六年级奥数—— 不定方程
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
小学奥数知识点：不定方程
小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
六年级奥数不定方程
六年级奥数 不定方程【知识要点】如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。
不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。
不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a 、b 、c 为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。
一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
不定方程通常利用不等式及整除性来求解。
【典型例题】例1 一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。
”你知道李军的生日是几月几日吗？分析：如果设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。
解：设李军生日的月份数为x ，生日的日期数为y ，列方程：31x+12y=347变形后得： y=1231347x -………………………………………………………………（1） 即y=29-3x+1215-x ∵x 、y 为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除∴x=5 把x=5代入（1），得所列方程的整数解为: 答：李军的生日是5月16日。
例 2 我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”分析：该题共有三个未知数，若设买公鸡x 只，买母鸡y 只，买小鸡z 只，则可建方方程5x+3y+31×（100-x-y ）=100 化简整理得：7x+4y=100由此有：1≤x≤7100 即1≤x≤14 注意到100和4y 都是4的倍数，而7和4互质，所以x 也应是4的倍数，x 就是三种可能：4、8、12。
六年级奥数学习讲义 第40讲 不定方程 练习及答案
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级上册奥数第八讲不定方程
第八讲不定方程一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。
古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。
例题精讲例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。
问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得了61分。
问:小鸡至多被套中多少次?例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。
张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。
每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?同步训练1、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?2、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
奥数题不定方程
不定方程知识梳理:一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题：模块一、利用整除性质解不定方程【例1】求方程2x-3y=8的整数解练习：求方程2x+6y=9的整数解【例2】求方程4x+10y=34的正整数解练习：求方程3x+5y=12的整数解模块二、利用余数性质解不定方程【例3】求不定方程7x +11 y = 1288的正整数解有多少组?【例4】求方程3x+5y=31的整数解练习：解方程7x + 4y = 89 ,（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组5% + 3y + 3 Z =100 （其中x 、y 、z 均为正整数）% + y + z = 100二元一次方程组的解法代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一 次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解 的方法.代人消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重 要思想，代人法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方 法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个 未知数如％的代数式表示出来，即写成y = a% + b 的形式；②y = ax + b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于％的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出％的值；【例5】解方程 1800a +1200b + 800c =16000 （其中a 、b 、c 均为正整数） 练习：解不定方程/④回代求解：把求得的％的值代入y = ax + b 中求出y 的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成r =a 的形式.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元 一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知 数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程; ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成［x = a 的形式.例6：解下列方程练习：解下列方程⑵[4 x - 5 y =1[4 x - y = 13一、填空题1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且A入&r ,△+☆二.A+ ☆= 37 ----------2.箱子里有乒乓球若干个，其中25%是一级品|五分之几是二级品，其余91 个是三级品.那么，箱子里有乒乓球个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵，且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.4.不定方程2x + 3y + 7z = 23的自然数解是5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.2 5 76.有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a上,b-,c 7.已知a,b,c3 6 8都小于 10, a, b, c依次为,,.7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的1 1-和全部咖啡（若干碗）的1.那么，全家有口人.4 6 -------18.某单位职工到郊外植树，其中1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种 313棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.9.将一个棱长为整数（单位:分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有12 块，仅有2面涂红色的有28块，仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么，李林应退回的款额是元.二、解答题11. 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22 人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客？12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种, 每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果, 并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望？13.一次数学竞赛准备了 22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支，问：获一、二、三等奖的学生各几人？14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10 元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100 元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个？。
小学奥数-不定方程(教师版)
