《立体几何中的向量方法》课堂探究(第3课时)

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第3章空间向量与立体几何 §3..2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离

§3.2立体几何中的向量方法(三>——利用向量方法求距离知识点一求两点间的距离已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．解方法一过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则由已知条件可知AC＝5，∴DE＝错误!＝错误!，BF＝错误!＝错误!.BSAcczpqCV∵AE＝错误!＝错误!＝CF，∴EF＝5－2×错误!＝错误!，∴＝错误!＋＋错误!.||2＝ (错误!＋错误!＋错误!>2＝错误!2＋ 2＋错误!2＋2错误!·＋2错误!·错误!＋2·错误!.BSAcczpqCV ∵面ADC⊥面ABC，而DE⊥AC，∴DE⊥面ABC，∴ DE⊥BF, 错误!⊥错误!,BSAcczpqCV||2＝错误!2＋错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，BSAcczpqCV∴||＝错误!.故B、D间距离是错误!.方法二同方法一．过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．BSAcczpqCV则由方法一知DE＝FB＝错误!，EF＝错误!，∴D错误!，B错误!，BSAcczpqCV∴＝错误!，BSAcczpqCV| |＝错误!＝错误!.BSAcczpqCV【反思感悟】求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1>把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a通过向量运算去求|a|.(2>建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝错误!求解．BSAcczpqCV如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM ＝BN＝a(0＜a＜错误!>．BSAcczpqCV(1>求MN的长；(2>当a为何值时，MN的长最小．解(1>建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0>，F(1,1,0>，C(0,0,1>∵CM＝BN＝a(0<a<错误!>，且四边形ABCD、ABEF为正方形，∴M(错误!a,0,1－错误!a>，N(错误!a，错误!a,0>，BSAcczpqCV∴|错误!＝(0，错误!a，错误!a－1>，∴|错误!|＝错误!.BSAcczpqCV(2>由(1>知MN＝错误!，所以，当a＝错误!时，MN＝错误!.即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为错误!.知识点二求异面直线间的距离如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝错误!，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝错误!，求异面直线AB与EB1的距离．BSAcczpqCV解.以B为原点，错误!、错误!所在直线分别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系．BSAcczpqCV由于BC＝1，BB1＝2，AB＝错误!，∠BCC1＝错误!，在三棱柱ABC—A1B1C1中有B(0,0,0>，A(0,0，错误!>，B1(0,2,0>，BSAcczpqCV设 E (>，由EA⊥EB1，得·=0，即错误!·错误!＝0，BSAcczpqCV得错误!错误!＝0，即a＝错误!或a＝错误!(舍去>，BSAcczpqCV故E错误!.BSAcczpqCV设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量，由题意可设n＝(x，y,0>，则有n·=0.易得n＝(错误!，1,0>，∴两异面直线的距离d＝＝错误!＝1.BSAcczpqCV【反思感悟】求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．BSAcczpqCV如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离．BSAcczpqCV解以A为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,2>，B(0,4,0>，M(3,2,0>，N(0,4,1>．∴|错误!＝(－3,2,1>，＝(0,4，－2>．设MN、A1B公垂线的方向向量为n＝(x，y，z>，则即错误!.BSAcczpqCV令y＝1，则z＝2，x＝错误!，即n＝错误!，|n|＝错误!.BSAcczpqCV＝(－3，－2,2>在n上的射影的长度为d＝,故异面直线MN与A1B的距离为错误!.知识点三求点到平面的距离在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．BSAcczpqCV解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x 轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，BSAcczpqCV则A错误!，B错误!，BSAcczpqCVC错误!，D错误!，BSAcczpqCV∴=错误!，BSAcczpqCV＝错误!，＝错误!，BSAcczpqCV设n＝(x，y，z>为平面ABC的一个法向量，则，∴y＝－错误!x，z＝－错误!x，可取n＝(－错误!，1,3>，BSAcczpqCV代入d＝，得d＝错误!＝错误!，BSAcczpqCV即点D到平面ABC的距离是错误!.【反思感悟】利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．BSAcczpqCV正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离. BSAcczpqCV解如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则A(4,0,0>，M(2,0,4>，D(0,0,0>，B(4,4,0>，E(0,2,4>，F(2,4,4>，N(4,2,4>，BSAcczpqCV从而＝(2,2,0>，错误!＝(2,2,0>，＝(－2,0,4>，错误!＝(－2,0,4>，∴＝错误!，＝错误!，BSAcczpqCV∴EF∥MN，AM∥BF，∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z>是平面AMN的法向量，从而解得错误!.取z＝1，得n＝(2，－2,1>，由于在n上的投影为＝错误!＝－错误!.∴两平行平面间的距离d＝＝错误!.课堂小结：1．求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用|AB|＝||＝错误!来求．2．两异面直线距离的求法．如图(1>，n为l1与l2的公垂线AB的方向向量，d＝||＝错误!.3点B到平面α的距离：| |=.(如图(2>所示>4.面与面的距离可转化为点到面的距离.一、选择题1.若O为坐标原点， =<1，1，2）， =<3，2，8），=<0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为< ）A.错误! B．2错误!BSAcczpqCVC.错误!D.错误!BSAcczpqCV答案D解读由题意＝(1－t>错误!＝错误!(错误!＋错误!>＝(2，错误!，3>，BSAcczpqCV 错误!＝错误!－＝(1－t>错误!＝(－2，－错误!，－3>，PC＝|错误!|＝错误!＝错误!.BSAcczpqCV 2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( >BSAcczpqCVA． B.错误!BSAcczpqCVC.错误!D.错误!BSAcczpqCV答案B 解读以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有D1<0，0，1），D<0，0，0），A<1，0，0），B<1，1，0），A1<1，0，1），C1<0，1，1）.因O为A1C1的中点，所以O<，,1）， =<，，0），设平面ABC1D1的法向量为 n=<x,y,z），则有 BSAcczpqCV即则 n = <1，0，1），∴O到平面ABC1D1的距离为：,. 3．在直角坐标系中，设A(－2,3>，B(3，－2>，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为( >BSAcczpqCV A．2错误! B.错误!C.错误! D．3错误!答案A解读＋错误!2＝2＋2＋错误!2＋2·＋2·错误!＋2·错误!BSAcczpqCV＝9＋25＋4＋2×3×2×错误!＝44.∴||＝2错误!. 4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( >BSAcczpqCVA.错误!B.错误!BSAcczpqCVC.错误!D.错误!BSAcczpqCV答案B解读如图所示， =<2，0，0），=<1，0，2），∴cosθ= ＝错误!＝错误!，∴sinθ＝错误!＝错误!错误!，A到直线BE的距离d＝|－*6]·错误!|sinθ＝2×错误!错误!＝错误!.BSAcczpqCV二、填空题5．已知A(2,3,1>，B(4,1,2>，C(6,3,7>，D(－5，－4,8>，则点D到平面ABC的距离为________．BSAcczpqCV答案错误!解读设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z>，则即错误!BSAcczpqCV∴n＝错误!，BSAcczpqCV又 =<7，7，7）.∴点D到平面ABC的距离d =＝错误!.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是________．BSAcczpqCV答案错误!解读如图所示建立空间直角坐标系,设n为异面直线D1E与BC1公垂线的方向向量,并设n=(x,y,z>,则有 BSAcczpqCV易求得n=<1，2，1），∴d=＝错误!＝错误!＝错误!.BSAcczpqCV7．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为________．答案错误!a解读以D为空间直角坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则D(0,0,0>，A(a,0,0>，B(a，a,0>，A1(a,0，a>．设n＝(x，y，z>为平面A1BD的法向量，则有，即错误!BSAcczpqCV∴错误!令x＝1，BSAcczpqCV∴n＝(1，－1，－1>．∴点A到平面A1BD的距离d＝＝错误!＝错误!a.三、解答题8．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.BSAcczpqCV(1>求BF的长；(2>求点C到平面AEC1F的距离．解(1>建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0>，B(2,4,0>，A(2,0,0>，C(0,4,0>，E(2,4,1>，C1(0,4,3>．设F(0,0，z>．∵四边形AEC1F为平行四边形，∴由得<-2，0，z）=<-2，0，2），∴z=2.∴F<0，0，2）.∴=<-2，-4，2）.于是||=<2）设n1为平面AEC1F的一个法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=<x，y，1），由得即∴∴n1=<1, ,1）.又=(0,0,3>,设与n1的夹角为α,则cosα=∴C到平面AEC1F的距离为d=||cosα=3×9．已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2错误!，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点．BSAcczpqCV(1>求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2>求点D1到平面B1EF的距离．(1>证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0>，B(2错误!，2错误!，0>，E(2错误!，错误!，0>，BSAcczpqCVF(错误!，2错误!，0>，D1(0,0,4>，B1(2错误!，2错误!，4>．＝(－错误!，错误!，0>，错误!＝(2错误!，2错误!，0>，＝(0,0,4>，BSAcczpqCV∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD＝D，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.<2）解由<1）知 =设平面B1EF的法向量为n,且n = (x,y,z>，则n⊥,n⊥，即n·=<x，y，z）·＝－错误!x＋错误!y＝0，n·＝(x，y，z>·(0，－错误!，－4>＝－错误!y－4z＝0.令x＝1，则y＝1，z＝－错误!，∴n＝错误!.BSAcczpqCV∴D1到平面B1EF的距离＝错误!＝错误!BSAcczpqCV10．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点．BSAcczpqCV(1>求二面角O1—BC－D的大小；(2>求点E到平面O1BC的距离．解(1>∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2，OB=2，则A(2,0,0>，B(0,2,0>，C(2,0,0>，O1(0,0,3>设平面O1BC的法向量为n1=<x,y,z），则n1⊥，n1⊥,∴错误!，BSAcczpqCV 若z＝2，则x＝－错误!，y＝3，∴n1＝(－错误!，3,2>，而平面AC的法向量n2＝(0,0,3>∴cos〈n1，n2〉＝错误!＝错误!＝错误!，设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα＝错误!，BSAcczpqCV∴α＝60°.故二面角O1－BC－D为60°.(2>设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴＝(－错误!，0，错误!>，则d=＝错误!＝错误!BSAcczpqCV∴点E到面O1BC的距离等于错误!.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

