【高考复习】2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练5 Word版含解析

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全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练6理.doc

解答题滚动练61.已知函数_f(x)=cos 2^r+2sin2^+2sin x.JI r JI JI (1)将函数广(2x)的图象向右平移；个单位长度得到函数g(x)的图象，若,—，求函0 J.乙乙数g(x)的值域；⑵已知a, b, c分别为△/此'中角』，B,。

的对边，且满足b=2,辰(0,成)，f(A)=吏+1,胰a= 2力sin A,求ZX/H。

的面积.解f{x) =cos 2x+2sir?x+2sin x= cos 2x~\~ (1 —cos 2x) +2sin x=l + 2sin x.(1)平移可得g(x) =2sin(2x—耳］+1，r JI JI•12,'JI r JI 2 JI•Q y -- fZZ - -- -----3 6， 3 ，JI当入=正时，g(x)min=0；5 JI当X=~^时，&(才)max = 3 ,..•所求值域为[o, 3].⑵由已^n^3a=2Z?sin 4及正弦定理，得柬sin J=2sin ^sin A,..sin b=^~.JIJI二B=五,由f(W) =yj"^ +1,得sin A— %，由正弦定理，得加从而，=号~，•< _1 ,.厂1 2诉协+忠3+柘••S^ABC—Q abs 1 n C—X X 2 X —.Z L J O 7E O2.在等差数列｛&｝中，公差必0,勿=1,且切，血,禹成等比数列.(1)求数列｛绥｝的通项公式；⑵若上=令求数列｛〃｝的前刀项和Tn.解（1）由切，32, 35成等比数列知，总=3135,即（动+责』'（切+ 44）,即d=2axd,又必0, 31 = 1,解得d=2,故&=2刀一1.9n—1 1 Q 4 ?n— 1（2）bn= 2〃，则几=云+瑚+瑚------ 2〃 , ①O O U U O1 / 1 1,3,5, . 2/7—1 —由①式两边><S，有云久=瑚+瑚+卒 ----- 史+i , ②O O O 0由①一②,刀+ 1 化简得1=1一千.3.如图，在四棱锥夕一/时中，底面/助为平行四边形，AP=AB=AC=a, AD=y]2a, PAL 底面ABCD.⑴求证：平面冏平面0G（2）在棱任?上是否存在一点E,使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为一碧？若存在, 求出4=争^值；若不存在，请说明理由.⑴证明在△/6Z?中，AC=a, CD=a, AD=吏a,由勾股定理得CD勾AC,\9PA1_底面0%,:.PAL CD,又也U平面用C,用u平面用乙PAHAC=A,:.CDL平面06：又•.・67XZ平面物，・.・平面皿_L平面PAC.⑵解由（1）知，ABLAC,又用上底面/及刀，・.・以刀为原点，AB, AC, #所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则J(0, 0,0), B(a, 0, 0), C(0, a, 0), D( — a, a, 0), P(0, 0, a),CE 一一假设点E(&，Y E,勿)存在，且=—,则CE=入CP,即 3, Y E~ a., Z E)=人(0, ~a, a),・・ XE= 0, Y E= (1 — 4) a, ZE= 4 a.：.~AB= (a, 0, 0), AE= (0, (1一』)a, 』a), ~AD={~ a, a, 0).设平面冏拓的法向量为Z7i=(xi, yi, zi),平面/Z4E的法向量为4=(*2,巧，勿)，则J[必=0,[(1——久)ayi+ az\ = 0,J一翊+a 乃=0,[(1— 4)砂+ 4 必=0..*./71=(0,久，久——1),刀2=(久，久，人——1),! \ Z21 , z?2 2 + ( _ I)2cos s’ m2.^p2+ A2+p_1)22 2— 2 4+1 寸2 J — 2 4+1由题意 | cos〈〃i, ni) I = 土-, o叩.2,「一2』+l 避月3—2 11— 3 '3 (2 2—2 4+1) =2 (3 人之一2 人+1)，.•.棱密上存在一点反使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为一*,且此时4.对于函数/V)和g(x),若存在常数#, m,对于任意xER,不等式f(x) N奴+/Ng(x)都成立，则称直线y=kx+m是函数A A-) , g(x)的分界线.已知函数f3 =e'(<3x+l) (e为自然对数的底数，aER为常数).(1)讨论函数f(x)的单调性；⑵设日=1,试探究函数小(入)与函数g(x)=—x’ + 2x+l是否存在“分界线"？若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由.(0) =0,当解⑴•.•/*(*) =/(宓+1), 「・尸(x) =e'(ax+a+l),.••当a=0时，f' (x) >0, f{x)在R 上单调递增.:・f3单调递减；在［一弓土 +8)上，尸(x)>o, .•.f(x)单调递增.当a<0时，在［—8,一之三］上，f (x)>0,.../■(x)单调递增；在［―弓」’+8)上，f' (x)<0, .♦./■(X )单调递减.(2)假设存在直线 y=kx+m,使不等式 e*(x+l) ^kx+m^~x+ 2x+1, 当 x=0 时，由于 1N 成Nl, m= 1,kx~\~ IN — x + 2x+1 恒成立，x + (k —2) xNO 恒成立.令力=(#—2)2<0,解得 #=2,...只需不等式e\x+l)》2x+1恒成立即可.设力(x) =e"(x+l) —2x —1,则 0 (x) =e 、(x+2) —2,令(H (x))‘ =e'(x+3)=0,得 x= —3,.••当xV —3时，h' (x)单调递减；当x>~3时，h' (x)单调递增，且力' 8时，H (x)—— 2,.••当 xVO 时，h' (x)V0,「.//(x)单调递减；当x>0时，h' (x)>0, .・M(x)单调递增..../(X )min =」(O )=0.h ( JT ) =e 、(x+l) —2x —1N0,.・.不等式e 、(x+l) N2x+1恒成立.综上所述，函数/'(x)与函数g(x)存在分界线，其分界线方程为y=2x+l.。

2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练2 Word版含解析

2.数列1.(2017·原创押题预测卷)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18，所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15，所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ，① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3，从而b 1＝1，所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1).(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *，得T n ＝(1)22n n -，所以T n －1＝(1)(2)22n n --(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T nT n －1＝(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n 1－2－n ＝()2n－1λ－n ，所以S n ＋1>S n ⇔()2n ＋1－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2n λ>1⇔λ>12n ，因为对任意的n ∈N *，12n ≤12，故所求的λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－72n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m80.5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n3n －1(n ≥1，n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126.(2)证明由a n ＝n ·3n 3n －1＝n1－13n(n ≥1，n ∈N *)可得a 1·a 2·…·a n ＝n ！⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ＞12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝1－13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－12⎝⎛⎭⎫1－13n ＞1－12＝12. 故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立： ①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k 成立. 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ⎣⎡⎦⎤1－13k ＋1，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k －13k ＋1＋13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ，注意到13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＞0，所以⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1，这说明当n ＝k ＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＞12恒成立，故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数. (1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. (1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0，所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1，所以{c n }是等差数列.(2)证明设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1).所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. ②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1). 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列. ③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n ＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|. 对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1，故当n ≥m 时，c nn＞M .。

2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练2

解答题滚动练21.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解(1)由题意可得列联表如下：假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则K 2＝100×(20×30－45×5)265×35×25×75≈3.297＞2.706.所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关. (2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2， P (ξ＝0)＝C 220C 225＝1930，P (ξ＝1)＝C 120C 15C 225＝13，P (ξ＝2)＝C 25C 225＝130，所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×1930＋1×13＋2×130＝25.2.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.(1)证明以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz .由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，N (1，0，2)，M (2，1，2)，则BC 1＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，NM →＝(1，1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1＝(－2，0，2)，所以BC 1＝2FP →，即BC 1∥FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)解设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1). 设平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧NM →·m ＝0，NP →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0，－x ′＋(λ－2)z ′＝0，于是可取m ＝(λ－2，2－λ，1).若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，显然满足0＜λ＜2.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2). (1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋λn －1，∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1，由a 3＝5λ－1＝9，得λ＝2，于是a n ＝a n －1＋2n －1，即a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3， a n －2－a n －3＝2n －5，…，a 2－a 1＝3，n ＞3. 以上各式累加得a n ＝1＋(n －1)(2n ＋2)2＝n 2，n ＞3.经验证知，a 1，a 2，a 3也满足a n ＝n 2，故a n ＝n 2(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )＝(－1)n ·n (n ＋1)，故S 2n ＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n －1)·2n ＋2n ·(2n ＋1)＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n (－2n ＋1＋2n ＋1)＝2(2＋4＋6＋…＋2n )＝2·n (2n ＋2)2＝2n 2＋2n .4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F 1(－3，0)，M (1，y )(y ＞0)为椭圆上的一点，△MOF 1的面积为34.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点T 在圆x 2＋y 2＝1上，是否存在过点A (2，0)的直线l 交椭圆C 于点B ，使OT →＝55(OA→＋OB →)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的一个焦点为F 1(－3，0)知c ＝3，即a 2－b 2＝3.①又因为△MOF 1的面积为34，即12×3×y ＝34，求得y ＝32，则M ⎝⎛⎭⎫1，32，代入椭圆方程，得1a 2＋34b 2＝1.②由①②解得a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在过点A (2，0)的直线l 符合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0. (*)解得x B ＝8k 2－21＋4k 2，所以y B ＝－4k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2.所以OA →＋OB →＝⎝⎛⎭⎫16k 21＋4k 2，－4k 1＋4k 2，即OT →＝55⎝⎛⎭⎫16k 21＋4k2，－4k 1＋4k 2. 因为点T 在圆x 2＋y 2＝1上，所以15⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫16k 21＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫－4k 1＋4k 22＝1，化简得176k 4－24k 2－5＝0，解得k 2＝14，所以k ＝±12.经检验知，此时(*)对应的判别式Δ＞0，满足题意. 故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±12(x －2).。

