四川外语学院重庆第二外国语学校2017届高三下学期第二次检测数学(文)试题(精品解析)

四川外语学院重庆第二外国语学校高2017级高三下第一次检测数学试题（文）一、选择题。

1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合M和集合N,取交集即可得答案.【详解】=,,则=,故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.设，则=（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：因，故，所以应选B.考点：复数及模的计算．3.若x，y满足，则的最小值为（）A. B. 7 C. 2 D. 5【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】根据线性约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝y+2x为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，联立，解得A（1，3），所以．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足2n＞n2，退出循环，确定输出的n值．【详解】由程序框图知，当n＝1时，21＞12成立，当n＝2时，22＞22不成立，退出循环，输出n的值为2．故选：B．【点睛】本题考查循环结构的程序框图，解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．5.在中，“” 是“为钝角三角形”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量数量积和两向量夹角的定义，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论；【详解】在△ABC中，若，则cos（π﹣B）＞0，即cos B＜0，B为钝角，则△ABC是钝角△；若△ABC 是钝角△，不一定B角为钝角，则不成立，所以“” 是“为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法:1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A. B. 2 C. 4 D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知，抛物线的焦点为，双曲线化成标准形式为，它的右焦点为（2,0），因此有，解得；考点：圆锥曲线的性质7.定义在上的函数，则满足的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为偶函数，且在上恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减，且图象关轴对称，则由)得，解得；故选D.点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判定函数图象的对称性和开口方向，进而将问题转化为的求解问题，较好地避免了讨论.8.知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得即所以角，且及可得9.在中，是边上一点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由又则;,所以；考点：向量运算的几何意义。

10.给出下列三个命题：①函数的单调增区间是②经过任意两点的直线，都可以用方程来表示；③命题：“，”的否定是“，”，其中正确命题的个数有（）个A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由复合函数的单调性即可判断①；由两点的直线方程的变形，可得表示经过这两点的直线，即可判断②；由全称命题的否定为特称命题，即可判断③．【详解】对于①，函数y=log2（x2-5x+6），由x2-5x+6＞0，可得x＞3或x＜2，再由t=x2-5x+6在（3，+∞）递增，y=log2t在（0，+∞）递增，可得函数y=log2（x2-5x+6）的单调增区间是（3，+∞），故①错；对于②，经过任意两点的直线，都可以用方程（y-y1）x2-x1）=（x-x1）（y2-y1）来表示，包括斜率不存在的情况，故②正确；对于③，命题p：“，”的否定是“，”，故③错．其中正确命题的个数为1．故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是复合函数的单调区间,直线的方程和全称命题的否定，考查判断能力，属于基础题．11.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为直线与圆相切,所以，即，所以，所以的取值范围是。

