高三数学每日一题解法赏析
一道高考题的多种解法评析及其教学反思
一道高考题的多种解法评析及其教学反思高考是中国学生们备受关注的重要考试，它在学生们的学业生涯中扮演着至关重要的角色。
高考题是学生们检验知识掌握和思维能力的重要工具，让我们来评析一道高考题的多种解法，并思考如何在教学中提供更好的辅导与指导。
下面，我们将分析一道数学高考题：已知某数列的通项公式为an = n^3 - 2n，求数列的前n项和Sn。
这道题要求求解数列的前n项和，对于学生来说，有多种解法可以得到正确答案。
下面我将列举几种常见的解法，并对这些解法进行评析。
解法一：逐项计算法这种解法是最直观的方式，即从第一项开始逐个计算直到第n项，并将它们求和。
例如，当n=4时，数列的前4项分别为1，6，15，28，将它们求和可得50。
这种解法的优点是容易理解和操作，对于初学者来说较为友好。
然而，当n较大时，手工计算将变得极为繁琐和耗时，容易出错。
解法二：数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，也可以用来解决这道题。
首先，我们可以通过观察数列的前几项，猜测出数列的前n项和的通项公式为Sn = (n^2)(n-1)^2/4。
接下来，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜测。
首先，当n=1时，显然数列的前1项和为1；其次，假设当n=k时，数列的前k项和的通项公式成立。
那么我们只需要证明当n=k+1时，数列的前k+1项和的通项公式也成立。
通过展开数列的前k+1项，并利用归纳假设，我们可以得到Sn+1 = (k^2)(k-1)^2/4 + (k+1)^3 - 2(k+1) = [(k^2)(k-1)^2 + 4(k+1)^3 - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k^2 + 4k + 4) + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) -8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)(k+1)]/4 =[(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1 - 2(k+1))]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 +4(k+1)(k+1)(k-1)]/4 = (k+2)^2(k-1)^2/4 + (k+1)(k+1)(k-1) =[(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1) + (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2) - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2 -k+1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+2)(k+1)]/4 = (k+1)^2(k+2)^2/4 = (k+1)^2((k+1)-1)^2/4。
高三数学题及答案解析
高三数学题及答案解析一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a、b、c的值。
答案解析：由题意知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，因此x=1为抛物线的对称轴，即-b/2a = 1。
由此可得b = -2a。
又因为f(1) = 3，即a + b + c = 3。
将b的值代入，得到a - 2a + c = 3，即c = 3 + a。
由于a>0，我们可以取a=1，得到b=-2，c=1。
所以a=1，b=-2，c=1。
2. 已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+2n-1，求a10的值。
答案解析：根据数列的递推公式an=an-1+2n-1，我们可以逐步计算得到数列的前几项：a1 = 1a2 = a1 + 2*2 - 1 = 1 + 3 = 4a3 = a2 + 2*3 - 1 = 4 + 5 = 9...通过观察可以发现，数列的第n项实际上是前n项和的公式，即an =1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)。
这是一个等差数列的前n项和，根据等差数列求和公式，我们可以得到an = n^2。
所以a10 = 10^2 = 100。
二、填空题1. 若复数z满足|z-2-3i| = |z+1+i|，请计算z的实部和虚部。
答案解析：设z = x + yi，根据题意有|z-2-3i| = |z+1+i|，即|(x-2) + (y-3)i| = |(x+1) + (y+1)i|。
根据复数模的计算公式，我们可以得到两个方程：(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2解这个方程组，我们可以得到x和y的值：x = 1, y = 2所以z的实部为1，虚部为2，即z = 1 + 2i。
三、解答题1. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆上一点P(x, y)到圆心(3, -1)的距离。
高中数学高考复习每日一题(整理)
高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
高三数学一题多解一题多变试题及详解答案
高三数学一题多解一题多变试题及详解答案乐享集团公司，写于2021年6月16日高三一题多解 一题多变题目一题多解 一题多变一原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤,得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<,得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R,求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数,∴当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值解：由题意,令[]911822,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 当m y =时,08==mn x - R x ∈ ,也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义,进行分类讨论求解 1当03-≥x 2时,不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒2当03-<x 2时,不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23,且小于25,由图得, 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=,因为963s s s ,,成等差数列,所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=,q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒,所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=解得213一=q 下略变题：已知54=αsin 且α是第二象限角,求αtan解：α是第二象限角,54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ,求αtan解：054>=αsin ,所以α是第一或第二象限角若是第一象限角,则3453==ααtan ,cos若是第二象限角,则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ,所以当 10<<m 时,α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α,求αtan 解：当11一,=m 时,αtan 不存在 当0=m 时, 0=αtan当α时第一、第四象限角时,21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时,21mm α一一=tan一题多解 一题多变三题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则 0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变四题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变五题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、,椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥,下面结论正确的是——————————————————————— AP 点有两个 BP 点有四个 CP 点不一定存在 DP 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆,知：圆的半径b c r =<==43,即圆与椭圆不可能有交点;故选D 解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ,而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ,∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大,设α221=<PF