小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。
当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。
不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。
在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。
因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。
不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。
但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。
题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。
然而，这种情况下的解不止一种。
不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。
解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。
因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。
因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。
因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。
代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。
问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。
设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。
y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。
又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。
六年级奥数第二十四讲 不定方程 全集
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
六年级上奥数第3讲 不定方程
六秋第3讲不定方程一、教学目标当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
二、例题精选【例1】求下列方程的自然数解：①23x+16y=500 ②39x+30y=267【巩固1】求下列方程的自然数解：①3x+5y=127 ②11x+12y=160【例2】小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400.你知道小明的生日是几月几日吗?【巩固2】有大小、两种蛋糕。
一个大蛋糕够7个人吃，一个小蛋糕够4个人吃。
现在有100人需要招待，应该分别准备大、小蛋糕多少个才不会浪费？【例3】张师傅每天能缝制 3 件上衣，或者 9 件裙裤，李师傅每天能缝制 2 件上衣，或者 7 件裙裤，两人 20 天共缝制上衣和裙裤 134 件.那么其中上衣是多少件？【巩固3】要把一根长 36.9 厘米的木料锯成长 3.9 厘米和 6.9 厘米两种规格的小木料.每锯一次要耗损0.1厘米的木料，要求除了每次锯木时的损耗外不能浪费.那么这两种规格的木料各锯多少段?【例4】 某工厂为优秀职工发奖金,一等奖每人 1800 元,二等奖每人 1200 元,三等奖每人 800 元,每种奖都有人领,共有 15 名优秀职工领有奖金的总数为 16000 元, 获得一、二、三等奖的职工各有多少人?【巩固4】有 100 个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地 22 人，每个排球场地 12 人，每个篮球场地 10 人，他们共占了 8 个场地.问：其中足球场、排球场和篮球场各几个?【例5】 某次聚餐，每一位男宾付130 元，每一位女宾付100 元，每带一个孩子付60元，现有31的成人各带了一个孩子，主办方总共收到了2160元。
六年级知识点不定方程
六年级知识点不定方程不定方程是数学中的一个重要概念，对于六年级的学生来说，掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。
本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。
一、不定方程的概念不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定，通常表示为形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的系数，x、y为未知数。
不定方程中，我们需要找到满足方程的整数解。
二、不定方程的解法1. 列举法列举法是最常用的解不定方程的方法。
具体步骤是：（1）将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值，列出方程的多组解；（2）逐个验证所列出的解是否满足原方程，验证通过即为方程的解。
2. 辗转相除法当方程中的系数a、b较大时，使用列举法效率较低，这时可以尝试使用辗转相除法。
具体步骤是：（1）先令a、b互换，使得a > b；（2）用b去除以a，得到余数r；（3）如果r为0，则a为原方程的最大公约数，b为原方程的解之一；（4）如果r不为0，则继续用r去除以b；（5）重复以上步骤，直到余数为0为止，最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。
三、不定方程的应用不定方程在实际生活中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 整数约分在分数的运算中，我们需要进行整数的约分操作。
不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数，从而进行有效地约分操作。
2. 货币找零问题在日常购物中，我们经常遇到需要找零的情况。
不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数，从而进行合理的找零操作。
3. 奥数问题奥数中有很多涉及不定方程的问题，掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题，提高奥数竞赛的成绩。
四、总结六年级的学生通过掌握不定方程的概念、解法及应用，可以提高数学解题的能力，为提高数学成绩打下坚实基础。
在实际生活中，不定方程的应用也随处可见，能够帮助我们解决各种问题。
以上是关于六年级知识点不定方程的相关介绍。
通过学习和掌握，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩！。
六年级奥数拉分提升-第33讲不定方程
不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。
1．倍数确定法
2．尾数确定法
3．余数确定法
4．崔氏瞪眼法
5．蒙猜凑试多位一体傻算法
(★★)
搞定以下三个小题，别用傻算法啦(*^__^*)
()145100x y +=
()24598x y += ()34599x y +=
(★★★)
求7x ＋19y ＝213的所有正整数解。
(★★★)
崔气球把他的生日的月份乘以30，日期乘以11，然后加起来和数是350，他是生日是几月几日？
(★★★)
大客车有48个座位，小客车有30个座位.现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位。
需要大、小客车各多少辆？
(★★★)
豆花和麦口是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。
若是早晨见面，豆花叫两声，麦口叫一声；若是晚上见面，豆花叫两声，麦口叫三声。
帅帅对它们的叫声统计了不定方程。
小学六年级奥数不定方程(最新)
【#小学奥数# 导语】方程（equation）是指含有未知数的等式。
是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。
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1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角，彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。
问圆珠笔和彩色日记本各买多少，才使钱正好用光？答案：圆珠笔11支，笔记本1本。
2、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整数解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：x只能取奇数x=1，y=8.5舍去x=3，y=5满足x=5，y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，三等奖每人1只，一、二、三等奖的学生各有几人？4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头。
不定式方程(六年级)
