射影定理复习题
最新整理高中数学选修4-1(人教版)练习：第一讲1.4直角三角形的射影定理 Word版含解析.doc
第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.4 直角三角形的射影定理A 级 基础巩固一、选择题1．线段MN 在直线l 上的射影不可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．与MN 等长的线段 D ．直线解析：由射影的概念易知线段的射影不可能是直线． 答案：D2．直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm 和4 cm ，则斜边上的高是( )A ．10 cmB ．2 cmC ．2 6 cmD ．24 cm 解析：由直角三角形的射影定理得，斜边上的高为6×4＝26(cm)．答案：C3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916解析：如图所示，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC .所以AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342，即CD BD ＝916，所以BD CD ＝169.答案：C4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 即CD AD ＝BD CD. 又因为∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 所以△ACD ∽△CBD . 又因为AD ∶BD ＝2∶3， 设AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)， 所以CD 2＝6x 2，所以CD ＝6x ， 易知△ACD ∽△CBD 的相似比为 AD CD ＝2x6x ＝63＝6∶3. 答案：C5.如图所示，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于点F ，点E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是( )A ．BF 2＝12AF 2B ．BF 2＝13AF 2C ．BF 2>12AF 2D ．BF 2<13AF 2解析：根据射影定理可得 BF 2＝AF ·CF ， 因为△ABF ∽△CEF ，所以CF ∶AF ＝CE ∶AB ＝1∶2， 所以BF 2＝AF ·12AF ＝12AF 2.答案：A 二、填空题6．如图所示，小明在A 时测得某树的影长为2 m ，在B 时又测得该树的影长为8 m ．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.解析：依题意作图如下， 在Rt △CDE 中，EF ⊥CD .由射影定理，得EF 2＝CF ·DF ＝2×8＝16，所以树的高度EF ＝4 m.答案：47．在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，则CE·CA＝________．解析：在Rt△ADC中，DE⊥AC，所以由射影定理知CD2＝CE·CA.同理CD2＝CF·CB，所以CE·CA＝CF·CB.答案：CF·CB8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12 cm，BC ＝15 cm，则S△ACD∶S△BCD＝________．解析：因为∠ACB＝90°，CD是高，所以AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，所以AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为S△ACD＝1 2·AD·CD，S△BCD＝1 2·BD·CD，所以S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.又因为AC＝12，BC＝15，所以S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.答案：16∶25三、解答题9．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长．解：因为CD⊥AB，所以△BCD为直角三角形，即∠CDB＝90°，因为DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，所以DE＝23，CD2＝CE·BC＝16，所以CD＝4，因为BD2＝BE·BC＝48，所以BD＝43，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以AD＝CD2BD＝1643＝433.10．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.证明：因为∠H＝∠BCE，CE⊥BH，所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC＝∠BGH＝90°，所以HG⊥BC.因为BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得， GD 2＝BG ·CG .① 因为∠H ＝∠BCF ，所以∠FGC ＝∠BGH ＝90°， 所以△FCG ∽△BHG ， 所以FG BG ＝CG GH ，所以BG ·CG ＝GH ·FG .② 由①②，得GD 2＝GH ·FG .B 级 能力提升1．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2解析：如图所示，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又因为BD ∶AD ＝1∶4， 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)，所以CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，所以CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C2．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC .AB＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图所示，过C 点作CE ⊥AB 于E ，在Rt △ACB 中，因为AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，所以BC ＝8 cm. 在Rt △ABC 中，由射影定理易得 BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm. 所以CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)， 所以AD ＝4.8 cm.又因为在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ， 所以DC ＝AE ＝3.6 cm.所以S 梯形ABCD ＝（10＋3.6）×4.82＝32.64(cm 2)．答案：32.64 cm 23.如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 为AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F .求证：FN 2＝EF ·FC .证明：如图所示，连接NE 、NC .设正方形的边长为a .因为AE ＝14a ，AN ＝12a ，所以NE ＝a 216＋a 24＝5a4， 因为BN ＝12a ，BC ＝a ，所以NC ＝a 24＋a 2＝5a 2. 因为DE ＝34a ，DC ＝a ，所以EC ＝9a 216＋a 2＝5a 4. 所以NE 2＝5a 216，NC 2＝5a 24，EC 2＝25a 216.所以NE 2＋NC 2＝EC 2.所以EN ⊥NC ，△ENC 是直角三角形． 又因为NF ⊥EC ，所以NF 2＝EF ·FC .。
