第一课坐标系中的坐标变换2013压轴题研究
高考数学(理科)一轮复习课件：坐标系与参数方程 第1节 坐标系
数学（人教A版 ·理科）(AH)
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3．(2014广东惠州市第三次调研)在极坐标系中，已知 点A、B的极坐标分别为 3，3π ， 4，6π ，则△AOB(其中O为 极点)的面积为________．
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解析：由 A、B 的极坐标可知|OA|＝3，|OB|＝4，
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1．直线 3x－2y＋1＝0 经过变换xy′ ′＝ ＝32xy， 后的直线方 程为________．
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解析：由变换xy′ ′＝ ＝32xy，
得
x＝x′3 ， y＝y′2 ，
代入直线方
程， 得 3×x′3 －2×y′2 ＋1＝0，得 x′－y′＋1＝0， 即变换后的直线方程为 x－y＋1＝0.
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩
变换．
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2．极坐标系 (1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点 M的__极__径__，记为ρ.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的____极__角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的 极坐标，记作M(ρ，θ)．
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曲线 过极点，倾斜角 为 α 的直线 过点(a,0)，与极 轴垂直的直线
过点a，π2，与极 轴平行的直线
图形
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R) 或 θ ＝π＋α(ρ∈R)
坐标系与参数方程重点解析与典型例题
坐标系与参数方程重点解析与典型例题作者：车树勤来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2013年第01期坐标系与参数方程的主要内容是极坐标和直角坐标的互化，曲线的参数方程与普通方程的互化，以及参数方程和极坐标的简单应用三部分，下面针对这三部分内容进行透析：一、坐标系了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．特别提醒：1．平面上任意一点的极坐标不是唯一的；2．点的直角坐标化为极坐标，通常用如下方法：ρ=x2+y2，tanα=|yx|，α∈（0，π2），当θ在第一、第二、第三、第四象限时，极角θ分别取α、π－α、π+α、2π－α；3．极坐标方程与直角坐标方程互化要注意其等效性．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ 或ρ2=x2+y2tanθ=yx；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨慎漏解．例1 取直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，则点M（－1，－3）的极坐标为_____________．分析：把直角坐标化为极坐标主要是求出求出ρ与角θ即可．解：利用互化公式，可得ρ=2，tanα=3，又点M是第三象限内的点，可得θ=43π，故点M 的极坐标为（2，43π）．点评：可以利用数形结合，直接得出答案；也可以利用互化的公式得出答案但也要注意点的位置与极角的关系．例2 若限定ρ≥0，0≤θ≤2π，则曲线ρsinθ=2与曲线ρ=4sinθ的交点的极坐标为_____________．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，可求出交点的直角坐标，再化为极坐标或联立方程即可求出ρ与角θ．解：法一：把两个极坐标方程化为直角坐标方程，可得y=2与x2+（y-2）2=4，利用数形结合可得到交点坐标为（2，2）和（－2，2），由ρ≥0则ρ=22，由tanθ=±1，又0≤θ≤2π，∴θ=π4或θ=3π4．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．法二：把ρ=4sinθ代入到ρsinθ=2，注意到ρ≥0，得到sinθ=22，从而θ=π4或θ=3π4，再得到ρ=22．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．点评：本题用了两种解法，化成直角坐标要稍麻烦一点，直接联立方程可以方便的求出ρ与角θ．二、曲线的极坐标方程了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．特别提醒1．在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是ρ=r；2．在极坐标系中，以 C（a，0）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ；3．在极坐标系中，以 C（a，π2）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是ρ=2asinθ；4．在极坐标系中，θ=α（ρ≥0）表示以极点为起点的一条射线；θ=α（ρ∈R）表示过极点的一条直线；5．在极坐标系中，过点A（a，0）（a>0），且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是ρcosθ=a．例3 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____________．分析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．要把已知条件与x=ρcosθy=ρsinθ 联系起来，即可得到曲线的直角坐标方程．解：将ρ=2sinθ+4cosθ，两端同乘以ρ得，ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，则x2+y2=2y+4x，即x2+y2－4x－2y=0．点评：本题中曲线的极坐标方程只要在两端同乘以ρ，再根据直角坐标和极坐标直角的关系就很容易得出该曲线的直角坐标方程．例4 已知圆心在M（a，0），半径为R，试写出圆的极坐标方程．分析：先建立直角坐标系找出动点P所在的三角形，再利用三角形中的余弦定理.解：如图，在△OPM中，由余弦定理可得：ρ2－2aρcosθ+a2－R2=0．点评：建立直角坐标系找出动点P所在的三角形是解决此类问题的关键，三解形中的余弦定理是解决本题的工具．三、参数方程了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．特别提醒：1．曲线的参数方程不是唯一的，选择不同的参数，得到的参数方程也不同；2．注意直线的参数方程中参数的几何意义及其应用．例5 直线x=3+tsin40°y=－tcos40°（t为参数）的倾斜角是_____________．分析：将参数方程化为直线参数方程的标准形式即可得到直线的倾斜角，也可以将参数方程化为直线的斜截式方程，求出斜率k，进而得出倾斜角，但计算量比较大．解：将参数方程化为x=3－tcos130°y=－tsin130°（－t为参数），对照直线的参数方程可得倾斜角为130°．点评：本题所给出的直线方程的参数形式比较容易让人混淆，t不是定点（3，0）与直线上的点之间的距离，如果不认真分析就比较容易出错．本题解题方法的选择也至关重要．3．参数方程与普通方程的互化：（1）参数方程转化为普通方程把参数方程转化为普通方程，其基本方法是“消去参数”．消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑．一般地说，当f（t），g（t）都是多项式时，常采用代入消元法；当f （t），g（t）都是t的三角函数时，常借助三角恒等式等．在转化的时候，还必须使两种方程的变量的取值一致．参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：代入法、三角法、平方法等．（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．例6 把参数方程x=21+t2y=2t1+t2（t为参数）化为普通方程．分析：观察方程组里的两个式子的分母相同，所以把两个式子相比就得到t用x，y来表示的关系式，再将其代入到参数方程中即可．解：由原方程组得yx=t，把t=yx代入x=21+t2得x=21+（yx）2，化简得：x2+y2－2x=0（x≠0），这就是所求的普通方程．所以它表示的曲线是以（1，0）为圆心， 1为半径的圆除去原点（0，0）．点评：在用代入消元法的时候关键要得到t的一个关系式，之后再代入到参数方程中的x 式或y式即可．（2）普通方程转化为参数方程把普通方程化为参数方程，一般有如下思路：（1）F（x，y）=0选取参数tx=f（t），y=g（t），（t为参数）．例7 直线l的普通方程是2x－y+2=0，把其化为参数方程．分析：可以选取一个参数t，直接令x=t，代入方程后则可求出y关于t的关系式．解：选t为参数，令x=t，则y=2t+2．得参数方程为x=t，y=2t+2.（t为参数）．点评：选定参数t以后，将普通方程化为参数方程的问题就转化为已知t，分别求解x、y 的问题了，它和求动点轨迹的参数方程的方法类似．4．转化思想在解题中的应用（1）在圆中的应用例8 已知实数x、y满足x2+y2+2x－23y=0，（1）求x2+y2的最大值；（2）求x+y的最小值．