[高二数学上学期期末试题]湖北省黄冈中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学(理)试题
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末模拟测试试题(2)文
2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（2）高二文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：必修2、选修1-1。
第I 卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“3,30xx x ∀∈-≤R ”的否定是 A ．3,30xx x ∃∈-≥R B ．3,30x x x ∃∈->R C ．3,30xx x ∀∈-≥RD ．3,30xx x ∀∈->R2．抛物线24y x =的准线方程是 A ．1y = B ．1y =- C ．116y =D ．116y =-3．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是A ．若m n ∥，m α⊂，则αβ∥B ．若αβ∥，m α⊂，则m n ∥C ．若m n ∥，m α⊥，则αβ⊥D ．若αβ∥，m n ⊥，则m α⊥5．在空间直角坐标系中，已知x 轴上的点P (m ，0，0)到点P 1(4，1，2)的距离为30，则m 的值为A ．−9或1B ．9或−1C ．5或−5D ．2或36．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在直三棱柱111ABC A B C -中，若190,BAC AB AC AA ∠===o ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30o B ．45o C ．60oD ．90o8．若函数3()e xf x x ax =+-在区间[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[0,1) B ．(0,1] C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是A ．π83- B ．π86- C ．203D ．16310．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极大值，则函数)(x f x y '=的图象可能是11．如图，1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为A ．9π16 B ．25π16 C ．49π16D ．81π1612．已知双曲线22=13y x -上存在两点,M N 关于直线y x m =+对称，且MN 的中点在抛物线218y x =上，则实数m 的值为A ．8-B ．0或8-C ．8D ．0或8第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若直线1l ：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a . 14．已知函数()sin 2()3f x x xf π'=+，则()3f π'= .15．已知双曲线2221y x b-=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =u u u r ，120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为 .16．已知周长为20 cm 的矩形，绕其中一条边旋转成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题2:10p x mx ++=有两个不等的实根，命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知直线l 过点(2,1)P -.（1）若直线l 与直线10x y +-=平行，求直线l 的方程； （2）若点(1,2)A --到直线l 的距离为1，求直线l 的方程.19．（本小题满分12分）已知以点C 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ,且圆心在直线0153=-+y x 上.（1）求圆C 的方程；（2）设点P 在圆C 上，求PAB △的面积的最大值.20．（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，CD AB ∥，122AD CD AB ===，点E 为AC 的中点．将ADC △沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -如图2所示．（1）在CD 上找一点F ,使AD ∥平面EFB ； （2）求点C 到平面ABD 的距离．21．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅uuu r uuu r为定值．22．（本小题满分12分）已知函数()2ln 1f x x x =-.（1）求函数()f x 的最小值及曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若不等式2()32f x x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．2016—2017学年上学期期末考试 模拟卷（2）高二文科数学·参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDBCBBCDCDDB13．1 14．21-15．516．34000cm 27π17．（本小题满分10分）【解析】若p 真，则240m ∆=->，∴2m >或2m <-，若p 假，则22m -≤≤.（2分）若q 真，则216(2)160m ∆=--<，∴13m <<，若q 假，则1m ≤或3m ≥.（4分）依题意知,p q 一真一假．（6分）若p 真q 假，则2m <-或3m ≥；若q 真p 假，则12m <≤．（8分） 综上，实数m 的取值范围是(,2)(1,2][3,)-∞-+∞U U .（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为0x y c ++=，（2分）将(2,1)P -代入直线l 的方程得1c =，所以所求直线l 的方程是10x y ++=.（6分） （2）若直线l 的斜率不存在，则过点P 的直线l 的方程为2x =-，且点(1,2)A --到直线l 的距离为1，满足题意；（8分）若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为210kx y k -++=.由点(1,2)A --到直线l 的距离为1，可得22|221||3|111k k k k k -++++==++，解得43k =-.（8分）所以直线l 的方程为4350x y ++=.（10分）综上可得所求的直线l 的方程为20x +=或4350x y ++=.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）依题意知所求圆的圆心C 为线段AB 的垂直平分线和直线0153=-+y x的交点，∵线段AB 的中点为)2,1(，直线AB 的斜率为4013(1)-=--，∴线段AB 的垂直平分线的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=．（3分）联立方程得303150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得⎩⎨⎧=-=63y x ，即圆心(3,6)C -，半径22||(31)6r CA ==-++=210，∴所求圆的方程为40)6()3(22=-++y x ．（6分）（2）由题意及（1）得22||4442AB =+=，圆心(3,6)C -到直线:10AB x y -+=的距离为22|361|421(1)d --+==+-，（8分）因为点P 到AB 距离的最大值为10224+=+r d ，（10分） 所以PAB △面积的最大值为5816)10224(2421+=+⨯⨯．（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）取CD 的中点F ,连接,EF BF , 在ACD △中, ∵E F 、分别为AC DC 、的中点， ∴EF 为ACD △的中位线， ∴AD EF ∥，（3分）∵EF ⊂平面EFB ,AD ⊄平面EFB ， ∴AD ∥平面EFB .（6分）（2）设点C 到平面ABD 的距离为h .在直角梯形ABCD 中，由90ADC ∠=︒，CD AB ∥，122AD CD AB ===，可得22AC BC ==，∴BC AC ⊥.又平面ADC ⊥平面ABC ， ∴BC ⊥平面ADC ， ∴BC AD ⊥，又AD DC ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ，∴AD BD ⊥.（8分） 又2,4AD AB ==， ∴23BD =， ∴1232ADB S AD BD =⨯⨯=△， 又三棱锥B ACD -的高22,2ACD BC S ==△, ∴由B ACD C ADB V V --=，得112222333h ⨯⨯=⨯， ∴263h =，即点C 到平面ABD 的距离为263.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意可得222a b c =+，63c a =，152223b c ⨯⨯=，（3分） 所以2255,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为221553x y +=.（5分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y .将(1)y k x =+代入221553x y +=中并整理得2222(13)6350k x k x k +++-=，（6分） 所以4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>，2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（8分）所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++uuu r uuu r2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++4222316549319k k k k ---=+++49=.（11分） 综上可知MA MB ⋅uuu r uuu r 为定值49.（12分）22．（本小题满分12分）【解析】（1）函数()2ln 1f x x x =-的定义域为(0,)+∞，1()2(ln )2(ln 1)f x x x x x '=+⋅=+，（2分） 令()0f x '=，得1e x =；令()0f x '>，得1e x >；令()0f x '<，得10e x <<；所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，所以函数()f x 的最小值为12()1e ef =--． （4分）因为(1)2f '=，即切线的斜率为2，所以所求的切线方程为(1)2(1)y f x -=-，即(1)2(1)y x --=-，化简得230x y --=．（6分） （2）不等式2()32f x x ax ≤+恒成立等价于22ln 132x x x ax -≤+在(0,)+∞上恒成立，可得31ln 22a x x x≥--在(0,)+∞上恒成立，（8分） 设31()ln 22h x x x x=--，则22131(1)(31)()222x x h x x x x -+'=-+=-，令()0h x '=，得1x =或13x =-(舍去).当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，（10分） 当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x (0,1)1 (1,)+∞()h x '+-()h x单调递增2-单调递减所以当1x =时，()h x 取得最大值，max ()2h x =-，所以2a ≥-， 所以实数a 的取值范围是[2,)-+∞．（12分）。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
湖北省黄冈中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1、总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A．08 B．07C．02 D．012、甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①②④C．②④D．①③④3、当输入x=－4时，如图的程序运行的结果是（）A．7 B．8C．9 D．154、下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m=0有实根”的逆命题为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．若命题“”为假命题，则“”为真命题5、一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄x 6 7 8 9身高y 118 126 136 144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为，预测该学生10岁时的身高为（）A．154 B．153C．152 D．1516、“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件7、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：一年级二年级三年级女生373 x y男生377 370 z如果从全校学生中随机抽取一名学生，抽到二年级女生的概率为0.19．现用分层抽样的方法在全校学生中分年级抽取64名学生参加某项活动，则应在三年级中抽取的学生人数为（）A．24 B．18C．16 D．128、已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=－4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．9、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，则AA1与平面AB1C1所成的角为（）A．B．C．D．10、已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（）A．B．C． D．11、如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则A1C的长为（）A．B．C． D．12、椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2－y1|的值为（）A．B．C． D．二、填空题13、三进制数121（3）化为十进制数为__________．14、若命题“，使x2＋（a－1）x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为__________．15、在区间上随机地取出一个数x，若满足|x|≤m的概率为，则m=__________．16、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|－|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则|AB|=7．其中真命题的序号为__________（写出所有真命题的序号）三、解答题17、（本小题满分10分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如下表：（Ⅰ）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（Ⅱ）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．18、（本小题满分12分）p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19、（本小题满分12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C 刚好是边长分别为5cm，6cm，的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间解析：．15、3解析：．16、①②④17、（1）检测数据的频率分布直方图如图：（5分）（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是．（6分）估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．（8分）估计检测数据中酒精含量的平均数是．（10分）18、（1）由，得，又a＞0，所以a＜x＜3a．（2分）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（3分）由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分）若p∧q为真，则p真且q真，（5分）所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（6分）（2）是的充分不必要条件，即，且推不出．即q是p的充分不必要条件，（8分）则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．（12分）19、（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1、x2、x3，后三次成绩依次记为y1、y2、y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：，共15个，（3分）其中可使|a－b|＞1发生的是后9个基本事件．故．（6分）（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A、B、C为圆心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分．（7分）因为（9分）满足题意部分的面积为，（11分）故所求概率为．（12分）20、（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x2=8y，（1分）与直线y=2x＋2联立消去y得：x2－16x－16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．（2分）则x1＋x2=16，x1x2=－16，（3分）；（5分）（2）假设存在，由抛物线x2=2py与直线y=2x＋2联立消去y得：x2－4px－4p=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0，则x1＋x2=4p，x1x2=－4p，（7分）P（2p，4p＋2），Q（2p，2p）．（8分）方法一：（9分）（10分）（11分）故存在且满足△＞0．（12分）方法二：由得：．（9分）即，（10分），（11分）代入得4p2＋3p－1=0，．故存在且满足△＞0．（12分）21、（1）证明：在图中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，所以在图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，（2分）因为SB⊥BC，AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，（4分）又SA平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABCD．（6分）（2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，（7分）A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2）．（8分）．（10分）即二面角E—AC—D的正切值为．（12分）方法二：在AD上取一点O，使，连接EO．因为，所以EO//SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，（7分）则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO为二面角E—AC—D的平面角，（9分），在Rt△AHO中，．（11分），即二面角E—AC—D的正切值为．（12分）22、（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|＋|PQ|=4．（2分），由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，（3分）2a=4，即a=2，，∴Q的轨迹方程E：．（5分）（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx－2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，将y=kx－2代入中得（7分）（8分），当且仅当即t=2时面积最大，最大值为1．（10分）（11分）．（12分）。
湖北省黄冈市高二数学上学期期末考试试题理(扫描版)
2015年秋季高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题 DADBB DCBAC AD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．① ④ 17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分18．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x <<． ...............................2分当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤，即q为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ...............................4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分 所以实数x 的取值范围是23x <<． ...............................6分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝． 即q是p的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a) ...............................8分则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y 212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共1个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分 因为43cos sin 55C C =∴=则1=2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分故所求概率为118ABCS p S π∆'==-. ……………12分20（1）∵()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，...............................1分与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A (2)分 则16,162121-==+x x x x ，...............................3分 ∴=++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80；...............................5分（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，0,∆>则p x x p x x 4,42121-==+，...............................7分)24,2(+p p P),2,2(p p Q (8)分方法一,22+=∴p PQ ...................................................9分p p p p AB +⋅=+⋅=225416)4(5 又...............................10分∴=AB PQ 21且01342=-+p p )(141舍或-==p p ...............................11分 故存在14p =0.∆>且满足 ......................12分 方法二：由=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ................9分即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=，...............................10分 ∴0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， ...............................11分代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ．故存在0.∆>且满足 14p =.........12分 21.试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ........................................2分 因为S B⊥，AB⊥BC ，所以BC⊥平面SAB ， . .............................4分又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， ........6分 （2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB x AD y AS 为轴，为轴，为Z 轴，.....7分(000),(220),(020),(002)A C D S ，，，，，，，， 124,(0)333SE SD E =∴ ，， (8)分24(220),(0),(002)(,,)33AC AE AS AEC n x y z ==== 则，，，，，，设平面的法向量为0,0(2,2,1)n AC n AE n ⋅=⋅==-得.....................10分,ACD AS θ又平面的法向量为设二面角为，则1cos ,tan 2 2.3n AS n ASθθ⋅==∴=⋅ 即二面角E —AC —D 的正切值为22..............12分方法二：在AD 上取一点O ，使13AO AD =，连接EO因为13SE SD =，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， ...7分则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。
湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线与轴垂直，则为（ ） ():1340l a x ay a +-++=y a A ． B ．0C ．D ．或01-4-1-【答案】A【分析】由直线与轴垂直得到方程和不等式，求出的值. y a 【详解】因为与轴垂直， ():1340l a x ay a +-++=y 所以直线的斜率为0，l 所以，且，解得. 10a +=30a -≠1a =-故选：A.2．已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） {}n a n n S 24S =3214S a a =+5S =A ．40 B ．120C ．121D ．363【答案】C【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，由，可得， q 3214S a a =+321124a a a a a +=++所以，所以， 323a a =323a q a ==由，可得，即，所以，24S =114a a q +=144a =11a =所以. ()5515113121113a q S q--===--故选：C.3．年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生2013素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得190023p 是素数，素数对称为孪生素数.从以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的2p +(),2p p +10概率为（ ）A ．B ．C ．D ．16131223【答案】B【分析】列举出以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定孪生素数的个数，利用10古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】以内的素数有、、、，102357任取两个不同的素数有、、、、、，共个， ()2,3()2,5()2,7()3,5()3,7()5,76其中孪生素数有、，共个，故所求概率为. ()3,5()5,722163P ==故选：B.4．如图，已知空间四边形，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点满足，设OABC G 2MG GN =，，，则（ ） OA a= OB b = OC c = OG =A ．B ．C ．D ．111333a b c ++ 111633a b c ++ 111366a b c ++ 111666a b c ++【答案】B【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案. OGOA OB OC 【详解】， ()12122323OG OM MG OA MN OA MA AB BN =+=+=+++ ， 12112322OA OA OB OA BC ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， ()12112322OA OA OB OA OC OB ⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦， 111633OA OB OC =++. 111633a b c =++ 故选：B.5．已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范()1,0A -()10B ,()2y k x =-P 90APB ∠=︒k 围为（ ）A ．B ． ⎡⎢⎣⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝C ．D ． ⎛ ⎝,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意分析可得直线与圆：有公共点（公共点不能是、），()2y k x =-O 221x y +=A B 结合直线与圆的位置关系分析运算.【详解】若，则点在以，为直径的圆上（点不能是、）， 90APB ∠=︒P ()1,0A -()10B ,P A B ∵以，为直径的圆的圆心为，半径，则圆的方程为， ()1,0A -()10B ,()0,0O 1r =O 221x y +=即直线与圆：有公共点（公共点不能是、）， ()2y k x =-O 221x y +=A B当直线与圆：，解得；()2y k x =-O 221x y +=1≤k ⎡∈⎢⎣当直线与圆：的公共点为A 或B 时，则直线即为x 轴，即()2y k x =-O 221x y +=()2y k x =-；0k =综上所述：实数的取值范围为. k ⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝ 故选：B.6．已知是双曲线右支上一点，记到双曲线左焦点的距离为，到P ()222210,0x y a b a b -=>>P 1F 1d P 双曲线一条渐近线的距离为，若的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐近线方程为2d 12d d +（ ） A ．B ．C ．D ．43y x =±34y x =±53y x =±45y x =±【答案】A【分析】由双曲线定义得到，故，数形结合得到当点为线段122d PF a =+21222PF d a d d +=++P 与双曲线的交点时，此时取得最小值，从而列出方程，求出，得到渐近线方2F M 22PF d +43a b =程.【详解】由双曲线定义可知：， 122PF PF a -=故，故， 122d PF a =+21222PF d a d d +=++过点作渐近线的垂线，垂足为，2F 1:b l y x a=M当点为线段与双曲线的交点时，此时取得最小值， P 2F M 22PF d +最小值即为，2F M，解得：，22a c =22b a c +=两边平方得：， 222444b ab a c ++=又， 222+=a b c 所以， 43a b =渐近线方程为. 43b y x x a =±=±故选：A 7．已知在大小为的二面角中，，，于点，于点，且3πl αβ--A α∈B β∈AC l ⊥C BD l ⊥D ，则直线与所成角的余弦为（ ）22CD DB AC ===AB CD ABCD ．12【答案】B【分析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出CD BD CDBE AE AE BE ，利用勾股定理可求得的长，即可求解BE AE ⊥AB 【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，CD BD CDBE AE因为，，则，BD CD ⊥//CE BD CE CD ⊥又因为，，，故二面角的平面角为， AC CD ⊥AC α⊂CE β⊂l αβ--π3ACE ∠=因为四边形为平行四边形，则，，CDBE 2CE BD ==2BE CD ==所以在中，，则 ACE △222π2cos3AE AC CE AC CE =+-⋅AE =，则，，，平面，//BE CD BE CE ⊥BE AC ⊥AC CE C = ,AC CE ⊂ACE 故平面，BE ⊥ACE因为平面，则，故.AE ⊂ACE BE AE ⊥AB =，所以直线与所成角相当于直线与所成角，即，//BE CD AB CD AB BE ABE ∠所以， cos ABE ∠==故选：B8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A ，B 两()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F 2F点，，且，椭圆，则实数（ ）22AF F B λ= 120AF AF ⋅= C λ=A ． B ．2 C ． D ．32313【答案】D【分析】设，根据椭圆的定义求出，，利用22(0)AF B t t F λ==> 1=2AF a t -1=2aBF a λ-即可求解.12AF AF ⊥【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则22AF F B λ=22(0)AF B t t F λ==> 12=2AF AF a +，因为，所以，1=2AF a t -120AF AF ⋅=12AF AF ⊥所以，即，又因为椭圆， 2221212=AF AF F F +222(2)4a t t c -+=C所以，则有，a =2222(2)42a t t c a -+==所以，则，则，t a =2a F B λ= 2F B aλ= 由，所以，因为，所以，12=2BF BF a +1=2aBF a λ-120AF AF ⋅=12AF AF ⊥所以，即，解得：，22211=AF AB BF +22221(1(2a a a a λλ++=-3λ=故选：.D二、多选题9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第A =B =的有（ ）A ．A 与B 不互斥且相互独立 B ．A 与D 互斥且不相互独立C ．B 与C 不互斥且相互独立D ．B 与D 互斥且不相互独立【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出事件A ，B ，C ，D 的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，共36个不同结果，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)事件A 所含的结果有：，共6个，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6事件B 所含的结果有24个，事件C 所含的结果有18个，事件D 所含的结果有：()()()4,6,5,5,6,4，共3个， 因此， 6124218131(),(),(),()3663633623612P A P B P C P D ========对于A ，事件A 与B 都含有，共4个结果，即事件A 与B 可以同时发生， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4)而，A 与B 不互斥且相互独立，A 正确； 41()()()369P AB P A P B ===对于B ，事件A 与D 不能同时发生，，A 与D 互斥且不相互独立，B 正确； ()0()()P AD P A P D =≠对于C ，事件B 与C 都含有，共12(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)个结果，即事件B 与C 可以同时发生，，B 与C 不互斥且相互独立，C 正确； 121()()()363P BC P B P C ===对于D ，事件B 与D 都含有，即B 与D 可以同时发生，， (6,4)121()()()36312P BD P B P D =≠⨯=因此B 与D 不互斥且不相互独立，D 错误. 故选：ABC10．已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为{}n a n n S 6135S S S <<121n n n n b a a a ++={}n b n nT .则下列说法正确的有（ ） A ．，B ．当且仅当时，取得最小值 90a <80b >9n =n SC ．当时，的最大值为17D ．当且仅当时，取得最大值0n S <n 8n =n T【分析】由结合等差数列的角标性质判断ABC ；由裂项相消求和法判断D. 6135S S S <<【详解】对于A ：设等差数列的公差为，因为，所以， {}n a d 6135S S S <<6560S S a -=<因为，所以.136789101112131070S S a a a a a a a a +-==+++++>100a >因为，所以. 1312111098711603594()0a a a a a S a a a a a S -=+++++++=+<1090a a +<由，可得，因为，所以，故A 正确；100a >1090a a +<90,0a d <>890a a d =-<8891010b a a a =>对于B ：因为，，所以当且仅当时，取得最小值，故B 正确； 90,0a d <>100a >9n =n S 对于C ：，即当时，的最大值不是17，故C 错误； ()()118910181818022a a a a S ++==<0n S <n 对于D ：1211211112n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭122323341121212111111111122n n n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a a a +++++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以当最小时，最大.0d >121n n a a ++n T 当时，，，此时最小，即当时，取得最大值，故D 正确；8n =90a <100a >121n n a a ++8n =n T 故选：ABD11．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点是棱的中1111ABCD A B CD -1CC t =Q 1CC 点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）P ABCDA ．存在点使得平面P 1//A P 11BCC B B ．当时，存在点使得直线与平面所成的角为 2t =P 1A P ABCD π6C ．当时，满足的点有且仅有两个 2t=1A P PQ ⊥P D ．当的点t =1A P PQ ⊥P【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B 、C 、D.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D -xyz ，则，，，，()12,0,A t 0,2,2t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,0,0D ()2,2,0B 对于A ：由直棱柱的性质可知平面平面，当时平面，故A 正11//A D DA 11B C CB P AD ∈1//A P 11BCC B 确；对于B ：当时，设，，则， 2t =(),,0P x y [],0,2x y ∈()12,,2P x A y =--显然平面的法向量可以为，ABCD ()0,0,1n =设直线与平面所成的角为，则1A P ABCD θ11sin P nP n A A θ⋅==⋅若直线与平面所成的角为，则，1A P ABCD π61sin 2θ==4=所以，因为，所以，，()22212x y -+=[],0,2x y ∈()[]220,4x -∈[]20,4y ∈所以，故不存在使得，()[]2220,8x y -+∈[],0,2x y ∈()22212x y -+=即不存在点使得直线与平面所成的角为，故B 错误； P 1A P ABCD π6对于C ：由，， ()12,,2P x A y =-- (),2,1PQ x y =--因为，所以，1A P PQ ⊥()()12220A P PQ x x y y ⋅=--+--=所以，所以，即，所以满足的点有且仅有个，故C()()22110x y -+-=11x y=⎧⎨=⎩()1,1,0P 1A P PQ ⊥P 1错误；对于D ：当时，，，， t =1A⎛ ⎝12,,A P x y ⎛=- ⎝,2PQ x y ⎛=-- ⎝ 因为，所以，即，1A P PQ ⊥()()1220P PQ x x A y y ⋅=--+-= ()()224113x y -+-==又，则圆心轴、轴分别交于点、[],0,2x y ∈()1,1E x y 1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛过点作交于点，则，所以，则，又E EF AD ⊥AD F MF =1sin 2MF MEF ME ∠==π6MEF ∠=， π4DEF ∠=所以，所以，π12MED DEF MEF ∠=∠-∠=π26MEN MED ∠=∠=圆弧的长度，所以点D 正确；MN π6l ==P故选：AD12．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，点，直线24y x =F F l ,A B ()2,0T 与抛物线的另一个交点分别为，则下列说法正确的有（ ）,AT BT ,C D A ．直线过定点CD ()3,0B ．与的面积之比为ATB A CTD△1:4C ．若直线，斜率都存在，且分别为，，则 AB CD 1k 2k 2112k k =D ．与的面积之和的最小值为ATF △CTD △【答案】BCD【分析】可通过特殊情况，直线斜率不存在时求得直线不过定点，排除A ，也可以通过l CD ()3,0设出的方程与抛物线方程联立，求得纵坐标关系，两点式写出方程，化简,,AC BD AB ,,,A B C D CD 整理可得方程过定点，用纵坐标表示两个三角形面积之比，直线，斜率化简()4,0,,,A B C D AB CD 可判断B ，C 正确，与的面积之和用纵坐标表示，化简后利用基本不等式CTD △,,,A B C D可求得最小值.【详解】当与垂直时，，又， l x (1,2),(1,2)A B -(2,0)T ， :24=24AT y x BT y x ∴=-+-，：与抛物线方程联立，得， AT 2244y x y x =-+⎧⎨=⎩(4,4)C -与抛物线方程联立，得， BT 2244y x y x =-⎧⎨=⎩(4,4)D ，不过定点，所以A 错误.:4CD x ∴=()3,0如图：设，交轴于，11223344(,),(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y CD x E 设，得，222,4x ty AC x ty y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2480y ty --=则， 131388,y y y y -=-=设，得， 222,4x my BD x my y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2480y my --=则， 242488,y y y y -=-=设，得，211,4x ny AB x ny y x =+⎧=+∴⎨=⎩：2440y ny --=则， 121244,y y y y -=-= 123434348864()(4,16,y y y y y y y y --∴===-=-直线 CD()()()()()34444434223434344:14y y x x x x x x y y y y x x y y y y -----=-==-+-()()()()2444x x x x y y y x x y y y --++-++，443434344()1644164(4)x x x x x y y y y y y --+--===+++所以直线过定点CD ()4,0， 43123434434334438()881()11()44121()2()2164()2ATBDTCy y y y FTy y y y S S y y y y y y y y TE -----⋅⋅-⋅--======-⋅-⋅--⋅A A 所以B 正确.()()4322214343432212221143212143211414y y y y x x y y y y k x x y y k x x y y y y y y x x ------==⋅=⋅------, 214343434388281y y y y y y y y y y ++-==++⋅-==-所以C 正确.1431112()22ATF CTD S S y y y +=⨯⨯+⨯⨯-A A , 1433333318162022y y y y y y y y ---=+-=⨯+-=-333200,ATF CTD y S S y y -<∴+=-≥=A A 所以D 正确. 故选：BCD三、填空题13．是空间向量的一组基底，，，，已知点在{},,a b c 2OA a mb c =++ 2OB a b =+OC a b c =++ O 平面内，则______. ABC m =【答案】3【分析】根据空间向量共面定理可得存在与 使得,从而可求解.λμOC OA OB λμ=+【详解】因为点在平面内，所以，，共面， O ABC OA OB OC所以存在与 使得,λμOC OA OB λμ=+即，()()()()2222a b c a mb c a b a m b c λμλμλμλ++=++++=++++所以，解得.21211m λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩113m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩故. 3m =故答案为:3.14．已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的C l 1:2C l 距离为，则直线被圆所截得的弦长为______. 1l C 【答案】【分析】设圆的半径为，作出图形，计算出圆心到直线的距离为为，根据题意可得出关C r C l 2r于的等式，解出的值，利用勾股定理可求得直线被圆所截得的弦长.r r l C 【详解】设圆的半径为，因为圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，C r C l 1:2则劣弧所对的圆心角为，所以，圆心到直线的距离为，120C l 120cos 22rd r ==将直线平移，使得平移后的直线与直线之间的距离为，如下图所示：l l 1假设平移后的直线为、，则这两条直线一条与圆相切，一条与圆相交， 1l 2l C C 不妨设直线与圆相切，则直线与之间的距离为，可得， 1l C l 1l 12rr -=2r =所以，直线截圆所得弦长为l C=故答案为：15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆1F 2F ()222210x y a b a b+=>>1F 交于M ，N 两点，若的最小值为，则周长为______.MN 1852F MN A 【答案】20【分析】根据焦距为8，的最小值为可得：，，结合椭圆的定义进而求解. MN 1854c =5a =【详解】由题意可知：，解得：，， 2222282185c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩4c =5a =由椭圆的定义可得：周长为， 2F MN A 420a =故答案为：.2016．已知的前项和为，，，则______.{}n a n n S ()()1221n n n n a a n +++-=50600S =12a a +=【答案】12-【分析】根据题意令和，代入整理可得43,n k k =+∈N 44,n k k =+∈N ，利用并项求和结合等差数列求和运算求解. 4645444378k k k k a a a a k ++++++=++【详解】当时，则为偶数，43,n k k =+∈N ()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++可得，，()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++-==++()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++-+==+两式相加可得：，4645444378k k k k a a a a k ++++++=++故 ()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++，()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=解得. 1212a a +=-故答案为：.12-【点睛】方法点睛：本题中出现，故应讨论的奇偶性，根据题意把相邻的四项合()()121n n +-()12n n +并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对的处理.12a a +四、解答题17．