-3=0。
第2节第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
第二课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数求函数的极值角度1根据函数图象判断极值【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.感悟升华由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.【训练1】(多选题)(2021·石家庄检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点答案 AC解析 根据导函数的图象可知，当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )>0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y ＝f (x )的极值点，所以A 正确.因为函数y ＝f (x )在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y ＝f (x )的极小值点，－2也不是函数y ＝f (x )的极大值点，所以B 错误，C 正确，D 错误. 角度2 已知函数求极值【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )极大值(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x .当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，则f ′(x )>0，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .感悟升华 运用导数求函数f (x )极值的一般步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号；(5)求出极值. 【训练2】已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值.解 求导得，f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值.当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增. 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值. 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值. 角度3 根据极值求参数的值(范围)【例3】 (1)已知x ＝1e 是函数f (x )＝x (ln ax ＋1)的极值点，则实数a 的值为( ) A.1e 2B.1eC.1D.e(2)(2020·洛阳质检)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋427.若f (x )在(a －1，a ＋3)上存在极大值，则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)(－9，0)∪(0，1)解析 (1)因为函数f (x )＝x (ln ax ＋1)有极值点， 所以f ′(x )＝(ln ax ＋1)＋1＝2＋ln ax .因为x ＝1e 是函数f (x )＝x (ln ax ＋1)的极值点， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1e ＝0.所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1e ＝－2，解得a ＝1e .(2)f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a3. 当a ＝0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f (x )无极值，不合题意. 当a >0时，f (x )在x ＝2a3处取得极小值，在x ＝0处取得极大值， 则a －1<0<a ＋3，又a >0，所以0<a <1.当a <0时，f (x )在x ＝2a3处取得极大值，在x ＝0处取得极小值， 则a －1<2a3<a ＋3，又a <0，所以－9<a <0. 所以a 的取值范围为(－9，0)∪(0，1).感悟升华 1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练3】(2021·武汉调研)已知函数f (x )＝e xx 2－2k ln x ＋kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 24，＋∞解析 f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－2k x ＋k ＝（e x ＋kx 2）（x －2）x 3.由题意可得，x ＝2是f ′(x )＝0唯一的变号零点， 故h (x )＝e x ＋kx 2在(0，＋∞)上没有变号零点， 令g (x )＝e xx 2，x >0，则g ′(x )＝e x （x －2）x 3，当x >2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当0<x <2时，g ′(x )<0.g (x )单调递减， ∴当x ＝2时，g (x )取得最小值g (2)＝e 24. 故－k ≤e 24，则k ≥－e 24. 考点二 利用导数求函数的最值【例4】(2021·衡水检测)已知函数g (x )＝ln x －18x 2＋b 在区间[1，3]上的最小值为1，求g (x )在该区间上的最大值.解 依题意知，g (x )的定义域为(0，＋∞). 因为g (x )＝ln x －18x 2＋b ， 所以对g (x )求导，得g ′(x )＝1x －x4 ＝4－x 24x ＝（2－x ）（2＋x ）4x.当x ∈(1，2)时，g ′(x )>0，当x ∈(2，3)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减， 在区间[1，3]上，g (x )max ＝g (2)＝ln 2－12＋b . 又g (1)＝－18＋b ，g (3)＝ln 3－98＋b ， g (3)－g (1)＝ln 3－1>0， 所以g (x )min ＝g (1)＝－18＋b ＝1， 解得b ＝98，所以g (2)＝ln 2＋58.于是函数g (x )在区间[1，3]上的最大值为g (2)＝ln 2＋58.感悟升华 1.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值.2.若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值.【训练4】(2020·福州检测)已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )，求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a ).解 由题意，g (x )的定义域为(0，＋∞)， g ′(x )＝ax ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－（a ＋2）x ＋a x＝（2x －a ）（x －1）x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，（1－e ）a ＋e 2－2e ，a ≥2e.巧妙构造，转化求解导数关系构造函数的一些常见结构1.对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x ).2.对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x ). 特别地，对于不等式f ′(x )>k ，构造函数F (x )＝f (x )－kx .3.对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f (x )·g (x ).4.对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，构造函数F (x )＝f （x ）g （x ）.5.对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0，构造函数F (x )＝x n ·f (x ).6.对于不等式f ′(x )＋f (x )>0，构造函数F (x )＝e x ·f (x ).7.对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0，构造函数F (x )＝e kx ·f (x ).