F ,∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角,与题设矛盾;故选D 解法四：设)sin 4,5(θθcon P ,由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ,而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解,故选D解法五：设θ=∠21F PF ,假设21PF PF ⊥,则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ,而102||||21==+a PF PF即：2610≤,不可能;故选D解法六：=-=--+=-+=<||||2|||264||||236||||2)|||(|||||36||||21212121222121222121PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF F con 025*******)2||||(321||||3222121≠=-=-+≥-PF PF PF PF ,故212190PF PF PF F ⊥∴≠< 不可能;故选D解法七：设),(00y x P 由焦半径知：∴⊥-=-=+=+=21002001,535||,535||PF PF x ex a PF x ex a PF 2212221||||||F F PF PF =+962550251810)535()535(202022020=⇒=⇒=-++⇒x x x x 而在椭圆中5||0≤x 而325||0=x >8,故不符合题意,故选D解法八.设圆方程为：922=+y x椭圆方程为：1162522=+y x两者联立解方程组得： 不可能故圆922=+y x 与椭圆1162522=+y x 无交点即 1PF 不可能垂直2PF 故选D一题多解 一题多变六一变题：课本P110 写出数列}{n a 的前5项：1-111,14n n a a a =-=- 变题：已知函数1()22,[,1]2f x x x =-+∈,设)(x f 的反函数为)(x g y =,)(,1211a g a a ==)(1-n n a g a =,求数列}{n a 的通项公式;解：由题意得,x x g y 211-)(==,1--n n a a 211=1212()323n n a a -∴-=-,令32-n n a b =,则}{n b 是以31为首项,21-为公比的等比数列,故)()-(1-12131≥=n b n n从而,)(23)-(1-n 1-11232≥×+=+=n b a n n n n 二、一题多解已知函数),[,)(+∞∈++=122x xax x x f 1当21=a 时,求函数)(x f 的最小值；-2若对于任意01>+∞∈)(),,[x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围, 解：1当21=a 时,222212+≥++=xx x f )(,当且仅当22=x 时取等号 由)()(0>+=k xkx x f 性质可知,)(x f 在),[+∞22上是增函数 ),[+∞∈1x ,所以)(x f 在)∞,[+1是增函数,)(x f 在区间)∞,[+1上的最小值为271=)(f2法一：在区间上)∞,[+1,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立设a x x ++=22y ,),[+∞∈1x 11222-)(y a x a x x ++=++=在)∞,[+1上增 所以1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成立,故-3>a法二：),[,)(+∞∈++=12x xax x f当0≥a 时,函数)(x f 的值恒为正；当0<a 时,函数)(x f 为增函数,故当1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成,故-3>a法三：在区间)∞,[+1上,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立 x x a 22- -⇔>恒成立,故a 应大于x x 22- -u =,)∞,[∈+1x 时的最大值-3,所以-3>a一题多解 一题多变七原题：:若)()(0112>++=x x x xf ,则=)(x f 分析:用倒数换元解: 令tx xt 11==则, 所以 将t 换成x 得到:变题1：设)(x f 满足关系式,)()(x xf x f 312=+求)(x f 的解析式 解：tx xt 11==则将t 换成x 得到:与原式联立方程组消去)(xf 1得到变题2：已知()()af x f x bx +-=,其中12≠a 试求)(x f 的解析式解：用相反数换元 令,t x x t =-=-代入到原式当中得到： 将t 换成x 得到:与原式联立方程组,得到：变题3：已知22(43)(34)2,af x bf x x a b -+-=≠,试求)(x f 的解析式解：令43x t -=,则232+=t x 将()1 中t 换－t 得到: 与()1联立方程组得到：变题4：已知2()()1,n n af x f x bx a n +-=≠，其中为奇数，求)(x f解：设n n t x t x ==, 代入原式得： 将t 换成—t 得到:n t b t f t af ——=+)()( 与上式联立方程组得到∴ )(x f 的解析式为：()f x ==一题多解题目：设二次函数)(x f 满足，———)()(22x f x f =且函数图象y 轴上的截距为1,被x 轴截的线段长为22,求)(x f 的解析式分析：设二次函数的一般形式)()(02≠++=a c bx ax x f ,然后根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设)()(02≠++=a c bx ax x f由，———)()(22x f x f = 得：04=b a — 又2284a ac b =∴— 由题意可知 1=c 解之得：解法二：，———)()(22x f x f =故函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x 可设k x a y ++=22)(函数图象与y 轴上的截距为1,则14=+k a又被x 轴截的线段长为22,则2221==d x x Δ—整理得：02=+k a 解之得： 解法三：：，———)()(22x f x f =故 函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x ,又2221=x x —∴ )(x y =与x 轴的交点为：∴故可设)(222++=x a y一题多解 一题多变八原题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(2+=x f y 与)1-(-1x f y = 互为反函数,则__________)(-)(-1-1=01f f 教学与测试P 77变题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(1+=x f y 的图象与)(-11+=x f y 的图象关于x y =对称（1） 求)(-)(01f f 及)(-)(-1-101f f 的值；（2） 若b a ,均为整数,请用b a ,表示()()f a f b 及)(-)(-1-1b f a f解1因)(-11+=x f y 的反函数是()1-x f y =,从而()11-)(x f x f =+,于是有()11--)(=+x f x f ,令1=x 得-1(0)-)(=f f 1；同样,)(1+=x f y 得反函数为()1--1x f y =,从而()11-)(-1-1x f x f =+,于是,()11--)(-1-1=+x f x f ．2 -11)(-)(=++x f x f 2,而()11--)(=+x f x f ,故()12-1)-(-)(=+x f x f ,即()22--)(=+x f x f , …()n x f n x f --)(=+,从而()[]()a b a f a b a f b f a f --)-(-)(=+=．同理,()-1-1()f a f b b a -=-．一题多解1．函数2(),(1)(3)f x x bx c f f =++-=,则 A (1)(1)f c f >>- B (1)(1)f c f <<- C (1)(1)c f f >-> D (1)(1)c f f <-<解法1. 由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,得2b =-而22(1)1(2)11,(1)(-1)(2)(1)3f c c f c c =+-•+=--=+-•-+=+,且31c c c +>>-,因此(1)(1)f c f <<-.解法2.由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,而)(0f c =,而()x f 在－1,1上递减,易得答案为B ．