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解答题滚动练71.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列.解 (1)由题意知本题是一个古典概型，记事件A 为“取出的3个球中至少有一个红球”，则事件A 的对立事件A 为“取出的3个球中没有红球”，因为试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C 39种结果，满足A 的条件有C 37种结果，所以P (A )＝1－P (A )＝1－C 37C 39＝712. (2)满足条件取出的3个球得分之和恰好为1分有两种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球，记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，有C 12C 23种结果.“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，有C 22C 14种结果.其中事件B 和C 是互斥事件，则P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＋a 8＝－10，S 10＝－35. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和T n .解 (1)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝－5，2a 1＋9d ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，所以a n ＝1－(n －1)＝2－n . (2)因为a n 2n －1＝12n －2－n ·12n －1，所以T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－⎝⎛⎭⎫1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，令S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2，S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，则T n ＝S n －S n ′，因为S n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ＝4－12n －2， S n ′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n ·12n －1，① 所以12S n ′＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ·12n ，②由①－②，得12S n ′＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n ·12n ＝1－12n1－12－n ·12n ＝2－12n －1－n ·12n ，所以S n ′＝4－12n －2－n ·12n －1，因此T n ＝S n －S n ′＝n2n －1.3.过点C (2，2)作一直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，点P 是抛物线y 2＝4x 上到直线l ：y ＝x ＋2的距离最小的点，直线AP 与直线l 交于点Q .(1)求点P 的坐标；(2)求证：直线BQ 平行于抛物线的对称轴. (1)解设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，所以点P 到直线l 的距离d ＝||x 0－y 0＋22＝⎪⎪⎪⎪y 204－y 0＋22＝||(y 0－2)2＋442≥22. 当且仅当y 0＝2时等号成立，此时P 点坐标为(1，2).(2)证明设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，显然y 1≠2.当y 1＝－2时，A 点坐标为(1，－2)，直线AP 的方程为x ＝1；当y 1≠－2时，直线AP 的方程为y －2＝y 1－2y 214－1(x －1)，化简得4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.综上，直线AP 的方程为4x －(y 1＋2)y ＋2y 1＝0.与直线l 的方程y ＝x ＋2联立，可得点Q 的纵坐标为y Q ＝2y 1－8y 1－2.当y 21＝8时，直线AC 的方程为x ＝2，可得B 点的纵坐标为y B ＝－y 1. 此时y Q ＝2y 1－8y 1－2＝2－4y 1－2＝2－4()y 1＋2y 21－4＝－y 1，即知BQ ∥x 轴，当y 21≠8时，直线AC 的方程为y －2＝y 1－2y 214－2(x －2)，化简得(4y 1－8)x －(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，与抛物线方程y 2＝4x 联立，消去x ，可得(y 1－2)y 2－(y 21－8)y ＋(2y 21－8y 1)＝0，所以点B 的纵坐标为y B ＝y 21－8y 1－2－y 1＝2y 1－8y 1－2.从而可得BQ ∥x 轴，所以BQ ∥x 轴.4.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x ，其中a ∈R . (1)当a ＞0时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋x 2－x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －1＝2x 2－x ＋a x，设g (x )＝2x 2－x ＋a ，Δ＝1－8a .①当a ≥18时，Δ≤0，g (x )≥0成立，故f ′(x )≥0成立，f (x )在(0，＋∞)上为增函数；②当0＜a ＜18时，Δ＞0，令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a 4.显然x 2＞x 1＞0，当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，综上，当a ≥18时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜18时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4，1＋1－8a 4上为减函数.(2)显然f (1)＝0，由x ≥1可知，当a ≥0时，a ln x ≥0，x 2－x ≥0，故f (x )≥0成立；当a ＜0时，Δ＝1－8a ＞0.令g (x )＝0，得x 1＝1－1－8a 4，x 2＝1＋1－8a4.显然x 1＜0，x 2＞0，当x ∈(0，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；若－1≤a ＜0，则x 2≤1，当x ≥1时，f (x )为增函数，故f (x )≥f (1)＝0成立；若a ＜－1，则x 2＞1，由f (x )在(0，x 2)上为减函数可知，当x ∈(1，x 2)时，f (x )为减函数， f (x )＜f (1)＝0与题意不符，舍去. 综上，a 的取值范围是[－1，＋∞).。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——考前回扣4 含答案

回扣4 数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q ≠0)前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ； (2)q ＝1，S n ＝na 12.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质等差数列等比数列性质 ①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m qn －m；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S m ≠0)(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．②通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．③中项公式法2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． ④前n 项和公式法S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法 ①定义法a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.答案 20解析设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝2×10＝20.2．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝____________. 答案 63解析 ∵a 4＋a 5＋a 6＝21，∴3a 5＝21，可得a 5＝7， ∴S 9＝9×(a 1＋a 9)2＝9×(2a 5)2＝9a 5＝63.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 的通项公式为________．答案 2n ＋1解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4，解得a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1.4．(2017·南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为__________．答案 ±4 2解析由S 9＝－36，S 13＝－104，可解得a 1＝4，d ＝－2，所以a 5＝－4，a 7＝－8. 设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32，所以x ＝±4 2.5．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5， ∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， ∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S nan ＝________.答案 2n－1解析设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n)1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1. 7．若数列{a n }满足a 2－a 1＞a 3－a 2＞a 4－a 3＞…＞a n ＋1－a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n ＝3a n ＋2λ－1()n ∈N *，则实数λ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析当n ＝1时，2a 1＝3a 1＋2λ－1，a 1＝1－2λ，当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1＋2λ－1，所以2a n ＝3a n －3a n －1，a n ＝3a n －1，所以a n ＝()1－2λ3n －1，a n －a n －1＝()1－2λ3n －1－()1－2λ3n －2＝()2－4λ3n －2，依题意()2－4λ3n －2是一个减数列，所以2－4λ＜0，λ＞12.8．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为________．答案 4解析据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列，可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{}c n 是首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知，a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10．(2017·江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)，①当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝1n b -，②由①②知a n ＝1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝32b b -.∵b 3＝6＋b 2， ∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n }的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又由a 1a 2a 3…a n ＝n b(n ∈N *)，得21×22×23 (2)＝n b，即(1)22,n n n b +=∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0，当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n－1，而n (n ＋1)2n－(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练7理.doc

的前刀项和(1)由题设可动+ 6d= —5, 2 & + 9(2)求数解答题滚动练71. 盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得一1分.现从盒内任取3个球.(1) 求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2) 求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率；(3) 设曰为取出的3个球中白色球的个数，求g 的分布列.解(1)由题意知本题是一个古典概型，记事件/为“取出的3个球中至少有一个红球”，则事件A 的对立事件丁为“取出的3个球中没有红球”，因为试验发生包含的所有事件为从9 个球中任取3个球有C*种结果，满足丁的条件有C ；种结果，所以夕(力=1一夕(丁)=1一§= 712' (2)满足条件取出的3个球得分之和恰好为1分有两种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球，记“取出1个红色球，2个白色球”为事件3有种结果.“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C,有CC ；种结果.其中事件3和C 是互斥事件, 则 P(BU 0 =P(0) +尸(。

(3) g 可能的取值为0, 1, 2, 3,则…c 、C1 5 ….CaCe 15R g =0)=另=五，f =1) = Q 3 =2g ,…c 、C3C6 3 …c ； 1R 言―2)—亏―T? R'_3)—覆—商f 的分布列为0 1 2 3 p 521 15 28 3 14 1 842. 已知等差数列｛&｝的前刀项和为& 且满足&+用=一10, So=—35.(1)求数列｛&｝的通项公式；解d — —l,所以 7L=2 + 1+^ ^~2^' ■所以尹，=^+2X«+3X§+.由①一②，得 •• +刀・标, =1+云+土+… 1 , 1 1——— 1 2〃 1 1 1 n •刁i= —n •芬 =2—芬所以 S/ =4_日^_刀.法i ，因此 T…=S…~S n '=声.过点。

