1.3.1_正弦函数的图象与性质(用)
1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 课件(人教B版必修4)
正弦函数的定义域、值域及单调 性问题 正弦函数的定义域、值域及单调性问题在高 考中多以选择题、填空题的形式出现，有时 也出现在解答题的容易题中，考查较基础，
难度要求不高．
例3 求下列函数的定义域、值域及单调递增
区间． π log 1 (1)y＝2sin( －x)；(2)y＝ sinx. 2 4
【思路点拨】 解答本题中(1)可先求出函数的定义 π 域和值域， 然后再把原式化为 y＝－2sin(x－ )， 借 4 助于 y＝sinu 的单调性加以处理． 解答本题中(2)可先分析 sinx>0，得出函数的定义 域，然后借助于 y＝ log 1u 的单调性分析，求得单 2 调区间和值域．
(2)最小正周期的定义 周期 所有周期中 对 于 一 个 ______ 函 数 f(x) ， 如 果 在 它 的 最小的正数 最小正数 __________存在一个____________，那么这个
_____________就叫做它的最小正周期．
思考感悟 2．是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说 明？ 提示：并不是所有周期函数都存在最小正周 期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R， 当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对 于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T) ＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不 为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x) 没有最小正周期．
【点评】 (1)在利用关键的五个点描点作图时 要注意， 被这五个点分隔的区间上函数的变化情 况，在 x＝0，π，2π 附近，函数图象上升或下降 π 3π 得快一些，曲线“陡”一些；在 x＝ ， 附近， 2 2 函数变化得慢一些，曲线变得“平缓”． (2)在解题过程中，常用“五点法”作出简图， 使计算更加快捷．
1.3.1 正弦函数的图象与性质(1)
6
) 达到最大值1。
f ( x) sin( 2 x
即，当 x
) 在 2 x 2k 处达到最小值-1。 6 6 2
k (k z )时， f ( x) sin( 2 x ) 达到最小值-1。 6 3
例2
求函数f(x)=sin2x的最小正周期。
y B A O1 O -1 1 (B) (O1)
2
y=sin x, x∈[0,2π]
3 2
2
x
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R)的图象呢？
因为终边相同的角有相同的三角函数值，即 sinx 2k sin x 所以函数 y sin x 在 x 2k ,2k 1 的图象与函数 y sin x ， x 0,2 的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只 要将它向左、右平行移动（每次平移 2 个单位长度），就可 以得到正弦函数。 正弦函数 y sin x, x R 的图象叫做正弦曲线
1. sinα、cosα、tanα的几何意义.
y
1
P
T
正弦线MP
o
M
1
A
x
余弦线OM 正切线AT
三角问题
几何问题
如何画出 y=sinx 的图象
描点法
我们可以对x任意一值，例如x= 6，在下图中画出它的正弦线MP，把角的正弦线 向右平移，使M点与x轴上表示数的点 M1，重合，得到线段 M1P1，显然点P和点P1 的纵坐标相同,都等于sin 6 ，因此，点P1的坐标是（ 6，sin ），P1是图像上的一 4 6 个点。类似地，当x= 3 时，也可以得到点P2，点P2也是图像上的点。
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(三)
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（三）
例 2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． 2π π (1)sin 27° sin 155° 与 ；(2)sin 与 cos . 7 5
解
本 课 时 栏 目 开 关
(1)sin 155° ＝sin 25° ，而 0° <25° <27° <90° ，在 0° <x<90° 的
把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间， 再利用单调性来比较大小．
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 比较下列各组数的大小． 37 49 (1)sin－ 6 π与 sin 3 π；(2)cos 875° sin 980° 与 . 37 π π 解 (1)sin－ 6 π＝sin－6π－6＝sin－6， 49 π π sin 3 π＝sin16π＋3＝sin 3， π π ∵y＝sin x 在－2，2上是增函数， π 37 π 49 － <sin ，即 sin－ π<sin ∴sin 6 π. 6 3 3
－sin 65° ，sin 980° ＝sin(720° ＋260° )＝sin 260° ＝sin(180° ＋80° )＝－sin 80° ， ∵sin 65° <sin 80° ，∴－sin 65° >－sin 80° ， ∴cos 875° >sin 980° .