y-1 0 1x一题多解 一题多变九姜忠杰变 题原题：若在区间y =2a -ax -2x 在区间)3-,1∞-(是减函数,则a 的取值范围是多少变1：若函数y =2a -ax -2x 在)3-,1∞-(上是减函数,则a 的取值范围是多少变2、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1-(∞上是增函数,则a 的取值范围是多少变3、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1∞-(上是增函数,且函数的值域为R,则a 的取值范围是多少解： 函数2a -ax -2x y =的减区间为]-2a ，（∞,∴⊆)3-,1∞-(]-2a，（∞∴），∞32-2[+ -变1、设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(为减函数,且在)3-,1∞-(,u ≥0 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变2：设2a -ax -2x u =,则u 在为减函数,且在]3-,1∞-(,u ≥0- 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变3：设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(减区间,u 在)3-,1∞-(取到一切正实数3-12a ≤,01=)3-(u ,所以=a 23)5-1)(1-(或2)51)(1-3(+一题多解：设10=+a a lg ,1010=+b b ,求b a +的值;解法一构造函数：设x x x f lg )(+=,则)(lg )(b b b b f b a f 1010101010=+=+==,由于)(x f 在),(+∞0上是单调递增函数,所以b a 10=,故1010=+=+b b a b ; 解法二图象法因为a 是方程10=+x x lg 的一个根,也就是方程x x -lg 10=的一个根b 是方程1010=+x x 的一个根,也就是方程x -1010=x 的一个根令x x g lg )(=,x x h 10=)(,x x -)(10=Φ,在同一坐标系中作出他们的图象,如图所示：a 是方程)()(x x g Φ=的根,即图中OA=ab 是方程)()(x x h Φ=的根,即图中OB=b易得OA+OB=10,所以10=+b a解法三：方程10=+x x lg ,1010=+x x 的根为a ,b 由1010=+x x ,得x x -1010=,∴x)-lg(10=x ,又10=+x x lg 10lgx x)-lg(=+∴10, 1010x )-x (10=即,02=+101010x -x 即一题多解 一题多变十课本P 102 证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示,),,,)((4321=i x f i 是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质：“对0,1中的任意的21x x ,,任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有 AA 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数;已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f 1求证：当0>a 时,函数)(x f 是凹函数；2如果],[10∈x 时,1≤|)(|x f ,试求实数a 的取值范围; 1证明：略2实数a 的取值范围是[2,0)- 二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52 =523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg + =1一题多解 一题多变十一一题多解- 1． 已知212x x f -)(=-1)<x ,求-12()3f －的值解法1 先求反函数 由221xy =－得221y x =－ ∴ y2-1-=x 且0<y故原函数的反函数是x2-1-)(1-=x f )(0<x 解法2从互为反函数的函数的关系看 令32-x -2=12解得2±=x 即 -2)32-(1-=f变题2． 已知)(x f 对于任意实数y x .满足)()()(y f x f y x f +=+,当0>x 时,0<)(x f （1） 求证)-(-)(x f x f = （2） 判断)(x f 的单调性证明 1令,0==y x 得)()()(000f f f += -令-y =x ,得0-x)()()(=+=f x f f 02设21x x <,则)()-()()]-([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <+=+= ∴ )(x f 在R 上是单调函数变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数,且满足-)()(x f yxf =)(y f（1） 求)(1f 的值（2） 若,)(16=f 解不等式215<+)(-)(xf x f 解 1 令1==y x ,得∴ 01=)(f -（3） 在)(-)()(y f x f yx f =中,令61==y x ,得 从而261636==)(-)()(f f f又原不等式可化为 )()]([365f x x f <+, 且)(x f 是),(+∞0上的增函数,∴ 原不等式等价于又 0>x 05>+x 解得 40<<x∴ 原不等式的解集为0,4一题多解 一题多变十二考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称;解：该函数定义域为R,且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴,∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数,即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称,故)(x f y =的图象关于),(01对称;变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ,则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得,∴]-)([--)-(11x f x f =,)(x f y =－1为奇函数,即)(x f y =－1的图象关于0,0对称,∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ,则)(x f y =的图象关于1,1对称解：令1-t x =,则t x --1=,故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ,即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ,即]-)([--)-(1111+=+x f x f ,∴11-)(+=x f y 的图象关于原点0,0对称,故)(x f y =的图象关于1,1对称;结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(,则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称;变题4：已知244+=x xx f )(求证：111=+)-()(x f x f 2指出该函数图象的对称中心并说明理由;3求)()()(100110001000210001f f f +++ 的值;1证明：1242244244244111=+++=+++=+xx x x x x x x f x f --)-()(,得证;- 2解：该函数图象的对称中心为），（2121,由11=+)-()(x f x f 得12121=++)-()(x f x f 即]-)([--)-(21212121+=+x f x f ,∴2121-)(+=x f y 的图象关于原点中心对称,故)(x f y =的图象关于），（2121对称; 3解：11=+)-()(x f x f ,故11001100010011=+)()(f f ,1100199910012=+)()(f f ,……,∴ )()()(100110001000210001f f f +++ =500变题5：求证：二次函数)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;证明：假设),(n m 是)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象的对称中心,则对任意R x ∈,都有n x m f x m f 2=++)-()(,即n c x m b x m a c x m b x m a 222=+++++++)-()-()()(恒成立,即有n c bm am ax =+++22恒成立,也就是0=a 且02=++n c bm am -与0≠a 矛盾 所以)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;一题多解 一题多变十三题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x xax x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立,试求实数a 的取值范围;解法一：在区间[)∞+，1上,022>++=xax x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立,设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ,∴当x=1时a y +=3min ,于是当且仅当03>+=a y min 时,函数恒成立,故 a>—3;解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xax x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时a x f +=3）（min 于是当且仅当3+a>时恒成立, 故 a>—3;解法三：在区间[)∞+，1上xax x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立,故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3, ()112++>∴x a — 当x=1时,取得最大值 —3 。