高二数学选修2-1_《立体几何中的向量方法(第3课时)》名师课件

1 2
ab
, AN b 1 c 4
MN AN AM 1 a 1 b 1 c 224
AB1 MN
ac
1 2
a
1 2
b
1 4
c
1 2
1 2
cos
60
1 4
0
AB1 MN AB1 MN
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二:利用向量证明空间垂直关系
法二:设AB中点为O, 作OO1 //AA1
活动4 探究型题型例4.在正方体ABCD A1B1C1D1 中, E、F分别是棱AB、BC的中点, 试在棱BB1上找一点M ,使得D1M 平面EFB1
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二:利用向量证明空间垂直关系
活动3 利用直线的方向向量证明面面垂直
小结:对于易建立空间直角坐标系的面面垂直问题,常用向量法,即先建立坐标系,求出两个平面的法向量,通过证明这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二:利用向量证明空间垂直关系
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二:利用向量证明空间垂直关系
活动1 利用直线的方向向量证明线线垂直
小结: （1）选好基底,将问题中涉及的向量用所选定的基底来线性表示, 然后运算. （2）建立坐标系写出坐标,也可以计算.
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二:利用向量证明空间垂直关系
证明两直线垂直可转化为证明v1 v2,即v1 v2 =0
想一想:怎样用向量法来判断直线与平面的垂直呢?
在直线l上适当地选取方向向量 v, 在平面上适当地选取两相交向量a1, a2 , 证明l 可转化为证明v a1且v a2 ,

3.2.3 立体几何中的向量方法(三)

u A1E = 0, 由得 u = (1,2,2) u A1B = 0,
z
D1
A1
E
C1
A1B1 = 0,1,0 ,
B1到面A 1BE的距离为 A 1B1 n 2 d= = 3 n
B1
D
C
A
3、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.
解2
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
1 解 : 建立坐标系. A1E = (-1, ,0), A1B = (0,1,-1) 2 设u = (1, y, z)为面A1BE的法向量
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6

3.2立体几何中的向量方法第3课时精品教案

立体几何中的向量方法【课题】：利用向量解决平行与垂直问题【教课目的】：（1）知识与技术：持续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题 .（2）过程与方法：在解决问题中，经过数形联合与问题转变的思想方法，加深对有关内容的理解。

（3）感情态度与价值观：领会把立方体几何几何转变为向量问题优势，培育研究精神。

【教课要点】：向量法与坐标法.【教课难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转变.【课前准备】： Powerpoint 课件【教课过程设计】：教课环节教课活动一、复习引1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”入2．平行与垂直关系的向量表示。

二、研究新一、用向量办理平行问题知例如图已知四边形ABCD、1:ABEF为两个正方形,MN 分别在其对角线BF上,且求证：MN //平面EBCFM AN.E设计企图.为学习新知识做准备 .例 1 是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。

同时介绍解决问题的向量法。

F MBCNA D剖析：先复习共面向量定理。

要解决问题，能够考虑将向量MN 用向量 BE, BC 线性表示出来。

联系共线向量来理证明 : 在正方形 ABCD与 ABEF中 , 解。

BE AB, FM AN ,FB AC,存在实数,使FM FB, AN AC.MN MF FA AN BF EB AC( BE BA AB AD ) EB (BE AD) EB( BE BC) BE ( 1)BE BC.、、共面.MN BE BCM 平面 EBC, MN // 平面 EBC评注：向量 p 与两个不共线的向量a、 b 共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb. 例 2 是对于面面平利用共面向量定理能够证明线面平行问题。

行的问题，联系几此题用的就是向量法。

何定理与向量平例在正方形中行。

同时介绍解决2. ABCD - A1B1C1 D1 , 问题的坐标法。

总复习《第42讲立体几何中的向量方法(3)》

cos
n1 n2 n1 n2

cos n1 n2 n1 n2
z
A
x
D
C
B
E
y
第5题解析：
△方法？
非用不可 !
●在哪建系？
越对称越好！
●各个点的坐标莫求错？
F点是关键.
一失足成千古恨！
●公式莫求错？
煮熟的鸭子飞了！
课堂总结
□利用空间向量解题不良症状：
症状1. 建系时不说明三线两两垂直. 症状2. 盲目建系，应让更多点在坐标轴（平面）上.
症状3. 细心不够，计算频频出错.
症状4. 法向量的坐标不够简练.
症状5. 使用公式有误.
总复习第41讲
立体几何中的向量方法（3）
一.空间角的求法线线所成角 D C E 形 A θ O B
AB CD AB CD
线面所成角 A
θ B
二面角
A
O θ B
图
O
AB n AB n
向量法 cos
sin
cos
n1 n2 n1 n2
二面角