1.3.1（三）
(2)cos 875° ＝cos(720° ＋155° )＝cos 155° ＝cos(90° ＋65° )＝
通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在闭区间[－1,1]上的 最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当 x∈R 时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1 对值域的影响．
课件7：1.3.1 正弦函数的图象与性质
1.判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)画正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制． ( )
(2)若T是函数ƒ(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周
期．
()
(3)函数y＝3sin 2x是奇函数． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
2．函数 y＝sin12x 的最小正周期为
由π2＋2kπ≤2x＋34π≤32π＋2kπ，k∈Z， 得－π8＋kπ≤x≤38π＋kπ，k∈Z. ∴函数 y＝sin2x＋34π的单调减区间为 －π8＋kπ，38π＋kπ(k∈Z)．
类题通法 求三角函数周期和判断奇偶性的方法 (1)求三角函数周期的方法 ①定义法：即利用周期函数的定义求解． ②图象法：即通过观察函数图象求其周期． (2)判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点 对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
题型三 正弦函数的单调性 典例 求函数 y＝3sin3π－2x的单调递减区间．
()
【解析】sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.根据正弦函数 的单调性知sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11° ＜sin 168°＜cos 10°. 【答案】C
3．求函数 y＝sin2x＋34π的单调区间． 解：由－π2＋2kπ≤2x＋34π≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－58π＋kπ≤x≤－π8＋kπ，k∈Z. ∴函数 y＝sin2x＋34π的单调增区间为 －58π＋kπ，－π8＋kπ(k∈Z)．
活学活用
用“五点法”画出函数 y＝3－sin x(x∈[0,2π])的图象．
解：(1)列表：
学案5：1.3.1正弦函数的图象与性质（二）
1.3.1正弦函数的图象与性质（二）学习目标1.了解正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响． 2．理解正弦型函数的周期与频率．3.掌握图象变换及正弦型函数有关性质的应用．新知提炼1．正弦型函数及“五点法”作图(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝ ，频率f ＝ω2π，初相为φ，值域为 ， 也称为振幅，|A |的大小反映了y ＝A sin(ωx ＋φ)的波动幅度的大小． (3)利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0)的简图，先令 ＝0，π2，π，32π，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图象，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．正弦型函数的图象变换(1)振幅变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――――→所有点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍 函数y ＝A sin x ，x ∈R 的图象．(2)周期变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的1ω倍 函数y ＝sin ωx ，x ∈R 的图象．(3)相位变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――→所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度 函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象． (4)复合变换：函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――→所有点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度①相位变换 函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的1ω倍②周期变换函数y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0)的图象――――――――――――――――――――――――――→所有点的纵坐标伸长（A >1）或缩短（0<A <1）到原来的A 倍③振幅变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，A >0)的图象． 3．正弦型函数的性质根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，我们可以得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质： (1)定义域：R ． (2)值域：当ωx ＋φ＝ ，即x ＝π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，y 取得最大值A ；当ωx ＋φ＝ ，即x ＝3π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，y 取得最小值－A .(3)单调性：当 ≤ωx ＋φ≤ ，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π2ω－φω＋2k πω，π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为增函数；当 ≤ωx ＋φ≤ ，即x ∈⎣⎡⎦⎤π2ω－φω＋2k πω，3π2ω－φω＋2k πω(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为减函数．(4)奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时，为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，为偶函数．(5)周期性：T ＝2πω.(6)对称性：直线 都是其对称轴；点 (k ∈Z )为其对称中心．自我尝试1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位2．函数y ＝2 018sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的振幅为________，周期为________，初相为________．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相邻两交点的距离为________．题型探究题型一 图象变换及简单应用[学生用书P20]例1 说明y ＝－2sin(2x －π6)＋1的图象是由y ＝sin x 的图象怎样变换而来的？(1)图象变换的前提条件：①分清哪是变换前的图象，哪是变换后的图象，即由谁变换后得谁．②必须是同名三角函数．(2)要分清是先平移，后伸缩，还是先伸缩，后平移，弄清平移单位长度是|φ|还是|φω|.跟踪训练 试说明由函数y ＝sin x 的图象变换成函数y ＝5sin(12x －π6)的图象的全过程．题型二 由函数图象求三角函数解析式[学生用书P21] 例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 方法归纳根据函数的部分图象求解析式的方法(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取最大值点的数据代入ωx ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，结合φ的范围求出φ；(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A ，ω，φ.(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪训练 1.已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ )( M >0，ω >0，|φ|<π2)在半个周期内的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，求这个函数的解析式．题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用[学生用书P21]例3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 方法归纳对于函数单调性、对称性的研究，运用整体代换思想，只要熟练掌握y ＝sin x 的性质，就可以“以不变应万变”．跟踪训练 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)在R 上是偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．