【例1】设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 构造F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝f ′（x ）·x －f （x ）x 2， 当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增.∵f (x )为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴F (x )为奇函数， ∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增.根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).【例2】设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，f(2)＝e28，则x>0时，f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值答案D解析构造函数g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝e xx，g(2)＝22·f(2)＝e22.所以f(x)＝g（x）x2，f′(x)＝xg′（x）－2g（x）x3＝e x－2g（x）x3.记h(x)＝e x－2g(x)，则h′(x)＝e x－2g′(x)＝e xx(x－2)，当0<x<2时，h′(x)<0，所以h(x)单调递减；当x>2时，h′(x)>0，所以h(x)单调递增.故[h(x)]min＝e2－2g(2)＝0，所以f′(x)＝h（x）x3≥0恒成立，故函数f(x)既无极大值也无极小值.故选D.【例3】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是()A.f(1)<f(0)B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)答案C解析构造F(x)＝f（x）e x形式，则F′(x)＝e x f′（x）－e x f（x）e2x＝f′（x）－f（x）e x，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，则x≥1时F′(x)≥0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增.当x<1时F′(x)<0，F(x)在(－∞，1)上单调递减.又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.【例4】已知a＝πe，b＝3π，c＝eπ，则它们的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b答案 C解析 因为函数y ＝x π在(0，＋∞)上单调递增，所以3π>e π. 构造函数f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 所以，f (x )的最大值为f (e)， 故ln e e >ln ππ，所以e π>πe .综合可知：3π>e π>πe ，所以b >c >a .故选C.思维升华 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.A 级 基础巩固一、选择题1.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 B解析 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f ′(x )在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2.函数y ＝x e x 的最小值是( ) A.－1 B.－eC.－1eD.不存在答案 C解析 因为y ＝x e x ，所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，y ′>0；当x <－1时，y ′<0，所以当x ＝－1时，函数取得最小值，且y min ＝－1e . 3.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A.0 B.1C.2D.无数答案 A解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点.4.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A.－4 B.－2C.4D.2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2， ＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.5.已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( ) A.2 B.－52C.3＋ln 2D.－2＋2ln 2答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x ＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝（x －1）（x －2）x ，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.6.(多选题)(2021·武汉统考)设函数f (x )＝e xln x ，则下列说法正确的是( )A.f (x )的定义域是(0，＋∞)B.当x ∈(0，1)时，f (x )的图象位于x 轴下方C.f (x )存在单调递增区间D.f (x )有且仅有两个极值点 答案 BC解析 由题意函数f (x )满足⎩⎨⎧x ＞0，ln x ≠0，解得x ＞0且x ≠1，所以f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故A 不正确；f (x )＝e xln x ，当x ∈(0，1)时，e x ＞0，ln x ＜0，所以f (x )＜0，所以f (x )在(0，1)上的图象在x 轴的下方，故B 正确；因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x （ln x ）2，设g (x )＝ln x －1x (x ＞0)，则g ′(x )＝1x ＋1x 2，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，g (1)＝0－11＜0，g (e 2)＝2－1e 2＞0，则g (x )存在唯一零点x 0∈(1，e 2)，则函数f ′(x )＝0只有一个根x 0，使得f ′(x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )只有一个极小值，所以C 正确，D 不正确；故选BC. 二、填空题7.若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件. 答案 3解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大.8.(2020·安徽江南十校联考)已知x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的一个极值点，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为________. 答案 －32解析 由f (x )＝(x 2＋ax )e x ， 得f ′(x )＝(x 2＋ax ＋2x ＋a )e x ，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax )e x 的一个极值点，所以f ′(1)＝(3＋2a )e ＝0，解得a ＝－32. ∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x －32e x，所以f ′(0)＝－32. 所以曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为－32.9.函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________. 答案 20解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1，1为函数的极值点. 又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3，2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19. 由题设知在区间[－3，2]上，f (x )max －f (x )min ≤t ， 从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 三、解答题10.