一次函数培优讲解
经典一次函数培优题含答案及讲解
一次函数培优讲解已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x轴交易点（-2，0），则不等式ax大于b的解集为（）A.x>2. B.x<2. Cx>-2. D.x<-2此题正确选项为A解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限∴有a＞0将（-2，0）代入一次函数解析式则b=2a∴ax＞b可化为ax＞2a又a＞0∴原不等式的解集为x＞2在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点时，k的值可以取（）个．因为直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点，让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．由题意得：{y=x+2y=kx-4，解得：{x=6k-1y=6k-1+2，∴k可取的整数解有0，2，-2，-1，3，7，4，-5共8个．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a有解，则实数a最小值是（）绝对值的一元一次不等式．算题；分类讨论．类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．≥＜1，解得a＞6当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a，∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．已知实数a，b，c满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限？这个题目不需要证明，只需要判断即可。
首先，令x=0，则y=-3显然只要k>0 则，过1，3，4象限。
只要k<0 则，过2，3，4象限。
由a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，显然a=b=c=1的时候，满足所有条件，而此时k》0所以过1，3，4象限。
再如a=b=c=-1的时候，也满足，此时k=0 , 那么y = -3 ，只过3、4象限。
中考数学培优复习 第11讲 一次函数
2019-2020年中考数学培优复习第11讲一次函数一：【知识梳理】1. 一次函数的意义及其图象和性质（1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b 时，称y是x的正比例函数．（2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点( ， ),( ，）的一条直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如右表所示．（3）一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而；当k＜0时，y的值随x值的增大而．（4）直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．①直线经过第象限（直线不经过第象限）；②直线经过第象限（直线不经过第象限）；③直线经过第象限（直线不经过第象限）；④直线经过第象限（直线不经过第象限）；2.一次函数表达式的求法（1）待定系数法：先设出解析式，再根据条件列方程或方程组求出未知系数，从而写出这个解析式的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。
（2）用待定系数法求出函数解析式的一般步骤：①；②得到关于待定系数的方程或方程组；③从而写出函数的表达式。
（3）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。
二、【典型例题】【例1】已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.⑴求这个一次函数的解析式.⑵试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.⑶求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.例2某农户种植一种经济作物，总用水量（米）与种植时间（天）之间的函数关系式如图所示．⑴ 第天的总用水量为多少米？ ⑵ 当时，求与之间的函数关系式．⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米？三、当堂检测1．(xx·重庆)已知正比例函数y ＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则这个正比例函数的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2xC ．y ＝12xD ．y ＝－12x2．在下列一次函数中， y 随x 的增大而减小的是( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝3x －1 C ．y ＝0.1x ＋3 D ．y ＝3－x3．(xx·资阳)一次函数y ＝－2x ＋1的图象不经过下列哪个象限( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．(xx·徐州)将函数y ＝－3x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝－3x －2C ．y ＝－3(x ＋2)D ．y ＝－3(x －2)5．(xx·汕尾)汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的函数关系的大致图象是( )6．(xx·孝感)如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x 的不等式－x ＋m ＞nx ＋4n ＞0的整数解为( )A ．－1B ．－5C ．－4D ．－37．(xx·云南)写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数y ＝kx(k≠0)的解析式(关系式)__ __．8．(xx·贺州)已知P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)是正比例函数y ＝x 的图象上的两点，则y 1__ __y 2.(填“＞”或“＜”或“＝”)9．(xx·烟台)如图，已知函数y ＝2x ＋b 与函数y ＝kx －3的图象交于点P ，则不等式kx －3＞2x ＋b 的解集是__ __．10．(xx·济南)如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿着直线AB 翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是__ __．,第10题图) ,第11题图)11．一辆汽车在行驶过程中，路程y (km)与时间x (h)之间的函数关系如图所示，当0≤x ≤1时，y 关于x 的函数解析式为y ＝60x ，那么当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为__ _．12．(xx·自贡)一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x≤4时，3≤y ≤6，则bk 的值是__ __．13．已知直线l 1∶y ＝－4x ＋5和直线l 2∶y ＝12x －4，求两条直线l 1和l 2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限内．14．如图，直线l 1∶y ＝x ＋1与直线l 2∶y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值；(2)不解关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝mx ＋n ，请你直接写出它的解；(3)直线l 3∶y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．15．(xx·上海)已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm )之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的 长度x(cm ) 4.2 … 8.2 9.8 体温计的 读数y(℃)35.0…40.042.0(1)求y 关于x (2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm ，求此时体温计的读数．16．(xx·苏州)如图，已知函数y ＝－12x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2，在x 轴上有一点P(a ，0)(其中a ＞2)，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y ＝－12x ＋b 和y ＝x 的图象于点C ，D.(1)求点A 的坐标；(2)若OB ＝CD ，求a 的值．17．(xx·湖州)已知某市xx 年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图．(1)当x≥50时，求y 关于x 的函数关系式；(2)若某企业xx 年10月份的水费为620元，求该企业xx 年10月份的用水量； (3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自xx 年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按xx 年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元．若某企业xx 年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．30909 78BD 碽37606 92E6 鋦40732 9F1C 鼜32610 7F62 罢K28676 7004 瀄38414 960E 阎31355 7A7B 穻< 30547 7753 睓 &。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13 NP．（1）b=；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．（1）若一次函数y＝﹣12x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H 的坐标．8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．10．如图，四边形OABC 和四边形ODEF 都是正方形，点F ，O ，A 在一条直线上，点D 在OC 边上，以FA 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线132y x =+经过点B ，E ．（1）求正方形OABC 和正方形ODEF 的边长；（2）若点P 是BE 的中点，试证明：点C ，P ，A 三点在同一条直线上．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，0），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y =k （x +3）．（1）点D 的坐标是 ；（2）当直线l 经过D 点时，求k 的值；（3）该直线l 一定经过一个定点，其坐标是 ；（4）当直线l 与正方形的四边有两个交点时，求k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM 于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．【答案】-3＜b＜3【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），∴D（1，4），B（4，1）当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．故答案是：-3＜b＜3．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．【答案】﹣2【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴点B坐标为（1，1），∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在点M ，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5(2)C (-1，3)，D (-3，2)(3)()1,0M -，理由见解答【分析】（1）由一次函数112y x =+，可求出A 和B 点坐标，即得出OA 和OB 的长，再根据勾股定理求出AB 的长，最后由正方形面积公式计算即可；（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，即得出2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，从而可求出3OE =，3OF =，即得出C 、D 两点坐标； （3）找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，根据轴对称的性质可知此时BMD 周长最小．由B (0，1)，得出B '(0，-1)，利用待定系数法可求出直线B D '的解析式为=1y x --，从而可求出M 点坐标．（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =-， ∴A (-2，0)，B (0，1)，∴在Rt AOB △中，2OA =，1OB =，∴根据勾股定理得：22215AB =+=，∴正方形ABCD 面积为5；（2）如图，作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，∴90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒， ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ∴BAO ADF CBE ∠=∠=∠，∴(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，∴2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，∴213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ∴C (-1，3)，D (-3，2)；（3）如图，找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，则此时BMD 周长最小． ∵B (0，1)，∴B '(0，-1)设直线B D '的解析式为(0)y kx b k =+≠，把B '与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩， 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线B D '的解析式为=1y x --．对于=1y x --，令0y =，得到=1x -，∴M (-1，0)．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣125x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，当y =0，则x =5，故A (5，0)，即OA ＝5，OB ＝12，∴AB ＝22OA OB +＝22512+＝13，故AB ＝13；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠CDE ＝∠ADE ，在△CDE 和△ADE 中，CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ADE （SAS ），∴∠DCE ＝∠DAE ，设FC 与AD 交点为M ，∵∠EMD ＝∠AMF （对顶角相等），∠DCM +∠EMD ＝∠MAF +∠AMF ，∴∠DCM ＝∠MAF ，∴∠MAF ＝∠EAM ，∴AD 平分∠EAF ；（3）过点C 作y 轴垂线交y 轴于点N ，如图所示：∵∠CBN +∠NCB =∠CBN +ABO =90°，∴∠NCB =∠ABO ，在△CNB 和△BOA 中，90NCB OBA CNB BOA CB BA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CNB ≌△BOA （AAS ），∴BN =AO =5，CN =BO =12，又∵CF ⊥x 轴，∴CF =BO +BN =12+5=17，∴C 的坐标为(12，17)；∵△CDE ≌△ADE ，∴AE =CE ，∴AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，∴C △AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24．【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b 的图象过点A （0，3），点p 是该直线上的一个动点，过点P 分别作PM 垂直x 轴于点M ，PN 垂直y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取：PC=13MP ，MB=13OM ，OE=13ON ，ND=13NP ． （1）b= ；（2）求证：四边形BCDE 是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b 上是否存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形？