考点：圆的简单性质；点到直线的距离公式；基本不等式。

点评：做本题的关键是灵活应用基本不等式，注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等。

12.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为函数与（为自然对数的底数）的图象上存在关于直线对称的点，所以函数与的图象有公共点，则有解，即有解，令，则在成立，在上成立，即在单调递减，在上单调递增，且，所以；故选A.点睛：解决本题的技巧在于利用指数函数和对数函数的对称性将问题等价转化为有解问题，再分离参数，使问题进一步转化为求函数的最值问题.二、填空题.13.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则数列的通项公式为_____【答案】【解析】数列{an}是公差d≠0的等差数列，∵成等比数列，∴=a2a8，∴(2+3d)2=(2+d)(2+7d)，化为2d2−4d=0，解得d=2或d=0(舍).∴a n=2+2(n−1)=2n.故答案为：an=2n.14.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为_____【答案】0.6【解析】试题分析：从这5件产品中任取2件的取法为，所以基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为，所以．考点：1、古典概型；2、组合数．15.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______【答案】B【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为____【答案】【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为一个底面腰长为4的等腰直角三角形、高为4的三棱锥，且有一侧棱与底面的两腰两两垂直，所以可将此三棱锥补形为棱长为4的正方体，所以该三棱锥外接球的直径＝，即，所以该球面的面积为．考点：1、空间几何体的三视图；2、球的表面积．【思路点晴】求解几何体外接球的表面积和体积问题的关键在于找到球心和求出半径.找外接球圆心的方法是：先找到一个面的中心，如本题的，然后过中心做这个面的垂线，球心就在这条垂线上，然后假设球心的位置，根据球心到表面的距离相等列方程，从而求出半径．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）求的最小正周期与单调递增区间【答案】（Ⅰ）最大值为2（Ⅱ）最小正周期为，增区间为，【解析】【分析】化简函数f（x）为正弦型函数（Ⅰ）利用正弦函数的图象与性质求f（x）的最大值；（Ⅱ）求出f（2x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和单调递增区间．【详解】（Ⅰ）因为，故最大值为2（Ⅱ），最小正周期为令，解得故增区间为，【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，考查三角函数的周期及求法以及正弦函数的单调区间，属于基础题.18. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为，进而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为;（3）根据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.试题解析：（1）（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为.所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算19.如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可；（2）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得；（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明．【详解】（）证明：∵三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，∴，，∴平面，又∵平面，∴，又底面为等边三角形，为线段的中点，∴，又，∴平面．（）证明：连接交于，连接，则为的中点，∵是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面．（）在内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：过作交线段与，由（）可知，平面，而平面，∴，由，，得平面，∵平面，∴．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆相切的直线交椭圆于、两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C的坐标，代入椭圆方程后整理得到，根据的范围可得，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由已知得解得所以椭圆的标准方程为.（2）因为直线：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝1，整理得(t≠0)．由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，因为直线与椭圆交于M，N两点，所以，将代入上式可得恒成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，因为)，所以可得C，又因为点C在椭圆上，所以＋＝1,所以，因为t2＞0，所以＋＋1＞1，所以，所以的取值范围为.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数（1）讨论的单调性并求最大值；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）在单调递增，在单调递减，的最大值为；（II）.【解析】试题分析：（I）求导，列表研究在在定义域上的符号变化情况，得到其单调区间和极大值点，得其单调区间和最大值；（II）恒成立即，令，通过讨论研究其再单调性，得到的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（I）由题有，可知，在单调递增，在单调递减；的最大值为（II）由题有令，则，当时，当时，，则单调递增，则，即恒成立，故当时，当时，，单调递减，则，则不能在上恒成立．综上：实数的取值范围是考点：利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.研究函数的单调性就是研究导函数在其定义域内的符号变化情况，可通过列表解答，简单、清晰；本题解答的难点是不等式恒成立，通过整理得到恒成立，构造新函数，通过讨论参数的范围研究其单调性得到最小值情况，即可求得的范围.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于，两点（1）求曲线的普通方程及直线恒过的定点的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线的普通方程【答案】（1）,定点（2）或【解析】【分析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，能得到曲线C的普通方程，由直线l的参数方程能得到恒过的定点A的坐标．（2）在（1）的条件下，将直线方程代入曲线方程利用参数的几何意义，求出斜率k，即可求直线l的普通方程．【详解】（1）曲线的普通方程为：,直线恒过的定点为（2）把直线方程代入曲线方程得：由的几何意义知，，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以，所以即，解得，，故因此，直线的方程或【点睛】本题考查直线的参数方程，考查简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义.23.函数，（Ⅰ）若求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围【答案】（Ⅰ）（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）（Ⅱ）（﹣1，0）．【解析】【分析】（Ⅰ）若a＝﹣2，分类讨论，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；（Ⅱ）求出函数f（x）的值域为[﹣，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围【详解】（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝|x+2|，f（x）+f（2x）＝|x+2|+|2x+2|＞2，不等式可化为或或，解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（Ⅱ）f（x）+f（2x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|，当x≤a时，f（x）＝a﹣x+a﹣2x＝2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）＝x﹣a+a﹣2x＝﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x≥时，f（x）＝x﹣a+2x﹣a＝3x﹣2a，则x≥﹣，所以函数f（x）的值域为[﹣，+∞），因为不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围为（﹣1，0）．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立,有解问题联系起来，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。