2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章复习学案(含解析)新人教版必修1
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质教案 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质教案 新人教A 版必修1教 学 目 标知识与技能 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与性质，能比较简单的大小过程与方法 通过观察图像，分析归纳对数函数性质，培养学生的抽象概括能力，渗透数形结合思想和特殊到一般思想。
情感与价值 利用已有经验研究对数函数，树立学生自信心，及克服困难的品质重点 理解并掌握对数函数的概念，图像和性质 难点如何由图像归纳出对数函数的一般性质教学过程 设计意图 一、情景设置细胞分裂过程中，用y 表示细胞个数，关于分裂次数x 的表达式为xy 2= 如果把这个指数式转换成对数式应为y x 2log =，但习惯上用x 表示自变量，y 表示它的函数，应该表示为：x y 2log =问1：形如x y x y 212log ,log ==的函数叫做对数函数，他们有什么共同特征？函数右边是对数式，底数是常数，自变量x 在真数位置上 二、新课讲授 1、对数函数的定义一般地，函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，其中x 是自变量， 问2：为什么规定1,0≠>a a 且，对数函数的定义域是什么？ 对数函数定义域),0(+∞随堂练习：（1）、指出下列哪些是对数函数？见课件（2）、已知对数函数x m m x f m )1(2log )1()(+--=，求)27(f 的值 2、对数函数的图像与性质通过熟悉的实例，自然引出对数函数的概念问3：你能类比指数函数性质的研究方法，提出研究对数函数性质的方法吗？通过画具体的对数函数的图像，观察，分析，归纳一般对数函数的图像和性质.问4：如何画对数函数x y 2log =，x y 21log =的图像学生回顾画指数函数图像的步骤，老师给出列表取值。
问5：x y 2log =，x y 21log =图像有什么关系？可否利用x y 2log =的图像画出x y 21log =的图像？总结出两个对数函数关于x 轴对称时其解析式的特点，并利用轴对称性画对数函数的图像。
2019-2020学年高一数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 小结复习(1)学案.doc
2019-2020学年高一数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 小结复习（1）学案【教学目标】1.通过复习巩固指数与对数的运算性质。
2.通过复习进一步掌握指数函数和对数函数以及幂函数的图像和性质，并会应用它们的图像和性质来解决问题。
【重难点】：重点：指数函数和对数函数的图像和性质。
难点：它们的图像和性质的应用。
【导学过程】 （一）自主学习(1)掌握分数指数幂的意义：=nm a ______，=-nm a______ （1,,0*>∈>n N n m a 且、）(2)掌握指数式与对数式的关系：⇔=N a b________(01,0>≠>N a a ，且) (3)指数的运算性质：___)(___,)(___,===⋅rs r s r ab a a a ，其中0,0>>b a (4)对数的运算性质：===nM aMN a NMa log _________,log _________,log )(_____(Rn ∈)，其中0,0,1,0>>≠>N M a a 且(5)对数恒等式：0,10____,log __,log log 1>≠>===N a a a Na aa a 且，其中 (6)指数函数)10(≠>=a a a y x且的图像和性质： 10<<a1>a图 像定义域 值域 定点 单调性函数值特征 当x>0时，____；当___时，y>1当x>0时，____；当___时，___对称性函数xa x y a y )(1==与的图像关于_____对称趋近趋势a 值越__,图像越靠近x 轴，y 轴 a 值越__,图像越靠近_________班级： 小组： 姓名： （二）小组交流学习(7)对数函数)10log ≠>=a a x y a 且（的图像和性质：底数 10<<a1>a图 像定义域值域 定点 单调性函数值特征 当<0x<1时，____；当x>1时，y___ 当0<x<1时，____；当x>1时，y___对称性 函数x y x y aa 1log log ==与的图像关于_____对称趋近趋势a 值越__,图像越靠近x 轴，y 轴a 值越__,图像越靠近_________反函数：指数函数xa y =与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）互为反函数 (8)幂函数常见的幂函数132,,,,21-=====x y x y x y x y x y 的图像和性质一般幂函数的图像和性质：(1)所有的幂函数αx y =在）（+∞,0都有定义，并且图像都过点_____x y =2x y = 3x y = 21xy = 1-=x y 定义域 值域奇偶性 在第一象限的增减性定点(2)0>α时，幂函数的图像都通过原点，并且在),0[+∞是____函数，特别地，当1>α时，αx y x =∈),1,0(的图像都在x y =图像的下方，形状向___凸，α越大，下凸的程度____当10<<α时，αx y x =∈),1,0(的图像都在x y =图像的__方，形状向___凸，α越小，上凸的程度____班级： 小组： 姓名：(3)0<α时，幂函数的图象在区间）（+∞,0上时___函数 （三）课堂知识整合(1)指数与对数的运算问题 例1计算（1）323431)()32(28)(5.132625.0067--⨯+⨯+-⨯-（2）42132log )2log 2)(log 3log 3log 9384-++（（四）课堂训练评价计算：5lg 5lg 2lg )2(lg 38501.024log 0321++++⎪⎭⎫⎝⎛----小结：准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数运算的优越性． 利用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”． (2)比较大小问题例2：比较下列各组数的大小①7.067.067.0,6log 与 ②3log 2,5log 324 ③8.07.02.1,8.0小结：在比较大小时，应先区分是正b a a log log 21与还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较，要注意指数函数与幂函数单调性在应用上的区别，若是同底幂比较大小，则利用指数函数的单调性；若是同指数幂比较大小，则利用幂函数的单调性． (3)指数函数、对数函数及幂函数的图像和性质 例3如下图所示，函数x x f 2log 1)(+=与12)(+-=x x g 在同一坐标系下的图像大致是 （ ）班级： 小组： 姓名：例4方程)10(log ≠>=-a a x a a x 且的实数解得个数为_______个（提示：用数形结合来做，注意讨论a 的大小） （五）课外拓展训练 1方程x x -=+)2(log 2的实数解有______个2设20≤≤x ，52·34)(21+-=-x x x f 求函数的最大值和最小值3.求函数124+-=--x x y 在]2,3[-∈x 上的最大值与最小值小结：注意数形结合，本章的内容中，图象占有很大的比重，函数的图象在研究函数的性质时起到了很重要的作用，因此在学习中要特别注意利用函数图象，心中不但有“数”，而且还要有“图”．记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯．在复习时要注意在比较与鉴别中学习，注意指数与对数运算法则的对比；指数函数与对数函数性质的对比。
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质教案 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质教案新人教A版必修11.知识与技能(1)理解对数函数的概念;(2)掌握对数函数的性质,了解对数函数在生产实际中的简单应用.(3)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.2.过程与方法(1)培养学生的交流能力和与人合作的精神;(2)用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想.3.情感、态度与价值观(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的联系,激发学生的学习兴趣;(2)在教学过程中,通过对对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.重点:对数函数的定义、图象和性质,对数函数性质的初步应用.难点:底数a对图象的影响.重难点的突破:由指数函数的图象过渡到对数函数的图象,通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键,在教学时一定要使学生的思考紧紧围绕图象、数形结合,加强直观教学,使学生形成以图象为根本,以性质为主体的知识网络.同时,在例题的讲解中,重视加强题组的设计和变形,使教学真正体现出由浅入深,由易到难,由具体到抽象的特点,从而突出重点、突破难点.1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为()A.-1B.-2C.1D.2解析:f(3)=f(2)-f(1)=[f(1)-f(0)]-f(1)=-f(0)=-log24=-2.答案:B2.若f(x)=log3(3x+1)+ax是偶函数,则a的值为. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),即log3a=log34+ a.解得a=-1.答案:-1。