素养提升由y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的一段图象，求函数解析式，其关键是求参数A 、φ、ω的值． (1)求A 、ω两参数相对容易，由图象易知该函数的最值及周期T ，结合T ＝2πω可求出参数ω的值．(2)求参数φ时，往往借助于函数的零点，若零点右侧的图象是上升(下降)的，则令ωx 0＋φ＝0(ωx 0＋φ＝π)解出相应φ的值．若对φ有范围界定，可利用终边相同的角φ＋2k π(k ∈Z )来调整相应区间． 失误防范1．y ＝A sin(ωx ＋φ)应注意五点法作图(尤其是指定区间不是通常意义上一个周期长度时)和图象变换过程(尤其注意y ＝A sin ωx →y ＝A sin(ωx ＋φ)平移单位为|φω|个单位，而不是|φ|个单位，关键是看x 变化量)．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的其他性质可化归到y ＝sin x 的性质上来，注意换元时ω的正负，若ω为负应先化为正．当堂检侧1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π5的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－22．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位3．已知函数y ＝2 012sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2 012＝0的相邻的两个公共点间的距离为2π3，则ω＝________． 4. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则f (x )＝________．【参考答案】新知提炼1． (2)2πω， φ， [－|A |，|A |]，|A |(3)ωx ＋φ 描点， 3．正弦型函数的性质 (1) R ．(2) [－A ，A ] 2k π＋π2(k ∈Z )， 2k π＋3π2(k ∈Z )，(3)单调性：2k π－π2 2k π＋π2(k ∈Z )，2k π＋π2 ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，(6) x ＝π2ω－φω＋k πω(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫－φω＋k πω，0 自我尝试1． C【解析】因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以把y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位就能得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 2．2 018 π π6【解析】振幅A ＝2 018，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6.3．πω【解析】y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴相邻两交点间的距离为半个周期，即T 2＝πω.题型探究题型一 图象变换及简单应用例1 【解】 法一：y ＝sin x ――――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换 y ＝－2sin x ――――――――――→向右平移π6个单位长度y ＝－2sin(x －π6)――――――――――――→各点的横坐标缩小到原来的12纵坐标不变y ＝－2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin(2x －π6)＋1.法二：y ＝sin x ――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x ――――――――――――――――→各点的横坐标缩小到原来的12纵坐标不变y ＝－2sin 2x ――――――――――――――――→向右平移π12个单位长度y ＝－2sin(2x －π6)――――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin(2x －π6)＋1.跟踪训练 解：法一：①先把正弦曲线上所有的点向右平移π6个单位，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象；②再把函数y ＝sin(x －π6)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象；③再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．法二：①先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 12x 的图象； ②再把函数y ＝sin 12x 的图象上所有的点向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象； ③再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．题型二 由函数图象求三角函数解析式 例2 【答案】 A【解析】 由图象知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 跟踪训练 1.A【解析】由图象知M ＝2.设函数f (x )的最小正周期为T ，则14T ＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，可知T ＝2π，ω＝2πT ＝1，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故选A. 2．解：由题意知A ＝5，T 2＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y ＝5sin(4x ＋φ)．又因为图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，所以52＝5sin φ，即sin φ＝12， 所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用例3 【解】 (1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π(k ∈Z )．所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 跟踪训练 解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0时取得最值． 即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，所以解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，所以ω≤2.又ω>0，所以当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.所以φ＝π2，ω＝2或23.当堂检侧1．B 【解析】振幅为2，周期为2π12＝4π.2．B【解析】因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6.则令φ＋π12＝－π6， 所以φ＝－π6－π12＝－π4，故向右平移π4个长度单位．3．3【解析】函数y ＝2 012sin ωx 的最小值是－2 012，它与直线y ＋2 012＝0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3. 4. sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3【解析】由题意知，A ＝1.且图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫7π12，－1，有⎩⎨⎧π3ω＋φ＝π，7π12ω＋φ＝3π2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.。
课件10：1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)
当堂检测
1．函数 y＝2sin2x＋3π的图象(
)
A．关于点3π，0对称
B.关于直线 x＝4π对称
C．关于点π4，0对称
D.关于直线 x＝π3对称
解析：由 2x＋3π＝kπ，k∈Z， 得 x＝k2π－6π，k∈Z， 当 k＝1 时，x＝π3，∴f(x)的一个对称中心为3π，0，故选 A. 答案：A
解析：若函数 y＝2sin(2x＋φ)是奇函数，则当 x＝0 时，y＝0， ∴2sinφ＝0，∵φ∈－2π，π2，∴φ＝0. 答案：0
题型探究
题型一 图象变换
例 1 (1)要得到函数 y＝sin3x－4π的图象，只需将函数 y＝sin3x
的图象( ) A．向左平移4π个单位
B．向右平移π4个单位
C．向左平移1π2个单位
B.(π，－1)
C.32π，－2
D.(π，0)
答案：B
2．要得到 y＝sin2x－3π的图象，只需将 y＝sin2x 的图象(
)
A．向左平移3π个单位长度 B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π6个单位长度 D．向右平移6π个单位长度
答案：D
3 ． 若 函 数 y ＝ 2sin(2x ＋ φ) φ∈－π2，2π 是 奇 函 数 ， 则 φ ＝ ________.
由 sin23π＋φ＝0，得23π＋φ＝2kπ＋π，所以 φ＝2kπ＋3π(k∈Z)． 因为|φ|＜π，所以 φ＝3π. 所以此函数的解析式为 y＝2sin23x＋3π.
解法二：(最值点法)由图象可得 A＝2，ω＝23，将最高点坐标4π，2
代入 y＝2sin23x＋φ，得 2sin6π＋φ＝2.所以6π＋φ＝2kπ＋2π.