若存在，请求出所有符合的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为（3）设P 点坐标（x ，y ），当△OBE ≌△MCB 时，四边形BCDE 为正方形，OE=BM ，当点P 在第一象限时，即13y=13x ，x=y ． P 点在直线上，132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩， 解得22x y =⎧⎨=⎩， 当点P 在第二象限时，﹣x=y132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得66x y =-⎧⎨=⎩在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形，P 点坐标是（2，2）或（﹣6，6）． 点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.6．在平面直角坐标系中，直线y ＝2x+4与两坐标轴分别交于A ，B 两点．（1）若一次函数y ＝﹣12x+m 与直线AB 的交点在第二象限，求m 的取值范围；（2）若M 是y 轴上一点，N 是x 轴上一点，直线AB 上是否存在两点P ，Q ，使得以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M ，N 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜4；（2）M （0，87），N （﹣47，0）或M （0，﹣83），N （43，0）或M （0，﹣4），N （﹣163，0）； 【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB 的解析式，据此进一步用m 表示出x ，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；（2）首先求出A 、B 两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.【解答】（1）联立24y x =+与12y x m =-+，得：1242x x m +=-+， ∴()245x m =-， ∵交点位于第二象限，∴()2405m -<， ∴4m <；（2）当0x =时，244y x =+=，∴A （0，4），当0y =时，024x =+，即：2x =-，∴B （2-，0），∴OA ＝4，OB ＝2．如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵MN ∥AB ，∴△NMO~△BAO ，∴12ON OB OM OA ==， 设ON ＝a ，则OM ＝2a ，∵∠MNQ ＝90°，∴∠QNH+∠MNO ＝∠MNO+∠NMO ＝90°，∴∠QNH ＝∠NMO ，在△QNH 和△NMO 中，∵∠QNH ＝∠NMO ，∠QHN=∠NOM ，QN=MN ，∴△QNH ≅△NMO （AAS ），∴QH＝ON＝a，HN＝OM＝2a，易得：△BQH~△BAO，∴12 BH OBQH OA==，∴BH＝12a，∵OB＝BH+HN+ON，∴2＝122a a a++，解得47a=，∴M（0，87），N（47-，0）；如图2，过点P作PH⊥x轴于H，易证△PNH~△BAO，∴12 PH OBOH OA==，设PH＝b，则NH＝2b，同理证得△PNH≅△NMO，∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，∴OH＝HN−OH＝b，易得：△BPH~△BAO，∴12 BH OBPH OA==，∴BH＝12 b，∵OB＝BH+OH，∴2＝12b+b，解得b＝43，∴M（0，83-），N（43，0）；如图3，过点P作PH⊥x轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，易得：△PAE~△BAO，∴12 PE OBAE OA==，设PE＝c，则AE＝2c，同理证得△PNH≅△PME，∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，∵OA＝AE+OE，∴4＝2c+c，解得c＝43，∵△MQF≅△PME，∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，∴NO＝NH+OH＝163，∴N（163-，0），∵OF＝m＝4，∴M（0，﹣4）．综上所述M（0，87），N（47-，0）或M（0，83-），N（43，0）或M（0，﹣4），N（163-，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）BQOP的值不变，理由见解析；（3）点H的坐标为(42243,22)----或(0,0)或(628,22)-．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），∴22 37k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．理由：连接BM，设PB交OM于G．∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵四边形POMN是正方形，∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，∴∠AOP＝∠BOM，∵OA＝OB，∴△AOP≌△BOM（SAS），∴∠OPG＝∠GMB，∵∠OGP＝∠BGM，∴∠GBM＝∠GOP＝90°，∴QM＝QP，∴QB＝QP＝QM，∵△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝2QP，∴22 BQ PQOP OP==．（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，∵BH 垂直平分线段PN ，BH 垂直平分线段OM ，∴BM ＝OB ＝4，∴M （﹣22，4+22），∴P （﹣4﹣22，﹣22），∴BN ＝BP ＝()()2242242243++-=，∴PH ＝BN ＝43，∵QB ＝QN ＝OQ ，∴∠NBO ＝90°，∴BN ∥OA ∥PH ，∴H （﹣4﹣2243-，﹣22）．如图2﹣2中，当点P 与A 重合时，得到四边形PNMO 是正方形（是菱形），此时H 与原点O 重合，H （0，0）．如图2﹣3中，当四边形PBNH 是菱形时，设PH 交OB 于J ，在JO 上取一点F ，使得PJ ＝JF ．∵BP ＝BN ，∴∠BPN ＝∠BNP ＝22.5°，∵∠OPN ＝90°，∠P AO ＝45°，∴∠APO ＝67.5°，∴∠AOP ＝67.5°，∴∠POJ ＝22.5°，∵∠PFJ ＝∠FPO +∠POF ＝45°，∴∠FPO ＝∠POF ＝22.5°，∴PF ＝OF ，设PJ ＝BJ ＝JF ＝x ，则PB ＝BN ＝PF ＝OF ＝2x ，∴2x +2x ＝4，∴x ＝4﹣22，∴BN ＝PH ＝42﹣4，P （22﹣4，22），∴H （62﹣8，22），综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣4﹣22﹣43，﹣22）或（0，0）或（62﹣8，22）．【点评】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P 与A 重合时．得到四边形PNMO 是正方形，此时是特殊的菱形.8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(5，0)，(4，2)(2)见解析(3)①5；②存在，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A 的坐标，又点D 的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M 的坐标；（2）过点C 作CQ ⊥x 轴于点Q ，利用勾股定理可得出OC =5，又点C ，D 的坐标可得出CD =5，CD ∥x 轴，结合点A 的坐标，可得出CD =OA ，进而可得出四边形OADC 为平行四边形，再结合OC =OA ，即可证出四边形OADC 是菱形；（3）①过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P 的坐标，结合点M 的坐标可得出MN ，PN 的长，再利用勾股定理，即可求出MP 的长；②存在，分OA 为边及OA 为对角线两种情况考虑，（i ）当OA 为边时，点E 与点P 重合，利用正方形的性质可求出点F 的坐标；（ii ）当OA 为对角线时，点E 在线段AP 的中点，结合点A ，P 的坐标可得出点E 的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F 的坐标．（1）解：当y=0时，-2x+10=0，解得：x=5，∴点A的坐标为（5，0）；设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，解得：k=12，∴直线OD的解析式为y=12x．联立两函数解析式得：21012y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，∴点M的坐标为（4，2），故答案为：（5，0）；（4，2）；（2）证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．∵点C的坐标为（3，4），∴OQ=3，CQ=4，∴OC= 222234OQ CQ+=+=5．∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），∴CD=5，CD∥x轴，即CD∥OA．∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5=CD，∴四边形OADC为平行四边形，又∵OA=OC=5，∴四边形OADC是菱形；（3）解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．当x=0时，y=-1×0+5=5，∴点P的坐标为（0，5）．∵点M的坐标为（4，2），∴MN=4，ON=2，∴PN=5-2=3，∴MP=2222+=+=5.34PN MN故答案为：5；②存在，分两种情况考虑，如图3所示．（i ）当OA 为边时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴点E 与点P 重合，∴点F 的坐标为（5，5）；（ii ）当OA 为对角线时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴△AOP 为等腰直角三角形，又∵四边形AEOF 为正方形，∴点E 为线段AP 的中点，∴点E 的坐标为（52，52）， ∴点F 的坐标为（0+5-52，0+0-52），即（52，-52）． ∴在平面直角坐标系中存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD 的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC 是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP 的长；②分OA 为边及OA 为对角线两种情况，求出点F 的坐标．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．【答案】y x=【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.【解答】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,∵四边形ABCD为正方形，∴BE=AE,且∠AEB=90°，∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠BGE=∠AFE=90°，∴△BEG≌△AEF（ASA）,∴EF=EG.所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),代入可得a=ak,解得k=1,∴过,O E两点的直线的解析式是为y=x.故答案为：y=x.【点评】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.10．如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线132y x=+经过点B，E．（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．【答案】（1）6和2；（2）见解答【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入132y x=+，即可求解；（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．【解答】解：（1）设正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：a，b，∴B（a，a），A（-b，b），∵直线132y x=+经过点B，E，∴132132a ab b⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：62ab=⎧⎨=⎩，∴正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：6和2；（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是BE的中点，∴P（2，4），∵A（6，0），C（0，6），设AC的解析式为：y=kx+b，∴606k bb+=⎧⎨=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴AC的解析式为：y=-x+6，∵x=2时，y=-2+6=4，∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．【点评】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．（1）点D的坐标是；（2）当直线l经过D点时，求k的值；（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)4 0k3 <<【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D 的坐标；（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．【解答】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED=∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.∴∠1+∠3=90°，12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C -，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C -，()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC -的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC -的“相关点”当M 与点()2,0B -重合时，此时M x 取得最小值，为2-，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =-+联立224y x y x =-+⎧⎨=+⎩ 解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23- 223M x ∴-≤<- (2)点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨-+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=-+⎩，12e f m =-⎧⎨=+⎩∴直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()23,1F m --， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m -=--+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()25,1F m --，代入直线AC 解析式，可得()1252m m -=--++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，0m <或8m >．【点评】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．【答案】(1)483y x =+ (2)122455M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)4607G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()02G -，【点评】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．。
一次函数培优训练常见题型
一次函数培优训练常见题型.txt 一次函数培优训练常见题型一次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握一次函数的常见题型是培优训练必备技能。
