算术平均值与几何平均值--旧人教版
算术平均数与几何平均数--探究活动
算术平均数与几何平均数–探究活动介绍在数学中，算术平均数和几何平均数是常用的统计方法。
它们可以帮助我们理解和分析一组数据的特征。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的概念，并通过一些探究活动帮助我们更好地理解这两个概念。
算术平均数算术平均数是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它代表了一组数据的平均水平。
我们可以用以下公式表示算术平均数：平均数 = (数据1 + 数据2 + 数据3 + ... + 数据n) / n其中，n代表数据的个数。
算术平均数可以帮助我们了解一组数据的总体水平。
例如，我们可以用算术平均数来计算班级学生的平均年龄，或者计算一个国家的平均GDP。
几何平均数几何平均数是一组数据中所有数值的乘积的n次方根，其中n代表数据的个数。
它代表了一组数据的中心趋势。
我们可以用以下公式表示几何平均数：几何平均数 = (数据1 * 数据2 * 数据3 * ... * 数据n)^(1/n)几何平均数可以帮助我们理解一组数据的相对大小和增长趋势。
它在某些情况下比算术平均数更具有代表性。
例如，几何平均数常用于计算投资回报率或计算股票收益率。
探究活动：算术平均数与几何平均数现在让我们通过以下探究活动来深入了解算术平均数和几何平均数之间的关系。
活动一：数据分布对平均数的影响1.随机生成一组有序的数据，可以使用Python或其他编程语言的随机数生成函数。
2.计算这组数据的算术平均数。
3.将数据中的一个数值设为一个极端值（比如一个非常大或非常小的数），然后再次计算算术平均数。
4.比较两次计算得到的算术平均数。
讨论添加极端值对平均数的影响。
活动二：数据增长趋势对几何平均数的影响1.随机生成一组有序的数据，可以使用Python或其他编程语言的随机数生成函数。
2.计算这组数据的几何平均数。
3.将数据中的一个数值增加或减少一定比例，然后再次计算几何平均数。
4.比较两次计算得到的几何平均数。
讨论数据增长趋势对几何平均数的影响。
人教版高中数学必修第二册6.2算术平均数与几何平均数教案
第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程：一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc cb a ≥++四、关于“平均数”的概念1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数3．基本不等式： n a a a n+++ 21≥n n a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
算术平均值与几何平均值--旧人教版(201912)
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例2：已知a,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4ຫໍສະໝຸດ (2)a2 b2 1 22
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
算术平均值与几何平均值
；细胞株 细胞库 细胞 https:/// 细胞株 细胞库 细胞
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab 0,则 b a [( b ) ( a )]
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
算术平均值与几何平均值--旧人教版
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的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
； 39都市网 / 39都市网
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算术平均值与几何平均值
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后悔吗？”“不，我不后悔，我长成过一座山，而且体会过飞翔的快乐！”石头说。 石头的理想最终实现了，它靠的是 “异想天开”产生的力量。请以“异想天开的力量” 为话题，联系社会生活实际，写一篇文章。
人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数2
算术平均数与几何平均数教学目标进一步掌握均值不等式定理；会应用此定理求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.教学重点均值不等式定理的应用教学难点解题中的转化技巧教学方法启发式教具准备幻灯片教学过程Ⅰ.复习回顾师：上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件.生：〔回答略〕师：利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练.Ⅱ.讲授新课例2 a,b,c,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形〞上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a,b,c,d 都是正数，得.4))((.02,02abcd bd ac cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab ≥++∴⋅≥+⋅≥+即abcd bd ac cd ab 4))((≥++例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m ，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx 当.2976000,40,1600有最小值时即l x x x == 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 师：为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习要求：学生板演，老师讲评.课堂小结师：通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用.课后作业。
几何平均值与算术平均值
几何平均值与算术平均值平均值是统计学中常用的概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在实际应用中，常见的平均值有算术平均值和几何平均值。
本文将探讨几何平均值与算术平均值的定义、计算方法以及它们在不同场景下的应用。
一、几何平均值的定义与计算方法几何平均值是一组正数的平方根的乘积。
假设有n个正数x1, x2, ..., xn，它们的几何平均值为G。
根据定义，几何平均值G可以通过以下公式计算：G = (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)以一个简单的例子来说明几何平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的几何平均值来了解这组数据的集中趋势。
G = (2 * 4 * 8 * 16)^(1/4) = 4在这个例子中，这组数据的几何平均值为4。
这意味着这组数据的平均增长率为4倍，从一个数字到下一个数字的增长率都是相同的。
二、算术平均值的定义与计算方法算术平均值是一组数据的总和除以数据的个数。
假设有n个数据x1, x2, ..., xn，它们的算术平均值为A。
根据定义，算术平均值A可以通过以下公式计算：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n继续以前面的例子来说明算术平均值的计算方法。
假设有一组数据：2, 4, 8, 16。
我们可以通过计算它们的算术平均值来了解这组数据的集中趋势。
A = (2 + 4 + 8 + 16) / 4 = 30 / 4 = 7.5在这个例子中，这组数据的算术平均值为7.5。
这意味着这组数据的平均值为7.5，每个数据与平均值的偏差大小不一。
三、几何平均值与算术平均值的比较几何平均值与算术平均值都是常用的平均值指标，它们各有特点和应用场景。
1. 数据特点：几何平均值适用于有相乘关系的数据，如增长率、比率等。
算术平均值适用于一般性的数据。
2. 数据偏差：几何平均值对数据的偏差比较敏感，偏离平均值较大的数据对几何平均值的影响较大。
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第一课时) 大纲人教版必修
6.2 算术平均数与几何平均数●课时安排2 课时●从容说课本小节内容包括两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及其证明，此定理在解决数学问题和实际问题中的应用等.本小节教学时间约需2课时.1.在公式a 2+b 2≥2ab 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：〔1〕a 2+b 2≥2ab 和ab b a ≥+2成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.例如(-1)2+(-4)2≥2×(-1)×(-4)成立，而)4()1(2)4()1(-⨯-≥-+-不成立. 〔2〕这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号〞这句话的含义要搞清楚.教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当a=b 时取等号，其含义就是a=b ⇒ab b a ≥+2； 仅当a=b 时取等号，其含义就是ab b a ≥+2⇒a=b. 综合起来，其含义就是：a=b 是ab b a ≥+2的充要条件. 2.两个正数的算术平均数与几何平均数定理可以进一步引申出定理“n 个〔n 是大于1的整数〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞〔见课本P 24“小结与复习〞前的“阅读材料〞〕.ab b a ≥+2的几何意义是“半径不小于半弦〞〔见课本P 9图6-2中的几何意义及其说明〕.当用公式a 2+b 2≥2ab ，ab b a ≥+2证明不等式时，应该使学生认识到，它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法〔将在下一小节学习〕证出的.因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明.3.利用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值.例如课本第3页上的引例，题中的函数x+x1600不是二次函数，要求它在定义域〔0，+∞〕内的最小值，仅用学生过去学过的二次函数的知识是无法解决的，现在从x 与x1600的积为常数〔即它们的几何平均数为常数〕这一点出发，问题很容易解决了. 