面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用

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一次函数与面积结合问题解题技巧

一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。

当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。

本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。

一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。

通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。

若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。

二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。

矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。

如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。

三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。

四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。

解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。

将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。

接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。

将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。

在平面直角坐标系中三角形面积的求法

在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。

本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。

一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。

假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。

下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。

例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。

计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。

二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。

我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。

假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。

通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。

下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。

例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。

计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。

例谈面积法证平面几何题的简捷性

求证：＝Ｂ
Ｃ
ＢＤ＝ＤＢ
ｆＲｔＡＢＤＦＲｔ △ ＤＢＨ
ｆＤＦ＝ＢＨ
ＢＧ：ＢＨ＋ＨＧ：ＤＦ＋ＤＥ
即ＢＧ＝ＤＦ＋ＤＥ
证明二：用面积如图６．连接ＡＤ
△ ＾剪＝Ｓ删＋Ｓ出∞
即：ＡＣ・ＢＧ＝１
求证：ＢＦ＝ＣＧ
证明：如图８，连接ＥＦ、ＥＧ。ＣＥ／／ＢＧｓ＝５一（等底等高的三角形的面积相等）
・ ‘ ．
・
．
．
又‘ ． ‘ ＢＥ／／ＣＦｓ △ ＝ｓ △ （等底等高的三Ｆ
在求解平面几何问题的时候．根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系．用面积或面积间的关系表示有关线段间的关系．从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系．并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法．称之为面积法。张景中院士指出：抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学而且使几何问题求解变得更简捷、更有趣味。下面通过具体实例说明面积法证平面几何题的简捷性Ａ例１：如图１．在ＡＡＢＣ中，ＡＤ是鲋Ｃ的平分线．
２０１３年
第７期
ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
ｏ职校论坛０
科技信息
例谈面积法证平面几何题的简捷性
和玉梅（丽江师范高等专科学校，云南丽江６７４１Ｏ０）
【摘要】面积法是中学几何教学中非常重要的一种思想方法，有些几何命题本身非常平淡，但证明方法极其繁琐，有些几何命题本身难度就较大，但是从面积的角度出发，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系寻找图形中的度量关系和位置关系，就能够巧妙地找到比较简单的途径来解决问题，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜之效。本文通过举例说明面积法证平面几何题的简捷性。【关键词】面积法；平面几何题；简捷性

由一个定理的证明谈面积法在平面几何证明中的应用

＝
伽ｃ—ＳＡｏ￣ｃ—Ｊｓ１（ｓ
）＋１（｜ｓ
ｂｃ．
证明如图１，连接ＡＥ、ＢＤ、ＢＦ、ＣＥ．由三角形的面积公式Ｊｓ＝ｌ
证法３如图４，圆０是ＲｔＡＡＢＣ的内切圆，有
ｃ＝ＡＢ＝Ｆ＋ＢＥ＝（６一ｒ）＋（。一），，＝．
＝
Ｊｓ。 ∞ 一丢（ｓ。 ∞ ＋５ＡＯＡＤ）
１（ｓ。一ＳＡＯＡＤ）．
ห้องสมุดไป่ตู้ＢＦ
：
ＳＡＤＥＦ
Ｃ
＝
吉（ｓ伽一一ＳＬ，ＦＣＤ）
１（２Ｓ肼一ｓ呦 ∞）．
又ＳＡＥｏＦ＝ｓＤＥｏ＋ＳＤｏＦ—ＳａＤＥＦ
用的定理，由此可以推出多个性质，特别是可以推导
２７６０００
王召坤
中院士曾经说过：抓住面积，不但能把平面几何知识变得更容易学，而且能使几何问题的求解变得更简
洁，更有趣味下面再举几例．
出三角形相似的判定定理．人教版九年级下册没有给出证明，只是在第４１页给出 “ 经证明（这里从略） ”，学生颇感困惑．教师教学用书上（第６６页）是这样解释的： “ 由于这个定理的证明涉及无理数、极限等知识，学生尚不能理解 ” ，因此采取了 “ 学生度量相关的线段长度，发现规律，然后直接给出了定