高三数学考试题及答案解析
高三数学考试题及答案解析近年来，高三数学考试一直是学生们备考重点之一。
数学作为一门重要学科，不仅考查了学生的逻辑思维能力，还对学生的数学基础和解决问题的能力提出了挑战。
下面我们来看一些高三数学考试常见题目及答案解析。
1. 题目：如果一辆车以每小时60公里的速度行驶，行驶4个小时后，行驶的总距离是多少公里？答案：根据速度等于距离除以时间的公式：速度 = 距离 / 时间，可以得到距离= 速度 × 时间。
因此，这辆车行驶的距离为 60 × 4 = 240 公里。
2. 题目：已知一个等差数列的前5项分别是5，8，11，14，17，求这个等差数列的通项公式。
答案：根据等差数列的性质，第 n 项公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d。
其中，a(n)代表第n 项，a(1)代表首项，d代表公差。
根据题目已知条件，可得首项a(1) = 5，公差 d = 8 - 5 = 3。
代入公式得到这个等差数列的通项公式为 a(n) = 5 + 3(n-1)。
3. 题目：若函数 y = 2x^2 + 3x + 1，求函数的导数。
答案：函数 y = 2x^2 + 3x + 1 的导数即为函数的斜率，利用导数的求法，对函数各项求导得到导数。
求导过程中，对于 x^n 来说，其导数为 n*x^(n-1)。
因此，对于函数 y = 2x^2 + 3x + 1，求导后得到y’ = 4x + 3。
4. 题目：某个城市的人口数量每年增长20%，如果当前人口为100万，那么5年后该城市的人口数量是多少？答案：按照题目中的增长率，每年增长20%，则5年后的人口数量为当前人口乘以1.20的5次方。
即，100万* (1.20)^5 ≈ 248 万。
通过以上题目及答案解析，我们可以看出高三数学考试涉及的知识点广泛，需要学生在掌握基础概念的基础上多加练习，才能在考试中取得好成绩。
希望同学们能够通过认真学习和练习，提高数学解题能力，取得优异的成绩。
高三数学题及答案解析
高三数学题及答案解析在高三数学学习过程中，练习做题是非常重要的一环。
通过不断的练习，不仅可以巩固知识，还可以帮助学生培养解决问题的能力。
下面将给出一些典型的高三数学题目，并针对每道题目给出详细的答案解析，希望能帮助同学们更好地理解和学习数学知识。
题目一已知函数f(x)=3x2−6x+1，求f′(2)的值。
解析首先我们要求函数f(x)在x=2处的导数f′(2)。
根据导数的定义，$f'(x)=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$。
带入x=2得：$f'(2)=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(2+\\Delta x)-f(2)}{\\Deltax}=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{3(2+\\Delta x)^2-6(2+\\Delta x)+1-(3*2^2-6*2+1)}{\\Delta x}$$f'(2)=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{3(4+4\\Delta x+\\Delta x^2)-12-6\\Delta x+1-12+6+1}{\\Delta x}$$f'(2)=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{12+12\\Delta x+3\\Delta x^2-12-6\\Delta x-5}{\\Delta x}=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{3\\Delta x^2+6\\Delta x}{\\Delta x}$$f'(2)=\\lim_{\\Delta x \\to 0} 3\\Delta x+6=6$因此，f′(2)的值为6。
题目二已知等差数列$\\{a_n\\}$的前n项和S n=a1+a2+...+a n，且S1=a1=2，S3=10，求a5的值。
高中数学每日试题及答案
高中数学每日试题及答案1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。
答案：将-1代入函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1中，得到f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6。
2. 解方程：3x - 5 = 2x + 1。
答案：首先将方程两边的x项移项，得到3x - 2x = 1 + 5，简化后得到x = 6。
3. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x) / x]。
答案：根据洛必达法则，当x趋近于0时，sin(x) / x的极限等于1。
4. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求a3的值。
答案：根据递推公式，a2 = 2a1 + 1 = 2 * 1 + 1 = 3，a3 = 2a2 +1 =2 *3 + 1 = 7。
5. 求解不等式：x^2 - 4x + 3 < 0。
答案：首先将不等式因式分解为(x - 1)(x - 3) < 0，解得1 < x < 3，即不等式的解集为(1, 3)。
6. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标为(2, 3)，半径为3。
7. 计算定积分：∫(0 to 1) (2x + 1) dx。
答案：首先求被积函数的原函数F(x) = x^2 + x，然后将上限1和下限0代入F(x)，得到F(1) - F(0) = 1^2 + 1 - (0^2 + 0) = 2。
8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
答案：向量a与向量b的点积为a·b = (3 * -1) + (4 * 2) = -3 +8 = 5。
9. 求函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数值。
答案：首先求函数的导数y' = 3x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入y'得到y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
数学高考解析题
数学高考解析题一、选择题解析1. 选择题1解析本题考查了函数的性质和图像。
首先，我们需要分析给定的函数f(x) = 2^x的单调性。
由于指数函数的底数大于1，该函数在实数域上是单调递增的。
接下来，我们考虑函数g(x) = f(x) + 1 = 2^x + 1，显然，g(x)在f(x)的基础上向上平移了1个单位，因此g(x)也是单调递增的。
根据题目中的条件，我们知道g(x)在区间[0,1]上的值域为[2,3]，这意味着g(x)在该区间内是连续的。
由于g(x)是单调递增函数，我们可以得出在x=0时，g(x)取最小值2；在x=1时，g(x)取最大值3。
因此，选项A是正确的。
2. 选择题2解析此题涉及三角函数的图像和性质。
我们需要根据三角函数的基本性质来判断选项的正确性。
首先，我们知道sin(x)的周期为2π，且在[0, π]区间内，sin(x)的值从0增加到1，然后再减少到0。
选项B给出的函数h(x) = sin(x) + 1在y轴上向上平移了1个单位，因此其值域在[1, 2]。
选项C给出的函数k(x) = cos(x)在[0, π]区间内的值域为[-1, 1]。
由于sin(x)的值域不包含负数，而cos(x)的值域包含负数，所以选项B是正确的。
二、填空题解析1. 填空题1解析本题要求求解二次函数在特定区间的最大值。
我们设二次函数为p(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，这意味着函数开口向上，且对称轴为x = -b/(2a)。
根据题目给出的信息，我们知道函数在x=1处取得最大值。
因此，我们可以得出对称轴x = -b/(2a) = 1。
接下来，我们需要利用题目给出的其他条件来求解a、b和c的值。
通过解方程组，我们可以得到a = 1，b = -2，c = 3。
所以，二次函数为p(x) = x^2 -2x + 3，其在x=1处的最大值为2。
2. 填空题2解析此题考查了数列的通项公式和求和公式。
一道高考题解法赏析
一道高考题解法赏析
尤其是高考几个月前，高考出题的技术活越来越高了，每一道题上面都
暗藏其中的出题思想，考生若想要正确理解答案，就必须要了解其中的相关
思想，在此，现在让我们为大家带来一道高考题的解法赏析。
这道高考题是出自2018年高考数学试题，“已知不等式x^2-
2ax+a^2>0,a>0，可将a对x的取值范围表示为（）。
” 在此，先来简要
回顾下两个有关数学概念：
1．不等式是在不满足等式条件下赋予某一关系中最优的境界；
2．当不等式满足一定条件时，表达式的取值范围就可以确定。
首先，将不等式x2-2ax+a2>0代入求根公式，可以得到x=a±(2a2-a2)，由于x>0，所以取(2a2-a2)>0，也即a>0。
国此，a对x的满足取值范围为
x>a。
再来，要将上面的取值范围表示出来，可以采用以下方法：x>a即
x∈(a,+∞)，它表示给定条件下，a对x的取值范围为x>a。
以上就是这道高考题的解法赏析，考生能够根据提到的数学概念及取值
范围的表示，在自己进行答题的时候，将正确的数学概念运用到答案中。
因此，在备考高考的过程中，考生一定要注重多复习，不仅要了解答题知识，
还要加强对数学概念的理解，以此来提高自己的分数。
综上所述，这是本次解法赏析的结束，希望能够对考生有所帮助，让大
家在考试中取得好成绩。
高考数学习题解析及解题技巧分享!