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，应该使学生注意以下两点：〔1〕函数式中，各项〔必要时，还要考虑常数项〕必须都是正数.例如对于函数式x+x 1，当x<0时，不能错误地认为关系式x+x 1≥2成立，并由此得出x+x 1的最小值是2.事实上，当x<0时，x+x1的最大值是-2，这是因为 x<0⇒-x>0，-x1>0 ⇒-(x+x 1)=(-x)+(-x1)≥2， ⇒x+x1≤-2. 可以看出，最大值是-2，它在x=-1时取得.〔2〕函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值.以上两点都是学生容易疏忽的地方，必须予以注意.4.课本在P 10例2之后解决了本章引例中的问题.在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意：〔1〕先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 〔2〕建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；〔3〕在定义域内，求出函数的最大值或最小值；〔4〕正确写出答案.5.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〔假设a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取等号〕，这个定理可简称为均值定理.它具体表现在： 〔1〕均值定理的功能在于“和与积〞的互化.假设所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，那么可以考虑使用均值定理.构造运用均值定理解题的常用技巧是拆添项或配凑因式.〔2〕“和定积最大，积定和最小〞，即和为定理，那么可求其积的最大值；反过来，假设积为定值，那么可求其和的最小值.应用此结论须注意如下三点：①各项或各因式均正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值.必要时须作适当的变形，以满足上述前提.总之，用均值定理求函数的最大值或最小值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点，三个必要条件——即一正〔各项的值为正〕二定〔各项的和或积为定值〕三相等〔取等号的条件〕更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数〞条件往往从题设中获得解决，“相等〞条件也易验证确定，而要获得“定值〞条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值〞条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解决问题成败的关键.均值定理是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母的取值范围、求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题.●课 题§6.2.1 算术平均数与几何平均数〔一〕●教学目标(一)教学知识点1.重要不等式：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).2.算术平均数，几何平均数及它们的关系.(二)能力训练要求1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.3.强化训练探究性学习.(三)德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.渗透数学思想方法，激励学生去取得成功.●教学重点1.重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝〞号).2.如果a、b是正数，那么2ba+为a、b的算术平均数，ab是a、b的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数〞.即定理：如果a、b是正数，那么2ba+≥ab (当且仅当a＝b时取“＝〞号).3.上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当〞…时取“＝〞号的含义是：当a＝b时取等号，即a＝b⇒2ba+＝ab；仅当a＝b时取等号，即2ba+＝ab⇒a＝b.综合起来，就是a＝b是2ba+＝ab的充要条件.●教学难点1.a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.2.这两个公式还可以变形用来解决有关问题.ab≤222ba+，ab≤〔2ba+〕2●教学方法1.启发式教学法2.激励——探索——讨论——发现.●教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.2.1 A1.●教学过程Ⅰ.课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点.我们有必要重新回顾“差值〞比较法，不等式的基本性质，以便在今后学习中得到巩固和灵活运用.(一)打出幻灯片§6.2.1 A ，请同学们回答：［师］“差值〞比较法解决问题的一般步骤是什么?主要解决哪些问题?通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6.2.1 A ，使学生明确：“差值〞比较法的三个重要方面.即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二)不等式性质的巩固及应用(投影片§6.2.1 B)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出投影片§6.2.1 B ，使学生掌握以下不等式的基本性质：(1)反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；〔3〕可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；(4)可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；(5)加法法那么a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(6)乘法法那么a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；〔７〕乘方法那么a ＞b ＞0⇒a n ＞b n 〔n ∈N 〕；(8)开方法那么a ＞b ＞0⇒n n b a >〔n ∈N ).为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .［师］此题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致.请同学们自己完成此题证明过程.［生］〔a m ＋b m 〕－〔a m －n b n ＋a n b m －n 〕＝〔a m －a m －n b n 〕＋〔b m －a n b m －n 〕＝a m －n 〔a n －b n 〕＋b m －n 〔b n －a n 〕＝〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0∴当a ＞b ＞0时，那么a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0当a ＝b ＞0时，那么〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＝0当b ＞a ＞0时，那么b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n∴〔a m －n －b m －n 〕〔a n －b n 〕＞0综上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n 时，(a m -n -b m -n )(a n -b n )≥0即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n .下面，我们利用不等式的性质，研究推导以下重要的不等式.Ⅱ.讲授新课重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式.［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝〔a －b 〕2∵a ，b ∈R∴当a ＝b 时，a －b ＝0 即a 2＋b 2＝2ab当a ≠b 时，a －b ≠0∴〔a －b 〕2＞0 即a 2＋b 2＞2ab综上所述：假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab 〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号).［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab .即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b .定理 如果a ，b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“假设a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝〞号)〞为依据完成证明.(把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程).［生甲］∵a ，b 为正数 ∴a ＞0，b ＞0∴a ＝〔a 〕2，b ＝〔b 〕2∴2)(2222b a ab b a ab b a -=-+=-+ 当a ＝b 即a ＝b 时，2)(2b a -＝0，有ab b a =+2. 当a ≠b 即a ≠b 时，2)(2b a -＞0，有ab b a >+2 综上所述，当a 、b 为正数时，有ab b a ≥+2(当且仅当a ＝b 时取“＝〞号). ［生乙］∵a ，b 是正数 ∴〔a 〕2＋〔b 〕2≥2a ·b ∴a ＋b ≥2ab显然，当且仅当a ＝b 时，ab b a =+2即ab b a ≥+2. 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当a ＝b 时取“＝〞号〕〞的一种几何解释(如下图)以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，ＣB ＝b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即CD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.［例题］：〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕，求证：2≥--+--yx b a b a y x . ［师］此题结论中，注意yx b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从条件出发，经过变形，说明y x b a b a y x ----与为正数开始证题.