15 求解几何问题的代数法解析

以向量数量积为工具，解决立体几何中求角度、
距离等问题，可以减少辅助线的添加，还可避开一些较复杂的空间图形，降低了解题难度，且思路明确，易于下手，过程程序化，易于接受.
利用数量积，建立平面方程是很方便的.
向量的外积
两向量的向量积与两向量的模构成的平行四边
形面积紧密联系在一起，从而运用向量积可以处理立体几何的有关面积问题. 同时，还可得到:
例5 三对偶命题：命题1 若两条直线都和第三条直线平行，则互相平行. 命题2 若两个平面都和第三个平面平行，则互相平行.
对偶规律的理论解释：同一个向量等式，不同的几何解释。对于向量等式
(a1,a2,a3)=k(b1,b2,b3)(k≠0)，(1) 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)均是直线的方向向量或均是平面的法向量时，它是两直线或两平面平行(包括重合意义下的平行)的充要条件; 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)之一为直线的方向向量，另一为平面的法向量时，它是直线与平面垂直的充要条件. 对于向量等式 (a1,a2,a3) · (b1,b2,b3)=0，(2) 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)均是直线的方向向量或均是平面的法向量时，它是两直线或两平面垂直的充要条件; 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)之一为直线的方向向量，另一为平面的法向量时，它是直线与平面平行的充要条件.
利用上述特点，一方面很多时候利用向量知识能求解
的几何问题，用复数法也可以解出. 另一方面，有时复数在解决某些几何问题（如旋转问题）时，比向量更显得方便.
4 解析法
所谓解析法，就是经过建立坐标系，设定所论
图形上有关点的坐标和曲线的方程后，将几何间题转化为代数间题，然后应用代数知识进行求解或求证，再赋予几何意义，从而获得几何证明的一种方法。

用面积法试解非面积问题

作了评点，分析认为，应用此法可太大简化解题程序。关键词平面几何面积法非面积问题中圉分类号：１３０２文献标识码：Ｂ
Ｓ △ — Ｓ △ ＢＤ一ＣＤ
有些几何问题，从题本身来看似乎与面积无关，但却可以用面积法来求解。有时甚至比其他方法更简便可行。寻求如何用面积
肋、ｃ为底的两个同高三角形，以，Ｄ所
。
＝
’
。．
由图形猜测ＡＡＤ和 △＾ｃ是否是ＢＤ
。
．
△＾雎
肋・｛・＝＋ ∞Ｐ｛～Ｆ
（ｐ）胁．：ｒ｛
分别以他、Ｃ为底的两个等高三角形呢？Ａ
・
由角平分线的性质不难得出肯定结论。此题提供了用面积法证明比例线段的方法。
证明：
上
。
。Ｂ、、．ｃＤ三点在一条直线。
．
．
ＡＡＤ与ＡＡＤ是同高的三角形ＢＣ
Ｓ △ ＢＤ一ＣＤＳ △
求证：
＝
Ａ
—
同理．
＝
Ｓ △ 一Ｓ ∞ △目ＢＤ一ＣＤ
Ｃ
。Ｓ．Ｓ △ 一 ∞
．一
证明：＿ｌＤ是ｃ上的一点，／ＡＤ与＿则＇，Ｂ／ＡＤ是同高的三角形＇Ｃ．
收稿日期：２一６１ ∞ｌ０ —２作者：王小平（蚴一）女，１．讲师
维普资讯
成都赫规矗辱专科学校学报
硪
年１月
Hale Waihona Puke 证明：＾于ＦＣ

面积法在初中数学解题中的应用-最新教育文档

面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。

其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。

学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。

平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。

面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。

文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。

在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。

通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。

这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。

对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。

一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。

与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。

早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。

在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。

中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)

解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效.一．真题链接1。

（2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为2。

（2012•东营）如图,在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是（）A. (—2，3） B 。

（2，—3） C 。

（3，-2）或（—2，3) D.(-2,3）或（2，-3） 3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm),则该几何体的侧面积为 cm ．4。

(2012•潍坊）如图，三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上，顶点A 在圆外，AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点，连接EC 、BD ． (1）求证：△ABD ∽△ACE ；(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ，CD=21，AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。

71 B 。

61 C 。

51 D 。

41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

(完整版)初二几何面积法

专题复习一、面积法何谓面积法在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。

（一）证明面积问题常用的理论依据用面积法解几何问题常用到下列性质：1、全等三角形的面积相等；2、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；3、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

一、证线段相等1、已知：△ABC 中，∠A 为锐角，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：BD=CEED C B A2、已知：等腰△ABC 中，AB=AC ，D 为底边BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.求证：DE=DF.3、（1）已知： △ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，求证：PD+PE=BF.P（2）若P 为 △ABC 的底边BC 的延长线上一点，其他条件不变，请画出图形,并猜想（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。

F ED CB AP A B C4、（1）已知等边△ABC 内有一点P ，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，垂足分别为D 、E 、F ，又AH 为△ABC 的高，求证：PD+PE+PF=AH. PH F E D C B A（2）若P 是等边△ABC 外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。

AB C DE F H P二、证角相等5、点C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接BD 、AE 交于O 点，再连接OC ，求证：∠AOC=∠BOC.1、Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上一点，连接AM ，若将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点B ′处，那么点M 到AC 的距离是。

