同角三角函数的化简与证明
5.2.2 同角三角函数的基本关系
二、化简求值与恒等式的证明
例 2 (1)化简：tan α sin12α－1，其中 α 是第二象限角；
解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故 tan α
sin12α－1＝tan α
1－sinsi2nα2α＝tan α
cos2α sin2α
＝csoins
α cos α· sin
跟踪训练 2
求证：
sin α
cos ·
α·tan
α＝1.
1－cos α 1＋cos α
sin α
证明
sin α 1－cos
α·c1o＋s αctoasnαα＝1－sicnoαs
cos α·cos α α·1＋cos α
＝1－sicnoαs
sin α α·1＋cos
α
＝1－sinco2αs2α＝ssiinn22αα＝1.
αα＝csoins
α －cos α· sin α
α＝－1.
(2)化简： sin α ·
tan α－sin α .
1－cos α tan α＋sin α
解 原式＝1－sicnoαs α·
＝1－sicnoαs α·
1－cos α 1＋cos α
sin cos
αα－sin
α
sin cos
αα＋sin
α
＝1－sicnoαs α·
2
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.已知 α 是第四象限角，cos α＝1123，则 sin α＝ －153 .
解析 由条件知 sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－11232＝－153.
同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin ,1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【要点梳理】要点一:同角三角函数的基本关系式（1)平方关系:22sincos 1αα+= (２)商数关系：sin tan cos ααα= （3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα,sin csc 1αα⋅=,cos sec 1αα⋅=要点诠释:(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立;（２)2sin α是2(sin )α的简写；(３)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念,应注意“±”的选取。
要点二:同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，,212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±２.商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。
【典型例题】 类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知t ａn α＝-2，求ｓi ｎα，cos α的值。
【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα==-,求出si ｎα=－2c ｏｓα,然后结合sin 2α+cos ２α=1,求出sin α，cos α。
【解析】 解法一:∵tan α=-2,∴sin α=-2cos α。
①又ｓin 2α+ｃｏs 2α=1, ②由①②消去si ｎα得(－2ｃo ｓα)2+c ｏs 2α=1,即21cos 5α=。
当α为第二象限角时,cos α=，代入①得sin α=。
当α为第四象限角时，cos α=,代入①得sin α=。
同角三角函数的基本关系式课件
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
同角三角函数的基本关系
课题：§3.1.2 同角三角函数的基本关系(2)
学习目标：
1、通过三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2、能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值、化简、证明.
学习重点：同角三角函数的基本关系式的推导与证明.
学习难点：能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的求值、化简、证明.
【自主学习】预习教材第115～116页，完成下列问题．
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 变形公式：sin2α＝；cos2α＝；
(2)商数关系：tan α＝sin α
cos α变形：sin α＝；cos α＝.
2. (sin α＋cos α)2＝；(sin α－cos α)2＝.
3、若设sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝；
若设sin α－cos α＝t，则sin αcos α＝.
【预习自测】首先完成课本第115页练习第1、2、3、4题，再完成下面的问题．
【合作探究】
探究1. 已知√1+sinα
1−sinα−√1−sinα
1+sinα
=−2tanα，试确定使等式成立的角α的集合。
探究2.已知sinα=−3
5
，且α是第四象限角，求tanα[cos(3π−α)−sin(5π+α)]的值。
探究4.证明：2(sinα−cosα)1+sinα+cosα=cosα
1+sinα−sinα1+cosα .