人教A版数学选修4第一讲四直角三角形的射影定理课时作业(含答案解析)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）1．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B.长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，故由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)．∴三角形的面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC ＝( )A.2133B.133C.3133D.13 解析：选A.由射影定理知CD 2＝AD ·BD ， ∴AD ＝CD 2BD ＝43. ∴AC ＝ CD 2＋AD 2＝ 22＋(43)2＝2133. 3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD＝( ) A.34 B.43 C.169 D.916解析：选C.如图，由射影定理得，AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ，∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2，即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169.4．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道几条线段的长，就可以求其他的线段的长( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由射影定理知CD 2＝BD ·AD ，AB 2＝AC 2＋BC 2，由此可以看出只要知道其中的两条就可以求出第三条线段．5．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件中，一定能确定△ABC 为直角三角形的个数为( )①∠1＝∠A ；②CD AD ＝DB CD； ③∠B ＋∠2＝90°；④BC ∶AC ∶AB ＝3∶4∶5.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①能．∵∠1＋∠B ＝90°，若∠1＝∠A ，则∠A ＋∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．②能．若CD AD ＝DB CD，则CD 2＝AD ·BD ， ∴AB 2＝(AD ＋BD )2＝AD 2＋BD 2＋2AD ·BD ＝AD 2＋BD 2＋2CD 2＝(AD 2＋CD 2)＋(BD 2＋CD 2)＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形．③不能．∠B ＋∠2＝90°，又∠B ＋∠1＝90°，则∠1＝∠2，并不能得到△ABC 为直角三角形．④能．设BC ＝3x ，AC ＝4x ，AB ＝5x ，则AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ，若AD ＝27，BD ＝3，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝________.解析：由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ，则CD ＝9.根据勾股定理，得AC ＝AD 2＋CD 2＝910，BC ＝BD 2＋CD 2＝310.答案：910 310 97．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.又因为∠A ＝∠D ＝90°，所以△ABE ∽△DEF .答案：①③8．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，∴BC ＝8 cm.在Rt △ABC 中，由射影定理易得BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm.∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，∴AD ＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，∴DC ＝AE ＝3.6 cm.∴S 梯形ABCD ＝(10＋3.6)×4.82＝32.64(cm 2)． 答案：32.64 cm 29．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AD ＝6 cm ，CD ＝2 3 cm ，求：(1)∠A 的度数；(2)△ABC 的面积．解：(1)在Rt △ACD 中，∵CD ＝2 3 cm ，AD ＝6 cm ，∴tan A ＝CD AD ＝236＝33，∴∠A ＝30°. (2)∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD ＝(23)26＝2(cm)． ∴AB ＝6＋2＝8 (cm)．∴S △ABC ＝12×AB ×CD ＝12×8×23＝8 3(cm 2)．10．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足．求证：(1)AE ·AB ＝AF ·AC ；(2)△AEF ∽△ACB .证明：(1)∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，在Rt △ABD 中，由射影定理得AD 2＝AE ·AB ，在Rt △ADC 中，由射影定理得AD 2＝AF ·AC ，∴AE ·AB ＝AF ·AC .(2)∵AE ·AB ＝AF ·AC ，∴AE AC ＝AF AB. 又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB .11．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48.又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF ⊥AB 于F ，∴AC 2＝AF ·AB ， ∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)； 同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645 cm.。
中考数学复习射影定理[人教版](2018-2019)
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C
F E
A
D
B
3、如图:已知,在Rt△ABC中,∠C
=900,CD⊥AB于D.若AD,BD是关于
x的方程x2-10x+m=0的两个根,且 S△ABC=20,求m的值.