2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练4

解答题滚动练41.(2017·佳木斯一中期中)已知函数f (x )＝34sin 2x ＋12cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝12，a ＝1，求△ABC 周长的最大值.解 (1)f (x )＝34sin 2x ＋12×12(1＋cos 2x )＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋14，由2x ＋π6＝2k π＋π2，得x ＝k π＋π6，k ∈Z ，当x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，f (x )有最大值34，即f (x )取最大值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)f (A )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋14＝12，sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， ∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，A ＝π3，∴12＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )24，∴b ＋c ≤2，a ＋b ＋c ≤3，即△ABC 周长的最大值为3. 2.已知数列{a n }满足：a 1＝－23，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4(n ∈N *).(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝32(a n ＋1)(n ∈N *)，若对一切n ∈N *，都有(1－b 1)(1－b 2)…(1－b n )≤λ2n ＋1成立，求实数λ的最小值.解 (1)因为a n ＋1＋1＝－2a n －33a n ＋4＋1＝a n ＋13a n ＋4，因为1a n ＋1＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1，所以1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为3，公差为3的等差数列，所以1a n ＋1＝3n ，∴a n ＝13n －1.(2)由(1)知b n ＝12n ，设f (n )＝2n ＋1·⎝⎛⎭⎫12·34·56…2n －12n (n ≥1，n ∈N *)，由f (n ＋1)f (n )＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4＜1，得λ≥32，即λ的最小值为32. 3.几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即甲公司与乙公司，“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”，这两家公司对“快递员”的日工资结算方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：(1)求乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系； (2)若将频率视为概率，回答下列问题：①记甲公司的“快递员”日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由.解 (1)由题意，当0≤n ≤83时，y ＝120元，当n ＞83时，y ＝120＋(n －83)×10＝10n －710， ∴乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120，0≤n ≤83，10n －710，n ＞83. (2)X 的所有可能取值为152，154，156，158，160.①由题意，P (X ＝152)＝0.1，P (X ＝154)＝0.1，P (X ＝156)＝0.2，P (X ＝158)＝0.3，P (X ＝160)＝0.3， ∴X 的分布列为∴期望E (X )＝152×0.1＋154×0.1＋156×0.2＋158×0.3＋160×0.3＝157.2. ②设乙公司的日工资为Y ，则E (Y )＝120×0.1＋130×0.2＋150×0.1＋170×0.4＋190×0.2＝159.由于甲公司的日工资的期望(均值)没有乙公司的日工资的期望(均值)高，∴小王应当到乙公司应聘“快递员”的工作.4.已知函数f (x )＝12x 2＋a cos x ，g (x )是f (x )的导函数.(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝π＋22x －π2＋4π8，求a 的值； (2)若a ≥0且f (x )在x ＝0时取得最小值，求a 的取值范围；(3)在(1)的条件下，当x ＞0时，求证g ′()x 2＋38x 2(1)解 f ′(x )＝x －a sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2－a ＝π＋22， ∴a ＝－1，经验证a ＝－1符合题意. (2)解 g (x )＝f ′(x )＝x －a sin x ，则g ′(x )＝1－a cos x .①当a ＝0时，f (x )＝12x 2，显然在x ＝0时取得最小值，∴a ＝0符合题意； ②当a ＞0时，(i)当1a ≥1即0＜a ≤1时，g ′(x )≥0恒成立，∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0，∴当x ＜0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在x ＝0时取得最小值， ∴当0＜a ≤1时符合题意；(ii)当0＜1a ＜1，即a ＞1时，在(0，π)内存在唯一x 0使g ′(x )＝0，即cos x 0＝1a .当x ∈(0，x 0)时，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos x ＞cos x 0＝1a ，∴g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1a －cos x ＜0， ∴g (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，即f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜f (0)，这与f (x )在x ＝0时取得最小值，即f (x )≥f (0)矛盾， ∴当a ＞1时不合题意.综上，a 的取值范围是[0，1]. (3)证明由(1)知，a ＝－1，此时g (x )＝x ＋sin x ，g ′(x )＝1＋cos x ，∴g ′(x )2＝1＋cos x 2＝⎪⎪⎪⎪cos x 2≥cos x2， ∴若要证原不等式成立，只需证cos x 2＋38x 2＞e x －1x成立.由(2)知，当a ＝1时，f (x )≥f (0)恒成立，即12x 2＋cos x ≥1恒成立，即cos x ≥1－12x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，∴cos x 2≥1－18x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，①∴只需证1－18x 2＋38x 21＋14x 2又由基本不等式知，1＋14x 2≥x (当且仅当x ＝2时取“＝”)，②∵①②两个不等式取”＝”的条件不一致，∴只需证x两边取对数得ln x ≥1－1x，③下面证③式成立，令φ(x )＝ln x －1＋1x ，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(1)＝0，即ln x －1＋1x ≥0，∴ln x ≥1－1x.即③式成立，∴原不等式成立.。

全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练5理.doc

解答题滚动练51.(2017 •北京)如图，在四棱锥尸一』成中，底面』助为正方形，平面0/a平面/砌，点所在线段用上，仞〃平面切G PA=PD=y[6, AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线欢与平面时所成角的正弦值.⑴证明设化BD交于.E,连接必如图.因为愆〃平面切G 平面切CTI平面破=班，所以PD//ME.因为四边形敬力是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.⑵解取欢的中点。

，连接弟OE.因为PA=PD,所以那_L也，又因为平面平面ABCD,且游u平面PAD,所以必＞_L平面ABCD.因为两u平面ABCD,所以OPLOE.因为四边形物⑦是正方形，所以OELAD.如图，建立空间直角坐标系赤*,则尸(0, 0,展)，力(2, 0, 0),以一2, 4, 0),航(4, -4, 0),社(2, 0, 一俎). 设平面战£?的法向量n= (x, y, z),n ■BD=g, 则＜_0 •应=0, J4x —4y=0, 〔2x —吏 z=0.(3)解令x=l,则尸1, z=吏.于是n= (1, 1,吏). 平面的法向量为p=(0, 1, 0),n • p 1所以cos 5, p)=扁¥=云由题意知二面角B — PD — A 为锐角，JI所以它的大小为 O设直线必与平面夕班所成的角为a,则sm a = |cos 5,丽 | 笑，\n\\MC\所以直线照与平面妍所成角的正弦值为绊.2. (2017 •安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有0, B,。

三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.(1) 若正、副班长两职只能由4 B,。

三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2) 若4 B,「三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解 ⑴先确定正、副班长，有A ；种选法，其余全排列有A?种，共有A 锵= 720(种)分工方案.(2)方法一设B,。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——解答题滚动练6 含答案

解答题滚动练61．在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . (1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B . (1)证明因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cos A ，因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3. 因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈(0，π)，所以sin C ＝33，由正弦定理知a sin A ＝c sin C ，即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32，即2a －3c ＝0.(2)解因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin(A －(A －B ))＝sin A cos(A －B )－cos A ·sin(A －B )＝43－310. 2．已知函数f (x )＝ax 3－2x －ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝b ，求a ＋b 的值；(2)在(1)的条件下，求函数f (x )零点的个数．解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2－1x，由题意，f ′(1)＝0，f (1)＝b ，解得，a ＝1，b ＝－1，所以a ＋b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－2x －ln x ，f ′(x )＝3x 2－2－1x ＝3x 3－2x －1x＝(x －1)(3x 2＋3x ＋1)x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为f (1)＝－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e 3－2e ＋1＞0，f (e)＝e 3－2e －1＞0，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f (x )有两个零点．3．已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，点P 是直线l ：x －2y ＝0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段AB 长度的最小值．解 (1)由题意可知，圆M 的半径r ＝2，设P (2b ，b )，因为PA 是圆M 的一条切线，A 为切点，所以∠MAP ＝90°，所以MP ＝(0－2b )2＋(4－b )2＝AM 2＋AP 2＝4，解得b ＝0或b ＝85，所以P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. (2)设P (2b ，b )，因为∠MAP ＝90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以圆过定点(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (3)因为圆N 方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.①圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0.②②－①得圆M与圆N的相交弦AB所在直线方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，点M到直线AB的距离d＝4 5b2－8b＋16，相交弦长AB＝24－d2＝41－45b2－8b＋16＝41－45⎝⎛⎭⎪⎫b－452＋645.当b＝45时，AB有最小值11.4．如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．解(1)由题意，PA＝2sinθ，QA＝4cosθ，所以l＝PA＋QA＝2sinθ＋4cosθ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)设f(θ)＝2sinθ＋4cosθ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由f′(θ)＝－2cosθsin2θ＋4sinθcos2θ＝2(22sin3θ－cos3θ)sin2θcos2θ，令f′(θ)＝0，得tanθ0＝22.且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，θ0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0＝22时，sinθ0＝13，cosθ0＝23，所以f(θ)的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．。