分析：从几何意义来考虑，设P（x，y）是圆C：x2+y2+2x－23y=0上的一点，可利用圆的参数方程得到Ｐ点的坐标，再来求解最值问题．解：原方程配方得：（x+1）2+（y－3）2=4，它表示以（－1，3）为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ （θ为参数，0≤θ（1）x2+y2=（－1+2cosθ）2+（3+2sinθ）2=4（3sinθ－cosθ）+8=8sin（θ－π6）+8∴当θ－π6=π2，即θ=2π3时，（x2+y2）max=16．（2）x+y=2（sinθ+cosθ）+3－1=22sin（θ+π4）+3－1，∴当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，（x+y）max=3－22－1．点评：利用圆（x－a）2+（y－b）2=r2的参数方程x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ为参数），来设P点的坐标，就把目标函数由二元转化为一元，促使问题顺利解决．（2）在椭圆中的应用例9 求椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的内接矩形的面积及周长的最大值．分析：把椭圆的标准方程转化为参数方程x=acosαy=bsinα，即可设出椭圆的一个点的坐标，从而得到内接矩形的边长，即可列出面积与周长的表达式来求最值．解：如图，设椭圆x2a2+y2b2=1的内接矩形在第一象限的顶点是A（acosα，bsinα）（0S=4FA×EA=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，当且仅当α=π4时，Smax=2ab，L=4（FA+EA）=4acosα+4bsinα=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2，当sin（α+φ）=1时，Lmax=4a2+b2，此时α存在．点评：利用椭圆的参数方程解题，能够很快的知道点的坐标，可以便捷的得到矩形的边长，从而求得面积和周长的最值．（作者：车树勤，连云港市锦屏高级中学）。
坐标系之间的换算市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
dX dY dZ
dB A dL
dH
C
da
d
0 Z Y X i 0 Zi Yi X
QX i Z 0 X Yi Zi 0 X i Y
Y X
0
Zi
Yi
Xi
0 Z
有
第7页
dB dX
dL dH
A1 dY
dZ
cos B cos L
sin B sin L (M H ) sec B cos L ( N H )
cos B sin L
cos B (M H )
0
sin B
X a C Y a
Z a
X ( N a)cos B cos L
Y ( N a)cos B sin L
Z
(
cos L
tan B sin L Ne2 sin B cos B cos L
0 X 1 Y 0 Z
Ne2 sin B cos B
M
0
dK
N (1 e2 sin2 B)
N e2 sin B cos B M (2 e2 sin2 B) sin B cos B
(M H )a
顾及
0 Z Y X i 0 Zi Yi X
QX i Z 0 X Yi Zi 0 X i Y
Y X 0 Zi Yi X i
0 Z
第4页
则（10-28）式为
X i X 0 X i
0 Zi Yi X X i
Yi Y0 Yi d K Zi 0 X i Y Yi
A1C
da d
X
X
A1
Y Z
T
A1
Y Z
A1C
da d
初中数学中考复习—坐标系中点的坐标变化规律题（1）（有答案）
初中数学中考复习—坐标系中点的坐标变化规律题（1）（有答案）2020中考复习—坐标系中点的坐标变化规律题(1)姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点的坐标为(2,?2)，B点的坐标为(?2,?2)，C点的坐标为(?2,6)，D点的坐标为(2,6)，当蚂蚁爬了2019个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为()A. (?2,0)B. (4,?2)C. (?2,4)D. (?1,?2)2.如图，在直角坐标系中，A(1,3)，B(2,0)，第一次将△AOB变换成△OA1B1，A1(2,3)，B1(4,0)；第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，A2(4,3)，B2(8,0)，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，……，则B2018的横坐标为()A. 22016B. 22017C. 22018D. 220193.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是()A. (2018,0)B. (2019,0)C. (2019,2)D. (2017,2)4.在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点的个数共有()A. 35个B. 40个C. 45个D. 50个5. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC 放入平面直角坐标系，顶点A 、B 分别落在x 、y 轴的正半轴上，∠OAB =60°，点A 的坐标为(1,0).将三角板ABC 沿x 轴向右作无滑动的滚动(先绕点A 按顺时针方向旋转60°，再绕点C 按顺时针方向旋转90°…)当点B 第一次落在x 轴上时，则点B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是( )A. √3B. √3+1712πC. √32+1712π D. √3+π6. 在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,4).延长CB 交x 轴于点A 1，作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第三个正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为( )A. 20×(32)4030B. 20×(32)4032C. 20×(32)2016D. 20×(32)20157. 如图，已知菱形ABCD 的顶点A(?√3,0)，∠DAB =60°，若动点P 从点A 出发，沿A →B →C →D →A →B →?的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2017秒时，点P 的坐标为( )A. (3√34,?14) B. (?3√34,?14) C. (?√3,0) D. (√3,0)二、填空题8.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图．则点A22的坐标为(____________，____________)．9.在平面直角坐标系中，点A1(1,0)，A2(2,3)，A3(3,2)，A4(4,5)，A5(5,4)，A6(6,7)…用你发现的规律，确定A2018的坐标为________10.在平面直角坐标系中，点A1(1,0)，A2(2,3)，A3(3,8)，A4(4,15)，…用你发现的规律确定点A n的坐标为___________．11.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0,1)，P2(1,1)，P3(1,0)，P4(1,?1)，P5(2,?1)，P6(2,0)，…，则点P2018的坐标是_____．12.在平面直角坐标系的x轴上用连续奇数作为长度顺次截取…OP1=1，P1P2=3，P2P3=5…△P n?1P n=2n?1(n为正整数)，再分别以每条线段为一边在第一象限内作等边三角形△OP1A1、△P1P2A2，△P2P3A3…△P n?1P n A n，如图，请结合图形完成下面探究．【规律探究】OP1=1，A1(12,√32)；OP2=1+3=12+3，A2(52,3√32)；OP3=1+3+5=22+5，A3(132,5√32)；OP4=1+3+5+7=32+7，A4(________，________)；…OP n=1+3+5+?…+2n?1=(n?1)2+2n?1，A n(________，________)．13.将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在射线上．14.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是______．15.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2021的坐标是___________．16.如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C 与原点重合，点A(?1,2)，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为_____三、解答题17.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标：A1:(________，________)，A3:(________，________)，A12:(________，________)；(2)写出点A n的坐标(n是正整数且为4的倍数)；(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向．18.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的对称中心的坐标为(x1+x22,y1+y22)．