(3)要得到函数 y＝sinωx(x∈R)(其中 ω＞0，且 ω≠1)的图
课时作业32：1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)课后拔高提能练一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin x 的图象，选用的五个点正确的是( ) A ．(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1) B ．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π4，1，⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫3π4，－1，(π，0) C ．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0) D ．(0,1)，⎝⎛⎭⎫π4，0，⎝⎛⎭⎫π2，－1，⎝⎛⎭⎫3π4，0，(π，1) 2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )3．函数y ＝2sin x ＋1的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤－π6，7π6B ．⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z ) D ．⎣⎡⎦⎤π6，5π6 4．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是( ) A ．[－1,1] B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C ．⎣⎡⎦⎤12，32 D ．⎣⎡⎦⎤32，1 5．函数y ＝－3sin3x 的最大值与取得最大值时相应的一个x 的值为( ) A ．1，π2B ．1，－π2C ．3，π6D ．3，－π66．下列所给各组函数中，关于y 轴对称的是( )①y ＝sin x 与y ＝－sin x ；②y ＝sin x 与y ＝sin(－x )； ③y ＝sin x 与y ＝sin|x |；④y ＝|sin x |与y ＝sin x . A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③二、填空题7．函数f (x )＝|lg x |－sin x 的零点个数为________． 8．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时值域为________． 9．函数y ＝54－cos 2x －3sin x 的最小值是________．三、解答题10．求下列函数的值域． (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)y ＝sin 2x ＋4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.11．作出函数y ＝3－2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．12．函数y ＝a sin x ＋b 的最大值是4，最小值为－2，求a 、b 的值．【参考答案】课后拔高提能练一、选择题 1．C 2．D 3．B【解析】由2sin x ＋1≥0，得sin x ≥－12，∴－π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z ，故选B ． 4．B【解析】由正弦曲线结合单调性可知B 选项正确．故选B ． 5．D【解析】 y ＝－3sin3x 的最大值为3，此时x 的值满足3x ＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π3－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，故选D ．6．A 二、填空题 7．4个【解析】由f (x )＝|lg x |－sin x ＝0，得|lg x |＝sin x ， 在同一坐标系中作出y ＝|lg x |与y ＝sin x 的图象，从图象上可知y ＝|lg x |与y ＝sin x 的图象有4个交点，所以函数f (x )的零点有4个． 8．[1,2]【解析】∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，∴1≤y ≤2.∴函数的值域为[1,2]． 9．－74【解析】∵y ＝54－(1－sin 2x )－3sin x ＝sin 2x －3sin x ＋14，设sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2－3t ＋14，t ∈[－1,1]，∴当t ＝1时，y 取得最小值为 y min ＝1－3＋14＝－74.三、解答题10．解：(1)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤x －π4≤π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤ 22， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤ 2， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的值域为[－2，2]． (2)令sin x ＝t ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴t ∈[0,1]， 当y ＝t 2＋4t ＝(t ＋2)2－4， ∴当t ＝0时，y min ＝0， 当t ＝1时，y max ＝5，∴函数y ＝sin 2x ＋4sin x 的值域为[0,5]． 11．解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 3－2sin x31353描点连线：12．解：当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，－a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝4，a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.。
原创1：1.3.1 正弦函数的图象与性质
1
y
O
2
π
2
2π
1
2
x
-1
[0,
3
]
5
[
,2 ]
3
拓展提升：题型二：
1
根据余弦函数图象写出使不等式cosx＞
x∈[0，2π]
2
成立的x的取值集合
1
分析：先观察y cos x ( x 0,2 )的图象与直线y ,
2
再找出交点的坐标,由图象写得不等式的解集.
2 1
(
, )
课堂练习
与y cos x图象相同的是(
D)
A. y cos x，x R B. y sin( x)
3
3
C. y sin( x) D. y sin( x)
2
2
归纳小结
1. 正弦曲线、余弦曲线特点
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，
可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并
画出y=sinx在[0，2π]内的图象？
探究点1
正弦函数 图像
y
y sin x, x[0, 2
1
π
2π
x
O
2
-1
3
2
探究点2
观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、
sin(
sin(
2
2
y=sinx
2
2
O
-1
π
2π x
x)
x )在[0，2π]内
人教B版数学必修41.3.1正弦函数的图象与性质
( 最低点：
3
2
,1)
1
3
-
2
0
-
-
2
2
-1
4
x
正弦函数 y sin x(x R)的图象叫正弦曲线。
二.五点作图法
五点法作函数 y sin x(x 的[简0,图2：])
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
x
0
2
sin x 0
1
0
(2) 描点(定出五个关键点)
3 2
2
-1
0
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
新人教B版必修四1.3.1
知识回顾
正弦线：
设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P做x轴的
垂线，垂足为M，我们称有向线段MP为α的正弦线，
即sinα=MP。
y
P 1α
Mo
x sinα=MP
思考：如何用几何方法在直角坐标系中作出点
C(π,sinπ) ? 33
PY
.C (π,s i nπ) 33
π
3
y
-
1
0
x
2
3 2
2
3 2
2
2
-1
2.把上一题所作的图象与y sin x(x [2 , 2 ])的图象 进行比较,说明图象与y sin x(x [2 , 2 ])的
图象的位置关系。
y
1
2 3
2
2
0 3 2x
-1 2
2
-2
-
-3
四.小结
1、正弦函数的几何作图法 2、正弦函数的五点作图法 3 、根据正弦函数图象的变化解决简单的问 题
O1
1.3.1正弦函数的图象与性质
3、作三角函数的图像可以用五点法作简图， 也可以通过函数图形的基本变换来实现.
