因式分解的意义
因式分解在中学数学教学中的意义与作用研究
（ ５ ） 分解所得的各个因式 ， 在指定的数域 Ｐ上都是 既约 的。 （ ６ ） 在不计非零常数因子及 因式次序的意 分 解 的 意 义
１ ． 有关 多项式因式分解的基本概念 定义 １ ： 设 ） 是数域 Ｐ上 的多项式。 若存在数域 Ｐ上 的多 项式 ｇ （ ｘ ） 、 （ ） ， 使 ） － ｇ （ ） （ ） ， 则ｇ （ ） 和 （ ） 都称 为 ） 的因式。 设 ） 是数域 Ｐ上的多项式 ， ｃ为 Ｐ的任一不为零 的数 。 因
斗
定理 １ ： 数域 Ｐ上 的任一个 １ ７ ， 次（ ｎ ≥１ ） 多项式 ） ， 都可 以
表示成 Ｐ 上的一些既约多项式的乘积的形式 ： 厂 （ ） ＝ 尸 １ （ ） （ ）
…
（ ） ， 其中Ｐ ｌ （ ｘ ） 、 Ｐ ２ （ ） 、 …、 （ ） 都 是 Ｐ上的既约多项式 。 而 定义 ， 但这样 的分解 对我们研究 问题帮助不大 ， 这正如在算术 中 把一个合 数分 解 为 １ 与这个 合数 本身 的乘 积 一样 （ 如４ ＝ １ × 且， 除常数 因子与 因式次序外 ， 这种形式是唯一 的。 上述定理为多项 式因式分解的可能性提供了理论根据 。 ４ ） ，我们 需 要 的 并不 是 这 样 的 分 解 。 又如 ４ ｘ ２ — １ ６ ＝ （ ＋ ４ ） 定义 ３ ： 在给定 的数域 Ｐ上 ， 把一个多项式表示成若干个既 （ ２ ｘ 一 ４ ） ＝ ２ （ ＋ ２ ） （ 一 ４） ＝ ４ （ ＋ ２ ） （ 一 ２ ） ＝ １ ６ ‘ １ ＋ １ ） （ 一 １ ） ＝ … 约多项式的乘积的形式 ， 称为在 Ｐ上的多项式 的因式分解 。 这 些非 当然因子之 间仅 相差 一个“ 非零常数 因子 ” ， 因此在 ２ ． 深刻 理解 因式分解的意义 非零 常数 因子 ” 的意义 下 ， 上 述各 个结果都一样 。对 于 定义 ３是多项 式因式分解 的严格定义 ，其含义主要有如下 精 准到“ 整系数 多项式 ， 如果这些 系数有公 因数的话 ， 那么一般是先提取 几点： 它们的最大公 因数 ，然后进行分解 。至于到底在哪个数域上分 （ １ ） 因式分解是相对于某一数域 Ｐ而言的。 当然是按 照题 目指定 的要求 去做 。如果没有指 明这一 （ ２ ） 因式 分解 一定要表示成积 的形式 ， 它与 整式 乘法不 同， 解 因式 ， 点， 则应根据学生接触 到的数 的概念到了哪个阶段而定 。 是与之方向相反 的恒等变形 。 二、 因式分解在教材 中的地位 、 作用 （ ３ ） 分解指 的是分解为非当然 因式 。 １ ． 多项 式 因式分 解在全 部 中学代 数课程 中占着重 要 的地 （ ４ ） 分解所 得的各个 因式必须都是 多项式 ， 不能是分式 ， 也 位， 它是今后 进一 步学 习的必备基础知识 。在初中阶段 ， 归纳起 不能是无理式或其它 。
多项式的因式分解(1)
（2）12ab2c－6ab ； （3） -2m3－8m2－12m
； (4)原式=(x＋y )(3a－2b)
（4）3a（x＋y）－2b（x＋y）.