不定式方程(六年级)一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程.叫做二元一次方程.由于它的解不唯一.所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程.它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值.或者消去一个未知数.这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程.按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数.同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解.若有.求出所有正整数解．【1】；【2】；【3】；【4】．【1】【2】【3】【4】无整数解解析：【1】..所以.即得.【2】..所以.．【3】..所以.．【4】..所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数.并且.则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37.易知其自然数解为△=2.☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数.化成带分数后为．已知a.b.c都小于10.a.b.c依次为__________.__________. __________．答案：7.3.2由题意有．解这个不定方程.得．例1.1.4、已知代表两位整数.求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里.大盒每盒装12个.小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个.才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个.小盒6个或者大盒2个.小盒18个解析：设需要x个大盒子.y个小盒子.依题意得：.解得.．所以需要大盒9个.小盒6个或者大盒2个.小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树.其中有男职工.也有女职工.并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树.女职工每人种10棵树.每个孩子种6棵树.他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工.y名女职工.则孩子有名.依题意得：.整理得：.化简得.解得...其中只有时才是整数.所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物.若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元.乙一件要y元.丙一件要z元.丁一件要w元.依题意得：注意到题目要求的是.所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少.想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易.一个比较明显的是可以求出.可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样.得.得.所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．【当然本题可以直接看出得到】例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管.加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子.那么被截出的管子一共长厘米．由.得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数.所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽.那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数.小于380且能被12整除的最大自然数是372.而的自然数解是存在的.如.也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子.能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60张.其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张.1角的有y张.1元的有z张.10元的有w张.依题意得.得.很明显等号左边是9的倍数.而等号右边不是9的倍数.所以无自然数解.故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码.用这些砝码.不能称出的最大整数克重量是多少？【砝码只能放在天平的一边】答案：191解析：设用了x个13克的砝码.y个17克的砝码.要称的重量为c克.依题意.就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论.c最大取时.无自然数解.所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油.用这两个空桶要倒出1升汽油.至少需要倒多少次？26次解析：依题意.模拟的倒几次后会发现.本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中.这个解明显要小.下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中.还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升.还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升.还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升.还剩1升．可以看出.每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升.每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升.所以两个小桶中量出的1升可以看做是.倒进的1.7x减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时.七年级新生人数在500～1000范围内.男、女生的比例为．到八年级时.由于收40名转学生.男、女生的比例变为．请问.该年级入学时.男、女生各有多少人？答案：男生320人.女生280人设开始时共人.后来变为人.则.．易知a为8的倍数.b为5的倍数.故可设..方程化简为.且．解得..入学时总人数为人.男生320人.女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上.某班组织了一场飞镖比赛．如图.飞镖的靶子分为三块区域.分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖.脱靶不得分.投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖.要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖.要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：【1】.则；【2】.则；【3】.则；【4】.则．答案：【1】【2】【3】无解【4】解析：枚举法．随练1.2、小高有若干张8分的邮票.墨莫有若干张15分的邮票.两人的邮票总面值是99分.那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张.15分邮票y张.依题意得：.解得.所以小高有3张8分邮票．随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里.大盒每盒装25个.中盒每盒装20个.小盒每盒装16个．现共装了24盒.则用了__________个大盒．随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分.其中面值20分的邮票售价5元.面值40分的邮票售价8元.面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票.那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张.40分的邮票3张.50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票.y张40分的邮票.z张50分的邮票.依题意得：.消y得.解得..…….同时还要满足y为整数.经验证当时.符合题意.所以买了20分的邮票3张.40分的邮票3张.50分的邮票13张．课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数.即方程有11组自然数解．作业2、求的所有整数解．答案：为任意整数】解析：先找出一组基本的解.然后写出所有解即可．作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值.把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程.再进行计算．正整数解如下：．作业4、设A和B都是自然数.并且满足．那么__________．答案：3解析：.又因为A、B为自然数得.．作业5、有两种不同规格的油桶若干个.大油桶能装8千克油.