高考数学习题解析及解题技巧分享！引言高考数学是每个考生最重要、最关键的科目之一。
在高考数学中，解题技巧和策略的掌握对于提高分数至关重要。
本文将为大家详细解析高考数学中的一些典型习题，并分享一些解题技巧和策略，希望能够帮助大家在高考中取得好成绩。
第一节：代数与函数1.1 一元二次函数•习题1：已知一元二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点P(1,3)，并且函数的顶点坐标为V(2,−1)。
求函数的解析式。
解析：根据已知条件，可以列出方程组：{a+b+c=34a+2b+c=−1解方程组得到a=1，b=−5，c=7，所以函数的解析式为y=x2−5x+7。
•解题技巧：对于一元二次函数，如果已知顶点坐标和经过一个点的信息，可以利用这些信息列方程组求解解析式。
1.2 指数与对数•习题2：已知方程2x−2−x=3，求x的值。
解析： 首先，将方程两边同时乘以 2x ，得到 22x −1=3⋅2x 。
令 t =2x ，则方程可以转化为 t 2−3t −1=0。
解这个二次方程可以得到两个根：t 1=3+√132， t 2=3−√132。
由于 t =2x ，所以 x 的值要满足 2x =t 。
因此得到两个解：x 1=log 23+√132， x 2=log 23−√132。
• 解题技巧： 对于指数与对数题目的解法，可以尝试进行代换或转化，找到合适的形式化简问题。
使用换元法和二次方程求解方法能够帮助快速解题。
第二节：几何与三角2.1 平面几何• 习题3：在平面内，已知两条直线 l 1:3x −y +1=0 和 l 2:6x −2y +5=0，求两条直线的交点坐标。
解析： 要求两个直线的交点坐标，可以将两个方程联立解方程组。
首先，将两个方程进行等式变形，并消去 x ，得到 y =4。
将 y =4 代入任意一个方程中，可以得到 x =1。
因此，两条直线的交点坐标为 (1,4)。
• 解题技巧： 在平面几何中，要求两个直线的交点坐标，可以将两个方程联立解方程组。
高三数学试题解析详解典型题型及解题方法
高三数学试题解析详解典型题型及解题方法在高三阶段，数学是学生们需要重点关注和突破的学科之一。
对于数学试题，掌握典型题型的解题方法和技巧，可以帮助学生更好地应对考试。
本文将对高三数学试题中的典型题型进行详细解析，提供解题方法和实例，希望能为学生们在高考中取得好成绩提供一些帮助。
一、函数与方程函数与方程是高三数学中重要的基础知识点，也是各类数学试题中常见的题型。
针对不同类型的函数与方程题目，我们可以采取相应的解题方法。
1. 一次函数与一元一次方程一次函数是高中数学中最基本的函数之一，而一元一次方程是与之相对应的方程类型。
解一元一次方程的关键在于构建方程式，可以通过齐次化、增减消元等方法进行求解。
在解题中，要注意正确运用这些方法，避免漏项或误操作。
例题：已知一次函数y=2x+1，求解当y=5时，x的取值。
解析：将y=5代入到y=2x+1中，可得5=2x+1。
化简方程式，得到2x=4，再移项得到x=2。
所以，当y=5时，x的取值为2。
2. 二次函数与二元一次方程二次函数与二元一次方程是高三数学试题中出现较多的复杂题型。
解这类题目时，常用的方法是配方法、因式分解或求判别式等。
在解题过程中，要注意正确运用这些方法，同时也要注意化简方程和整理答案。
例题：已知二次函数y=ax^2+bx+c经过点（1，2）和（-1，4），求解a、b、c的值。
解析：将点（1，2）和（-1，4）代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可得方程组：a+b+c=2a-b+c=4通过消元法或其他方法，可以求解方程组，得到a=1，b=1，c=0。
所以，二次函数的表达式为y=x^2+x。
二、数列与数。
高三数学题目解答与解析
高三数学题目解答与解析在高三阶段，数学是学生所关注的重点科目之一。
为了帮助高三学生更好地理解和解决数学题目，本文将提供一些高三数学题目的解答与解析。
一、解答与解析1. 高三数学题目一题目：已知函数 f(x) = 2x -1，求函数 f(-3) 的值。
解答：将 x 的值代入函数 f(x) 中即可求得函数值。
f(x) = 2x - 1将 x = -3 代入：f(-3) = 2(-3) - 1f(-3) = -6 - 1 = -7因此，函数 f(-3) 的值为 -7。
2. 高三数学题目二题目：已知正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 P 在 AB 边上，且AP:PB = 1:2，求点 P 到直线 BD 的距离。
解答：根据正方形的特性，可以知道直线 BD 是正方形 ABCD 的对角线。
由于点 P 在 AB 边上，且 AP:PB = 1:2，可以将 AP 的长度设为 x，则 PB 的长度为 2x。
根据勾股定理，可以求得 BP 的长度：BP = √(AB^2 + AP^2)= √(4^2 + x^2)同样地，可以求得 BD 的长度：BD = √(AB^2 + AD^2)= √(4^2 + 4^2)= √(16 + 16)= √32根据正方形的对称性，可以知道 BP 的长度与 PD 的长度相等，即BP = PD。
因此，点 P 到直线 BD 的距离为 PD 的长度，可用勾股定理计算：PD = √(BD^2 - BP^2)= √(32 - (4^2 + x^2))得出点 P 到直线 BD 的距离的表达式。
3. 高三数学题目三题目：已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像过点（1，3），且在 x 轴上的截距为 2，求该二次函数的解析式。
解答：已知图像过点（1，3），代入二次函数的解析式，可以得到方程：3 = a(1^2) + b(1) + c= a + b + c再由截距为 2，可以得到方程：0 = a(2^2) + b(2) + c= 4a + 2b + c解方程组 a + b + c = 3 和 4a + 2b + c = 0 可得：a = -1,b = 1,c = 3因此，该二次函数的解析式为 y = -x^2 + x + 3。
高三数学习题解析与讲解
高三数学习题解析与讲解在高三数学学习中，学生面临着各种各样的数学题目，这些题目既有理论性的问题，也有实践性的问题。
为了帮助同学们更好地理解和解决这些数学习题，本文将针对几个典型的高三数学习题进行解析与讲解，希望能够给高三学生们提供一定的帮助。
题目一：已知函数 $f(x) = \frac{2-x}{1+x}$，求 $f(x)$ 的极值。
解析与讲解：首先我们需要求出函数$f(x)$ 的导数。