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4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小；(2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望. 解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E (S )； ②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解 (1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为 E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和，则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14；P (ξ＝18)＝12×13×2＝13；P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518；P (ξ＝30)＝13×16×2＝19；P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20.所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.(2017·云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110，从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 22C 26＝115，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 24C 26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有5人，不超过100 km/h 的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310.∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，310， ∴P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫3100⎝⎛⎭⎫7103＝3431 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫3101⎝⎛⎭⎫7102＝4411 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫3102⎝⎛⎭⎫7101＝1891 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫3103⎝⎛⎭⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E (ξ)＝np ＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解 (1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”. 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (x ＜μ－3σ)＋P (x ＞μ＋2σ)＝P (x ＜78.4)＋P (x ＞89.4) ＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120，所以P ()ξ＝0＝C 02⎝⎛⎭⎫1200⎝⎛⎭⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝⎛⎭⎫1201⎝⎛⎭⎫19201＝19200，P ()ξ＝2＝C 22⎝⎛⎭⎫1202⎝⎛⎭⎫19200＝1400，因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.。

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压轴大题突破练1.导数1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝e x －ax 2－2ax －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2－2x －1，f (－1)＝1e ，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，1e ，f ′(x )＝e x －2x －2，所以f ′(－1)＝1e，故曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －1e ＝1e []x －(－1)，即y ＝1e x ＋2e .(2)f (x )＝e x －ax 2－2ax －1求导得f ′(x )＝e x －2ax －2a ，令g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a ，则g ′(x )＝e x －2a (x ＞0). ①当2a ≤1，即a ≤12时，g ′(x )＝e x －2a ＞1－2a ≥0，所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a 在(0，＋∞)上为增函数， g (x )＞g (0)＝1－2a ≥0，即g (x )＝f ′(x )≥0，所以f (x )＝e x －ax 2－2ax －1在(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )＞f (0)＝1－0－0－1＝0，故a ≤12时符合题意.②当2a ＞1，即a ＞12时，令g ′(x )＝e x －2a ＝0，得x ＝ln 2a ＞0，当x ∈(0，ln 2a )时，g (x )＜g (0)＝1－2a ＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，ln 2a )上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0，与条件矛盾，故舍去. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 2.(2017·广东惠州调研)已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R ). (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，证明：对任意的x ＞0，f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2. (1)解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－(a －2)x －a x ＝(x ＋1)(2x －a )x.当a ≤0时，f ′(x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增. 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞a2，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫0，a2上单调递减. (2)证明当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，要证明f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2，只需证明e x －ln x －2＞0，设g (x )＝e x －ln x －2，则问题转化为证明对任意的x ＞0，g (x )＞0，令g ′(x )＝e x －1x ＝0，得e x ＝1x，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x 0，则x 0满足0e x ＝1x 0，当x 变化时，g ′(x )和g (x )的变化情况如下表：g (x )min ＝g (x 0)＝0x e －ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2，因为x 0＞0，且x 0≠1，所以g (x )min ＞21－2＝0，因此不等式得证. 3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝m (m ＜－2)有两个相异实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 1·x 22＜2. (1)解 f (x )＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1＝1－x x＝0⇒x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，所以y ＝f (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减. (2)证明由(1)可知，f (x )＝m 的两个相异实根x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0，由题意可知ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2，又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上单调递减，故x 2＞2，所以0＜x 1＜1，0＜2x 22＜1.令g (x )＝ln x －x －m ，则g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫2x 22＝(ln x 1－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln 2x 22－2x 22＝(ln x 2－x 2)－(ln2x 22－2x 22)＝－x 2＋2x 22＋3ln x 2－ln 2，令h (t )＝－t ＋2t2＋3ln t －ln 2(t ＞2)，则h ′(t )＝－1－4t 3＋3t ＝－t 3＋3t 2－4t 3＝－(t －2)2(t ＋1)t 3.当t ＞2时，h ′(t )＜0，h (t )在(2，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (2)＝2ln 2－32＜0.所以当x 2＞2时，g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫2x 22＜0，即g (x 1)＜g ⎝⎛⎭⎫2x 22，因为0＜x 1＜1，0＜2x 22＜1，g (x )在(0，1)上单调递增，所以x 1＜2x 22，故x 1·x 22＜2. 综上所述，x 1·x 22＜2.4.(2017届重庆市一中月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，且函数g (x )＝12x 2＋nx ＋mf ′(x )(m ，n ∈R )，当且仅当在x ＝1处取得极值，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝a (1－x )x(x ＞0)，当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0，得x ＞1，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)因为函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，则f ′(2)＝1，即a ＝－2，所以g (x )＝12x 2＋nx ＋m ⎝⎛⎭⎫2－2x ，所以g ′(x )＝x ＋n ＋2m x 2＝x 3＋nx 2＋2mx 2，因为g (x )在x ＝1处有极值，故g ′(1)＝0，从而可得n ＝－1－2m ，则g ′(x )＝x 3＋nx 2＋2m x 2＝(x －1)(x 2－2mx －2m )x 2，又因为g (x )仅在x ＝1处有极值，所以x 2－2mx －2m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，当m ＞0时，－2m ＜0，易知∃x 0∈(0，＋∞)，使得x 20－2mx 0－2m ＜0，所以m ＞0不成立，故m ≤0，当m ≤0且x ∈(0，＋∞)时，x 2－2mx －2m ≥0恒成立，所以m ≤0.综上，m 的取值范围是(－∞，0].5.(2017·湖北沙市联考)已知函数f (x )＝e －x (ln x －2k )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直. (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝1－x (ln x ＋1)e x，对任意x ＞0，证明：(x ＋1)·g (x )<e x ＋e x －2. (1)解因为f ′(x )＝1x－ln x ＋2k e x (x ＞0)，由已知得f ′(1)＝1＋2k e ＝0，所以k ＝－12.所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x，设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x 2－1x ＜0在(0，＋∞)上恒成立，即k (x )在(0，＋∞)上单调递减，由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0，当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).(2)证明因为x ＞0，要证原式成立即证g (x )e x ＜1＋e－2x ＋1成立.当x ≥1时，由(1)知g (x )≤0＜1＋e－2成立；当0＜x ＜1时，e x ＞1，且由(1)知，g (x )＞0，所以g (x )＝1－x ln x －xe x ＜1－x ln x －x ，设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0，1)，则F ′(x )＝－(ln x ＋2)，当x ∈(0，e －2)时，F ′(x )＞0，当x ∈(e －2，1)时，F ′(x )＜0，所以当x ＝e－2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －2，所以g (x )＜F (x )≤1＋e －2，即当0＜x ＜1时，g (x )＜1＋e －2.①综上所述，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2恒成立.令G (x )＝e x －x －1(x ＞0)，则G ′(x )＝e x －1＞0恒成立，所以G (x )在(0，＋∞)上单调递增， G (x )＞G (0)＝0恒成立，即e x ＞x ＋1＞0，即0＜1e x ＜1x ＋1.②当x ≥1时，有g (x )e x ≤0＜1＋e －2x ＋1；当0＜x ＜1时，由①②式，g (x )e x ＜1＋e－2x ＋1.综上所述，当x ＞0时，g (x )e x ＜1＋e－2x ＋1成立，故原不等式成立.6.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x2x ，其中常数k ＞0. (1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性；(2)当k ∈[4，＋∞)时，若曲线y ＝f (x )上总存在相异的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，使曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处的切线互相平行，试求x 1＋x 2的取值范围. 解 (1)由已知得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝k ＋4k x －x 2＋4x 2＝－x 2－⎝⎛⎭⎫k ＋4k x ＋4x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(k ＞0). ①当0＜k ＜2时，4k ＞k ＞0，且4k＞2，所以x ∈(0，k )时，f ′(x )＜0；x ∈(k ，2)时，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )＜0在区间(0，2)内恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数； ③当k ＞2时，0＜4k ＜2，k ＞4k，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )＜0；x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )＞0，所以函数在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数. (2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，x 1x 2＞0且x 1≠x 2，即k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4k x 2－4x 22－1，化简得，4(x 1＋x 2)＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x 1x 2. 由x 1x 2＜⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，得4(x 1＋x 2)＜⎝⎛⎭⎫k ＋4k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，即(x 1＋x 2)＞16k ＋4k对k ∈[4，＋∞)恒成立，令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2＝k 2－4k2＞0对k ∈[4，＋∞)恒成立.所以g (k )在[4，＋∞)上是增函数，则g (k )≥g (4)＝5，所以16k ＋4k ≤165，所以(x 1＋x 2)＞165，故x 1＋x 2的取值范围为⎝⎛⎭⎫165，＋∞.。

