六年级奥数—— 不定方程

第六讲 不定方程

【知识要点】

1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。

2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。

【例题精讲】

例1：求下列方程的整数解（x ＞0，y ＞0）。

（1）5x+10y=14；

（2）11x+3y=89.

【思路点拨】

5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－

3211-x ，11x －2能被3整除且x ＜9。

模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。

（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =77

57，求A+B 的值。 例2：某单位职工到郊外植树，其中3

1的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人？

【思路点拨】

设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子

3

y x +人，这个条件说明3|x+y 。 模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。问中、小宿舍共有多少间？

例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400.A 除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少？ 【思路点拨】

A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。

模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13、15、23。问这三张牌的数字是多少？

例4：求解不定方程组⎩⎨⎧=++=++)

2(36753)1(52975z y x z y x 的正整数解。

【思路点拨】

消元，使方程组变成一个不定方程。

模仿练习：求下列不定方程组的自然数解：⎩⎨⎧=-+=-+28

68522263z y x z y x

例5：王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包。油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，胡萝卜籽1元钱7包，他每种各买了多少包？

【思路点拨】

设买油菜籽x 包，西红柿种子y 包，则胡萝卜籽（100－x －y ）包。3x+4y+

7

y x 100）－（+=100。 模仿练习：阳光小学在校园里新栽了樟树、梨树和桃树，每种树的棵树都是质数。如果将三种树的总棵树加4后除以10，则比樟树的10倍减去梨树的棵树后还少4棵。问阳光小学新栽的樟树、梨树和桃树各多少棵？

【思路点拨】

1：小明2008年的年龄恰好等于他出生年的四个数字之和，则小明2008年有多大？ 2：一次数学竞赛后用31只铅笔给一、二、三等奖的学生发奖品，如果给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2只，则正好发完；如果一等奖每人5只，二等奖每人4只，三等奖每人3只，则差6支。那么获一、二、三等奖的学生各有多少人？ 3：ab21是一个四位数，有四个阿拉伯数字a 、b 、1、2组成的其他23个四位数的和等于90669，求a 和b 的值。

4：张老师用一张1万元支票为学校添置A 、B 两种物品，A 、B 物品的单价分别为590元和670元。已知购买的B 物品件数多于A 物品件数，结果找回了几张100元和几张10元（10元的不超过9张）。有趣的是，若把购买的A 种物品和B 种物品的件数互换，则找回100元和10元的钞票张数也恰好互换。问购买的A 、B 两种物品各有多少件？ 5：动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。一天，饲养员拿了10箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多分1根。分完后，只剩2根香蕉。如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩只有16只。那么，动物园里有多少只猴子？

【课后作业】

1：求不定方程3x+4y=20的自然数解。

2：若自然数A 、B 满足13A +4B =2623,那么A+B 等于多少？ 3：求不定方程组⎩⎨⎧=--=++2

6325375z y x z y x 的正整数解。

4：若干学生搬一堆砖。若每人搬k 块，且k 为质数，则剩下20块未搬走；若每人搬9

块，则最后一个学生只搬了5块，那么这堆砖共有多少块？

5：王老师家的电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063；将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529，王老师家的电话号码是多少？

6：有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a 32，b 65，c 8

7。已知a 、b 、c 都小于10，a 、b 、c 依次为几？