教学设计3：立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法[课前考点引领]考情分析考点新知理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．体会向量方法在研究几何问题中的作用．能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.知识清单1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2e 2＝λe 1a 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1． (2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2e 1·e 2＝0a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0．(3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1e 1·n 1＝0a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0． (4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1e 1＝k n 1a 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2n 1＝k n 2x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2n 1·n 2＝0x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π2. ②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有sin θ＝|sin φ|. (2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. ②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|sin φ|或sin θ＝sin φ.(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角αlβ的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．[课中技巧点拨]题型精选题型1 空间向量的基本运算例1 如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →＝________.备选变式（教师专享）已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM ∥平面BDE ；(2) AM⊥平面BDF.变式训练如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1) 试证：A1、G、C三点共线；(2) 试证：A1C⊥平面BC1D；题型3空间的角的计算例3如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2) 求二面角OOFE的正弦值．备选变式（教师专享）如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D 是BC的中点．(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．疑难指津1. 类比平面向量，掌握空间向量的线性运算、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算．2. 用空间向量解答立体几何问题的一般步骤：(1) 几何问题向量化：线线、线面、面面的平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面有关判定定理和性质定理，将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系；(2) 进行向量运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算．(3) 回归几何问题．如利用法向量求二面角时，要注意两平面的法向量的方向，确定求得的角是二面角还是其补角．答案例1【答案】－12a ＋12b ＋c【解析】BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12()AD →－AB →＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c .备选变式（教师专享）解：∵A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)， a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)． (1)∵sin θ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arcsin ⎝⎛⎭⎫－1010. (2)∵k a ＋b ＝k (1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.例2证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE . 则N ⎝⎛⎭⎫22，22，0，E (0，0，1)， A (2，2，0)，M ⎝⎛⎭⎫22，22，1. ∴ NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM . ∵ NE平面BDE ，AM平面BDE ，∴ AM ∥平面BDE .(2) 由(1)知AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，∵ D (2，0，0)，F (2，2，1)，∴ DF →＝(0，2，1)， ∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF .同理AM ⊥BF . 又DF ∩BF ＝F ，∴ AM ⊥平面BDF . 变式训练证明：(1) CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴ CG →∥CA 1→，即A 1、G 、C 三点共线．(2) 设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∵ CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴ CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， ∴ CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理可证：CA 1⊥BD ，因此A 1C ⊥平面BC 1D .例3解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴， OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0，2，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，1，2)．设F (x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1. ∴ F (3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147.(2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫1，0，32. 设二面角ODFE 的平面角为β，则|sin β|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77. ∴ sin β＝427.备选变式（教师专享）解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为sin 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|sin θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。

3.2立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角课件

研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第3课时
例 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 AB＝BC＝2AD，AS⊥平面 ABCD， AD∥BC， AB⊥BC，且 AS＝AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值．
解
由题设条件知，以点 A 为坐标原点，
分别以 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设 AB＝1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)， 1 C(1,1,0)，D2，0，0，S(0,0,1)． → → ∴AS＝(0,0,1)，CS＝(－1，－1,1)．
3.2 第3课时
解
建立如图所示的空间直角坐标系，则
O(0,0,0)，O1(0,1， 3)，A( 3，0,0)， A1( 3，1， 3)，B(0,2,0)， → → ∴A1B＝(－ 3，1，－ 3)，O1A＝( 3，－1，－ 3)． → → → → |A1B· O1A| ∴|cos〈A1B，O1A〉|＝ → → |A1B|· |O1A| |－ 3，1，－ 3· 3，－1，－ 3| 1 ＝＝7. 7· 7 1 ∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 . 7
3.2 第3课时
∴PB⊥AD. 又∵PB⊥DM，DM∩AD＝D， ∴PB⊥平面 ADMN， → 即PB为平面 ADMN 的一个法向量． → → 因此〈PB，DB〉的余角即是 BD 与平面 ADMN 所成的角． → → PB· DB 4 1 → → ∵cos〈PB，DB〉＝＝＝， → → 2 2×2 2 2 |PB||DB| π π → → ∴〈PB，DB〉＝3，∴BD 和平面 ADMN 所成的角为6.
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3.2 第3课时

课件11：§3.2立体几何中的向量方法

例题解析例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
D1 A1
D A 图1
C1 B1 C B
解：如图1，设
AB AA1 AD 1 ， BAD BAA1 DAA1 60.
P
b
O a
这样，点O与向量 a,b 不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.
除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
探究点2 平面的法向量
n
b
P
O
a
平面的法向量：如图，直线 l ，取直线l的方向向
量 a ，则向量 a 叫做平面的法向量 .
以及一个方向确定．在直线l上取点A和 a ，a 可
以作为l的方向向量，借助点A和 a 即可确定直线 l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．
2．如何理解平面的法向量？ (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？ (1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系． (2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角． (3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．
2ab
例3 如图,一块均匀的正三角形面的钢板所受重力为500N，
在它的顶点处分别受力F1, F2 , F3 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60o，且 F1 F2 F3 200N .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多

3.2立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角教案(人教A版选修2-1)