巧用面积化难为易

ｒ－
： △∞ ＝ＳＡ
＝
．・．从而可求出ｘ１．４３＝．５
２
（）海伦公式４
为了便于掌握和应用面积法，
我们先将一些与面积有关的定理或
丽
，其中＝１・ｐ
嘲．
上述方法所采用的依据
ｚ的性质时．一把将
直角三角板的直角顶点置于平面直
角坐标系的原点Ｄ，图７两直角边如，与该抛物线交于Ａ，点，该抛物曰两对
Ａ日，ＡＣ为边分别向外作正方形ＡＢＤＥ和正方形ＡＣＧ，结Ｅ过点Ｆ连Ｇ，Ａ分别作ＢＣ和ＥＧ上的高ＡＰ和ＡＱ，求证：ＣＥ＝ＡＰＢ：ＧＡＱ：．
多项式乘以多项式．一方面可以用逐项相乘得到ａ＋ｄｂ＋ｄ另一方ｃａ＋ｃｂ．
（）个图形的面积等于它各３一部分面积的和．
如图１在矩形ＡＤｒ，，ＢＣ￣
需要特别注意的是。直角三角形的
面积求法比较特殊．一方面可以用
两直角边乘积的一半来表示。另一方面又可以用斜边与斜边上高的乘
Ｅ
线．明将三角板绕点０旋转任意角孔
度时惊奇地发现，点Ａ，连线段交的总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略

因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。

初中几何模型与解法中考几何专题：等面积法

初中几何模型与解法：等面积法教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积知识导图知识梳理方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：(1)面积计算公式(2)对于公式⑤的证明（如右图）：S=S △ABD +S △CBD===*(3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.+=又∵ABC =AC AB∴该直角三角形斜边AB上的高CD=导学一：等面积法在直角三角形的应用知识点讲解1在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：基本公式:①勾股定理:②等面积法：证明②：即：,例题1.如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?【参考答案】=2.如图，在Rt ABC (BC AC ),∠C=90°，当斜边AB =10cm，斜边AB上的高CD =4.8cm 时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?【参考答案】解：设AC =x,BC =y,(y由勾股定理：==100又∵ABC =AC AB ∴x y=48再由.得到解得：答：AC =6，BC =8同步练习1.如图，在Rt ABC,∠C=90°，且AC=24,BC=7，作ABC的三个内角的角平分线交于点P，再过点P依次作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F.(1)求证：PD=PE=PF;(2)求出：PD的值.【参考答案】（1）证明∵AP平分∠CAB，且PD⊥AB,PF⊥AC∴PD=PF同理，PD=PE综上，PD=PE=PF（2）解：C、=5设：PD=PE=PF=dABC =AC =84sp;ABC&en=APBBPC CPA 84=++d =3,PD=32.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）B、D、A、【参考答案】C 解：∵S△ABC ＝3×4−×2×3−×2×1−×2×4＝4∵BC＝＝，∴BC边长的高＝＝故选：C．导学二：等面积法在等腰三角形的应用知识点讲解1在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！例题1.如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的高BD=10cm.（1）如图1,求AB边上高CE的长；（2）如图2,若点P为BC边上任意一点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,求PM+PN的值；（3）如图3,若点P为BC延长线上任意一点,PM⊥AB于M,PN⊥AC于点N,在①PM+PN；②PM PN中有一个是定值,判断出来并求值.【参考答案】(1)由S△ABC=×AB×CE=×AC×BD∵AB=AC,BD=10∴CE=10(2)如图，连接AP由S△ABP+S△ACP=S△ABC×AB×PM+×AC×PD=×AC×BD∵AB=AC，BD=10∴PM+PN=10(3)如图，连接APPM−PN是定值理由如下：连接AP,由S△ABP−S△ACP=S△ABC×AB×PM−×AC×PD=×AC×BD∵AB=AC，BD=10∴PM−PN=102.已知等边△ABC和内部一点P，设点P到△ABC三边的AB、BC、AC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，问h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由。

“面积法”在数学解题中的应用

“面积法”在数学解题中的应用作者：张敏勇来源：《读与写·下旬刊》2011年第09期摘要: 在初中平面几何中，有一类题目，可能有多种解法，如果适当运用图形之间的面积关系，将会使问题解决途径浅显易懂，暂且称这一解决问题的方法为“面积法”，本文举例说明这一方法在解题中的应用。

面积法在数学解题中的应用是很广泛的，灵活运用这一方法，对于培养学生的思维方式，拓展解决问题的思路都是有益的。

关键词: 数学；解题方法；面积法中图分类号：G633.6 文献标识码：E 文章编号：1672-1578（2011）09-0260-011.用面积法比较线段的大小如图1,在⊿ABC中，AB＞AC，BD、CE分别是AC、AB上的高，判断CE的大小。