学以致用： 1.把下列各式分解因式：
（1）8x4y3z2－6x5y2; (1)2x4y2(4yz2－3x) （2）-2m3+6m2－18m; (2) -2m(m2－3m+9) （3）3a(x－y)－2b(y－x); (3) (3a+2b)(x－y) （4）5m(a+b)－a－b; (4) (a+b)(5m－1)
初中数学 七年级(下册)
9.5 多项式的因式分解（1）
9.5 多项式的因式分解（1）
教学目标：
1.了解因式分解的意义，能用提公因式 法进行分解因式。
2.体会单项式乘多项式与提取公因式之 间的联系，发展逆向思维的能力。
看谁算得巧：
1.求999+9992的值。
999（1+999）=999×1000=999000
4x+4y=4(x+y)
公因式
另一个因式
4
x+y
x
m－n
a－b
m－n
4a
3x+2y
6a2b
2ax+3by
mx－nx=x(m－n)
m(a－b)－n(a－b)=(a－b)(m－n) 12ax+8ay=4a(3x+2y)
12a3bx+18a2b2y=6a2b(2ax+3by)
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式 提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的
，叫做这个多项式的公因式。
练一练：
因式分解和分式
龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。
例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。
例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab 例02．把y x y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。
例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
七年级数学下册《因式分解的意义提公因式法》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生理解因式分解的概念，掌握提公因式法的基本步骤，能够熟练运用该方法对多项式进行因式分解。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，让学生学会运用因式分解解决一些简单的实际问题。
3.通过因式分解的学习，使学生掌握数学中的分解思想，提高他们分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将以一个简单的数学问题引发学生的思考：“同学们，我们之前学过如何将一个数分解成几个数的乘积，那么对于多项式，我们是否也可以这样做呢？”通过这个问题，激发学生对因式分解的好奇心，从而引出本节课的主题。
接着，我会简要回顾整式的乘法运算，引导学生发现整式乘法与因式分解之间的联系，为学习因式分解打下基础。
2.问题导向的探究学习
本案例以问题导向的方式引导学生主动探究、发现数学规律。通过一系列具有启发性的问题，如因式分解的意义、操作步骤等，让学生在思考、讨论中逐步掌握因式分解的知识。这种教学策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作的互动交流
小组合作是本案例的又一亮点。在小组合作中，学生相互讨论、共同探究，充分发挥每个人的优势，共同解决问题。这种互动交流的学习方式不仅提高了学生的学习效果，还培养了他们的团队协作精神和沟通能力。
（二）过程与方法
1.采用启发式教学方法，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解因式分解的意义。
2.设计丰富的教学活动，如实例分析、互动讨论等，让学生在实践中掌握提公因式法的运用，提高他们的运算能力和逻辑思维能力。
3.创设生活情境，让学生在实际问题中运用所学的因式分解知识，培养他们将理论知识与实际相结合的能力。
（二）问题导向
因式分解 重难点题型8个(解析版)
专题14.2 因式分解 重难点题型8个题型1 因式分解概念及意义【解题技巧】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解可称为分解因式。
1．（2022·辽宁·丹东市八年级期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．()am bm m a b +=+B ．2224(2)a a a ++=+C ．21(1)1a a a a ++=++D ．2(1)(1)1a a a +-=- 【答案】A【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．【详解】解：A ．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；B ．22442a a a ++=+（），原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D ．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法（平方差公式和完全平方公式），十字相乘法等．2．（2022·山东·宁阳县八年级阶段练习）下列式子中，是因式分解的（ ）A ．+=+a b b aB ．224814()1x y xy xy x y -+=-+C ．2()a a b a ab -=-D ．2222()a ab b a b -+=-【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】A 项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意；B 项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意；C 项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意；D 项，采用了完全平方公式进行因式分解，故本项符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解答本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．3．（2022·广东·深圳八年级期中）下列从左到右的变形中，属于．．因式分解的是（ ）． A ．()()22m n m n m n -+=- B ．()()2422a a a -=-+C ．()22121x x x --=++D ．()22222x x x x ++=++【答案】B【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可．【详解】解：A 、()()22m n m n m n -+=-，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、()()2422a a a -=-+，属于因式分解，已把一个多项式化为两个整式的积的形式，故此选项符合题意；C 、()22121x x x --=++，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；D 、()22222x x x x ++=++，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是因式分解的定义，利用平方差公式分解因式，掌握“因式分解的定义”是解本题的关键． 