观察应用：(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0,?1)，P2(2,3)的对称中心是点A，则点A 的坐标为_________；(2)在(1)的基础上另取两点B(?1,2)，C(?1,0)有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A 的对称点P5处，….则P4，P8的坐标分别为_______，_______．19.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1，变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(?3,1)，A1(?3,2)，A2(?3,4)，A3(?3,8)；B(0,2)，B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)．(1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，点A4的坐标为_______，点B4的坐标为________；(2)若按(1)题找到的规律，将△OAB进行n次变换，得到△OA n B n，则点A n的坐标是________，B n的坐标是________．20.阅读：在平面直角坐标系内，对于点P(x,y)，我们把Q(?y+1,x+3)叫做它的伴随点．如点(2,1)的伴随点为(?1+1,2+3)，即(0,5)．(1)若点M的伴随点坐标为(?5,3)，则点M的坐标为______；(2)若点A1(a,b)的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4，…，以此类推，将所有点记为A n．①若点A104的坐标为(3,?1)，则点A1的坐标为______；②点A n有没有可能始终在y轴的右侧？若可能，请分别求出a，b的取值范围；若不可能，请说明理由；③设直角坐标系的原点为O，若点A n始终在一个半径为3的圆上，请直接写出OA n的最小值．21.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”.例如，点P(1,4)的“3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4)，即Q(7,13)．(1)已知点A(?2,6)的“1级关联点”是点A1，点B的“2级关联点”是B1(3,3)，求点A1和2点B的坐标；(2)已知点M(m?1,2m)的“?3级关联点”M′位于坐标轴上，求M′的坐标；答案和解析1.D解：∵A点坐标为(2,?2)，B点坐标为(?2,?2)，C点坐标为(?2,6)，∴AB=2?(?2)=4，BC=6?(?2)=8，∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=24，∵2019=84×24+3，∴当蚂蚁爬了2019个单位时，它所处位置在点A左边3个单位长度处，即(?1,?2)．2.D解：B2018的横坐标是(22019,0)，3.C解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019=4×504+3，当第504循环结束时，点P位置在(2016,0)，在此基础之上运动三次到(2019,2)，4.B解：由内到外规律，第1个正方形边上整点个数为4×1=4(个)，第2个正方形边上整点个数为4×2=8(个)，第3个正方形边上整点个数为4×3=12(个)，第4个正方形边上整点个数为4×4=16(个)；故第10个正方形边上的整点个数为40个．5.B解：在Rt△ABC中，∵OA=1，∠ABO=30°，∴AB=2，OB=√3∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴AC=1，BC=√3，∴点B第一次落在x轴上时，点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积=S△AOB+S△AC′B′+S扇形ABB′+S扇形C′B′B″=√3+60?π?22360+90?π?(√3)2360=√3+1712π，6.A解：∵点A的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,4)，∴OA=2，OD=4∵∠AOD=90°，∴AB=AD=√22+42=2√5，∠ODA+∠OAD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=(2√5)2=20，∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，∴∠ODA=∠BAA1，∴△ABA1∽△DOA，∴BA1OA =ABOD，即BA12=2√54，∴BA1=√5，∴CA1=3√5，∴正方形A1B1C1C的面积=(32×√20)2=20×(32)2…，第n个正方形的面积为20×(32)2n?2，∴第2016个正方形的面积20×(32)4030．7.B解：∵四边形ABCD是菱形，A(?√3,0)，∠DAB=60°，∴AC⊥BD，∠DAO=30°，OA=√3，∴在Rt△AOD中，OD=1，AD=2，∵点P的运动速度为0.5米/秒，∴从点A到点B所需时间=20.5=4秒，∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵2016÷16=126，∴第2016秒点P运动到点A处，∴第2017秒时，点P在AB边上靠近点A的14处，∵A(?√3,0)，B(0,?1)，∴P的坐标为(?3√34,?14).8.11 ；1解：观察，发现：A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,1)，A6(3,1)，A7(3,0)，A8(4,0)，A9(4,1)，∴A4n+1(2n,1)，A4n+2(2n+1,1)，A4n+3(2n+1,0)，A4n+4(2n+2,0)(n为自然数)，∵22=4×5+2，∴n=5，∴2n+1=2×5+1=11，∴点A22的坐标是(11,1)．9.(2018,2019)解：设A n(x,y)，∵当n=1时，A1(1,0)，即x=n=1，y=1?1=0，当n=2时，A2(2,3)，即x=n=2，y=2+1=3；当n=3时，A3(3,2)，即x=n=3，y=3?1=2；当n=4时，A4(4,5)，即x=n=4，y=4+1=5；…∴当点的位置在奇数位置横坐标与下标相等，纵坐标减1，当点的位置在偶数位置横坐标与下标相等，纵坐标加1，∴A n(x,y)的坐标是(n,n+1)∴点A2018的坐标为(2018,2019).10.(n,n2?1)解：∵点A1(1,0)，A2(2,3)，A3(3,8)，A4(4,15)，…∴横坐标是连续的正整数，纵坐标为：12?1=0，22?1=3，32?1=8，…∴点A n的坐标为：(n,n2?1)．11.(673,1)解：由图可得，P6(2,0)，P12(4,0)，…，P6n(2n,0)，P6n+1(2n,1)，2016÷6=336，∴P6×336(2×336,0)，即P2016(672,0)，∴P2017(672,1)，∴P2018(673,1)，故答案为(673,1)．12.(252 ,7√32)；(2n2?2n+12,2√3n?√32)解：OP1=1，A1(12,√32)；OP2=1+3=12+3，A2(52,3√32OP3=1+3+5=22+5，A3(132,5√32)；OP4=1+3+5+7=32+7，则横坐标为1+3+5+72=252，纵坐标为7√32，A4(252 ,7√32)；…OP n=1+3+5+?…+2n?1=(n?1)2+2n?1，则横坐标为1+3+···+(2n?3)+2n?12=(n?1)2+2n?12=2n2?2n+12，纵坐标为√3(2n?1)2，A n(2n2?2n+12,2√3n?√3213.AB解：把射线AB，CD，BC，DA上面的点分别列举，再找到规律，由规律即可求出点A2012所在的射线如图所示：根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样．因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，14.(15,16)解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，∴A1的坐标(0,1)，即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，∴A2的坐标为(1,2)，同理A3的坐标为(3,4)，…A n的坐标为(2n?1?1,2n?1)，故A?5的坐标为(25?1?1,25?1)即A5(15,16)15.(22020,22020)解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为(1,0)，∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1(1,1)，∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=√2，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3=2，∴B2(2,2)，同理可得，B3(22,22)，B4(23,23)，…B n(2n?1,2n?1)，∴点B2021的坐标是(22020,22020).16.(8,1)解：如下图所示：由题意可得上图，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标对应上图中的坐标，故A?5的坐标为：(8,1)．17.解：(1)(0,1)；(1,0)；(6,0);(2)当n=4时，A4(2,0)，当n=8时，A8(4,0)，当n=12时，A12(6,0)，所以A n(n2,0)；(3)点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100(50,0)，A101的(50,1)，所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上．