解：∵⊿＝1 2 AB•CE＝1 2 AC•BD;AB＞∴CE＜图2.用面积法证明勾股定理如图2，直角三角形的两条直角边是a和b，斜边是c，求证：图证明：将所给三角形如图拼接，使C，A，D在同一直线上，连接BE。

易证BC∥ED，∠BAC+∠EAD＝∴∠BAE＝∴梯形＝ 1 2 （a+b）（a+b）＝整理得3.用面积求角度已知菱形ABCD的对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边的平方，求菱形的一个钝角的大小。

解：作AE⊥BC于∵菱形＝BC•AE＝又∵AC•BD＝；BC•AE＝；菱形中BC＝∴AE＝又∵AE⊥∴∠ABE＝30°；∴∠BAD＝150°图4.用面积法证角平线定理已知⊿ABC，AD平分∠BAC，求证： AB AC ＝证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AG⊥BC于G。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥∴DE＝又∵⊿＝ 1 2 AB•DE＝⊿＝1 2 AC•DF＝∴ AB•DE AC•DF ＝AB AC ＝图4的问题，每隔多少时间发车.如果应用“设而不求”的方法.我们可设汽车的速度为，自行车的速度为，两地间每隔x分钟发一次车，则相邻两车的距离为由题意可得：20（-）①②∴20（-）∴代入①得：20（-）∴其实每一道应用题都有多种建立方程的等量关系的途径和疗法如果学生在教师的引导下，通过多种途径，应用多种方法去分析、思考。

平面几何面积法专题

专题27 面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题)解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？DEFA BC P【例2】如图，△AOB 中，∠O ＝090，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的52，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．EFAOBDC【例3】如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC .（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．GDBC A F E【例4】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F .求证：（1）1=++CF PFBE PE AD PD ；（2）2=++CFPCBE PB AD PA . （南京市竞赛试题）解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段.EPBAC DF【例5】如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DPCDDF BD DE AD ⋅⋅的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）FDABC EP【例6】如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ， DA上，且k HADHGD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比； (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．ABCDHEFG能力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 的中点，BM ⊥EC ，垂足为M ，则BM ＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD 中，P 为AB 上一点，AP ＝ 2BP ，CE ⊥DP 于E ，AD ＝a ，AB ＝b ，则CE ＝__________.（南宁市中考试题）MEADBCEDACBP1214814425CBAHGF DEQ TPR第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH 中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR ＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题）4. 在△ABC 中，三边长为3=a ，4=b ，6=c ，a h 表示a 边上的高的长，b h ，c h 的意义类似，则(a h ＋b h ＋c h )⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛++c b ah h h 111的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC 的边AB ＝2，AC ＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题）6．如图，过等边△ABC 内一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 ( )．A. 3192B. 3190C. 3194D.3196（湖北省黄冈市竞赛试题）ⅢⅠⅡEBADCRSQAPCBDBCA第5题图第6题图第7题图 7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD ＝∠DAB ＝060，AC ＝3，AB ＝6，则AD 的长是( )．A ．2 B. 212 C.3 D. 2138．如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A. 2S +6S =4SB.1S +7S =4SC. 2S +3S =4S D ．1S +6S =4SS 1S 2S 6S 7S 5S 3S 4NMAB DC9．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为1h ，2h ，3h ，△ABC 的高为h ．若点P 在一边BC 上（如图1），此时03 h ，可得结论：1h ＋2h ＋3h ＝h . 请直接用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，1h ，2h ，3h 与h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）图3图2图1MM M F E DAF E DA EDA BCPBC P BCP10.如图，已知D ，E ，F 分别是锐角△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于P 点，AP ＝BP ＝CP ＝6，设PD ＝x ，PE ＝y ，PF ＝z ，若28=++zx yz xy ，求xyz 的值．（“希望杯”邀请赛试题）EPDACBF11.如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD .（加拿大数学奥林匹克试题）DABC ER P Q E DC B A F 12.如图，在锐角△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上的三等分点. P ，Q ，R 分别是△ADF ，△BDE ，△CEF 的三条中线的交点.(1) 求△DEF 与△ABC 的面积比；(2) 求△PDF 与△ADF 的面积比；(3) 求多边形PDQERF 与△ABC 的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使m DAAHCD DG BC CF AB BE ====，若ABCD EFGH S S 四边形四边形2=，求m 的值．（上海市竞赛试题）HEFGAD CB14. 如图，一直线截△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于F ，E ，D 三点，求证：1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ．（梅涅劳斯定理）EBDA CF15．如图，在△ABC 中，已知21===FA FB EC EA DB DC ，求ABC GHI S S ∆∆的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。