【基础检测】
1. 已知α是第二象限角，则√1−cos 2α+2√1−sin 2αcosα
=。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
化简三角函数式的常用方法
数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年6月解：原式=化简三甬函懿述的\f3sin12°—3cos12°2sin12°cos12°(2cos212°—1)2^3sin(12°—60°)4V3o當用冇法■廖庆伟三角函数式的化简的常用方法有：直用公式，变用公式，化切为弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次等。
下面举例分析，供大家学习与参考。
一、直用公式例1设函数/(rc)=sin 兀7C—sin48°评注：先化切为弦，再利用倍角公式进行转化，最后逆用两角差的正弦公式即可求值。
四、异名化同名例4已知tan0=2,则sin20+sin Ceos0—2cos2^._h亠sin20+sin^cos0一2cos'。
解：原式sin2+cos2tan20+tan Q—2_4+2—2_4tar?e十1=4+1=T°评注：先把分母用sir?。
+cos2。
代换，再把分子、分母同除以cos20即得结果。
五、异角化同角例5函数(乞)=cos(2z+詈)+sin2gTT2cos2—+1,则/X h)的最小正周期为的最大值为解：因为函数/(rc)=sin于工一解：因为jf(；r)=cos2^ccos——sin2h•-|-cos晋:r=sin7T7T，故函数/(工)sin令+—c；s2j*_欝鈕，所以函数的最小正周期为丁=弐=8。
T评注：直接利用差角公式、二倍角的余弦公式即可得到结果。
二、变用公式例2当函数夕=sin工—</3"cos h(0W 鼻V2tc)取得最大值时,jc____o解：由》=sin jc一43cos h2(cos守sin工一sin专cos町—2sin h—訂，可知当'7Tsin=1时，此函数取得最大值。
又0W h V2jt,所以rr=警o评注：三角函数公式既可正用，也可变用，变用公式是三角恒等变换的难点。
同角三角函数的基本关系
1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点 同角三角函数的基本关系式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．sin 2θ2＋cos 2θ2＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α成立．( × ) 提示 当α＝π2＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × )题型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713， ∴(sin α＋cos α)2＝49169， 即2sin αcos α＝－120169<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125. 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题的突破口．跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．(1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 反思感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．跟踪训练2 已知cos α＝－45，求sin α和tan α. 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝925， 因为cos α＝－45<0， 所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35， tan α＝sin αcos α＝－34； 当α是第三象限角时，sin α＝－35， tan α＝sin αcos α＝34. 题型二 齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求值解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简、求三角函数值解 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 三角函数式的化简与证明典例 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．[素养评析] (1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．(3)掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值为( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 A解析 ∵α为第二象限角，sin α＝45， ∴cos α＝－35，tan α＝－43. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35 B ．－15 C.15 D.35考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式化简、求三角函数值答案 A解析 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 3．(2018·江西上高第二中学高二期末)若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 B解析 ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，∴原式＝－cos αcos α－2sin αsin α＝－3. 4．已知tan x ＝－12，则sin 2x ＋3sin x cos x －1的值为( ) A.13B ．2C ．－2或2D ．－2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D5．已知：tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ . 答案 －53解析 由已知得：tan α＝12， ∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数名的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、选择题1．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于( ) A ．－55 B ．－15C ．－255D ．－45考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.2．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B3．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A ．－223 B ．－23 C.23 D.223考点 运用基本关系式求值题点 运用基本关系式求值答案 D解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝223.4．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α等于() A.45 B.35 C.25 D.15考点 同角三角函数基本关系题点 运用基本关系式求值答案 B解析 由4x 2＋x －3＝0得x ＝－1或x ＝34.又∵α是锐角，∴tan α>0，sin α>0， ∴tan α＝34.又∵tan α＝sin αcos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫43sin α2＝1，解得sin α＝35.5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为() A.23 B ．－23 C.13 D ．－13考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 A解析 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴sin 2θcos 2θ＝29，∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ＝23.6．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－310考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 C解析 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 7．