解：(1)A1(0,1)，A3(1,0)，A12(6,0)；故答案为(0,1)，(1,0)，(6,0)；18.(1)(1,1)；(2)(2,?1)；(2,3)．解：(1)∵P1(0,?1)，P2(2,3)，∴根据对称中心的坐标公式可得：x=0+22=1，y=?1+32=1，∴A点坐标为(1,1)．(2)利用题中所给的对称中心的坐标公式进行计算，并结合下图可知：P1(0,?1)→P2(2,3)→P3(?4,1)→P4(2,?1)→P5(0,3)→P6(?2,1)→P7(0,?1)→P8(2,3)，因此P7点与P1点重合，P8点与P2点重合；∴P4、P8的坐标分别为(2,?1)，(2,3)．19.(1)A4(?3,16)，B4(0,10)；(2)A n(?3,2n)，B n(0,2n+2)．解：(1)∵A1(?3,2)，A2(?3,4)，A3(?3,8)；∴A点横坐标为?3，纵坐标依次为：2，22，23，…∴A4的纵坐标为：24=16，∴A4?(?3,16)，∵B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)，∴B点横坐标为0，纵坐标依次为：2+2，2×2+2，2×3+2，…∴B4的纵坐标为：2×4+2=10，∴B4?(0,10)；故答案为(?3,16)，(0,10)；(2)由(1)得出：A n(?3,2n)，B n(0,2n+2)．故答案为(?3,2n?)；(0,2n+2)．20.(1)(0,6)；(2)①(2,6)；②代数法：列不等式组{a>0a?2>0，{b+1>0b?3>0，两个不等式组均无解，因此点A n不可能始终在y轴的右侧，几何法：A1与A3的中点为(?1,2)，A2与A4的中点也为(?1,2)，说明点A n形成一个以(?1,2)为中心的对称图形，而点(?1,2)在第二象限，则必有部分点落在y轴的左侧．③由②得，Q(?1,2)就是该圆圆心，如图连接QO ，延长与圆Q 交于点A ，此时OA 最小，QO =√22+12=√5，OA =QA ?QO =3?√5，因此OA n 最小值为3?√5．解：(1)设点M(m,n)，则它的伴随点为(?n +1,m +3)，∵点M 的伴随点坐标为(?5,3)，∴?n +1=?5，m +3=3，解得，m =0，n =6，∴M(0,6)．故答案为(0,6)；(2)A n 的变化规律：A 1(a,b)→A 2(?b +1,a +3)→A 3(?a ?2,?b +4)→A 4(b ?3,?a +1)→A 5(a,b)…①法一：A 4与A 104坐标同为(3,?1)，即b ?3=3，?a +1=?1，则a =2，b =6；故答案为 (2,6)；21. 解：(1)∵点A(?2,6)的“12级关联点”是点A 1，∴A 1(?2×12+6,?2+12×6)，即A 1(5,1)，设点B(x,y)，∵点B 的“2级关联点”是B 1(3,3)，∴{2x +y =3x +2y =3，解得{x =1y =1，∴B(1,1)；(2)∵点M(m ?1,2m)的“?3级关联点”为M′(?3(m ?1)+2m,m ?1+(?3)×2m)，M′位于y 轴上，∴?3(m?1)+2m=0，解得：m=3∴m?1+(?3)×2m=?16，∴M′(0,?16)．。
坐标变换与参数方程教案全
§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是12121=+y x ．图2-1动脑思考 探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有OP = x i +y j ，1O P = x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ，因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】 （接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式⎩⎨⎧+=+=.,1010y y y x x x （2.1） 或 ⎩⎨⎧-=-=.,0101y y y x x x （2.2） 【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识 典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标： O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)． 解 由公式(2.2)，得⎩⎨⎧+=-=.1,211y y x x 将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O （－2，1），A （0，2），B （－3，3）， C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得9)1()2(22=-++y x ．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得112,1.x x y y =-⎧⎨=+⎩ 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识 强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标： A （3，2），B （－5，4），C （6，－2），D （1，－3），E （－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3 参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选 为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60º角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60º的直线（x 轴上方的部分）．容易求得其方程为01y x -=>（）．【想一想】为什么要附加条件1x >？ 动脑思考 探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t 的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M ),(y x 的坐标与时间t 的关系，得10c o s 601,(0)10s i n 60,x t t y t ⎧=+⎪>⎨=⎪⎩即51,(0).x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩ 时间t 确定后，点M ),(y x 的位置也就随之确定. 【想一想】为什么要附加条件0>t ？由此看到，曲线上动点M (x ，y )的坐标 x 和y ，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组⎩⎨⎧==).(),(t y y t x x （2.5） 来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t 叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f (x ，y )＝0叫做普通方程．（转下节）M§16.3 参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角θ为参变量，则cossin x ry rθθ=⎧⎨=⎩为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 与y 的对应值，以每一数对（x ，y ）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程32(R)x t t y t⎧=∈⎨=⎩ 的图形．解 由于,t ∈R 所以x ∈R ．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：以表中的每对（x ，y ）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t 换为θsin ，那么，曲线的范围会不会发生变化？ 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4 (3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．图2－7§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x或y的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．【课时安排】课时．【教学过程】动脑思考探索新知实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程．其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法．巩固知识 典型例题例3 将下列参数方程化为普通方程．（1）1,3x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩；（3）51,(0)x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩． 解 （1）由11x t t x==得，代入3y t =，得3y x=． （2）由3cos x α=得22cos 9x α=， 由3sin y α=得22sin 9y α=． 将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式22sin cos 1αα+=，得229x y +=．【小提示】对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。
初中数学 中考复习—坐标系中点的坐标变化规律题(1)(有答案)