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数. (1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值. 解 (1)因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b )·⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3. 令f (x )＝0，得x ＝a 或x ＝b .因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3，1，3}中，且a ≠b ， 所以2a ＋b3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1). 令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )变化如下表：11.已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0， 所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. B 级 能力提升12.(多选题)(2021·青岛调研)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是函数f (x )＝⎩⎨⎧－e x ＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1的图象上任意两点，且函数f (x )在点A 和点B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是( )A.x 1＜0B.0＜x 1＜1C.x 2x 1最小值为eD.x 1x 2最大值为e答案 CD解析 由题意可得，当x ≤1时，f ′(x )＝－e x ∈[－e ，0)，当x ＞1时，f ′(x )＝1x ∈(0，1).因为函数f (x )在点A 和点B 处的切线互相垂直， 所以可知f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1， 又x 1＜x 2，所以f ′(x 1)∈[－e ，－1)， 则0＜x 1≤1，x 2＞1，所以排除选项A ，B ； 因为－e x 1·1x 2＝－1，所以x 2＝e x 1，所以x 2x 1＝e x 1x 1，令g (x )＝e xx (0＜x ≤1)，有g ′(x )＝e x （x －1）x 2，所以函数g (x )在(0，1]上单调递减，所以g (x )≥e ，即x 2x 1有最小值e ，所以选项C正确；x 1x 2＝x 1e x 1，令h (x )＝x e x (0＜x ≤1)，则h ′(x )＝e x (x ＋1)， 可得h ′(x )＝(x ＋1)·e x 在(0，1]上大于零恒成立， 所以h (x )在(0，1]上单调递增可得h (x )的最大值为e. 所以选项D 正确，故选CD.13.若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a 的取值范围为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 对函数求导f ′(x )＝x －1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＝（x ＋a ）（x －1）x ，x >0，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－a .又函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，所以x ＝1，此时a ≥0. 所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以f (x )的极小值为f (1)＝12＋a －1＝a －12， 故f (1)≥1，即a －12≥1，解得a ≥32. 14.(2021·重庆诊断)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数). 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0， 由f ′(x )＝0，得x ＝1e .所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增.所以x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在. (2)g (x )＝x ln x －a (x －1)(x >0)， 则g ′(x )＝ln x ＋1－a ， 由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g (x )为减函数， 在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )为增函数.当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g (x )为增函数， 所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1<e a －1<e ，即1<a <2时，g (x )在区间[1，e a －1]上为减函数，在区间[e a －1，e]上为增函数，所以g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1. 当e a －1≥e ，即a ≥2时，在区间[1，e]上，g (x )为减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e. 综上，当a ≤1时，g (x )的最小值为0； 当1<a <2时，g (x )的最小值为a －e a －1； 当a ≥2时，g (x )的最小值为a ＋e －a e.。
高中数学1.3.2利用导数研究函数的极值第2课时利用导数研究函数的最值应用案巩固提升新人教B版选修2_2
第2课时 利用导数研究函数的最值[A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x (－1<x <1)( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．因为－1<x <1，所以x 2<1.所以3(x 2－1)<0，即f ′(x )<0.所以f (x )是(－1，1)上的减函数，f (1)<f (x )<f (－1)，故f (x )在－1<x <1时既无最大值，也无最小值，故选C.2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是() A ．5，15 B ．5，－4C ．5，－15D ．5，－16解析：选C.y ′＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)，令y ′＝0得x ＝－1或x ＝2.当x ＝2时y ＝－15，当x ＝0时y ＝5，当x ＝3时，y ＝－4.故选C.3．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．当x ＝1时，y ＝1eB ．当x ＝2时，y ＝2e 2C ．当x ＝0时，y ＝0D ．当x ＝12时，y ＝12e解析：选A.因为y ′＝1－xe x ，所以当y ′＝0时，x ＝1.又因为当0<x <1时，y ′>0，当1<x <2时，y ′<0，所以x ＝1是y ＝xe x 的极大值点， 所以在[0，2]上y max ＝1e . 4．当函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为( ) A ．0B ．π6C ．π3D ．π2解析：选B.y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x . 令x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时， f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A.因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，所以f (x )在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以当x ＝0时， f (0)＝m 最大，所以m ＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.6．若函数f (x )在区间[a ，b ]上满足f ′(x )>0，则f (a )是函数的最________值，f (b )是函数的最________值．解析：由f ′(x )>0知，函数f (x )在区间[a ，b ]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (b )为最大值．答案：小 大7．