第7章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计

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H ( )
( N 1) / 2
Hr()
0 -20 -40 -1

c ( n ) sin( n )
n1
0
1 /
2
3
不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器
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4、h(n)为奇对称，N为偶数
( N 1)/ 2 N 1 N 1 h 2h m cos( m ) 2 2 m 1
N 1 a(0) h( ) 2 a( n) 2h( N 1 n), n 1, 2, 3, , N 1 2 2
H (z )
1
N 1 j N 1 2 2
N 1 h( n) sin n 2 n0
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幅度函数 相位函数
N 1 H ( ) h( n ) sin n 2 n0
N 1 H ( ) h( n)sin[ ( n)] 2 n 0
N 1
N 1 2h( n)sin[ ( n)] 2 n0
N 1 2h( m )sin[ (m )] 2 2 m 1
N 2
N 1 2
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奇对称
h(n)sin[( n)] 0
( N 1) h(n)关于 n 2 偶对称
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通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相 位条件的系统函数
H (z) z
频率响应函数函数
H (e ) e
j j
( N 1)
N 1
N 1 2h( n)cos n 2 n 0
N 1 2
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1 H ( ) b( n)cos n 2 n 1
N /2
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证明（第一类线性相位条件）：
N 1 幅度函数 H ( ) h( n ) cos n 2 n0
N 1
相位函数
N 1 ( ) ( ) 2
0
( N 1 ) 2
( )

2

严格的线性相位
( N 1)

n 1
N 1 N 1 2 h( n ) sin n h( ) 2 2 =0
H ( )
( N 1) / 2

c ( n ) sin( n )
n1
N 1 N 1 c ( n ) 2 h( n ), n 1, 2, , 2 2
N 1
( )

2 N ( 2) 2
0
N 1 ( ) ( ) 2 2
广义的线性相位

2

3 ( N ) 2
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结论
Ⅰ、第一类线性相位
N 1 N 1 H ( ) h ( n ) cos n ( ) ( ) 2 2 n0
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第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
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IIR数字滤波器的优点：

可以利用模拟滤波器的设计结果
IIR数字滤波器的缺点：

非线性相位 若需线性相位，要采用全通网络进行相 位校正
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h(m)z
m0
N 1
( N m 1)
h(m)z
m
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证明（第一类线性相位条件）：
H (z) z H (z ) 1 ( N 1) 1 H (z) H ( z ) z H ( z ) 2 1 N 1 n ( N 1) n h( n) z z z 2 n0
第一类线性相位成立的充分必要条件
N 1 2 h( n) h( N 1 n) 0 n N 1
第二类线性相位成立的充分必要条件 N 1
2 2 h( n) h( N 1 n) 0 n N 1
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证明（第一类线性相位条件）：
充分性 FIR滤波器的系统函数
H ( z ) h(n)z
n 0
N 1 n 0
N 1
n
h( N n 1)z n
m N 1 n n N 1 m
z
( N 1) N 1 m0
偶对称
N 1 cos 偶对称 ( N 1 n) 2
以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并
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( N 3)/ 2 N 1 N 1 H ( ) h 2h n cos( n ) 2 2 n0
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7.1.3 线性相位FIR滤波器幅度特性
1、h(n)为偶对称，N为奇数
N 1 H ( ) h ( n ) cos n 2 n0
N 1
N 1 (N 1) N 1 ( N 1) cos n cos n n n 关于 关于 2 2 2 2
e e
j(
N 1 N 1 ) 2
N 1 h( n )cos n 2 n0 N 1 h( n )cos n n0 2
j(
N 1 N 1 ) 2
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N 1 n 0
h(n)sin( n)
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证明（第一类线性相位条件）：
N 1
sin( ) cos( )
N 1 n 0
n 0 N 1 n 0
h(n)sin( n)
h(n)cos( n)
( N 1) 关于 n 2
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7.1.1. 线性相位的定义
FIR滤波器的频率响应函数
H (e j ) h(n)e j n H (e j ) e j ( )
n 0
N 1
H (e j ) e j ( ) H ( )e j ( )
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证明（第一类线性相位条件）：
必要性
H (e j ) H ( )e j h(n)e jn
n 0 N 1
实部、虚部分别相等
H ( )cos( )
两式相除
N 1 n 0
h(n)cos( n)
H ( )sin( )
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Hr()
0 -20 -40 -1
0
1
2
3
/
不适合于低通滤波
器、带阻滤波器 h(n)为奇对称时，有90o 相移，适用于微分器和 90o移相器，而选频滤 波器采用h(n)为偶对称
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0 -20 -1 0
n0
Hr()
H ( )
( N 1) / 2

40
a ( n ) cos( n )
20
1 /
2
3
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2、h(n)为偶对称，N为偶数
N 1 H ( ) h( n)cos n 2 n 0
2）由于没有极点，同样幅频特性，要获 得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代 价。
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FIR滤波器的设计方法 设计任务：选择有限长度的脉冲响应h(n)，得 到系统函数H(z)，使幅频特性满足技术指标， 同时使相频特性达到线性相位。
设计方法：
窗函数法Βιβλιοθήκη Hr()0 -20 -40 -1
0
1
2
3
N b( n ) 2h n n=1,2, 3, …, N/2 不适合设计高通滤 2
/
波器、带阻滤波器 1 cos n 0 ， H(ω)对ω=π呈奇对称 ω=π时， 2
1 cos n 1， H(ω)对ω=0呈偶对称 ω=0时， 2 H(ω)对ω=2π呈偶对称
频率采样法
切比雪夫等波纹逼近法
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7.1 线性相位FIR数字滤波器的特性
本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条 件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。 FIR滤波器的单位冲激响应： 系统函数：
在 z 平面有N –1 个零点
在 z = 0 处是N –1 阶极点
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3、h(n)为奇对称，N为奇数
N 1 H ( ) h ( n ) sin n 2 n0