本文将介绍一些常见的一次函数题型及解题方法。
1. 直线方程表示法直线方程表示法是一次函数的常见表达方式。
其中，一次函数的一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
根据题目给出的条件，可通过直线方程表示法求解一次函数的解。
例题1已知一次函数的图像经过点 A(2, 4) 和 B(3, 6)，求该一次函数的解析式。
解析：设该一次函数的解析式为 y = kx + b。
根据题目给出的条件，我们可以得到以下方程组：4 = 2k + b (1)6 = 3k + b (2)求解方程组得到 k = 2，b = 0。
因此，该一次函数的解析式为 y = 2x。
例题2已知一次函数经过点 A(2, 3) 和 B(4, 5)，求该一次函数的解析式。
解析：同上例，设该一次函数的解析式为 y = kx + b。
根据题目给出的条件，我们可以得到以下方程组：3 = 2k + b (1)5 = 4k + b (2)求解方程组得到 k = 1，b = 1。
因此，该一次函数的解析式为 y = x + 1。
2. 直线的斜率与截距直线的斜率与截距也是求解一次函数的常用方法。
直线的斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
例题3已知一次函数的斜率为3，截距为2，求该一次函数的解析式。
解析：一次函数的解析式为 y = kx + b，其中 k 表示斜率，b 表示截距。
根据题目给出的条件，我们可以得出以下式子：y = 3x + 2因此，该一次函数的解析式为 y = 3x + 2。
例题4已知一次函数经过点 A(2, 5)，并且斜率为 2，求该一次函数的解析式。
解析：设该一次函数的解析式为 y = kx + b。
根据题目给出的条件，我们可以得到以下方程：5 = 2 * 2 + b求解方程得到 b = 1。
初二数学一次函数培优课件讲解
8.如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时， 两指尖的距离称为指距．某项研究表明， 一般情况下人的身高h是指距d的一次函数， 下表是测得的指距与身高的一组数据．
指距 d/cm
20
21
22
23
身高 h/cm
160
169
178
187
（1）求出h与d之间的函数关系式
h=9d-20．
8.如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时， 两指尖的距离称为指距．某项研究表明， 一般情况下人的身高h是指距d的一次函数， 下表是测得的指距与身高的一组数据．
10.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车 12辆和6辆。现在需要调往A县10辆，需要 调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车 到A县和B县的运费分别为40元和80元；从 乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分 别为30元和50元。
（3）求出总运费最低的调运方案， 最低运费是多少元？
指距 d/cm
20
21
22
23
身高 h/cm
160
169
178
187
（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距 应是多少？
一般情况下他的指距是24cm
9. 某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为 90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥 100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C， D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下 表所示．
（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W （元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x
的取值范围；
9. 某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为 90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥 100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C， D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下 表所示．
考点10 一次函数(精讲)(解析版)
考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。
一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。
2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。
①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。
②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。
第二节 一次函数-学而思培优
第二节 一次函数一、课标导航二、核心纲要1. 正比例函数(1)定义：一般地，形如k kx y （=为常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中愚叫做比例系数. 注：①自变量x 的最高次数为1，且x 的取值范围为全体实数；.0=/k ②(2)图像和性质①图像：正比例函数图像是经过(O ，0)，（1，k ）的一条直线，我们称它为直线.kx y =②性质2.一次函数(1)概念：一般地，形如b k b kx y ,(+=为常数，k≠O）的函数叫做一次函数，其中k 叫做比例系数． 注：①自变量x 的最高次数为1，且x 的取值范围为全体实数；b k ,0=/②取任意实数；a ．当0,0=/=kb 时，,kx y =是特殊的一次函数；b ．当0,0==k b 时，它不是一次函数；③k 也叫斜率，b 叫做在y 轴上的截距．(2)图像和性质 ①图像：一次函数图像是经过)0,(),,0(kb b -的一条直线，我们称它为直线.b kx y += ②性质注：a ．判断盲线经过的象限的方法：k 的符号决定直线经过第一、三象限还是二、四象限（k>0，图像经过第一、三象限，k<0，图像经过第二、四象限）；6的符号决定直线与∥轴的交点位置（b>0，图像与y 轴的正半轴相交，b-0经过原点，b<0，图像与y 轴的负半轴相交）；b ．︱k ︱大小决定直线的倾斜程度．3.直线y=kx+b 与坐标轴 的交点坐标及围成的三角形面积(1)与x 轴的点坐标：令,0=y 即,0=+b kx 解得：,k b x -=所以与x 轴的交点坐标为⋅-)0,(kb A (2)与y 轴的交点坐标：令,0=x 即,b y =所以与y 轴的交点坐标为B(O ，b).(3)直线b kx y +=与坐标轴围成的三角形面积为：⋅=∆||22k b s AOB 4.直线 的位置关系与)0()0(222111≠+=≠+=k b x k y k b x k y(1)两直线平行21k k =⇔且⋅=/21b b(2)两直线相交⋅=/⇔21k k(3)两直线重合21k k =⋅⇔且⋅=21b b※(4)两直线垂直.121-=⇔k k5.点),(00y x p 与直线y=kx+b 的图像的关系(1)如果点),(00y x P 在直线b kx y +=的图像上，那么00,y x 的值必满足解析式;b kx y +=(2)如果00,y x 是满足函数解析式的一对对应值，那么以00,y x 为坐标的点),(00y x P 必在函数的图像上．6.直线的平移和对称(1)直线的平移规律：上加下减，左加右减，如：x y 2=向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到直线,1)2(2--=x y 即.52-=x y(2)直线的对称规律①直线b kx y +=关于x 轴对称得到直线;b kx y --=②直线b kx y +=关于y 轴对称得到直线;b kx y +-=③直线b kx y +=关于原点对称得到直线.b kx y -=(1)定义：先设出一次函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的 方法，叫做待定系数法．(2)用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤①一设：设一次函数的解析式为);0(=/+=k b kx y②二代：将x ，y 的两对值，或图像上的两个点的坐标代人,b kx y +=得到以a ，b 为未知数的方程或 方程组；③三解：解方程（组），得到待定系数k ，b 的值；④四还原：将k ，b 的值代人,b kx y +=得到所求的一次函数解析式．本节重点讲解：一个规律，一个方法，两个性质，两个概念，两个关系（两条直线的位置关系，点与函数解析式的关系）三、全能突破基 础 演 练1．下列函数中：,2)1(x y π=,62)2(+-=x y ,3)4(,43)3(2+==x y x y ,)6(,23)5(x y xy ==其中是一次函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．(1)已知函数b kx y +=的图像如图19—2—1所示，则b kx y +=2的图像可能是图19-2-2中的( )．(2)-次函数图像9)3(2-+-=k x k y 经过原点，则k 的值为( )A.3 B ．-3 C ．3或-3 D.43．(1)函数y x k y ,)1(-=随x 增大而减小，则k 的范围是( )． 1.>k A 1.<k B 1.=/k C 1.≤k D(2)已知点),(11y x A 和点),(22y x B 在同一条直线b kx y +=上，且.0<k 若,21x x >则1y 与2y 的关系是( )21y y A >⋅ 21y y B =⋅ 21y y c <⋅ 21y y D 与⋅的大小不确定(3)已知点),(11y x A 和点),(22y x B 在同一条直线1)2(+-=x m y 上，若,21x x >则,21y y >那么m 的取值范围为( )．2.>m A 2.<m B 2.=m C 2.≥m D4．(1)直线x y 3=沿y 轴正方向平移2个单位长度后得到的图像所对应的函数解析式是( )．23+=⋅x y A 23-=⋅x y B 32+=⋅x y C 32-=⋅x y D(2)将直线x y 2=向右平移1个单位后所得图像对应的解析式为( )．12-=⋅x y A 22-=⋅x y B 12+=⋅x y C 22+=⋅x y D5．(1)若n x m y m 32)3(82-+-=-是正比例函数，则=m =n ,(2)已知函数1)1(2++=m x m y 是一次函数，则=m ，(3)当=m 时，54)4(12---=+x xm y m 是一次函数．6．(1)已知m 是整数，且一次函数2)4(+++=m x m y 的图像不经过第二象限，则m 为(2)一次函数34)2(-+-=a x a y 的图像与y 轴的交点在x 轴的下方，则a 的取值范围是(3)已知一次函数b kx y +=的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的 一个解析式：7．(1)已知直线b kx y +=与直线73+-=x y 关于y 轴对称，则=k =b ,(2)已知直线b kx y +=与直线73+-=x y 关于x 轴对称，则=k =b ,(3)已知直线b kx y +=与直线73+-=x y 关于原点对称，则=k =b ,8．已知y-3与x 成正比例，且2=x 时，.7=y(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当21-=x 时，求y 的值． (3)若y 的范围为,50≤≤y 那么x 的取值范围是多少？9．一次函数),0(=/+=m n mx y 当52≤≤-x 时，对应的y 值为,70≤≤y 求一次函数的解析式．10.已知直线1l 经过点A(l ，0)与点B(3，2)，另一条直线2l 经过点C(2，-4)，(1)求直线1l 的解析式；(2)若直线2l 与直线1l 无交点，且与x 轴交于点P ，求P 点坐标；(3)已知点D （-2，1），判断A 、C 、D 三点是否在同一条直线上．能 力 提 升11．(1)如图19-2-3所示，直线b ax y l +=:1和a bx y l -=:2在同一坐标系中的图像大致是( )．(2)如果,0,0<>c a ab 则直线bc x b a y +-=不通过( )． A 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(1)在同一个坐标系中，如图19-2-4所示，一次函数,,,321x k y x k y x k y ===x k y 4=的图像分别为,,,,4321l l l l 则下列关系中正确的是( )．4321.k k k k A <<< 3412.k k k k B <<< 3421.k k k k c <<< 4312.k k k k D <<<(2)在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为),2,4(),4,2(B A -直线2-=kx y 与线段AB 有交点，则k 的值不可能是( )．5.-A 2.-B 3.C 5.D13．(1)已知一次函数b kx y +=与直线23-=x y 平行，与直线32+=x y 相交于y 轴上一点，则k 、b的值分别为( )．2,3.==b k A 3,3.==b k B 3,2.=-=b k C 3,2.==b k D(2)直线1l 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到直线2l 解析式为,12-=x y 则直线1l 的解 析式为( )．72+=⋅x y A 72+-=⋅x y B 72-=⋅x y C 72--=⋅x y D(3)把直线x y 3-=向上平移后得到直线AB ．，直线AB 经过点(m ，n)，且,83=+n m 则直线AB 的解析式是( )．43--=⋅x y A 43+-=⋅x y B 83--=⋅x y C 83+-=⋅x y D14.在平面直角坐标系中，已知直线343+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点),0(n C 是y 轴上 一点．把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是( )．)43,0.(A )34,0.(B )3,0.(C )4,0.(D15.已知关于x 的一次函数72-+=m mx y 在51≤≤-x 上的函数值总是正数，则m 的取值范围是( )7.>m A 1.>m B 71.≤≤m C D ．都不对16．一次函数6+-=x y 的图像经过M(a ，b)，N （c ，d ）两点，(1)若a<c ，则b 与d 的关系是(2)代数式)()(d c b d c a +++的值为17.已知关于x 的一次函数,12-+=n nx y 无论n 为何值时图像恒过一定点，则此定点坐标为18.正方形 ,,,23331222111C C B A C C B A O C B A 按图19-2-5所示的方式放置．点 ,,,321A A A 和点,,,321C C C 分别在直线)0(>+=k b kx y 和x 轴上，已知点),2,3(),1,1(21B B 则n B 的坐标是19．已知一次函数b kx y +=的图像经过点（-2，5），且它与y 轴的交点和直线32+-=x y 与y 轴的交点关于x 轴对称，那么这个一次函数的解析式为20.已知一次函数m x y +=3的图像与x 轴的交点到y 轴的距离是4，求其函数解析式．21.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，例如，图19-2-6中过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长 与面积相等，则点P 是和谐点．(1)判断点M(l ，2)，N(4，4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P(a ，3)在直线b b x y (+-=为常数）上，求a ，b 的值．22.某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x 名同学购买书包，全年级共购买了y 件学习用品．(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？中 考 链 接23.（2011．福建福州）如图19-2-7所示，在平面直角坐标系中，A 、B 均在边长为1的正方形网格格点上．(1)求线段AB 所在直线的函数解析式，并写出当20≤≤y 时，自变量x 的取值范围；(2)将线段AB 绕点B 逆时针旋转,90 得到线段BC ，画出线段BC.若直线BC 的函数解析式为,b kx y +=则y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）．24.（2012．厦门）如图19-2-8所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连接AB.如果点P 在直线1-=x y 上，且点P 到直线AB 的距离小于1，那么称点P 是线段AB 的“临近点”．(1)判断点)25,27(C 是否是线段AB 的“临近点”，并说明理由；(2)若点Q(m ，n)是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围．25.（2012．山东德州）现从A 、B 向甲、乙两地运送蔬菜，A 、B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A 到甲地运费50元／吨，到乙地30元／吨；从B 地到甲运费60元／吨，到乙地45元／吨．(1)设A 地到甲地运送蔬菜x 吨，请完成下表：(2)设总运费为W 元，请写出W 与x 的函数关系式．(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？巅 峰 突 破26.设有一次函数b k b kx y ,(+=为常数），下表中给出5组自变量和相应的函数值，其中只有一组的函数27．无论m 为何值，直线m x y 2+=与直线4+-=x y 的交点不可能在第 象限．28．已知实数a ，b ，c 满足,k c b a b c a a c b =+=+=+且,0>b 那么b kx y +=的图像一定经过第 象限．。