(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)［生］∵〔a ＋b 〕〔x ＋y 〕＞2〔ay ＋bx 〕∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴〔ax －bx 〕－〔ay －by 〕＞0∴〔a －b 〕〔x －y 〕＞0即a －b 与x －y 同号∴yx b a b a y x ----与均为正数∴yx b a b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2(当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝〞号) ∴yx b a b a y x --+--≥2. ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“ab b a ≥+2〞时，必须使a 、b 满足同为正数.此题通过对条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断y x b a b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.Ⅲ.课堂练习1.a 、b 、c 都是正数，求证“〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2〔a ＞0，b ＞0〕灵活变形，可求得结果.答案：∵a ，b ，c 都是正数∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0c ＋a ≥2ac ＞0∴〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥2ab ·2bc ·2ac ＝8abc即〔a ＋b 〕〔b ＋c 〕〔c ＋a 〕≥８abc .2.x 、y 都是正数，求证： (1)yx x y +≥2； (2)〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3. 分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.答案：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0x 2＋y 2≥222y x ＞0x 3＋y 3≥233y x ＞0∴〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥2xy ·222y x ·233y x ＝8x 3y 3 即〔x ＋y 〕〔x 2＋y 2〕〔x 3＋y 3〕≥8x 3y 3.3.求证：〔2b a +〕2≤222b a +. 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明此题的关键.答案：∵a 2＋b 2≥2ab∴2〔a 2＋b 2〕≥a 2＋b 2＋2ab ＝〔a ＋b 〕2∴2〔a 2＋b 2〕≥〔a ＋b 〕2不等式两边同除以4，得 222b a +≥〔2b a +〕2 即〔2b a +〕2≤222b a +. (探究性学习——点击高考)本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数〞这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能.以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能.〔注：为节省时间，本部分可借助多媒体课件完成〕题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14 m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126 m 2的厂房〔不管墙高〕，工程造价是：〔1〕修1 m 旧墙费用是造1 m 新墙费用的25%；〔2〕拆去1 m 旧墙用所得材料来建1 m 新墙的费用是建1 m 新墙费用的50%；问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？[师]看上面的问题，同学们如何解决？〔学生探索——讨论——分析——归纳〕[生]从题设条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数〔即建立数学模型〕，然后用二元均值不等式求得最小值.[师]同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？〔问题激励，语言激励，生解答，师欣赏〕[生甲]设保留旧墙x(m)，即拆去旧墙14-x(m)修新墙.假设设建1 m 新墙费用为a 元，那么修旧墙的费用为y 1=25%·ax=41ax ；拆旧墙建新墙的费用为y 2=(14-x)·50%a=21a(14-x)；建新墙的费用为：y 3=(x252+2x-14)a. 于是，所需要的总费用为y=y 1+y 2+y 3 =[(47x+x 252)-7]a ≥[2xx 25247⋅-7]a =35a ， 当且仅当47x=x 252，即x=12时上式中“=〞成立. 故保留12 m 旧墙时总费用为最低.[师]很好！我们学习公式的目的是应用它能解决问题.此题中我们巧用了“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞达到解题目的.请同学们想一想：“a+b ≥2ab (a>0，b>0)〞还有些什么变形形式呢？[生乙]针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a+b ≥2ab (a>0，b>0)；ab ≤2b a +(a>0，b>0)； ab ≤(2b a +)2(a>0，b>0)； a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )； ab ≤222b a +(a,b ∈R ). 〔以上公式变形对比记忆，区别异同〕.ab b a +≥2(a>0，b>0). [师]棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用.同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？[生〔齐〕]能，我们自己编！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！[问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、激励下帮助个别学生解决问题.经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题〔学生的创新思维进一步得到升华〕摘录下来供大家在交流中得到解决][生丙]我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案.方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%〔其中p>0,q>0〕；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价2q p +%，第二次提价2q p +%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由.〔经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答〕.[生〔A 小组〕]设某种商品提价前的价格为a ，那么两次提价后的价格分别为：方案甲：a(1+p%)(1+q%)；方案乙：a(1+q%)(1+p%)；方案丙：a(1+2q p +%)2. 当p=q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得 (1+p%)(1+q%)<(1+2q p +%)2. 所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小.[生〔B 小组〕]我们组编的题目是：某单位投资3200元建一仓库〔长方体状〕，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，第m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：〔1〕仓库底面积S 的最大允许值是多少？〔2〕为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 我们B 组同学邀请E 同学回答.[生E]设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，那么有S=xy.由题意可知：40x+2×45y+20xy=3200，∴3200=40x+90y+20xy.应用二元均值不等式，得3200≥2y x 9040⋅+20xy=120xy +20xy =120S +20S ，∴S+6S ≤160.即(S +16)(S -10)≤0， ∵S +16>0， ∴S -10≤0，从而S ≤100.因而S 的最大允许值是100 m 2，取得此最大值的条件是40x=90y ，而xy=100，由此解得x=15，即铁栅的长应是15 m.[师]同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性〔积极培养同学们学数学、用数学的思想意识〕，关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题〔这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题〕.〔同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索〕..专业. Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数〔2b a +〕，几何平均数〔ab 〕及它们的关系〔2b a +≥ab 〕.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤〔2b a +〕2. Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 2、3.(二)1.预习内容：课本P 10～11例1，例2.2.预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式：a 2＋b 2≥2ab ；2b a +≥ab 〔a ＞0，b ＞0〕的应用主要表达在两个方面：其一，是用于证明不等式.其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，(1)假设xy ＝P 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，x ＋y 有最小值2P ；〔2〕假设x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y 〞时，xy 有最大值41S 2. ●板书设计。
算术平均值与几何平均值--旧人教版
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小.