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时的最大值，最小值分别是________． 解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，令f ′(x )＝0，即tan x ＝1，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 所以x ＝π4. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， 所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1. 答案：2，－18．函数f (x )＝ax 3＋2ax ＋1在区间[－3，2]上有最大值4，则实数a ＝________． 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2a ＝a (3x 2＋2)．当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (2)＝8a ＋4a ＋1＝4，解得a ＝14； 当a <0时，f ′(x )<0，所以f (x )max ＝f (－3)＝－27a －6a ＋1＝4，解得a ＝－111. 答案：14或－1119．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0， 因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由第一问知g (x )＝－13x 3＋2x ， 所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43， 因此g (x )在区间[1，2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 10．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在[1e，e]上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝a x－2bx .由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0f （1）＝－12， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0－b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝12. (2)由第一问，得f (x )＝ln x －12x 2， 定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x. 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在(1e，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减， 所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝－12.[B 能力提升]11．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2B ．1C ．233D ．0解析：选A.因为f (x )在x ＝π3处有最值， 所以x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又因为f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x (x ∈R )，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 12．若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 解析：f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0，解得c ＝2或c ＝6.当c ＝2时，f (x )在x ＝2处取极小值，不合题意，舍去．答案：613．设函数f (x )＝12x 2e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x ＝e x 2x (x ＋2)． 由e x 2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2. 所以f (x )的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0. 所以f (x )的减区间为(－2，0)．所以f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调减区间为(－2，0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2.因为f (－2)＝2e2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0， 所以f (x )∈[0，2e 2]．又因为f (x )>m 恒成立，所以m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)．14．(选做题)已知f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的最小值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1.当x >1e时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当0<x <1e时，f ′(x )<0，f (x )为减函数． 所以函数f (x )的最小值为f (1e )＝－1e. (2)证明：问题等价于证明x ln x >x e x －2e. 由第一问可知f (x )＝x ln x 的最小值是－1e， 当且仅当x ＝1e时取到． 设m (x )＝x e x －2e，x ∈(0，＋∞)， 则m ′(x )＝1－x e x ， 易知m (x )max ＝m (1)＝－1e， 当且仅当x ＝1时取到，所以x ln x >x e x －2e. 从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．。
利用导数研究函数的极值和最值问题
利用导数研究函数的极值和最值问题１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（１）确定函数的定义域．（２）求)(x f '．（３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解．２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤：（１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值；（２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ;(2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围.解析 (1)因为()[]x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[]x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a .此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1.(2)由(1)得()[]()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21<a ,则()2,0∈x 时,02<-x ,01211<-≤-x ax ,所以0)(>'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点.综上可知,a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21。
教学设计5：1.3.1 利用导数研究函数的极值 第2课时 利用导数研究函数的最值