第3课时空间向量与空间角●三维目标1.知识与技能(1)理解直线与平面所成角的概念．(2)能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．(3)体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．2．过程与方法经历规律方法的形成推导过程、解题的思维过程，体验向量的指导作用．3．情感、态度与价值观通过学习向量及其运算由平面向空间推广的过程，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．●重点难点重点：向量法求解线线、线面、面面的夹角．难点：线线、线面、面面的夹角与向量夹角的关系．(教师用书独具)●教学建议按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、演绎推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量法处理立体几何问题，实现了几何问题代数化，把对空间图形的研究从“定性推理”转化为“定量计算”，即将复杂的几何论证转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度，学生易于操作，容易接受．本节课宜采取的教学方法：(1)诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性．(2)分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，培养学生的互相合作精神．(3)讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点．学法方面，自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流．建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系．在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思、参与学习，认识和理解数学知识、学会学习，发展能力．●教学流程创设问题情境，提出空间中两条异面直线的夹角、直线与平面的夹角、二面角的取值范围各是多少？⇒通过引导学生回答问题，分析空间角大小与向量夹角的关系，并进一步得出用向量求空间角的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量求异面直线所成角的方法及注意事项.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用向量求直线与平面所成的角.⇒通过例3及其变式训练，解决利用向量求二面角问题.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.课标解读1.理解直线与平面所成角的概念．(重点)2.会用向量法求线线、线面、面面夹角．(重点、难点)3.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)空间角的向量求法【问题导思】1．空间中两条异面直线所成角的范围是多少？【提示】(0，π2]．2．直线与平面的夹角是怎样定义的？夹角的范围是多少？【提示】平面外一条斜线与它在该平面内的射影所成的角叫斜线与平面所成的角，其取值范围为[0，π2]．3．怎样作出二面角α－l －β的平面角？其平面角的取值范围是多少？【提示】在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 就是二面角α－l －β的平面角．它的取值范围是[0，π].角的分类向量求法范围两异面直线l 1与l 2所成的角θ设l 1与l 2的方向向量为a ，b ，则cos θ＝|cos a ，b|＝|a·b ||a ||b |(0，π2]直线l 与平面α所成的角θ设l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos a ，n|＝|a·n ||a ||n |[0，π2]二面角α－l －β的平面角θ设平面α，β的法向量为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos n 1，n 2|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|[0，π]求异面直线所成的角图3－2－17如图3－2－17，在三棱锥V －ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．【自主解答】由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，∴V (0,0，6)，∴AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)， ∴cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22×22＝－24.∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.1．几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程只需对相应向量运算即可．2．由于两异面直线夹角θ的范围是(0，π2]，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cosθ＝|cos α|，求解时要特别注意．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．【解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．设A 1B →与B 1C →的夹角为θ，则cos θ＝A 1B →·B 1C →|A 1B →||B 1C →|＝925，故A 1B →与B 1C →的夹角的余弦值为925，即异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为925.求线面角图3－2－18(2013·泰安高二检测)如图3－2－18所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．【思路探究】 (1)怎样建立坐标系？(2)向量CM →与SN →满足什么关系时有CM ⊥SN 成立？ (3)SN →的坐标是多少？平面CMN 的一个法向量怎么求？SN →与平面CMN 的法向量的夹角就是SN 与平面CMN 所成的角吗？【自主解答】设P A ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M 、S 分别为PB 、BC 的中点，∴N (12，0,0)，M (1,0，12)，S (1，12，0)，(1)CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)，∴CM →·SN →＝(1，－1，12)·(－12，－12，0)＝0，因此CM ⊥SN .(2)NC →＝(－12，1,0)，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.则⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝－2y . 取y ＝1，则得a ＝(2,1，－2)．因为cos a ，SN →＝－1－123×22＝－22.∴〈a ，SN →〉＝34π.所以SN 与平面CMN 所成角为34π－π2＝π4.1．本题中直线的方向向量SN →与平面的法向量a 的夹角并不是所求线面角θ，它们的关系是sin θ＝|cos 〈SN →，a 〉|.2．若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：如图3－2－19，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，求BE 与平面B 1BDD 1所成角的余弦值．图3－2－19【解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．AC →＝(－2,2,0)即平面B 1BDD 1的一个法向量，设n ＝(－1,1,0)． cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.设BE 与平面B 1BD 所成角为θ，cos θ＝sin 〈n ，BE →〉＝155，即BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为155.求二面角图3－2－20如图3－2－20，若正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD 的交点，AC⊥BC，且AC＝BC，求二面角A－EB－C的大小．【思路探究】(1)根据已知条件，你能建立空间直角坐标系吗？A、B、C、E、M的坐标分别为多少？(2)怎样用法向量法求二面角A－EB－C的大小？【自主解答】∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC.又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC.以点A为坐标原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC，AE为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0,1,1)．设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥AE→且n⊥AB→，从而有n·AE→＝0且n·AB→＝0.又∵AE →＝(0,0,2)，AB →＝(2,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(0，0，2)＝0，(x ，y ，z )·(2，2，0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0.取y ＝－1，则x ＝1，则n ＝(1，－1,0)．又∵AM →为平面EBC 的一个法向量，且AM →＝(0,1,1)，∴cos 〈n ，AM →〉＝n ·AM →|n ||AM →|＝－12.设二面角A －EB －C 的平面角为θ，则cos θ＝12，即θ＝60°.故二面角A －EB －C 为60°.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定二面角的大小．图3－2－21已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，D 是侧棱CC 1的中点，求平面AB 1D 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小．【解】以B 为原点，过点B 与BC 垂直的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (0，a,0)，B 1(0,0，a )，C 1(0，a ，a )，A (－32a ，a 2，0)，A 1(－32a ，a2，a )，D (0，a ，a2)．故AB 1→＝(32a ，－a 2，a )，B 1D →＝(0，a ，－a 2)．设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB 1→＝0，n ·B 1D →＝0，即⎩⎨⎧32ax －a 2y ＋az ＝0，ay －a2z ＝0.得x ＝－3y ，z ＝2y .取y ＝1，则n ＝(－3，1,2)． ∵平面ABC 的法向量是AA 1→＝(0,0，a )， ∴二面角θ的余弦值为 cos θ＝AA 1→·n |AA 1→||n |＝22.∴θ＝π4.∴平面AB 1D 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小为π4.对所求角与向量夹角的关系不理解致误正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求二面角A －BD 1－C 的大小．【错解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1→是平面ABD 1的一个法向量，DA 1→＝(1,0,1)， DC 1→是平面BCD 1的一个法向量，DC 1→＝(0,1,1)，所以cos 〈DA 1→，DC 1→〉＝DC 1→·DA 1→|DC 1→|·|DA 1→|＝12.所以〈DA 1→，DC 1→〉＝60°.即二面角A －BD 1－C 的大小为60°.【错因分析】用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误，根据法向量的方向可知，二面角为钝角，而不是锐角．【防范措施】利用法向量求二面角时，要注意法向量的夹角与二面角的大小关系是相等或互补，在求出两向量的夹角后，一定要观察图形或判断法向量的方向来确定所求二面角与其相等还是互补．【正解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量， DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量．所以cos 〈DA 1→，DC 1→〉＝DC 1→·DA 1→|DC 1→|·|DA 1→|＝12，所以〈DA 1→，DC 1→〉＝60°.所以二面角A －BD 1－C 的大小为120°.利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为两个向量夹角的关系，解决方法一般有两种，即坐标法和基向量法，当题目中有明显的线面垂直关系时，尽量建立空间直角坐标系，用坐标法解决．需要注意的是要理清所求角与向量夹角之间的关系，以防求错结果.1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为(0，π2]．应选A.【答案】 A2．已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°【解析】设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32， ∴θ＝60°，应选B. 【答案】 B3．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β所成的二面角的大小为________．【解析】 cos 〈u ，v 〉＝－12·2＝－12，∴〈u ，v 〉＝23π，而所成的二面角可锐可钝，故也可以是π3.【答案】 π3或23π图3－2－224．如图3－2－22直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，CC 1＝2，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【解】以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，A 1(1,0,2)．则A 1B →＝(－1,1，－2)，平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角为θ，A 1B →与n 的夹角为φ，则cos φ＝A 1B →·n |A 1B →||n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66.∴直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66.一、选择题1．(2013·济南高二检测)已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266.【答案】 A2．已知A ∈α，P ∉α，P A →＝(－32，12，2)，平面α的一个法向量n ＝(0，－12，－2)，则直线P A 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°【解析】设直线P A 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈P A →，n 〉|＝|0×(－32)－12×12－2×2|(－32)2＋(12)2＋(2)2·(－12)2＋(－2)2＝32.∴θ＝60°. 【答案】 C3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解】如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD→＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E(0，12，1 2)，∴AE→＝(0，12，1 2)，易知AD→是平面P AB的法向量，AE→是平面PCD的法向量，∴cos AD→，AE→＝22，∴平面P AB与平面PCD的夹角为45°.【答案】 B4．(2013·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补 D．无法确定【解析】举例说明，如图所示两个二面角的半平面分别垂直，则半平面γ绕轴l旋转时，总有γ⊥β，故两个二面角大小无法确定关系．【答案】 D5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A．60°B．90°C．45°D．以上都不对【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E →＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1.所以〈n ，EA →〉＝180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B 二、填空题6．(2013·荆州高二检测)棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，M (1，12，1)，C (0,1,0)，N (1,1，12)， ∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252·52＝25，故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25.【答案】 25图3－2－237．如图3－2－23，在三棱锥O －ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝1，∠AOB ＝90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 的中点，则OD 与平面OBC 的夹角为________．【解析】 ∵OA ⊥平面OBC ， ∴OA →是平面OBC 的一个法向量．而D 为AB 的中点，OA ＝OB ， ∴∠AOD ＝〈OD →，OA →〉＝45°.∴OD 与平面OBC 所成的角θ＝90°－45°＝45°. 【答案】 45°8．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【解析】平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝(a 3，a4，1)．而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a ＞0，∴a ＝125.【答案】125三、解答题图3－2－249．如图3－2－24所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．【解】 (1)证明连结OC ，由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD . 又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)， E (12，32，0)， ∴BA →＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 10．四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．【解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则 A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )， (1)∵AC →＝(－a ，a,0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a,0)， ∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →＝0，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ，∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0,0，2a )，E (12a ，12a ，22a )，设AC ∩BD ＝O ，O (a 2，a2，0)连结OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝(12a ，－12a ，－22a )，EO →＝(0,0，－22a )，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.图3－2－2511．如图3－2－25，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明：AF ⊥平面A 1ED ； (3)求二面角A 1－ED －F 的正弦值．【解】如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1，)A 1(0,0,4)，E (1，32，0)．(1)易得EF →＝(0，12，1)，A 1D →＝(0,2，－4)．于是cos 〈EF →，A 1D →〉＝EF →·A 1D →|EF →||A 1D →|＝－35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)已知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝(－1，－32，4)，ED →＝(－1，12，0)．于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0，因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED ，又EA 1∩ED ＝E . 所以AF ⊥平面A 1ED .(3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·EF →＝0u ·ED →＝0，即⎩⎨⎧ 12y ＋z ＝0－x ＋12y ＝0.不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)．由(2)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量．于是cos 〈u ，AF →〉＝u ·AF →|u ||AF →|＝23，从而sin 〈u ，AF →〉＝53. 所以二面角A 1－ED －F 的正弦值为53.三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)求证AP ⊥BC . (2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【自主解答】 (1)由AB ＝AC ，D 是BC 的中点得AD ⊥BC ，因为PO ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥BC ，又PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AO ，又AP ⊂平面P AO ，所以BC ⊥AP .(2)存在．以O 为坐标原点，以OD ，OP 所在直线分别为y 轴、z 轴，以过O 点且垂直于面POD 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)，所以AP →＝(0,3,4)，BP →＝(－4，－2,4)，设PM →＝λP A →(λ≠1)，则PM →＝λ(0，－3，－4)，所以BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λP A →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)，BC →＝(－8,0,0)，设平面BMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，令y 1＝4－4λ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，z 1＝2＋3λ，可取n 1＝(0,4－4λ，2＋3λ)，由题意知平面AMC 与平面APC 是一个平面，∴设平面APC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 1＝0AC →·n 2＝0即⎩⎪⎨⎪⎧ 3y 2＋4z 2＝0－4x 2＋5y 2＝0. 所以⎩⎨⎧ x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由题意得n 1·n 2＝0，即4(4－4λ)－3(2＋3λ)＝0，解得λ＝25，故AM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.。