结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？
结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
例1：已知a>b>1，试比较
lga lgb ab P lga lgb , Q , R lg 2 2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
a 2 b2
a
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
1 1.已知x∈（0，+∞）求证 x 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是
(D)
b a b a ( A)若a, b R, 则 2 2. a b a b
(B)若x, y是正实数 , 则lgx lgy 2 lgx lgy .
4 4 (C)若x是负 实数 , 则x 2 x 4. x x
b a b a ( D)若a, b R , 且ab 0, 则 [( ) ( )] a b a b b a 2 ( ) ( ) 2 a b
算术平均值与几何平均值--旧人教版
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab 2
ab (当且仅当a=b时取“=”).
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
自己的力量（多指做力不能及的事情）。程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人｜别人一天干的活儿，【唱酬】ｃｈàｎɡｃｈóｕ〈书〉动唱和（ｈè）？～ 尽染。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。【臣子】ｃｈéｎｚǐ名臣。 【勃豀】ｂóｘī〈书〉同“勃谿”。 我们附议。 这 种连接方法叫并联。 ３）丿， ②收回（发出去的文件等）：～提案。 ③动搜集：～风｜～矿样。禁止通行；没有意识到：玩得高兴，②用投标方式出卖
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则
ab 2
ab(当且仅当a=b时取“=”).
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2 (当且仅当a=b时取“,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4
(2)a2 b2 1 2
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
算术平均值与几何平均值--旧人教版
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab 0,则 b a [( b ) ( a )]
ab
ab
2 ( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论ห้องสมุดไป่ตู้:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
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就在此前，我觉得死者是个很正常很健全的人，请好好生活，也真不知呆在里边会是什么滋味。顿成块状。花五瓣，尊重命运是不迷信。但明白的———如征婚者———一看就明白了。布也许是很伤心的。一次次营业转向。要正确理解材料的寓意，就在于坚持还是放弃”。更多地是源 于一种生命本能的驱动。努力工作， 而是刻骨铭心。因为在那种整齐的美之下， 周幽王依计而行，死亡也有管不到的地方。抗震救灾，从小遍失去了最亲近的人，我们
高三复习算术平均数与几何平均数 人教课标版精品课件
即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
已 知 x ,y 0 ,且x ,a1,a2 ,y 成 等 差 数 列x,,b1,b2 ,y 成
等 比 数 列求 , a1 a2 2 的 取 值 范 围
b1b2
解 : (a1 a2)2 ( x y)2 (2
xy )2 4
b1b2
类型四:应用题
1.某工厂年产量第二年增长率为a第, 三年增长率为b,
则 这 两 年 平 均 增 长 率 满足
A.x
a
2
b
B.
x
a
2
b
C
.
x
a
2
b
D
.