第十九章 一次函数单元培优训练(解析版)
第十九章 一次函数单元培优训练班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第19章 一次函数，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022春·上海·八年级专题练习）下列函数是一次函数的是（ ）A ．11y x =+B ．2y x =-C ．22y x =+D ．y kx b=+2．（2021春·河南周口·八年级统考期末）若函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣3，0），B （0，4），则不等式kx +b ≥0的解集是（ ）A ．x ≥﹣3B ．x ≤﹣3C ．x ≥4D ．x ≤4【答案】A【分析】结合函数图象即可求得．【详解】解：由函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣3，0），B （0，4）画出函数图象如图，由图象可知，不等式kx +b ≥0的解集是x ≥﹣3．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，能够熟练运用一次函数图象解一元一次不等式是解题的关键．3．（2019秋·广西贺州·八年级统考期中）函数233y x =--自变量x 的取值范围是（ ）．A ．0x ¹B ．1x ¹C ．1x >D ．1x <【答案】B【分析】根据分式的分母不为零进行求解即可.【详解】根据题意，330x -¹，解得1x ¹，故选：B.【点睛】本题主要考查了反比例函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的性质是解决本题的关键.4．（2022春·河北唐山·八年级统考期末）如图，直线1y x b =+与21y kx =-相交于点P ，点P 的横坐标为1-，则关于x 的不等式1x b kx +>-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】观察函数图象得到当x ＞-1时，函数y =x +b 的图象都在y =kx -1的图象上方，所以不等式x +b ＞kx -1的解集为x ＞-1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．【详解】解：当x ＞-1时，x +b ＞kx -1，即不等式x +b ＞kx -1的解集为x ＞-1．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =ax +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．5．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图OB 、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快．有以下说法：①乙让甲先跑12米；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③ 8秒钟内，甲在乙后面；④ 8秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④【答案】D【分析】根据函数图象可以得出：乙比甲先跑了12米；根据速度=路程÷时间可求出甲的速度与乙的速度；8秒钟时甲乙相遇，可判断两人的位置关系．【详解】解：由图象知OA=12，即乙比甲先跑了12米，故①错误；甲的速度为：64÷8=8米/秒，乙的速度为：（64－12）÷8=6.5米/秒，即甲的速度比乙快1.5米/秒，故②正确；8秒时甲乙相遇，8秒钟内，甲在乙后面，8秒钟后，甲超过了乙，故③④正确；综上所述，正确的序号为：②③④，故选D．【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，需结合图形解答．借助数形结合的思想，从函数图象中提取有用信息是解决此题的关键．6．（2015秋·江苏苏州·八年级统考期中）在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、A n B n B n－1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y kx b=+的图像上，点B1、B2、B3、…、B n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），则点A n的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，+1）D．（，）【答案】D【详解】试题分析：如图，∵点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），∴OB 1=1，OB 2=3，则B 1B 2=2．∵△A 1B 1O 是等腰直角三角形，∠A 1OB 1=90°，∴OA 1=OB 1=1．∴点A 1的坐标是（0，1）．同理，在等腰直角△A 2B 2B 1中，∠A 2B 1B 2=90°，A 2B 1=B 1B 2=3，则A 2（1，2）．∵点A 1、A 2均在一次函数y=kx+b 的图象上，∴1{2b k b==+，解得，11k b =ìí=î，∴该直线方程是y=x+1∵点A 3，B 2的横坐标相同，都是3，∴当x=3时，y=4，即A 3（3，4），则A 3B 2=4，∴B 3（7，0）．同理，B 4（15，0），…B n （2n -1，0），∴当x=2n-1-1时，y=2n-1-1+1=2n-1，即点A n 的坐标为（2n-1-1，2n-1）．故选D考点：一次函数综合题二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）一次函数31y x =-+图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵30,10-<>，∴一次函数31y x =-+图象经过第一、二、四象限，∴一次函数31y x =-+图象不经过第三象限．故答案为：三【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+¹，当0,0k b >>时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当0,0k b ><时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当0,0k b <>时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当0,0k b <<时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．8．（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考期末）若函数y ＝（k ﹣2）x |k |﹣1+1是关于x 的一次函数，则k ＝_____．9．（2021·广东深圳·深圳中学校考二模）在平面直角坐标系中，直线y kx =向右平移2个单位后，刚好经过点()0,4，则不等式24x kx >+的解集为________．【答案】1x >【分析】由题意直线y kx =向右平移2个单位后，刚好经过点(0,4)，根据待定系数法求出直线的解析式，然后代入不等式中，从而求出不等式的解集．【详解】解：Q 直线y kx =向右平移2个单位得：(2)y k x =-，又其过点(0,4)，42k \=-，解得：2k =-，\不等式24x kx >+可化为：224x x >-+解得1x >．故答案为：1x >．【点睛】此题考查平移的性质及待定系数法求直线的解析式，还考查求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．10．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）将直线5y kx =+的图像向下平移3个单位后，经过点A （1，0），则平移后的直线解析式为______．【答案】22y x =-+【分析】根据一次函数的平移可得直线5y kx =+的图像向下平移3个单位后得2y kx =+，然后把(1,0)代入2y kx =+即可求出k 的值即可．【详解】解：直线5y kx =+的图像向下平移3个单位后得2y kx =+，Q 经过点（1,0），02k \=+，解得：2k =-，∴平移后的直线的解析式为22y x =-+，故答案为：22y x =-+．【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移变换和待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016秋·八年级课时练习）直线y kx b =+与直线32y x =-+平行，且经过点（1，6），则该函数关系式为________【答案】39y x =-+【详解】试题解析：该直线与直线32y x =-+ 平行，所以3,k =-即:3,y x b =-+再把点()16，代入有631,b =-´+ 解得9,b = 所以一次函数的关系式为:39,y x =-+故答案为:39,y x =-+点睛：直线111y k x b =+ 与直线222y k xb =+平行时：1212,.k k b b =¹12．（2021·全国·八年级假期作业）已知直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为()2,3-，则直线11y k x b =-与直线22y k x b =-的交点坐标为____________．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知一次函数y＝kx﹣3，当x＝1时，y＝7．（1）求这个一次函数的表达式；（2）试判断点P（2，15）是否在这个一次函数y＝kx﹣3的图象上，并说明理由．【答案】（1）y＝10x﹣3；（2）不在，理由见详解．【分析】（1）把x与y的值代入一次函数解析式求出k的值，即可确定出解析式；（2）把x＝2的值代入解析式计算求出y的值即可判断．【详解】解：（1）把x＝1，y＝7代入y＝kx﹣3得：7＝k﹣3，解得：k＝10，则y＝10x﹣3；（2）把x＝2代入y＝10x﹣3得y＝10×2﹣3＝17≠15，所以点P（2，15）不在这个一次函数y＝kx﹣3的图象上．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b(k≠0)．14．（2022秋·八年级课时练习）金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一次函数．(1)求y与x之间的关系式；(2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少?【答案】(1)y与x之间的关系式为y=2x+60(2)该天童装的单价是每件40元【分析】(1)根据题意先设出y与x的函数关系式y=kx+b，再根据题目中的数据，即可求出该函数的解析式；(2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x的值即可．【详解】（1）因为y是x的一次函数．所以，设y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意知，当x=0时，y=60 ；当x=20时，y= 100，所以，60 20100bk b=ìí+=î解之得：602 bk=ìí=î所以y与x之间的关系式为y=2x+60 ；（2）当y=80时，由80=2x+60，解得x=10，所以50- 10= 40(元)，所以该天童装的单价是每件40元．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式．15．（2022秋·八年级课时练习）已知正比例函数图象经过点(1,2)-(1)求此正比例函数的解析式；(2)点(2,2)-是否在此函数图象上？请说明理由．【答案】(1)2y x =-；(2)否，理由见解析．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）将(2,2)-代入解析式，若等式成立则说明在函数图象上，否则不在．【详解】（1）解：设正比例函数解析式为y kx =，∵函数图象过(1,2)-，将其代入解析式可得：2k =-，∴2k =-，即解析式为：2y x =-，（2）解：否，理由如下：假设点(2,2)-在此函数图象上，则将其代入解析式应满足等式成立，但是222-¹-g ，∴(2,2)-不在此函数图象上．【点睛】本题考查正比例函数，比较简单，重点要掌握待定系数法求解析式，以及利用解析式判断点是否在函数图象上．16．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期中）已知3y +与x 成正比例，当2x =时，7y =．(1)求y 与x 的函数表达式；(2)当12x =-时，求y 的值．17．（2020春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，直线 8y kx =+ 分别与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，A 点的坐标为()4,0．（1）求 k 的值；（2）过线段 AB 上一点 P （不与端点重合）作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M ，N ．当长方形 PMON 的周长是 10 时，求点 P 的坐标．【答案】（1）2k =-；（2）()32，．【分析】（1）将点A 的坐标代入直线解析式即可；（2）设点P 的坐标为()28P t t -+，，由长方形的性质计算其周长即可解题．【详解】（1） Q 直线 8y kx =+ 经过 ()40A ，， 048k \=+，2k \=-．（2） Q 点 P 在直线 28y x =-+ 上，设 ()28P t t -+，，PN t \=，28PM t =-+，Q 四边形 PNOM 是长方形，\ 长方形 PNOM 的周长 ()28210C t t =-+´=，解得 3t =，\ 点 P 的坐标为 ()32，．【点睛】本题考查一次函数解析式求法、待定系数法、含参数点坐标、长方形的周长公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2020春·甘肃庆阳·八年级统考期末）已知函数(21)13y m x m =-+-，m 为何值时：（1）这个函数的图像过原点（2）这个函数为一次函数（3）函数值y 随x 的增大而增大19．（2022秋·八年级课时练习）直线AB 与x 轴交于点A(2，0)，与y 轴交于点B(0，-4)．(1)求直线AB 的解析式.(2)若直线CD 与AB 平行，且直线CD 与y 轴的交点与B 点相距2个单位，则直线CD 的解析式为________.【答案】（1）y=2x-4;（2）y=2x-2或y=2x-6【详解】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；（2）由于两条直线平行知k 和值相同，再根据直线CD 与y 轴的交点与B 点相距2个单位可得b 的值.试题解析：（1）设y=kx+b(k≠0)由题意得b=-4，2k+b=0解得k=2，b=-4.∴y=2x-4.（2）y=2x-2或y=2x-6.20．（2021春·山东济宁·八年级统考期末）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如下表：C（元/t）D（元/t）A2030B1015设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2）试比较A、B两城总运费的大小；（3）若B城的总运费不得超过3800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．【答案】（1）y1=−10x＋6000，y2＝5x＋3300（2）x＝180时，y1＝y2；x＞180时，y1＜y2；x＜180时，y1＞y2；（3）当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为8800元．【分析】（1）根据题意即可得出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）根据题意得：y1＝20x＋30（200−x）＝−10x＋6000，y2＝10（240−x）＋15（300−240＋x）＝5x＋3300．（2）若y1＝y2，则−10x＋6000＝5x＋3300，解得x＝180，A、B两城总费用一样；若y1＜y2，则−10x＋6000＜5x＋3300，解得x＞180，A城总费用比B城总费用小；若y1＞y2，则−10x＋6000＞5x＋3300，解得0＜x＜180，B 城总费用比A 城总费用小．（3）依题意得：5x ＋3300≤3800，解得x ≤100，设两城总费用为W ，则W ＝y 1＋y 2＝−5x ＋9300，∵−5＜0，∴W 随x 的增大而减小，∴当x ＝100时，W 有最小值8800．200−100＝100（t ），240−100＝140（t ），100＋60＝160（t ），答：当从A 城调往C 乡肥料100t ，调往D 乡肥料100t ，从B 城调往C 乡肥料140t ，调往D 乡肥料160t ，两城总费用的和最少，最小值为8800元．