4．（2022·浙江七年级阶段练习）若多项式245x mx +- 可因式分解为(5)(9)x x -+，则 m 的值为（ ）A ．-4B ．4C ．-14D ．14 【答案】B【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m 即可．【详解】解：(5)(9)x x -+=29545x x x +--=2445x x +-∵关于x 的多项式245x mx +-可因式分解为(5)(9)x x -+，∵m =4，故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．5．（2022·湖南·七年级阶段练习）已知多项式322x x m -+分解因式后有一个因式是1x +，则m 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．1D ．1- 【答案】A【分析】由多项式322x x m -+分解因式后有一个因式是1x +得出当1x =-时，多项式的值为0，由此得出关于m 的方程，求出方程的解即可，【详解】解：多项式322x x m -+分解因式后有一个因式是1x +，∴当1x =-时，多项式322x x m -+的值为0， 即322(1)(1)0m ⨯---+=，解得：3m =，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m 的方程是解此题的关键．6．（2022·达州·八年级期中）已知多项式22x bx c ++分解因式的结果为()()221x x -+，则2b c -的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【分析】把()()221x x -+根据乘法法则计算后与22x bx c ++比较即可．【详解】解：()()221x x -+=2(x 2+x -2x -2)=2x 2+2x -4x -4=2x 2-2x -4，∵22x bx c ++=2x 2-2x -4，∵b =-2，c =-4，()()22240b c ∴-=⨯---=故选B ．【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键．题型2 提公因式法【解题技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
因式分解的定义
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2、因式分解的作用在初中，我们可以接触到以下几类应用：1．计算。
利用因式分解计算，比较简捷；2．与几何有关的应用题。
3．代数推理的需要。
3、因式分解的方法学习探讨（1）提公因式法1. 确定公因式的方法探讨：多项式14abx－8ab2x+2ax各项的公因式是________．总结：要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：1、公因式系数是各项系数的最大公约数；2、公因式中的字母是各项都含有的字母；3、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；4、若有某项与公因式相同时，该项保留的因式是1，而不是0；5、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；6、多项式也可能作为项的一个公因式，各项均含有的相同的多项式因式，也可把它作为一个整体提出．练习：把下列各式分解因式：6（a–b）2–12（a–b）x(x+y)2–x(x+y)(x–y)a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;5（m－n）2+2（n－m）3．（m－n）2（5－2m+2n）–x4–3x2+x2. 提出公因式时易出现的错误总结1、提公因式时丢项例：分解因式：错解：=2ab（2a–3b）2、提公因式时不完全提取例：分解因式：6（a–b）2–12（a–b）错解：6（a–b）2–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）3、提取公因式后，有同类项不合并（即没有化到最简或分解彻底）例：分解因式：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)错解：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]（二）、运用公式法：公式：a2–b2=（a+b）（a–b）a2–2ab+b2=（a–b）2a2+2ab+b2=（a+b）2探讨：1、能用平方差公式分解因式的多项式的特点（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成两部分，每部分都是完全平方式（数）．（2）两部分符号相反；（3）每部分可以是单项式，也可以是多项式；2、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成三部分；（2）其中有两部分是完全平方式（数）且它们的符号相同；（3）另外一部分是这两个平方式（数）底数积的两倍，可以为正，也可以为负．3. 因式分解的方法分析顺序：提公因式法——公式法练习：1.下列多项式中，在有理数范围内，不能用平方差公式分解因式的是[ ]2. 分解因式:9a2–4b2–3m2n+6mn–3nx-x5b2-(a-b+c)2a2(a-2b)2-9(x+y)2反馈思考：用公式法分解因式时易出现的错误总结1、有公因式但不提取分解因式：错解：=（6x–3）22、乱套公式分解因式：9a2–4b2错解：9a2–4b2=（3a–2b）23、顾此失彼分解因式：–3m2n+6mn–3n错解：–3m2n+6mn–3n=3n(–m2+2m–1)4、乱去分母分解因式：错解：==因式分解结果小结1．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
因式分解反向-概述说明以及解释
因式分解反向-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述因式分解是代数学中重要的概念，它指的是将一个多项式拆解为多个较小的因子的过程。
在数学和工程学中，因式分解是一种非常实用的技巧，能够帮助我们简化复杂的表达式，求解方程和不等式，以及解决实际问题。
本文将探讨因式分解的基本概念、应用场景以及其反向过程，以及反向因式分解对实际应用的意义和未来的展望。
通过深入了解因式分解及其反向过程，我们可以更好地应用这一数学工具解决实际问题，提高数学建模和问题求解的效率和准确度。
1.2 文章结构文章结构部分：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，我们将介绍因式分解的基本概念，并简要介绍因式分解在数学和实际生活中的应用。
文章结构部分将说明本文的目录结构和各部分内容的安排。
而在目的部分，我们将阐述本文旨在探讨因式分解反向的意义和方法。