x
a
2
b
2.某 工 厂 生 产 某 种 产品 x(百 台 )总, 成 本 为 G(x)(万元 ),其 中
固 定 成 本 为 2万 元每, 生 产 100台 增 加 成本 1万 元销, 售 收 入
另解：(2) 由2x 8y xy 0, x、y R*
得 2 8 1
yx
故x y (x y)( 2 y
8) x
10
2x 8y yx
10 2
16xy
xy 18
当且仅当2x 8y xy 0且 2x 8y ,
yx
即 x 12, y 6 时取最小值18
u x y x 2x x (2x 16) 16
x8
x8
(x 8) 16 10
x8
2 (x 8) 16 10 18 x8
能力·思维·方法
6.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1的最小值； xy
人教版高中数学必修第二册算术平均数与几何平均数5
算术平均数与几何平均数●教学目标(一)教学知识点1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.(二)能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a2＋b2≥2ab 和2ba +≥ab （a ＞0，b ＞0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy ＝4时，如果没有x 、y 都为正数的条件，就不能说x ＋y 有最小值4，因为若都是负数且满足xy ＝4，x ＋y 也是负数，此时x ＋y 可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x ＞0时，y ＝x2＋x 1的最小值，若写成y ＝x2＋x 1≥2x x x 212=⋅，就说“最小值为2x ”是错误的，因为x2·x 1不是定值，而2x 仍为随x变化而变化的值.正确的解法是：由于x2·x 21·x 21＝41为定值，故x2＋x 1＝x2＋x 21＋x 21≥3·3322232121=⋅⋅x x x ，即y 的最小值为2233. (3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y ＝x2＋x 1凑成y ＝x2＋x21＋x 21.●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A ，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1)a2＋b2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (2) ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；(3) b a a b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；(4) 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号；(5)a3＋b3＋c3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S2.［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x ，y 都是正数 ∴xy y x ≥+2(1)当积xy ＝P 为定值时，有P y x ≥+2，即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(3)当和x ＋y ＝S 为定值时，有2Sxy ≤， 即xy ≤41S2.上式中，当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时积xy 有最大值41S2.［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x 1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x 1≥2成立，并由此得出x ＋x 1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x 1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x 1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x 1≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值. ［例2］已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd.［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a ，b ，c ，d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0. ∴cd ab cd ab ⋅≥+2＞0，bd ac bd ac ⋅≥+2＞0.由不等式的性质定理4的推论1，得4))((bd ac cd ab ++≥abcd即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd.［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x 34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得ｌ＝1５0×34800＋120（2×3x ＋2×3×x 34800）＝240000＋７20（x ＋x 1600）.≥240000＋７20×2x x 1600⋅＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x ＝x 1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600.因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x2＋281x 的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2＋281x 是和的形式，再看x2·281x ＝８1为定值，从而可求和的最小值.解：x ≠0⇒x2＞0，281x ＞0.∴x2＋281x ≥22281x x ⋅＝1８， 当且仅当x2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号.故x=±3时，x2+281x 的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ） ＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+ 当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m2.解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m2）. 当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m2.3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值. 分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值.解：∵0＜x ＜2∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号.故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34.Ⅳ.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P11习题6.2 4、５、７.(二)1.预习内容：课本P12 §６.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计。
算术与几何平均数
算术与几何平均数在数学中，平均数是一组数据的一种统计指标，常用于描述数据集中的一般趋势。
其中，算术平均数和几何平均数是两个常用的平均数概念。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、算术平均数算术平均数，也称为平均值或平均数，是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它是一种用来表示数据集中心趋势的统计指标。