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为，，，在面试部分合格的452334概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.122335(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.【答案】(1)丙 (2) 4960【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，且A ，B ，C 相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算得出，()P A ，，比较概率的大小即可得出答案；()P B ()P C （2）记三人中至少有一人被录取为事件，则与互为对立事件，从而根据对立事件的D D A B C 计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.【详解】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，则，，，()412525P A =⨯=()224339P B =⨯=()3394520P C =⨯=，()()()P A P B P C << 丙被录取的可能性最大.∴（2）记三人中至少有一人被录取为事件， D 则与互为对立事件，D A B C .()()()()()24949111111592060P D P C P P P C A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．已知直线，，且. ()1:2220l a x y a ---=2:410l x ay a -+-=12l l ∥(1)求与之间的距离；1l 2l (2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程. ()2,3P 1l x【答案】(2) 43170x y +-=【分析】（1）由平行条件得出的值，再由距离公式求解；a （2）由关于的对称点得出反射光线的方程，并与直线联立得出入射点，进而由()2,3P 1l ()00,P x y '1l 两点式写出方程.【详解】（1）由可得：，解得：或 12l l ∥()()()22140a a -⋅---⋅=2a =1-当时，，，此时与重合，舍去1a =-1:420l x y --+=2:420l x y +-=1l 2l当时，，，此时，符合题意 2a =1:240l x y --=2:4210l x y -+=12l l ∥故与之间的距离为.1l 2ld ==（2）设关于的对称点为，则()2,3P 1l ()00,P x y ' 解得：，∴ 000032122324022y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩0022595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩229,55P '⎛⎫ ⎪⎝⎭联立，解得：，∴入射点为. 24095x y y --=⎧⎪⎨=⎪⎩291095x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩299,105⎛⎫ ⎪⎝⎭故入射光线所在的直线方程为，即. 9335292210y x --=--43170x y +-=19．已知数列的前项和为，且，，数列是等差数列. {}n a n n S 11a =223a =(){}423n n nS n a ++(1)求证数列为等比数列；n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)求.n S 【答案】(1)证明见解析 (2) 9691443nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得，由与的关系整23944n n n S a n +=-+n a n S 理得，根据等比数列的定义分析理解； ()11231n n a a n n n -=⋅≥-（2）根据等比数列通项公式可得，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错位相减13n n na -=法求和；法三：整理可得，利用裂项相消法求和.()19919911243243nn n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭【详解】（1）对于等差数列可得：(){}423n n nS n a ++当时，则；当时，则； 1n =11459S a +=2n =22128781518S a a a +=+=∴是以9为首项，9为公差的等差数列，(){}423n n nS n a ++则，即①， ()()4239919n n nS n a n n ++=+-=23944n n n S a n +=-+当时，②， 2n ≥1219444n n n S a n -+=-+-得：， -①②12321444n n n n n a a a n n -++=-+-整理得：，且， ()11231n n a a n n n -=⋅≥-1101a =≠∴是以为首项，为公比的等比数列.n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =13（2）方法一：由（1）可知，，则， 1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭13n n na -=∴；11239239923144434443n n n n n n n n S a n n --+++⎛⎫=-+=-⋅+=-⋅ ⎪⎝⎭方法二：由（1）可知，，则， 1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭13n n na -=①，()0122111111123133333n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， ()12311111111231333333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：-①②0121211111333333n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1113131133111323322313n n n n nn n n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∴； 1333192312223443n n n n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦方法三：由（1）可知，，则， 1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭13n n na -=设，()()111133nn n a An B A n B +⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭22111333333nnAn B A n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭比较系数得：，解得：，23321033A B A ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩9294A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()19919911243243n n n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∴(121223991991991991991912232432432432432432...nn n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯++-+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣-++. 9691443nn +⎛⎫=- ⎪⎝⎭20．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，ABCDEF ABCD ABEF //AF BE ，，平面平面.AF AB ⊥22AB BE AF ===ABEF ⊥ABCD(1)证明：⊥平面；BD ACF (2)若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成角的余弦值. DA ACF ACF CEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到，结合，得到线面垂直； AF BD ⊥BD AC ⊥（2）在第一问的基础上，得到直线与平面所成的角为，故，建立空DA ACF DAO ∠60DAO ∠=︒间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面，平面平面ABEF ⊥ABCD AF AB ⊥AF ⊂ABEF ABEF ⋂，ABCD AB =∴平面，又平面， AF ⊥ABCD BD ⊂ABCD ∴，AF BD ⊥∵四边形为菱形， ABCD ∴，BD AC ⊥又，平面， AF AC A = ,AF AC ⊂ACF ∴⊥平面；BD ACF （2）设，由（1）可知，平面，则直线在面内的射影为，AC BD O = DO ⊥ACF DA ACF OA故直线与平面所成的角为， DA ACF DAO ∠∴，60DAO ∠=︒和均为边长为2的等边三角形，ACD A ACB △以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，如下图：O OC OB xy由⊥平面，可得平面的法向量为，而，，BD ACF ACF ()10,1,0n =()1,0,0C ()1,0,1F-()2E ，∴，，()2,0,1CF =-()CE =- 设平面的法向量，则， CEF ()2,,n x y z =u ur 222020n CF x z n CE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，可得，1x =2,z y ==()21,n = ∴平面与平面夹角的余弦值为ACF CEF 121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅21．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形1111D C B A的面积为，往里第二个正方形的面积为，…，往里第个正方形的面积11a =2222A B C D 2a n n n n n A B C D 为.n a(1)求的通项公式；{}n a(2)已知满足，问是否存在最大项?若存在，求出最大项；{}n b ()2*12122N n nb b b n n n a a a ++⋅⋅⋅+=-∈{}n b 若不存在，请说明理由.【答案】(1)()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭(2)存在， 23259b b ==【分析】（1）由图形可得即，则为等比数列，结合等222=+159n n a a +={}n a 比数列的通项公式求解即可； （2）当时，，结合题设条件可得，从而得出2n ≥()()2121121211nn b b b n n a aa --++⋅⋅⋅+=---43n nb n a =-，然后利用数列的单调性求出结果.n b 【详解】（1）由图形可得：，即222=+159n n a a +=∴是以1为首项，为公比的等比数列{}n a 59∴.()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭（2）① 212122n nb b bn n a a a ++⋅⋅⋅+=-当时，，∴1n =111b a =11b =当时，② 2n ≥()()2121121211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---得，，∴ -①②43n nb n a =-()()154329n n b n n -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭经检验，当时，也满足上式，1n =11b =∴()()1*543N 9n n b n n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭令，解得： ()()()()11541541919435439nn n n n n b b n n +-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==>-⎛⎫- ⎪⎝⎭2n <∴当时，；当时，；当时，1n =21b b >2n =32b b =3n ≥1n n b b +<∴当或3时，的最大项为. 2n =n b 23259b b ==22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A 124A A =C 为中点的弦所在直线的方程为. 11,2⎛⎫⎪⎝⎭3240x y +-=(1)求椭圆的方程；C (2)点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M ，P 4x =P x 1PA 2PA C N ，设，的面积分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标. 12PA A △PMN A 1S 2S 12S S P 【答案】(1)22143x y +=(2)， 43()4,3P ±【分析】（1）由点差法得出，进而由得出椭圆的方程； 2234b a =1224A A a ==C （2）设，，，联立直线（）与椭圆方程，求出，，()()4,0P t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1PA 2PA 1y 2y 再由面积公式结合相似三角形的性质得出，令，由二次函数的性质得()()()2212222739t t S S t ++=+29m t =+出的最大值以及点的坐标. 12S S P 【详解】（1）设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=所以，即 2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+2222AB y b k x a ⋅=-中中即，∴223122b a-⋅=-2234b a =又，所以，1224A A a ==2a =b =所以椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）设，， ()()4,0P t t ≠()11,M x y ()22,N x y 则：，： 1PA ()26ty x =+2PA ()22t y x =-联立，消去得 22623412x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩x ()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+同理，联立，消去得 22223412x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩x ()222263603t t y ty y t -++=⇒=+所以 121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠. ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭令，则299m t =+> ()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即，即时，取得最大值. ()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭18m =3t =±12S S 43综上所述，当时，取得最大值. ()4,3P ±12S S 43。
湖北省黄冈中学高二上学期期末考试
湖北省黄冈中学2010-2011学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“x Z ∃∈，x2＋x ＋m ＜0”的否定是（ ）A ．存在x ∈Z 使x2＋x ＋m ≥0B ．不存在x Z ∈使x2＋x ＋m ≥0C ． x Z ∈，x2＋x ＋m ≤0D ． x Z ∈，x2＋x ＋m ≥0 2．下列说法错误的是（ ）A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；B ．线性回归方程对应的直线＝x ＋至少经过点其样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的一个点；C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；D ．在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好． 3．两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>对应的曲线如图所示，则有（ ）A ． 1212,μμσσ>>B ． 1212,μμσσ><C ． 1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ<<4．对实数,,a b c ，命题“若a b >，则22ac bc >”，在这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．2B ．0C ． 4D ．35．设语句甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，语句乙：“P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知随机变量X 的均值()1E X =，则的值为（ ） 0 1 2 0.4 A ．0.3 B ． C ． D ．0.24 7．已知等式4321234x a x a x a x a ++++4321234(1)(1)(1)(1)x b x b x b x b =++++++++，定义映射12341234:(,,,)(,,,)f a a a a b b b b →，则(4,3,2,1)f =（ ）A ．(1,2,3,4)B ．(0,3,4,0)C ．(0,3,4,1)--D ．(1,0,2,2)--8．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为（ ）A ．13B ．12C ．536D ．5129．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁4位学生发出录取通知书．若这4名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有2名学生被录取到同一所大学的概率为（ ）A ．12B ．916C ．1116D ．72410．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，的一个排列，把排在i a 的左边且比i a 小的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，，L ）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ） A ．48 B ． 96 C ． 144 D ． 192二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．除夕夜，一位同学希望给他的4位好友每人发一条短信问候，为节省时间看春晚，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中只有3条适合的短信，则该同学共有 种不同的发短信的方法．12．已知命题p ：x R ∃∈，使5sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p ∧q”是真命题；②命题“p ∧q”是假命题；③命题“p ∨q”是真命题；④命题“p ∨q”是假命题，其中正确的是_____________．（填写正确的序号）13．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机平落在纸板内（硬币不出纸板边界），则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 ．14．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=_______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．15．对任意正整数定义双阶乘!!n 如下：当为偶数时，!!(2)(4)42n n n n =--⋅⋅⋅L ； 当为奇数时，!!(2)(4)31n n n n =--⋅⋅⋅L ，现有如下四个命题： ①(2011!!)(2010!!)2011!=； ②2010!!21005!=⨯；③设1010!!10(,*)ka a k =⨯∈N ，若的个位数不是0，则k =112； ④设15!!1212mn n nm a a a =L （i a 为正质数，i n 为正整数(1,2,,)i m =L ），则max ()4i n =；则其中正确的命题是_________________（填上所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）命题p ：关于x 的不等式x2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数()(32)xf x a =-是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσ-<≤ 2)0.9544μσ+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．在2010年黄冈中学理科实验班招生考试中，有5000人参加考试，考生的数学成绩服~(90,100)X N ．（Ⅰ）在5000名考生中，数学分数在(100,120)之间的考生约有多少人；（Ⅱ）若对数学分数从高到低的前114名考生予以录取，问录取分数线为多少？18．（本小题满分12分）在2 2nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）展开式的哪几项是有理项（回答项数即可）；（Ⅲ）求出展开式中系数最大的项．19．（本小题满分13分）袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取球的编号之和．（Ⅰ）求X的概率分布；（Ⅱ）求X的数学期望与方差．20．（此题平行班做）（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，请完成上面的22⨯列联表；2()oP K k≥010.0005.0001.0k635.6879.7828.10（Ⅱ）在（10.1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．20．（此题8、9、10班做）（本小题满分13分）设数列{}na的前项和为nS，对一切*Nn∈，点(,)nSnn都在函数()2naf x xx=+的图象上．(Ⅰ)求123,,a a a及数列{}na的通项公式na；(Ⅱ) 将数列{}na依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a），（2a，3a），（4a，5a，6a），（7a，8a，9a，10a）；（11a），（12a，13a），(14a，15a，16a），（17a，18a，19a，20a）；（21a），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}nb，求5100b b+的值；（Ⅲ）令2()(1)nn g n a =+（*n N ∈），求证：2()3g n ≤<．21．（本小题满分14分）有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有,,,A B C D ，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为,,B C D 中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为nP （n N ∈）．（Ⅰ）求012P P P ，，；（Ⅱ）求证：1121()4n n n n P P P P ----=--；（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．期末考试数学参考答案（理科） 1．【答案】D 解析：由定义知选D.2．【答案】B 提示：回归直线方程$$y bx a =+$经过样本点的中心(，)，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近．3．【答案】C 解析：显然12μμ<，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小． 4．【答案】A 解析：若a>b ，c2＝0，则ac2＝bc2.∴原命题为假；若ac2>bc2，则c2≠0且c2>0，则a>b.∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；又∵逆否命题与原命题等价， ∴逆否命题为假． 5．【答案】A 提示：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A 、B 不是对立事件. 6．【答案】B 提示：0.6x y +=， ()21E X x y =+=，解得0.2x =．7．【解析】：C 依题意得331431a C Cb =+,得10b =，同理有2224312a C Cb b =++,得23b =-，再利用排除法选C ．8．【答案】：D 提示：记A ：“蓝骰子的点数为3或6”，A 发生时红骰子可以为16中任意一个，()12n A =，记B ：“两颗骰子点数之和大于8”，则AB 包含(3,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)5种情况，所以()5(|)()12n AB P B A n A ==．9．【答案】B 提示：所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一，共有44种，仅有两名学生被录取到同一所大学，可先把四个同学分成1+1+2三份，有24C 种分法，再选择三所大学就读，即有2344C A 种就读方式．故所求的概率为234449416C A =． 10．【答案】 C 提示：分析知8必在第3位，7必在第5位；若5在第6位，则有：324248A A =，若5在第7位，则有144496C A =，合计为144种．11．【答案】81 提示：给每一位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法4381=种．12．【答案】②③ 提示：因p 为假命题，q 为真命题，故非p 是真命题，非q 是假命题；所以p ∧q 是假命题；p ∧非q 是假命题；p ∨q 是真命题；命题“p ∨q”是真命题．13．【答案】：8177 提示：几何概型问题，2229(11)77(9)81P πππ⨯-+==． 14．【答案】21；5 解析： 设成功次数为随机变量ξ，服从二项分布(100,)B p ，要使标准差最大，即须方差()100(1)D npq p p ξ==-最大，当12p =时满足．此时()5δξ==． 15．【答案】①④ 提示：由定义(2011!!)(2010!!)(2011200931)(2010200842)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L ，∴①为真命题；10052010!!201020084221005!=⨯⨯⨯⨯=⨯L ，∴②为假命题；由条件就是要求从个位数算起到第1个不是0的数字之间101010082⨯⨯⨯L 的尾数中共有多少个连续的0，也即为101010009902010⨯⨯⨯⨯⨯L 中各数的尾数所含0的个数的总和，共有119121112⨯++=个，而52⨯还能产生0（如502⨯等）∴③是假命题；2415!!151311975311311753=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，∴④为真命题，∴正确的命题是①④．16．解：设2()24g x x ax =++，由于关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立， 所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝24160a -<，∴22a -<<. ………………………………………………3分 又∵函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，∴321a ->，∴1a <.………………………6分由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假. …………………………7分若P 真q 假，则221,a a -<<⎧⎨⎩≥∴12a ≤<； ………………………………………9分 若p 假q 真，则2,21,a a a -⎧⎨<⎩或≤≥∴2a ≤；……………………………………………11分综上可知，所求实数a 的取值范围为12a ≤<或2a ≤.………………………………12分17．解：（Ⅰ）1(100120)[(90309030)(90109010)]2p X p X p X <≤=-<≤+--<≤+ 1(0.99740.6826)0.15742=-=；……………………………5分 数学分数在(100,120)之间的考生约有：50000.1574787⨯=人；………………6分（Ⅱ）注意到114人占5000的比例为11410.0228[1(70110)]50002P p X ===-<≤，所以录取分数线应该在110． ……………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）展开式第3项为262322nT C x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，倒数第3项是2222122n n n nT C x ---+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………………………（写出两个通项得3分）所以有：222221162n n n n C C --=，解得8n =；………………………………4分（Ⅱ）当8n =时，822x ⎫⎪⎭展开式的通项为8822188222rr r r r r r r T C C x x ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭要为有理项则822rr--为整数，此时可以取到0,2,4,6,8，……………………7分所以有理项分别是第1项，第3项，第5项，第7项，第9项；………………8分 （Ⅲ）设第1r +项系数的最大，则118811882222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩≥≥， ∴2191281r r r r ⎧⎪⎪-⎨⎪⎪-+⎩≥≥， 解得：56r ≤≤，……………………………………………………………10分 故系数的最大的项是第6项和第7项，分别为1721792x-，111792x-……… 12分19． 解：（Ⅰ）在1X =时，表示第一次取到的1号球，1(1)3P X ==；………………1分在3X =时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球，或第一次取到3号球，1114(3)3339P X ==⋅+=；………………………………………………………4分在5X =时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球，122(5)339P X ==⋅=．…………………………………………………………6分X7分（Ⅱ）()1353999E X =⋅+⋅+⋅=， ………………………………………………10分 222251254252176()(1)(3)(5)93999981D X =-+-+-=．………………………13分20．解：（Ⅰ） 如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，所以积极参加班级工作的学生有12502425⨯=人，以此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级共工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作得人数为7，学习积极性高的人数为25（Ⅱ）k ＝＝≈11.5，∵k >10.828，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．………12分21．解：（1）依题意，得01314P P ==，，.………………………………………2分21331344416P =+⨯=……………………………………………………4分（Ⅱ）设棋子跳到第n 站（2≤n ≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第2n -站，又掷出后得到A 面，其概率为214n P -；第二种，棋子先到第1n -站，又掷出后得到,,B C D 中的一面，其概率为134n P -，由于以上两种可能是互斥的，所以123144n n n P P P --=+，即有1121()4n n n n P P P P ----=--.………………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列1{}n n P P --是首项为1014P P -=-，公比为14-的等比数列. 于是有2399102132999811114444P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，，，，. 把以上各式相加，得29910099011151144444P P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L . 因此，获胜的概率为10051144⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．………………………………………………14分 8、9、10班的20题答案：因为点(,)n S n n 在函数()2na f x x x =+的图象上， 故2n n S a n nn =+，所以212n n S n a =+ ①．令1n =，得11112a a =+，所以12a =； 2n ≥时2111(1)2n n S n a --=-+ ②2n ≥时①－②得142n n a a n -=-+-令1(1)()n n a A n B a An B --+-=---，即122n n a a An A B-=-+++与142n n a a n -=-+-比较可得24,22A A B =+=-，解得2,2A B ==-．因此12(1)2(22)n n a n a n --++=--+又12(11)20a -++=，所以2(1)20n a n -++=，从而2n a n=． ………………………4分（2）因为2n a n=（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010. ………………………9分（3）有（1）中知2n a n=，∴21()(1)(1)n n n g n a n =+=+，当1n =时，(1)2[2,3)f =∈；当2n ≥时，00112211111(1)()()()()n n nn n n n C C C C n n n n n +=+++L 显然00112200111111111(1)()()()()()()2n n n n n n n n n C C C C C C n n n n n n n +=+++≥+=L 而1(1)(2)(1)11111()!!(1)(1)k kn kn n n n k C n n k k k k k k ---+=<≤=---L g （2k ≥）00112211111(1)()()()()n n nn n n n C C C C n n n n n +=+++L 11111111(1)()()332231n n n <++-+-++-=-<-L ．………………………14分。
湖北省黄冈市高二上册期末数学试题与答案
湖北省黄冈市高二上册期末数学试题与答案第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对两位同学的10次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，由图可知，成绩更稳定的同学是（）A. 甲B. 乙C. 甲乙同学D. 无法确定【答案】B由茎叶图的特征可直接判断出结果。
数据越集中，说明越稳定，因此可直接判断，乙同学成绩更稳定，故选B.本题主要考查茎叶图的特征，属于基础题型.2.任意抛两枚一元硬币，记事件：恰好一枚正面朝上；：恰好两枚正面朝上；：恰好两枚正面朝上；：至少一枚正面朝上；：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是（）A. 与 B. 与 C. 与 D. 与【答案】D根据对立事件的定义，逐项判断即可.因为与的并事件不是必然事件，因此A错；至少一枚正面朝上包含恰好两枚正面朝上，所以与m不是对立事件，故B错；因与是均表示两枚正面向上，所以与是相等事件，故C错；所以选D.本题主要考查对立事件的概念，属于基础题型.3.已知双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A先由双曲线的方程求出焦点坐标，以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解即可.因为双曲线方程为，所以可得其一个焦点为,一条渐近线为,所以焦点到渐近线的距离为，故选A.本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.4.点的坐标分别是，，直线与相交于点，且直线与的斜率的商是，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线【答案】A设点M坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果.设，由题意可得,,因为直线与的斜率的商是，所以，化简得，为一条直线,故选A.本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型.5.下列命题中的假命题是（）A. 对于命题，，则B. “”是“”的充分不必要条件C. 若命题为真命题，则都是真命题D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”【答案】C利用命题的否定，判断A；根据充要条件判断B；由复合命题的真假判断C；由四种命题的逆否关系判断D。
【免费】黄冈中学高二数学上期期末模拟题-含答案
黄冈中学高二数学上期期末模拟题一 选择题（每题4分，共48分） 1．已知集合{}24M x x =<，103x N x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合N M 等于 （ ）A ．{}2-<x xB ．{}3>x xC ．{}21<<-x xD ．{}32<<x x2.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A.1，-1B.2，-2C.1D.-13．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c bc a .（D ）||||c b c a >. 4. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是：A ．3B ．9C ．17D ．51 5．200辆汽车通过某一段公路时的时速的 频率分布直方图如右图所示，则时速在 [60，70)的汽车大约有( ) (A) 30辆 (B) 40辆 (C) 60辆 (D) 80辆6.设0,0.a b >>若11333aba b+是与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D147.如果执行如图所示的程序框图，输入5N =， 则输出的数等于（ ） A.54 B.45时速（km ）0.010.02 0.03 0.04 频率组距40 50 60 70 80C.65D.568.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球 和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（） （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）459.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和大于12的概率是 ( ) A.78 B. 18 C. 38 D. 5810.已知函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是A [1,1]-B [2,2]-C [2,1]-D [1,2]-11.已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．312.已知a x x 22|4||3|<++-，若已知不等式的解集不空，求a 的取值范围。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1 B．C．D．4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合5．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=06．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．B．84 C．3 D．217．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．巳知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形PF1F2，若边PF1的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C．D．9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点．若|AB|=10，则△F1AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．3611．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A．B．C．D．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s=14．在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．16．已知F是双曲线C：x2﹣y2=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．18．命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．19．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】用随机数表法从100名学生中抽选20人，属简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为，故某男学生被抽到的机率是故选C【点评】本题考查简单随机抽样、等可能事件的概率等知识，属基础知识的考查．2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．【专题】规律型．【分析】利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．【点评】主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题．3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k ﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合【考点】变量间的相关关系．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（s，t），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（s，t）．【解答】解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t）∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线l1和l2都过点（s，t）∴两条直线有公共点（s，t）故选：B．【点评】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．5．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义进行判断即可．【解答】解：同时否定条件和结论得否命题：若a=0且b=0，则ab=0，故选：D．【点评】本题主要考查四种命题的关系，比较基础．注意否命题和命题的否定的区别．6．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．B．84 C．3 D．21【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|﹣|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|pF1|•|pF2|=21故选D．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用茎叶图性质、平均数和方差公式求解．【解答】解：由茎叶图得去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值：，方差．故选：D．【点评】本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．8．巳知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形PF1F2，若边PF1的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|=c且|QF2|=c，根据椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【解答】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2=60°，∠QF2F1=30°Rt△QF1F2中，|F1F2|=2c（椭圆的焦距），∴|QF1|=|F1F2|=c，|QF2|=|F1F2|= c根据椭圆的定义，得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c∴椭圆的离心率为e===﹣1故选：A【点评】本题给出椭圆与以焦距为边的正三角形交于边的中点，求该椭圆的离心率，着重考查了解三角形、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于中档题．9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰好在第3次才能开门包含的基本事件个数，由此能求出恰好在第3次才能开门的概率．【解答】解：∵某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．∴恰好在第3次才能开门的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点．若|AB|=10，则△F1AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．36【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线方程利用双曲线定义，转化求解三角形的周长即可．【解答】解：因为渐近线方程为3x﹣2y=0，所以双曲线的方程为．△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=（|AF2|+2a）+（|BF2|+2a）+|AB|=2|AB|+4a=28．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【点评】本题是轨迹问题与空间线面关系相结合的题目，有助于学生提高学生的空间想象能力．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO⊂β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH⊄α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A【点评】本题给出正四面体的一条棱与平面α成45°，在顶点A与B在平面α内的射影点O的距离最大时，求直线CD与平面α所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s= 2468【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的p，s，i的值，当i=5时满足条件i＞n，退出循环，输出s的值为2468．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=4，s=0，p=0，i=1p=2，s=2，i=2不满足条件i＞n，p=22，s=24，i=3不满足条件i＞n，p=222，s=246，i=4不满足条件i＞n，p=2222，s=2468，i=5满足条件i＞n，退出循环，输出s的值为2468．故答案为：2468．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的p，s，i的值是解题的关键，属于基础题．14．在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，求出对应的概率即可．【解答】解：如图所示，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，则所求概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是根据题意画出对应的示意图形，是基础题目．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．