若α为第二象限角，化简tan α·1sin 2α－1等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D.12考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 C解析 tan α·1sin 2α－1＝tan α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α|. 因为α为第二象限的角，所以cos α<0，sin α>0，原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 二、填空题8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简、求值 题点 运用基本关系式化简、求值答案 －13解析 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 9．已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝ . 考点 运用基本关系式化简题点 运用基本关系式化简答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|. 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式＝0.10．(2018·九江高一检测)若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为 ． 考点 运用基本关系式化简、求值题点 运用基本关系式化简、求值答案 2 11．在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 π3解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 三、解答题12．化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2. 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式＝sin 2α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2＋sin 2α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α2 ＝⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α2－sin α2>0，cos α2＋sin α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 13．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，即cos 2β＝2cos 2α， 所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.14．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈N *)的值为 ． 考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 1解析 ∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15．已知sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求m 及α的值．考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 因为sin α，cos α为方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个实根， 所以Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0且sin α＋cos α＝m ，sin αcos α＝2m －14. 代入(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，解得m ＝1±32. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以sin α·cos α＝2m －14<0，m <12， 所以sin α＋cos α＝m ＝1－32， 所以sin α＝－32，cos α＝12. 又因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以α＝－π3. 所以m ＝1－32，α＝－π3.。
同角公式
3 因式分解。 （）因式分解。
应用2 应用2、三角函数式的化简
例6、化简下列各式： 化简下列各式： 1 (1) (1 tan θ ) cos θ + (1 + ) sin 2 θ tan θ
2
1 sin x 1 + sin x 1 cos x 1 + cos x ( 2)( )( ) 1 sin x 1 cos x 1 + sin x 1 + cos x
1 + sin α + cos α + 2 sin α cos α ( 3) 1 + sin α + cos α
化简下列各式： 例7、化简下列各式： (1) 1 cos θ sin θ
4 6 4 6
1 cos θ sin θ
( 2)
tan 1° tan 2° tan 88° tan 89° sin 1° + sin 2° + sin 89°
2 2 2
化简的要求： 化简的要求： 五个“尽量” 1 ） 最少； 五个“尽量”：（ 尽量使三角函数种类 ； 最少 ） 2 尽量使项数最少；（尽量使次数最少； 3 （）尽量使项数最少；（尽量使次数最少； 4 函数式； （）尽量使分母不含三角 函数式； （）尽量不带根号； 5 尽量不带根号； 方法：（ 1 ”“弦 互化； 方法：（ “切”“弦”互化； ） 2 1 的代换；（ 3 （）“ ”的代换；（ 分式比例性质的应用 ） ； 4 ; 5 （）根式的有理化（）因式分解
学习目标: 学习目标:
1、理解并掌握同角三角函数的基本关系式； 理解并掌握同角三角函数的基本关系式； 2、掌握运用同角三角函数的基本关系式进行 求值、化简、证明的方法； 求值、化简、证明的方法；
三角函数式的化简与证明
高中数学：三角函数式的化简与证明(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12cos2x . 解析：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)证明：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.证明：因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，所以sin α＋sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2 ＝sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2＋sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2＝2sin α＋β2cos α－β2.1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．(1)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. (2)证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.证明：因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ2，所以cos θ－cos φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2 ＝cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2－cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.。
三角函数公式同角三角函数的基本关系