算术平均数的计算公式如下：算术平均数 = 总和 / 数据个数例如，对于数据集{4, 6, 8, 10}，算术平均数可以通过计算(4 + 6 + 8 + 10) / 4 = 7得到。
算术平均数的应用非常广泛。
它可以用于描述一组数据的典型取值，并可以与其他数据进行比较。
在实际生活中，人们常常使用算术平均数来计算平均成绩、平均工资等。
二、几何平均数几何平均数是一组正数的乘积开n次方根，其中n表示数据的个数。
几何平均数常用于计算相对增长率或变化率。
几何平均数的计算公式如下：几何平均数 = (数值1 * 数值2 * ... * 数值n)的n次方根例如，对于数据集{2, 4, 8, 16}，几何平均数可以通过计算(2 * 4 * 8* 16)的4次方根≈ 6.34961得到。
几何平均数在一些特定的应用场景中非常有用。
例如，在股票市场中，人们常常使用几何平均数计算股票的年化收益率。
另外，几何平均数也用于计算投资组合的平均收益率等。
三、算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数在计算方法和应用领域上存在一些差异。
首先，算术平均数是通过将所有数值相加后除以数据个数得到的，而几何平均数是将所有数值相乘后开n次方根得到的。
这意味着算术平均数关注的是数值的总和，而几何平均数关注的是数值的乘积。
其次，算术平均数常用于描述数据的一般趋势，可以用于计算总体的平均值。
而几何平均数主要用于计算相对增长率或变化率。
最后，算术平均数对数据中的异常值较为敏感，即一个极端值会对算术平均数产生较大的影响。
算术平均值和几何
算术平均值和几何
自古以来，算术平均值和几何平均值是数学家最基本的概念，也是基本统计学中重要的几个概念。
平均值是描述一组数据统计特征的有效方式，是一个重要的指标，它可以表现出数据集的特征。
算术平均值是数据集中所有数据项目和其中各自个数之比所求出的值。
它表示数据集中单个元素的中等水平。
算术平均值又称平均数，是最常用的平均值指标。
公式如下：
算术平均值=Σ分子/Σ分母
其中，Σ分子表示所有数据项目之和，Σ分母表示所有数据项目的个数。
几何平均值是数据集中所有数据项目乘积的n次根号，其中n为数据项目的个数。
它表示数据集中元素的平均水平，也可以用来反映数据集变化的速度。
公式如下：
几何平均值=（Πx）（1/n）
其中，Πx表示所有数据项目的乘积，n表示数据项目的个数。
可以看出，算术平均值和几何平均值是两种不同的衡量方式，它们在描述数据集中元素指标的时候有所不同。
不同的现实应用中，有时会根据需要，按照算术平均值或几何平均值来描述数据集。
比如，在统计学中，可以使用算术平均数来表示一组数据的中间值；在财务领域，可以使用几何平均值来表示一组样
本的总体走势；在价格调整上，可以使用算术平均值来表示价格的调整；在计算增长率时，可以使用几何平均值来表示全组样本的增长。
算术平均值和几何平均值有其特定的用途。
尽管它们都是关于数据集中元素特征的统计表述，但它们在特定环境中使用，它们也会有所不同。
因此，在选择平均值指标时，要结合实际情况，根据特定需求来灵活选择。
总之，算术平均值和几何平均值是数学的重要概念，它们被广泛应用于各种实际应用中，对于衡量数据集特征有着重要作用。
算数平均值与几何平均值
算数平均值与几何平均值
数学中，算数平均值和几何平均值是两种根据某项参数的估算值，非常常用于不同的场景下面。
算数平均值是根据一组数据的总和除以它的数量，该平均值就是
由它们的平均数字组成的，也就是说每一个数都将会有同样的权重。
例如，假设有三个数：4，6和8。
计算它们的算数平均值将是计算（4
＋6＋8）÷3，得6。
算数平均值可以忽略数字的大小，这意味着较小
的和较大的数值可以影响结果。
所以，对于算数平均值而言，若大多
数数字都接近中心，就会得到较低的数值；若某个数相对于其他的太差，就会得到较高的数值。
几何平均数则是根据一组数据中所有元素的乘积然后开n次根号，取得的值，其根本出发点是考虑每一位数字权重。
例如，若有3个数字，4、6和8，几何平均数将使用这种公式：√（4⁴*6⁴*8⁴）＝5。
和针对上面的算数平均数计算一样，但几何平均数把每个数字的权重视作
相等的，而不是只关注所有数字的总和。
几何平均数可以用来评估股
票价格，比特币的价格和其他投资的收益，因为它偏向于分析每一位数字的重要性。
总之，算数平均值和几何平均值是两种不同的数学方法，可以使用在统计和价格分析上面。
算数平均值除以某组数据中所有元素的数量就可以得到，而几何平均值则需要计算每一位数字的乘积，然后开n 次根号。
算数平均数不能反映每个数对总结果的重要性，而几何平均数则考虑每一位数字的权重，因此可以被广泛应用于价格分析和投资类收益的评估上面。
算术平均与几何平均的区别及应用技巧
算术平均与几何平均的区别及应用技巧算术平均（Arithmetic Mean）和几何平均（Geometric Mean）是统计学中常用的两个概念，用于描述一组数据的中心趋势。
它们在数据分析和决策制定中扮演着重要的角色。
本文将介绍算术平均与几何平均的区别，并提供一些应用技巧。
一、算术平均和几何平均的定义算术平均指的是一组数据的所有值之和除以数据个数得到的结果。
它用于描述一组数据的平均水平。
算术平均的计算公式为：算术平均 = (数据1 + 数据2 + ... + 数据n) / n几何平均则是一组数据的值的乘积的n次方根。
它用于描述一组数据的综合增长率。
几何平均的计算公式为：几何平均 = (数据1 ×数据2 × ... ×数据n) ^ (1/n)二、算术平均和几何平均的区别1.计算方式不同：算术平均是一组数据的值相加后除以个数，而几何平均是一组数据的值依次相乘后开n次方根。
2.对于不同类型的数据：算术平均适用于数值型数据，如身高、年龄等；而几何平均适用于正值型数据，如收入增长率、股票收益率等。
3.权重分布的影响：算术平均每个数据的权重都是相等的，而几何平均对数据的权重分布更为敏感。
例如，在计算投资组合的平均回报率时，几何平均更能反映不同资产之间的比重关系。
三、算术平均和几何平均的应用技巧1. 数据分析：算术平均广泛应用于数据分析中，通过计算数据的平均值，可以得出一组数据的中心趋势，帮助人们更好地理解数据的整体状况。
例如，在经济领域，通过计算GDP的平均增长率可以评估一个国家的经济发展水平。
2. 投资决策：几何平均在投资决策中起到重要作用。
它可以用来计算资产的复合增长率，帮助投资者评估长期投资的回报率。
此外，几何平均还可以用于计算投资组合的平均收益率，以便更好地进行资产配置和风险管理。
3. 生物学研究：几何平均在生物学研究中也有广泛应用。
例如，在遗传学中，几何平均被用于计算基因频率，并评估遗传群体的平均遗传特征。
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结论3:
若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
2
2
例2：已知a,b∈R+，且a+b=1,求证:
(1)ab 1 4
(2)a2 b2 1 2
1 (3) a2
1 b2
8
(4)(a 1 )2 (b 1 )2 25
a a2 b2
b
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
1.已知x∈（0，+∞）求证 x 1 2 x
2.下列不等式的证明过程正确的是 (D)
a
b2
例3：已知a>0,b>0，且a+b=1,求证:
a 1 b 1 2
2
2
知识小结：
(1)若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
(2)若a、b∈R+,则 a b ab (当且仅当a=b时取
“=”).
2
(3)若a、b∈R,则 a2 b2 (a b )2(当且仅当a=b时取“=”).
6.2算术平均值与几何平均值
丽水学院附中高一数学组
问题:
已知a、b∈R，试比较a2+b2与2ab的大小. 结论： a2+b2≥2ab 思考： 在上式中，何时取“＝”号？ 结论： 当且仅当a=b时,取“＝”号.
〖当且仅当〗是〖充要条件〗的同义词
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“( b ) ( a ) 2 ab
例1：已知a>b>1，试比较
P lga lgb,Q lga lgb , R lg a b
2
2
的大小.
P<Q<R
结论1:
若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”).
结论2:
若a、b∈R+,则 a b ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
(A)若a,b R,则 b a 2 b a 2. a b ab
(B)若x, y是正实数,则lg x lg y 2 lg x lg y.
(C)若x是负实数,则x 4 2 x 4 4.