【点睛】本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2021春·河北邯郸·八年级统考期末）某商场计划采购A ，B 两种不同型号的电视机共50台，已知A 型电视机进价1500元，售价2000元；B 型电视机进价为2400元，售价3000元．（1）设该商场购进A 型电视机x 台，请写出全部售出后该商店获利y 与x 之间函数表达式．（2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润．【答案】（1）10030000y x =-+；（2）共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，采购甲型电脑13台，乙型电脑37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元【分析】（1）由题意，获得总利润等于A 、B 两种型号利润之和即可列出函数解析式；（2）由采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元列出不等式组，求出x 的取值范围，再根据函数的性质求解即可．【详解】解：（1）（1）由题意得：y =（2000-1500）x +（3000-2400）×（50-x ）=-100x +30000，∴全部售出后该商店获利y 与x 之间函数表达式为：10030000y x =-+；（2）由题意得：()1500240050108300x x +-£且1003000028500x -+³解得1315x ££，∵x 为正整数，∴13x =、14、15，共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，∵1000-<，∴y 随x 的增大而减小，∴当x 取最小值时，y 有最大值，即13x =时，y 最大值100133000028700=-´+=，∴采购甲型电脑13台，乙型电脑37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，由题意正确列出函数关系式和不等式组是解题关键．22．（2018春·四川南充·八年级统考期末）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一艘外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．如图是渔政船及渔船与港口的距离s （海里）和渔船离开港口的时间t （时）之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离开港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数关系式；（2）已知两船相距不超过30海里时，可以用对讲机通话，在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求两船可以用对讲机通话的时间长？所以10.4﹣9.6＝0.8（小时）所以，两船可以用对讲机通话的时间长为0.8小时．【点睛】本题考查了一次函数的应用．关键是根据图象求出渔船的分段函数的解析式及渔政船行驶的函数关系式．六、（本大题共12分）23．（2020秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图1，小明用一张边长为6cm 的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm 的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为3ycm ．（1）y 关于x 的函数表达式是__________，自变量x 的取值范围是___________．（2）为探究y 随x 的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：①列表：请你补充表格中的数据：x 00．511．522．53y012．513．52．50②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过312cm ，估计正方形边长x 的取值范围．（保留一位小数）【答案】（1）3242436y x x x =-+，03x <<；（2）①16，8；②见解析；③见解析；（3）0.5 1.6x <<（或0.4 1.7x <<）【分析】（1）先根据已知条件用含x 的式子表示出长方体底面边长，再乘以长方体的高即可；（2）①根据（1）得出的关系式求当x=1、2时对应的y 的值补充表格；②③根据描点法画出函数图像即可；（3）根据图像知y=12时，x 的值由两个，再估算x 的值，再根据图像由y ＞12，得出x 的取值范围即可．【详解】解：（1）由题意可得，无盖纸盒的底面是一个正方形，且边长为（6-2x ）cm ，∴232(62)42436y x x x x x =-=-+，x 的取值范围为：0＜6-2x ＜6，解得03x <<．故答案为：3242436y x x x =-+；03x <<；（2）①当x=1时，y=4-24+36=16；当x=2时，y=4×8-24×4+36×2=8；故答案为：16，8；②③如图所示：（3）由图像可知，当y=12时，0＜x ＜1，或1＜x ＜2，①当0＜x ＜1时，当x=0.4时，y=10.816，当x=0.5时，y=12.5，∴当y=12时，x≈0.5（或0.4）；②当1＜x ＜2时，当x=1.6时，y=12.544，当x=1.7时，y=11.492，∴当y=12时，x≈1.6（或1.7），∴当y ＞12时，x 的取值范围是0.5 1.6x <<（或0.4 1.7x <<）．【点睛】本题主要考查列函数关系式、函数图像的画法、根的估算以及函数的性质，解题的关键是掌握基本概念和性质．。
培优9 一次函数综合类问题四大类
一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．二、精讲精练1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．第1题图第2题图第3题图2.如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1____l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．3.如图，直线483y x=-+交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D，则点C的坐标为____________．MAB4.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．探索：若点A的坐标为(3，1)，则它关于直线l的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P的坐标为(m，n)，则它关于直线l的对称点P′的坐标为____________；应用：已知两点B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为____________．5.如图，已知直线l：y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为__________________．第5题图第6题图第7题图6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为__________________．7.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，过定点Q(0，2)和动点P(a，0)的直线与矩形ABCD的边有公共点．（1）a的取值范围是________________；（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范围是________________．8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第8题图 第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B 点下方一点，PB =m （m >0），以点P 为直角顶点，AP 为腰在第四象限内作等腰Rt △APM ． （1）求直线AB 的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，求点Q 的坐标．一次函数之存在性问题（讲义）一、知识点睛存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：1.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；2.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．二、精讲精练1.如图，直线3y x=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_____________．2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43 OCOB=.（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线122y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)，P(x，y)是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278？求出此时点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．二、精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长．（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．4.如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=交于点P．（1）求点P的坐标．（2）求△OP A的面积．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E 作EF⊥x轴交线段OP或线段P A于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB与△OP A重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．一次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：2△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、精讲精练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为(-2，2)，则S△P AB=___________．第2题图第3题图3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k=__________．4.如图，直线112y x=+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，求△ABC的面积．5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．6.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，已知直线m的解析式为112y x=-+，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．一、知识点睛 二、精讲精练 1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+6．4163y x =-+7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:910．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0) 【参考答案】 一、知识点睛 二、精讲精练1．33(13()4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，) 3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，)1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)2(48)t S t <⎪=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(03M 或，3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2） （3）22(03)6(34)2t S t <⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t = （3）2221(02)2388(24)2t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤【参考答案】 二、精讲精练1．722．83．524．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或， 7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或， 8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。
一次函数培优专题研究
一次函数培优专题研究一次函数是数学中的基础概念之一，它在代数和几何中都有着重要的应用。
本文将重点研究一次函数的优化方法和技巧，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一次函数的定义和特点一次函数，也被称为线性函数，是指形如 `f(x) = ax + b` 的函数，其中 `a` 和 `b` 是常数。
一次函数的图像是一条直线，具有以下特点：1. 斜率（`a`）决定了直线的倾斜程度。
当 `a > 0` 时，直线向右上方倾斜；当 `a < 0` 时，直线向右下方倾斜；当 `a = 0` 时，直线水平。
2. 截距（`b`）决定了直线与 y 轴的交点位置。
当 `b > 0` 时，直线与 y 轴正向相交；当 `b < 0` 时，直线与 y 轴负向相交；当 `b = 0` 时，直线过原点。
一次函数的优化方法为了优化一次函数的表达和应用，以下是一些常用的优化方法和技巧：1. 求解方程：通过求解一次函数的方程 `f(x) = 0` 可以确定函数的根（即解）。
根的求解可以使用代数方法或图像解读法。
2. 计算斜率：一次函数的斜率代表了函数的变化速率。
可以通过求导数的方法计算一次函数的斜率。
例如，对于函数 `f(x) = ax + b` 来说，斜率即为常数 `a`。
3. 确定截距：通过观察一次函数的图像或给定的函数表达式，可以确定直线与 y 轴的交点位置，即截距。
截距可以提供重要的信息，如函数的起始值等。
4. 最小二乘法：对于一次函数的拟合问题，最小二乘法是一种常用的优化方法。
它通过最小化实际观测值与一次函数的预测值之间的差异来找到最佳拟合直线。
5. 应用实例：将一次函数应用于实际问题，如经济学中的需求曲线、物理学中的速度-时间关系等，可以通过优化方法来分析相关变量之间的关系和趋势。
总结通过研究一次函数的优化方法和技巧，我们可以更好地理解和应用这一基础数学概念。
在解决实际问题时，我们可以利用这些方法来确定函数的性质、计算相关参数，甚至进行数据拟合和关系分析。
一次函数培优
知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
A 卷一、填空题1.两个一次函数312,y x =+33,2y x =-的图像与y 轴所围成的三角形面积是 。
2.等腰三角形一个底角的度数记作y ，顶角的度数记作x ，将y 表示成x 的函数是 ，其中x 的取值范围是 。
3.如果函数12a y =--的图像与直线32y x =-平行，则a = 。
4.已知四条直线3y mx =-、1y =-、3y =、1x =所围成的车边形的面积是12，则m = 。
5.已知一次函数y kx b =+中，若x 的值每增加4，y 的值也相应增加8，则k = 。
6.如果把函数2y x =的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。
7.已知一次函数24(31)(21)3,n y n n x =-++则n 的值为 。
8.若直线(1)5y m x m =-+-不经过第二象限，则m 的取值范围是 。
二、解答题9.求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图像恒过一定点。
10.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？B 卷一、填空题1.函数1(1)(0,01)y ax x a x a=+->≤≤的最小值为 。
《一次函数》培优题含答案解析