三角函数公式同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα平方关系平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+si nθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ) /2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)= (1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)] cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/ n]=0 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+ta nA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^ 4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαta nβ)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(c otB-cotA)三角和公式sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)和差化积sinθ+sinφ =2sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]c osθ-cosφ= -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）= sinαcos（2kπ+α）= cosαtan（2kπ+α）= tanαcot（2kπ+α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosa cos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cota cot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A+2ABcos(θ-φ)} · si n{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα公式二：sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα公式三：sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) =-sinα公式四：sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα公式五：sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cos α公式六：tanA= sinA/cosA tan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))]cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]其它公式三角函数其它公式(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2 (csca)^2和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2) tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x +……+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinxcosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)。
同角三角函数的基本关系及其应用方法
同角三角函数的基本关系应用方法闫会林同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。
我们已经知道了三角函数的定义：任意角α的终边上取点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），OP=r ，我们定义。
，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角x y x y r y r y r x r x ===αααααααααtan tan sin sin cos cos因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：（1） 平方关系：1cos sin 22=+αα，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.（2）商数关系：αααtan cos sin =，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。
注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立。
在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“±的选取。
考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。
例1：若的值。
是第三象限角，求且ααααtan ,cos ,54sin -=解析：343554cos sin tan ,53541sin 1cos ,54sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-==-=⎪⎭⎫⎝⎛---=--=∴-=ααααααα是第三象限角，分析：此类题型属于较易题型，在α角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。
题型二 已知αtan 的值，求关于ααcos sin 、的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。
例题2：已知2tan =θ，则θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-=解析：由题意可得，0cos ≠θ，把θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-上下同时除以θcos ，得到116235224tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-θθ。
三角函数的同角关系公式
三角函数的同角关系公式引言三角函数是数学中非常重要的一组函数，它们描述了角度和三角形之间的关系。
在三角函数中，同角关系公式是一条非常重要的公式，它能够将不同的三角函数互相转化，为求解各种三角函数的值提供了便利。
本文将围绕同角关系公式展开讨论，并深入探究其应用。
同角关系公式的定义在三角函数中，同角关系公式是指一组将不同的三角函数相互表示的公式。
在解决实际问题时，我们常常会遇到需要求解不同三角函数的值的情况，而同角关系公式能够帮助我们将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值，从而简化计算。
同角关系公式的基本形式如下：1.正弦函数的同角关系公式：s i n(-θ)=-s in(θ)2.余弦函数的同角关系公式：c o s(-θ)=co s(θ)3.正切函数的同角关系公式：t a n(-θ)=-t an(θ)4.余切函数的同角关系公式：c o t(-θ)=-c ot(θ)5.正割函数的同角关系公式：s e c(-θ)=se c(θ)6.余割函数的同角关系公式：c s c(-θ)=-c sc(θ)同角关系公式的推导和证明同角关系公式可以通过单位圆的性质和三角函数的定义来推导和证明。
这里我们以正弦函数的同角关系公式为例进行说明。
考虑一个半径为1的单位圆，以原点为圆心。
取一个顺时针旋转的角度θ（弧度制），则θ所对应的弧长为θ，并且在单位圆上取得了一个点P(x,y)。
根据正弦函数的定义，我们有：s i n(θ)=y接下来，我们考虑一个逆时针旋转的角度-θ，则其对应的弧长也为θ，并且在单位圆上取得了一个点Q(-x,y)。
根据正弦函数的定义，我们有：s i n(-θ)=y由于点P和点Q的纵坐标相同，所以有s in(-θ)=s in(θ)。
根据同理可得证明余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的同角关系公式。
同角关系公式的应用同角关系公式在解决实际问题中具有广泛的应用。
以正弦函数的同角关系公式为例，我们可以利用该公式来简化计算、求解未知数等。
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。
二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)． 解 原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
三角函数的同角变换与化简
三角函数的同角变换与化简三角函数是数学中的重要概念之一，在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
同角变换与化简是解决三角函数问题的一种常见方法，它充分利用了三角函数的性质和特点，简化了计算过程，提高了计算效率。
本文将探讨三角函数的同角变换与化简方法。
一、三角函数的定义在开始探讨三角函数的同角变换与化简之前，我们首先来回顾一下三角函数的定义。
在直角三角形中，假设角A的对边、邻边和斜边分别为a、b和c，那么正弦函数、余弦函数和正切函数可以定义如下：正弦函数 sin(A) = a / c余弦函数 cos(A) = b / c正切函数 tan(A) = a / b这些函数都是以角A为自变量的函数，它们的值可以通过三角形的边长来确定。
在一般的三角形中，这些函数的定义可以通过三角恒等式进行扩展。
二、同角变换与化简同角变换是指三角函数在角度上发生相同变化时函数值的相互转换。