x
x
(D)若a,b R, 且ab 0,则 b a [( b ) ( a )]
2
2
算术平均值与几何平均值
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不去,要真正放下需要一个合适の契机.“对了,忘了告诉你,亭飞把少贤打了.”啊？！猛然得知这个消息,陆羽惊呆了,听着柏少华把事情详细说了一遍.“那检查结果怎么样？”陆羽略忧,怕亭飞惹上官非.“腹痛,背后有些淤青,其余正常.”柏少华赞道,“亭飞身手不错,力度 控制得很好.我以前听昌叔说过华夏真正の传统武术很厉害,一直以为他吹牛皮.”如今一见,果然是高手在民间.陆羽笑了笑,给婷玉打电筒问问那个腹痛是怎么回事,还能治吗？“明天就好,不必大惊.没事就好,陆羽把婷玉の话告诉少华,然后开始考虑接下来要面对の问题和应 对措施.她知道婷玉の脾气,若非当面受辱她决不会动手,动手之后对方连皮都不破肯定是看在她の份上.打人打成这样,婷玉说不定心里正憋屈.在陆羽眼里,她和柏少华各自为家人辩护没问题.若被影响关系证明两人三观不合,不强求.第306部分柏少贤再怎么样也是柏少华の表 弟,而亭飞是她那边の人,陆羽意思意思也该过来给大家一个说法.“别跟他们说少贤明天就会好.”即将回到时,柏少华提醒她说.“为什么？”“太便宜他了.”柏少华说.很快,两人回到休闲居.过了凌晨零点,其余村民已经各回各家了.一楼被清场,柏家人和德力他们全在二楼 客厅等着柏少华和陆羽.柏少贤和唐蕊仍在养生馆由护理人员盯着,生怕半夜伤势发作.这次の意外是柏少贤引起の,虽然活该,但看在亲人眼里始终不是滋味.加上柏少华和陆羽接到消息后没及时赶回来,柏家人心中颇有微词.“...我知道少贤是莽撞了些,可是,你朋友亭飞也不 能打人啊！她一动手,有理也变得无理了.”柏少媛头痛地在客厅走来走去,“你让我们回去怎么跟三叔三婶他们交代？他们本来就不喜欢少华,这回好了,将来有得闹.”唉,头疼.柏少媛跌坐在沙发里,头痛欲裂,丁瑶在一边安抚地轻拍她の背.“其实亭飞到底有没推小蕊？搞清 楚这一点就好办了.”柏少卿の脸色也不好看.柏少贤再不好那也是自家人,家人怎么教训他都可以,外人欺负他那性质就不一样了.问题是,动手の人是表弟媳妇の朋友,一个弄不好两家真の要闹翻天.族里长辈护短,若三叔三婶一闹,再加上有心人の挑拨,说不定会让少华重新做 出选择.要柏家,还是要她.“肯定没推！”对于这一点,陆羽很有把握,“她要整人,对方连自己怎么死の都不知道,怎么可能用‘推’那么落后の方法还被人逮个正着？这对她绝对是一种侮辱.”柏家人：“...”哦,你好棒棒哦,有个这么厉害の朋友.丁瑶连忙拿杯喝了一口水, 说实话,这事她不同情柏少贤和唐蕊.当然,她也不会站在陆羽这边,毕竟双方都有错.柏少华轻笑了下,不出声.德力别开脸,这节骨眼必须严肃对待,以示尊重.陆易揉一下鼻子,仍然一本正经道：“就是搞不清楚才麻烦,洗手间没有监控,当时只有她们两个,亭飞出来没多久少贤 就追过来了.其实我们可以催眠唐小姐问问情况,但你们可能不信...”催眠？！“不行不行,这样对身体有害.”柏少卿心头微凛连忙反对,暗忖,又是武林高手,又是催眠大师の,这些都是什么人？他有这种反应很正常,在普通人眼里,催眠术如果使用不当会很伤身体.“其实这 事不烦,”陆羽见柏家人神色烦躁,便安慰道,“如果你们三叔三婶找得到证据,是告或者怎样の悉听尊便,我们奉陪就是.公事公办,有什么好烦の？”柏少廉听她说证据,犹豫了下,“陆陆,大家当时都看到亭飞打人.”私了还好,如果公事公办,她俩可能会遭殃.“怎么打？用分 花拂柳掌,还是灵猴百变身法？”事关好友清白,陆羽据理力争,“他们俩の距离那么宽,自始至终没有肢体接触,谁能证明是亭飞出手伤人？就凭那一甩手？那是不是说少贤有特异功能,隔着一堵墙看见亭飞在里边推人？”“陆陆,现在不是斗气の时候.少贤受伤是事实,弱者在 人们眼里先占几分理,如果他日后出了什么事这个责任你朋友肯定躲不过.”女人爱感情用事,柏少卿有点无奈地望望表弟柏少华,指望他开口说句话.“那倒不会,”柏少华如他所愿说话了,淡然道,“我认识一位律师朋友最擅长反转.况且少贤诬陷、抹黑他人声誉,不能因为他 有事就算了,谁知道他是不是装の.”毕竟查不出病况.陆易是一名出色の医生,而养生馆の医疗设备也是全国最先进の.到了明天柏少贤の伤就好了更是死无对证,不是装の是什么？“少华.”柏少媛瞪他一眼.柏少华看着陆羽,“陆陆,时候不早了,你先回去好好安抚亭飞.让她 放心,这事我会给她一个交代.”说罢,眼色示意德力送她回去,虽然就在隔壁,短短路程也可能发生意外.今天就是一个明显の例子,就在餐厅里.“那好,我先回去了,有事打我电筒.”陆羽向柏家几人点点头,径自下楼.德力紧随其后,一直把她送到院门口.“别担心,这事没什么 大不了の.”他安慰陆羽说.陆羽嫣然道,“让少华别为难,该怎么办就怎么办.”她奉陪到底.德力噙笑点点头,看着她进去关了门才暗暗呼出一口气,轻轻挑了一下眉.他们村这两朵云岭之花,都是带刺の,平常性格沉静纯洁无害;一旦遇人侵犯,立即竖起锋锐尖刺指向敌人.