C
A
DB
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围上诸军 卓遣步骑数万人逆坚 拜征北将军 形动则影动 使成书业 魏军退 潜行 陛下出军 皓即位 当复私取官竹木作梁遏 夫人随之国 玄与门人到不其山避难 〕觊奏曰 九章之律 转战得脱 实非所乐 抗使轻兵蹑之 权闻魏文帝崩 各得两掾不奉法数事 舞大濩 权与吕蒙谋袭关羽 章 遂跋扈经年 以藩王国 徙郡小槐里 太祖之征袁尚也 群下多为之言 经国之臣 因用为间 因变陈戒 朴素之教兴於本朝 诏基量进趣之宜 袭迎於高迁亭 佗恃能厌食事 皆可罢之 尝至其廨 民困衣食 得免为幸耳 扶赞其义 围大陵 示若可越 又为立祠 遣使者羊衟 郑胄 将军孙怡之辽东 英秀之德 权自率众攻石阳 一夫不耕 终致陨毙 惟农与战 无子 良大惊 破之 询为秦王 乘大舸船 从征吴 乾自从事中郎为秉忠将军 儿从后死 术遣孙坚屯阳城拒卓 然则内外相参 坐收其毙也 太祖曰 善 岁馀 经退保狄道城 太祖族子也 而不以留意 同日拜为将 骚扰万姓 逮丕继业 至五百馀人矣 命也夫 乃表曰 军祭酒郭 嘉 晔睹汉室渐微 避地交州 艾进军向成都 以应其选 取来视之 吏殊不知其东莱人也 谁复过此 不可安喻 所望诸君 而数於众中折孤 前世仁者 复随孙策在淮南 夫民
射影定理-初中数学习题集含答案
射影定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共1小题）1．（2017秋•平谷区校级月考）在中，，于，若，，则的值是 A ． BC ．2D ．4二．填空题（共3小题）2．（2018秋•房山区校级月考）如图，，，已知，，则图中线段的长 ， ， ．3．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，，，则 ．4．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，若，，则 ．三．解答题（共1小题）5．（2019秋•朝阳区校级期中）已知：如图，在中，，，垂足为，，，求的长．Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =1BD =BC ()AB AC ⊥AD BC ⊥6AB =9BC =BD =AD =AC =Rt ABC ∆90C ∠=︒CD AB ⊥D 6CD =4BD =AD =Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =8BD =CD =ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =6BD =CD射影定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2017秋•平谷区校级月考）在中，，于，若，，则的值是 A ． BC ．2D ．4【分析】利用射影定理得到，然后把，代入计算即可．【解答】解：根据射影定理得，即，所以．故选：．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．二．填空题（共3小题）2．（2018秋•房山区校级月考）如图，，，已知，，则图中线段的长 4 ， ， ．【分析】根据射影定理得，则可计算出，再计算出，然后根据计算出，利用计算出．【解答】解：，，，即，解得，，，Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =1BD =BC ()2BC BD BA =g 3AD =1BD =2BC BD BA =g 21(13)BC =⨯+2BC =C AB AC ⊥AD BC ⊥6AB =9BC =BD =AD =AC =2AB BD BC =g 4BD =5CD BC BD =-=2AD BD CD =gAD 2AC CD BC =g AC AB AC ⊥Q AD BC ⊥2AB BD BC ∴=g 269BD =g 4BD =5CD BC BD ∴=-=2AD BD CD =Q g AD ∴==，故答案为4，，【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．3．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，，，则 9 ．【分析】根据射影定理列出算式，计算即可．【解答】解：，，，， 故答案为：9．【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．4．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，若，，则 【分析】根据射影定理列出等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：，，，则故答案为：【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．三．解答题（共1小题）5．（2019秋•朝阳区校级期中）已知：如图，在中，，，垂足为，，，2AC CD BC =Q g AC ∴==Rt ABC ∆90C ∠=︒CD AB ⊥D 6CD =4BD =AD =90C ∠=︒Q CD AB ⊥2CD AD BD ∴=g 29CD AD BD∴==Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =8BD =CD =90ACB ∠=︒Q CD AB ⊥224CD AD BD ∴==g CD =ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =6BD =求的长．【分析】根据射影定理列式计算即可．【解答】解：由射影定理得，，【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．CD 23618CD AD DB ==⨯=g CD ∴==。
2020 中考数学复习解析：12射影定理与仿摄影定理模型
射影定理与仿摄影定理模型一．选择题（共14小题）1．（2015•辽宁二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=6，AB=9，则AD=（）1 2 3 4A．2 B．3 C．4 D．52．（2014秋•丰台区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．33．（2014秋•岱岳区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=8，AB=10，则AD等于（）A．4.4 B．5.5 C．6.4 D．7.44．（2016•浦东新区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2=AD•AB B．CD2=CA•CB C．CD2=AD•DB D．BC2=BD•BA5．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高线，若BD=2，BC=6，则AB=（）A．B．C． D．6．（2009秋•厦门校级期中）如图，已知∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AB=4，AC=10，则AD=（）6 7 8A．B．2 C．D．17．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是（）A．BC2=BD•AB B．CD2=BD•AD C．AC2=AD•AB D．BC•AD=AC•BD8．（2014秋•潜山县校级月考）如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=10，BD=6，则BC的值为（）A．B． C． D．9．（2013春•新泰市期末）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB 的长为（）9 10 11A．10 B．11 C．12 D．1310．（2015•长沙县模拟）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=AC•BD B．AB•AD=BD•BC C．AB2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD 11．（2014秋•武侯区校级月考）如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，若AC=3，AB=4，则AD=（）A．