全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练1理.doc

解答题滚动练11.(2017届长郡中学模拟)四边形如％如图所示，已知AB=BC=CD=2, AD=2^3.(1)求/cos A~cos。

的值；(2)记△姗与△助的面积分别是S与&,求击+&的最大值.解⑴在△刃及?中，BD=A^+A〃—2AB・AD COS，=16一8也COS A,在△冏％中，BB=BO,CB—2BC,CD COS C=8—8COS C,所以漆cos A—cos C=l.(2)依题意强=£朋•应色比勺=12 —12cosW• 6Z^sin七 =4—4cos/所以 5?+&=12 — 12cos粉+4—4COS2C— 16—4(cos C~\~ 1)2—4cos2f =—Scos2^—8cos 61+12 = —8^cos C+^+14,因为2^ —2V刃V4,所以 8—8cos C= BBW (16 —16).解得一IVcos CVy^ —],所以5?+&W14,当cos C=一§时取等号，即§+戎的最大值为14.2.已知等差数列｛aj的公差为2,前刀项和为&且S, Si,但成等比数列.(1)求数列｛aJ的通项公式；(2)设G+D (a+5)，数列｛如｝的前〃项和为I，求证：T n<-⑴解L.等差数列｛&｝的公差为2,前”项和为，. 〃(刀一1) 2・・ &=刀31+ 言d-—- n n~\~nai....s, &, S成等比数列,1 - 5 -1 -2 +- 1 - 1 -3 +- 1 - 1 - 4+- 1 - 21 +刀.•.&=&・BP （22—2+2ai ）2=ai •（妒—4+4戚，化为（l + ai ）2=ai （3 + ai ）,解得 ai = l.31+（72— 1） d=l+2 （〃一 1） =2/1— 1.⑵证明由⑴可得&=2刀—1,则勿=（&,+ i ）（&+5）（2〃—1 + 1）（2〃—1 + 5厂〃（〃+2厂 d2刀+3 2 （刀+1）（刀+2）V/?eN*,2刀+3.•.2（〃+1）（〃+2）＞°'3 2 刀+3 3 口口 3...「2（〃+1）（〃+2）3 即综上所述，3. 如图，在三棱柱 ABC-A^G 中，侧面 ACQAyL 底面/WG ZA l AC=60° , AC=2AA l = 4, 点D, £分别是WC 的中点.⑴证明：庞〃平面43C ；（2）若AB=2, ZBAC=60° ,求直线庞与平面ABB.A,所成角的正弦值.⑴证明取花的中点凡连接庭7, EF,... 0是死的中点，EF//AB,ABC —AiBC 是三棱柱，AB// AB,:.EF// AB,:.涉'〃平面AW,〃是的中点,1- 1一刀 +0,DF 〃 A 、C,:.班〃平面A^C.又 EFC DF= F,平面奶'〃平面ABC, :.庞〃平面ABC.(2)解过点4作AO±AC,垂足为0,连接0B,•..侧面ACGA1底面ABC,:.40_L 平面如...AOLOB, AxOLOC.VZAJC=60° , 04 = 2,0A=\, 0A=y[3,'：AB=2, ZOAB=60° ,由余弦定理，得0^=0A + Aff-20A • ABcosZBAC=3,:.0B=y[3, ZAOB=90° ,OB LAC,分别以站，OC, <21所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：解答题滚动练8 含解析精品

解答题滚动练81.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围. 解 (1)根据倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12，又因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )，因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，因为0＜B ＜2π3，所以l ∈(2，3].2.某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为2万元，贷款期限有6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的困难户中抽取了100户进行了调查统计，其贷款期限的频数如下表：以上表各种贷款期限的频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.(1)某小区2017年共有3户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为12个月的概率；(2)设给享受此项政策的某困难户补贴为ξ元，写出ξ的分布列，若预计2017年全市有3.6万户享受此项政策，估计2017年该市共要补贴多少万元.解(1)由已知一困难户选择贷款期限为12个月的概率是0.4，所以小区2017年准备享受此项政策的3户恰有两户选择贷款期限为12个月的概率是P1＝C23×0.42×0.6＝0.288.(2)P(ξ＝200)＝0.2，P(ξ＝300)＝0.6，P(ξ＝400)＝0.2，所以ξ的分布列是E(ξ)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.所以估计2017年该市共要补贴1 080万元.3.(2017·北京丰台二模)如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD ＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD.(1)若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；(2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；(3)在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求FHHC的值；若不存在，请说明理由.(1)证明由已知得EF∥CD，且EF＝CD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以有BG∥CD.因为G是棱AB的中点，所以BG＝CD.所以EF∥BG，且EF＝BG，故四边形EFBG为平行四边形，所以EG∥FB.因为FB⊂平面BDF，EG⊄平面BDF，所以EG∥平面BDF.(2)解因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥DC.因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝DC，DE⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD.在△ABD中，因为∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，所以由余弦定理，得BD＝3，所以AD⊥BD.在等腰梯形ABCD中，可得DC＝CB＝1.如图，以D 为原点，以DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，E (0，0，1)，B (0，3，0)，F ⎝⎛⎭⎫－12，32，1，所以AE →＝(－1，0，1)，DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，1，DB →＝(0，3，0).设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，－12x ＋32y ＋z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝0，得n ＝(2，0，1).设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AE →，n 〉|＝|AE →·n ||AE →|| n |＝1010，所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1010. (3)解线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .理由如下：假设线段FC 上存在点H ，设H ⎝⎛⎭⎫－12，32，t (0≤t ≤1)，则DH →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，t ，设平面HAD 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DH →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，－12a ＋32b ＋tc ＝0，取c ＝1，则a ＝0，b ＝－23t ，得m ＝⎝⎛⎭⎫0，－23 t ，1.要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需m ·n ＝0，即2×0－23t ×0＋1×1＝0，此方程无解. 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .4.已知函数f (x )＝a ln x ＋b (a ，b ∈R )，曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y －1＝0. (1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )＋1x≥1；(3)已知满足x ln x ＝1的常数为k .令函数g (x )＝m e x ＋f (x )(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)，若x ＝x 0是g (x )的极值点，且g (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围. (1)解 f (x )的导函数f ′(x )＝ax，由曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为x －y －1＝0，知f ′(1)＝1，f (1)＝0，所以a ＝1，b ＝0. (2)证明令u (x )＝f (x )＋1x －1＝ln x ＋1x －1，则u ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当0＜x ＜1时，u ′(x )＜0，u (x )单调递减；当x ＞1时，u ′(x )＞0，u (x )单调递增，所以当x ＝1时，u (x )取得极小值，也即最小值，该最小值为u (1)＝0，所以u (x )≥0，即不等式f (x )＋1x ≥1成立.(3)解函数g (x )＝m e x ＋ln x (x ＞0)，则g ′(x )＝m e x ＋1x，当m ≥0时，g ′(x )＞0，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g (x )无极值，不符合题意；当m ＜0时，由g ′(x )＝m e x ＋1x ＝0，得e x ＝－1mx，结合y ＝e x ，y ＝－1mx 在(0，＋∞)上的图象可知，关于x 的方程m e x ＋1x ＝0一定有解，其解为x 0(x 0＞0)，且当0＜x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )在(0，x 0)内单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )在(x 0，＋∞)内单调递减. 则x ＝x 0是函数g (x )的唯一极值点，也是它的唯一最大值点， x ＝x 0也是g ′(x )＝0在(0，＋∞)上的唯一零点，即m 0e x＝－1x 0，则m ＝－10e x x 0.所以g (x )max ＝g (x 0)＝m 0e x＋ln x 0＝－1x 0＋ln x 0.由于g (x )≤0恒成立，则g (x )max ≤0，即－1x 0＋ln x 0≤0，(*)考查函数h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1x ＋1x2＞0，所以h (x )为(0，＋∞)上的增函数，且h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1－e ＜0，h (e)＝1－1e＞0，又常数k 满足k ln k ＝1，即－1k ＋ln k ＝0，所以k 是方程－1x 0＋ln x 0＝0的唯一根，于是不等式(*)的解为x 0≤k ，又函数t (x )＝－1e x x (x ＞0)为增函数，故m ＝－10e x x 0≤－1e k k ，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e k k .。