巧用面积法妙解几何题

• 抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。
温故知新
填空：
1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积
为 25。
2.已为知AD为S△△AABBDC=的S△中。A线CD，则S △ABD与S △ACD的大小关系
3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形
论，并说明理由。
A
分析：此题的条件虽然发生了变化，
但是思路、方法不变，还是应用面
积法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP，由AB=BC=AC，可得正确结论：
D B
EH
F C
PD+PF－PE=AH
P
• 证角相等
例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在 AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、 AE交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.
（提示：AB︰AC=S△ABD︰S△ACD）
※7.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证： 1/a2+1/b2=1/h2（提示：a2+b2=c2）
A C
C
B
D
第6题
B AD
第7题
例2.（1）已知： △ABC中，AB=AC，P为底边
BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
BF⊥AC于F，求证：PD+PE=BF.
A
分析：此题可构造矩形来证明，但较麻
烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可
尝试面积法。连接AP，根据
F
S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合AB=AC，可得证。 D

怎样利用面积法求解线段问题

数学篇解题指南面积法是利用面积相等或成比例关系，利用面积与边、角之间的关系来解题的一种方法.它能够把两个表面看起来没有任何关系的变量关联在一起.在面对一些无从下手的线段问题时，同学们若能挖掘相关几何量与所涉及的图形的面积的内在联系，则可以收到意想不到的效果.一、利用面积法，证明线段相等图形的面积公式都是用含有线段的代数式来表示的，因此面积与线段之间可以互相转换.利用面积法证明两条线段相等，即通过证明两个三角形面积相等，然后借助三角形面积公式推导出两条线段相等.例1如图1所示，已知D 是△ABC 内∠ABC 的平分线上的一点，作AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，作CF ∥AD 交BA 的延长线于点F ，AE 、CF 相交于点G .求证：AF =CE.图1分析：若按照常规思路证明AF =CE ，需证明两个三角形全等，显然全等的证明条件不充分.由于已知图形中出现两组平行线，这样容易出现等面积的三角形，因此不妨考虑利用面积法解题.证明：如图1所示，连接DG 、DE 、DF .因为点D 是∠ABC 的平分线上的一点，所以∠ABD =∠CBD .过点D 作DH ⊥BA ，DK ⊥BC ，H 、K 为垂足，则DH =DK ，因为AE ∥DC ，CF ∥AD ，所以四边形ADCG 为平行四边形，所以S △ADG =S △CDG ，又因为AD ∥CF ，所以S △ADF =S △ADG ，所以S △ADF =S △CDG ，同理，S △CDE =S △CDG ，所以S △ADF =S △CDE ，即12AF ·DH =12CE ·DK .所以AF =CE .评注：本题借助等面积变换证明了S △ADF =S △CDE ，而这两个三角形的高DH =DK ，这样根据三角形的面积公式，即可证明它们的底边AF =CE ，目标得证.二、利用面积法，证明线段成比例我们常利用相似三角形对应边成比例来证明线段成比例.但当待证的线段在两个三角形中，又很难用三角形相似来证明时，我们可以观察这两个三角形是否在某一边上的高（底）相等，然后利用两个等底（高）的三角形的面积之比等于它们对应高（底）之比来证明线段成比例.例2如图2所示，已知在△ABC 中，BM 平分∠ABC .求证：AM MC =BABC.怎样利用面积法求解线段问题甘肃省兰州市榆中县朝阳学校蒋弟弟19数学篇解题指南图2分析：观察图形，若能过点M 作MN ⊥BA 于N ，MP ⊥BC 于P ，不难看出，△BAM 与△BCM 等高，由两个等高(同高)三角形面积之比等于他们的底之比，即可使问题得证.证明：过点M 作MN ⊥BA 于N ，MP ⊥BC 于P .因为BM 平分∠ABC ，所以MN =MP .所以S △BAM S △BCM =12BA ·MN 12BC ·MP =BA BC.又因为以AM 、MC 为底边，△BAM 与△BCM 同高，所以S △BAM S △BCM =12AM ·BM 12MC ·BM =AM MC.所以AM MC =BA BC .评注：利用面积法证明线段成比例，实际上就是借助面积公式来实现比例式的转化.本题根据三角形面积公式，得到S△BAM S △BCM =BA BC，再根据等底（高）的两个三角形面积比等于高（底）的比，得到S△BAM S △BCM =AM MC，进而得到所要求证的目标比例式.三、利用面积法，求线段的长度利用面积法求线段的长度，一般根据题意采用两种解题思路：一是若题目已知图形的面积，可直接利用面积公式构建关于所求目标线段的关系式；二是若几个图形之间存在等面积关系，则可以利用等面积法构建线段之间的关系式.最后通过求图形的高或底∠N =90°，MP ∥NO ，点Q 是MN 的中点，QR ⊥PO 于点R ，且MP =3，MQ =4，NO =9，求线段QR 的长度.图3分析：观察图形，过点P 作PS ⊥NO ，连接PQ 、QO ，不难看出线段QR 是△PQO 的高，而S △MQP +S △NQO +S △PQO =S 四边形MNPO ，这样就有12MP ·MQ +12NQ ·NO +12PO ·QR =12(MP +NO )·MN ，因为12MP 、MQ 、NQ 、NO 、PO 、MN 的值是已知的，所以直接利用面积法即可使问题迎刃而解.证明：过点P 作PS ⊥NO ,连接PQ 、QO ，所以PS =MN =8，MP =NS =3，SO =6，PO =10.因为S △MQP +S △NQO +S △PQO =S 四边形MNPO ，所以12MP ·MQ +12NQ ·NO +12PO ·QR =12(MP +NO )·MN .即12×3×4+12×4×9+12×10×QR =12×(3+9)×8，解得QR =245.评注：本题根据“S △MQP +S △NQO +S △PQO =S 四边形MNPO ”这一面积关系，建立起已知线段与待求线段之间的关系式，从而求出QR 的长度.该解法简捷、巧妙.总之，面积法是解答平面几何问题的重要方法之一，在解答线段问题中的应用相当广泛.除了上述提及的三种应用情况外，还可以利用面积法求解线段之和、线段的比值等问题.同学们应灵活运用所学知识以及掌握。