令$f'(x) = 0$，求解方程 $f'(x) = 0$，可以得到函数的极值点。
首先求导数：$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{2-x}{1+x})$根据导数的定义，可以使用商规则进行求导。
$f'(x) = \frac{(1+x)(-1)-(2-x)(1)}{(1+x)^2}$化简后得到：$f'(x) = \frac{-3}{(1+x)^2}$要使得 $f'(x) = 0$，则分母 $(1+x)^2$ 必须为正数，所以方程没有实数解，即函数 $f(x)$ 没有极值点。
因此，根据函数的特性，函数 $f(x)$ 在整个定义域上没有极值点。
题目二：已知三角形 ABC 中，$AB=AC$，角 BAC 的度数为 40°，BC 的长度为 10cm，求三角形 ABC 的面积。
解析与讲解：我们可以利用正弦定理和面积公式来求解这个问题。
根据正弦定理，我们可以得到：$\frac{AB}{\sin \angle BAC} = \frac{BC}{\sin \angle ABC}$由于 $AB=AC$，即 $\angle ABC = \angle ACB$，代入已知数据可得：$\frac{AB}{\sin 40°} = \frac{10}{\sin 2\angle ABC}$进一步化简得到：$\frac{AB}{\sin 40°} = \frac{10}{2\cdot\sin \angle ABC \cdot \cos\angle ABC}$由于 $\angle ABC = \angle ACB$，所以可以将 $\sin \angle ABC \cdot \cos \angle ABC$ 表示为 $\frac{1}{2}\sin 2\angle ABC$，代入得到：$\frac{AB}{\sin 40°} = \frac{10}{\frac{1}{2}\sin 2\angle ABC}$进一步化简可得：$AB = \frac{10 \cdot \sin 40°}{\frac{1}{2}\sin 2\angle ABC}$由于 $\angle BAC = 40°$，所以 $\angle ABC = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$。
高三数学解答题解析
高三数学解答题解析在高三数学学习中，解答题是一个关键部分，要求学生能够运用所学知识，准确地解决问题。
本文将通过具体案例分析，详细解析高三数学解答题的解题思路和方法。
案例一：解析一元二次方程的解求解方法题目：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求方程的解。
解析：对于一元二次方程，我们有多种方法来求解。
一种常用的方法是配方法。
步骤一：观察方程的形式，发现方程的三项系数分别为1，-5，6。
根据配方法，我们需要找到两个数，它们的和为-5，乘积为6。
步骤二：根据上述条件，我们可以得出这两个数为-2和-3。
即-2 + (-3) = -5，(-2) * (-3) = 6。
步骤三：使用配方法重写方程，并根据因式分解的原理化简方程。
(x - 2)(x - 3) = 0步骤四：根据零因子法则，得出方程的解x = 2和x = 3。
因此，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x = 2和x = 3。
案例二：解析概率的计算方法题目：一个有10个红球和5个蓝球的袋子，从中随机取出两个球，求取出的两个球一个红一个蓝的概率。
解析：对于概率的计算，我们需要根据所给条件，确定事件的总数和有利事件的数目。
步骤一：袋子中总共有15个球，所以从中取出两个球的总数为C(15, 2)。
步骤二：确定有利事件的数目。
从10个红球中取出一个，从5个蓝球中取出一个，即可得到一个红球一个蓝球的组合数目为C(10, 1) * C(5, 1)。
步骤三：根据概率的计算公式，概率 = 有利事件的数目 / 总事件的数目。
概率 = C(10, 1) * C(5, 1) / C(15, 2)步骤四：根据组合公式计算，并化简得概率值。
概率 = 10 * 5 / (15 * 14 / 2)概率 = 1/3因此，取出的两个球一个红一个蓝的概率为1/3。
综上所述，我们通过两个具体的案例，对高三数学解答题的解题思路和方法进行了详细解析。
通过合理运用所学知识和方法，我们可以准确解答各种数学问题，提高数学解答能力。
人教版高三教材中的习题解析与解答技巧
人教版高三教材中的习题解析与解答技巧第一章：数学在高三数学学习中，习题解析与解答技巧是提高学生学习效果的关键之一。
下面将从人教版高三教材中的数学章节中选取几个典型习题，详细解析题目，并分享解答技巧，帮助同学们更好地应对考试。
一、函数例题1：已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值和最小值。
解析与解答技巧：1. 首先，求出函数的一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$；2. 然后，求出函数的驻点和临界点；3. 接下来，通过一阶导数的正负性和二阶导数的正负性，确定函数在各个区间的单调性和凹凸性；4. 最后，结合临界点和函数的单调性、凹凸性，求出函数在给定区间上的最大值和最小值。
例题2：已知函数$f(x) = \log{(1+x)}$，求函数$f(x)$的反函数。
解析与解答技巧：1. 首先，确定函数$f(x)$的定义域和值域；2. 然后，通过对函数进行水平和垂直翻转，求得函数$f(x)$的反函数。
二、概率与统计例题1：班级有60人，其中40人擅长数学，30人擅长英语，20人既擅长数学又擅长英语。
随机选择一名学生，求该学生擅长数学或擅长英语的概率。
解析与解答技巧：1. 首先，根据题目给出的数据，画出集合图，并确定所求事件；2. 接下来，利用集合运算公式，求出所求事件的概率。
例题2：已知某种产品的长度服从正态分布$N(10,0.5^2)$，求该产品长度在9.5到10.5之间的概率。
解析与解答技巧：1. 首先，根据正态分布的性质，将给定的正态分布转化为标准正态分布；2. 接下来，利用标准正态分布的累积分布函数，求出所求事件的概率。
三、解析几何例题1：已知平面$Ax+By+Cz+D = 0$与平面$Ax+By+Cz+D' = 0$垂直，求证$D-D'$等于两平面的距离。
解析与解答技巧：1. 首先，利用平面的法向量与平行垂直关系的性质，判断两平面是否垂直；2. 接下来，利用两平面的法向量，求出两平面的距离公式，并证明$D-D'$等于两平面的距离。
高三数学学习中的经典习题解析
高三数学学习中的经典习题解析高三学生在备战数学考试时，经典习题的解析是非常重要的。