正、余弦函数的图象的几何作法：
y
1P 1
/ p1
(1) 作法： 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
3
y
-
-
-
o1
M1
-1A
o
-1 -
6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
余弦曲线
y=cosx, x ∈ R
-
y
1
-
y=sinx, x ∈ R
-
6
4
2
-1
o
2
4
6
余弦函数
4、正弦函数、余弦函数的图象
y
6
4
y=sinx, x ∈ R
2
1
0 -1
2
4
6
x
正弦曲线 y
1
y=cosx, x ∈ R
6
4
2
0 -1
y=cosx, x ∈ R 3、作余弦函数曲线：
由于 y cos x cos( x) sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
所以余弦函数
是同一个函数； 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
y cos x, x R与函数 y sin( x ), x R 2
例3 ：(1) 作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图； (2) 作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图. 解：(1)
课件9：1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)
变式训练 3-1 求下列函数的周期： (1)f(x)＝2sin2x－6π；(2)f(x)＝|sinx|＋sinx. 解：(1)在 f(x)＝2sin2x－6π中，∵ω＝12，∴T＝21π＝4π.
2
(2)作出 y＝|sinx|＋sinx＝20s，inx2，kπ－2kππ≤＜xx≤≤22kkππ，＋kπ∈，Zk∈ Z， 的图象． 由图象可知 y＝|sinx|＋sinx 的周期为 2π.
小试身手
1．y＝2sinx 的值域是( A．[－1,1] C．[－2,0]
) B.[0,2] D.[－2,2]
答案：D
2．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线 y＝2 交点的个数是( )
A．0 B.1
C．2
D.3
解析：y＝1＋sinx 的图象如图所示，
可知与 y＝2 有 1 个交点，故选 B. 答案：B
3．函数 y＝cosx|tanx|－π2<x<π2的大致图象是(
)
解析：y＝cosx|tanx|＝－sinsxi，nx，0≤－x<π2π2<，x<0， 答案：C
故选 C.
4．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(1x)，
当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝( )
【分析】 因为要作函数的简图，所以采用五点法，根据自变量的取值 范围，这五点应是(－π，0)，－2π，1，(0,0)，π2，－1，(π，0)，要找 y＝12与图象的交点，需过0，12点作 x 轴的平行线，再看它和图象的交点．
【解】 利用五点法作图．
(1)根据图象可知图象在 x 轴上方的部分 y＞0，在 x 轴下方的部分 y＜0，即当 x∈(－π，0)时，y＞0；当 x∈(0，π)时，y＜0. (2)画出直线 y＝12，知有两个交点．
课件5：1.3.1 正弦函数的图象与性质
3．情感、态度与价值观 (1)渗透由抽象到具体的思想，理解动与静的辩证关系，培养 辩证唯物主义观点． (2)培养勇于探索、勤于思考的精神． (3)培养合作学习和数学交流的能力.
知识点1：正弦函数的图象 问题导思
1．用描点法画 y＝sin x 在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？ 列表取值、描点、连线 难点在取值 2．如何精确地得出 y＝sin x 在[0,2π]上的图象？ 利用正弦线平移作图 3．你认为哪些点是 y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的关键点？
y＝sinx＋b的图象 .
平移|b|个单位长度
知识点6：正弦型函数的性质
正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)有如下性质．
(1)定义域： R .
(2)值域： [－A，A]
．
(3)周期： T＝2ωπ
(4)单调区间：单调增区间由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π(k∈Z)求
得，单调减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π，(k∈Z) 求得．
例 3.已知函数 f(x)＝sin x－1. (1)写出 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)的最大值和最小值及取得最值时 x 的集合； (3)比较 f(－1π8)与 f(－1π2)的大小． 解:(1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为[2kπ－2π，2kπ＋2π](k∈Z)． 减区间为[2kπ＋2π，2kπ＋32π](k∈Z)．
(2)∵函数 g(x)＝sin x， 当 x＝2kπ＋2π(k∈Z)时，取最大值 1， 当 x＝2kπ＋32π(k∈Z)时，取最小值－1. ∴函数 f(x)＝sin x－1 当 x＝2kπ＋2π(k∈Z)时，取最大值 0，当 x＝2kπ＋32π(k∈Z)时，取最小值－2.
课件4：1.3.1 正弦函数的图象与性质
∵sin 65°<sin 80°，∴－sin 65°>－sin 80°，
∴cos 875°>sin 980°.
π
例 5 把函数 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移3个单位
1
长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标
2
不变)，得到的图象所表示的函数是(
1.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作
图有关的问题是高考常考知识点之一．
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，
看它是否关于原点对称．
3.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的
某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
π
2
向左平移 3 个单位，后者需向左平移 3π 个单位．
4.利用“五点法”作出函数 y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．
解：按五个关键点列表：
x
0
π
π
2
3π
2
sin x
0
1 0
－1 0
－1＋sin x
－1 0 －1 －2 －1
2π
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
课后总结
π
跟踪训练 5 把函数 y＝sin x (x∈R)的图象上所有的点向左平移3
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(
x π
A．y＝sin2＋6，x∈R
x π
B．y＝sin2＋3，x∈R
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
1.3.1（二）
1． 正弦曲线
本 课 时 栏 目 开 关
从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 原点 对称； 从诱导公式看，sin (－x)＝ －sin x 对一切 x∈R 恒成立． 所以说，正弦函数是 R 上的 奇 函数．
填一填·知识要点、记下疑难点
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．判断下列函数的奇偶性： 1－sin x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sin x
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 求下列函数的周期． 3 2 (1)y＝cos 2π－3x； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin 3x，T＝ 2 ＝3π. 3
1 π 2π 1 sin x－ ，T＝ × ＝2π. (2)y＝ 3 1 2 2
∵f(x)的最小正周期是 π， 5π 5π π ∴f 3 ＝f 3 －2π＝f－3. 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数， π π 5π π 3 3 － ＝f ＝sin ＝ ＝ ∴f 3 3 3 2 .∴f 3 2 .