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2.1 对数函数及其性质学案(含解析)新人教版必修1
2.2.2 对数函数及其性质(第一课时)学习目标①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律;②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.合作学习一、设计问题,创设情境在研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题(1个细胞一次分裂为2个细胞),某种细胞分裂时,得到的细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x表示.现在,我们来研究相反的问题,要想得到1万个,10万个,…细胞,1个细胞要经过多少次分裂?二、自主探索,尝试解决经过分析,发现分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式.如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数是.三、信息交流,揭示规律1.对数函数的定义问题1:请同学们类比“指数函数”的定义,给出“对数函数”的定义.问题2:在函数的定义中,为什么要限定a>0,且a≠1?问题3:为什么对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域是(0,+∞)?2.对数函数的图象与性质x的图象(师生一起用几何画板画出图象).问题4:画出函数y=log2x与y=lo g12x的图象有什么关系?并且说明这两个函数的相同性质和不同问题5:y=log2x与y=lo g12性质.问题6:选取底数a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,看看是否还有类似于问题5中的结论.x(a>0,且a≠1)的图象问题7:由问题5和问题6的结论,试猜测函数y=log a x与y=lo g1a之间有怎样的位置关系?并证明你的结论.问题8:由问题5和问题6的结论,结合指数函数的性质,试猜测函数y=log a x (a>0,且a ≠1)有怎样的性质.先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质.(投影)四、运用规律,解决问题【例1】求下列函数的定义域(1)y=log a x 2;(2)y=log a (4-x );(3)y=log a (9-x 2).【例2】比较下列各组数中两个值的大小:(1)log 23.4,log 28.5;(2)log 0.31.8,log 0.32.7;(3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,且a ≠1).小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:①②③小结2:分类讨论的思想.五、变式演练,深化提高1.求下列函数的定义域:(1)y=log 3(1-x );(2)y=1log 2x ; (3)y=log 711-3a ;(4)y=√log 3x .2.函数y=log a(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.3.已知函数y=log a(x+1)(a>0,a≠1)的定义域与值域都是[0,1],求a的值.4.让学生每人各编一个关于对数函数的定义域的题和单调性的题.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获吗?1.2.3.七、作业精选,巩固提高1.课本P74习题2.2A组第7,8,10题;2.继续完成课堂上自编的尚未解决的求定义域和单调性的题目;3.已知log m7<log n7<0,按大小顺序排列m,n,0,1;4.已知0<a<1,b>1,ab>1.比较log a1a ,log a b,log b1a的大小;参考答案一、设计问题,创设情境10000=2a1,100000=2a2,…二、自主探索,尝试解决x=log2y y=log2x三、信息交流,揭示规律问题1:一般地,我们把函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).问题2:根据对数式与指数式的关系,知y=log a x可化为a y=x,由指数的概念,要使a y=x有意义,必须规定a>0且a≠1.问题3:因为y=log a x可化为x=a y,不管y取什么值,由指数函数的性质知,a y>0,所以x∈(0,+∞).问题4:通过列表、描点、连线作y=log2x与y=lo g12x的图象:问题5:y=log2x与y=lo g12x的图象关于x轴对称;相同性质:两图象都位于y轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且x=1时,y=0.不同性质:y=log2x的图象是上升的曲线,y=lo g12x的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞)上是减函数.问题6:分别取a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出对数函数y=log3x,y=lo g13x,y=log4x,y=lo g14x的图象.图象如右:有类似于问题5中的结论.问题7:函数y=log a x与y=lo g1ax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.证明如下:y=lo g1a x=-log a x,又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log a x与y=lo g1ax的图象关于x轴对称.问题8:(0,+∞) R(1,0) 1 0 增减四、运用规律,解决问题【例1】(1){x|x≠0};(2){x|x<4};(3){x|-3<x<3}.【例2】(1)log23.4<log28.5(2)log0.31.8>log0.32.7(3)a>1时,log a5.1<log a5.9;当0<a<1时,log a5.1>log a5.9.小结1:①确定所要考查的对数函数;②根据对数、底数判断对数函数的单调性;③比较真数大小,然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.小结2:对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.五、变式演练,深化提高1.解:(1)由1-x>0,得x<1,故所求函数定义域为{x|x<1};(2)由log2x≠0,得x≠1,又x>0,故所求函数定义域为{x|x>0,且x≠1};(3)由{11-3a>0,1-3a≠0,得x<13,故所求函数定义域为{x|x<13};(4)由{a>0,log3x≥0,得{a>0,a≥1,则x≥1,故所求函数定义域为{x|x≥1}.2.(0,-2)3.24.略六、反思小结,观点提炼1.学习了对数函数的定义、图象与性质;2.用到了类比的思想方法;同时,更近一步熟悉了研究函数的方法和步骤;3.学习了用对数函数的图象与性质解对数典型题的基本方法.七、作业精选,巩固提高3.0<n<m<14.log a b<log b1a <log a1a。