∵SC=2∴SM=1，∠OSM=30°∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．故答案为：【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OHO与平面ABC的距离是关．键16．已知F是双曲线C：x2﹣y2=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 3 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积【解答】解：设左焦点为F1（﹣2，0），右焦点为F（2，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（|PF1|+2a）=|AF|+|AP|+|PF1|+2a≥|AF|+|AF1|+2a，当且仅当A，P，F1三点共线，即P位于P0时，三角形周长最小．此时直线AF1的方程为y=x+2，代入x2﹣y2=2中，可求得，故．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该企业的职工对该部门评分的平均值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知在[40，50）内的人数为2人，在[50，60）内的人数为3人，由此能求出此2人评分都在[40，50）的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，∴a=0.006．估计该企业的职工对该部门评分的平均值：=0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：在[40，50）内的人数为0.004×40×50=2（人），在[50，60）内的人数为0.006×10×50=3（人），设[40，50）内的两人分别为a1，a2，[50，60）内的三人为A1，A2，A3．则从[40，60）的受访职工中随机抽取2人，基本事件有（a1，a2），（a1，A1），（a1，A2），（a1，A3），（a2，A1），（a2，A2），（a2，A3），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共10种，其中2人评分都在[40，50）内的基本事件有（a1，a2）共1种，所求的概率为p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）由￢p∧q为假命题，则p真q假，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是q的必要不充分条件，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：关于命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，a＞0时，显然成立，a=0时不成立，a＜0时只需△=a2+4a≥0即可，解得：a＜﹣4，故p为真时：a（0，+∞）∪（﹣∞，﹣4]；关于q：＞1，解得：﹣2＜a＜1，关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，（1）若￢p∧q为假命题，则p真q假，∴，解得：a≥1或a≤﹣4；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，即r是q的必要不充分条件，即q⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1．【点评】本题考察了充分必要条件，考察复合命题的判断，考察二次函数的性质，是一道中档题．19．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．【考点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．求出B，C1，E，F的坐标，（Ⅰ）求出面FC1B1的一个法向，面BFC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值．（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），利用EP∥平面BFC1，推出，求出x，y的关系，利用空间距离结合二次函数的最值求解即可．【解答】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．则．（Ⅰ）由图可取面FC1B1的一个法向量；，设面BFC1的法向量为，则，可取．所以，即二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值为．（Ⅱ）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），则．因为EP∥平面BFC1，所以，即（1，2，1）=0，所以，∵0≤x≤1，0≤y≤1，∴，∴，所以=，当时，．【点评】本题看v我没觉得平面角的求法，空间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出写出，即可求此抛物线方程；（Ⅱ）过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．【解答】解：（I）因焦点F（，0），所以直线l的方程为y=（x﹣），与抛物线y2=2px联立，消去y得4x2﹣20px+p2=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=5p，∴|AB|=x1+x2+p=6p=12，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，∠PMA为锐角．故当∠PMA最小时，最小，故当PM和抛物线相切时，最小．设切点P（a，2），则PM的斜率为=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PA|=2|PM|=2sin∠PMA=【点评】本题考查抛物线与直线方程的综合应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接PH．过O点作OK⊥PH，连接AK，证明∠OAK 就是OA与平面PAB所成的角，求出OK、OA的长，即可求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）利用AB+BP=8，求出AB的长，利用三棱锥P﹣ABD的体积V=，即可求三棱锥P﹣ABD的体积．【解答】解：（1）过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接PH．过O点作OK⊥PH，连接AK．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB．∵OH⊥AB，∴AB⊥平面POH．∵OK⊂平面POH，∴AB⊥OK，∵OK⊥PH，∴OK⊥平面PAB．∴∠OAK就是OA与平面PAB所成角．∵PA=PD，∴P点在平面ABCD上的射影O在线段AD的中垂线上，设AD的中点为E，连接EP，EO，∴EO⊥AD，EP⊥AD，∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEO=45°．在等腰△PAD中，∵AD=4，∴EA=ED=2，∵PA=PD=2．∴PE=2．在Rt△PEO中，OP=OE=2，∴OA=2，又∵OH=AE=2，PO=2，在Rt△POH中，可得OK=∴sin∠OAK==，∴∠OAK=30°，∴直线OA与平面PAB所成的角为30°．（2）设AB=x，则PB=8﹣x，连接OB．在Et△POB中，PB2=PO2+OB2，∵OE⊥AE，OE=AE，∴∠OAE=45°，∴∠OAB=45°．在△OAB中，OB2=AO2+AB2﹣2AO•AB•cos∠OAB=8+x2﹣4x∴4+8+x2﹣4x=（8﹣x）2，∴x=，即AB=∴三棱锥P﹣ABD的体积V==【点评】本题考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题(理科)
湖北省黄冈中学2008-2009学年度高二数学上学期期末考试试题（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．给出下列命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．过点P （-1，1）的直线l 与圆2240x y x ++=相交于A 、B 两点，当|AB |取最小值时，直线l 的斜率k 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．123．若a, b ∈R ，则|a |+|b |>1是|a+b |>1成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，B 1C ∩BC 1=O ，若1AO xAB yAD zAA =++，则x y z ++等于（ ） A ．1 B ．56C ．52D ．25．对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 ( )A ．,a b αα⊂⊂B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥ 6．设抛物线24x y =的焦点为F ，经过点(1,2)P 的直线与抛物线交于A 、B 两点，又知点PABDO C A 1 D 1 C 1B 1恰好为AB 的中点，则AF BF +的值是 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．1787．曲线221259x y +=和曲线221(925)259x y k k k+=<<--的（ ） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．准线相同 D ．焦点到准线距离相等8．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）错误！未找到引用源。
湖北省黄冈中学2012年春季高二年级期末考试数学理科
湖北省黄冈中学2012年春季高二年级期末考试数学试题（理）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 2．设集合A={ln(1)x y x =-}，集合B={2y y x =}，则A B = ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(,1)-∞ D ．∅3．[)22,(,1)(),1,x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ，则[])2(-f f = ( )A ．16B ．4C ．41 D ．1614．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件5．如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为 ( )A ．14B ．12C ．13D ．166．如图，A B 为O 的直径，弦A C ，B D 交于点P ，若3,AB =1C D =， 则sin A P D ∠= ( ) A3B3C ．13D37．若直线20(0,0)mx ny m n -+=>>和函数1()1(01)x f x aa a +=+>≠且的图像恒过同一个定点，则21m n+的最小值为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．28．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)0,)(f x x '-<设1(0),(),(5),2a fb fc f ===则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<9．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时2()2(3)f x x =--，若函数()log (1)a y f x x =-+在0+∞（，）上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A．(0,2B．(0,3C．(0,5D．(0,610．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数； ③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数是 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知命题“x ∃∈R ,|||1|2x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________． 12．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________．13．已知函数()f x 在R 上满足22()(1)321f x f x x x +-=-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．14．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 ．15．已知====(a ，t ，n 为正实数，2n ≥），通过归纳推理，可推测a ，t 的值，则a t += ．（结果用n 表示）yxf (x )x三．解答题（本大题共6小题，共75分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知命题p ：函数2lg(1)y ax ax =-+的定义域为R ，命题q :函数223aa y x --=在(0,)x ∈+∞上是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）如果对x ∀∈R ，不等式()()|1|g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．19．（本小题满分12分）一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2x +万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下．．工程的费用为y 万元． （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？20．（本小题满分13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使A E 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设函数()xf x e =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn xxxg x x n =+++++L （n +∈N ）．（Ⅰ）证明：()f x 1()g x ≥；（Ⅱ）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：123222212341(1)nn g n e ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （n +∈N ）．ABCA 1B 1C 11 1黄冈2012年春季高二年级期末数学试题（理）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1【解析】由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ ，故选A ．2．设集合A={ln(1)x y x =-}，集合B={2y y x =}，则A B = ( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(,1)-∞ D ．∅ 【解析】A={}10x x ->={}1x x <，B={}0y y ≥，故选B ．3．[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈∞-∈=-,1)1,(2)(2x xx x f x ，则[])2(-f f =( )A ．16B ．4C ．41 D ．161【解析】42)2(2==-f ，16)4())2((==-f f f ，故选A ．4．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【解析】若()y f x =是奇函数，则()y f x =的图象关于y 轴对称；反之不成立，比如偶函数()y f x =，满足()y f x =的图象关于y 轴对称，但不一定是奇函数，故选B ． 5．如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为 ( ) A ．14 B ．12C ．13D ．16【解析】以O 为原点建系，抛物线方程为212y x =，12111223x S x d =-=⎰，故选C ．6．如图，A B 为O 的直径，弦A C ，B D 交于点P ，若3,1AB CD ==，则sin A P D ∠= ( ) A．3B．3C ．13D．3【解析】连结A D ，则sin A D A P D A P∠=，又C D P BAP ∆∆ ，从而1cos 3P D C D A P D P AB A∠===，所以sin 3APD ∠==，故选D ．7．若直线20(0,0)mx ny m n -+=>>和函数1()1(01)x f x a a a +=+>≠且的图像恒过同一个定点，则21m n+的最小值为（ ）A ．10B ．8C ．4D ．2【解析】1()1x f x a +=+过定点(1,2),-又点在直线上，22,m n ∴+=1142)4242221(n mm n n m n m∴⨯+=++≥=++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当21m n ==时取等）, 故选C ．8．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，(1)0,)(f x x '-< 设1(0),(),(5),2a f b f c f ===则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【解析】由题意知函数()f x 关于1x =对称，(,1)x ∈-∞，()f x 单调递增，(5)(3)f f =-，130,2c a b ∴-<<∴<<,故选C ．9．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈ 时2()2(3)f x x =--，若函数()log (1)a y f x x =-+在0+∞（，）上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,2B ．(0,3C ．(0,5 D ．(0,6【解析】由(2)()(1)f x f x f +=-恒成立可知()f x 图像以2x =为对称轴，周期2T =，作出()f x 的图像，log (1)a y x =+ 的图像与()f x 的图像至少有三个交点，即有log (21)(2)2a f +>=-且01a <<，解得3a ∈，故选B ．10．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表． ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的个数是 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】画出原函数的大致图象，得：①为假命题，[-1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减； ③为假命题，当t=5时，也满足x ∈[-1，t ]时，()f x 的最大值是2； ④为假命题，()y f x a =-可能有有2个或3个或4个零点．故选D ．二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知命题“x ∃∈R ,|||1|2x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】(,3)(1,)-∞-⋃+∞【解析】“x ∃∈R ，,|||1|2x a x -++≤”的否定“x ∀∈R ，,|||1|2x a x -++>”为真命题，|||1||1|2x a x a -++≥+>，解得31a a <->或．12．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】0m <或10m >【解析】曲线的普通方程是22(1)(2)1x y -++=，圆心()1,2-到直线340x y m ++= 的距离55m d -==，令515m ->，得10m >或0m <．13．已知函数()f x 在R 上满足22()(1)321f x f x x x +-=-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．【答案】210x y --=【解析】由22()(1)321f x f x x x +-=-+， ①得222(1)()3(1)2(1)1342f x f x x x x x -+=---+=-+， ②即①2⨯-②得，2()f x x =，∴()2f x x '=，∴故所求的切线为210x y --=． 14．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 ．【答案】【解析】由柯西不等式，222222211(2)()(2)x y z x y z ++-++≥+-⎡⎤⎣⎦，知2a b x y z ⋅=+-[∈-．15．已知====(a ，t ,n 为正实数, 2n ≥），通过归纳推理，可推测a ，t 的值，则a t += ．（结果用n 表示）【答案】21n n +-【解析】通过归纳推理，,a n =22=1,1t n a t n n -∴+=+-．三．解答题（本大题共6小题，共75分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知命题p ：函数2lg(1)y ax ax =-+的定义域为R ，命题q :函数223a a y x--=在(0,)x ∈+∞上是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 【解答】命题p ：0a =或240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，04a ∴≤<； 命题q ： 2230a a --<，13a ∴-<<； 由题意知命题,p q 有且只有一个是真命题， 当p 为真，q 为假时，01343a a a a ≤-≥≤<⎧⇒≤<⎨⎩或 4 ，当p 为假，q 为真时，041310a a a a <≥-<<⎧⇒-<<⎨⎩或 ， 综上可得，1034a a -<<≤<或． 17．（本小题满分12分）已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f += （Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）如果对x ∀∈R ，不等式()()|1|g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围． 【解答】（I ） 函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，2()()(2),g x f x x x ∴=--=-- 故2()2.g x x x =-+(II)由()()|1|g x c f x x +≤--可得：221c x x ≤--，令22211()=211x x x F x x x x ⎧-+≥⎪⎨+-<⎪⎩，，，当x ≥1时， m in ()2F x =； 当1x <时，m in 19()()48F x F =-=-，因此，实数c 的取值范围为9(,]8-∞-．18．（本小题满分12分）已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．【解答】（Ⅰ）21(2)x x f x a'=--+，当0x =时，()f x 取得极值，∴0()f x '=，解得2a =，检验2a =符合题意．（Ⅱ）令2()()2ln(2),g x f x b x x x b =+=+--+则 22(,)1(2)2x x g x x =-->-'+当(2,0)x ∈-时，0,())(g x x g '>∴在(2,0)-上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，0,())(g x x g '<∴在(0,)+∞上单调递减， 要使()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，只需(1)00(0)02ln 20,(1)02ln 320g b g b g b -≤≤⎧⎧⎪⎪>+>⎨⎨⎪⎪≤-+≤⎩⎩即2ln 222ln 3.b ∴-<≤- 19．（本小题满分12分）一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2x +万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下．．