2020高考总复习数学理科创新设计人教A版教师文档第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性

第3节　函数的奇偶性与周期性最新考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f (x ＋a )＝，则T ＝2a (a >0).1f （x ）(3)若f (x ＋a )＝－，则T ＝2a (a >0).1f （x ）4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数.( )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.( )解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y ＝f (x ＋b )的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y ＝f (x )的图象关于(b ，0)对称，正确.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )A.y ＝x 2sin xB.y ＝x 2cos xC.y ＝|ln x |D.y ＝2－x解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案　B3.(必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝则f ＝________.{－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，)(32)解析　由题意得，f ＝f ＝－4×＋2＝1.(32)(－12)(－12)2 答案　14.(2019·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 3B.y ＝x 14C.y ＝|x |D.y ＝|tan x |解析　对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；对于B ，y ＝x 是非奇非偶函数，不符合题意；14对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.答案　C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析　∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案　126.(2019·上海崇明二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________.解析　当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]，又f (x )在R 上是以2为周期的偶函数，∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ).答案　log 2(3－x )考点一　判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝＋；3－x 2x 2－3(2)f (x )＝；lg (1－x 2)|x －2|－2(3)f (x )＝{x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.)解　(1)由得x 2＝3，解得x ＝±，{3－x 2≥0，x 2－3≥0，)3即函数f (x )的定义域为{－，}，33从而f (x )＝＋＝0.3－x 2x 2－3因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.{1－x 2>0，|x －2|≠2，)∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝.lg （1－x 2）－x又∵f (－x )＝＝－＝－f (x )，lg[1－(－x )2]x lg （1－x 2）－x ∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数.规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y ＝x ＋sin 2xB.y ＝x 2－cos xC.y ＝2x ＋D.y ＝x 2＋sin x12x (2)已知f (x )＝，g (x )＝，则下列结论正确的是( )x 2x －1x 2A.f (x )＋g (x )是偶函数B.f (x )＋g (x )是奇函数C.f (x )g (x )是奇函数D.f (x )g (x )是偶函数解析　(1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋＝2x ＋＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 212－x 12x ＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )，因为f (x )＝，g (x )＝，x 2x －1x 2所以h (x )＝＋＝，x 2x －1x 2x ·2x ＋x 2（2x －1）定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h (－x )＝＝＝h (x )，－x ·2－x －x 2（2－x －1）x （1＋2x ）2（2x －1）所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数，令F (x )＝f (x )g (x )＝，x 22（2x －1）定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F (－x )＝＝，（－x ）22（2－x －1）x 2·2x2（1－2x ）因为F (－x )≠F (x )且F (－x )≠－F (x )，所以F (x )＝g (x )f (x )既不是奇函数也不是偶函数.答案　(1)D (2)A考点二　函数的周期性及其应用【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________.解析　(1)法一　∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ).∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数，由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.法二　取一个符合题意的函数f (x )＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列πx 2{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.(2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.答案　(1)C (2)7规律方法　1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2018·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f ＝( )(－92)A.－B.－C.D.34141434(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析　(1)∵f (x )是周期为4的奇函数，∴f ＝－f ＝－f ，(－92)(92)(12)又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，故f ＝－f ＝－＝－.(－92)(12)12(1＋12)34(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.答案　(1)A (2)6考点三　函数性质的综合运用　多维探究角度1　函数单调性与奇偶性【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6]解析　因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数.故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.答案　B规律方法　1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2　函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈时，(0，52)f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( )A.2B.－18C.18D.－2(2)(2018·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )π3A. B. C.π D.π32π34π3解析　(1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)，∵f (x )是奇函数，且当x ∈时，f (x )＝x 3－3x ，(0，52)∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2，故f (2 018)＝－2.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2).∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝.2π3答案　(1)D (2)B规律方法　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.(ln 1t )解析　(1)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )，又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)，则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.(2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ，(ln 1t )由f (ln t )＋f ≤2f (1)，(ln 1t )得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故≤t ≤e.1e答案　(1)2　(2)[1e ，e ][思维升华]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.[易错防范]1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.类型1　奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1________.解析　显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝＝1＋，(x ＋1)2＋sin x x 2＋12x ＋sin x x 2＋1设g (x )＝，则g (－x )＝－g (x )，2x ＋sin x x 2＋1∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.答案　2类型2　抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a .(2)如果f (x ＋a )＝(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .1f （x ）(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A.3B.2C.1D.0解析　因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.答案　C类型3　抽象函数的对称性已知函数f (x )是定义在R 上的函数.(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝对称，特别地，a ＋b 2若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.【例3】 (2018·日照调研)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________.解析　因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4.所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.答案　4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )A.y ＝|log 3x |B.y ＝x 3C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |解析　对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数.对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.答案　C2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝ 则g (－8)＝( ){log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，)A.－2B.－3C.2D.3解析　法一　当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2.法二　由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.答案　A3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于( )A.－2B.2C.－98D.98解析　由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.答案　B4.(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析　法一　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二　(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.答案　C5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.答案　A二、填空题6.若函数f(x)＝x ln(x＋)为偶函数，则a＝________.a＋x2解析　f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，a＋x2所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，a＋x2a＋x2则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.答案　1(－52) 7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________.解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0.(－52)(－12)(12)12又f＝f＝－f＝－4＝－2，(－52)∴f＋f(2)＝－2.答案　－28.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是11＋x 2________.解析　由f (x )＝ln(1＋|x |)－，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即11＋x 2为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x 11＋x 2－1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得＜x ＜1.13答案　(13，1)三、解答题9.已知函数f (x )＝是奇函数.{－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0)(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.解　(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知所以1<a ≤3，{a －2>－1，a －2≤1，)故实数a 的取值范围是(1，3].10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ＝－f 成立.(32＋x )(32－x )(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.解　(1)由f ＝－f ，(32＋x )(32－x )[32＋(32＋x)][32－(32＋x)]且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立.于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )A.{x|0<x<1或x>2}B.{x|x<0或x>2}C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<－1或x>1}解析　由题意知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，不等式f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1).∴x－1>1或0>x－1>－1，解之得x>2或0<x<1.答案　A12.(2018·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有( )(32)(－14)(14)A.f<f<f(14)(－14)(32)B.f<f<f(32)(14)(－14)C.f<f<f(－14)(32)(14)D.f<f<f解析　由题设知：f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是减函数，所以f(x)在[－1，0]上也是减函数，综上函数f(x)在[－1，1]上是减函数；(32)(2－32)(12)141412又f=f=f，－<<，(12)(14)(－14)(32)(14)(－14)∴f<f<f，即f<f<f.答案　C13.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.答案　①②14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，(12×2×1)则S＝4S△OAB＝4×＝4.。