正文部分主要包括因式分解的基本概念、因式分解的应用场景和因式分解的反向过程。
在因式分解的基本概念部分，我们将介绍因式分解的定义和基本原理；在因式分解的应用场景部分，我们将探讨因式分解在实际中的各种应用，包括数学、物理、经济等领域；而在因式分解的反向过程部分，我们将深入研究因式分解反向的意义、方法和相关实例。
结论部分将对全文进行总结，阐明反向因式分解的意义，并展望可能的未来发展方向和研究方向。
文章1.3 目的部分的内容如下:1.3 目的本文的目的在于探讨因式分解的反向过程，即通过已知的因式分解结果推导出原始多项式表达式。
通过对这一过程的深入研究，我们可以更好地理解因式分解的原理和应用，提高数学解题的技巧和效率。
同时，通过探讨反向因式分解的意义，能够帮助读者对数学知识有更深刻的理解和应用，为进一步学习和研究数学领域打下坚实的基础。
此外，本文也希望通过对反向因式分解的讨论，激发读者对数学的兴趣，促进数学学习的积极性。
通过本文的阐述，读者能够全面了解因式分解的重要性，进一步巩固数学知识，提高数学解题能力。
因式分解在中学数学教学中的意义与作用研究
因式分解在中学数学教学中的意义与作用研究作者：宋扬来源：《语数外学习·中旬》2013年第06期因式分解，也可以叫做分解因式，是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识。
在中学阶段，应该扎扎实实地进行因式分解教学研究。
一、因式分解的意义1.有关多项式因式分解的基本概念定义1：设f（x）是数域P上的多项式。
若存在数域P上的多项式g（x）、φ（x），使f （x）=g（x）φ（x），则g（x）和φ（x）都称为f（x）的因式。
设f（x）是数域P上的多项式，C为P的任一不为零的数。
因为f（x）=c■f（x），所以C与■f（x）也都是f（x）的因式。
为了与其它因式相区别，把这种非零的数以及与f（x）只相差一个非零常数因子的多项式称为f（x）的当然因式，f（x）的其它因式称为f（x）的非当然因式。
定义2：设f（x）是数域P上的多项式。
若f（x）没有非当然因式，则称f（x）在P上既约（不可约），否则称为在P上可约。
关于既约多项式，在高等代数中证明过如下因式分解及唯一性定理：定理1：数域P上的任一个n次（n≥1）多项式f（x），都可以表示成P上的一些既约多项式的乘积的形式：f（x）=P1（x）P2（x）…Pk（x），其中P1（x）、P2（x）、…、Pk （x）都是P上的既约多项式。
而且，除常数因子与因式次序外，这种形式是唯一的。
上述定理为多项式因式分解的可能性提供了理论根据。
定义3：在给定的数域P上，把一个多项式表示成若干个既约多项式的乘积的形式，称为在P上的多项式的因式分解。
2.深刻理解因式分解的意义定义3是多项式因式分解的严格定义，其含义主要有如下几点：（1）因式分解是相对于某一数域P而言的。
（2）因式分解一定要表示成积的形式，它与整式乘法不同，是与之方向相反的恒等变形。
（3）分解指的是分解为非当然因式。
（4）分解所得的各个因式必须都是多项式，不能是分式，也不能是无理式或其它。
沪教版七年级上册 因式分解,带答案
因式分解课时目标1. 正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别.2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式.3. 理解整式乘法公式在因式分解中的作用.4. 掌握运用公式法分解因式.知识精要1. 因式分解的意义：把一个多项式化为______________，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2. 多项式的公因式（1） 意义：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的_______.（2） 找公因式的方法公因式的系数应取各项系数的__________，字母取各项中都含有的相同的字母，而且各个相同字母的指数取次数_______.3. 提取公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把公因式提到括号外面，将公因式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做______________.4. 公式法（1） 意义逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做_______.（2） 因式分解公式平方差公式：22__________a b -=完全平方公式：=++222b ab a _________________=+-222b ab a _________________33_____________a b +=，33_____________a b -=.5. 十字相乘法一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）6. 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做__________.7. 因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式（2）如果多项式的各项无公因式，那么可以尝试运用公式法或十字相乘法来分 解.一般地，若是二项式，则考虑平方差公式；若是三项式，则考虑用完全 平方公式或十字相乘法.（3）如果上述方法不能分解，那么应考虑分组分解法.（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能分解为止.热身练习1.从下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）()a m n am an +=+ ；（2）2221(2)(1)(1)a ab b a a b b b ++-=+++-；（3）211()x x x x+=+； （4）4(4)ax x x a -=-；（5）22()()a b a b a b -=+-；2.多项式32215()10()a b a b c a b a b +++的公因式是_____________.3. 分解因式（1）232322x y x y x y z --+； （2）26()12()a x y a y x -+-；（3） 6(2)(2)x x x ++--； （4）3223()9()m x y m y x ---；精解名题将下列各式分解因式（1）4116x -；（2）2225()4()a b c a b c -+-+-；(3) 22222()4x y x y +-;(4) 22()4()4a b c c a b c c ++-+++；（5）2215x x --；(6) 2()4()12x y x y +-+-;(7) 2x bx a ab --+;备选例题1.配凑法分解因式（1）444x y +；（2）3253x x --；（3）在实数范围内分解因式4323231x x x x ++++（4）2222x ax b ab --+（5）51a a ++2. 用待定系数法分解因式（1） 22282143x xy y x y +-++-（2）224434103x xy y x y +----3. 