《一次函数》培优题含答案解析1．如图1，已知直线y=2某+2与y轴、某轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交某轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥某轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥某轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=某+2；（2）如图2，作CH⊥某轴于H，DF⊥某轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣某﹣，P（∴P（﹣，），由y=某+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN∴BN==某，，ON=，，k）是线段BC上一点，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．3．如图直线：y=k某+6与某轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（某，y）是直线在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与某的函数关系式，并写出自变量某的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
一次函数基础知识讲解及培优.doc
4、2y-3与3x+l成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为_________________ ；题型四、函数图像及其性质方法：☆一次函数y=kx+b (kHO)中k、b的意义：k(称为斜率)表示直线y=kx+b (kHO) 的倾斜程度；b (称为截距)表示直线y二kx+b (kHO)与y轴交点的 _____________ ，也表示直线在y轴上的____________ 。
☆同一平面内，不重合的两直线y二kix+bi (kiHO)与y=k2x+b2 (kzHO)的位置关系：当 __________ 时，两直线平行。
当___________ 时，两直线相交。
当________ 时，两直线交于y轴上同一点。
、 ________________________________________________ 对于函数的值随值的减小而。
2、对于函数尸齐討y的值随皿的——而增大。
3、一次函数y二(6-3m)x+(2n—4)不经过第三象限，则m、n的范围是 ___________ 。
4、直线y=(6-3m)x+ (2n—4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________ 。
5、已知直线尸kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y二bx+k经过第_______ 象限。
6、无论m为何值，直线y=x+2m与直线y二x+4的交点不可能在第______ 象限。
7、己知一次函数(1)当m取何值时，y随x的增大而减小？(2)当m取何值时，函数的图象过原点?题型五、待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y二kx+b （kHO）的解析式。
☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （kHO）；☆若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
1、若函数y=3x+b经过点（2, -6）,求函数的解析式。
2、直线y二kx+b的图像经过A （3, 4）和点B （2, 7）,3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y （升）与行驶时间小时）Z间的关系.求油箱里所剩油y （升）与行驶时间廿（小时）之间的函数关系式，并且确定口变量*的取值范围。
一次函数专题讲解
第四章 一次函数专题讲解授课教师：马老师 年级：八年级 姓名：（一）知识回顾：1、平面直角坐标的定义及其相关概念2、平面直角坐标系中点的特征3、平面直角坐标系中点的对称情况4、两点之间的距离公式及中点坐标公式5、点的平移变化以及图像的拉伸、压缩变换（二）新知识：一、 基本概念及其理解1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
自我总结构成函数的要素：3、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
6、函数的表示方法及其特点列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、 一次函数与正比例函数 1、 一次函数的定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.特殊地，当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx 时，那么把y 叫做x 的正比例函数.即正比例函数是一种特殊的一次函数.构成一次函数的要素：2、 一次函数的性质：(1) 解析式：y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)(2) 一次函数必过点：一次函数必与坐标轴有交点:一次函数与X 轴的交点（-kb，0）, 一次函数与Y 轴的交点（0，b ）当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交，交点是(0，b)．（三）补充知识点：1、一次函数解析式的几种类型①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式] （k 为直线斜率，b 为直线纵截距，正比例函数b=0） ③211x x x x --=211y y y y -- [两点式] （（1x , 1y ）与（2x , 2y ）为直线上的任意两点）2、两直线的位置关系若两条直线y =k 1x+b 1 与y=k 2x+b 2互相平行，那么k 1= k 2，b 1≠b 2 若两条直线y =k 1x+b 1与y=k 2x+b 2互相垂直，那么k 1×k 2=-13、直线的平移变换（左加右减，上加下减）将y=kx+b 向上平移n 个单位后变成y=kx+b+n ；向下平移n 个单位变成y=kx+b-n将y=kx+b 向左平移n 个单位后变成y=k （x+n ）+b ；将y=kx+b 向右平移n 个单位后变成y=k （x-n ）+b （任何图像的平移都遵循上加下减，左加右减的规则 ）4、若y =k 1x+b 1 与y=k 2x+b 2关于x 轴对称，那么k 1+ k 2=0、b 1+b 2=05、若y =k 1x+b 1 与y=k 2x+b 2关于y 轴对称，那么k 1+ k 2=0、b 1=b 2（四）常见考点： 1、求系数(指数)例1：已知函数y=(k-1)x2k + m-2①若,求k , m 的植. ②若它是一个一次函数，求k , m变式练习、判断：在函数y=2x+1,y=523-x ,y=3x －5x 2，y=x 3,1+=x y 中，一次函数有 个2．求位置：例1：一次函数的图像与直线y ＝431+x 平行，并且经过点（－2,1），求这个函数的解析式变式练习1：满足下列条件的函数解析式：与直线x y 2-=垂直且经过点(1, -1)的直线的解析式；例２如果函数y=kx+b 图象不经过第二象限,则k ,b 的符号如何?思考：一次函数y=kx-b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图像不可能的是（ ）3.求交点：指一次函数的图象与坐标轴的交点坐标以及两直线交点坐标的求法．直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标是（-k/b ，０），与y 轴的交点坐标是（０,b ）,两条直线的交点坐标的求法：是将两直线的解析式联立成一个二元一次方程组，解这个方程组，将它的解写成一个有序实数对，就是两直线的交点坐标．例：已知两条直线y=21x －５和y=－２x+4，求两直线的交点坐标？4．求面积：例３ 已知一次函数y=21x －５．①求该函数图象与坐标的交点坐标，并画出其图象． ②求函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．练习：已知两条直线y=21x －５和y=－２x+4，求它们与坐标轴共同围成的图形的面积．5.求范围⑴ 求自变量的取值范围：一是当自变量在分母上时，分母的式子不等于零；二是当自变量在根号内时，根号内的式子大于等于零；三是当自变量既不在分母上，也不在根号内时，自变量的取值为任意实数．例：2-=x xyy =，⑵ 根据函数的图象或函数的解析式，给出x 的取值范围能判定y 的相应的取值范围，或给出y 的取值范围判定x 的相应的取值范围，这是一类较难的问题，讲解时，要特别注意数形结合．例1：已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象（如图），当x ＜0时，y 的取 值范围是（ ）A ．y ＞0B ．y ＜0C ．-2＜y ＜0D ．y ＜-2例2：函数y=kx+b （k 、b 为常数）的图象如图所示，则关于x 的 不等式kx+b ＞0的解集是（ ）A 、x ＞0B 、x ＜0C 、x ＜2D 、x ＞26.求解析式：一般用特定系数法求函数的解析式，特定系数法的一般步骤是＂设→代→解→答＂．当然，在一些日常生活实际问题中，则可以根据题意直接列出解析式已经y 与x+1成正比例，当x=5时，y ＝12，求y 与x 的函数关系式． 练习题：1、画出函数y=2x+6的图象，利用图象：(1)求方程2x+6=0的解； (2)求不等式2x+6>0的解集；(3)求y ≤3时，x 的取值范围；(4)若－l ≤y ≤3，求x 的取值范围．2、矩形的周长是16cm 设一边长为xcm,另一边长为ycm. (1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)作出函数图象;（3）若P （x,y ）点是该图象上的一动点，点A 的坐标为（6，0）,设⊿OPA 的面积为S,用含x 的解析式表示S3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.（1） 求两直线交点C 的坐标;（2） 求△ABC 的面积.（3） 在直线BC 上能否找到点P,使得S △APC =6，若能，请求出点P 的坐标，若不能请说明理由。
一次函数(专题精讲)讲义
【知识点梳理】1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数. 【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．【例题解析】例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2.例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32 m +（m-4）是一次函数？【小结】某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．跟踪练习：已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M例7 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．例8 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由； （2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0？（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值；（5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标．例11已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（5）k为何值时，y随x的增大而减小？例12判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．【课后习题】1. 如图，你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由.（1）12+-=x y ； （2）13-=x y ； （3）x y = ； （4）x y 32-=．2.（1）判断下列各组直线的位置关系：①x y =与1-=x y ； ②213-=x y 与2131--=x y ． （2）已知直线532+=x y 与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系______ ；若直线a 与直线l 垂直且过点（0，-2），则直线a 的函数关系式为 ．3.（1）一次函数x y 3-=的图象经过_ 象限，y 随x 的增大而__________； （2）一次函数n mx y +=A ．0,0<<nmB ．0,0><n mC ．0,0>>n mD ．0,0<>n m4．在下列四个函数中，y 值随x 值的增大而减小的是（ ）．A ．x y 2=B ．63-=x yC ．52+-=x yD ．73+=x y5．如图，已知一次函数k kx y +=的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．直线32+=x y 与x 轴正方向所成的锐角为α，直线13--=x y 与x 轴正方向所成的锐角为β，则α与β的关系为（ ）．A ．α＞βB ．α＝βC ．α＜βD ．无法确定7．已知一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限8．如图，某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按同样速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按同样的速度放完水池的水．若水池的存水量为v （3m ），放水或注水的时间为t （min ），则v 与t 的关系的大致图象只能是（ ）．A ．B ．C ．D ．9．函数3)2(1+-=-m xm y 的图象是一条直线，则=m ．10．如果直线2+=kx y ，y 随x 的增大而增大，则直线2--=kx y 不经过第 象限． 11．如果直线x m y )2(-=与直线23+=x y 平行，则=m 12．已知直线b kx y +=过点A （1-，5）且平行于直线x y -=． （1）求这条直线b kx y +=的解析式；（2）若点B （m ，5-）在这条直线b kx y +=上，O 为坐标原点，求m 及AOB ∆的面积．13．如图，直线AB 的解析式为434+-=x y ，直线AB OC ⊥于C ． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线OC 的解析式；。
初二-第09讲-一次函数的图像与性质(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年 级：八年级(上) 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数 学 学科教师： 授课主题第09讲---一次函数的图像与性质 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结教学目标 ① 能用“两点法”画出一次函数的图象；② 结合图象，理解直线y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）常数k 和b 的取值对于直线的位置的影响.授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、 知识梳理1、 函数图象的定义把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点的组成图形叫做该函数的图像.2、 画函数图象的步骤列表：列表时，自变量的取值要有一定的代表性，并且大小得当；描点：描点时，一般要把关键点准确的描出，所描出的点越多，图象就越准确；连线：一次连接每一个点。