如何用面积法解决平面形问题

如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。

本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。

面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。

首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。

其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。

二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。

例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。

解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。

解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。

解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。

所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。

解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。

解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。

解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。

例谈“面积法”在“三角形角平分线模型”中的巧用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀例谈面积法三角形角平分线模型中的巧用例谈面积法在三角形角平分线模型中的巧用Һ徐乐乐㊀王玮玮㊀（深圳市龙华区外国语学校，广东㊀深圳㊀５１８０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三角形角平分线模型中蕴含同高等高的特点，巧用三角形的面积公式，可以直观㊁快速地建立起边角联系，突破难点．建构三角形角平分线模型，呈现三角形面积法在典型题中的一次㊁二次应用，结合角平分线的性质定理及逆定理可以破解难题；归纳模型的性质结论和应用题型，引导学生在解题中恰当运用三角形面积法，从而发展学生的数学思维和几何模型思想．ʌ关键词ɔ三角形面积法；角平分线的性质；几何模型一般而言，在平面几何题的求解过程中，运用三角形面积公式和由面积公式推出的相关结论来计算或者证明的方法，称之为面积法．但是，三角形面积法在日常教学中，往往容易被学生和教师忽视．在初中数学几何难题中，常会包含三角形的角平分线的有关问题，虽然用常规的方法可以解决，但是步骤烦琐㊁计算量大，有时辅助线的添加还不明了．本文通过分析三角形角平分线模型问题的特性，在解题时巧妙应用三角形面积法，最终收到良好的教学效果．一㊁三角形的角平分线模型在三角形的角平分线模型中，由角平分线的性质可知：角平分线上任意一点到角两边的距离相等．所以，学生能自然联想到原三角形被角平分线所分得的两个三角形的高相等，结合三角形面积法，就可以将同高（或等高）的两个三角形的面积比转化为底之比．图１㊀图２如图１，ＢＤ是әＡＢＣ的角平分线，则由定义可知，øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝１２øＡＢＣ．如图２，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线ＤＥ，ＤＦ，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．我们不妨把图２称为三角形的角平分线模型，它完整地呈现了三角形的性质的推导过程；从面积法的角度看，它直观地呈现了被角平分线分得的两个三角形的底和高，并且是较为特别的等高三角形．当我们建立了这样的双视角几何模型，就能够在常规的角相等的基础上，发展出边成比例的结论．从而为含有角平分线的几何难题提供了新的解题思路构造等（同）高，巧用面积法．二㊁角平分线模型的应用１．面积法在模型中的一次应用例１㊀如图３，әＡＢＣ中，ＡＤʅＢＣ交ＢＣ于Ｄ，ＡＥ平分øＢＡＣ交ＢＣ于Ｅ，Ｆ为ＢＣ的延长线上一点，ＦＧʅＡＥ交ＡＤ的延长线于Ｇ，ＡＣ的延长线交ＦＧ于Ｈ，连接ＢＧ，下列结论：①ＳәＡＥＢʒＳәＡＥＣ＝ＡＢʒＡＣ；②øＤＡＥ＝øＦ；③øＤＡＥ＝１２（øＡＢＤ－øＡＣＥ）；④øＡＧＨ＝øＢＡＥ＋øＡＣＢ．其中正确的结论是．图３㊀图４分析㊀这个题目是八年级数学期中考试的压轴题，这是一个几何图形综合题，难度很大，学生的正确率只有１０％．②③④都是关于角的结论，通过角的转化可以推导出三个结论都是正确的，此处省略．①就是典型的三角形的角平分线模型的直接应用．如图４，通过抽离出әＡＢＣ，并作出边ＡＢ，ＡＣ上的高，由于角平分线的性质，高相等，因此，面积比转化为底之比，①正确．例２㊀如图５，在直线ＡＢＣ的同一侧作两个等边三角形әＡＢＤ和әＢＣＥ，连接ＡＥ与ＣＤ，求证：（１）ＡＥ＝ＤＣ；（２）ＨＢ平分øＡＨＣ．