本文将为大家分享几个高三数学经典习题的解析，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。
一、函数与极限1. 题目：已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(-1)的值。
解析：将x替换为-1，代入函数f(x)的表达式中，则有f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2。
2. 题目：函数f(x) = (x - 1)^2 + 2在x = 3处的极限是多少？解析：当x趋近于3时，函数f(x)趋近于[(3 - 1)^2 + 2] = 6。
二、三角函数与三角恒等式1. 题目：已知sinθ = 3/5，求cosθ的值。
解析：根据三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，可得cos^2θ = 1 - sin^2θ = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25。
由此可得cosθ = ±sqrt(16/25) = ±4/5。
根据给定的信息sinθ > 0，因此cosθ = 4/5。
2. 题目：已知sinθ + cosθ = 1，求sin(π/4 - θ)的值。
解析：利用三角恒等式sin(π/4 - θ) = sinπ/4·cosθ - cosπ/4·sinθ =(1/√2)·cosθ - (1/√2)·sinθ，代入已知条件sinθ + cosθ = 1，可得sin(π/4 - θ) = (1/√2)·(cosθ - sinθ) = (1/√2)·(1 - 2sinθ)。
由已知条件sinθ + cosθ = 1，可推导出sinθ = 1 - cosθ。
代入该式，可求得sin(π/4 - θ) = (1/√2)·(1 - 2(1 - c osθ)) = (1/√2)·(2cosθ - 1)。
高三数学典型习题解析
高三数学典型习题解析随着高考的临近，高三学生们正面临着大量的数学习题。
为了帮助各位同学更好地应对高考数学，本文将针对一些典型的高三数学习题进行详细解析和讲解，希望能对大家有所帮助。
1. 习题一：已知a和b是实数，满足方程组：(1-a^2)/(1+a^2) = b/(1+b^2)(1-b^2)/(1+b^2) = a/(1+a^2)求a和b的值。
解析：我们可以尝试将两个方程进行整理。
首先，将方程(1)两边乘以1+a^2，得到：1 - a^2 = ab同理，将方程(2)两边乘以1+b^2，得到：1 - b^2 = ab接下来，我们将这两个方程相减，得到：a^2 - b^2 = 0(a+b)(a-b) = 0由此可得，a = b 或 a = -b。
当a = b时，代入方程(1)或方程(2)中任意一个，可得a = b = 1。
当a = -b时，代入方程(1)或方程(2)中任意一个，可得a = b = -1。
综上所述，方程的解为a = b = 1或a = b = -1。
2. 习题二：已知一元二次方程x^2 - 8x + k = 0的两个根为3和m，求k和m的值。
解析：根据一元二次方程的性质，已知的两个根分别是3和m，那么我们可以得到以下两个方程：3 + m = 8 (根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a))3m = k (根据乘积公式：x1 * x2 = c/a)解方程组，可以得到m = 5和k = 15。
3. 习题三：已知函数f(x) = x^2 + bx + c，其中f(1) = 5，f(2) = 2，求函数f(x)的解析式。
解析：根据已知条件，我们可以得到以下两个方程：b +c = 4 (代入x = 1，得到f(1) = 1 + b + c = 5)4 + 2b + c = 2 (代入x = 2，得到f(2) = 4 + 2b + c = 2)解方程组，可以得到b = -3和c = 7。
高三数学每日真题答案解析
高三数学每日真题答案解析数学是高中阶段的一门重要学科，也是备考高考的重点科目之一。
为了帮助高三学生更好地备考数学，提高解题能力，每天使用数学真题进行练习是十分有效的方法。
下面我们就来分享一些高三数学每日真题的答案解析，帮助大家更好地理解题目。
一、解题方法的重要性在备考高考数学时，解题方法的掌握非常关键。
尤其是对于高三学生来说，时间紧张，解题方法能帮助他们快速准确地解决问题。
解题方法的选择和应用是需要经验和技巧的。
因此，在每日真题的解答过程中，我们要注重解题方法的讲解。
二、题目类型的分析高考数学题目涉及的知识点众多，题型种类也非常丰富。
在每日真题的解答过程中，我们可以针对某个知识点或题型进行分析和讲解。
例如，我们可以选择一些常见的代数题，如一次函数、二次函数、指数函数等进行解析。
通过对不同题型的解析，可以帮助学生更好地掌握解题思路，提高解题能力。
三、错题分析与讲解在做题过程中，可能会遇到难以解答或者答案错误的情况。
对于这些题目，我们可以进行错题分析与讲解。
即确定错误的原因，并给出正确的解题思路和方法。
这样可以帮助学生认识到自己的错误，并引导他们找出解题方法上的问题，提高解题能力和思维能力。
四、经典题目的分享高三数学考试中，会出现一些经典题目，这些题目可能在考点上有一定的独特性和难度。
对于这些经典题目，我们可以进行详细的解析和讲解。
例如，可以从题目的出发点、解题过程、解题技巧等方面进行分析，增加对知识点的理解和掌握。
五、综合能力的培养数学不仅仅是记忆和应用知识点，还需要培养学生的综合能力。
在每日真题的解答过程中，我们也可以适当引入一些综合题目，这些题目能够考察学生的思维能力、逻辑思维和分析能力。
通过解答这些综合题目，学生能够提高解题的综合能力，提升备考效果。
六、巩固知识点的训练通过每日真题的解答过程，可以对之前学过的知识点进行巩固和复习。
对于已经学过的知识点，通过对题目的分析和讲解，可以巩固记忆，加深理解。
数学题高中题带答案解析
数学题高中题带答案解析一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b/a的取值范围。
答案解析：由题意知，f(x)在x=1处取得极小值，因此f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) = 2a + b = 0，从而得到b = -2a。
由于a>0，所以b<0。
因此，b/a = -2。
2. 一个等差数列的前三项分别是2x-3，4x-1和10-3x，求x的值。