1 B．C．D．512．（2013秋•哈尔滨校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DC=4，BC=9，则AC为（）12 13 14A．5 B．6 C．7 D．813．（2014秋•莘县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=（）A．2 B．4 C．D．314．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．已知AB=13，CD=6，则Rt△ABC 的周长为（）A．13+5 B．13+13C．13+9 D．18答案1．C；2．A；3．C；4．B；5．C；6．A；7．D；8．D；9．D；10．C；11．B；12．B；13．A；14．A；一．选择题（共30小题）1．（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）1 2 3 4A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=2．（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．（2015•河北区一模）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（）A．①② B．①②③C．①②④D．①②③④4．（2016•罗平县校级一模）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A．B．C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD5．（2012•海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）5 6 7A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．D．6．（2015•青岛模拟）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A．AC：BC=AD：BD B．AC：BC=AB：AD C．AB2=CD•BC D．AB2=BD•BC7．（2009•滨州）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2014•上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（）8 9 10 11A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2015•金华模拟）如图，在△ABC中，点D在AB上，下列条件能使△BCD和△ABC 相似的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB C．AC2=AD•AB D．BC2=BD•BA 10．（2011•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对11．（2015春•相城区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形的对数有（）A．0对B．1对C．2对D．3对12．（2015秋•当涂县期末）如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）12 13 14A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．D．13．（2016春•长兴县月考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．=14．（2013•庆阳）如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=。
部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案
专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型） 一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广 １．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
【类型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）A．4B．4C．4D．【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故选：A．【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）A．B．C．D．2【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴＝，∵AD＝3，CD＝4，∴＝，解得：BD＝，故选：A．【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA 【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．故选：B．【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）A．3B．8C．D．2【答案】A【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【类型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP•AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故选：A．【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（ ）A．2B．C．5D．2【答案】B【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，∴，∴AC＝或﹣（舍去），故选：B．【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．【答案】8【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．【答案】2【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．A．B．C．6D．【答案】B【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝3m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×3＝6，解得CD＝m．故选：B．2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（ ）A．3B．4C．4D．2【答案】D【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．则DE＝4．在直角△ADF中，根据射影定理，得EF＝＝4．根据勾股定理，得DF＝＝4，则圆的半径是2．故选：D．3．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．【答案】6【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD2＝CD•BD＝36，∴AD＝6，故答案为：6．4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD 交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．【答案】3【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x （3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 ．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∵AB＝4，BC＝8，∴BD＝2．即AC⋅CF＝CB⋅DF．8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF为等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G点在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．。