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)复习学案 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）复习学案 新人教A 版必修1一．要点精讲1．指数与对数运算⑴根式的概念①定义： ②性质：1）=n n a )( 2）=n n a ⑵幂的概念①规定1）=n a (∈n N *) 2）)0(0≠=a a 3）=-p a 4）=n m a②性质1）=⋅s r a a 2）=s r a )( 3）=⋅r b a )( ⑶对数的概念:①定义： 1）常用对数 2）自然对数 ②基本性质1）真数N 2）=1log a 3）=a a log 4）对数恒等式=N a alog ③运算性质1）=)(log MN a 2）=NM a log 3）=n a M log ④换底公式=N a log 1）=⋅a b b a log log 2）=n a b m log2．指数函数、对数函数与幂函数⑴指数函数：①定义： ②图像： ③性质：⑵对数函数：①定义： ②图像： ③性质：⑶幂函数： ①定义： ②图像： ③性质：二．典例解析例1．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解．例2．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．例3．一个幂函数)(x f y =的图象过点(3, 427),另一个幂函数)(x g y =的图象过点)2,8(--, ⑴求两函数的解析式；⑵判断两函数的奇偶性；⑶作出两函数的图象，并观察出)()(x g x f <的解集.三．巩固练习1．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，____________ 2．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是___________________ 3.若函数()()23log +-=x x f a 过定点4．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为5．设函数|1||1|2)(--+=x x x f 则不等式22)(≥x f 的解集为_____________________ 6．已知32121=+-xx ，则22332223x x x x --+-+-的值为______________ 7．函数2log 2.0-=x y 的定义域是____________________ 8．已知()lg()x x f x a b =-（01>>>b a ）． ⑴求)(x f 的定义域； ⑵判断)(x f 的单调性； ⑶若)(x f 在),1(+∞内恒为正，试比较b a -与1的大小．9． 求值：()02log 2134297249164221ln 8120lg 5lg 2lg 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙+-10．设A 、B 是函数x y 2log =图象上两点, 其横坐标分别为a 和4+a , 直线2:+=a x l 与函数x y 2log =图象交于点C , 与直线AB 交于点D ．⑴求点D 的坐标；⑵当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的范围．11．函数)32(log )(221+-=ax x x f ,⑴若定义域为R ，则_____∈a ；（2）若值域为R ，则______________∈a ;（3）_________∈a 时,)(x f 在),1[+∞-上有意义；（4）_______∈a 时,函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞;（5）结合（3）（4）两问，可得实数_________∈a 时，)(x f 的值域为]1,(--∞；（6）实数_________∈a 时，)(x f 在]1,(-∞内是增函数．。
2019-2020年高中数学 第二章 基本初等函数(I)学案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第二章基本初等函数（I）学案新人教A版必修1[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．[化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为n a (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－na ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题] 问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？ 提示：2，－2,2.问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](na )n与na n的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有na n＝(na )n＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有na n＝(na )n＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a－3有意义，则a－3≠0，即a≠3.∴a的取值范围是{a|a≠3}．[答案] (1)③④(2){a|a≠3}[类题通法]判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．[活学活用]已知m10＝2，则m等于( )A.102 B．－102C.210D．±102解析：选D ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±102.利用根式的性质化简求值[例2] 化简：(1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解] (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围．(2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． (1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 －3<x <1，－4 1≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n 的范围导致式子nana ∈R化简出错[典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析]31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2 [易错防范] 1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式na n的化简一定要注意n 为正奇数还是正偶数，因为na n＝a (a ∈R )成立的条件是n 为正奇数，如果n 为正偶数，那么na n＝|a |.[活学活用]当a ，b ∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．(4a －4b )4＝a －b B ．(4a ＋b )4＝a ＋b C.4a 4－4b 4＝a －b D.4a ＋b4＝a ＋b解析：选B 当且仅当a ＝b ≥0时，(4a －4b )4＝a －b ； 当且仅当a ≥0，b ≥0时，4a 4－4b 4＝a －b ； 当且仅当a ＋b ≥0时，4a ＋b4＝a ＋b .由于a ，b 符号未知，因此选项A ，C ，D 均不一定恒成立． 选项B 中，由4a ＋b 可知a ＋b ≥0，所以(4a ＋b )4＝a ＋b .故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的结果是( )A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x2＝|1－2x |，x >12，∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.[课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．a ≠2B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( ) A ．－6 B ．25－2 C ．2 5D ．6解析：选A 3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4B ．2 3C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0，∴a <b ，∴4a －b4＝|a －b |＝b －a .二、填空题6．设m <0，则(－m )2＝________. 解析：∵m <0，∴－m >0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ， 由于0＜a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3成立，只需x －3≠0即可， 即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5. 10．化简(a －1)2＋1－a2＋7a －17.解：由题意可知a －1有意义，∴a ≥1. ∴原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1) ＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.第二课时 指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确． (1) 5a 10＝5a 25＝a 2＝a 4(a >0)；(2)3a 12＝3a 43＝a 4＝a (a >0)．提示：正确．问题2：能否把4a 3，3b 2，4c 5写成下列形式： 4a 3＝a (a >0)； 3b 2＝b (b >0)； 4c 5＝c (c >0)．