答案解析：由等差数列的性质可知，第二项减去第一项等于第三项减去第二项，即(4x-1) - (2x-3) = (10-3x) - (4x-1)。
化简得2x + 2 = 7 - 7x，解得x = 1。
3. 已知一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，且d<r/2，求圆上到直线距离最大的点到直线的距离。
答案解析：圆心到直线的距离d是圆心到直线垂线段的长度。
由于d<r/2，根据勾股定理，圆上到直线距离最大的点实际上就是圆心投影点到直线的那一侧的圆上点。
因此，该点到直线的距离为半径r与圆心到直线垂线段d之和，即r + d。
二、填空题1. 若一个等比数列的前三项分别为a, b, c，公比为q，那么该数列的通项公式为______。
答案解析：等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)，其中an表示第n项，a为首项，q为公比。
2. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标为______。
答案解析：点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标可以通过交换A点的x和y坐标得到，即B(3,2)。
三、解答题1. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求g(x)的单调区间。
答案解析：首先求函数g(x)的导数g'(x) = 3x^2 - 6x - 9。
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第88题：2020届江苏省汇文中学高三期中考试
2019年11月26日每日一题编辑：安徽马鞍山罗亮
向量数量积中的投影问题
在ABC 中，已知AD 为边BC 上的高，AE 为BAC ∠的平分线，1444,,25AB AD AE =⋅= 487AB AE ⋅=，则AB BC ⋅= . 答案：16−.
解法一：投影、相似
由向量投影可知：214412255
AE AD AD AD ⋅==⇒=， 过点E 作EF 垂直于AB ，交AB 于点F ，
则481277
AB AE AB AF AF ⋅=⋅=⇒=， 又4AB =，则可知1216477BF =−
=， 在Rt ABD 中，33sin tan 54
AD B B AB ==⇒=， 又在Rt BEF 中，312tan 47EF B EF BF =
=⇒=， 发现AF EF =，所以AEF 是等腰直角三角形，
45BAE ∠=，又AE 是BAC ∠角平分线，所以90BAC ∠=，
可得2
16AB BC AB ⋅=−=−.
解题教师：湖南岳阳谷春凡、吉林吉林崔灿、辽宁盘锦孙中秋、江苏省东海高级中学周希银、辽宁姜昱、安徽马鞍山罗亮
解法二：建系
由向量投影可知：214412255AE AD AD AD ⋅==⇒=， 在Rt ABD 中，由勾股定理可得： 22165BD AB AD =−=，
如图所示建立平面直角坐标系，可知：
()0,0D ，120,5A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，16,05B ⎛⎫
− ⎪⎝⎭，
设点(),0E m ，121612,,,555AE m AB ⎛⎫
⎛⎫
=−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
4812735AE AB m ⋅=⇒=，所以点12
,035E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，
1203516405AB k −==⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12
571235
AE k ==
，
tan 11AE AB
AE AB
k k BAE k k −∠==+⋅，所以45BAE ∠=，
又AE 是BAC ∠得平分线，可知90BAC ∠=，
4
3AC AB AC l l k ⊥⇒=−，
412:35AC l y x =−+，得点C 的坐标为9,05⎛⎫
⎪⎝⎭，
()5,0BC =，所以16AB BC ⋅=−.
解题教师：四川遂宁邹定奇、江苏盐城王教龙、安徽马鞍山罗亮
解法三：投影、角平分线定理
①()2144
25AD AE AD AD DE AD ⋅=⋅+==，
12
5AD ∴=，
②()448
16457AB AE AB AB BE BE ⎛⎫
⋅=⋅+=+⨯⨯−= ⎪⎝⎭，
20
7BE ∴=，
③AE 是角平分线，设,CD x AC y ==，
则由角平分线定理可知：162012
5735BE
AB EC EC AC =⇒=−=，
即202044771235EC AC y ===，可得222212725571440525125y x x x y x ⎧=+⎪⎪⇒+−=⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
， 解得95x =，即169555
BC =+=， ④()cos 16AB BC AB BC B π∴⋅=⋅⋅−=−.
解题教师：浙江宁波黄小惠、江苏苏州张峰、上海静安邱敏、河南省开封市李世延、阜新市张建华
解法四：投影、等面积法
214412255
AD AE AD AD ⋅==⇒=， 487AB AE AB AF ⋅=⋅=
，可得1216,77AF BF ==， 222127BE AD AB EF EF AF BF BE EF ⋅=⋅⎧⇒==⎨=−⎩
， 45BAE ∴∠=，可得90BAC ∠=，
()2
16AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅−=⋅−=−. 解题教师：辽宁盘锦孙中秋
解法五：向量基底、投影
214412255
AD AE AD AD ⋅==⇒=， 又4AB =，在Rt ABD 中，有勾股定理可知165
BD =， 又()2
2AB AE BA EA BA BA BE BA BA BE BA BD BE ⋅=⋅=⋅−=−⋅=−⋅， 可得207BE =，又1235
ED BD BE =−=， 在Rt AED 中，由勾股定理可得127AE =
， 在ABE 中，由余弦定理可得45BAE ∠=，
得90BAC ∠=，
2
16AB BC BA BC AB ⋅=−⋅=−=−. 解题教师：安徽安庆万聂才
评论与赏析：
本题作为填空题第十四题出现在江苏省高三上学期期中考试，难度适中.考查学生利用向量投影知识解决向量的数量积问题，又涉及三角形的角平分线，有一定的灵活性.但解答方法不唯一，考场上实在不行可以举特例或者建系求解.。