通过同角变换，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简洁的形式，从而简化计算过程。
下面介绍几种常见的同角变换与化简方法：1. 互余关系互余关系是指两个三角函数的正交关系。
对于任意角A，有以下互余关系成立：sin(A) = cos(90° - A)cos(A) = sin(90° - A)通过互余关系，我们可以将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值，从而简化计算。
2. 和差化积公式和差化积公式是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的乘积。
对于任意角A和B，有以下和差化积公式成立：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过和差化积公式，我们可以将三角函数的加减运算转化为乘法运算，从而简化计算。
3. 倍角公式倍角公式是将一个角的两倍转化为一个三角函数的表达式。
对于任意角A，有以下倍角公式成立：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 1 - 2sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1通过倍角公式，我们可以将一个角的两倍与一个三角函数的表达式建立联系，从而简化计算。
怎样巧用同角三角函数的基本关系解题
解题宝典同角三角函数的基本关系主要包括sin 2x +cos 2x =1和tan x =sin x cos x.这两个关系式在解答三角函数问题中应用广泛，如求三角函数的值、进行等量代换、进行和积转换.本文主要探讨同角三角函数的基本关系在解题中的应用.一、求三角函数的值利用同角三角函数的基本关系，可以实现正弦、余弦的互化及弦切互化.当已知一个角的三角函数值时，我们常常可以借助同角三角函数的基本关系来求该角的正弦、余弦、正切值.一般地，由sin 2x +cos 2x =1可得sin x =±1-cos 2x 、cos x =±1-sin 2x .在运用同角三角函数的基本关系解题时要注意函数值的符号问题.例1.（2020年高考全国Ⅰ卷·理）已知α∈(0,π)，且3cos 2α-8cos α=5，则sin α=.解析：根据二倍角公式可得6cos 2α-8cos α-8=0，解得cos α=-23，由三角函数的基本关系式sin 2x+cos 2x =1，可得sin α=，因为α∈(0,π)，所以sin α为正值.我们根据已知关系式及同角三角函数的基本关系，建立相关的方程，求得sin α的值.需要注意的是有时题干中对角的范围有明确的规定，因此在利用三角函数的基本关系解题时要明确角所在的象限，考虑是否需要对角进行分类讨论，再求出符合要求的答案.二、进行等量代换在解答三角函数问题或者进行三角恒等变换时，我们常用同角三角函数的基本关系来进行等量代换.将“1”替换成sin 2x +cos 2x ，将sin x cos x替换成tan x ，构造出二次齐次式或者商式，然后将其代入题目条件中进行化简、求解.通过等量代换，可以使三角函数式转化为方便利用公式或者化简的式子，这样能大大提升运算的效率.例2.若tan α=34，则cos 2α+2sin 2α=.解析：将所求目标式化为二次齐次式，即cos 2α+2sin 2α=cos 2α+4sin αcos α1=cos 2α+4sin αcos αsin 2α+cos 2α,将该式的分子、分母同时除以cos 2α，可得cos 2α+4sin αcos αcos 2αsin 2α+cos 2αcos 2α=1+4tan αtan 2α+1，将tan α=34代入可得cos 2α+2sin 2α=6425.对于本题，通过“1”的代换来求解比运用常规方法，更为简便，既避免了分类讨论，又减少了运算量.值得注意的是，“1”的代换方法一般只适用于有关二次齐次式的问题.三、进行和积转换和积转换是指对sin α±cos α与sin αcos α的转换.sinα±cosα与sinα·cosα可通过同角三角函数的基本关系sin 2x +cos 2x =1联系到一起，即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α，sin αcos α=(sin α+cos α)2-12，sin αcos α=1-(sin α-cos α)22.若已知sin α±cos α或sin α·cos α其中之一，我们就可以利用同角三角函数的基本关系来求另外一个的值.例3.若cos(π4-α)=35，则sin 2α=（）.A.725 B.15 C.-15 D.-725解：由两角差的余弦公式可得cos(π4-α)=cos α+sin α=，又因为sin 2α=2sin αcos α，由2sin αcos α=(sin α+cos α)2-1，可得sin 2α=-725.所以本题应选D.我们利用同角三角函数的基本关系，可直接由cos α+sin α得到sin αcos α，进而求得sin 2α的值.利用同角三角函数的基本关系进行和积转换，比较简便、直接，且不容易出错.利用同角三角函数的基本关系解题的关键是，熟练掌握同角三角函数的基本关系式以及变形式.总之，同角三角函数的基本关系式不仅是一个恒等式，也可以看作是一个方程，我们可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列出方程组或者进行等量代换，通过解方程组或借助公式达到解题的目的．(作者单位:扬州大学数学科学学院)43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
高中数学例题：利用同角关系化简三角函数式
高中数学例题：利用同角关系化简三角函数式例．化简：（1（2）若322παπ<< 【思路点拨】把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。
【解析】 （1）原式=|cos10sin10|cos10sin101sin10cos10sin10cos10︒-︒︒-︒===-︒-︒︒-︒。
（2）∵322παπ<<，∴sin α＜0，∴原式==|1cos ||1cos ||sin ||sin |αααα-+=+ ∵sin α＜0， ∴原式1cos 1cos 2sin sin sin ααααα-+=--=-。
【总结升华】解答此题目常用的方法有：（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。
（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α+cos 2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的。
举一反三：【变式1】化简（12,22k k k Z πθππ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭；（2【答案】（1）－1（2）cos2sin 2--【解析】（1）原式|sin cos |1sin cos θθθθ-==--（2）原式|cos2||sin 2|cos2sin 2=-=--类型四：利用同角关系证明三角恒等式例5．求证：（1）111sin (1tan )cos (1)tan sin cos θθθθθθ+++=+； （2）cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
【证明】（1）左边222sin cos sin cos sin 1cos 1sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222sin cos sin cos 11sin cos sin cos θθθθθθθθ++=+=+=右边， ∴原等式成立。
同角三角函数基本关系式xiangxi
解：
由sin2 cos2 1得
4 3 cos 1 sin2 1 ( ) 2 5 5
因 为是 第 二 象 限 角 , cos 0, 所 以
3 cos 5
tan sin 4 5 4 ( ) ( ) cos 5 3 3
y
温故知新
问题1. 如图1，设 是一个任意角， 它的 终边 与单位圆交于 P( x, y )，那么由三 角函数的定义可知：
（x,y） 1
M
P
A (1, 0 )
x
O
T
图1
sin
y ； cos x
MP ；余弦线
y ( x 0) ； tan x
AT .
问题2. 图1中的三角函数线是： 正弦线
[错因分析]
[ 思路分析 ]
该解法忽略了角θ的取值范围．根据0<θ<π这
在已知 sinθcosθ 的值求 sinθ ＋ cosθ 或 sinθ －
一条件，可以确定sinθ－cosθ的符号． cosθ的值时需开方，因此要根据角的范围确定正负号的选择． 1 1 2 [ 正解 ] ∵ sinθ ＋ cosθ ＝ 5 ， ∴ (sinθ ＋ cosθ) ＝ 25 ，解得
M
y
1、探究同角正弦、余弦之间的关系
O x
图2
问题⑵
当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 的终边在 x 轴上时,
当角
sin 2 co s 2 0 1 1 sin 2 co s 2 1 0 1
平方关系
的终边在 y轴上时,
结论：对于任意角 ( R），都有 sin2 α cos2 α 1