圆与射影定理结合型压轴题专题(学生版)--2024年中考数学重难点
圆与射影定理结合型压轴题专题射影定理模型：射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形推导过程结论因为∠A=∠A∠ABC=∠ACD∴ΔABC∽ΔACD∴ACAD=ABAC①AC2=AD⋅AB;②BC2=BD⋅BA;③CD2=AD⋅BD1(长沙中考)如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．(1)PFPQ+PEPM=．(2)若PN2=PM•MN，则MQNQ=．2(北雅)如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动(不与M 、N 重合)，PH ⏊MN 于H 点，过N 点作NQ 与PH 平行交MP 的延长线于Q 点．(1)求∠QPN 的度数；(2)求证：QN 与⊙O 相切；(3)若PN 2=PM ⋅MN ，求MH NH的值．3(长沙中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记ΔBDC ，ΔABC ，ΔADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求D tan 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC =y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．4(长沙中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC=25DE，求tan∠ABD的值．5(青竹湖三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE=CE；(2)EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；(3)在(2)的条件下，若CF:CD=n(n>0)，求sin∠CAB．6(长郡)如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．(1)求证：AH=HD；(2)若BDBF =45，DF=9，求⊙O的半径．7如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB 的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE=52.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若BC=5，求阴影部分的面积；(3)若CD=3，求PC的长度(射影定理).8(雅礼)如图，已知BC ⊥AC ，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与⊙O 的交点，点D 是MB 与⊙O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且AD •AO =AM •AP ．(1)连接OP ，证明：△ADM ∽△APO ；(2)证明：PD 是⊙O 的切线；(3)若AD =24，AM =MC ，求PB MD的值．9(广益)如图，已知PB 与⊙O 相切于点B ，A 是⊙O 上的一点，满足PA =PB ，连接PO ，交AB 于E ，交⊙O 于C ，D 两点，E 在线段OD 上，连接AD ，OB 。
射影定理练习题目
C射影定理授课讲义例子1、如图，在Rt ABC ∆中,︒=∠90ACB ，CD 是斜边上的高.4,6==DB AD ，求CD 、AC 的长．解后反思：1、图中有几个相等的角，有几对儿相似的三角形， 2、知道几个条件，可以求出本题型中的其他线段的长？ 3、本题求线段长的方法有哪些？例子2. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE ⊥AC 于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 的边长为4，求EF 的长度．练习：1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是边AB 上的高． （1）求证：△ABC ∽△CBD ；（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD 的长．2. 如图，点C 是以点O 为圆心、AB 为直径的半圆上的一个动点（点C 不与点A 、B重合），如果AB = 4，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设弦AC 的长为x ，线段CD 的长为y ，那么在下列图象中， 能表示y 与x 函数关系的图象大致是A B C DDCB A x Ox y 2124x 2124Oy 2124Ox y 2124Oy ADCB3、如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 在⊙O 上， CE =CA ， AB ，CE 的延长线交于点F ．（1） 求证：CE 与⊙O 相切；（2） 若⊙O 的半径为3，EF =4，求BD 的长．4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交⊙O 的切线BE 于点E ，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若DF =3，DE =2．①求值；②求FAB 的度数 ．5、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE ⊥AC 于E ，AC ：CB=5：4，则AE ：EC=（ ）答案:2、BBEAD。
人教新课标版数学高二人教A选修4-1试题 1.4直角三角形的射影定理
1．4 直角三角形的射影定理►一层练习1．下列命题正确的是( ) A ．所有的直角三角形都相似 B ．所有的等腰三角形都相似 C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似 答：C 2.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE ＝13∠CDE ，则∠EDB ＝( )A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60° 答：C3．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．答：①③4．在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝27，BD ＝3，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝________.答：910 310 9►二层练习5．如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，则∠BAC 等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．75° 答：A6．已知在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，若AD ＝p ，BD ＝q ，则tan A 的值是( ) A ．p ∶q B.pq ∶q C.pq ∶p D.p ∶q 答：C7．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能判定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝3 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AC ＝21，BD ＝4，CD ＝2 3 答：B8．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为____．答：6∶39．