换元法分解因式（1）22(23)(224)90x x x x +-+-+（2）432653856x x x x +-++方法提炼因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：1、首项有负常提负，2、各项有“公”先提“公”，3、某项提出莫漏1，4、括号里面分到“底”.巩固练习1.分解因式（1） 1xy x y -+- （2）222a ab -（3） 2221a b a --+ （4）33222ax y axy ax y +-（5）328m m - （6）am an bm bn +++2.计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．3.（勾股定理）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.当堂总结多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.自我测试一、选择题1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=--B ．21(1)(1)a a a -=+-C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是（ ）A ．5ax ay ++B ．246ma ma +C ．2510a ab +D ．24a a ma -+3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（ ）A ．22(1)(1)x x -+B ．22(1)(1)x x +-C ．2(1)(1)(1)x x x -++D ．3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x y -B ．2(2)x y --C ．2(2)x y --D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ）A ．40B ．40±C ．20D ．20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A.p q --1B.p q -C.q p -+1D.p q -+17、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.28、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A.32(1)x x x x -=- C.2222()x xy y x y -+=-B.22()x y xy xy x y -=-D.22()()x y x y x y -=-+ 9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A.46-bB.64b -C.46+bD.46--b10、下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+11、下列各式不能．．继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a +二、填空题12、要在二次三项式x 2+□x -6的□中填上一个整数，然后按x 2＋（a ＋b ）x ＋a b 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这个数是___________.13、如果=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x ，则.14、如果2a +3b =1,那么3-4a -6b = ．15、若＝，，则b a b b a ==+-+-01222.16、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.17、若a 2+2a +b 2-6b +10=0， 则a = ，b = .18、把3222x x y xy -+分解因式，结果是___________.19、因式分解：224a a -=___________.（x +3）2 - (x +3) =___________.20、已知正方形的面积是9x 2+6xy +y 2平方单位，则正方形的边长是___________.三、计算题21、因式分解（1）22105m mn + （2）222120x x ++（3）x x x 2718323+- （4）()()3224x y y x ---（5）()222164x x -+ （6）122222++--+a b ab b a（7）()()()()14321+++++x x x x （8）()()ab b a 41122---22、先分解因式，再求值：21,34,412922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。
因式分解
第11讲：因式分解的方法【知识梳理】一、因式分解的意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。
其中每一个整式叫做积的因式。
二、因式分解的方法1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。
2、一些复杂的因式分解的方法：（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。
（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。
配方法则是一种特殊的拆项、添项法。
（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。
（5）常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++； 立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；完全立方公式：()3322333b a b ab b a a +=+++； ()3322333b a b ab b a a -=-+-。
为什么在数学中要使用因式分解？
为什么在数学中要使用因式分解？一、因式分解的概念和意义因式分解在数学中是一个非常重要的概念，它将一个多项式拆解成若干个乘积的形式，帮助我们更好地理解和处理数学问题。
因式分解的意义在于简化和化简数学表达式，使问题更容易解决，并且为我们进一步研究和应用数学提供了便利。
1.1 提高计算效率在数学中，我们经常需要进行各种各样的运算，而因式分解可以帮助我们高效地进行计算。
通过将多项式进行因式分解，可以将复杂的计算问题转化为简单的因式相乘问题，从而大大提高了计算的效率。
1.2 简化数学表达式通过因式分解，我们可以将一个复杂的数学表达式简化为一个更加简洁的形式，这样有助于我们更直观地理解数学问题的本质。
简化后的数学表达式通常更易于计算和应用，同时还能避免冗余信息和误解。
二、因式分解的应用领域和例子因式分解在数学中有着广泛的应用领域，它不仅仅是一种数学工具，更是解决各类实际问题的有效方法。
以下是其中一些常见领域和具体例子：2.1 代数方程的求解在代数学中，我们经常需要解决各种各样的代数方程，而因式分解是解决这些方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将复杂的方程转化为简单的因式相乘形式，进而快速求解。