长沙市一中课件_高二理科数学《3..2立体几何中的向量方法(三)——求距离》

C1
E D
B 1
C
B
A
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复习旧知
一、向量法求空间两点间的距离 3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D中，棱长为，在正方体中棱长为2， E为的 1B1中点，求平面 1EA的法向量为的A 中点，求平面D 的法向量. 为的的法向量
D 1 A 1
z
C1
E D
B 1
B1 A1 B A
C1 D C
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例题讲解
是棱长均为a的正三棱柱的正三棱柱，例2. ABC-A1B1C1是棱长均为的正三棱柱， D是侧棱 1的中点，求点到平面 1D 是侧棱CC 的中点，求点C到平面到平面AB 是侧棱 z 的距离. 的距离
B1 A1 B x A
C1 D y C
(2)BA为面的一线斜不垂平 α 任斜，足与足 O 合可重即；
(3)n为面的一向 . 平 α 任法量
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例题讲解
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为，棱长为2，例1.在正方体在正方体 E为A1B1的中点的中点. 为 (1)求点 1到平面D1EA1的距离；求点A 到平面距离；求点 (2)F，G，H分别为 1C1，B1C1，CC1 的中点，分别为D 中点，，，分别为到平面FGH的距离的距离. 求B到平面到平面的距离
D 1 A 1
z
E
O
C1
D 1 A 1
F
B 1
B 1
G
C1
O C
H
C
M
D
B
x
A

3.2.3立体几何中的向量方法(3)--距离

n
| PA n | ★所以计算公式还是: d d n
★求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。
例2.如图,已知一个结晶体的形状为平行六面ABCDA1B1C1D1,其中,以顶点为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是600,那么,以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解:因为AC1 AB AD AA1 ,
z
y x
可设平面C1 MN的法向量为 n ( x, y, z ) nNM 0 x y 0 , 即：令z 1, n (2, 2,1), nNC1 0 y 2 z 0 | n BM | | ( 1) 2 | 2 d . |n| 2 2 (2)2 12 3
解:∵BD//平面C1MN, ∴只需求点B与平面C1MN的距离，如图建立直角坐标系,则B(2,2,0), M (1, 2, 0), N (0,1, 0), C1 (0, 2, 2),
NM (1,1, 0), NC1 (0,1, 2) BM ( 1, 0, 0)
2 2 AC1 ( AB AD AA1 ) 2 2 2 AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 ) 2(
设AB AA1 AD 1, 则
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60 ) 6, | AC1 | 6, 即对角线AC1的长是棱长的 6倍．
练习2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N 分别是BC和CD的中点,求直线BD与平面C1MN的距离.