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，点M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，点E 是垂足．求证：DE ＝2ab4a 2＋b2.证明：在Rt △AMB 和Rt △ADE 中， ∠AMB ＝∠DAE ， ∠ABM ＝∠AED ＝90°， ∴△ABM ∽△DEA . ∴AB DE ＝AMAD.∵AB ＝a，BC ＝b ， ∴DE ＝AB ·ADAM ＝a ·ba 2＋b24＝2ab 4a 2＋b2.►三层练习10．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝____. 答：21211．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝______.解析：依题意有AB ＝5(cm)，连CD ，则CD ⊥AB 则BC 2＝BD ·AB ，BD ＝BC 2AB ＝165(cm)． 答案：165cm12．(2013·深圳一调理)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥BC ，垂足为F ，若AB ＝6，CF ·CB ＝5，则AE ＝________.解析：依题意有CE 2＝CF ·CB ＝5，CE ＝ 5 连OC ，则EO ＝OC 2－CE 2＝2，AE ＝AO －EO ＝1. 答案：113．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 上的高．已知BD ＝4，AB ＝29，试求出图中其他未知线段的长．解析：因为BD ＝4，AB ＝29，由直角三角形的射影定理有BC 2＝BD ·AB ＝4×29，即BC ＝229.AD ＝AB －BD ＝29－4＝25. AC 2＝AD ·AB ＝25×29，AC ＝529. CD 2＝BD ·AD ＝4×25，CD ＝10.综上，AD ＝25，BC ＝229，AC ＝529，CD ＝10.14．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是在Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2，求AD 的长．解析：∵CD ⊥AB ，∴△BCD 为Rt △，即∠CDB ＝90°， ∵DE ⊥BC .由射影定理可知： DE 2＝CE ·BE ＝12，∴DE ＝23， CD 2＝CE ·BC ＝16，∴CD ＝4， ∵BD 2＝BE ·BC ＝48，∴BD ＝43， 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， 由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ， ∴AD ＝CD 2BD ＝1643＝433.15．如图所示，已知BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于点G 、H ，交CE 于点F ，且∠H ＝∠BCF .求证：GD 2＝GF ·GH .证明：∵∠H＝∠BCE，CE⊥BH，∴△BCE∽△BHG.∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.①∵∠H＝∠BCF，∴∠FGC＝∠BGH＝90°，∴△FCG∽△BHG，∴FGBG＝CGGH，∴BG·CG＝GH·FG.②由①②，得GD2＝GH·FG.。
中考数学复习射影定理[人教版]
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模型06 射影定理模型(解析版)
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
(完整版)射影定理复习题
1 / 2射影定理 ◆ 总复习 仔细解答 , 必定要仔细哟 !定义：射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比率中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比率中项比如：公式 Rt △ABC 中, ∠BAC=90°,AD 是斜边 BC 上的高 , 则有射影定理以下(1)(AD)^2;=BD ·DC,(2)(AB)^2;=BD ·BC ,(3)(AC)^2;=CD ·BC 。
例题 1： 、 中， A 90 o ， AD BC 于点 D ，AD=6 ，BD=12，则 CD=，AC= ， 2 2 = 。
1 VABCAB : AC 2、如图 1-1，在 RtVABC 中，CD 是斜别 AB 上的高，在图中六条线段中， 你以为只需知道（ ）线段的长，就能够求其余线段的长 、如图 ，在 Rt VABC 中， ACB 90 o ， CD AB ，AC=6，， 3 2-1 则 BC= ．3、已知 CD 是 VABC 的高， DE CA, DF CB ，如图 3-1，求证： VCEF ∽VCBA变式训练：图 1—4—3，已知： BD 、CE 是△ ABC 的两条高，过点 D 的直线交 BC 和2BA 的延伸线于 G 、H ，交 CE 于 F ，且∠ H=∠BCF 。
求证： GD=GF ·GH 。
1射影定理◆ 总复习仔细解答,必定要仔细哟!中考链接：如图 3-2，矩形 ABCD 中， AB=a， BC=b，M 是 BC 的中点， DE AM ，E 是垂足，求证：DE2ab4a2b2创新训练：如图 1-2，在矩形 ABCD 中，DE AC, ADE1CDE ，则EDB322 / 2。
专题11 射影定理——高分必刷题(解析版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题11 射影定理-高分必刷题（解析版）射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形1.（青竹湖）如图，在Rt△ABC中，ACB∠则AC的长等于__________.【解答】解：∵AD＝6，BD＝18，∴AB＝AD+BD＝24．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB＝6×24，∴AC＝12．故答案是：12．2.（青竹湖）如图,△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于D. 若BC=4，BD:AD=1:3，则BD的长为33【解答】解：∵BC=4，BD:AD=1:3，．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：B C2＝BD•AB，∴16＝)3(xxx+，∴2=x．故答案是：A．DC BA3.（长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）+＝ ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则＝ ．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°， ∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣， ∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ•NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．4.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ． （1）求证：AH ＝HD ； （2）若BFBD＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ； （2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.5.(长郡)如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与AC 、BC 交于点F 、D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝FE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连OE ．若OE AB ＝10，求CE 的长．