工程的费用为y 万元． （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解答】（Ⅰ）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m n x+=-，即=，所以()(2m m y f x n n x x xx=+=256+(=256(-1)+2562256.m m x=+-（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，1322222561(512)22()m m mxx xxf x -=-+=-'，令()0f x '=，得32512x =，所以x =64当0<x <64时，()f x '<0，()f x 在区间（0，64）内为减函数；当64640x <<时，()f x '>0，()f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时，640119.64m n x=-=-=故需新建9个桥墩才能使y 最小．方法二：2562562256(225622m y m m m xx =+-=++-+3225614256m m ≥+-=-（当且仅当2562x=即64x =取等）20．（本小题满分13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使A E 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A A B C -是直三棱柱，12A B B C A A ==，90ABC ︒∠=，连结1A C ， 1AC 交于点O ，连结O D ． 由 111C B A ABC -是直三棱柱，得四边形11AC C A 为矩形，O 为1A C 的中点．又D 为BC 中点，∴O D 为1A BC △中位线，∴ 1A B ∥O D ，因为 O D ⊂平面1A D C ，1A B ⊄平面1A D C ， 所以 1A B ∥平面1A D C ． （Ⅱ）由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直． 如图建立空间直角坐标系xyz B -．2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B ．所以 (1,2,0)A D =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n ．易知平面A D C 的法向量为(0,0,1)=v ． 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v，即二面角1C AD C --的余弦值为23．（Ⅲ）假设存在满足条件的点E ．因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤． 所以 (0,2,1)A E λ=-，1(1,0,1)DC = ．因为A E 与1DC 成60︒角，所以1112A E D C A E D C ⋅= ．12=，解得1λ=，舍去3λ=， 所以当点E 为线段11B A 中点时，A E 与1DC 成60︒角．21．（本小题满分14分）设函数()xf x e =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn xxxg x x n =+++++L （n +∈N ）．（Ⅰ）证明：()f x 1()g x ≥；（Ⅱ）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：123222212341(1)nn g n e ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （n +∈N ）． 【解答】（Ⅰ）证明：设11()()()1x x f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>． 即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥． （Ⅱ）当0x >时，()f x >()n g x ． 用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >；②假设当n k =（k +∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ， 令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->，即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->,即对任意0x >，有1()()k f x g x +>， 这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①,②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ． （Ⅲ）证明1：先证对任意正整数n ，()1n g e <．由（Ⅱ）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=n g f e <．所以()1e n g <． 再证对任意正整数n ，()1231222211111123412!3!!nng n n +++++≤=++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（k +∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +≤⎛⎫⎪⎝⎭．则()()()1111!1!1222kk k k k k k k ++++=+≤+=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．111101111112211121C C C 2,111112k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++==+=+++≥+++++⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭()11121!222k k k k k ++++∴+≤≤⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对n +∀∈N ，不等式()1222211231nn g e n ++++≤<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．方法2（基本不等式法）：12n +≤12n +≤12n +≤，将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对n +∀∈N ，不等式()1222211231nn g e n ++++≤<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．。
湖北省黄冈市2012届高二数学上学期期末考试-理
黄冈市2010年秋高二期末调考试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1.若二项式(1-ax)6的展开式各项系数和是64,则正常数a的值为A.-1B.4C.3D.22.从6名男生和3名女生中选出4人参加学校辩论比赛,如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,则共有选法种数是A.35B.21C.42D.2103.则ξA.0.7B.-1C.0D.14. 5555+ 10被8除所得的余数是A.1B.2C.3D.55.读下面两个程序:甲:i=1 乙:i=200S=0 S=0WHILE i＜=200 DOS=S+i S=S+ii=i+1 i=i-1WEND LOOP UNTIL i＜1PRINT S PRINT SEND END对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是A.程序不同,结果不同B.程序不同,结果相同C.程序相同,结果不同D.程序相同,结果相同R如6.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数2下，其中拟合效果最好的为A.模型①的相关指数为0.351B.模型②的相关指数为 0.766C.模型③的相关指数为0.076D.模型④的相关指数为0.9067.在大小相同的5个球中,有3个是红球,2个是白球,若从中任取2个球,则所取的2个球中至少有一个白球的概率是A.710B.310C.25D.358.随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=k)=a(11-2k)(k ＝1，2，3，4,5)，其中a 是常数，则P(52 ＜ξ＜133 ) 的值为A.35B.325C.45D.825 9.设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ＞a+2)=P(ξ＜a-2),则a= A.1 B.2 C.3 D.4 10.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A,“两颗骰子的点数和大于8”为事件B,则P(B|A)=A.512B.712C.12D.13黄冈市2010年秋高二期末调考试题数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）一.选择题答案卡二.填空题(每小题5分,共25分)11.若给定一组数据为x i (i=1,2,…,n),其方差为s 2,则数据ax i (i=1,2,…,n)的方差为___________.12.若随机向一个边长为1的正三角形内丢一粒豆子(假设该豆子一定落在三角形内), 则豆子落在此三角形内切圆内的概率是_______.13.由数字1,2,3,…,9组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“135”)或严格递减(如“641”)顺序排列的数的个数是________.(用数字作答)14.执行如右图所示的程序框图,输出的T=_______.15.设集合A={1,2,…,n},B={n+1,n+2,…,2n},(n ∈N *且n ≥2),现将集合 A 和B 分别作为总体,从这两个总体中各随机抽取2个元素构成样本, 记P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率.当1≤i ≤n ＜j ≤2n 时, P ij =_________;当1≤i ＜j ≤2n,且i,j 不在同一总体中时,所有P ij 的和 为__________.三.解答题16.(12分)已知等差数列{a n })6展开式的常数项,公差为二项式展开式的各项系数和,求数列{a n }的通项公式.17.(12分) 甲、乙两位同学都参加了本次调考,已知甲做5道填空题的正确率均为0.6,设甲做对填空题的题数为X1,乙做对填空题的题数为X2,且P(X2=k)=a·25-k(k=1,2,3,4,5)(a为正常数),试分别求出X1,X2的分布列,并用数学期望来分析甲、乙两位同学解答填空题的水平.18.(12分) 在袋中装有15个小球，其中有：n个红球，6个蓝球，5个黄球，其余的为白球.已知从袋中取出3个都是相同颜色的彩色球（无白球）的概率为31455.求：(1)袋中有多少个红球；(2)从袋中随机取出3个球，若取得黄球得1分，取得蓝球扣1分，取得红球或白球不得分也不扣分，求得正分的概率.19.(12分) 在数学必修(3)模块修习测试中,某校有1000名学生参加,从参加考试的学生中抽出60名,将其考试成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下,试根据图形提供的信息解答下列问题.(1)求出这60名学生的考试成绩众数的估计值;(2)分别求出成绩在[89,99)和[99,109)之间的人数;(3)若成绩在[89,99)中有2人没及格(90分以及以上为及格),求成绩在[89,109)之间的所有学生中随机抽取2人,至少有1人没及格的概率.20.(13分)(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，问应在高三年级抽取学生多少名？ (3)在(2)的前提下，已知y ≥345，z≥345，求高三年级中男生比女生多的概率．21.(14分)已知关于x 的二次函数f(x)=ax 2-8bx+1.（1）设集合M={1,2,3}和N={-1,1,2,3,4,5}，从集合M 中随机取一个数作为a ，从N 中随机取一个数作为b ，求函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率；（2）设点(a,b)是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y-6≤0x ＞0y ＞0 内的随机点,求函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数的概率.黄冈市2010年秋高二期末调考试题数学参考答案（理科）一.选择题答案卡二.填空题 11.a 2s 212. 3 9π 13.168 14.12 15.4n2 ,4 (第一空填对2分,第二空填对3分)三.解答题16. 解:)6展开式的通项为T r+1=C r 6 (x )6-r ·(- 2x )r =(-2)r C r 6 x 3-r.令3-r=0,得r=3,∴常数项为T 4=(-2)3C 36 =-160,即a 1=-160.……………………………5分 又二项式展开式的各项系数和即为x=1时二项式的值,∴d=1.………………8分 故数列{a n }的通项公式为a n =-160+(n-1)×1=n-161.…………………………12分17. 解:依题意知,X 1服从二项分布,即X 1～B(5,0.6),∴E(X 1)=5×0.6=3,…………………4分 又由题设可得X 2的分布列如下表由分布列的性质得16a+ 8a+ 4a+ 2a+a=1,∴a= 131 ,………………………………8分∴E(X 2)=1×16a+2×8a+3×4a+4×2a+5a= 57·a=57×131＜E(X 1).……10分∴甲解答填空题的水平高于乙.………………………………………………………12分18. 解:(1)设红球n 个，由题设有C 3n + C 36 + C 35 C 315=31455 ,………………………………3分 即C 3n =1 ∴n=3,故袋中有3个红球.…………………………6分(2)设取球得正分为事件A,则A 包含有三种情况:①取球得正1分,记为事件A 1,②取球得正2分,记为事件A 2,③取球得正3分,记为事件A 3.…………………………8分则P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3),而P(A 1)= C 15 ·C 24 + C 25 ·C 16 C 315 =1891 , P(A 2)= C 25 ·C 14C 315=891, P(A 3)= C 35C 315=291 ,故P(A)= 1891 + 891 + 291 =2891 =.413 …………………………………12分19. 解:(1)这60名学生的考试成绩众数的估计值为119+1292=124.……………4分(2)由图可知,成绩在[89,99)和[99,109)的频率分别为0.05和0.15. ∴在[89,99)上的人数为60×0.05=3名.……6分 在[99,109)上的人数为60×0.15=9名.………8分(3)由(2)知, 成绩在[89,109)之间的学生人数为12人,从中随机抽取2人的抽法有C 212 =66种,至少有一人没及格包括有一人或两人都没及格,则有C 12 ·C 110 + C 22 =21种抽法.………11分故所求的概率为P= 2166 = 711.………………………………………………………12分20.解：(1)∵x3000＝0.18，∴x＝540.……………………………………………………3分(2)高三年级人数为y ＋z ＝3000－(595＋605＋560＋540)＝700， 现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，应在高三年级抽取的人数为1203000×700＝28名．……………………………7分(3)设高三年级男生比女生多的事件为A ，高三年级男生、女生数记为(y ，z)．由(2)知y ＋z ＝700，且y ，z∈N ,y≥345，z≥345.…………………………………8分 基本事件空间包含的基本事件有：(345,355)、(346,354)、(347,353)、(348,352)、(349,351)、(350,350)、(351,349)、(352,348)、(353,347)、(354,346)、(355,345)共11个，………10分事件A 包含的基本事件有：(351,349)、(352,348)、(353,347)、(354,346)、(355,345)共5个．∴P(A)＝ 511. …………………………………………13分21. 解（1）∵函数f(x)=ax 2-8bx+1的图象的对称轴为x= 4b a,要使f(x)=ax 2-8bx+1在区间[2,+∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且4ba ≤2,即2b ≤a ……………………………………………2分若a=1则b=－1， 若a=2则b=－1，1若a=3则b=－1，1，；………………………………………………………5分 记事件A 为“函数y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数” 则事件A 包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件A 的概率为P(A)= 518 …………………………………………………7分（2）由（1）知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f(x)=ax 2-8bx+1在区间[2,+∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6≤0a ＞0b ＞0 ,而构成所求事件的区域为三角形AOB 部分,如图所示.………9分由⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6=0b= a 2解得交点为B(4,2).……………………11分∴所求事件的概率为P=S △AOB S △AOC = 12 ×6×212×6×6 = 13……………………………………………14分。
湖北省黄冈中学高二期末考试(正式版)
湖北省黄冈中学2012年高二期末考试语文试题本试卷共8页，六大题23小题。
全卷满分150分。
考试用时150分钟。
一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1. 下列各组词语中加点的字，读音全都正确．．．．的一组是（）A. 魁梧．（wú）颠簸．（bō）被褥．（rù）模棱．两可（líng）B. 兴．奋（xīng）絮聒．（guō）发怔．（zhèng）血脉贲．张（bēn）C. 漩．涡（xuàn）矗．立（chù）汲．取（jí）差．强人意（chā）D. 蝉蜕．（tuì）狩．猎（shǒu）憎．恶（zēng）呼天抢．地（qiǎng）2．下列各组词语中，没有．．错别字的一项是（）A. 联袂围剿盅惑若及若离B. 绰约气概毗邻唉声叹气C. 嬉戏沧桑殒首感恩带德D. 诙谐媲美佶问如雷灌耳3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一项是（）_____传统的阅读习惯，电子书还没有完全走进大众的生活。
手指翻过书页，会有自由的感受，电子书则是冰冷之物。
传统书籍的阅读_____，是不可能_____的。
不过，人的生存压力越来越大，很难陷入长久阅读，多是快餐、零碎式的浏览。
电子书倒是能填补这种零碎的时间，在_____中打发时间。
A. 出于体会移植一目十行B. 出于体验复制删繁就简C. 由于体验移植浮光掠影D. 由于体会复制浅尝辄止4．下列各句中，没有．．语病的一句是（）A. 根据提请人大常委会审议的《老年人权益保障法（修订草案）》明确规定，家庭成员应当关心老年人的精神需求，不得忽视、冷落老年人。
B. 培养动手能力强、企业欢迎、适应市场需求的技能型人才是破解当前就业困局和促进产业结构调整的有效途径。
C. 针对我省入梅首次强降雨已经造成上万人及五千余亩农作物受灾，各地应做好应对准备工作，防范山洪、泥石流等地质灾害，避免人员伤亡。
D. 时至今日，这些被时间二次制造出来的食物，不但蕴藏着中华民族对于滋味和世道人心的某种特殊感触，而且影响着中国人的日常饮食。
湖北省部分重点中学2011-2012学年高二上期末考试(数学理)扫描版
参考答案一.选择题1. B2. C3. D4. A5. C6. D7. B8. B9. C 10. D 二.填空题 11.1p ⌝： {}x x x x ∃∈2是无理数，不是无理数12. 53124⎛⎤⎥⎝⎦， 13. ①③ 14. y x 82= (y≥0)或x=0 (y<0) 15. 24 ,23 三．解答题16. 解： (1) 1455A A =600 …………………… 6分(2)4135442312A A A += ………………………12分17.解：（1）由题意知(5,0.2)B ξi i iC -⨯⨯558.02.050058.02.0⨯⨯C 5∴他在次罚球中至少罚失两次的概率为0051145510.20.80.20.8P C C =-⨯⨯-⨯⨯…………………… 4分(2)()2.0,5~B ξ…………………… 6分ξ∴的分布列为()()550.20.8012..5iiiP i C i ξ-==⨯⨯=、、 即：其中12.05=⨯=ξE …………………… 12分18. 解： (1)令x=1 , 则二项式系数的和为(1)(13)4nnf =+= 展开式中各项的二项式系数之和为2n依题意有42992nn-=，()2229920n n ∴--=231()232n n ∴=-=舍或5n ∴=…………………… 2分又展开式的通项为()r r r r xC T 2532513++=6290r x ==3时，T105243r x ==6时，T …………………… 6分(2)假设1r T +项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯≥⨯⨯≥⨯++--115511553333r r r r r r r r C C C C∴()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+-≥---≥⨯-3!1!4!5!!5!5!1!6!53!!5!5r r r r r r r r7922r ∴≤≤ r n ∈ 4r ∴=()22642233553405T C x xx ∴==展开式中系数最大的项为…………………… 12分19.解： 因为()()+∞∈,11,0 m当命题p 为真命题时，1m >……………………2分当[]1,1a ⎡⎤∈-⎣⎦∴q 命题恒成立，即是2593m m -+≥ ∴20≤<m 或3≥m …………………… 6分由q p ∨真，q p ⌝⌝∨真，则命题p 与q 必有一真一假 当p 真且q 假时，⎩⎨⎧<<>321m m 得32<<m ；当p 假且q 真时，⎩⎨⎧≥≤<≤<3,2010m m m 得10≤<m∴10<<m 或32<<m故m 的取值范围是()()3,21,0 …………………… 12分20.解：1.当0m =时，方程变为440x +=，其根为1x =-……………………2分方程只有一个负实数根．2.当0m ≠时，由01616≥-=∆m ，有1≤m设方程212440,mx x x x ++=两根为当1m =时，方程为24402x x x ++==-有且只有一个负实数根……………8分当1m <时，由0421<=mx x 得，0<m …………………… 11分 综上得方程2440mx x ++=有且只有一个负实数根的充要条件是 01m m ≤=或…………………… 13分21.解：（1）依题意有4PM PN MN ++=又MN = PM PN ∴+=于是动点P 到两定点M N 、的距离和为定值((00P E M N ∴-点的轨迹是以，、为焦点长轴长为设椭圆方程为()222210y x a b a b+=>>则a b == ((2224b ∴=-=()2210412x y E x ∴+=≠轨迹的方程为： ．…………………… 5分 （2）设AC 的方程为kx y =，其中θtan =k ，其中⎥⎦⎤⎝⎛∈4,0πθ． 则10≤<k ，联立⎩⎨⎧=+=12322y x kxy ，得 123222=+y k x∴22222312,312k k y k x +=+=……………………8分4222222269144312312k k k k k k y x ++=+⨯+=2269144k k ++=22224221441449966R x y R R R R==++++．…………………… 10分 ∵函数229kk t +=在()3,02∈k 时是单调递增函数又∵10≤<k∴12=k 时，t 取得最小值10 2221441210616x y ∴≤=+即1234xy ≤=,412ABCD S xy ∴=四边形的最大值为，此时4πθ=．……………………13分。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题 文 (无答案)新人教A版