2.2 数学模型的建立和分析在数学建模中，我们往往需要根据实际问题建立数学模型，并对其进行分析和求解。
因式分解可以帮助我们简化模型，提取关键信息，并更好地理解问题的本质。
例如，在经济学中，通过因式分解可以将复杂的经济模型简化为更容易理解和研究的形式。
2.3 统计和概率问题的计算在统计学和概率论中，因式分解也有着广泛的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的统计和概率问题转化为简单的因式相乘问题，进而提高计算效率和准确性。
例如，在概率论中，通过因式分解可以推导出常见的概率公式，帮助我们计算概率。
三、因式分解的技巧和方法因式分解作为数学中的重要工具，有一些技巧和方法可以帮助我们更好地进行因式分解。
以下是一些常见的技巧和方法：3.1 公因式的提取当多项式的每一项都含有公因式时，可以通过公因式的提取来进行因式分解。
一元二次方程因式分解法例题
一元二次方程因式分解法例题大家好，今天我们来聊聊一元二次方程的因式分解法。
可能有的小伙伴觉得这东西有点儿复杂，但放心，我们一步步来，不会让你迷失在数学的迷雾里。
我们先来看看这个话题的结构，搞明白了，你就会觉得这事儿其实没那么难。
1. 一元二次方程简介1.1 什么是一元二次方程一元二次方程其实就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、( c ) 是常数，( x ) 是变量。
听起来有点儿吓人，但其实就是一个“二次”的方程，跟我们平时在路上遇到的坑坑洼洼的路面一样，都是二次的，只不过这里的“二次”指的是平方。
1.2 因式分解的意义因式分解就像拆解一块蛋糕，把它分成若干小块。
这样做的好处是，我们可以更容易找到方程的根。
也就是说，经过因式分解后，问题会变得简单得多，我们能更直观地看出方程的解是什么。
2. 如何因式分解一元二次方程2.1 分解步骤首先，咱们从最简单的开始。
假设我们有一个方程 ( x^2 + 5x + 6 = 0 )。
如何因式分解呢？简单来说，就是要把它拆成两个括号的形式。
你可以试着找到两个数，它们的乘积等于 ( 6 )，而它们的和等于 ( 5 )。
经过一番计算，你会发现 ( 2 ) 和 ( 3 ) 满足这个条件。
所以，我们就可以把原方程分解成 ( (x + 2)(x + 3) = 0 )。
2.2 例题解析咱们再看一个例子。
设方程为 ( x^2 7x + 12 = 0 )。
找两个数，乘积是 ( 12 )，和是( 7 )。
这里，( 3 ) 和 ( 4 ) 就符合要求。
因此，这个方程可以因式分解为 ( (x 3)(x 4) =0 )。
看！这样我们就找到了它的根了。
3. 因式分解技巧3.1 分组法有时候，方程的系数比较复杂，我们可以使用分组法。
比如，方程 ( x^2 + 3x 10 = 0 )。
我们可以把 ( 3x ) 拆成 ( 5x 2x )，然后就能用分组法来解决它。
提公因式法(基础)知识讲解
提公因式法（基础）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.多项式各项的公因式应是各项系数的最大因数（当系数是整数时）与各项都含有相同字母的最低次幂的积. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法如果一个多项式各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.要点四、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、观察下列从左到右的变形：⑴()()3322623a b a bab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+ ⑶()22261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有 （填序号）【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．【答案】（3）；【解析】解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()()21232x x x x --=-+B ．()()23212x x x x -+=--C ．()24444x x x x ++=++D ．()()22x y x y x y +=+-【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -【解析】解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．举一反三：【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ．2x y -B ．22x x +C ．2x y 2+D ．2x xy y 2-+ 【答案】B ；3、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）A ．1q p --B ．q p -C ．1p q +-D ．1q p +-【答案】C ；【解析】解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号． 举一反三：【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）A ．1m +B ．2mC ．2D ．2m +【答案】D ；解：()()()111m m m +-+-，＝()()111m m -++，＝()()12m m -+．4、分解因式：(1)224a a -；(2)2323664a b ab c ab +-；(3)322262a b a b ab -+-；【思路点拨】本题3个小题的公因式分别是22,2,2a ab ab -，提取出公因式后，余下的另一个因式用原多项式除以公因式而得到．【答案与解析】解：(1)2242(2)a a a a -=- ．(2)232326642(332)a b ab c ab ab ab c b +-=+- ．(3)322262a b a b ab -+-22(31)ab a b a =--+ ． 【总结升华】(1)在因式分解时，“1”单独成一项时，不能漏掉，更不能省去不写．(2)多项式的第一项系数是负数时，一般要提出“－”号，使括号内的第一项是正的，在提出“－”号时，多项式的各项要变号．举一反三：【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）A ．()222129343abc a b c abc ab -=- B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+D ．()2255x y xy y y x x +-=+【答案】C ；解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误； B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误；C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误．