提示：能． [导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a ＝1a )＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． [化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r·b r(a >0，b >0，r ∈Q )． [化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x ) (x >0)B.6y 2＝y (y <0) C ．x ＝41x3(x >0)D ．x ＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式．①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －23 (b >0)； ④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x (x >0)； 6y 2＝[(y )2] ＝－y (y <0)；x ＝(x －3) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)； x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝31x (x ≠0)．[答案] C(2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a ＝a 2＋＝a . ② a a ＝a ·a ＝ a ＝()a ＝a . ③原式＝[]()b ＝b ＝b 19.④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y 3y 6x 3 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 ＝y x ·x y ·y x ＝x ·yx ·y＝y .法二：从里向外化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 ＝y 2xx 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 12＝y .[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a ＝na m和a ＝1a＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a 1a(a >0)；(2)13x ·5x 22(x >0)； (3) ab3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a . (2)原式＝13x ·()x 2＝13x ·x ＝13x＝1()x ＝1x＝x .(3)原式＝[ab 3(ab 5) ]＝[a ·ab 3(b 5) ]＝()ab ＝ab .指数幂的运算[例2] 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－0.010.5； (2)0.064－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] ＋16－0.75；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ·4ab －130.1－2a 3b －3(a >0，b >0)． [解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝4·4100·a ·a ·b ·b ＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 计算下列各式的值：(1)0.027－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－()2－10； (2)⎝⎛⎭⎪⎫8125 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－350＋160.75＋0.25； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫271 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝52－1＋16＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫32 3＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例] (12分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求： (1)x ＋y ； (2)x －y ； (3)x －y . [解题流程]求x ＋y ，x －y ，x －y 的值，应建立其与x ＋y 及xy 的关系后求解1将x ＋y ，x －y 平方后即可建立其与x ＋y 及xy 的关系；,2可利用平方差公式将x －y 分解成x ＋yx －y 求解x ＋y2＝x ＋y ＋2xy↓x －y2＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x2－y2＝x ＋y2＝x ＋y x －y[规范解答](1)()x ＋y 2＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x ＋y ＝3 2.(4分)(2)()x －y 2＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x －y ＝－ 6.(8分) (3)x －y ＝()x 2－()y 2＝()x ＋y ()x -y (10分) ＝32×(－6)＝－3×2×2×3＝－6 3.(12分)[名师批注]由x与x，y与y都具有平方关系，故可先求()x＋y2，然后求x＋y的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x<y，而得出错误答案.此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a＋a－1＝5，求下列各式的值；(1)a2＋a－2；(2)a－a.解：(1)法一：由a＋a－1＝5两边平方得：a2＋2aa－1＋a－2＝25，即：a2＋a－2＝23；法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23；(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，∴|a－a|＝ 3.∴a－a＝± 3.[随堂即时演练]1．若2<a<3，化简2－a2＋43－a4的结果是( )A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1解析：选C 由于2<a<3，所以2－a<0,3－a>0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.2．(－2ab·(－ab)6÷(－3ab)等于( )A.23ab B ．－23aC ．－23abD.23ab 解析：选A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(ab )·(a 3·b －2)÷(ab )＝23ab =23ab 注意符号不能弄错．3．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9， ∴102x －y＝102x10y ＝94. 答案：944．化简3a a 的结果是________．解析： 3a a ＝()a a ＝()a ·a ＝()a ＝a . 答案：a5．计算(或化简)下列各式： (1)42＋1·23－22·64；(2)a －b a ＋b －a ＋b －2a ·ba －b. 解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26)＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a ＋b a －b a ＋b －a －b 2a －b＝a －b －()a －b ＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b>a －b，(a b－a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x＝(9x )x，(x 9)x＝(9x )x， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 1243b a (a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：ab7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1251n －5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫51n n ＝5.