2020中考复习—坐标系中点的坐标变化规律题(1)姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…循环爬行，其中A点的坐标为(2,−2)，B点的坐标为(−2,−2)，C点的坐标为(−2,6)，D点的坐标为(2,6)，当蚂蚁爬了2019个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为()A. (−2,0)B. (4,−2)C. (−2,4)D. (−1,−2)2.如图，在直角坐标系中，A(1,3)，B(2,0)，第一次将△AOB变换成△OA1B1，A1(2,3)，B1(4,0)；第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，A2(4,3)，B2(8,0)，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，……，则B2018的横坐标为()A. 22016B. 22017C. 22018D. 220193.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是()A. (2018,0)B. (2019,0)C. (2019,2)D. (2017,2)4.在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每正方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点的个数共有()A. 35个B. 40个C. 45个D. 50个5. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC 放入平面直角坐标系，顶点A 、B 分别落在x 、y 轴的正半轴上，∠OAB =60°，点A 的坐标为(1,0).将三角板ABC 沿x 轴向右作无滑动的滚动(先绕点A 按顺时针方向旋转60°，再绕点C 按顺时针方向旋转90°…)当点B 第一次落在x 轴上时，则点B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是( )A. √3B. √3+1712πC. √32+1712π D. √3+π6. 在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,4).延长CB 交x 轴于点A 1，作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第三个正方形A 2B 2C 2C 1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为( )A. 20×(32)4030B. 20×(32)4032C. 20×(32)2016D. 20×(32)20157. 如图，已知菱形ABCD 的顶点A(−√3,0)，∠DAB =60°，若动点P 从点A 出发，沿A →B →C →D →A →B →⋯的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，则第2017秒时，点P 的坐标为( )A. (3√34,−14) B. (−3√34,−14) C. (−√3,0) D. (√3,0)二、填空题8.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图．则点A22的坐标为(____________，____________)．9.在平面直角坐标系中，点A1(1,0)，A2(2,3)，A3(3,2)，A4(4,5)，A5(5,4)，A6(6,7)…用你发现的规律，确定A2018的坐标为________10.在平面直角坐标系中，点A1(1,0)，A2(2,3)，A3(3,8)，A4(4,15)，…用你发现的规律确定点A n的坐标为___________．11.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0,1)，P2(1,1)，P3(1,0)，P4(1,−1)，P5(2,−1)，P6(2,0)，…，则点P2018的坐标是_____．12.在平面直角坐标系的x轴上用连续奇数作为长度顺次截取…OP1=1，P1P2=3，P2P3=5…△P n−1P n=2n−1(n为正整数)，再分别以每条线段为一边在第一象限内作等边三角形△OP1A1、△P1P2A2，△P2P3A3…△P n−1P n A n，如图，请结合图形完成下面探究．【规律探究】OP1=1，A1(12,√32)；OP2=1+3=12+3，A2(52,3√32)；OP3=1+3+5=22+5，A3(132,5√32)；OP4=1+3+5+7=32+7，A4(________，________)；…OP n=1+3+5+⋯…+2n−1=(n−1)2+2n−1，A n(________，________)．13.将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在射线上．14.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是______．15.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2021的坐标是___________．16.如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A(−1,2)，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为_____三、解答题17.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标：A1:(________，________)，A3:(________，________)，A12:(________，________)；(2)写出点A n的坐标(n是正整数且为4的倍数)；(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向．18.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的对称中心的坐标为(x1+x22,y1+y22)．观察应用：(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0,−1)，P2(2,3)的对称中心是点A，则点A 的坐标为_________；(2)在(1)的基础上另取两点B(−1,2)，C(−1,0)有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，….则P4，P8的坐标分别为_______，_______．19.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1，变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(−3,1)，A1(−3,2)，A2(−3,4)，A3(−3,8)；B(0,2)，B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)．(1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，点A4的坐标为_______，点B4的坐标为________；(2)若按(1)题找到的规律，将△OAB进行n次变换，得到△OA n B n，则点A n的坐标是________，B n的坐标是________．20.阅读：在平面直角坐标系内，对于点P(x,y)，我们把Q(−y+1,x+3)叫做它的伴随点．如点(2,1)的伴随点为(−1+1,2+3)，即(0,5)．(1)若点M的伴随点坐标为(−5,3)，则点M的坐标为______；(2)若点A1(a,b)的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4，…，以此类推，将所有点记为A n．①若点A104的坐标为(3,−1)，则点A1的坐标为______；②点A n有没有可能始终在y轴的右侧？若可能，请分别求出a，b的取值范围；若不可能，请说明理由；③设直角坐标系的原点为O，若点A n始终在一个半径为3的圆上，请直接写出OA n的最小值．21.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”.例如，点P(1,4)的“3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4)，即Q(7,13)．(1)已知点A(−2,6)的“1级关联点”是点A1，点B的“2级关联点”是B1(3,3)，求点A1和2点B的坐标；(2)已知点M(m−1,2m)的“−3级关联点”M′位于坐标轴上，求M′的坐标；答案和解析1.D解：∵A点坐标为(2,−2)，B点坐标为(−2,−2)，C点坐标为(−2,6)，∴AB=2−(−2)=4，BC=6−(−2)=8，∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=24，∵2019=84×24+3，∴当蚂蚁爬了2019个单位时，它所处位置在点A左边3个单位长度处，即(−1,−2)．2.D解：B2018的横坐标是(22019,0)，3.C解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019=4×504+3，当第504循环结束时，点P位置在(2016,0)，在此基础之上运动三次到(2019,2)，4.B解：由内到外规律，第1个正方形边上整点个数为4×1=4(个)，第2个正方形边上整点个数为4×2=8(个)，第3个正方形边上整点个数为4×3=12(个)，第4个正方形边上整点个数为4×4=16(个)；故第10个正方形边上的整点个数为40个．