类型三、提公因式法分解因式的应用5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.【答案与解析】解： 由0232=-+x x ，得232x x +=()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.【巩固练习】一.选择题 1. 下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A.()222211a ab b a b -+-=--B.2212221x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.()()2224x x x +-=-D.()()()421111x x x x -=++- 2. 将多项式3222236312x y x y x y -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ）A.3xy -B. 23x y -C. 223x y -D. 333x y - 3. 多项式32n n n a a a +-+分解因式的结果是（ ）A.()321n a a a -+B. ()22n n a a a -+C. ()221n n a a a -+D. ()31n n a a a -+4. 分解因式()()2552x y x -+-的结果是（ ）A. ()()251x y -+B. ()()251x y --C. ()()521x y -+D. ()()521x y --5. 下列因式分解正确的是（ ）A.()()()m a b n a b a b mn -+-=-B.()()()()m x y n y x x y m n ---=--C. ()()1mn x y mn x y mn ++=++D.()()()()232232y x x y x y x y -+-=---6. 把3223288x y x y xy ++提公因式得（ ）A ．2232(44)x x xy y ++B ．32232(44)x y x y xy ++C ．222(44)xy x xy y ++D ．22(4)xy x xy +二.填空题7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.8. ,,ax ay ax -的公因式是___________；236,2,4mn m n mn -的公因式是__________.9. 因式分解32a a b -＝_________________.10. 多项式33222339a b a b a b --的公因式是______________.11. 因式分解：323361218a b c ab c abc +-＝_________________.12. 因式分解243210515m n m n m n -+-＝_____________________.三.解答题13. 应用简便方法计算：（1）1098222--； （2）16 3.148 3.1426 3.14⨯+⨯+⨯14.已知1,3a b ab +==-，求22a b ab +和3322a b ab +的值.15.小明在计算34.3×17.1＋82.5×17.1－26.8×17.1＋10×17.1的时候，一脸惆怅，满腹牢骚，不停地自言自语：太繁了！你能帮他解决这个问题吗？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】因式分解和整式乘法互为逆运算，注意区分.B 选项中出现了分式（分母中含有字母），所以错误.2. 【答案】C ；【解析】()3222232263123214x y x y x y x yx y -+-=--+. 3. 【答案】C ；【解析】()32221n n n n n a a a a a a +-+=-+.4. 【答案】B ；【解析】()()()()()()25522525251x y x x y x x y -+-=---=--.5. 【答案】C ；【解析】()()()()m a b n a b a b m n -+-=-+； ()()()()m x y n y x x y m n ---=-+；()()()()232332y x x y x y x y -+-=--+.6. 【答案】C ；【解析】()322322288244x y x y xy xy x xy y ++=++.二.填空题7. 【答案】多项式；几个整式的积；8. 【答案】;2a mn ；9. 【答案】()2a a b -；10.【答案】23a b ；【解析】()332222233933a b a b a b a b ab b --=--.11.【答案】()222623abc a b b c +-；【解析】()323322*********a b c ab c abc abc a b b c +-=+-.12.【答案】()22523m n m mn --+；【解析】()24322210515523m n m n m n m n m mn -+-=--+.三.解答题13.【解析】解：（1）()109882822222212256--=--==；（2）()16 3.148 3.1426 3.14 3.1416826 3.1450157⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=.14.【解析】解：()22313a b ab ab a b +=+=-⨯=-； ()()233222222[2]a b ab ab a b ab a b ab +=+=+- ()()23[123]42=⨯-⨯-⨯-=-.15.【解析】解：原式＝17.1×（34.3＋82.5－26.8＋10）＝17.1×100＝1710。
因式分解
(
6) － x2+2xy－ y2
难度等级： A
解： ( 1) 9m2 25n2 3m 5n 3m 5n
( 2) 25 a 4b2 1 c 6
36
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 a2b 1 c3 5 a2b 1 c3
6
26
2
( 3) 9 x6 16 y2 16 y2 9 x6 4 81 81 4
4 y
3 x3
4 y
3 x3
92 92
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（2）因式分解的一般思路是：
把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 如果上述方法不能分解， 那么可以尝试用分组或其它方法 （如十字相乘法） 来分解；
分解因式， 必须进行到每一个因式都不能再分解为止 因式分解）。
（本章只在有理数范围内研究
方法引导
例 1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（
A 、 xy 2 ( x 1) x2 y 2 xy 2
）
B 、 x 2 9 (x 3)( x 3)
C、 x 2 1 y2 ( x 1)( x 1) y 2
D 、 ax bx c x(a b) c
难度等级： A
解： B
( 6) x( m- x)( m- y)- m ( x- m )( y- m)
= x( m- x)( m- y)- m ( m- x)( m- y)
=( m- x)( m- y)( x- m ) =-( m- x ) 2( m- y).