答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________． 解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， ∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x；②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0；当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a >0，且a ≠1.在规定以后，对于任何x ∈R ，a x都有意义，且a x>0.指数函数的图象与性质[提出问题]问题1：试作出函数y ＝2x(x ∈R )和y ＝(12)x (x ∈R )的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？ 提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R ；值域都是(0，＋∞)；函数y ＝2x是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图 象性 质定义域R 值域 (0，＋∞)过定点 过点(0,1)即x ＝0时，y ＝1单调性是R 上的增函数是R 上的减函数[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a >1和0<a <1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a >1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0<a <1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；④y ＝x x；⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③指数函数的图象问题[例2] (1)a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.(2)法一：因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y－3＝a x－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案] (1)B (2)(3,4)[类题通法]底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则a x>b x>1；②若x<0，则1>b x>a x>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>a x>b x>0；②若x<0，则b x>a x>1.[活学活用]若函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )A．a>1且b<1 B．0<a<1且b≤1C．0<a<1且b>0 D．a>1且b≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a<1时，函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0，即b≤0，故选项D正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例3] (1)y ＝1－3x；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30， 因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x＜1，所以1－3x∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}． 因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域和值域．解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．[解题流程]求函数f x的值域，应确定函数的类型1若令t＝a x，则原函数可变为y＝t2＋2t－1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t＝a x a>0，a≠1，因此应分类确定t的取值范围令t＝a x―→分a>1和0<a<1两种情况，讨论t的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤3.∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x不具有奇偶性．3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2.4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x，与y ＝a x(0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 解析：选A ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________. 解析：∵2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1，∴2x＝21x －1，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间． 解：当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8，⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5；②⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5，⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n . [答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫57x 在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5. ②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c与bd的大小，可取a d为中间量，a c与a d利用函数的单调性比较大小，b d与a d利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小： (1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.(2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x与y ＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x与函数y ＝7x在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.[例2] (1)已知3(2)已知0.2x<25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x在R 上是增函数． 由3x≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x在R 上是减函数．又25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x >a b 的不等式，借助于函数y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>ax ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>ax ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解](1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f1＝2＋2a ＋b＝52，f2＝22＋22a ＋b＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x，f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝2－x －1·2x 2－x ＋1·2x ＝1－2x1＋2x ＝－2x－12x ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2. 故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．2．求函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t.当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t.