2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习：解答题滚动练6 Word版含解析

解答题滚动练61.已知函数f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x .(1)将函数f (2x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求函数g (x )的值域；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足b ＝2，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (A )＝2＋1，3a ＝2b sin A ，求△ABC 的面积.解 f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x ＝cos 2x ＋(1－cos 2x )＋2sin x ＝1＋2sin x . (1)平移可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2， ∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，当x ＝π12时，g (x )min ＝0；当x ＝5π12时，g (x )max ＝3，∴所求值域为[0，3].(2)由已知3a ＝2b sin A 及正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ， ∴sin B ＝32. ∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3，由f (A )＝2＋1，得sin A ＝22，由正弦定理，得a ＝263＜b ，从而A ＝π4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×263×2×6＋24＝3＋33.2.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1，a 2，a 5成等比数列知，a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即d 2＝2a 1d ，又d ≠0，a 1＝1，解得d ＝2，故a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n －13n ，则T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 由①式两边×13，有13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n 1，②由①－②，得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1⇒23T n ＝13＋232⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－2n －13n ＋1，化简得T n ＝1－n ＋13n .3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AP ＝AB ＝AC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥底面ABCD.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角B －AE －D 的平面角的余弦值为－63？若存在，求出λ＝CECP的值；若不存在，请说明理由.(1)证明在△ACD 中，AC ＝a ，CD ＝a ，AD ＝2a ，由勾股定理得CD ⊥AC ， ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC . 又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面P AC .(2)解由(1)知，AB ⊥AC ，又P A ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——解答题滚动练3 含答案

解答题滚动练31．(2017·镇江期末)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的大小．解方法一 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，所以sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，则cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. (2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.方法二 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，tan α＝2，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. (2)由(1)知，2cos α－sin α＝0，且cos 2α＋sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝255，cos α＝55，以下同方法一(2)．2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，DC ∥AB ，DC ＝2AB ，E 为棱PA 上一点． (1)设O 为AC 与BD 的交点，若PE ＝2AE ，求证：OE ∥平面PBC ； (2)若DE ⊥AP ，求证：PB ⊥DE .证明 (1)在△AOB 与△COD 中，因为DC ∥AB ，DC ＝2AB ，所以AO CO ＝AB CD ＝12，又因为PE ＝2AE ，所以在△APC 中，有AO CO ＝AE PE ＝12，则OE ∥PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以OE ∥平面PBC . (2)因为AB ⊥平面PAD ，DE ⊂平面PAD ，所以AB ⊥DE .又因为AP ⊥DE ，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，AP ∩AB ＝A ，所以DE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥PB .3．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)． (2)①当0<x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236， ②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －8)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x ＞7.∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236x ，0<x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x ＞7.当0<x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时f (x )有最小值28267≈404(元)，当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ＋321≥393，当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．4．已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且0＜x 1＜x 2，求证：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)． (1)解当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)解 g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0，则g (e)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e 2，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.(3)证明因为f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0)，B (x 2,0)，所以方程2ln x －x 2＋ax ＝0的两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21＋ax 1＝0，2ln x 2－x 22＋ax 2＝0，两式相减得a ＝(x 1＋x 2)－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2，又f (x )＝2ln x －x 2＋ax ，f ′(x )＝2x －2x ＋a ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝4x 1＋x 2－(x 1＋x 2)＋a ＝4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2.下证4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即证明2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，令t ＝x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证明u (t )＝2(1－t )t ＋1＋ln t ＜0在0＜t ＜1上恒成立．因为u ′(t )＝－2(t ＋1)－2(1－t )(t ＋1)2＋1t ＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2，又0＜t ＜1，所以u ′(t )＞0，所以u (t )在(0,1)上是增函数，则u (t )＜u (1)＝0，从而知2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，故4x 1＋x 2－2(ln x 1－ln x 2)x 1－x 2＜0，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立．。

2018年高考数学总复习考前三个月(全国通用) 解答题滚动练 5理数Word版含答案

解答题滚动练51.(2017·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值. (1)证明设AC ，BD 交于点E ，连接ME ，如图.因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ，所以PD ∥ME .因为四边形ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.(2)解取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD ，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD .因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为四边形ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，则P (0，0，2)，D (2，0，0)，B (－2，4，0)，BD →＝(4，－4，0)，PD →＝(2，0，－2). 设平面BDP 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1，1，2).平面PAD 的法向量为p ＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝12.由题意知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为π3.(3)解由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，C (2，4，0)，MC →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，MC →〉|＝|n ·MC →||n ||MC →|＝269，所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.2.(2017·安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有A ，B ，C 三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.(1)若正、副班长两职只能由A ，B ，C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？ (2)若A ，B ，C 三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解 (1)先确定正、副班长，有A 23种选法，其余全排列有A 55种，共有A 23A 55＝720(种)分工方案. (2)方法一设A ，B ，C 三人的原职务分别是a ，b ，c ，当ABC 任意一人都不担任abc 职务时有A 34A 44种；当ABC 中一人担任abc 中的职务时，有C 13A 12A 24A 44种；当ABC 中两人担任abc 中的职务时，有3C 23A 14A 11A 44种；当ABC 中三人担任abc 中的职务时，有2A 44种；故共有A 34A 44＋C 13A 12A 24A 44＋3C 23A 14A 44＋2A 44＝134A 44＝3 216(种)分工方案.方法二担任职务总数为A 77种，当A 担任原职务时有A 66种，同理BC 各自担任原职务时也各自有A 66种，而当AB ，BC ，CA 同时担任原职务时各有A 55种；当ABC 同时担任原职务时有A 44种，故共有A 77－3A 66＋3A 55－A 44＝134A 44＝3 216(种)分工方案.3.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又当n ＝1时，b 1＝S 1＝2－b 1，所以b 1＝1，当n ≥2时，S n ＝2－b n ，① S n －1＝2－b n －1，②由①－②，得b n ＝－b n ＋b n －1，即b n b n －1＝12，所以{b n }是首项为1，公比为12的等比数列，故b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －12n －1，则T n ＝120＋321＋522＋…＋2n －12n －1， ③ 12T n ＝121＋322＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，④③－④得12T n ＝120＋221＋222…＋22n －1－2n －12n＝1＋1＋12＋…＋12n －2－2n －12n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n .所以T n ＝6－2n ＋32n －1.4.已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝8. (1)求椭圆的方程；(2)直线l 过右焦点F 2(5，0)(不与x 轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A ，B ，在x 轴上是否存在一个定点P (x 0，0)，使得PA →·PB →的值为定值？若存在，写出P 点的坐标(不必求出定值)；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，c ＝5，|MF 1|2＋|MF 2|2＝4c 2＝20，|MF 1|·|MF 2|＝8， ∴(|MF 1→|＋|MF 2→|)2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝36，解得|MF 1|＋|MF 2|＝6，即2a ＝6，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)方法一设直线l 的方程为x ＝my ＋5，代入椭圆方程并消元整理得(4m 2＋9)x 2－185x ＋45－36m 2＝0. ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝1854m 2＋9，x 1x 2＝45－36m24m 2＋9，则y 1y 2＝1m 2(x 1－5)(x 2－5)＝1m 2[](x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5＝－164m 2＋9，PA →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2 ＝45－36m 24m 2＋9－1854m 2＋9x 0＋x 20＋－164m 2＋9＝(4x 20－36)m 2＋9x 20－185x 0＋294m 2＋9，令PA →·PB →＝t ，则(4x 20－36)m 2＋9x 20－185x 0＋29＝t (4m 2＋9)，比较系数得4x 20－36＝4t 且9x 20－185x 0＋29＝9t ，消去t 得36x 20－36×9＝36x 20－725x 0＋29×4，解得x 0＝1195. ∴在x 轴上存在一个定点P ⎝⎛⎭⎪⎫1195，0，使得PA→·PB →的值为定值－12481. 方法二当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －5)(k ≠0)，代入椭圆方程并消元整理得(9k 2＋4)x 2－185k 2x ＋45k 2－36＝0，①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝185k 24＋9k 2，x 1x 2＝45k 2－364＋9k2，y 1y 2＝k 2(x 1－5)(x 2－5)＝k 2[]x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5＝－16k24＋9k2，PA →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－364＋9k2，令PA →·PB →＝t ，则(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－36＝t (4＋9k 2)， 9x 20－185x 0＋29＝9t ，且4x 20－36＝4t ，解得x 0＝1195，此时t 的值为－12481.当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝5，代入椭圆方程，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫5，－43，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，43，PA →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－295，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫－295，43＝2081－169＝－12481，。