【知识体验】运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
( 1) 因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解
数学代数因式分解
数学代数因式分解一、因式分解的定义与意义因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。
具体地，对于一个多项式f(x)，如果存在两个或两个以上的多项式g1(x), g2(x), …, gk(x)，使得f(x) =g1(x) * g2(x) * … * gk(x)，那么就称f(x)可以进行因式分解，多项式g1(x), g2(x), …, gk(x)称为f(x)的因式。
因式分解在数学中具有很重要的作用。
首先，它可以简化多项式的表达形式，便于我们进行进一步的计算和分析。
其次，因式分解可以帮助我们求解多项式方程，即将多项式方程转化为几个一次或二次方程的乘积形式，从而便于求解。
此外，因式分解还可以应用于解析几何、数论等领域，具有广泛的应用价值。
二、提公因式法提公因式法是因式分解的一种基本方法。
对于一个多项式f(x)，如果存在一个多项式g(x)，使得f(x) = g(x) * h(x)，其中h(x)不含g(x)的公因式，那么就称g(x)是f(x)的一个公因式，提公因式法就是将f(x)中的公因式g(x)提取出来，从而将f(x)因式分解为g(x)和h(x)的乘积。
提公因式法的一般步骤如下：1.找出多项式f(x)中所有可能的公因式；2.提取公因式，得到f(x) = g(x) * h(x)；3.对h(x)进行进一步的因式分解，直到无法继续分解为止。
三、十字相乘法十字相乘法是因式分解的一种常用方法，主要应用于二次多项式的因式分解。
对于一个二次多项式f(x) = ax^2 + bx + c，如果存在两个一次多项式g(x)和h(x)，使得f(x) = g(x) * h(x)，那么就称f(x)可以进行十字相乘法因式分解。
十字相乘法的一般步骤如下：1.确定a、b、c的值；2.找出满足a * m + b * n = c的两个整数m和n，其中m和n为f(x)的因式；3.构造一次多项式g(x) = x * m和h(x) = x * n；4.验证g(x) * h(x)是否等于f(x)，若相等，则f(x)可以进行十字相乘法因式分解。
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1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
n＝
1 2
.
1 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分 解为____________．
2 (中考·株洲)把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x ＋n)，则m＝________，n＝________.
3 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
4 (中考·常德)下列因式分解正确的是( ) A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．(x2－4)x＝x3－4x C．ax＋bx＝(a＋b)x D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2
5 (中考·甘肃)已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为2(x－ 3)(x＋1)，则b，c的值为( ) A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2 C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) ； (2)(a－7)2＝a2－14a＋49，
a2－14a＋49＝(a－7)2； (3)(x＋3)(x－3)＝x2－9，
x2－9＝ (x＋3)(x－3).
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解
一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆
的变形． 即：多项式
因式分解 整式乘法
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；
因为a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1结果不是积的形式，
因此不是因式分解，C错误；
x2y＋xy2＝xy(x＋y)符合因式分解的概念，因此是因
式分解，D正确．
总结
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是 因式分解．
1 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A．6a2b＝3a2·2b B．x2－3x－4＝x(x－3)－4 C．ab2－2ab＝ab(b－2) D．(2－a)(2＋a)＝4－a2
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
A．a2＋1＝
a
a＋
1 a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断，因为 1 不是整式，
所以a2＋1＝
a
a＋
1 a
a 不是因式分解，故A错误；
因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，
2 下面的式子从左到右的变形哪些是因式分解？ ①x2－x＝x(x－1)； ②a(a－b)＝a2－ab； ③a2－2a＋1＝a(a－2)＋1； ④x2－4x＋4＝(x－2)2.
3 (中考·海南)下列式子从左到右变形是因式分解的 是( ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
4 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b2＝3ab·2ab B． 1 a－ 1 ay＝ 1 a(1－y)
22 2 C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
D．(x＋1)(x关系
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？ (1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，
第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
第1课时 因式分解的 意义
1 课堂讲解 因式分解的定义
因式分解与整式乘法的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个整 数的积.在代数中，我们也常常需要把一个多项式转化 为几个整式的积.
知识点 1 因式分解的定义
整式乘积．
例2 计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝_a_2_－__b_2__；(2)(a＋b)2＝a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_； (3)8y(y＋1)＝_8_y_2＋__8_y__；(4)a(x＋y＋1)＝_a_x_＋__a_y_＋__a_； 根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
六、词语点将（据意写词）。
1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。
冷静 寂静 幽静 恬静 安静
１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她 的人。
“把”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ “被”字句：_______________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
九、要点梳理（课文回放）。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？ （陈述 句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
在小学，我们学过整数的因数分解，例如， 6＝2×3，30＝2×3×5.
类似地，在整式中，也可以把一个多项式化成几 个因式乘积的形式，例如，
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2， a2－b2＝(a＋b)(a－b)，na＋nb＋nc＝n(a＋b＋c).
归纳
像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形 式，叫做因式分解(factorization)，也叫做把这个多 项式分解因式.