[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x<22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：(1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.答案：12或325．设函数f (x )＝e xa ＋ae x (e 为无理数，且e≈2.718 28…)是R 上的偶函数且a >0.(1)求a 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，∴e －1a ＋a e －1＝e a ＋a e ，即1a e －a e ＝ea －a e. ∴1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ， ∴1a－a ＝0，∴a 2＝1.又a >0，∴a ＝1.(2)f (x )＝e x＋e －x，设x 1，x 2>0，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝e x 2＋e －x 2－e x 1－e －x 1＝e x 2－e x 1＋1e x 2－1e x 1＝e x 2－e x 1＋e x 1－e x 2e x 1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1e x 1e x 2.∵x 1，x 2>0，x 1<x 2，∴e x 2>e x 1且e x 1e x 2>1， ∴(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1e x 1e x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．[课时达标检测]一、选择题 1．函数y ＝2x ＋1的图象是( )。
2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1 对数学案(含解析)新人教A版必修1
第1课时对数知识点对数1．对数的概念(1)定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N.log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．(2)相关概念①底数与真数其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把log e N记为ln_N.2．对数与指数间的关系当a>0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质性质1零和负数没有对数性质21的对数是0，即log a1＝0(a>0，且a≠1)性质3底数的对数是1，即log a a＝1(a>0，且a≠1)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称a x N指数式a x＝N 底数指数幂对数式x＝log a N 底数对数真数[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a N 是log a 与N 的乘积．( )(2)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．把指数式a b＝N 化为对数式是( )A ．log b a ＝NB ．log a N ＝bC ．log N b ＝aD ．log N a ＝b 解析：根据对数定义知a b＝N ⇔log a N ＝b . 答案：B3．把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a ＝49 C ．492＝a D ．a 2＝49解析：根据指数式与对数式的互化可知，把log a 49＝2化为指数式为a 2＝49. 答案：D4．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B．4 C ．256 D ．2解析：由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4， 又x >0且x ≠1，所以x ＝4. 答案：B类型一 指数式与对数式的互化例1 (1)根据对数定义，将下列指数式写成对数式： ①3x＝127； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝64；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝116； ④512-＝15.(2)根据对数定义，把下列对数式写成指数式： ①log a 1＝0(a >0，a ≠1)； ②log 1612＝－14；③ln 10＝x .【解析】 (1)①log 3127＝x ；②log 1464＝x ；③log 12116＝x ；④log 515＝－12.(2)①a 0＝1(a >0，a ≠1)；②1614-＝12；③e x＝10.(1)把指数式转化成对数式时，应注意底数保持不变，幂作为真数，指数作为对数．(2)指数式与对数式互化过程中，应注意底数保持不变．真数与幂；对数与指数分别对应．,方法归纳指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．,跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：(1)25＝32; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4；(3)log 381＝4; (4)log 134＝m .解析：(1)log 232＝5；(2)log 124＝－2；(3)34＝81；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应． 类型二 对数基本性质的应用 例2 求下列各式中的x 的值． (1)log 2(log 3x )＝0； (2)log 5(log 2x )＝1； (3)log (3＋1)23－1＝x .【解析】 (1)因为log 2(log 3x )＝0， 所以log 3x ＝1， 所以x ＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)23－1＝23＋12＝3＋1，所以log(3＋1)23－1＝log(3＋1)(3＋1)＝1，所以x＝1.利用性质log a a＝1，log a1＝0求值．方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2 求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.多种对数求值先内到外，利用性质逐一求值．类型三对数恒等式a log a N＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3 求下列各式的值：(1)2log23＋3log32；(2)22＋log 213；(3)101＋lg 2； (4)e－1＋ln 3.【解析】 (1)因为22log 3＝3,33log 2＝2，所以原式＝3＋2＝5. (2)原式＝22×221log 3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.(4)原式＝e －1×e ln 3＝1e ×3＝3e.化成a log a N ＝N 形式，再求值． 方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为a log a N 的形式． 跟踪训练3 计算：(1)931log 42＝________；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋log 32＝________. 解析：(1)931log 42＝(912)3log 4＝33log 4＝4.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫133log 2＝3×(3－1) 3log 2＝3×(33log 2)－1＝3×2－1＝32. 答案：(1)4 (2)32不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：只有符合a >0，且a ≠1，N >0，才有a x＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．答案：C2．将⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2 B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9 D ．log 9(－2)＝13解析：根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.答案：B3．若log a 2b ＝c 则( ) A ．a 2b＝c B ．a 2c＝b C ．b c ＝2a D ．c 2a＝b解析：log a 2b ＝c ⇔(a 2)c＝b ⇔a 2c＝b . 