教育最新2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(12) Word版含解析

12＋4满分练(12)1.已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A.∅B.{x |1＜x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |1＜x ≤2}答案 C解析由已知可得A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}. 2.(2017·江门一模)i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则复数z 的模|z |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B解析由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2.3.(2017·四川联盟三诊)已知α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝513，则sin α等于( ) A.5213 B.1213 C.7226 D.17226 答案 C解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝513， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1213，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝1213×22－513×22＝7226. 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )A. 5B.2 2C.3D.3 2 答案 C解析三视图的直观图为三棱锥E －BCD ，如图：CD ＝1，BC ＝5，BE ＝5，CE ＝22，DE ＝3，所以最长边为DE ＝3.5.已知ω为正整数，若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π 答案 D解析函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋π4≥－π2，π6ω＋π4≤π2，ω∈N *，解得ω＝1，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π，故选D.6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A.3B.4C.5D.6 答案 B解析第一次循环得S ＝0＋20＝1，k ＝1；第二次循环得S ＝1＋21＝3，k ＝2；第三次循环得S ＝3＋23＝11，k ＝3；第四次循环得S ＝11＋211＝2 059，k ＝4，但此时S 不满足条件S ＜100，输出k ＝4，故选B.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(2，8) C.⎝⎛⎦⎤2，174 D.(0，8)答案 C解析函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根，令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2，0＜t 1＜t 2≤4，即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0，4]上有两个不同的实数根.对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1，这意味着Δ＝b 2－4>0⎝⎛⎭⎫或g ⎝⎛⎭⎫b 2<0， 0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0，8))，因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0，1))，所以只需g (4)≥0，求得b ≤174. 综上可得b ∈⎝⎛⎦⎤2，174. 8.已知函数f (x )＝2x ＋sin x ，则不等式f ()m 2＋f ()2m －3＜0(其中m ∈R )的解集是( )A.()－3，1B.()－1，3C.()－∞，－3∪()1，＋∞D.()－∞，－1∪()3，＋∞答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋sin x ，f (－x )＝－2x ＋sin(－x )＝－()2x ＋sin x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数， ∵f ′(x )＝2＋cos x >0， ∴函数f (x )为增函数，由f ()m 2＋f ()2m －3＜0，得 f ()m 2＜－f ()2m －3＝f ()3－2m ，即m 2＜3－2m ，得－3＜m ＜1，即不等式f (m 2)＋f (2m －3)＜0的解集是(－3，1)，故选A.9.(2017·湛江二模)底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( )A.22π3B.2π3C.23π3D.3π3答案 B解析设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F (1，0)，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A ，B 两点，若x 轴上的点P (t ，0)使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( )A.－2B.2C.－ 2D. 2 答案 B解析在椭圆中，由c ＝1，e ＝c a ＝22，得a ＝2，故b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，当直线的斜率不存在时，t 可以为任意实数，当直线的斜率存在时，可设直线方程为y ＝k (x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2－21＋2k 2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线，即直线P A 和PB 的斜率之和为0，所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，得 2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－(t ＋1)4k 21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.11.(2017·自贡一诊)已知a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.512 B.13 C.14 D.16 答案 A解析 ∵a ∈{0，1，2}，b ∈{－1，1，3，5}， ∴基本事件总数n ＝3×4＝12，函数f (x )＝ax 2－2bx 在(1，＋∞)上为增函数，则①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ，情况为b ＝－1，1，3，5，符合要求的只有一种b ＝－1； ②当a ≠0时，则讨论二次函数的对称轴x ＝－－2b 2a ＝b a ，要满足题意，则b a ≤1，则(a ，b )有：(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)共4种情况.综上所述得：使得函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为P ＝512.12.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在DG →上运动(如图).若AP →＝λAE →＋μBF →，其中λ，μ∈R ，则6λ＋μ的取值范围是( )A.[1，2]B.[2，22]C.[2，22]D.[1，22] 答案 C解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，C (2，2)，D (0，1)，F ⎝⎛⎭⎫1，32.设P (cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π2，则AP →＝(cos θ，sin θ)，AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－1，32， ∵AP →＝λAE →＋μBF →，∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ⎝⎛⎭⎫－1，32，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2λ－μ，sin θ＝λ＋32μ，解得⎩⎨⎧λ＝14sin θ＋38cos θ，μ＝12sin θ－14cos θ，∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∵0≤θ≤π2，∴π4≤θ＋π4≤3π4， ∴2≤22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤22，即6λ＋μ的取值范围是[2，22]，故选C. 13.已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0，则x ＋2y 的最大值为________.答案 7解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，x ＋y ≤4，y ≥0对应的平面区域如图所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知当直线y ＝－12x ＋z2经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即A (1，3)，此时z 的最大值为z ＝1＋2×3＝7.14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin ⎝⎛⎭⎫3B 2＋π4＝22，且a ＋c ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是________. 答案 [3，4) 解析 ∵0＜B ＜π，∴0＜3B 2＜3π2，π4＜3B 2＋π4＜7π4，又sin ⎝⎛⎭⎫3B 2＋π4＝22， ∴3B 2＋π4＝3π4，B ＝π3，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ，由a ＋c ＝2≥2ac ，得0＜ac ≤1，∴1≤4－3ac ＜4，即1≤b 2＜4，∴1≤b ＜2，3≤a ＋b ＋c ＜4，则△ABC 的周长的取值范围是[3，4).15.从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________.(结果用最简分数表示) 答案 35解析从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35.16.已知函数f(x)＝(x－1)e x＋12ax2＋1(其中a∈R)有两个零点，则a的取值范围是__________.答案(－∞，－1)∪(－1，0)解析由题意，f′(x)＝x(e x＋a)，其中f(0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：(1)当a≥0时，由f′(x)＜0，得x＜0，由f′(x)＞0，得x＞0，此时函数仅有一个零点；(2)当a＜0时，由f′(x)＝0可得，x1＝0，x2＝ln(－a)，①当ln(－a)＜0，即－1＜a＜0时，当x∈(－∞，ln(－a))∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－ln(－a)，0)时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极大值，当x＝0时，函数取得极小值，而f(ln(－a))＞f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.②当ln(－a)＝0，即a＝－1时，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件.③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).。

全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练3理.doc

解答题滚动练31.(2017 •日照模拟)已知函数f{x) =-^3sin 2x—2cosJ—1, xGR.(1)求函数fg的最小正周期和最小值；(2)在中，A, B, C的对边分别为日，b, c,已知c=羽，代0=0, sin ^=2sin A, 求臼，方的值.解2x—2cos。