5.B解：在Rt△ABC中，∵OA=1，∠ABO=30°，∴AB=2，OB=√3∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴AC=1，BC=√3，∴点B第一次落在x轴上时，点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积=S△AOB+S△AC′B′+S扇形ABB′+S扇形C′B′B″=√3+60⋅π⋅22360+90⋅π⋅(√3)2360=√3+1712π，6.A解：∵点A的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,4)，∴OA=2，OD=4∵∠AOD=90°，∴AB=AD=√22+42=2√5，∠ODA+∠OAD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=(2√5)2=20，∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，∴∠ODA=∠BAA1，∴△ABA1∽△DOA，∴BA1OA =ABOD，即BA12=2√54，∴BA1=√5，∴CA1=3√5，∴正方形A1B1C1C的面积=(32×√20)2=20×(32)2…，第n个正方形的面积为20×(32)2n−2，∴第2016个正方形的面积20×(32)4030．7.B解：∵四边形ABCD是菱形，A(−√3,0)，∠DAB=60°，∴AC⊥BD，∠DAO=30°，OA=√3，∴在Rt△AOD中，OD=1，AD=2，∵点P的运动速度为0.5米/秒，∴从点A到点B所需时间=20.5=4秒，∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．∵2016÷16=126，∴第2016秒点P运动到点A处，∴第2017秒时，点P在AB边上靠近点A的14处，∵A(−√3,0)，B(0,−1)，∴P的坐标为(−3√34,−14).8.11 ；1解：观察，发现：A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，A5(2,1)，A6(3,1)，A7(3,0)，A8(4,0)，A9(4,1)，∴A4n+1(2n,1)，A4n+2(2n+1,1)，A4n+3(2n+1,0)，A4n+4(2n+2,0)(n为自然数)，∵22=4×5+2，∴n=5，∴2n+1=2×5+1=11，∴点A22的坐标是(11,1)．9.(2018,2019)解：设A n(x,y)，∵当n=1时，A1(1,0)，即x=n=1，y=1−1=0，当n=2时，A2(2,3)，即x=n=2，y=2+1=3；当n=3时，A3(3,2)，即x=n=3，y=3−1=2；当n=4时，A4(4,5)，即x=n=4，y=4+1=5；…∴当点的位置在奇数位置横坐标与下标相等，纵坐标减1，当点的位置在偶数位置横坐标与下标相等，纵坐标加1，∴A n(x,y)的坐标是(n,n+1)∴点A2018的坐标为(2018,2019).10.(n,n2−1)解：∵点A1(1,0)，A2(2,3)，A3(3,8)，A4(4,15)，…∴横坐标是连续的正整数，纵坐标为：12−1=0，22−1=3，32−1=8，…∴点A n的坐标为：(n,n2−1)．11.(673,1)解：由图可得，P6(2,0)，P12(4,0)，…，P6n(2n,0)，P6n+1(2n,1)，2016÷6=336，∴P6×336(2×336,0)，即P2016(672,0)，∴P2017(672,1)，∴P2018(673,1)，故答案为(673,1)．12.(252 ,7√32)；(2n2−2n+12,2√3n−√32)解：OP1=1，A1(12,√32)；OP2=1+3=12+3，A2(52,3√32)；OP3=1+3+5=22+5，A3(132,5√32)；OP4=1+3+5+7=32+7，则横坐标为1+3+5+72=252，纵坐标为7√32，A4(252 ,7√32)；…OP n=1+3+5+⋯…+2n−1=(n−1)2+2n−1，则横坐标为1+3+···+(2n−3)+2n−12=(n−1)2+2n−12=2n2−2n+12，纵坐标为√3(2n−1)2，A n(2n2−2n+12,2√3n−√32)．13.AB解：把射线AB，CD，BC，DA上面的点分别列举，再找到规律，由规律即可求出点A2012所在的射线如图所示：根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样．因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，14.(15,16)解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，∴A1的坐标(0,1)，即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，∴A2的坐标为(1,2)，同理A3的坐标为(3,4)，…A n的坐标为(2n−1−1,2n−1)，故A 5的坐标为(25−1−1,25−1)即A5(15,16)15.(22020,22020)解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为(1,0)，∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1(1,1)，∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=√2，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3=2，∴B2(2,2)，同理可得，B3(22,22)，B4(23,23)，…B n(2n−1,2n−1)，∴点B2021的坐标是(22020,22020).16.(8,1)解：如下图所示：由题意可得上图，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标对应上图中的坐标，故A 5的坐标为：(8,1)．17.解：(1)(0,1)；(1,0)；(6,0);(2)当n=4时，A4(2,0)，当n=8时，A8(4,0)，当n=12时，A12(6,0)，所以A n(n2,0)；(3)点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100(50,0)，A101的(50,1)，所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上．解：(1)A1(0,1)，A3(1,0)，A12(6,0)；故答案为(0,1)，(1,0)，(6,0)；18.(1)(1,1)；(2)(2,−1)；(2,3)．解：(1)∵P1(0,−1)，P2(2,3)，∴根据对称中心的坐标公式可得：x=0+22=1，y=−1+32=1，∴A点坐标为(1,1)．(2)利用题中所给的对称中心的坐标公式进行计算，并结合下图可知：P1(0,−1)→P2(2,3)→P3(−4,1)→P4(2,−1)→P5(0,3)→P6(−2,1)→P7(0,−1)→P8(2,3)，因此P7点与P1点重合，P8点与P2点重合；∴P4、P8的坐标分别为(2,−1)，(2,3)．19.(1)A4(−3,16)，B4(0,10)；(2)A n(−3,2n)，B n(0,2n+2)．解：(1)∵A1(−3,2)，A2(−3,4)，A3(−3,8)；∴A点横坐标为−3，纵坐标依次为：2，2²，2³，…∴A4的纵坐标为：24=16，∴A4 (−3,16)，∵B1(0,4)，B2(0,6)，B3(0,8)，∴B点横坐标为0，纵坐标依次为：2+2，2×2+2，2×3+2，…∴B4的纵坐标为：2×4+2=10，∴B4 (0,10)；故答案为(−3,16)，(0,10)；(2)由(1)得出：A n(−3,2n)，B n(0,2n+2)．故答案为(−3,2n )；(0,2n+2)．20.(1)(0,6)；(2)①(2,6)；②代数法：列不等式组{a>0−a−2>0，{−b+1>0b−3>0，两个不等式组均无解，因此点A n不可能始终在y轴的右侧，几何法：A1与A3的中点为(−1,2)，A2与A4的中点也为(−1,2)，说明点A n形成一个以(−1,2)为中心的对称图形，而点(−1,2)在第二象限，则必有部分点落在y轴的左侧．③由②得，Q(−1,2)就是该圆圆心，如图连接QO ，延长与圆Q 交于点A ，此时OA 最小， QO =√22+12=√5，OA =QA −QO =3−√5， 因此OA n 最小值为3−√5．解：(1)设点M(m,n)，则它的伴随点为(−n +1,m +3)， ∵点M 的伴随点坐标为(−5,3)， ∴−n +1=−5，m +3=3， 解得，m =0，n =6， ∴M(0,6)．故答案为(0,6)；(2)A n 的变化规律：A 1(a,b)→A 2(−b +1,a +3)→A 3(−a −2,−b +4)→A 4(b −3,−a +1)→A 5(a,b)…①法一：A 4与A 104坐标同为(3,−1)，即b −3=3，−a +1=−1， 则a =2，b =6；故答案为 (2,6)；21. 解：(1)∵点A(−2,6)的“12级关联点”是点A 1，∴A 1(−2×12+6,−2+12×6)， 即A 1(5,1)， 设点B(x,y)，∵点B 的“2级关联点”是B 1(3,3)， ∴{2x +y =3x +2y =3，解得{x =1y =1，∴B(1,1)；(2)∵点M(m −1,2m)的“−3级关联点”为 M′(−3(m −1)+2m,m −1+(−3)×2m)， M′位于y 轴上，∴−3(m−1)+2m=0，解得：m=3∴m−1+(−3)×2m=−16，∴M′(0,−16)．。
坐标变换与找规律
笔记：图形平移时，对应点平移的距离相等。
观察 轴： ，直线 可表示为
观察 轴： ，直线 可表示为
笔记：①平行于x轴的直线上所有的点纵坐标相同，可表示为
②平行于y轴的直线上所有的点横坐标相同，可表示为
练习：(1)平面直角坐标系中，△ABC三点坐A（-1,0)，B(-2, - 3)
C(0,-2).将△ABC向上平移3个单位, 再向右平移3个单位，
练习：(1)如图，在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于直线 =2
的对称点坐标为（,）
（2）点P（3,5)和P（3,1)点关于（ ）对称.