图５㊀图６分析㊀很多老师和学生都对这个类型的题目非常熟悉，并且形象地称为手拉手模型，这个模型的图形特征是两个形状相同㊁大小不同的特殊图形（等边三角形㊁正方形等）绕着一个公共顶点旋转，在变化的过程中有着许多不变的结论，属于典型的动态变化过程中的不变性问题．例２中，әＡＢＤ和әＢＣＥ都是等边三角形，则存在对应相等的边和角，结合公共夹角构造出新的等角，从而证得㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀әＡＢＥɸәＤＢＣ，故ＡＥ＝ＤＣ得证．第（２）问是关于角平分线的判定，此题如果采用常规的角相等去证明会十分烦琐，而采用角平分线的判定定理，如图６，作出两个全等三角形的高线，通过面积法证明就非常简便．教学中，学生常常会有强烈的顿悟感，感觉柳暗花明㊁十分巧妙．证明㊀过点Ｂ作ＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ．（１）ȵәＡＢＤ，әＢＣＥ都是等边三角形，ʑＡＢ＝ＢＤ，ＢＥ＝ＢＣ，øＡＢＤ＝øＥＢＣ＝６０ʎ．ȵøＡＢＤ＋øＤＢＥ＝øＥＢＣ＋øＤＢＥ，ʑøＡＢＥ＝øＤＢＣ，ʑәＡＢＥɸәＤＢＣ（ＳＡＳ），ʑＡＥ＝ＤＣ．（２）由（１）知әＡＢＥɸәＤＢＣ，ʑＳәＡＢＥ＝ＳәＤＢＣ，即ＡＥ㊃ＢＭ２＝ＤＣ㊃ＢＮ２，ʑＢＭ＝ＢＮ．又ȵＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ，ʑＨＢ平分øＡＨＣ．变式㊀如图７，将әＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ得到әＡＤＥ，ＤＥ与ＢＣ交于点Ｐ，求证：ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ．图７㊀图８分析㊀如图８，此题通过连接ＢＤ与ＣＥ就变成等边三角形手拉手模型．过点Ａ向两边作高线，构造三角形的角平分线模型．结合三角形面积法与角平分线的性质便可证得øＡＰＢ＝６０ʎ；在ＢＣ边上截取ＰＧ＝ＰＡ，连接ＡＧ，则әＡＰＧ为等边三角形，进而证明әＡＰＥɸәＡＧＣ，ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ得证．２．面积法在模型中的二次应用例３㊀如图９，әＡＢＣ中，ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，求证：ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图９㊀图１０分析㊀此题求证的边之比相等是典型的相似三角形问题，常规方法就是构造相似三角形，利用边的转化求证．当换个思路用三角形的面积法，会收到意想不到的效果．如图１０，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知，ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．如图１１，过点Ｂ向边ＡＣ作垂线，ＢＧ是әＡＢＤ和әＣＢＤ的公共高，ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＤＤＣ，所以ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图１１例４㊀（２０１６年深圳中考２３题（１）（２）问）如图１２，抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ｘ－３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，且点Ｂ的坐标为（１，０）．（１）求抛物线的解析式和点Ａ的坐标；（２）如图１２，点Ｐ是直线ｙ＝ｘ上的动点，当直线ｙ＝ｘ平分øＡＰＢ时，求点Ｐ的坐标．图１２㊀㊀图１３分析㊀第（１）问为基础考查，易得点Ａ的坐标为（－３，０），抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３．对于第（２）问，将图形简化，如图１３，可以理解为ＰＯ平分øＡＰＢ，这就是三角形的角平分线模型，采取与例３的相同方法，二次应用三角形面积法得ＰＡＰＢ＝ＡＯＢＯ＝３，将点Ｐ的坐标设为（ｘ，ｘ），列方程（ｘ＋３）２＋ｘ２＝９（ｘ－１）２＋９ｘ２，解得ｘ＝３２（０舍去），故点Ｐ的坐标为３２，３２()．通过上述例题发现，在三角形的角平分线模型中巧妙使用三角形的面积法，会为解题带来极大的便利．无论是一次应用还是二次应用，其依据都是同高（等高）的两个三角形的面积之比等于底之比．理解并熟练掌握三角形的角平分线模型的特点与结论，便能在复杂的问题中快速想到解题思路，通过辅助线的添加构造模型．在教学过程中，要利用基本几何模型将复杂的问题简单化，透过问题看本质，从而提高探究问题的能力和数学核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］黄孝培．浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用［Ｊ］．中国数学教育∙初中版，２０１９（７－８）：９０－９３．［２］祝林华．角平分线模型的构造及应用［Ｊ］．初中数学教与学，２０１５（０７）：２４－２６．［３］王霞，房文慧．最短路径与几何定值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０（０８）：４１－４６．。