小油桶能装5千克油.44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个.小油桶__________个．答案：大油桶3个.小油桶4个解析：设有x个大油桶.y个小邮桶.依题意得.解得.所以有3个大油桶.4个小邮桶．作业6、新学期开始了.几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人.每名老师能搬12本.每名男生能搬8本.每名女生能搬5本.恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名.男生2名.女生8名解析：设搬书的老师有x名.男生有y名.女生有z名.依题意得：.消去z得.解得.所以.所以搬书的老师有3名.男生2名.女生8名．作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔.每种笔都只能整盒买.不能单买．钢笔4支一盒.每盒5元；圆珠笔6支一盒.每盒6元；铅笔10支一盒.每盒7元．小李总共花了97元.买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒.铅笔2盒.钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒.铅笔买了y盒.钢笔买了z盒.依题意得：.消去x得.解得..……将y、z代入原方程组.发现只有时.x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒.铅笔2盒.钢笔13盒．作业8、卡莉娅到商店买糖.巧克力糖13元一包.奶糖17元一包.水果糖7.8元一包.酥糖10.4元一包.最后他共花了360元.且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包.则．把系数都化成整数.得：．由于我们只关心奶糖的数量.我们将未知数分为一组.其余未知数分为另一组：．也就是．令.则．它的自然数解只有.所以卡莉娅共买了12包奶糖．作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张.其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外.其它两人桌每桌都只坐1人.三人桌每桌都只坐2人.四人桌每桌都只坐3人.且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张.四人桌y张.则两人桌有2y张.依题意得：.化简得.解得..……为符合三种桌子共五十多张.发现只有这组解符合.图书馆两人桌有24张.三人桌19张.四人桌12张．。
奥数讲义-不定方程-(4)学
第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。
一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。
例2（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。
例3（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值例4（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。
某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？B）设而不求例5若求x+y+z的值．例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？例7. 我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？C ）整数解例9 求不定方程4x+y=3xy 的一切整数解例10 求方程123x+57y=531的全部正整数解例11 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。
六年级奥数——第六讲--不定方程
第六讲 不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求以下方程的整数解〔x ＞0，y ＞0〕。
〔1〕5x+10y=14；〔2〕11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211 x ，11x －2能被3整除且x ＜9。
模仿练习：〔1〕求满足方程5x+3y=40的自然数解。
〔2〕设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间？例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
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第六讲 不定方程
【知识要点】
1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】
例1：求下列方程的整数解（x ＞0，y ＞0）。
（1）5x+10y=14；
（2）11x+3y=89.
【思路点拨】
5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－
3211-x ，11x －2能被3整除且x ＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =77
57，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中3
1的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？
【思路点拨】
设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子
3
y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间？
例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？ 【思路点拨】
A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。
问这三张牌的数字是多少？
例4：求解不定方程组⎩⎨⎧=++=++)
2(36753)1(52975z y x z y x 的正整数解。
【思路点拨】
消元，使方程组变成一个不定方程。
模仿练习：求下列不定方程组的自然数解：⎩⎨⎧=-+=-+28
68522263z y x z y x
例5：王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包。
油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，胡萝卜籽1元钱7包，他每种各买了多少包？
【思路点拨】
设买油菜籽x 包，西红柿种子y 包，则胡萝卜籽（100－x －y ）包。
3x+4y+
7
y x 100）－（+=100。
模仿练习：阳光小学在校园里新栽了樟树、梨树和桃树，每种树的棵树都是质数。
如果将三种树的总棵树加4后除以10，则比樟树的10倍减去梨树的棵树后还少4棵。
问阳光小学新栽的樟树、梨树和桃树各多少棵？
【思路点拨】
1：小明2008年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和，则小明2008年有多大？ 2：一次数学竞赛后用31只铅笔给一、二、三等奖的学生发奖品，如果给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2只，则正好发完；如果一等奖每人5只，二等奖每人4只，三等奖每人3只，则差6支。
那么获一、二、三等奖的学生各有多少人？ 3：ab21是一个四位数，有四个阿拉伯数字a 、b 、1、2组成的其他23个四位数的和等于90669，求a 和b 的值。
4：张老师用一张1万元支票为学校添置A 、B 两种物品，A 、B 物品的单价分别为590元和670元。
已知购买的B 物品件数多于A 物品件数，结果找回了几张100元和几张10元（10元的不超过9张）。
有趣的是，若把购买的A 种物品和B 种物品的件数互换，则找回100元和10元的钞票张数也恰好互换。
问购买的A 、B 两种物品各有多少件？ 5：动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。
一天，饲养员拿了10箱香蕉分给它们。
每只猩猩比每只狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多分1根。
分完后，只剩2根香蕉。
如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩只有16只。
那么，动物园里有多少只猴子？
【课后作业】
1：求不定方程3x+4y=20的自然数解。
2：若自然数A 、B 满足13A +4B =2623,那么A+B 等于多少？ 3：求不定方程组⎩⎨⎧=--=++2
6325375z y x z y x 的正整数解。
4：若干学生搬一堆砖。
若每人搬k 块，且k 为质数，则剩下20块未搬走；若每人搬9
块，则最后一个学生只搬了5块，那么这堆砖共有多少块？
5：王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529，王老师家的电话号码是多少？
6：有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a 32，b 65，c 8
7。
已知a 、b 、c 都小于10，a 、b 、c 依次为几？。