数 学 试 题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7+=x y ，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高一定是145.83 cmB ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 左右D ．身高在145.83 cm 以下2．已知命题p ：N n ∈∃,10002>n，则p ⌝为( )A ．N n ∈∀,10002≤nB ．N n ∈∀,10002>nC ．N n ∈∃,10002≤nD ．N n ∈∃,10002<n3．“若y x >，则22y x >”的逆否命题是( )A ．若y x ≤，则22y x ≤ B ．若y x >，则22y x < C ．若22y x ≤，则y x ≤D ．若y x <，则22y x <4. ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．4πB.14π-C.8π D.18π-5．已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如右图， 则关于)(x f y =正确的选项是( )A ．在)0,(-∞上为减函数B ．在0=x 处取得最大值C ．在),4(+∞上为减函数D ．在2=x 处取得最小值6.在如图所示的流程图中，若输入值分别为0.820.82,(0.8),log 1.3a b c ==-=，则输出的数为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．不确定7．斜率是1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是（ ）A ．2B ．4C ．42D ． 88．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-9．过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-P 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．01335=--y xB ．01335=-+y xC ．01335=+-y xD ．01335=++y x10. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡相应位置上．) 11.为了检验某种产品的质量，决定利用随机数表法从300件产品中抽取5件检查，300件产品编号为000,001,002，…，299，下图为随机数表的第7行和第8行，若选择随机数表第7行第5列作为起始数字，并向右读数，得到的样本号码为 .第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 第8行63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7912.抛物线2x y =的焦点坐标为 .13.某工厂生产的产品中，出现二级品的概率是0.07，出现三级品的概率是0.03，其余都是一级品和次品，并且出现一级品的概率是出现次品概率的9倍，则出现一级品的概率是 .14．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ． 15．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次， 投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为2s ＝ .16．从4名女生和2名男生中选出3名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 .17．若双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 的一条渐近线的倾斜角是60°，则椭圆12222=+ny m x 的离心率是 .三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（本小题满分12分）设p :实数x 满足3a x a <<,其中0a >,:q 实数x 满足23x <≤. (Ⅰ)若1,a =且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.（本小题满分13分）某市5000名学生参加高中数学毕业会考，得分均在60分以上，现从中随机抽取一个容量为500的样本，制成如图1所示的频率分布直方图．(Ⅰ)由频率分布直方图可知本次会考的数学平均分为81分，请估计该市得分在区间]70,60[的人数；(Ⅱ)如图2所示茎叶图是某班男女各4名学生的得分情况，现用简单随机抽样的方法，从这8名学生中，抽取男、女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率．（第19题图1）75 7145 06678女男（第19题图2）20.（本小题满分13分）一艘轮船在航行中的燃料费Q 和它的速度x 的立方成正比，即3Q kx =，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元. (Ⅰ)求k ；(Ⅱ)若此轮船要行驶t 小时，问它以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用和最小？21．（本小题满分13分）如图，已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为3，点A 、B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为65. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点)0,3(E ，设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP EQ ⊥，求QP EP ⋅的最小值.22. （本小题满分14分）已知函数321()(2)41()532mf x mx x xg x mx =-+++=+，． （Ⅰ）当4≥m 时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在0<m ，使得对任意的1x 、2x ∈[2，3]都有12()()1f x g x -≤，若存在，求m 的范围；若不存在，请说明理由．。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版
数 学 试 题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．命题：“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是 ( ) A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在03200,10x R x x ∈-+≤ C. 存在03200,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>2．椭圆22143x y +=的焦距为( )A. 1C. 2D. 3．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知函数xe x xf )3()(-=，则(0)f '＝（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 45．斜率是1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是（ ）A ．2B ．4C ．D ． 86．在区间[0,4]内随机取两个实数,a b ，则使得方程220x ax b ++=有实根的概率是( ) A ．14B ．13C ．16D ．567．过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-P 的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．01335=--y xB ．01335=-+y xC ．01335=+-y xD ．01335=++y x8. 已知函数()f x 的图象是下列四个图象之一，且其导函数()f x '的图象 如右图所示，则该函数的图象是( )9．已知函数3()3f x x x a =-+有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2][2,)-∞⋃+∞C ．(2,2)-D ．[-2,2]10. 如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是( )A ．2B ．3C ．23 D ．26 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡相应位置上．) 11. 在区间[-1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 .12. “若y x >，则22y x >”的逆否命题是13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米，水面宽4米， 水位下降2米后，水面宽 米.14．函数24(),[2,2]1xf x x x =∈-+的最大值是________，最小值是________．ADCB13题图OxyA BF 1F 21015．已知O 为原点，在椭圆2213627x y +=上任取一点P ，点M 在线段OP 上,且13OM OP =,当点P 在椭圆上运动时，点M 的轨迹方程为 .16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 .17．若直线1y kx =+与曲线21x y =+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（本小题满分12分）设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．19. （本小题满分13分）已知双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0a b >>)的与双曲线13:222=-y x C 有公共渐近线，且过点10A （，）. （1）求双曲线1C 的标准方程（2）设F 1、F 2分别是双曲线1C 左、右焦点．若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S.20. （本小题满分13分）设2()61025f x lnx ax ax a =+-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点(0,6).（1）求a 的值; （2）求函数()f x 的单调区间与极值.21. (本小题满分13分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-.（1）求此抛物线的方程;（2）已知点(1,0)B -，设直线:(0)l y kx b k =+≠与抛物线C 交于不同的两点1122(,),(,)P x y Q x y ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点，并求出该定点坐标.22. （本小题满分14分）如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中斜率为k 的直线1l 交圆2C 于A,B 两点,2l 交椭圆1C 于另一点D （1）求椭圆1C 的方程; （2）试用k 表示ABD ∆的面积S;（3）求ABD ∆面积S 取最大值时直线1l 的方程.xOyBl 1l 2PDA（第22题图）参考答案CCBBD,A ABCD11.3112.若22y x ≤，则y x ≤ 13.14．2 ;－2 15． 22143x y += 16． 6 17．1k <<- 18．若p 为真，则24020m m m ⎧∆=->⇒>⎨-<⎩若q 为真，则216(2)1616(1)(3)013m m m m ∆=--=--<⇒<< 由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 和q 一真一假①若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒⎨⎩≥≤或≥②若p 假q 真，则2213m km m ⎧⇒⎨<<⎩≤≤ 综上知12m <≤或3m ≥19.解：（1）2213y x -=，（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+-12mn ∴= 11sin 601222S mn ∴==⨯=20.（1）因为6()2(5)f x a x x'=-+令1,(1)16,(1)68,()x f a f a y f x '===-=得所以曲线 在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--由点(0,6)在切线上可得161686,2a a a -=-=故.（2）由（1）知，21()(5)6ln (0)2f x x x x =-+>，6(2)(3)()5x x f x x x x --'=-+=令()0f x '=，解得122,3x x ==当02x <<或3x >时，()0f x '>，故()f x 在(0,2),(3,)+∞上为增函数；当23x <<时，()0f x '<，故()f x 在(2,3)上为减函数.由此可知，()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln3f =+ 21. 解：(1) x y82=(2)将28y kx b y x =+=代入中，得222(28)0k x bk x b +-+=， 其中32640kb ∆=-+>由根与系数的关系得，12282,bkx x k-+= ①2122.b x x k =② ∵x 轴是∠PBQ 的解平分线， ∴121211y yx x =-++，即1221(1)(1)0,y x y x +++=∴1221()(1)()(1)0kx b x kx b x +++++=，∴12122()()20kx x b k x x b ++++=，③ 将①②代入③并整理得222()(82)20kb k b bk k b ++-+=，∴k b =-，此时△>0 ∴直线l 的方程为(1)y k x =-，即直线l 过定点(1,0).22.解:(1)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (2)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==; 由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22S AB DP ===(3)S ==2323213==≤=++当252k k=⇒=⇒=时等号成立, 此时直线，1:1l y=-。
黄冈市数学高二上期末经典测试卷(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13326]如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1xy e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 2．(0分)[ID ：13318]某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．(0分)[ID ：13312]将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．2154．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤5．(0分)[ID ：13295]如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯6．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn7．(0分)[ID ：13283]把8810化为五进制数是（ ）A ．324(5)B ．323(5)C ．233(5)D ．332(5)8．(0分)[ID ：13275]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．1010B ．2019C ．2020D ．30309．(0分)[ID ：13263]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ）A ．310B ．25C ．12D ．3510．(0分)[ID ：13261]甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（ ） A ．14B ．34C ．916D ．71611．(0分)[ID ：13241]根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( )x 8 10 11 12 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．(0分)[ID ：13234]执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（ ）A ．1次B ．2次C ．3次D ．4次13．(0分)[ID ：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．127B ．29C ．49D ．82714．(0分)[ID ：13267]如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设36DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．37B ．217C ．413D ．2131315．(0分)[ID ：13246]在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13B ．2πC ．12D ．23二、填空题16．(0分)[ID ：13416]现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．17．(0分)[ID ：13397]某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．18．(0分)[ID ：13391]利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．19．(0分)[ID ：13383]某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________20．(0分)[ID ：13371]执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．21．(0分)[ID ：13363]对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y（1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆy bx=+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.22．(0分)[ID ：13354]把十进制数23化为二进制数是______．23．(0分)[ID ：13339]父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________． 24．(0分)[ID ：13338]执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．25．(0分)[ID ：13330]在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13510]为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元，具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.（1）若该高中学校有2000名在校学生，编号分别为0001，0002，0003，…，2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.（写出必要的步骤） （2）该校根据助学金政策将助学金分为3档，1档每年3000元，2档每年2000元，3档每年1000元，某班级共评定出3个1档，2个2档，1个3档，若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想，求这2名同学不在同一档的概率.27．(0分)[ID ：13508]随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.28．(0分)[ID ：13463]某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： 质量指标值 [)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228（1）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）. 质量指标值分组频数 频率 [)75,8560.06[)85,95[)95,105 [)105,115 [)115,125合计100129．(0分)[ID ：13443]为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A 为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P （A ）=0.75.（1）求,a b 的值；（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.30．(0分)[ID ：13442]某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按[)90,100，[)100,110，…，[]140,150分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：（1）求m的值；（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；130,150内的同学中随机选（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在[]出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．C4．B5．C6．C7．B8．D9．D10．D11．A12．C14．A15．A二、填空题16．1【解析】【分析】设这10个数为则这组数据的方差为：由此能求出这组数据的标准差【详解】现有10个数其平均数为3且这10个数的平方和是100设这10个数为则这组数据的方差为：这组数据的标准差故答案为117．【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为这名运动员在赛场上的2次罚球中至少有一次命中的概率为故答案为【点睛】本题考查概率的求法考查对立事件概率计算公式18．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：19．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考20．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出21．【解析】【分析】由题意求得样本中心点代入回归直线方程即可求出的值【详解】由已知代入回归直线方程可得：解得故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程求出横坐标和纵坐标的平均数写出样本中心点将其代入线性回归22．【解析】【分析】利用除取余法将十进制数除以然后将商继续除以直到商为然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案【详解】故【点睛】本题主要考查的是十进制与其他进制之间的转化其中熟练掌握除取余法的方法步骤是23．【解析】分析：设爸爸到家时间为快递员到达时间为则可以看作平面中的点分析可得全部结果所构成的区域及其面积所求事件所构成的区域及其面积由几何概型公式计算可得答案详解：设爸爸到家时间为快递员到达时间为以横24．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该25．512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换得结果详解：因为四位八进制数最小数为所以点睛：本题考查不同进制数之间转换考查基本求解能力三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．C解析：C 【解析】 【分析】将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.4．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。
2024届湖北黄冈数学高二上期末检测试题含解析