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.1（二）
解
(1)方法一
π 令 z＝2x＋3，
∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π， 函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋3＋2π＝2(x＋π)＋3，所以自变量 x 只要且至少 π 要增加到 x＋π， 函数值才能重复取得， 从而函数 f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.
课时作业2：1.3.1正弦函数的图象与性质(一)
1．3.1正弦函数的图象与性质(一)
一、基础达标
1．函数y＝sinx(x∈R)图象的一条对称轴是()
A．x轴B．y轴
C．直线y＝xD．直线x＝
答案D
2．函数y＝sinx(x∈R)的图象向右平移π个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为()
A．g(x)＝－sinxB．g(x)＝sinx
解利用“五点法”作出y＝sinx的简图，过点 作x轴的平行线，在
[0,2π]上，直线y＝ 与正弦曲线交于 ， 两点．结合图形可知，在[0,2π]内，满足y≥ 时x的集合为 .
因此，当x∈R时，若y≥ ，则x的集合为
.
答案y＝－cosx
∵sin ＝－sin ＝－cosx，
∴y＝－cosx.
6．函数f(x)＝sinx＋|sinx|的值域是________．
答案[0,2]
解析f(x)＝ 的图象如图所示：
∴f(x)∈[0,2]．
7．利用“五点法”画出函数y＝2－sinx，x∈[0,2π]的简图．
解(1)取值列表如下：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
y＝2－sinx
2
1
2
3
2
(2)描点连线，图象如图所示：
二、能力提升
8．函数y＝xsinx的部分图象是()
答案A
9．函数f(x)＝xcos 是()
A．奇函数B．非奇非偶函数
C．偶函数D．既是奇函数又是偶函数
答案C
解析∵f(x)＝xsinx，定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
课件8：1.3.1 正弦函数的图象与性质
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数 的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定 相关的参数．
活学活用 如图为函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分， 试求该函数的解析式． 解：由图可得：A＝ 3，T＝2|MN|＝π.从而 ω＝2Tπ＝2， 故 y＝ 3sin(2x＋φ)， 又∵2×π3＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝－23π＋2kπ，k∈Z.∴y＝ 3sin2x－23π.
解：列表如下，
t
－π6
π 12
π 3
7π 122
π
3π 2
2π
sin2t＋π3 0
1
0 －1
0
s
0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3， 所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间 是 π s.
[法二 待定系数法]
由图象知 A＝3.∵图象过点3π，0和56π，0，
∴π53ωπ6ω＋＋φφ＝＝π，2π，
ω＝2， 解得φ＝3π.
∴y＝3sin2x＋π3.
[法三 图象变换法] 由 A＝3，T＝π，点－π6，0在图象上，可知函数图象 由 y＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得， 所以 y＝3sin 2x＋π6，即 y＝3sin2x＋π3.
1.3.1 正弦函数的图象与性质
新知初探 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0 中参数的物理意义
2．φ，ω，A 对函数 y＝sin(x＋φ)图象的影响 (1)φ 对函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响
课件6：1.3.1 正弦函数的图象与性质
4．奇偶性：y＝sinx，x∈R 是__奇__函数，因为其图象是关于 _坐__标__原__点__对称的，因诱导公式 sin(－x)＝_－__s_in_x_也可得到．
5 ． 单 调 性 ： 函 数 y ＝ sinx ， x ∈ R 在 每 一 个 闭 区 间 __2_k_π_－__π2_，__2_k_π_＋__2π__(k_∈__Z__) ____上都是增函数，在每一个闭区间
(3)过圆上各点作 x 轴的垂线，可得对应于 0、π6、3π、…、2π 的 ___正__弦___线； (4)相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把 0～2π 这段分成 ___1_2____等份； (5)把角的_正__弦__线___平移，使_正__弦__线___的起点与 x 轴上对应的点 重合； (6)用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来．
3．已知函数 y＝3sin(12x－π4)．
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)此图象是由 y＝sinx 的图象经过怎样的变换得到的？ 解:(1)列表：
12x－4π
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 3π 5π 7π 9π
22
2
2
2
y
03
0 －3 0
描点、连线，如图．
这样就得到了函数 y＝3sin(12x－π4)在一个周期内的图象，再将这 部分图象向左或向右平移 4kπ(k∈N＋)个单位长度，得函数 y＝ 3sin(12x－4π)的图象．
__2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__3_2π__(_k_∈__Z_)___上都是减函数．在单调增区间上
y 从－1 增大到 1，在单调减区间上 y 从 1 减小到－1.