体系搭建3、正比例函数的图象与性质（1）正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过（0，0）和（1，k）两点的一条直线；（2）当k>0时，函数图象经过第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，函数图象经过第二、四象限，y的值随着x值的增大而减小.4、一次函数的图象与性质（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）；（2）当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.（3）图象所在象限当k>0，b>0时，图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限；考点一：一次函数的图象与性质例1、若k≠0，b＜0，则y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】因为b＜0时，直线与y轴交于负半轴，故选B例2、如图，已知函数y=﹣2x+4，观察图象回答下列问题（1）x＜2时，y＞0；（2）x＞2时，y＜0；（3）x=2时，y=0；（4）x＜0时，y＞4．【解析】（1）当x＜2时，y＞0；（2）当x＞2时，y＜0；（3）当x=2时，y=0；（4）当x＜0时，y＞4．故答案为＜2，＞2，=2，＜0．例3、已知函数y=（2m+1）x+m﹣3；（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；（3）若函数的图象平行直线y=3x﹣3，求m的值；（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．【解析】（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣3=0，且2m+1≠0，解得：m=3；（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，∴m﹣3=﹣2，且2m+1≠0，解得：m=1；（3）∵函数的图象平行直线y=3x﹣3，∴2m+1=3，解得：m=1；（4）∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣．考点二：正比例函数的图象与性质例1、函数y=|2x|的图象是（）A．B．C．D．【解析】函数y=|2x|，当x≥0时，y=2x；当x≤0时，y=﹣2x，故图象C符合，故选C例2、已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≥﹣1 D．m≤﹣1【解析】∵正比例函数y=（m+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，∴m+1＜0，解得，m＜﹣1；故选A．例3、下列关于正比例函数y=3x的说法中，正确的是（）A．当x=3时，y=1 B．它的图象是一条过原点的直线C．y随x的增大而减小D．它的图象经过第二、四象限【解析】A、当x=3时，y=9，故本选项错误；B、∵直线y=3x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；C、∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；D、∵直线y=3x是正比例函数，k=3＞0，∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错误．故选B．例4、如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为a＜c＜b．【解析】根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，故答案为：a＜c＜b．考点三：一次函数图象与系数的关系例1、已知一次函数y=（a+1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜﹣1C．a＞﹣1 D．a＜0【解析】根据图示知：一次函数y=（a+1）x+b的图象经过第一、二、三象限，∴a+1＞0，即a＞﹣1；故选：C．例2、已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0【解析】一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b，∵函数值y随x的增大而增大，∴k﹣1＞0，解得k＞1；∵图象与x轴的正半轴相交，∴图象与y轴的负半轴相交，∴b＜0．故选：A．考点四：一次函数图象上点的坐标特征例1、已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是a＞b．【解析】∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，∴该函数中y随着x的增大而减小，∵1＜2，∴a＞b．故答案为：a＞b．例2、已知：点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y=﹣2x+5图象上的两点，当x1＞x2时，y1＜y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【解析】∵一次函数y=﹣2x+5中k=﹣2＜0，∴该一次函数y随x的增大而减小，∵x1＞x2，∴y1＜y2．故答案为：＜．例3、如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为（，）．【解析】观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．∵2017=1008×2+1，∴A2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．考点五：一次函数图象与几何变换例1、一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后，不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为一次函数y=x﹣1的图象向上平移2个单位后的解析式为：y=x+1，所以图象不经过四象限，故选D例2、将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是y=2x﹣2．【解析】根据平移的规则可知：直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y=2x+1﹣3=2x﹣2．故答案为：y=2x﹣2．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n是常数，且mn≠0），在同一平面立角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【解析】A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确；C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项不正确；D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故n＞0，mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不正确．故选A．2、点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．【解析】∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，∴y=6﹣x（0＜x＜6，0＜y＜6）．∵点A的坐标为（4，0），∴S=×4×（6﹣x）=12﹣2x（0＜x＜6），∴C符合．故选C．3、一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴必过第二、四象限，∵b=3，∴交y轴于正半轴．∴过第一、二、四象限，不过第三象限，故选：C．4、关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（）A．点（0，k）在l上B．l经过定点（﹣1，0）C．当k＞0时，y随x的增大而增大D．l经过第一、二、三象限【解析】A、当x=0时，y=k，即点（0，k）在l上，故此选项正确；B、当x=﹣1时，y=﹣k+k=0，此选项正确；C、当k＞0时，y随x的增大而增大，此选项正确；D、不能确定l经过第一、二、三象限，此选项错误；故选D．5、函数y=的图象是（）A．双曲线B．抛物线C．直线D．线段【解析】函数y=的图象是直线，故选C6、已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而（）A．增大B．减小C．不变D．不能确定【解析】∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，∴函数图象经过二四象限，∴y随着x的增大而减小，故选B．7、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是x＜2时，能使kx+b＞0．【解析】因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知x＜2时，y＞0，即kx+b＞0．8、如图，正比例函数y=kx，y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是k＞m＞n．【解析】∵正比例函数y=kx，y=mx的图象在一、三象限，∴k＞0，m＞0，∵y=kx的图象比y=mx的图象上升得快，∴k＞m＞0，∵y=nx的图象在二、四象限，∴n＜0，∴k＞m＞n，故答案为：k＞m＞n．9、如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m的取值范围为1＜m＜3．【解析】∵函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，∴，解得1＜m＜3．故答案为：1＜m＜3．10、已知正比例函数图象上一个点A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为﹣2，请回答下列问题：（1）求这个正比例函数；（2）这个正比例函数经过哪几个象限？（3）这个正比例函数的函数值y是随着x增大而增大？还是随着x增大而减小？【解析】（1）∵正比例函数图象上一个点A到x轴的距离为4，这个点A的横坐标为﹣2，∴A（﹣2，4），（﹣2，﹣4），设解析式为：y=kx，则4=﹣2k，﹣4=﹣2k，解得k=﹣2，k=2，故正比例函数解析式为；y=±2x；（2）当y=2x时，图象经过第一、三象限；当y=﹣2x时，图象经过第二、四象限；（3）当y=2x时，函数值y是随着x增大而增大；当y=﹣2x时，函数值y是随着x增大而减小．11、如图，直线l：y=﹣x，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为（﹣，0）．【解析】∵点A1坐标为（﹣3，0），∴OA1=3，∵在y=﹣x中，当x=﹣3时，y=4，即B1点的坐标为（﹣3，4），∴由勾股定理可得OB1==5，即OA2=5=3×，同理可得，OB2=，即OA3==5×（）1，OB3=，即OA4==5×（）2，以此类推，OA n=5×（）n﹣2=，即点A n坐标为（﹣，0），当n=2016时，点A2016坐标为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）➢课后反击1、若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】∵式子+（k﹣1）0有意义，∴，解得k＞1，∴1﹣k＜0，k﹣1＞0，∴一次函数y=（1﹣k）x+k﹣1的图象过一、二、四象限．故选C．2、在平面直角坐标系中，直线y=2x﹣6不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵由已知，得：k=2＜0，b=﹣6＜0，∴图象经过第一、三、四象限，∴必不经过第二象限．故选：B．3、正比例函数y=﹣2x的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】∵k=﹣2＜0，∴正比例函数y=﹣2x的图象经过二、四象限．故选C4、关于函数y=2x，下列结论中正确的是（）A．函数图象都经过点（2，1）B．函数图象都经过第二、四象限C．y随x的增大而增大D．不论x取何值，总有y＞0【解析】A、函数图象经过点（2，4），错误；B、函数图象经过第一、三象限，错误；C、y随x的增大而增大，正确；D、当x＞0时，才有y＞0，错误；故选C．5、如图，当y＞0时，自变量x的范围是x＜1．【解析】根据图象知，当x=1时，y=0；∴当y＞0时，x＜1；故答案是：x＜1．6、若点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k﹣1）x+k的图象不经过第一象限．【解析】∵点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，∴点M（k﹣1，k+1）位于第三象限，∴k﹣1＜0且k+1＜0，解得：k＜﹣1，∴y=（k﹣1）x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故答案为：一．7已知一次函数y=kx+3（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，写出一个符合条件的k的值为1．【解析】∵一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0；故答案为：1．8、若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k＜0，b＜0（填“＞”、“＜”或“=”）【解析】若一次函数y=kx+b交于y轴的负半轴，且y的值随x的增大而减少，则k＜0，b＜0．故答案为：＜，＜．9、将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第四象限．【解析】将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位后得到的一次函数的解析式为：y=2x+3，∵k=2＞0，b=3＞0，∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，即该一次函数图象不经过第四象限．故答案为：四．10、已知正比例函数y=kx的图象，经过点M（﹣2，4）．（1）推出y的值与x值的变化情况；（2）画出这个函数的图象．【解析】（1）∵正比例函数y=kx的图象，经过点M（﹣2，4），∴4=﹣2k，解得k=﹣2＜0，∴y随x的增大而减小；（2）如图所示．11、如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是（2×3n﹣1，0）．【解析】∵点B1、B2、B3、…、B n在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴A n B n=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OA n=A n B n，∴点A n的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．直击中考1、【2015•安徽】若一次函数y=（3﹣k）x﹣k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k＞3 B．0＜k≤3 C．0≤k＜3 D．0＜k＜3【解析】∵函数y=（3﹣k）x﹣k的图象经过第二、三、四象限∴3﹣k＜0，﹣k＜0∴k＞3故选：A．2、【2016•陕西】若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限【解析】由bk＜0，知①b＞0，k＜0；②b＜0，k＞0，①当b＞0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限，②b＜0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限．综上可得函数一定经过一、四象限．故选D．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾名师点拨1、掌握一次函数与正比例函数的图象性质，有利于快速解答；2、会运用图象求解一些问题，学会数形结合思想。
人教版初二下册数学培优 一次函数第二讲 一次函数
第二讲 一次函数1、理解一次函数的概念。
2、会画一次函数的图像。
3、理解一次函数的性质，能解决与一次函数有关的问题。
一次函数及其性质 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有学习目标基础知识时直接称为直线y kx b=+．3、一次函数的性质⑴当0=+的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；k>时，一次函数y kx b⑵当0=+的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．k<时，一次函数y kx b4、一次函数y kx b=+的图象、性质与k、b的符号倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋b b＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移b个单位，对应解析式为：y＝kx－b口诀：“上＋下－”将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）口诀：“左＋右－”5、用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．【例1】如图所示，直线1ι的解析表达式为y=-3x+3，且1ι与x 轴交于点D ，直线2ι经过点A 、B ，直线1ι、2ι交于点C ， （1）求点D 的坐标；（2）求直线2ι的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；（4）在直线2ι上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标。
7培优讲解系列一次函数1
7培优讲解系列------一次函数（基础知识）一．例题讲解：1．在直角坐标系中，点)1,2(在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限要求：坐标系各象限符号特征。
2．如图11，点A的坐标是_______，向左平移4个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是_______。
要求：能看图写坐标。
3．函数12yx=-中自变量的取值范围在数轴上表示为4．点P(1,2)关于x轴的对称点1P的坐标是，点P(1,2)关于y轴的对称点2P的坐标是。