2024届湖北黄冈数学高二上期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为5，则C 的渐近线方程为（）A.2y x =±B.2y x =±C.12y x =±D.y x =±2．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A ，B 两种卡车，其中A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，以备不时之需，若x和y 满足约束条件42320?26y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩则最多需调用卡车的数量为（ ）A.7B.9C.13D.143．过抛物线26y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（ ） A.62 B.63 C.32D.334．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为21米，则以下说法不正确（ ）A.底面边长为6米B.体积为3C.侧面积为243平方米D.侧棱与底面所成角的正弦值为555．已知等差数列{}n a 中的3a 、7a 是函数()321261f x x x x =-+-的两个不同的极值点，则25log a 的值为（） A.12B.1C.2D.36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 A.OM OA OB OC =++ B.23OM OA OB OC =++ C.111222OM OA OB OC =++ D.111333OM OA OB OC =++ 7． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{}n a 的第n 项，则50a 的值为（）A.1225B.1275C.1326D.13628．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (2)=2, ()1f x '>，则f (x )＞x 的解集是（ ） A.(0,2) B.(2,0)(0,2)-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,)+∞9．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且2=PM MC ，=PN ND ，=++NM xAB y AD z AP ，则x y z ++=（ ）A.23- B.23 C.1D.5610．椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B.433y x =±C.393y x =±D.3913y x =±11．已知向量(2,1,3),(,2,1)a b x x ==-，若a b ⊥，则x =（） A.5- B.5 C.4D.1-12．已知一个乒乓球从m 米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的()01k k <<倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ） A.()8211mk k m k -+-B.()811mk k m k -+-C.()7211mk k m k-+-D.()711mk k m k-+-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学-高二湖北省武汉市部分重点中学2011至2012学年高二上学期期末联考数学理科试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项是正确的）． 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．12(2,3),(4,6)e e =-=- 2．若A ，B 为互斥事件，则（ ）A ．()()1P A PB +> B ．()()1P A P B +=C ．()()1P A P B +<D ．()()1P A P B +≤3．将两个数8,17a b ==交换，使得17,8a b ==，下列语句正确的是（ ）A ．,a b b a ==B ．,,c b b a a c=== C ．,b a a b== D ． ,,a c c b b a ===4．随机变量ξ服从正态分布(2,10)N ,若ξ落在区间()(),,k k -∞+∞和的概率相等，则k =（ ）A ．1B ．10C ．2D ．105．如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ）A ．3 B ．33C ．3 D ．336．若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 47．如图是甲、乙两名射击运动员射击6次后所得到的成绩的茎叶图（茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字），由图可知（ ）A ．甲、乙的中位数相等，甲、乙的平均成绩相等B ．甲的中位数比乙的中位数大，乙的平均成绩好C ．甲、乙的中位数相等，乙的平均成绩好甲 乙 5 1 8 1 68 9 4 9 7 5D ．甲的中位数比乙的中位数大，甲、乙的平均成绩相等8．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有 （ ）A ．900个B ．720个C ．648个D ．504个 9．把函数()sin(2)6f x x π=+的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移3π个单位长度，则所得图象的解析式为（ ） A ．sin(4)6y x π=-B ．cos y x =C ．7sin(4)6y x π=-D ．sin()6y x π=- 10．若log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A .(0,1) B . (1,2) C . (0,2) D . [2,)+∞二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知1sin(),(,0),232ππαα+=∈-则tan α= 12．校田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则抽出的男运动员比女远动员多 人13．91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是14．执行如右图所示的程序框图,输出的T=15．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++，……可以推测，A B -=三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且33111,422a S ==；求1a 和公比q17．（本小题满分12分）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()b c a bc -=-（1）求角A 的大小； （2）求sin sin B C +的范围 18．（本小题满分12分）某地位于甲乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发洪水的概率为0.25，乙河流发洪水的概率为0.18，（假设两河流发洪水与否互不影响）现有一台大型设备在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需要花费4000元方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但只能抵御一个河流的洪水，当两河流同时发洪水时，设备损失约56000元方案3：不采取措施，当两河流同时发洪水时，损失约60000元，只有一条河流发洪水时损失为10000元（1）试求三种方案中损失费321,,ξξξ（随机变量）的分布列（2）试比较哪一种方案更好19．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC ＝AD ＝2，BC ＝CD ＝1.（1）求四面体ABCD 的体积； （2）求二面角C －AB －D 的平面角的正切值．20．（本小题满分12分）某市十所重点中学进行高二联考共有5000名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为 ， ， ， ；（2）在所给的坐标系中画出[80,150]上的频率分布直方图；（3）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数； ②平均分；③成绩在[126,150]中的概率21．（本小题满分14分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=；（1）若直线l 与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等，求直线l 的方程（2）过点()1,1M -的直线1l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为P ；求P 点轨迹方程分组 频数 频率 [80,90） ① ②[90,100） 0.050[100,110） 0.200[110,120） 36 0.300[120,130） 0.275 [130,140） 12 ③ [140,150] 0.050 合计 ④ 成绩(分) 频率/组距武汉市部分重点中学期末联考高二数学（理）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B D B C D C C C D B1. 【必修4,118页，A组第2（6）题】；2. 【必修3,123页第1题】；8.【选修2-3,19页，例题4】二、填空题：（5⨯5=25）三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）等比数列{}na中，前n项和为nS，且33111,422a S==；求1a和公比q解：依题意有()23122123132912a a qS a a a a q q⎧==⎪⎪⎨⎪=++=++=⎪⎩……………6分解得11632112aaq q=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=⎩⎩或……………12分（说明：若用求和公式nS，需分11q q=≠和两类讨论，酌情给分）17．（本小题满分12分）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()b c a bc -=- （1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的范围解：（1）由22()b c a bc -=-得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,,3A A ππ∈∴=……………6分（2）22,333A B C C B πππ=∴+==-，则23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 是锐角三角形02262032B B B πππππ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<-<⎪⎩解得：2sin 136326B B ππππ⎛⎫∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭，3sin sin 2B C ⎛∴+∈ ⎝ ……………12分18．（本小题满分12分）【选修2-3 ，第63页例3改编】某地位于甲乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发洪水的概率为0.25，乙河流发洪水的概率为0.18，（假设两河流发洪水与否互不影响）现有一台大型设备在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需要花费4000元方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但只能抵御一个河流的洪水，当两河流同时发洪水时，设备损失约56000元方案3：不采取措施，当两河流同时发洪水时，损失约60000元，只有一条河流发洪水时损失为10000元（1）试求三种方案中损失费321,,ξξξ（随机变量）的分布列 （2）试比较哪一种方案更好 解：（1）21,ξξ的分布列为……………4分3ξ所有可能的取值为0，10000，60000P（3ξ=0）=0.75x0.82=0.615P（3ξ=10000）=0.25x0.82+0.75x0.18=0.34P（3ξ=60000）=0.25x0.18=0.045故3ξ的分布列为（2）6100)(,3520)(,4000)(121===ξξξEEE故方案2的平均损失最小，方案2最好，方案1次之，方案3最差…………12分(2)如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE.由(1)知DF⊥平面ABC.由三垂线定理知DE ⊥AB，故∠DEF为二面角C－AB－D的平面角．在Rt△AFD中，AF＝AD2－DF2＝22－1542＝74，在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF∶BC＝AF∶AC，所以EF＝AF·BCAC＝78.在Rt△DEF中，tan∠DEF＝DFEF＝2157. (12)分（说明：若用空间向量法，酌情给分）20．（本小题满分12分）某市十所重点中学进行高二联考共有5000名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：3ξ0 10000 60000P 0.615 0.34 0.045分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）36 0.300频率/组距（1）根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为 ， ， ， ；（2）在所给的坐标系中画出[80,150]上的频率分布直方图；（3）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数； ②平均分；③成绩在[126,150]中的概率解（1）①，②，③，④处的数字分别为 3 ， 0.025 ， 0.100 ， 1 ；………………4分（2）…………6分（3） ① （0.275+0.100+0.050）×5000=2125 ……………………8分② 85×0.025+95×0.050+105×0.200+115×0.300+125×0.275+135×0.100+145×0.050=117.5 …………………………………10分 ③ P=0.4×0.275+0.10+0.050=0.260 ……………………………………………12分21．（本小题满分14分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=；（1）若直线l 与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等，求直线l 的方程（2）过点()1,1M -的直线1l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为P ；求P 点轨迹方程证明：（1）由()()22122x y ++-=，得圆心()122C r -=，， ┈┈┈┈┈┈┈1分由直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等可假设：[120,130） 0.275 [130,140） 12 ③ [140,150] 0.050 合计④成绩(分) 频率/组距○1当相等的截距为0时，设直线:l y kx =即0kx y -==2k =∴直线2l的方程为：(2y x =± ┈┈┈┈┈┈┈ 4分○2当相等的截距不为0时，设直线:1(0)x yl a a a+=≠即0x y a +-==13a a =-=或∴直线l 的方程为：1030x y x y ++=+-=或 ┈┈┈┈┈┈┈ 7分综合○1○2可得，直线l 的方程为：1030x y x y ++=+-=或或(2y x =┈┈ 8分（2）由PC AB ⊥得PC PM ⊥∴点P 的轨迹是以MC 为直径的圆，圆心为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为12，， 则P 点轨迹方程为：()2231124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ ┈┈┈┈┈┈┈ 14分（说明：若（2）用斜率求，注意挖点、补点；若用解析法，酌情给分）。
黄冈市数学高二上期末经典测试卷(含答案)(1)
一、选择题1．(0分)[ID：13325]执行如图的程序框图，若输入1t=-，则输出t的值等于( )A．3B．5C．7D．152．(0分)[ID：13323]口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（）A．910B．710C．310D．1103．(0分)[ID：13316]已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A．85B．84C．83D．814．(0分)[ID：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S=（单位：升），则输入k的值为A．6 B．7 C．8 D．95．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤6．(0分)[ID ：13308]执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34-7．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元8．(0分)[ID ：13289]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A．7B．4C．5D．119．(0分)[ID：13276]在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．1310．(0分)[ID：13266]已知线段MN的长度为6，在线段MN上随机取一点P，则点P到点M，N的距离都大于2的概率为()A．34B．23C．12D．1311．(0分)[ID：13260]要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A．5个B．10个C．20个D．45个12．(0分)[ID：13247]从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )．A．①B．②④C．③D．①③13．(0分)[ID：13241]根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是9944y x=+，则表中m的值为()x810111214y2125m2835 A．26B．27C．28D．2914．(0分)[ID：13230]有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A．48B．60C．64D．7215．(0分)[ID：13273]如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度二、填空题16．(0分)[ID：13424]北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个E X ______________．数为X，则()17．(0分)[ID：13417]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．18．(0分)[ID ：13407]小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)19．(0分)[ID ：13394]ABCD 为长方形，AB =3，BC =2，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．20．(0分)[ID ：13376]某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
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湖北省黄冈中学2011年秋季高二期末考试
数 学 试 题（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．）
1．已知命题p ：N n ∈∃,10002>n ，则p ⌝为( )
A ．N n ∈∀,10002≤n
B ．N n ∈∀,10002>n
C ．N n ∈∃,10002≤n
D ．N n ∈∃,10002<n
2．已知2~(0,)(20)0.4,(2)N P P ξσξξ-≤≤=>且则的值为（ ）
A ．1.0
B ．2.0
C ．3.0
D ．4.0
3.ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )
A ．
4π B.14π- C.8π D.18π-
4.已知n x x
)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）
A. 20-
B.20
C.15-
D.15
5.在如图所示的流程图中，若输入值分别为
0.820.82,(0.8),log 1.3a b c ==-=，
则输出的数为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．不确定
6.大熊猫活到十岁的概率是8.0，活到十五岁的概率是6.0，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是( )
A ．48.0
B ．6.0
C ．75.0
D ．3
4
7．过椭圆15
62
2=+y x 内的一点)1,2(-P 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A ．01335=--y x
B ．01335=-+y x
C ．01335=+-y x
D ．01335=++y x
8．右图实线是函数()(02)y f x x a =≤≤的图象，它关于点),(a a A 对称. 如果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（ ）
A B ．1 C ．2 D 9．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
A ．1024种
B ．1023种
C ．1536种
D ．1535种
10. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，
若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲
线是（ ）
A. 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．)
11.为了检验某种产品的质量，决定利用随机数表法从300件产品中抽取5件检查，300件产品编号为000,001,002，…，299，下图为随机数表的第7行和第8行，若选择随机数表第7行第5列作为起始数字，并向右读数，得到的样本号码为 .
第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 第8行63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
12.抛物线22x y =的焦点坐标为 .
13. 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，则成功次数的标准差的最大值为 .
14．从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 .
15．已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分12分）某市5000名学生参加高中数学毕业会考，得分均在60分
以上，现从中随机抽取一个容量为500的样本，制成如图1所示的频率分布直方图． (Ⅰ)由频率分布直方图可知本次会考的数学平均分为81分，请估计该市得分在区间
]70,60[的人数；
(Ⅱ)如图2所示茎叶图是某班男女各4名学生的得分情况，现用简单随机抽样的方法，从这8名学生中，抽取男、女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率．
17.（本小题满分12分）已知(1,0)B -、(1,0)C ，ABC ∆的顶点A 在x 轴的上方，且BC 边上的高是1，求ABC ∆的垂心H 的轨迹方程(垂心为三角形三条高线的交点)．
18．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,:q 实数x 满足
2260280
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩. (Ⅰ)若1,a =且q p ∨为真，求实数x 的取值范围；
(Ⅱ)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
（第16题图1）
19.（本小题满分12分）若双曲线过点，其渐近线方程为y =.
（I ）求双曲线的方程;
（II ）已知双曲线的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上,021=⋅MF MF ,求点M 到x 轴的距离.
20．（本小题满分13分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
（I ）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
（II ）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m 元的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是2
1,请问，商场应将每次中奖奖金m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
21.（本小题满分14分）给定椭圆2
222:1(0)y x C a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为
C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴的一个端点到
2F
（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随
圆”所得的弦长为m 的值；
（Ⅲ）过椭圆C “伴随圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公
共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.。