三、正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)的主要性质
课时作业2：1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)一、基础达标1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案 D2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于 ( ) A ．5B ．10C ．15D ．20 答案 B3．下列函数中，周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝1－cos 2 x 答案 D解析 y ＝1－cos 2 x ＝sin 2 x ＝|sin x |符合题意．4．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝sin x －1B ．y ＝sin 2 xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x | 答案 D解析 画出y ＝sin|x |的图象，易知D 的图象不具有周期性．5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3的值为 ( ) A ．－12B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin π3＝32.6．(2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．答案 π解析 T ＝2π2＝π.7．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，求f (x )的解析式．解 当x <0时，－x >0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝－sin x ．∴f (x )＝sin|x |，x ∈R .二、能力提升8．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 4xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x2 D ．y ＝|sin 4x |答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 4x 的周期为T ＝2π4＝π2；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 4x |的周期为T ＝π4.故选C.9．与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象完全相同的一个函数是 ( )A ．y ＝sin 3xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－3xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －7π4 答案 D 10．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________.答案 3解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＝ 3.11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－2sin x ≥02sin x －1≥0，得sin x ＝12. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，k ∈Z }．∵f (x )的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．12．已知函数f(x)＝log12|sin x|.(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．解(1)∵|sin x|>0，∴sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z.∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵0<|sin x|≤1，∴log12|sin x|≤0，∴函数的值域为{y|y≤0}．(2)函数的定义域关于原点对称，∵f(－x)＝log12|sin(－x)|＝log12|sin x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(3)∵f(x＋π)＝log12|sin(x＋π)|＝log12|sin x|＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数，且最小正周期是π.三、探究与创新13．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－1f(x)(f(x)≠0)．(1)求证：函数f(x)是周期函数．(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．(1)证明∵f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝－1f(x＋2)＝－1－1f(x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解∵4是f(x)的一个周期．∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－1f(－1＋2)＝－1f(1)＝15.。
数学人教B必修4：1.3.1 正弦函数的图象与性质 课件
1.3.1_正弦函数的图象与性质
教学目标
• 1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦 型函数；
• 2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。例：、y=2sinx 、y=sinx 、、、等；
• 3、能够认识以上这些函数与正弦函数图象的关系，即它 们是如何通过正弦函数图象平移、伸缩而得到；
3
1
y=sinx
4 x
三、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin1 x
2
1
O
2
3
4
x
1
y=sin2x
y=sinx
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所
2
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。
y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所
有点的横坐标缩短到原来的
最高点：
Байду номын сангаас
(
,1)
2
最低点： (32 ,1)
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2,0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
合作探究:
一、函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图像
例1 作函数 y 2sin x 及 y 1 sin x 的图象。
36 的图象?
(1)向右平移
函数y sin x
6
y sin( x )的图象
6
(2)横坐标伸长到原来的3倍 y sin(1 x )的图象
纵坐标不变
36
(3)纵坐标伸长到原来的2倍 y 2sin(1 x )的图象
课时作业25：1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)
1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)学习目标 1.掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一 正弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线. 正弦曲线：可得如下性质：由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R ，值域是[－1,1]. 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.知识点二 正弦函数的单调性 正弦函数y ＝sin x 的图象与性质解析式y ＝sin x图象值域[－1,1]单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增， 在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 题型一 求正弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间. 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ).∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ). 反思感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3 解析 由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z ).又x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π3，－2π9，⎣⎡⎦⎤π9，π3.题型二 正弦函数单调性的应用命题角度1 利用正弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos 875°与sin 980°.解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.∵0°<16°<66°<90°，且当0°≤x ≤90°时y ＝sin x 是增函数，∴sin 16°<sin 66°， 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155° ＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°， sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260° ＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°， ∵sin 65°＜sin 80°， ∴－sin 65°＞－sin 80°， ∴cos 875°＞sin 980°.反思感悟 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6与sin 49π3； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5与sin ⎝⎛⎭⎫－17π4. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3. ∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，且－π2<－π6<π3<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝－sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4， 因为0<π4<2π5<π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 所以sin π4<sin 2π5，于是－sin π4＞－sin 2π5，∴sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＞sin ⎝⎛⎭⎫－23π5.命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围. 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω＋2k πω≤－π3，π2ω＋2k πω≥π4，k ∈Z ，ω>0，即⎩⎨⎧ω≤32－6k ，ω≤2＋8k ，k ∈Z ，ω>0解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 反思感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ，排除D. 题型三 正弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域. 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域).