答案：B 4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( )A ．14B ．0C ．1D ．6解析：3log 34－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.答案：B5．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n等于( )A ．3 B.34C ．9 D.92解析：由已知得a m ＝12，a n＝3.所以am ＋2n＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．求下列各式的值： (1)log 636＝________； (2)ln e 3＝________； (3)log 50.2＝________； (4)lg 0.01＝________. 解析：(1)log 636＝2. (2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 答案：(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2 7．计算： 3－π2＋ln e 2＝________.解析：3－π2＋ln e 2＝π－3＋2＝π－1.答案：π－1 8．10lg 2－ln e＝________.解析：ln e ＝1， 所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15.答案：15三、解答题(每小题10分，共20分) 9．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3；(3)log3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16.解析：(1)24＝16；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(3)(3)6＝x ；(4)log 464＝3； (5)log 319＝－2；(6)log 1416＝－2.10．计算下列各式： (1)2ln e ＋lg 1＋3log 3 2；(2)3log 34－lg 10＋2ln 1.解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1 ＝43＋1＝73. [能力提升](20分钟，40分)11．已知f (2x＋1)＝x3，则f (4)等于( )A.13log 25B.13log 23 C.23 D.43解析：令2x＋1＝4，得x ＝log 23， 所以f (4)＝13log 23，选B.答案：B12．若log (x －1)(3－x )有意义，则x 的取值范围是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1.解得1<x <3且x ≠2.即x 的取值范围是(1,2)∪(2,3)． 答案：(1,2)∪(2,3)13．求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1； (3)552log 3－＝x ； (4) (a log a b)log b c＝x (a >0，b >0，c >0，a ≠1，b ≠1)．解析：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100. (3)x ＝552log 3－＝525log 53＝253. (4)x ＝(alog a b)log b c＝blog b c＝c .14．计算下列各式： (1)10lg 3－(10)4log 1＋eln 6；(2)222log 3－＋332log 6－＋.解析：(1)原式＝3－(10)0＋6 ＝3－1＋6 ＝8.(2)原式＝22÷22log 3＋3－2·33log 6＝4÷3＋19×6＝43＋23 ＝2.。
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章复习 学习目标①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题;②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.合作学习一、复习回顾,承上启下 1.n 次方根的定义:n 次方根:如果x n =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n ∈N *. 2.n 次方根的性质(1)当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,记为 ;(2)当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数,记为 ; (3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.3.√a a a={a ;a 为奇数|a |;a 为偶数4.有理数指数幂的运算性质a n =a ·a …a ⏟ a 个a(n ∈N *);a 0=1(a ≠0);a -n =1a a (a ≠0,n ∈N *).(1)a m ·a n =a m+n(m ,n ∈Q );(2)(a m )n =a mn(m ,n ∈Q );(3)(ab )n =a n ·b n(n ∈Q ).其中a m÷a n=a m·a -n=a m-n,(a a)n =(a ·b -1)n =a n ·b -n=a aa a. 5.对数:如果a x=N (a>0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作 .其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a ≠1时,a x=N ⇔x=log a N (符号功能)——熟练转化; 常用对数:以10为底log 10N 写成 ;自然对数:以e 为底log e N 写成 (e =2.71828…). 6.对数的性质(1)在对数式中N=a x>0(负数和零没有对数);(2)log a 1=0,log a a=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);(3)如果把a b=N 中的b 写成 ,则有a log a N =N (对数恒等式). 7.对数的运算性质:如果a>0,且a ≠1,M>0,N>0,那么: (1)log a (M ·N )= ;(2)log a aa = ; (3)log a M n= ;(4)log a b=log a blog aa (a>0,且a ≠1;c>0,且c ≠1;b>0)(换底公式);(5)log a b=;(6)lo g a a b n=.8.指数函数的性质9.对数函数的性质10.反函数(1)反函数概念函数y=a x(x ∈R )与对数函数y=log a x (x ∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.(2)反函数的性质互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 11.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数 叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限;②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴;④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=aa (其中p ,q 互质,p 和q ∈Z ),若p 为奇数q 为奇数时,则y=a a a是奇函数,若p 为奇数q为偶数时,则y=a a a是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则y=a a a是非奇非偶函数;⑤图象特征:幂函数y=x α,x ∈(0,+∞),当α>1时,若0<x<1,其图象在直线y=x 下方,若x>1,其图象在直线y=x 上方;当α<1时,若0<x<1,其图象在直线y=x 上方,若x>1,其图象在直线y=x 下方.二、典例分析,性质应用 1.指数、对数运算熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础.【例1】计算下列各式的值.(1)(0.027)-13-(17)-2+(279)12-(√2-1)0; (2)lg5(lg8+lg1000)+(lg 2√3)2+lg 16+lg0.06.【例2】设4a=5b=100,求2(1a+2a)的值.【例3】(选讲)已知f (x )=4a4a +2,且0<a<1, (1)求f (a )+f (1-a )的值; (2)求f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值.说明:如果函数f (x )=aa a +√a,则函数f (x )满足f (x )+f (1-x )=1.2.指数函数、对数函数、幂函数的图象熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键. 