新泸教版数学八年级上册小专题(四) 面积法的应用举例

小专题( 四)面积法的应用举例运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积法,它是几何中的一种常用方法.面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求解的目的,所以用面积法来解几何题,可将几何元素之间的关系变成数量之间的关系,通过计算即可求解.类型1利用同一个图形的面积不变性解题从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积,列出方程后即可求出未知的量. 1.已知a,b,c是△ABC的三条边,对应高分别为h a,h b,h c,且a∶b∶c=4∶5∶6,那么h a∶h b∶h c等于( C)A.4∶5∶6B.6∶5∶4C.15∶12∶10D.10∶12∶152.如图,在△ABC中,BC⊥AC,CD是AB边上的高.若AB=10 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,则CD= 4.8 cm.3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,若BC=20,AD=19.2,BE=19.2,CF=16,你能求出△ABC的周长吗?解:由三角形的面积公式可得S△ABC=BC×AD=AC×BE=AB×CF,则20×19.2=19.2AC=16AB,所以AC=20,AB=24.所以△ABC的周长为20+20+24=64.4.已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形的面积为1,则点C的个数有多少?并在图中标出C点的位置.解:点C的个数为6,如图所示:类型2利用两个图形之间面积的比解题常用结论:( 1 )等底等高的两个三角形的面积相等;( 2 )等底不等高的两个三角形面积的比等于其对应高的比;( 3 )等高不等底的两个三角形面积的比等于其对应底的比.5.如图所示,D为BC的中点,E为AC的中点,F为DC的中点,G为EC的中点,N为FC的中点.若△ABC的面积为1,试求△GNC的面积.解:因为△ABC的面积为1,D为BC的中点,所以△ADC的面积为,因为E为AC的中点,所以△DEC的面积为,因为G为EC的中点,F为DC的中点,所以△GFC的面积为,因为N为FC的中点,所以△GNC的面积为.6.( 1 )如图1,△ABC的BC边上有一点D,连接AD,△ABD与△ADC的面积之比为1∶2,求BD∶CD;( 2 )如图2,一块四边形的土地上均匀地种植玉米( 单位面积上的玉米产量都相同),对角线AC,BD相交于点O,收割时△DOC区域的玉米产量为12吨,△COB区域的玉米产量为18吨,△AOB区域的玉米产量为21吨,请估计出△AOD区域的玉米产量.解:( 1 )因为△△,所以BD∶CD=1∶2.( 2 )设△AOD区域的玉米产量为x吨,因为△△ △△,所以,解得x=14,答:△AOD区域的玉米产量是14吨.类型3利用面积的可分性解题将图形分成若干个小三角形,利用其整体面积等于各部分面积的和建立关于条件和结论的表达式,从而解决问题.7.已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,P点的坐标为( -2,2 ),求S△PAB.解:由已知可得A( 4,0 ),B( 0,4 ).过点P作x轴的平行线交AB于点C,易知C( 2,2 ),所以S△PAB=S△PBC+S△PAC=×4×2+×4×2=8.8.已知△ABC的面积是60,请完成下列问题:( 1 )如图1,若AD是△ABC的BC边上的中线,则△ABD的面积=△ACD的面积;( 填“>”“<”或“=”)( 2 )如图2,若CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,求四边形ADOE的面积可以用如下方法:连接AO,由AD=DB,得S△ADO=S△BDO,同理S△CEO=S△AEO.设S△ADO=x,S△CEO=y,则S△BDO=x,S△AEO=y,由题意得S△ABE=S△ABC=30,S△ADC=S△ABC=30,可列方程组解得,通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为20;( 3 )如图3,AD∶DB=1∶3,CE∶AE=1∶2,请你计算四边形ADOE的面积,并说明理由.解:( 3 )连接AO,因为AD∶DB=1∶3,所以S△ADO=S△BDO,因为CE∶AE=1∶2,所以S△CEO=S△AEO,设S△ADO=x,S△CEO=y,则S△BDO=3x,S△AEO=2y,由题意得S△ABE=S△ABC=40,S△ADC=S△ABC=15,可列方程组解得所以S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2y=13.。