(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y ＝a sin x 的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意.若a >0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2.下列不等式中成立的是( ) A.sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B.sin 3>sin 2 C.sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D.sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝sin(π－2)，cos 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－1， 且(π－2)－⎝⎛⎭⎫π2－1＝π2－1＞0，∴π2＞π－2＞π2－1＞0，∴sin(π－2)>sin ⎝⎛⎭⎫π2－1， 即sin 2>cos 1.故选D.3.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 D解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1，故选D. 4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }. 5.求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间. 解 ∵函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间. 由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的取值范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的取值范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x 为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1.函数y ＝1－2sin π2x 的最小值，最大值分别是( )A.－1,3B.－1,1C.0,3D.0,1答案 A解析 ∵sin π2x ∈[－1,1]，∴－2sin π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2sin π2x ∈[－1,3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2.对于函数f (x )＝sin 2x ，下列选项中正确的是( ) A.f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B.f (x )的图象关于原点对称 C.f (x )的最小正周期为2π D.f (x )的最大值为2 答案 B解析 因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是递减的， 所以f (x )＝sin 2x 在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递减的，故A 错误； 因为f (－x )＝sin 2(－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故B 正确； f (x )的最小正周期为π，故C 错误； f (x )的最大值为1，故D 错误.3.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B.(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.(0，π) 答案 C解析 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.5.(2018·江西高安中学高二期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.－1 B.－22 C.22D.0 答案 B解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4取得最小值，为－22. 6.y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A.2B.－2C.1D.－1 答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值为( )A.32B.23 C.2 D.3 答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω，∴ω＝32.二、填空题8.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是______. 答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]. 9.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________. 答案 sin 3<sin 1<sin 2 解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.10.函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6.要求函数的单调递增区间， 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π.∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π.11.若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12.求下列函数的单调递增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间， 即求使f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间.∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ， 整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 13.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.14.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3 答案 B解析 令ωx ＝－π2，则x ＝－π2ω<0， ∵f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取到最小值－2， 则－π2ω∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴－π2ω≥－π3， ∴ω≥32.∴ωmin ＝32. 15.已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， ∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
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y
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx x[0,2]
f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
y=sinx xR
正弦函数的图象
解： .根据题意sin x 0 由正弦曲线可知， x 2k 2k 所以，函数的定义域是 : （2k ,2k ） Z ,k
例2:求下列函数的最大值和最小值， 并求使函数取最值时的x的集合
(1) y sin 2 x
(2) y sin x 3
2
(3) y (sin x 1) 2
y 1
2
2
o -1
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
正弦函数的图象
y 1
2
(0,0) o (0,0) (0,0)
( 2 ,1) ,1) ( 2 ( 2 ,1)
五点画图法
新课讲解. 正弦函数的性质 (三)关于奇偶性
（复习）一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数 （5）奇偶性：sin( x) sin x 奇函数
例4.判断下列函数的奇偶性
1) y 2 sin 2 x
2) y sin x 1
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
（6）单调性：
正弦函数在 [ 在[
2
2k ,
2
2k ](k Z )上是单调递增的 从 1到1; ,
2
2k ,
1.3.1正弦函数的图象与性质
1.3.1正弦函数的图象与性质
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
O
M
A(1,0)
x
1.3.1 正弦函数 的图象和性质
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦来解决。
( ,0) ( ,0) ( ,0) 2 ( 2( ,0) ,0) ( 2 ,0)
2
( 2 ,1) ( 2 ,1) ( 2 ,1) (0,0) (0,0) ( 2 ,1) (0,0) (0,0) ( ,1) (0,0) 2 ( 2 ,1) 五点法—— (0,0)
x
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 22 ,0) ( ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx
0 0 1
y
2
2
0 1
3 2
2 0 1 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线
1 2
-1 0
1+sinx
-1
( 23,-1) ( ,0) ( ,1) ( ,0) 2 3 ( ,0) ( 23,1) ( ,0) ( 3 ,-1) ( ,0) 2 333 ,-1) ( (,1) ,-1) ( ,0) ( 2 222 ( ,-1)
3
3 3 ( 2 ,1) 2
2
(二)关于周期性
1.周期性的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
2
3
4
5
6
x
(1)定义域：x R
(2)值域：y - 1,1. (3)最值：当且仅当 2k x 当且仅当x 2k
2
k Z 时，y max 1；
2
k Z 时，ymin -1.
(一)关于定义域和值域 例1.求下列函数的定义域：
y lg sin x
3 2k ](k Z )上是单调递减的 从1到 1 , 2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
(7)对称性：
对称轴：直线 x
2 对称中心： ,0), k Z (k
k , k Z
例5、求函数y sin(3x- )的值域，周期，单调区 间， 4 对称轴方程，对称中心 坐标。
y=1+sinx，x[0, 2] 1
2
o -1
2
x 3 2 2 y=sinx，x[0, 2]
例2.画出函数 y 3sin( 2x ) , x R 的简图
2x 3
0
3
x
6
y 3sin( 2 x
y 3
2 12
3
3
3 2 7 12
3
要点回顾. 正弦曲线函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线
y
1 (0,0) -4 -3 -2 - ( 2 ,1) ( ,0)
五点法
正弦曲 线
( 2 ,0)
o
-1
2
3
4
5
6
3 ( 2 ,-1)
x
新课讲解.
正弦函数的性质
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
5 6
)
0
3
0
-3
0
2
1
O
/2
3/2
2
x
-1
-2
-3
例3.利用正弦函数的图象，求满足下列 条件的x的集合：
1 sin x , x (0,2 ) 2
例4.作下列函数的简图
⑴ y=|sinx|， ⑵y=sin|x|
选做：用“五点法”作函数： y 3sin(2 x ) 1 的简图
练习、求函数y sin ( - 3x) 的值域，周期，单调区 间， 4 对称轴方程，对称中心 坐标。
小结
1、三角函数图象与性质。 2、五点法作图，把握五个关键点。 3、利用三角函数性质解决相关函数性质问题。 4、周期性是三角函数的独特性质，理解好。
(4) 周期性： T 2
例3.求下列函数的周期：
(1) y sin 2 x; 1 (2) y sin( x ) 2 6 (3) y sin( x ) 3 4
---利用结论
一般 结论：
函数y A sin(x )(其中A 0, 0, x R ) 2 的周期是T