A. =3 B. =-3C. =-3 D. =3
例3.（1）点A（2,3）关于x轴的对称点 的坐标为；点A关于y轴的对称点 的坐标为；点A关于原点的对称点 的坐标为；点 与点 关于对称.
(2)点M(a,b)与点N(-a,b)关于对称（ ）
A. 轴 B.原点 C. 轴 D. =
思考：当坐标系中一点P(1，3)关于 =2 对称，对称点坐标 （，).
当P（1, 3)关于 = 2对称，对称点的坐标点 (,)
笔记：点P( ， )关于 =a对称： (2a- , ).
点P( ， )关于 =b对称： ( ,2b- ).
（必会例题）（2）已知△ABC的面积为5，A（-1，1），点B（-1，-1），点C的纵坐标为3求点C的坐标.
【平面直角坐标素】【坐标与距 离】
练2-1.（1）已知直线 平行于 轴，点A、点B在直线 上，线段AB的长为3，且点B（-2，-2）则点A的坐标为，点C（-5，2）到直线的距离是.
（2）已知△ABC的面积为8，点A（-1，3），B（3，3），点C的横坐标为2，则点C的坐标.
2013中考压轴题选讲专题7_几何三大变换问题(排版+答案)
2012年中考数学压轴题分类解析专题7：几何三大变换相关问题授课老师：黄立宗典型例题选讲：例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A 的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）．例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M （2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。
(同步复习精讲辅导)八年级数学上册 坐标系中的两类问题讲义 (新版)苏科版
坐标系中的两类问题我们一起回顾1、坐标变换2、求面积重难点易错点解析坐标变换题一：(1) 在平面直角坐标系中，点P（，2）关于x轴的对称点的坐标为；(2) 在平面直角坐标系中，将点A（，3）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的点的坐标是；(3) 在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O 逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为．求面积题二：如图，A、B、C为一个三角形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，4）、（6，2）、（5，6）．请计算△ABC的面积．金题精讲题一：如图，△ABC在直角坐标系中，(1)请写出△ABC各点的坐标．(2)若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A′B′C ′，写出A′、B′、C ′的坐标．(3)求出三角形ABC的面积．题二：如图，Rt△AOB放置在坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，2），把Rt△AOB 绕点A按顺时针方向旋转90度后，得到Rt△AO′B′，则B′的坐标是（）A．（1，2） B．（1，3） C．（2，3） D．（3，1）题三：在直角坐标系中，已知点A（a+1，a）与点B（a，b a）关于y轴对称，（1）求a、b；（2）如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．思维拓展题一：已知点A坐标为（2, 3），那么点A关于一三象限角分线的对称点的坐标是什么？点A关于二四象限角分线的对称点坐标又是什么？学习提醒重点：关于x轴对称——纵反横不变关于y轴对称——横反纵不变上下平移——上加下减左右平移——左减右加旋转——转图形坐标系中求面积——割补法坐标系中的两类问题讲义参考答案重难点易错点解析题一：；(2) (1, 2)；(3) ( 4)点拨：关于x轴对称——纵反横不变；关于y轴对称——横反纵不变；上下平移——上加下减；左右平移——左减右加；旋转——转图形题二：5．点拨：坐标系中求面积——割补法金题精讲题一：(1) A，B(3, 1)，C(0, 2)；(2) A3, 0)，B′(2, 3)，C 1, 4)；(3) 7题二：D题三：（1）2，5；（2）6思维拓展题一：（3, 2），（）．。
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1．平移变换：
Ｐ（ｘ，ｙ）
左（右）平移ａ个单位：横坐标变化：左减右加 上（下）平移 b个单位：纵坐标变化：上加下减
Q（ｘ ａ，ｙ±b）
2．轴对称变换：
Ｐ（ｘ，ｙ）
关于X轴对称：纵同横反：Ｐ（—ｘ，ｙ） 关于Y轴对称：横同纵反：Ｐ（ｘ， —ｙ）
3．旋转变换（关于原点对称）
Ｐ（ｘ，ｙ） 关于原点O中心对称：横、纵坐标互为相反数
5
作DF⊥AB于F，则Rt△ADF∽Rt△CO′A
∴ AF DF AD
AC OA OC
F
C
（3）自己试着解答
精品课件！
精品课件！
ED
△ABC重叠部分为五边形CHFGR （当ｔ=0时，重叠部分为四边形CHFG）．
∵ Rt△RGB ∽Rt△CMB．
A
∴ BG
BM
RG ，即
CM
t 3
RG ，∴
6
RG 2t．
∵ Rt△AFH ∽Rt△AMC，
C
H
R B
O F ＭG x
（图1）
∴
AF HF AM CM
即 12 t 4 HF
●
Ａ
y
y -x y x
正比例函数Y=KX与
Ｏ●
双曲线相交于A、B两点 yk
x
x （ 1）A、B两点的横、纵坐
标互为相反数。
（2）OA=OB
●Ｂ
双曲线上每个小长方形面积 =∣x∣× ∣y∣ = ∣xy∣
y = ∣K∣
● (X,y)
●
x
y
k
(x
●
0)
x
★抛物线的对称性
（-9，1）B′ ●
y
常量a不变
顶点坐标变化
若把 抛物线：y 2( x 3)2 2
下移3个单位，右移4个单位
x
抛物线为y 2(x 1)2 5
（+1，-5）
★抛物线关于Y轴对称
y
y a(x h)2 k
抛物线关于Y轴对称
y a(x h)2 k
开口大小,方向,形状不变
常量a不变
1