5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．（1）写出△ABC各顶点的坐标（2）作出△ABC关于ｙ轴对称的△111A B C，并写出点1C的坐标；（3）作出△ABC关于x轴对称的△222A B C，并写出点2C的坐标．34yxOA图11知识点训练题1．函数1-=x y 的自变量x 的取值范围是（ ）A.1≥xB. 1-≥xC. 1-≤xD. 1≤x 2．函数y =41x +中，自变量x 的取值范围是（ ） ≠0 ≥－1 C. x≠－1 D. x≤－1 3．点P 关于x 轴对称的点是（3，-4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是_______．4. 关于函数y=,下列结论正确的是__________.（A ） 函数图象必过点（1，2） （ B ） 函数图象经过二，四象限 (C) y 随x 的增大而增大 (D) y 随x 的增大而减小5. 如图，小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程S （m ）关于时间x(分)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是__________.(A) (B) ( C) (D)6．点M （2，-1）关于x 轴对称的点的坐标是 ；关于原点对称的点的坐标为 7.点(－1，2)在第______象限，到x 轴的距离为_________，到y 轴的距离为_________. 8.直线26y x =+与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 .9.如图，有A ，B ，C 三点，如果A 点用（1，1）来表示，B 点用（2，3）表示，则C 点的坐标的位置可以表示为10.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可） 。
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一次函数培优讲解1、已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x轴交易点（-2，0），则不等式ax大于b的解集为（）A. x>2.B. x<2. C。
x>-2. D. x<-22、若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a有解，则实数a最小值是________3、已知实数a，b，c满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限4、已知一次函数y=ax+b的图象过（0，2）点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为________5、（2010•上海）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x 的函数解析式为________6、已知一次函数y=ax+b的图像经过点A（√3，√3+2），B（-1，√3），C（c，2-c），求a-b+c的值。
7、已知一次函数y=ax+b的图像经过点A（√3，√3+2），B（-1，√3），C（c，2-c），求a²+b²+c²-ab-bc-ca的值。
8、在修建某条公路的过程中，需挖通一条隧道，甲、乙两个工程队从隧道两端同时开始挖掘．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直至隧道挖通．图是甲、乙两个工程队所挖隧道的长度y（米）与挖掘时（天）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求该隧道的长；（2）乙工程队工作多少天时，两队所挖隧道的长度相差18米9、某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q5吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机需10分钟．（2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用请说明理由．10、一次函数y=（m2-4）x+（1-m）和y=（m+2）x+（m2-3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是11、已知一次函数y=2x+m与y=(m-1)x+3的图像交点坐标的横坐标为2则m的值12、一次函数y=kx+b的图像经过点（m，1）和（1，m）两点，且m＞1，则k=_____, b 的取值范围是____13、已知两直线y=4x-2,y=3m-x,的交点在第三象限,则m的取值范围________14、如果ab>0,a/c<0,则直线y=-(a/b)x+c/b不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15、已知关于X的一次函数Y=mx+2m-7在-1≤X≤5上的函数值总是正数,则m的取值范围是.16、在同一平面直角坐标系中，直线y=kx+b与直线y=bx+k（k、b为常数，且kb≠0）的图象可能是（）A B C D17、已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图像都经过点A（-2，0）且与Y轴分别交与点B,C则△ABC德面积为________18、某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟，下图表示快递车距离A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时。
（1）请在图中画出货车距离A地的路程y(千米)与所用时间x(时)的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)；（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时19、若直线y=-x+k不经过第一象限,则k的取值范围为________。
20、（2009•宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3C．干旱开始时，蓄水量为200万米3D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米321、（2009•德州）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为________22、（2009•安徽）已知函数y=kx+b的图象如图，则y=2kx+b的图象可能是（）A B C D答案1.已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x轴交易点（-2，0），则不等式ax大于b的解集为（）>2. <2. Cx>-2. <-2此题正确选项为A解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限∴有a＞0将（-2，0）代入一次函数解析式则b=2a∴ax＞b可化为ax＞2a又a＞0∴原不等式的解集为x＞22.若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a有解，则实数a最小值是（）考点：．专题：；．分析：分类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．解答：解：当x＜1，原不等式变为：2-2x+9-3x≤a，解得x≥＜1，解得a＞6当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a，∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．3.已知实数a，b，c满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限这个题目不需要证明，只需要判断即可。
首先，令x=0，则y=-3显然只要k>0 则，过1，3，4象限。
只要k<0 则，过2，3，4象限。
由a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，显然a=b=c=1的时候，满足所有条件，而此时k》0所以过1，3，4象限。
再如a=b=c=-1的时候，也满足，此时k=0 , 那么y = -3 ，只过3、4象限。
4.已知一次函数y=ax+b的图象过（0，2）点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为（）把点（0，2）代入一次函数y=ax+b，得b=2；再令y=0，得x=-2a，即它与x轴的交点坐标为（-2a，0）；由图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，所以有|-2a|=2，解此方程即可得到a的值．∵一次函数y=ax+b的图象经过点（0，2），即与y轴的交点坐标为（0，2），∴b=2；令y=0，则0=ax+2，得x=-2a，即它与x轴的交点坐标为（-2a，0）；又∵图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，∴|-2a|=2，解得a=±1．所以a的值为±1．故选A．5.（2010•上海）一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y=60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为．y=100x-40解：∵当时0≤x≤1，y关于x的函数解析式为y=60x，∴当x=1时，y=60．又∵当x=2时，y=160，当1≤x≤2时，将（1，60），（2，160）分别代入解析式y=kx+b得，k+b=102k+b=160解得k=100b=-40，由两点式可以得y关于x的函数解析式y=100x-40．由图象可知在前一个小时的函数图象可以读出一个坐标点，再和另一个坐标点就可以写出函数关系式．6.已知一次函数y=ax+b的图像经过点A（√3，√3+2），B（-1，√3），C（c，2-c），求a -b+c的值解：题意得√3a+b=√3+2 -a+b=√3∴a=√3-1 b=2√3-1∵过C∴（√3-1）c+2√3-1=2-c∴c=√3-2∴a-b+c=-27.已知一次函数y=ax+b的图像经过点A（√3，√3+2），B（-1，√3），C（c，2-c），求a ²+b²+c²-ab-bc-ca的值．解：直接将A、B的坐标值代入解析式，得√3*a+b=√3+2-a+b=√3两式相减，得(√3+1)a=2a=2/(√3+1)=2(√3-1)/[(√3+1)(√3-1)]=2(√3-1)/(3-1)=√3-1将a=√3-1代入-a+b=√3得：b=2√3-1所以该函数的解析式为：y=(√3-1)x+2√3-1，再将C的坐标代入上式，得2-c=(√3-1)c+2√3-1整理，得√3*c=3-2√3·········注：3=(√3)^2，也就是3等于根号3的平方；两边同时除以√3，得c=√3-2所以a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ca+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]=1/2[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]=1/2[3+1+(根号3+1)^2]=1/2(4+4+2根号3)=4+根号38.在修建某条公路的过程中，需挖通一条隧道，甲、乙两个工程队从隧道两端同时开始挖掘．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直至隧道挖通．图是甲、乙两个工程队所挖隧道的长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求该隧道的长；（2）乙工程队工作多少天时，两队所挖隧道的长度相差18米考点：．专题：；；．分析：（1）根据题目说明与上图可知，乙工程队所挖隧道OD满足正比例函数关系，故假设为y乙=kx（0≤x≤6）；甲工程队由两段，一段OA满足正比例函数，另一段满足一次函数AC．且AC段经过A（2，180）、B两点，B为AC与OC的交点坐标，因而可通过OD段的正比例函数关系式求出B点坐标．由于D（6，432）点在OD段上，可求出正比例函数OD段的解析式，问题得解．（2）首先解得甲工程队的OA段的正比例函数关系式，再根据（1）中的甲、乙工程队所挖隧道的函数解析式，以及天数x的取值．分以下三种情况讨论：①当0≤x≤2时；②当2＜x≤4时；③当4＜x≤6时．解答：解：（1）设y乙=kx（0≤x≤6），y甲=mx+n（2≤x ≤8），∵432=6k，∴k=72，∴y乙=72x（1分）当x=4，y乙=72×4=288．∵4m+n＝2882m+n＝180，解得m＝54n＝72，即y甲=54x+72（1分）当x=8时，y甲=504，∴432+504=936，∴该隧道的长为936米（1分）；（2）设y甲=ax（0≤x≤2），∵180=2a，∴a=90，即y甲=90x（1分），①当0≤x≤2时，y甲-y乙=18，90x-72x=18，x=1，（1分）②当2＜x≤4时，y甲-y乙=18，54x+72-72x=18，x=3，（1分）③当4＜x≤6时，y乙-y甲=18，72x-（54x+72）=18，x=5，（1分）乙工程队工作1天或3天或5天时，两队所挖隧道的长度相差18米．（1分）点评：本题考查一次函数的应用．本题同学们尤其注意（1）中的y甲=54x+72函数解析式的推导过程，（2）中对自变量x的取值范围要考虑全面．9.某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q5吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t 分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机需10分钟．（2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用请说明理由．解：（1）由题意及图象得加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；（2）∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，所以说z0分钟内运输飞机耗油量为z吨，∴运输飞机每小时耗油量为（吨），∴飞行10个小时，则需油6×10=60吨油．∵69＞60，∴所以油料够用．答：（1）33，13；（2）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需13小时到达目的地，油料是否够用．（1）通过观察线段Q2段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，将这些油全部加给运输飞机中需10分钟（2）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．再计算10小时共耗油量，与69吨比较大小，判定油料是否够用．10.一次函数y=（m2-4）x+（1-m）和y=（m+2）x+（m2-3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是解：∵一次函数y=（m2-4）x+（1-m）和y=（m+2）x+（m2-3）的图象分别与y轴交于点P 和Q，∴由两函数解析式可得出：P（0，1-m），Q（0，m2-3），又∵P点和Q点关于x轴对称，∴可得：1-m=-（m2-3），解得：m=2或m=-1．∵y=（m2-4）x+（1-m）是一次函数，∴m2-4≠0，∴m≠±2，∴m=-1．故答案为：-1．根据函数解析式求出P、Q的坐标，再由P点和Q点关于x轴对称列出等式解得m的值．11.已知一次函数y=2x+m与y=(m-1)x+3的图像交点坐标的横坐标为2则m的值y=2x+my=(m-1)x+3把x=2代入y=4+my=2m+14+m=2m+1m=312.一次函数y=kx+b的图像经过点（m，1）和（1，m）两点，且m＞1，则k=_____, b的取值范围是____y=kx+b的图像经过点（m，1）和（1，m）两点，则1=mk+b ①m=k+b ②①-②，得1-m=(m-1)k所以k=-1代入②，得m=-1+b所以b=m+1因为m﹥1所以b﹥1+1所以b﹥213.已知两直线y=4x-2,y=3m-x,的交点在第三象限,则m的取值范围﹛y=4x-2,y=3m-x解得x=(3m+2)/5y=(12m-2)/5∵交点在∴x＜0,y＜0即﹛(3m+2)/5＜0 m＜-2/3(12m-2)/5＜0 m＜1/6∴m＜-2/314.如果ab>0,a/c<0,则直线y=-(a/b)x+c/b不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第一，如果a>0,b>0,则c<0，-(a/b)<0，c/b<0第二，如果a<0,b<0,则c>0，-(a/b)<0，c/b<0∴直线y=-(a/b)x+c/b 始终通过第二、三、，∴选择 A （不过第一象限）15.已知关于X的一次函数Y=mx+2m-7在-1≤X≤5上的函数值总是正数,则m的取值范围是______.若m>0则y随x增大而增大则x=-1时y最小x=-1，y=-m+2m-7>0m>7若m<0则y随x增大而减小则x=5时y最小x=5，y=5m+2m-7>0m>1,和m<0矛盾所以m>716.在同一平面直角坐标系中，直线y=kx+b与直线y=bx+k（k、b为常数，且kb≠0）的图象可能是（）．先看一个直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．A、两条直线反映出k和b均是大于零的，一致，故本选项正确；B、一条直线反映k大于零，一条直线反映k小于零，故本选项错误；C、一条直线反映k大于零，一条直线反映k小于零，故本选项错误；D、一条直线反映b大于零，一条直线反映b小于零，故本选项错误．故选A．17.已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图像都经过点A（-2，0）且与Y轴分别交与点B,C则△ABC德面积为（）有一次函数y=2x+a与y=-x+b的图像都经过点A（-2，0）可以解得a=4b=-2y=2x+4与Y轴交于（0，4）即为B点y=-x-2与Y轴交于（0，-2）即为C点你再画个图看看可以把它看成是△ABO面积+△ACO面积=2*4*1/2+2*2*1/2=6所以△ABC面积为618.某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟，下图表示快递车距离A地的路程y(单位：千米)与所用时间x(单位：时)的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时。