【例4】已知c<0,下列不等式中成立的一个是( )A.c>2cB.c>(12)cC.2c<(12)cD.2c>(12)c【例5】方程2x-x 2=2x+1的解的个数为 .【例6】0.32,log 20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是( )A.0.32<20.3<log 20.3B.0.32<log 20.3<20.3C.log 20.3<0.32<20.3D.log 20.3<20.3<0.32【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)【例8】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )3.指数函数、对数函数的性质【例9】比较下列每组中两个数的大小.(1)2.10.32.10.4;(2)(15)1.3(15)1.6;(3)2.10.3(15)-1.3;(4)log51.9log52;(5)log0.70.2log0.52;(6)log42log34.【例10】求下列函数的定义域.(1)y=812a-1;(2)y=√1-(12)a;(3)y=lo g12(3x-2);(4)y=√log12(a-5).【例11】求下列函数的值域.(1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).【例12】解下列不等式.(1)12<2x-1<4;(2)log0.7(2x)<log0.7(x-1).变式:设函数f(x)={2-a(a≤0),a+1(a>0),若f(x0)<2,求x0的取值范围.4.指数、对数型复合函数的单调性指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减):u=g(x) 增增减减【例13】如果函数f (x )=(a 2-1)x在R 上是减函数,求实数a 的取值范围.【例14】求下列函数的单调区间.(1)f (x )=(12)a 2-6x +17;(2)y=log 5(x 2-2x-3).变式:求下列函数的单调区间. (1)y=5a 2-2x;(2)y=log 0.1(2x 2-5x-3).【例15】函数y=log a (x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数a 的取值范围.【例16】(选讲)求函数y=4x +2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值.【例17】求函数y=2lo g 122x-lo g 12x 2+1(14≤x ≤4)的值域.5.探究问题【例18】课本P75习题2.2B组第5题.(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?(2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?三、作业精选,巩固提高1.计算下列各式的值.(1)lo g(1+√2)(3+2√2);(2)lg25+lg2×lg50;(3)log6[log4(log381).2.求下列函数的定义域.(1)y=√1-3a;(2)y=√log23(4a+3);(3)y=11-log3(x-1);(4)y=log a(x-1)2(0<a≠1);(5)y=log(x+1)(16-4x).3.求下列函数的值域:(1)y=(13)x+2,x∈[-1,2];(2)y=log2(x2-4x-5).4.求函数y=log2a2·log2a4(x∈[1,8])的最大值和最小值.5.函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值.6.求下列函数的单调区间.(1)f (x )=2-a2+2x +8;(2)f (x )=log 4(2x+3-x 2); (3)f (x )=a a 2+2x -3(0<a ≠1).7.(1)y=lo g (a 2-1)x 是减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数f (x )=log 0.5(x 2-ax+3a )在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围; (3)已知函数f (x )=log a (2-ax )在区间[0,1]上是减函数,求实数a 的取值范围; (4)已知f (x )={(3a -1)a +4a ,a ≤1,log a x,x >1是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a 的取值范围.8.求不等式log a (2x+7)>log a (4x-1)(a>0,且a ≠1)中x 的取值范围.9.已知f (x 6)=log 2x ,求f (8).10.判断函数f (x )=lg(√a 2+1-x )的奇偶性.11.已知函数f (x )=log a 1+a1-a (a>0,且a ≠1).(1)求函数f (x )的定义域;(2)判断函数f (x )的奇偶性;(3)求不等式f (x )>0的解集.参考答案一、复习回顾,承上启下 2.(1)-√a a(2)±√a a5.x=log a N lg N ln N6.(3)log a N7.(1)log a M+log a N (2)log a M-log a N (3)n log a M (5)1log a a(6)aa log a b8.R (0,+∞) (0,1) 增 减9.(0,+∞) R (1,0) 非奇非偶 增 减 10.(2)y=x11.(1)y=x α二、典例分析,性质应用 【例1】(1)-45;(2)1. 【例2】2.【例3】(1)1;(2)500.【例4】解析:在同一坐标系中分别作出y=x ,y=(12)x ,y=2x的图象(如图),显然x<0时,x<2x<(12)x ,即c<0时,c<2c<(12)c,故选C.答案:C【例5】解析:原方程即2x =x 2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x ,y=x 2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.答案:3【例6】解析:如图,在同一坐标系中作出函数y=2x ,y=x 2及y=log 2x 的图象.观察图象知当x=0.3时,log 20.3<0.32<20.3.选C.答案:C【例7】解析:直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决.设y 1=log 3x ,y 2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除A,D.其交点P 的横坐标应在(1,3)内.又x=2时,y 1=log 32<1,而y 2=-x+3=1,且知y 1是增函数,y 2是减函数,所以交点P 的横坐标应在(2,3)内,故选C.答案:C【例8】解析:f (x )的图象过点(1,1),g (x )的图象过点(0,2),只有C 符合,故选C. 答案:C【例9】(1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<.【例10】(1)(-∞,12)∪(12,+∞);(2)[0,+∞);(3)(23,+∞);(4)(5,6]. 【例11】(1)[-15,-1];(2)[3,+∞). 【例12】(1)(0,3);(2)(1,+∞). 变式:(-1,1)【例13】(-√2,-1)∪(1,√2) 【例14】(1)减区间:(3,+∞),增区间:(-∞,3);(2)增区间:(3,+∞),减区间:(-∞,-1). 变式:(1)增区间:(1,+∞),减区间:(-∞,1);(2)减区间:(54,3),增区间:(-12,54). 【例15】(1,+∞)【例16】最大值为11,最小值为6.【例17】解:令lo g 12x=u ,∵14≤x ≤4,∴-2≤u ≤2,函数变为y=2u 2-2u+1=2(u-12)2+12(-2≤u ≤2). ∴当u=12时,y min =12;当u=-2时,y max =13.由u=12得,x=√22,由u=-2得,x=4.∴x=√22时,函数取最小值12,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[12,13].【例18】(1)y=log 2x ,y=log 0.3x ;(2)y=3x ,y=0.1x. 三、作业精选,巩固提高 1.(1)2;(2)1;(3)0.2.(1)(-∞,0];(2)(-34,-12];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2).3.(1)[199,5];(2)R .4.y min=-14,y max=2.5.126.(1)减区间:(1,+∞),增区间:(-∞,1);(2)增区间:(-1,1),减区间:(1,3);(3)a>1时,增区间:(-1,+∞),减区间:(-∞,-1);a<1时,增区间:(-∞,-1),减区间:(-1,+∞).7.(1)(-√2,-1)∪(1,√2);(2)(-4,4];(3)(1,2);(4)(17,1 3 ).8.a>1时,x的取值范围为(14,4);0<a<1时,x的取值范围为(4,+∞).9.1210.奇函数11.(1)(-1,1);(2)奇函数;(3)a>1时,(0,1);0<a<1时,(-∞,0)∪(1,+∞).。