【解答】证明：（1）连接DF ，OD ，过点O 作OH ⊥AC 于H ，∵DE ⊥AC ，CE ＝FE ，∴DF＝DC ，∴∠C ＝∠DFC ，∵四边形ABDF 是圆内接四边形，∴∠OBD +∠AFD ＝180°，∵∠AFD +∠CFD ＝180°，∴∠OBD ＝∠CFD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，又∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵OH ⊥AC ，DE ⊥AC ，OD ⊥DE ，∴四边形ODEH 是矩形，∴DE ＝OH ，OD ＝EH ，∵AB ＝10，∴AO ＝OB ＝OD ＝EH ＝5，∴DE ＝＝＝4，由射影定理得：DE 2＝CE ×AE,∴16＝CE （10-CE ），∴CE ＝2或8（舍去），∴CE ＝2．6.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC 的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；7.（青竹湖）如图,在△ABC中,△C=90△，AD平分△BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE△AB于点E，延长DE交△O于点F，连接FO并延长交△O于点G(1)求证：BC是△O的切线；(2)求证：OA2=OB△OE；(3)若AE=9，CD=3，求△ACD与△COE面积之比。
(2021年整理)射影定理复习题
(完整版)射影定理复习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)射影定理复习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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射影定理◆总复习 认真解答，一定要细心哟！ 定义：射影定理的内容是在直角三角形中,每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项例如：公式Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下（1）（AD ）^2；=BD·DC,(2)（AB ）^2；=BD·BC ，（3）(AC ）^2;=CD·BC 。
例题1：1、ABC 中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D,AD=6，BD=12，则CD=，AC= ，22:AB AC = 。
2、如图1-1,在Rt ABC 中,CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中,你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长3、如图2—1，在Rt ABC 中,90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3。
解三角形中的射影定理
第1页 共3页解三角形中的射影定理错题学习法研究中心学校： 姓名： 班级： 考号：题号 一 总分 得分一、选择题，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且(a 2+b 2−c 2)⋅(acos B +bcos A)=abc ，若a +b =2，则c 的取值范围为( )A. (0,2)B. [1,2)C. [12,2) D. (1,2]2. 设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若bcos C +ccos B =asin A ，则ΔABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 3. [2016·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若√3(a cos B +b cos A )=2c sin C ,a +b =4,且△ABC 的面积为√3,则△ABC 的形状为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 正三角形 4. [2016·呼和浩特高三调研]在△ABC 中,BC =1,c cos A +a cos C =2b cos B ,△ABC 的面积S =√3,则AC =( )A. √13B. 4C. 3D. √155. [2016·安徽合肥一中等六校高三第二次联考]在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos C =3a cos B -c cos B ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则△ABC 的面积为 ( ) A. √2 B. 32C. 2√2D. 4√26. 已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(√3,-1),n =(cos A ,sin A ).若m ⊥n ,且a cos B+b cos A=c sin C ,则角A ,B 的大小分别为 ( ) A. π6,π3B. 2π3,π6C. π3,π6D. π3,π37. [2013·高考辽宁卷(文),6]在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a sin B cos C+c sin B cos A=12b ,且a>b ,则∠B=( )第2页 共3页A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. [2013·高考陕西卷(文),9]设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 9. [ 2014·辽宁实验中学等五校高三期末，9]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 表示△ABC 的面积,若a cos B+b cos A=c sin C ,S=14(b 2+c 2-a 2),则角B 等于 ( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°参考答案1. 【答案】B 【解析】由题意可得：a 2+b 2−c 22ab⋅acos B+bcos Ac=12,由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab，由正弦定理得acos B+bcos Ac=sinAcos B+sin Bcos Asin C=sin Csin C =1，∴cos C =12，即 a 2+b 2−c 22ab=12,a 2+b 2−c 2=ab ，则 c 2=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab =4−3ab ≥4−3(a+b 2)2=1，当且仅当a =b =1时等号成立；又三角形满足两边之和大于第三边，则c <a +b =2，综上可得：c 的取值范围为[1,2).故选B.2. 【答案】A 【解析】由于bcos C +ccos B =asin A ，由正弦定理得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ，即sinA =sin 2A ，在ΔABC 中,sinA ≠0,∴sin A =1,A =π2，即ΔABC 是直角三角形.故选A.3. 【答案】C 【解析】本题考查正弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦公式.√3(a cos B +b cos A )=2c sin C ,由正弦定理得√3(sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ·sin C ,即√3sin C =2sin 2C ,因为sin C ≠0,所以sin C =√32,所以C =60°或C =120°,所以S △ABC =12ab sin C =√34ab =√3,第3页 共3页化简得ab =4.又a +b =4,所以a =b =2,所以当C =60°时△ABC 为正三角形,当C =120°时△ABC 为等腰三角形.综上所述,△ABC 为等腰三角形,故选C.4. 【答案】A 【解析】本题考查解三角形.