1.3.2利用导数研究函数的极值第2课时利用导数研究函数的最值教学目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．问题导学知识点函数的最大(小)值与导数如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．梳理(1)函数的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]内一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f′(x)＝0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f′(x)＝0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.题型探究类型一 求函数的最值命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 已知函数f (x )＝x 3－3x ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[－3，3]时，求f (x )的最大值与最小值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1)．(2)由(1)可知，当x ∈[－3，3]时，f (x )的极大值为f (－1)＝2，f (x )的极小值为f (1)＝－2， 又f (－3)＝0，f (3)＝18，所以当x ∈[－3，3]时，f (x )的最大值为18，f (x )的最小值为－2. 反思与感悟 求解函数在给定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f ′(x )＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的值域是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－1，π24 【解析】f ′(x )＝2x ＋sin x ，令f ′(x )＝0，即2x ＋sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得x ＝0， f (0)＝－cos 0＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π2＝π24，∴f (x )的最大值为π24，f (x )的最小值为－1.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，π24. (2)求f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]的最值．解 f ′(x )＝1x ＋1－x 2＝－(x －1)(x ＋2)2(x ＋1).由f ′(x )＝0，得x ＝1，－2(舍去)． 函数f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴f (x )max ＝f (1)＝ln 2－14，f (x )min ＝f (0)＝0.命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋b (x ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝6x －8，求a ，b 的值； (2)若a >0，b ＝2，当x ∈[－1,1]时，求f (x )的最小值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－3x ， 由f ′(2)＝6，得a ＝1.由切线方程为y ＝6x －8，得f (2)＝4. 又f (2)＝8a －6＋b ＝b ＋2，所以b ＝2， 所以a ＝1，b ＝2.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a ，分以下两种情况讨论：①若1a>1，即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝－a －32＋2，f (1)＝a －32＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a<1，即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (－1)＝12－a ，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2－12a 2. 而f ⎝⎛⎭⎫1a －f (－1)＝2－12a 2－⎝⎛⎭⎫12－a ＝32＋a －12a 2>0， 所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .综合①②知，f (x )min ＝f (－1)＝12－a .反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练2 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0，a ](a >0)上的最大值和最小值．解 f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 因为0≤x ≤a ，所以当0<a ≤2时，f ′(x )≤0， 所以f (x )在区间[0，a ]上是减函数．所以当x ＝a 时，f (x )取最小值f (a )＝13a 3－4a ＋4；当x ＝0时，f (x )取最大值f (0)＝4.当a >2时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从上表可知：当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－43，f (x )的最大值为f (0)与f (a )中较大的一个．所以当2<a ≤23时，f (x )的最大值为f (0)＝4； 当a >23时，f (x )的最大值为f (a )＝13a 3－4a ＋4.综上可得：当0<a≤2时，f(x)min＝13a3－4a＋4，f(x)max＝4；当2<a≤23时，f(x)min＝－43，f(x)max＝4；当a>23时，f(x)min＝－43，f(x)max＝13a3－4a＋4.类型二由函数的最值求参数例3(1)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.(2)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．解h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)及h(x)的变化情况如下表：当x ＝－3时，f (x )取极大值28； 当x ＝1时，f (x )取极小值－4. 而h (2)＝3<h (－3)＝28，所以如果h (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则k ≤－3. 即k 的取值范围为(－∞，－3]．反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3 设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m >0，求f (x )的最小值为2时的m 的值．解 因为f ′(x )＝x －mx 2(x >0)， 所以当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，m )上是减函数， 当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(m ，＋∞)上是增函数， 所以当x ＝m 时，f (x )取得极小值，也是最小值，即极小值为2， 即f (m )＝ln m ＋mm ＝2，所以m ＝e.类型三 与最值有关的恒成立问题例4 (1)已知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，则a 的取值范围为________． 【答案】(－∞，4]【解析】由2x ln x ≥－x 2＋ax －3(x ＞0)， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)．设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )为单调减函数， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )为单调增函数． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤h (x )min ＝4.(2)设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)，h (t )为f (x )的最小值． ①求h (t )；②若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 ①∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.②令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2) g ′(t ) ＋0 － g (t )1－m∴g (t )在(0,2)内有最大值g (1)＝1－m .h (t )<－2t ＋m 在(0,2)内恒成立等价于g (t )<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m <0， ∴m 的取值范围为(1，＋∞)．