∴对解称（轴1）为配直方线,x得=2，y 顶2 (点x 为2)P2 (12，–1) ．
取x=0 代入得y =1， ∴点A的坐标是(0，1) ∴点B 的坐标是(4，1)
设直线l的解析式为y =kx＋b(k≠0)
将B、P的坐标代入，有
图9
1 1
4k 2k
b, 解得
b,
k b
y 所以可设抛物线的解析式为： a( x 1)2
a(3 1)2 m
∴
a(0
1)2
m
3
∴抛物线的解析式为：
解得
a 1 m 4
y x2 2x 1
★策略与方法
y
（３）过Ｑ作ＱＭ⊥ＡＣ于Ｍ，过Ｑ作Ｑ Ｎ⊥ＢＣ于Ｎ，
B
设点Ｑ的坐标是：( x, x 2 2 x 1)
例2（09山西）如图，已知直线
l1
:
y
2 3
x
8 3
与直线
l2 : y 2x 16 相交于点C，L1﹑L2分别交X轴于A,B两点．矩形
DEFG的顶点D,E分别在直线L1,L2上，顶点F,G都在X轴上，
且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积； （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
y
y B
解 （1）由B（ 3 ， m）可知
BC=m，ＯＣ＝３
E
又△ABC为等腰直角三角形
∴ＡＣ＝ＢＣ＝ｍ，ＡＯ＝ｍ－３
∴点A的坐标是（ｍ－３ ，０）
DQ
x A O PF C
（2）∵ODA OAD 45 ∴ OD OA m3 ，则Ｄ（ｍ-３，０）
又抛物线顶点为Ｐ（１，０），且过点Ｂ，Ｄ，
L2
L1
EC D
又∵点Ｅ在Ｌ２上且
A O
B
F （G） x
yE yD 8，2xE 16 8． xE 4．
∴点E坐标为（４，８）
DE 8 4 4, EF 8.
★策略与方法
y
（3）解：作CM⊥X轴于M，则MB=3
Ｌ２ Ｌ１
①当０≤ｔ＜３时，如图1，矩形DEFG与
y
P●
●● A (2,5)
● B(1.1) x
直线X= - 4
★平移直线
平移直线 y kx b(k 0)
y
上平移2个单位
K值不变，b变化
右平移2.5个单位
●(0,+1 )
●
●
x
(-2,
(0.5,0)
0)
●(0,-
1. 把直线Y=-0.5X-1向上平移2个单位
1)
长度，平移后直线的解析式为 Y=-0.5X+1
则 QM CN (x 1)2 MC QN 3 x
E
∵ QM // CE ∴ PQM∽ PEC
D
Q
Ｎ
∴QM PM EC PC
∴ (x 1)2 x 1 EC 2
∴ EC 2(x 1)
x A O P FＭ C
∵ QN // FC ∴ BQN ∽ BFC
∴ 3 x 4 (x 1)2 ∴ FC 4
对称轴:直线X=-h 其对称图形解析式为
y a(x h)2 k y a(x h)2 k
三、涉及“图形变换”的压轴题赏析
例1 (09宁德)如图，已知抛物线C1：y ax 22 5的顶点为P，
与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1）抛物线C2与抛物线
9
6
∴ HF 2 (8 t) 3
∴
S
S△ABC
S△BRG
S△AFH
36
1 2
t
2t
1 2
8t
2 3
8
t ．
∴ S 4 t 2 16 t 44 ．
3
3
3
★策略与方法
②当3≤ｔ＜8时，如图2，矩形DEFG与 △ABC重叠部分为梯形HFGR
y Ｌ２
FC
4
x 1
∴ QN BN FC BC
∴ FC(AC EC) 4 [4 2(x 1)] 4 (2x 2) 4 2(x 1) 8
x 1
x 1
x 1
即：FC ·(AC+EC)为定值
例y 4=（12 0x29–四2x川＋资1的阳顶）点如为图P，，已A为知抛抛物线 物线与y轴的交点，过A与y轴垂直 的直线与抛物线的另一交点为B， 与抛物线对称轴交于点O′，过点 B和P的直线L交y 轴于点C，连结 O′C，将△ACO′沿O′C 翻折后， 点A落在点D的位置． (1) 求直线l的函数解析式； (2) 求点D的坐标； (3) 抛物线上是否存在点Q ，使得S△D Q C= S△D P B? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在， 请说明理由．
以平面直角坐标系为载体，将“几 种函数的图像或常见的几何图形”进 行平移、轴对称、旋转等变换，把图 形变换的性质与几何、方程、函数、 三角等知识有机结合，通过计算与证 明，着重考察学生的创新精神与实践 能力。这类在平面直角坐标系中以图 形变换为特征的题型，已是近年各地 中考命题的热点。
一、平面直角坐标系中点的坐标变换规律
A
角形时，求点Q的坐标．
BE
OQ
Fx
P
C4
图图（2 2）
★策略与方法
y
C1
解：(1)顶点P（-2，-5）；把点
●M
B（1，0）带入C1解析式，得a=5∕9. (2)连接PM，作PH⊥x轴于H，
H
A
O
C2
MG⊥x轴于G.
P
B
G
C2
x
C3
∵点P、M关于点B成中心对称
图（1）
∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG
由
y
2 3
x
8，
3得
y 2x 16．
x y
5， 6．
∴Ｃ（５，６）
A
EC D B
∴
S△ABC
1 2
AB·
yC
1 2
12 6
36．
O F （G） x
★策略与方法
y
（2）解：∵点Ｄ l1在上
则
xD
xB
8，
yD
2 3
8
8 3
8．
∴点D坐标为（８，８）
x 顶点坐标关于Y轴对称
●
X=-h
●
X＝h
顶点坐标（-h, k） 顶点坐标（h, k）
其对称图形解析式为
y a(x h)2 k
★抛物线关于Ｘ轴对称
y
y a(x h)2 k
抛物线关于X轴对称
开口大小，形状不变
仅开口方向改变
顶点坐标（-h, k）
●
x
常量a互为相反数
●
顶点坐标（-h, -k） 顶点坐标关于X轴对称
①当∠PNF＝90º时，PN 2 NF 2 PF 2 ，解得m＝44／3，∴Q（ 44／3 ，0）
②当∠PFN＝90º时，PF 2 NF 2 PN，2 解得m＝10 ／3 ，∴Q（10 ／3 ，0）
③∵ △PNF中， PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º