《立体几何中的向量方法(第3课时)》教学课件2

x y 2
yz 2
0 0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
例4：如图3，甲站在水库底面上的
点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。
B
从A，B到直线l （库底与水坝的交线） C
D
的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长 A
AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), z
AM A1D＝0 A1D AM .
A1
B1 M
D1 N
C1
A
Dy
xB
C
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN.(1)求证：A1D AM . z
因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
所以
cos
a2 b2 c2 d 2
.
2ab
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为 a2 b2 c2 d 2 .
2ab
以AB所在直线为x轴,AD所 B1 在直线为y轴,所在直线为z轴.
D1 C1
易求平面AB1C的一个法向量 A
n (1,1,1),及B1C1 (0,1,0) B
故得B1C1与面AB1C所成得角得余弦为 3
3
D C
例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD
3.2 立体几何中的向量方法(三)

立体几何中的向量方法优秀课件3

（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离， D C 通常归结为求两点间的距离）
1
1
分析：面面距离点面距离向量的模回归图形
A1 B1 C
解： A H B 过 A 点作 A H 平面 AC 于点 H . 1 1
则 A 的距离 . 1H为所求相对两个面之间
3.2立体几何中的向量方法（一）
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
a ∥b 线面平行：l ∥α a⊥u 面面平行：α∥β u ∥v
线线平行：l∥m
a=kb; a· u=0; u=kv.
a⊥b 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u 面面垂直：α ⊥ β u⊥v
则 A E CF a sin ， AE BF a cos 1
D1 A1 B1

C1 C
F
D A
E
B
cos cos EA ， FC cos A E ， CF 1 1
A1 E CF | A1 E || CF |
(A A AE )( CB BF ) 1 2 2 a sin
AA AC 1 1 6 cos A AC 1 sin A 1AC 3 |AA | | AC | 3 1
6 6 A H AA sin A AC ∴ 所求的距离是 1 1 1 3 3
。
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO 的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。
1 1
C1
B1
AC AB AD AA 1 1

【多彩课堂】高中数学 3.2 立体几何中的向量法课时3名师课件新人教A版选修2-1

(1)证明：直线MN∥平面OCD； (2)求异面直线AB与MD所成角的大小．
分析：建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论．
解作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为 x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，
则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0， 22，0)，D(－ 22， 22，0)，
a2 c2 b2 2 AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量 CA与 DB 的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。
因此 2abcos a2 b2 c2 d 2 .
1.（2014·长春高二检测）在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB
＝2，BC＝2，DD1＝3，
则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( A )
A.0
B.3
70 70
C.－3
70 70
D.
70 70
2.（2014·哈尔滨高二检测）在正四棱锥 S-ABCD
中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中
取 z＝ 2，得 n＝(0，4， 2)．
∵M→N·n＝(1－ 42)×0＋ 42×4＋(－1)× 2＝0，∴M→N⊥n.
又 MN⊄平面 OCD，∴MN∥平面 OCD.
(2)设异面直线 AB 与 MD 所成的角为 θ.
∵A→B＝(1，0，0)，M→D＝(－ 22， 22，－1)，
∴cos〈A→B，M→D〉＝A→→B·M→→D＝－
点，且 SO＝OD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是
( A)
A．30° B．45°

3.4.3第3课时用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-高二上学期数学北师大版选择性

新授课 3.4.3 第3课时用向量方法研究立体几何中的度量关系
学习目标
新课讲授
课堂总结
能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题引入
空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题，如何用向量方法求解这些距离呢？
1,
1 2
,
1 2
.
设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则
n
AC
x
y
0
.
n AD x z 0
取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).
CM n 1 1 1 0, 22
又C'M 平面ACD'，
∴ CM ∥平面ACD'. ∴C'M∥平面ACD'.
∴直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线
又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'， ∴ AC⊥平面A'BD，即 AC是平面A'BD的一个法向量.
2 BC 0,1,1,
∴点C'到平面A'BD的距离为
BC AC 2 2 3 . AC 3 3
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤
1.确定一个法向量； 2.选择参考向量； 3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量； 4.求投影向量的长度.
过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，而 PP n0, ∴向量PA 在法向量n0方向上的投影向量的长度 PA n0 就等于线段PP′的长度.

3.2立体几何中的向量方法(3)(优秀经典公开课比赛教案)

3.2立体几何中的向量方法（3）一、教材分析：利用空间向量解决立体几何问题的一般方法;先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系；进行空间向量运算；由向量运算结果回归几何结论。

二、教学目标：1、向量运算在几何证明与计算中的应用．2：掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．3、提高空间想象力三、教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1）. 法向量定义：如果直线lα⊥平面, 取直线l的方向向量为a，则向量a 叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.2）. 讨论：如何利用法向量求线面角？→面面角？直线AB与平面α所成的角θ，可看成是向量AB所在直线与平面α的法向量n所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式cos,a b=，a ba b我们可以得到如下向量法的公式：sin cos ,AB n AB n AB n θ==.3）. 讨论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.（二）、例题讲解：1）. 出示例1：长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =2，AB =4，E 、F 分别是11A D 、AB 的中点，O 是11BC B C 与的交点. 求直线OF 与平面DEF 所成角的正弦. 解：以点D 为空间直角坐标系的原点，DA 、DC 、1DD 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则(2,2,0),(1,0,2),(2,2,0),(1,4,1),(0,4,0)D E F O C .设平面DEF 的法向量为 (,,)n x y z =，则n DE n DF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，而(1,0,2)DE =， (2,2,0)DF =. ∴ 00n DE n DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即20220x z x y +=⎧⎨+=⎩, 解得::2:2:1x y z =-， ∴ (2,2,1)n =-. ∵ ||||cos n OF n OF α∙= ，而(1,2,1)OF =--. ∴ cos α=2||||(11(2)n OF n OF ∙==∙-+-所以，直线OF 与平面DEF 所成角的正弦为18.2）. 变式：用向量法求：二面角1A DE O --余弦；OF 与DE 的距离；O 点到平面DEF 的距离.3、巩固训练：课本111页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题→（2）进行向量运算→（3）回到图形问题.八、课外作业：课本111页：习题3.2 A组 5九、板书设计：。

3-2立体几何中的向量方法课件

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例1. 右图是边长为2的正方体，建立如图所示
的直角坐标系.
（1）求面A1 BC1的法向量及单位向量；
（2）若E，F分别为AB，
z
BB1的中点，求面EFC
D1
C1
的法向量及单位法向量. A1
B1
F
D
C x
A yE
B
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乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别
为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值.
C A
B
l D
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例5（. 2）如图，点M，N分别是ABCD
B
C
A
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练习： 1. 如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD 面ABCD，PD DC，点E是PC的中点，作EF PB于F，求证：PB 面EFD.
P
FE
D
C
A
B
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练习： 2. 如图，已知正方体ABCD ABCD，BC 与CB相交于点O，连接DO，求证DO BC.
D1
A1 N
C1 B1
D M
A
C
E B
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练习：
1. 设V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA
VB VC VD，VP 1 VC ，VM 2VB ，