反思与感悟 分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立，即ln a <g (x )对任意x >0成立． 由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e.故a 的取值范围为(0，e)． 达标检测1．如图所示，函数f (x )导函数的图象是一条直线，则( )A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值B ．函数f (x )有最大值，没有最小值C ．函数f (x )没有最大值，有最小值D ．函数f (x )有最大值，也有最小值 【答案】C【解析】由导函数图象可知， 函数f (x )只有一个极小值点1，即f (x )在x ＝1处取得最小值，没有最大值． 2．函数f (x )＝x 2·e x ＋1，x ∈[－2,1]的最大值为( ) A ．4e －1 B ．1 C ．e 2D ．3e 2【答案】C【解析】f ′(x )＝x e x ＋1(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 当f ′(x )>0时，x <－2或x >0； 当f ′(x )<0时，－2<x <0. 当x ＝－2时，f (－2)＝4e ；当x ＝0时，f (0)＝0； 当x ＝1时，f (1)＝e 2， 所以函数的最大值为e 2.故选C.3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为__________． 【答案】211,e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x .当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是⎣⎡⎦⎤0，π2上的增函数． ∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f ⎝⎛⎭⎫π2＝21e 2π， f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝12.∴函数值域为211,e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立， 即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.5．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为________．【答案】3－1【解析】f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )为单调减函数； 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )为单调增函数． 若a ≥1，即a ≥1， 则当x ∈[1，＋∞)时， f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33， 解得a ＝32<1，不合题意， ∴a <1，且当x ∈[1，＋∞)时， f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， 解得a ＝3－1，满足a ＜1. 综上，实数a 的值为3－1.。
高三数学精品课件：第二课时 用导数研究函数的极值与最值
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小题诊断
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1．函数 y＝xex 的最小值是( C )
A．－1
B．－e
C．－1e
D．不存在
因为 y＝x·ex， 所以 y′＝ex＋xex＝(1 ＋x)ex， 当 x∈(－∞，－1)时， y′<0， 当 x∈(－1，＋∞)时， y′>0， 所以当 x＝－1 时，ymin ＝(－1)e－1＝－1e.
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当 0<x<ln k 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>ln k 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． ∴g(x)的最小值为 g(ln k)＝k－kln k， ∴k－kln k≥0， ∴0<k≤e， 综上所述，k≤e.故选 A.
答案：(1＋e e，1)
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已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端 导函数的符号．
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素养 抽象 推理 建模 运算 想象 分析 件；会用导数求函数的极
大值、极小值(其中多项式 素养
☆
☆
函数一般不超过三次)；会 形成
求闭区间上函数的最大
值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次)． 考查 主要通过函数极值与最值求法应用考查 2．会利用导数解决某些 角度 逻辑推理与数学运算能力.
第2节课时2利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值基础打磨1.函数y=x e x 在[0,2]上的最大值是().A .1eB .2e2 C .0 D .12e2.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为().A .[√32,+∞) B .(√32,+∞)C .(-∞,-√32]∪[√32,+∞) D .(-∞,-√32)∪(√32,+∞)3.若某商品的年利润y (万元)与年产量x (万件)的函数关系式为y=-x 3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为( ). A .1万件 B .2万件 C .3万件 D .4万件4.若函数f (x )=13x 3+x 2-23在区间(a ,a+5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是( ).A .[-5,0)B .(-5,0)C .[-3,0)D .(-3,0)5.(2020届江西九江一模)已知直线x=t 与曲线y=e x ,y=-x 2+x-2分别交于B ,C 两点,点A 的坐标为(t-2,0),则△ABC 面积的最小值为( ). A .1 B .2 C .3 D .46.(2020届湖南郴州高三模拟)已知奇函数f (x )={e xx-1,x>0,ℎ(x),x <0,则函数h (x )的最大值为 .7.已知函数f (x )=x 3+3x 2-9x+1,若f (x )在区间[k ,2]上的最大值为28,则实数k 的取值范围为 . 8.已知函数f (x )=ax-ln x ,当x ∈(0,e](e 为自然常数)时,函数f (x )的最小值为3,则实数a 的值为.能力拔高9.(2020届山东青岛检测)已知函数f (x )=x e x ,g (x )=-(x+1)2+a ,若∃x 1,x 2∈R,使得f (x 2)≤g (x 1)成立,则实数a 的取值范围是( ). A.(-1e,+∞)B.[-1,+∞),+∞)C.[-e,+∞)D.[-1e10.(2020届四川成都一模)已知函数f(x)=ax2+2bx-4a(a>0),g(x)=x2+4x+1,且f(-2e)>0,则方程f(g(x))=0的实e x数根的个数不可能为().A.3B.4C.5D.611.(2020届新疆乌鲁木齐一模)已知函数f(x)=-x2+3x-a,g(x)=2x-x2,若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立,则实数a 的取值范围是().A.(-∞,2]B.(-∞,e])C.(-∞,ln 2]D.[0,1212.已知函数f(x)=ln x.(1)求曲线f(x)过点P(0,-1)的切线方程;存在两个极值点x1,x2,求实数m的取值范围.(2)若函数g(x)=f(x)-mx+mx思维拓展13.(2020届陕西榆林二模)已知函数f(x)=x ln x.(1)若函数g(x)=f(x)x2-1x,求g(x)的极值.(2)证明:f(x)+1<e x-x2.(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,e 32≈4.48,e2≈7.39)14.(2018年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=1-x+a ln x.x(1)讨论f(x)的单调性.<a-2.(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x215.(2020届湖南湘潭一模)已知函数f(x)=(ax2+2x-1)e2x,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的极值点;(2)若当x≤0时,f(x)+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.。