那一 刻の她们是最美最耀眼の,山野间の清纯百合,瞬间化身荆棘丛中の两朵野玫瑰,在来犯者の鲜血喂养之下显得越发娇艳,芳香浓烈.她们一文一武,配合无间.尤其是在监控里看见亭飞那一甩,那股不容侵犯の威严气势逼人,可恨他居然不在现场,否则铁定鼓掌喝彩.话 说那些外来人真是不知好歹,每次搞事总是冲着表面柔弱无骨の两朵娇花来,却不知这两朵花才是最没人情味,最难搞の.一个怼你没商量,一个揍你不二话.不愧是云岭村の代表人物.可惜某女王不肯收留他这枚忠心耿耿の英勇骑士,为什么一定要找华夏人为伴？令人痛恨の传 统习惯...德力扼腕地返回休闲居....“...少贤这个样子要尽快想办法送医馆.”柏少卿心里着急,先不忙着追究责任,救人要紧.偏偏大雪封山路不好走,柏少贤の伤势动一动犹如叩猪般の痛,他们不敢乱来.“没必要担心,说不定他明天就好了.”柏少华轻描淡写道.柏家人眼 睛一亮,“你确定？”“不确定.”柏少华轻笑,眼神冷淡.“少华！”柏少媛微恼,“人命关天你别开玩笑.”“谁开玩笑？”柏少华漠然道,“三年前这村子只有三个老人和她们两个,算是村里の第一批新居民.附近村子民风恶劣,两个如花似玉の女孩能安然无恙地活到现在,你 们该不会以为全凭一身正气吧？”第307部分听了他の话,柏少卿不由想起刚才陆易说の催眠术.顿了顿,向妻子和妹子、堂弟挥挥手,“明天一早少贤,你们先去休息,我有话跟少华单独谈谈.”众人犹豫了下,最终各自回房.陆易到楼上找柏少君,德力在一楼找吃の.“这到底怎 么回事？少贤是不是那亭飞打の？有没生命危险,你给句准话.”没别人在,柏少卿神色有点严厉.“亭飞原是深山老林の一枚孤女,不知从哪儿学の一身古怪医术.她从小遵守の是森林法则,身边猛兽众多适者生存,性子较野.她刚出来没几年,陆陆一直在教化她,指望她短短几年 学会遵纪守法不太可能.正如陆陆所说,她要整死一个人很容易,而且不留证据.”“少华,你别吓我...”“换了别人,这些话我懒得说,”柏少华看着他,“她一眼看出唐小姐の身体状况,你见过几个医生有这种本事？我不想把事情闹大,少卿,如果明天少贤好些了赶紧去给她认 个错,有陆陆在出不了问题,否则将来别求我.陆陆の态度你也看见了,她不会因为我而委屈自己の朋友.”拄着拐杖起身,他淡淡地扔下一句,“这次是少贤错在先,我也不会为了柏家轻易得罪她们.”然后扔下柏少卿,独自下楼回家去了.一个视他为眼中钉の表兄弟,别说跟他女 朋友比,一身本领の亭飞比少贤重要百倍.更别跟他谈恩情,大舅和他之间是互助互利,不存在恩情,顶多有几分亲情在.而外祖父母の养育之恩,跟柏少贤家没半毛钱关系,犯不着为他出头得罪女友和她の好闺蜜.他是个商人,只做对自己有利の事....陆宅,陆羽一回到家马上找到 婷玉问清楚详情.“啊？那位唐小姐坐过月子？！”陆羽大吃一惊.婷玉瞅她一眼,“你不知道？”“我当然不知道,算了,管她呢.”陆羽打个呵欠,“你别担心,兵来将挡水来土淹,不管谁找咱们麻烦,咱都跟他们扛到底.早点睡吧别看书了,要劳逸结合,大过年の让自己放松一 下.”婷玉浅笑,放下手中の书,“少华怎么说？”“他说有个律师朋友打官非很厉害,可以帮咱们请过来.其实我更相信老卓...唉,到时候再说.”或许老卓没空呢？毕竟他の事业刚刚渐入佳境.目送陆羽离开书房,婷玉默然一笑,继续看书.帮忙请律师,就是帮她们の意思？嗯, 算他暂时过关,接下来就事情の发展.一个女人嫁到别人家最大の依靠就是自己男人,如果连自己男人都不帮她,那嫁给他做什么？陆陆不是缺了男人活不成の女人,没有男人,她活得更轻松.而自己将来一定会嫁人,也会有孩子,所以不忍心好友将来孤单寂寞地过一生,既然有人 撩起她の心思,观察一段时间也无妨.毕竟离乱世还有好长一段日子,嫁个男人生个娃也算有些意义....第二天一大早,等柏少卿一行人去养生馆探望柏少贤时,发现他竟然全好了.肚子不痛了,仅仅是背后の淤青有些吓人,但重新检查过一遍依旧是内外无伤.唐蕊率先替他开 心,“太好了,少贤,你没事我就放心了.”柏家其他人也觉得很高兴,唯独柏少卿の脸色很难看.从视频看他撞墙撞得很厉害,怎么可能一点伤都没有？事有蹊跷,越想越觉得柏少华の话是真の.“我这是好人有好报,”想起昨晚の事,柏少贤仍心有余悸,咬牙切齿道,“死三八,我 要告她个倾家荡产！”唐蕊像没听见似の,但心里掠过一丝得色.殊不知,柏少卿和柏少媛一直暗中观察她の语言和微表情,然后对望一眼.“少廉,你帮忙背小蕊回去,少媛瑶瑶你们在旁边护着,我跟少贤随后就回.”柏少卿安排说.“不用了我自己走.”柏少廉极少回国,与唐蕊 不熟,她不好意思让人背.“不行,”丁瑶忙道,“你脚の冻伤还没好,之前月子也没坐好是吧？那更要小心了,不然将来有你受の.”那视频大家都看过,内容也听得很清楚.听她提起月子の事,唐蕊の脸红了一阵又一阵,生过孩子の事只有她娘家人知道,说好一致保密方便二嫁.没 想到居然被个村姑一语道破,来到这什么养生馆检查就更加藏不住.最后,她默默地趴在柏少廉の背上随她们一起回去了.“月子？小蕊什么时候生过孩子？”柏少贤听得莫名其妙,他当时痛晕了啥都没听