〖2021年整理〗《立体几何中的向量方法》优秀教案3

立体几何中的向量方法向量法在空间平行关系中的运用（名师：蒋力）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握利用空间向量证明空间平行关系（二）学习目标1．利用直线方向向量证明空间中的线线平行2．利用直线方向向量和平面的法向量证明空间中的线面平行 3．利用平面的法向量证明空间中的面面平行 4．学会应用向量解决与平行相关的探究性问题（三）学习重点1．利用直线方向向量证明空间中的线线平行2．利用直线方向向量和平面的法向量证明空间中的线面平行集合的表示法：列举法、描述法． 3．利用平面的法向量证明空间中的面面平行常用数集的表示符号．（四）学习难点1．对向量法证明空间平行关系的理解． 2．对各种证明方法的熟练掌握． 3．怎样设空间中未知点的坐标．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务填一填:空间中平行关系的向量表示 1线线平行设直线，m 的方向向量分别为a ＝a 1，b 1，c 1，b ＝a 2，b 2，c 2，且2220a b c ≠，则//l m ⇔//a b ⇔a b λ=⇔111222222(0)a b c a b c a b c ==≠ 2线面平行设直线的方向向量为a ＝a 1，b 1，c 1，平面α的法向量为n ＝a 2，b 2，c 2，则//l α ⇔a n ⊥ ⇔0a n = ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝03面面平行设平面α，β的法向量分别为1n ＝a 1，b 1，c 1，2n ＝a 2，b 2，c 2，则//αβ ⇔12//n n ⇔12n n λ= ⇔ 111222222(0)a b c a b c a b c ==≠ 2．预习自测的方向向量为1,m,1，平面α的法向量为1(1,,2)2，且∥α，则m ＝答案：-6解析：【知识点】用向量法判断直线和平面的位置关系的应用【解题过程】()11//,1,,11,,20,11120,622l m m m ⎛⎫=⨯+⨯+⨯==- ⎪⎝⎭∵∴∴∴α 点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直 9,-3,4，B 9,2,1，则与线段AB 平行的坐标平面是 A ．O B ．O C ．O D ．O 或O 答案：C ．解析：【知识点】用向量法判断直线和平面的位置关系【解题过程】()()0,5,3,1,0,00AB AB =-∴=点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直3已知a ＝2,4,5，b ＝3，，分别是直线1、2的方向向量．若1∥2，则 A ．＝6，＝15 B ．＝3，＝错误! C ．＝3，＝15 D ．＝6，＝错误! 答案：D ．解析：【知识点】利用方向向量证明线线平行【解题过程】()()15//,2,4,53,,,6,2a b x y x y λ∴=∴==点拨：用向量法证明线线平行即是证明两直线的方向向量平行二课堂设计 1．知识回顾（1）直线方向向量和平面法向量的求法（2）利用直线方向向量判断直线和直线的位置关系（3）利用平面的法向量判断平面和平面的位置关系 2．问题探究探究一结合例子，认识向量证明空间平行关系的方法★ ●活动归纳提炼概念上节课我们学习了直线的方向向量和平面的法向量，回忆一下，直线的方向向量和平面的法向量是否能够确定直线和平面的位置呢？（抢答）如果我们确定了直线和平面的位置后，直线和直线之间，直线和平面之间，平面与平面之间相对位置关系是不是也能确定了呢？（抢答）想一想：那么空间直线的方向向量能够用来做什么呢？可以证明两直线垂直，两直线平行，两直线间夹角等我们首先来研究用向量解决空间中的平行关系思考：如何利用直线的方向向量证两直线平行（可以抢答）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ,则由向量共线的条件1212////v v l l ⇒这样在证明12//l l 时,结合空间图形,分别在两直线上适当地选取方向向量1v 和2v ,证明12//l l 可转化为证明12//v v ,即证明12v kv =k 是某个实数想一想：我们怎样用向量法来判断直线与平面的平行呢？（可以抢答）设直线l 的方向向量为v 和平面α的法向量分别为n ,结合空间图形,显然当//v n l α⊥⇒这样在证明//l α时,分别在直线l 上适当地选取方向向量v ，在平面α上适当地选取法向量n ，证明//l α可转化为证明v n ⊥,即证明0v n =想一想：我们怎样用法向量来判断两不同平面的位置关系呢？（可以抢答）设平面α和β的法向量分别为1n 和2n ,结合空间图形,显然有12////n n αβ⇒这样在证明//αβ时,分别在两平面上适当地选取法向量1n 和2n ，证明//αβ可转化为证明12//n n ,即证明12n kn = k 是某个实数【设计意图】通过图象和实例，得出证明空间平行关系的方法探究二利用向量证明空间平行●活动① 利用直线的方向向量证明线线平行例1 如图所示,在长方体1111OAEB O A E B -中，3OA =，4OB =，12OO =，点P 在棱1AA 上,且12AP PA =,点S 在棱1BB 上,且12SB BS =,点,Q R 分别是11,O B AE 的中点,求证://PQ RS答案：见解析解析：【知识点】利用方向向量证明线线平行【解题过程】证明:如图所示,以O 为原点,建立空间直角坐标系,A 3,0,0、B 0,4,0、1O 0,0,2,1A 3,0,2、B 10,4,2、E 3,4,0,∵A 11223AP PA AA ==()240,0,20,0,33AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭43,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2323,2,3PQ RS ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭//PQ RS R ∉//1111ABCD A B C D -,O M 111,DB D C 1//OM BC 1,,AD DC DD 1C ()()11,0,1,2,0,2OM BC =-=-112OM BC =1//OM BC O ∉1BC 1//OM BC ⊥BE CE ⊥//GF ADE //BQ EC BE CE ⊥BQ BE ⊥⊥,AB BE AB BQ ⊥⊥,,BE BQ BA ()()1,0,0,2,2,1G F (,,)n x y z ADE ()()2,0,2,2,2,0AE AD =-=00n AE n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩220,220,x z x y -=⎧⎨+=⎩1z =(1,-1,1)n ()1,2,1GF =1210GF n =-+=G ∉ADE //GF ADE (,,)nx y z ()()12,0,2,C 1,1,0CA D =-=100n CA n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩220,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩1z =(1,-1,1)n ()10,2,2C B =10220C B n =-+=1C ∉1CA D 1//BC 1CA D1111ABCD A B C D -1DD 1(,,)n x y z 2(,,)n x y z 11B FC ()()2,0,0,2,2,1DA DE ==1100n DA n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩20,220,x x y z 2z 1=(0,-1,2)n ()()110,2,1,2,2,1FC FB ==212100n FC n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩20,220,y z x y z 2z 2=(0,-1,2)n 12n n =1n 2n 1C ∉ADE 1111ABCD A B C D -,,,M N E F 11111111,,,A B A D B C C D AMN EFDB 1DD 1(,,)n x y z 2(,,)n x y z DBEF ()()0,1,2,1,0,2AM AN ==-1100n AM n AN ⎧=⎪⎨=⎪⎩20,20,y z x z +=⎧⎨-+=⎩1z 1=(2,-2,1)n ()()0,1,2,2,2,0DF DB ==220n DF n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩20,220,y z x y +=⎧⎨+=⎩1z 2=(2,-2,1)n 12n n =1n 2n D ∉AMN AMN EFDB 1111ABCD A B C D -11A B 11CDD C 1AB C 2,6⎡⎤⎣⎦6,22⎡⎤⎣⎦6,23⎡⎤⎣⎦6,3⎡⎤⎣⎦1DD (,,)n x y z 1AB C ()()12,2,0,0,2,2AC AB =-=10n AC n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩220,220,x y y z -+=⎧⎨+=⎩1z =(-1,-1,1)n 11CDD C (0,,)P y z [][]0,2,0,2y z ∈∈()2,1,2MP y z =---1AB C 2120MP n y z ∴=-++-=1y z =+()()()2224122166,22MP y z z ⎡⎤=+-+-=-+∈⎣⎦SO ABCD ⊥平面,,OB OC OS O xyz -62SO a =62(0,0,),(,0,0)22S a D a -2(0,,0)2C a //BE PAC 平面DS 2626(,0),(0,,)2222DS a a CS a a ==-CE tCS =z xyzx y226((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=--103BE DS t ⋅=⇒=:2:1SE EC =BE DS ⊥//BE PAC 平面a μa μ⋅a μa u ,1，平面α的法向量为1(1,,2)2，且∥α，则m ＝________答案：－8解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】∵//l α，∴的方向向量与α的法向量垂直，∴2，m ，1·1(1,,2)2＝2＋错误!m ＋2＝0，∴m ＝－8点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直．3．设平面α的法向量为1，2，－2，平面β的法向量为－2，－4，，若α∥β，则＝______．答案：4解析：【知识点】向量法判断面面关系．【解题过程】∵//αβ，∴β的法向量与α的法向量平行， ∴()(1,2,2)2,4,4k k λ-=--∴=点拨：面面平行即是两平面的法向量平行．4．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝4，，－1和n ＝，＋3，错误!，若a ∥b ，则＝______．答案：－2解析：【知识点】向量法判断空间直线间的关系．【解题过程】∵//a b ，∴a 的方向向量与b 的方向向量平行， ①当＝0时，a 与b 不平行．②当≠0时，由错误!＝错误!＝错误!解得＝－2 点拨：线线平行即是两直线的方向向量平行．—A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】解：以1C 为原点，以11111,,C B C D C C 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，(,,),(,,)2222a a a a N a M a ∴(,0,)22a a MN ∴=-而平面11BB C C 的一个法向量为(0,,0)n a =， ∴0MN n =又MN ⊄平面B 1BCC 1， ∴MN 与平面B 1BCC 1平行点拨：线面平行则直线的方向向量和平面的法向量垂直．6在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM=DN ，求证：MN ∥平面11ABB A 答案：见解析解析：【知识点】向量法判断线面关系．【解题过程】证明：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，过N 作NF ⊥AB 于F ，过M 作1ME BB ⊥于E ，连接EF ，设正方体的棱长为a,DN=CM=b,则222222(,,0),(,,0),(,,),(,,),222222N b b F a b M b a b E a a b ∴2222(,,0)(,,)(0,,),2222EF a b a a b b a b =-=-- 222222(,,0)(,,)(0,,),222222MN b b b a b b a b =-=-- ∴MN ∥EF又∵MN 与EF 无公共点，∴MN ∥EF ∵EF ⊂平面11ABB A ,∴MN ∥平面11ABB A点拨：线面平行即是直线方向向量和平面的法向量垂直．能力型师生共研7如图，在四棱锥11(0,,)22(,,)n x y z BDE ()110,,,1,1,022DE DB ⎛⎫== ⎪⎝⎭00n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩110,220,y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1z =(1,-1,1)n()1,0,1PA =-0PA n =⊄在，∠∥平面，∴33(0,,)22可得，DP ＝－1,0,2，DA ＝3,2错误!，0．设(,,)n x y z 为平面PAD 的法向量又()(3,23,0),1,0,2DA DP ==-由00n DP n DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩得20,3230,x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1x 得31=(1,-,)22n 又因为33(0,,)22CM =，0CM n = 又∵CM ⊄平面∥平面1BD D CPBEzxyAC BC 1BB AC BC AC 1BB DP AC DP AC DP AC n n AC n 1CB 1CB n 2(,,)y y y a --DP n DP n 2()y a -DP AC a b 12,l l 12//l l 12//l l //a b 2254x y ==a b 12,l l 1l 2l 1214a b =-12//l l 2a b =-12//l l l n βv 12-14512l β0n v n v =∴⊥//l βl β⊂n v ，∥D 1∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1∥D 1∥面D 1∥面DCC 1D 1 ∵B 1Q 为平面B 1C 1C B 的斜线， ∴B 1Q 与D 1与B 1Q 不平行．答案：①③④点拨：用平行六面体在向量中的作用证明即可5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD【知识点】向量法判断平行关系．【解题过程】证明：如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M 0，1，错误!，N 错误!，1，1，D 0，0，0，A 11，0，1，B 1，1，0，于是错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!⊄N ∥平面A 1BD 点拨：证明直线的方向向量垂直于平面的法向量6．已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点∥平面BB 1D 1D ，试探讨点1(,,0)2a b设(,,)n x y z 为平面BB 1D 1D 的法向量又()1(0,0,),,0DD c DB a b ==，由100n DD n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cz ax by =⎧⎨+=⎩取x b 得(),,0n b a =- 又PM ∥平面BB 1D 1D ，有()1(,,),,002PM n a b y z b a =---=解得2b y =∴点P 在面DCC 1D 1的DC 的中垂线EF 上．点拨：对于平面上的动点，用坐标表示位置比较好确定位置。