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第2课时 利用导数研究函数的极值、最值一、选择题1.(2016·四川卷)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4B.－2C.4D.2解析 f ′(x )＝3x 2－12，∴x <－2时，f ′(x )>0，－2<x <2时，f ′(x )<0，x >2时， f ′(x )>0，∴x ＝2是f (x )的极小值点. 答案 D2.函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B.1C.0D.不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12. 答案 A3.(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163解析 由图象可知f (x )的图象过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 答案 C4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A.3B.4C.6D.5解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小. 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R .∴S ′＝2πR －54πR 2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小.故选A. 答案 A5.(2017·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 二、填空题6.(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根， 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值. 答案 57.(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________.解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数. ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案 28.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________.解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－e x<－1，∴a＝－e x<－1.答案(－∞，－1)三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝ax（x＋r）2(a>0，r>0).(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.解(1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).f(x)＝ax（x＋r）2＝axx2＋2rx＋r2，f′(x)＝a（x2＋2rx＋r2）－ax（2x＋2r）（x2＋2rx＋r2）2＝a（r－x）（x＋r）（x＋r）4.所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；当－r<x<r时，f′(x)>0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r).(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减. 因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar（2r）2＝a4r＝4004＝100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值；综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值.10.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下表：所以，f (x ). (2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0，1]上的最小值为 f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.11.(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( ) A.2B.3C.6D.9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 答案 D12.(2017·长沙调研)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，0) B.(－5，0) C.[－3，0)D.(－3，0)解析 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示.令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3，0)，故选C. 答案 C13.函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________.解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：⎩（a ）3－3a a ＋b ＝2，⎩b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1，1). 答案 (－1，1)14.(2017·济南模拟)设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2.(1)若当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln e2. 解 (1)f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝（2x ＋1）（x ＋1）x ＋32，且f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞， 当－32<x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <－12时，f ′(x )<0； 当x >－12时，f ′(x )>0.∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减.(2)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a .方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8，①若Δ≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，故f (x )无极值.②若Δ>0，即a <－2或a >2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根，x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ， 故f ′(x )>0在定义域上恒成立， 故f (x )无极值.当a >2时，－a <x 1<x 2，故f (x )在(－a ，x 1)上递增，(x 1，x 2)上递减，(x 2，＋∞)上递增.故f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值.综上，f (x )存在极值时，a 的取值范围为(2，＋∞). 由上可知，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝12.所以，f (x )的极值之和为f (x 1)＋f (x 2)＝ln(x 1＋a )＋x 21＋ln(x 2＋a )＋x 22 ＝ln(－x 2)＋ln(－x 1)＋(x 21＋x 22)＝ln(x 1x 2)＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝ln 12＋a 2－1>ln 12＋(2)2－1＝ln e 2.。