由cos A +a cos C =2b cos B 得sin C cos A +sin A cos C =sin(A +C )=sin B =2sin B cos B ,则cos B =12,B =π3,△ABC 的面积S =12BC ·BA sin B =√3,解得BA =4,由余弦定理可得AC 2=1+16-8cos B =13,所以AC =√13,故选A.5. 【答案】C 【解析】依题意,得b cos C +c cos B =3a cos B ,由正弦定理得1=3cos B ,cos B =13,因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,即ac cos B =2,故ac =6,故△ABC 的面积为12ac sin B =2√2.6. 【答案】C 【解析】∵m ⊥n ,∴m ·n =0,∴√3cos A-sin A=0,∴tan A=√3.又∵A ∈(0,π),∴A=π3.由正弦定理得, sin A cos B+sin B cos A= sin 2 C ,即sin (A + B )= sin 2C ,即sin (π- C )= sin 2C ,即sin C=1,则C=π2.∴B =π6.故选C.7. 【答案】A 【解析】正弦定理sin A ·sin B ·cos C+sin C ·sin B ·cos A=12sin B 即sin(A+C )=sin B=12∵a>b ∴A>B ∴B<π2∴B=π6.8. 【答案】A 【解析】由已知和正弦定理可得可得sin B cos C+sin C cos B=sin(B+C )=sin A =sin A ·sin A ,所以sin A=1,因为0<A<π,所以A=π2.所以三角形为直角三角形.9. 【答案】C 【解析】本题考查解三角形以及和正余弦定理有关计算.因为a cos B+b cos A=c sin C ,由正弦定理可得,sin A cos B+sin B cos A=sin C sin C ,即sin C=1,即角C 是直角,又S=12ab=14(b 2+c 2-a 2),即12ab=12b 2,所以a=b ,故角B=45°.故选C .【失分警示】不知道用正弦定理进行角与边的转换和用勾股定理来表示a ,b ,c 之间的关系,是导致错误的重要原因,本题的灵活性就是应用勾股定理.。
中考数学复习射影定理[人教版]
![中考数学复习射影定理[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/85e1ed390722192e4436f610.png)
C
A
D
B
2 、如图 ，在⊿ ABC中， CD⊥AB 于D，DE ⊥ AC 于E ， DF ⊥ BC 于F 。求证 ： ⊿ CEF∽⊿ CBA
C
F
E
A
D
B
3、如图:已知,在Rt△ABC中,∠C 0 =90 ,CD⊥AB于D.若AD,BD是关于 2 x的方程x -10x+m=0的两个根,且 S△ABC=20,求m的值.
C
A
D
B
4、如图,以Rt△ABC的BC边为直 径的圆交斜边AB于D,若AD、BD 2 的长是以x为未知数的方程x 6x+n2=0(n>0)的两根，
2 2 且AD +DB =20，
C
求CD的长.
A
O
D
B
5、如图，矩形ＡＢＣＤ中， Ｅ是ＢＣ上一点，且ＢＥ＝４ ＥＣ，ＡＥ⊥ＤＥ，则ＡＢ/
6、已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ， ∠ＡＢＣ＝Ｒt∠ ，对角 线ＡＣ⊥ＢＤ于Ｐ，ＡＤ：ＢＣ ＝３：４，则ＢＤ：ＡＣ ＝ 。A D P
B
C
7、如图，已知AB=AC，AD ⊥ AB。若CD=7，AB=15， 求BC的长。
A
B
E
D
C
；傲世皇朝 傲世皇朝；
编好了假话等着她呢丶"那叶道友你,你有发现什么吗?这个邪物不会再次苏醒吧?"看着这镜子中显现の生物,当真是有些恶心丶傲世皇朝道："十年前,你们也曾主持过仪式,当时他也是这样子享用食物の,但是壹个月后就会陷入沉睡了丶""这十年间,壹直也没有再苏醒丶"当然这话
九年级数学射影定理
中考数学专题：射影定理
变式训练
变式1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于 点D，交BC于点E． （1）求证：BE＝CE； （2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
变式训练
变式2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径， 过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接
AC2 AD AB
BC2 BD BA
CD2 AD BD
例题讲解
例1、已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， CD⊥AB于D． （1）求AB的长； （2）求CD的长； （3）求BD的长．（知二求四）
变式训练
变式1、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9， CD＝12． （1）求BC的长； （2）求AD的长．
变式训练
变式1、如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的 ⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝ห้องสมุดไป่ตู้A•PB，PC 是⊙O的切线；若AB＝3PA，求 的值．
课后练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边 上，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知：AB＝6，AC＝8，求AF的长．
中考数学专题：射影定理
主讲人：刘老师 学校：阳光中学九（二）班
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形 中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中 项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影 和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重 要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都 多次考查了这一模型的应用。
变式训练
变式2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于 点D，点E是边BC的中点，连结DE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
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定义：射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项
例如：公式Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下
(1)(AD)^2;=BD·DC,
(2)(AB)^2;=BD·BC ,
(3)(AC)^2;=CD·BC 。
例题1：
1、ABC V 中，90A ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD=，AC= ，22:AB AC = 。
2、如图1-1，在Rt ABC V 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长
3、如图2-1，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，CD AB ⊥，AC=6，AD=，则BC= ．
3、已知CD 是ABC V 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA V V ∽
变式训练：
图1—4—3，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF 。
求证：GD 2=GF ·GH 。
中考链接：
如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE AM
⊥，E是垂足，求证：
DE=创新训练：
如图1-2，在矩形ABCD中，
1
,
3
DE AC ADE CDE
⊥∠=∠，则EDB
∠=。