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课堂探究
知能点一：求异面直线所成的角
①定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．
②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02
π
θ<≤
.
③向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos cos θϕ⋅＝＝a b a b
.
典型例题1
如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD 垂直，且
1π3D DC ∠=
，DC ＝DD 1＝2
，DA π
2
ADC ∠＝，求异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值．
1111
11
,cos ,A C A D AC AD AC AD →→→→
建立恰当的空间直角坐标系求，，，点的坐标计算计算向量夹角问题转化为直线夹角问题解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
A
0,0)，D 1(0,1
，C (0,2,0)，D (0,0,0)，
由11AA DD =
得1A ．
∵1
1(AC DC DA =-= ，．
111D A DA DD =-=
-，．
∴1111
1
11cos ,7AC D A AC D A AC D A ⋅===-
∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为
1
7
.
建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决此题的关键，解题时注意
13
D DC π
∠=
对建系及求点的坐标的影响，并注意向量夹角范围与异面直线夹角范围的区
别，两条异面直线夹角的余弦值一定为非负值．
知能点二：求直线与平面所成的角
求直线与平面的夹角的方法与步骤
(1)用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤为：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量AB ；
③求平面的法向量n ；
④计算：设线面角为θ，则sin AB
AB
θ⋅=
n n .
(2)找直线在平面内的射影，充分利用线与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
典型例题2在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在侧棱CC 1上求一点P ，使得直线AP 与平面BDD 1B 1
的夹角的正切值为
由于此题为正方体图形，建立空间直角坐标系比较容易，确定平面BDD 1B 1的
一个法向量是求此题的关键．
解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设CP ＝m (m >0)，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，
B 1(1,1,1)，所以BD ＝(－1，－1,0)，1BB ＝(0,0,1)，AP
＝(－1,1，m )，AC ＝(－1,1,0)．
因为0AC BD ⋅= ，10AC BB ⋅=
，所以AC
为平面BDD 1B 1的一个法向量．
设AP 与平面BDD 1B 1的夹角为θ，
则πs
i n c o s 2AP AC
AP AC θθ⋅⎛⎫-== ⎪⎝⎭
＝
，
所以cos θ==
，
又sin tan cos m
θθθ=
==13m =.
故当113
CP CC =
时，直线AP 与平面BDD 1B 1
的夹角的正切值为
充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面
角，求线面角的基本方法：在斜线l 上取AB
，求平面α的法向量u ，再求
c o s 0
2AB AB πθθ⋅⎛⎫
=<< ⎪⎝
⎭ u u ，则l 与α的夹角2πβθ=-.。