一l=^sin 2x~ (cos 2/+1)—1=£sin 2^—cos 2^—2 = 2sin^2jr——2,2 JI所以f©的最小正周期= “ ,最小值为一4.(2)因为f(0 =2sin(2C—*)—2=0,所以sin(2C—土■) = 1.JI ( Ji llnA JI JI JI又fe (0, JI ),2C—~ el ——, —^―I,所以2C―=—,得C^~.因为sin B=2sin A,由正弦定理，得b=2a,由余弦定理，得c = a + If ~2abcos C=a2 + 4a2—2a2 = 3a\又c=£,所以a= 1, b=2.2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过/系统处理，处理后的污水C4级水)达到环保标准(简称达标)的概率为q(OVqVI).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验, 也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标•若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若藕,求2个力级水样本混合化验结果不达标的概率；9(2)若p=^,现有4个/级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优” ？⑶若“方案三”比“方案四”更“优”，求P的取值范围.解⑴该混合样本达标的概率是上钊吕，4 1所以根据对立事件原理，不达标的概率为1—丁=亍(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.4方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1,概率为丁；若不达标则检测次数为3,概率为右故方案二的检测次数记为"，"的可能取值为2, 4, 6.其分布列如下，可求得方案二的期望为罷)=2x||+4X备+6X^=字, 方案四：混在一起检测，记检测次数为斯，「可取1, 5.其分布列如下,16 Q 61可求得方案四的期望为以")“><豈+5><彩=卷.比较可得別氣)V以罷)V4,故选择方案四最“优”.(3)方案三：设化验次数为心，心可取2, 5.g( "：J =2 • p+ 5(1—/) =5 —3p3；方案四：设化验次数为小，小可取1, 5.mLMD ,#415 P 4 P1-PE("J =1 • /74+5(1—/j4) =5—4/J4；3 由题意得Ej“3)<E( ^74)<=>5 —3p<5 —4/740/7<-3故当0<°<才时，方案三比方案四更“优”.3.如图，三棱柱ABC-A^G中，侧面ABB.Ar为菱形且ZBAA1=&0° , D,〃分别为％和/出的中点，A.DLCG, AA,=A.D=2, BC=\.(1)证明：直线胁〃平面/BC；⑵求二面角B-AC-A,的余弦值.方法一⑴证明连接4G'JAxDLCa,且〃为中点，.•.4片力£=&=/C,又BC=\, AB=BAx=2, :.CBLBA, CB丄BA\,又BACBAi=B, :.CBL平面ABBrA,取例的中点月则BFVAA.,即必BF,駆两两互相垂直，以B为原点，BB\, BF,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图,0, 0),C(0, 0, 1),/(一1,萌，0), A(l, y[3, 0),G(2, 0, 1) , Z?(l, 0, 1), 励=牛，—> A 设平面宓的法向量为皿=(x，y, z),C D Ci取m= (^3, 1,0),又肋平面肋C,...直线加〃平面 MC⑵解设平面力以1的法向量为Z7= G1，乃，Z1) , AC= (1, —y[3, 1) , AA1=(2, 0, 0), n • AC=xi—\[3yi + zi=0f/ L \ 贝幷 _取心(0, 1, y[3),、n •曲i=2&=0・又由⑴知平面的法向量为m= (^3, L 0),设二面角B —AC —Ai 为〃，〃为锐角，方法二 M 连接那 CN,则有MN 能严綠CD, .•.四边形妣》为平行四边形，:.MDHNC,又胁平面/BG Mt 平面直线加〃平面肋C⑵解由各棱长易得BCLBA, BCLBA,,:.BCL 平面 ABBA,如图所示，取处的中点”，连接川皿过川作NHL AC 于〃，连接朋i.'：BCLA,N, ABLA.N, AB^BC=B,:.ANL 平面 ABC,:.A,NLAC,又 '：NHL AC, NH0A 、N=N,:.AC± 平面 A\NH,:.AHL AC,故上NHA\为所求的二面角的平面角，、后 2\/5 4、伝NH在Rt △力1曲中，諒\ANHs\ACB,得必匚*-,屈〜青，则故cosZ 曲41=荷= 51 1筛=二,故所求的二面角的余弦值为孑5 m • n 1 m n _2 2- /.cos 8 1 -4y=x+y[7,联立Y y .4?+3?=Z Z ] 4. 己知椭圆J+^=l （a>A>0）的离心率为9,过点E （~y[7, 0）的椭圆的两条切线相互垂直.（1）求此椭圆的方程；（2）若存在过点（乙0）的直线/交椭圆于B 两点，使得FALFB^F 为右焦点），求t 的取值范围.解（D 由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为必x 轴下方的切点为用则 y 尬的直线方程为K =A -+V7,得 7/+8^7 A + 28 -12 c 2 = 0,由 A=0,得 c=l,2 2所以椭圆的方程为才+彳⑵设直线/的方程为x=my+ t, A （xi,戸），B （x 2,乃），x=my-\-1,联立,"得k +T =b (3 异+4) y +6 刃切+3 #—12 = 0,由力〉0,得 ini — #+4 > 0,I —&mt 3 孑一1271十乃乃=丽百' FA= (^― 1, ji), FB=(A2—L 乃)，FA • FB=(简一1)(卫一1) + yiy2=X1X2— (xi+x2)+1+乃乃=(ffl +1) y\yi~\~ {mt —ni) (y )+ 比)+ t 2 — 21+1 = 0, 所以7t 2-8t-8 = W 有解，所以 7产一8r —8耳0,且 7t 2-8t-8-3t 2+12>0,则律吐輕或W 呻1。

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解答题滚动练5
1.(2017·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.
(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；
(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值. (1)证明设AC ，BD 交于点E ，连接ME ，如图.
因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ，所以PD ∥ME .
因为四边形ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.
(2)解取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，
又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD .
因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为四边形ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .
如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，
则P (0，0，2)，D (2，0，0)，B (－2，4，0)，BD →＝(4，－4，0)，PD →
＝(2，0，－2). 设平面BDP 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BD →＝0，n ·
PD →＝0，即⎩⎨⎧
4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1，1，2).
平面P AD 的法向量为p ＝(0，1，0)，所以cos 〈n ，p 〉＝
n ·p |n ||p |＝1
2
. 由题意知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为π
3
.
(3)解由题意知M ⎝
⎛⎭⎫－1，2，
22，C (2，4，0)，MC →
＝⎝
⎛⎭⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成的角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，MC →
〉|＝|n ·MC →||n ||MC →
|
＝269，
所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为26
9
.
2.(2017·安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有A ，B ，C 三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.
(1)若正、副班长两职只能由A ，B ，C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？ (2)若A ，B ，C 三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？
解 (1)先确定正、副班长，有A 23种选法，其余全排列有A 55种，共有A 23A 55＝720(种)分工方案.
(2)方法一设A ，B ，C 三人的原职务分别是a ，b ，c ，当ABC 任意一人都不担任abc 职务
时有A 34A 44种；当ABC 中一人担任abc 中的职务时，有C 13A 12A 24A 44种；当ABC 中两人担任abc 中的职务时，有3C 23A 14A 11A 44种；当ABC 中三人担任abc 中的职务时，有2A 44种；故共有A 34A 44＋C 13A 12A 24A 44＋3C 23A 14A 44＋2A 44＝134A 44＝3 216(种)分工方案.
方法二担任职务总数为A 77种，当A 担任原职务时有A 66种，
同理BC 各自担任原职务时也各自有A 66种，而当AB ，BC ，CA 同时担任原职务时各有A 55种；当ABC 同时担任原职务时有A 44种，故共有A 77－3A 66＋3A 55－A 44＝134A 44＝3 216(种)分工方案.
3.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.
又当n ＝1时，b 1＝S 1＝2－b 1，所以b 1＝1，
当n ≥2时，S n ＝2－b n ， ① S n －1＝2－b n －1，
②
由①－②，得b n ＝－b n ＋b n －1，即b n b n －1＝1
2，
所以{b n }是首项为1，公比为1
2的等比数列，
故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1
.
(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝2n －1
2n －1，则
T n ＝120＋321＋5
22＋…＋2n －12
n －1，
③ 12T n ＝121＋3
22＋…＋2n －32
n －1＋2n －12n ，
④
③－④得12T n ＝120＋221＋222…＋2
2
n －1－2n －12n
＝1＋1＋12＋…＋1
2
n －2－2n －12n ＝1＋1－1
2n －1
1－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n .
所以T n ＝6－2n ＋3
2
n －1.
4.已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1→·MF 2→
＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝8. (1)求椭圆的方程；
(2)直线l 过右焦点F 2(5，0)(不与x 轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A ，B ，在x 轴上是否存在一个定点P (x 0，0)，使得P A →·PB →的值为定值？若存在，写出P 点的坐标(不必求出定值)；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意，c ＝5，|MF 1|2＋|MF 2|2＝4c 2＝20，|MF 1|·|MF 2|＝8， ∴(|MF 1→|＋|MF 2→
|)2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1|·|MF 2|＝36，解得|MF 1|＋|MF 2|＝6，
即2a ＝6，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆的方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)方法一设直线l 的方程为x ＝my ＋5，
代入椭圆方程并消元整理得(4m 2＋9)x 2－185x ＋45－36m 2＝0.
①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得
x 1＋x 2＝185
4m 2＋9，x 1x 2＝45－36m 24m 2＋9
，
则y 1y 2＝1m 2(x 1－5)(x 2－5)＝1
m 2[](x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5＝－164m 2＋9
，
P A →·PB →
＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2
＝45－36m 24m 2＋9－1854m 2＋9x 0＋x 20＋－164m 2＋9＝(4x 20－36)m 2＋9x 2
0－185x 0＋294m 2＋9
，令P A →·PB →＝t ，则(4x 20－36)m 2＋9x 20－185x 0＋29＝t (4m 2＋9)，
比较系数得4x 20－36＝4t 且9x 20－185x 0＋29＝9t ，
消去t 得36x 20－36×9＝36x 20－725x 0＋29×4，解得x 0＝119 5. ∴在x 轴上存在一个定点P ⎝⎛⎭⎫1195，0，使得P A →·PB →
的值为定值－12481
. 方法二当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －5)(k ≠0)，代入椭圆方程并消元整理得
(9k 2＋4)x 2－185k 2x ＋45k 2－36＝0，
①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝185k 2
4＋9k 2，x 1x 2＝45k 2－364＋9k 2
，
y 1y 2＝k 2
(x 1－5)(x 2－5)＝k 2
[]x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋5＝－16k 2
4＋9k 2
，
P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝
(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－36
4＋9k 2
，
令P A →·PB →＝t ，则(9x 20－185x 0＋29)k 2＋4x 20－36＝t (4＋9k 2)，
9x 20－185x 0＋29＝9t ，且4x 20－36＝4t ，
解得x 0＝1195，此时t 的值为－12481
.
当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝5，代入椭圆方程，解得A ⎝⎛⎭⎫5，－43，B ⎝⎛⎭⎫5，4
3， P A →·PB →＝⎝⎛⎭⎫－2
95，－43·⎝⎛⎭⎫－295，43＝2081－169＝－12481， ∴当直线l 与x 轴垂直时，P A →·PB →
也为定值－12481
.
综上，在x 轴上存在一个定点P ⎝⎛⎭⎫1195，0，使得P A →·PB →
的值为定值－12481
.。