福建厦门华侨中学2019-2020学年高三上理科数学12月阶段考试卷
2019-2020年高三12月质检数学理含答案.docx
2019-2020 年高三 12 月质检 数学理 含答案一、选择题 （本大题共 12 小题·每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数 z2i ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A ． 1 ii 1 ． 1 i． 1 i D ． 1 iBC2. 已知全集 U R ，集合 A { x | x 22 x 0}， B{ x | y lg( x 1)} ，则 (e U A)B 等于（）A ． { x | x 2或x 0}B． { x |1 x 2}C ． { x |1 x 2}D． { x |1 x 2}3. 下列四个函数中，在区间(0 ，1) 上是减函数的是（）1( 1 )x1A ． y log 2 xB．yC． yD． y x 3x24. 已知直线l 、 m ，平面、，且 l， m ，则 // 是 l m 的（）A ．充要条件B．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 4, S 10110，则S n64的最小值为（）a nA ． 7B． 8C． 15D． 17226．△ ABC 的内角 A 满足 tanA sinA<0 ， sinA+cosA>0 ，则角 A 的取值范围是（）A ．（0，） B．（ ，）C ．（，3）D ．（3， ）4422447．已知 F 1 、 F 2 为双曲线 C: x2y 2 1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1PF 2 =600 ，则 P4到 x 轴的距离为 （）A ．5B ．15 C．215D ．15 555208．设 a,b 是两条不同直线，, 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是 （ ）A ． a , b // ,B ． a ,b, //C ． a, b, //D ． a,b // ,9. 已知函数 f(x) 在 R 上可导，且 f(x)=x2+2xf ′ (2 ），则 f 1 与 f 1 的大小关系为（）A. f （ -1 ） = f （ 1）B. f（ -1 ）＞ f （ 1）C. f （ -1 ）＜ f （ 1）D.不确定10．已知函数y A sin( x) B 的一部分图象如下图所示。
2020届福建省厦门高三12月月考数学（理）试题
2020届福建省厦门第一中学高三12月月考数学（理）试题一、单选题1．若i 是虚数单位，且复数()(12)z a i i =-+为实数，则实数a 等于（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】C【解析】先根据复数乘法运算法则化简复数，再由虚部为0，列出式子解出a 即可. 【详解】()(12)(2)(21)z a i i a a i =-+=++-，因为复数z 为实数， 故210a -=，解之得12a =. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，解题关键是正确区分实数、虚数、纯虚数的概念，属于基础题. 2．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小. 【详解】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<= 0.901.1 1.11c =>=所以：b a c << 故选：A 【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题.3．设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+，向量AM 与AB 夹角的余弦值为（ ）A ．63B ．3 C ．1912D ．41919【答案】D【解析】根据向量的平方等于模长的平方得到19AM =，再将1123AM AB AC=+两边用AB 点乘，2,3AB AM ⋅=由向量点积公式得到夹角的余弦值. 【详解】22211||()()23AM AM AB AC ==+22111119()()2232336AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=，196AM =，对1123AM AB AC =+两边用AB 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=与AB 夹角的余弦值为419AM AB AM AB ⋅=. 故选D. 【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）.4．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）A ．12B ．32C ．116D ．1136【答案】C【解析】根据三视图得到原图，再由割补法得到体积. 【详解】该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，由直三棱柱的体积减去小三棱锥的体积即可得到结果，则其体积为111112*********V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选C. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,其准线与双曲线2213y x -=相交于M 、N 两点,若MNF △为直角三角形,其中F 为直角顶点,则p =A ．6B ．33C 3D ．3【答案】D【解析】分析：写出抛物线的准线方程，代入双曲线方程求出,M N 的纵坐标，由MNF ∆是直角三角形，知它是等腰直角三角形，从而有2MN p =，由此可解得p ．详解：抛物线的准线是2p x =-，代入双曲线方程得，22134y p -=，23(4)p y +=，∵MNF ∆是直角三角形，∴它是等腰直角三角形，23(4)p p +=，解得23p = 故选D ．点睛：本题考查抛物线的准线方程，解题关键是由MNF ∆是直角三角形，知它是等腰直角三角形，从而有2MN p =，因此只要求出M 点坐标即可得结果，本题是解析几何的基本题型．6．各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9=36，则前12项和S 12的最小值为（ ） A ．78 B ．48C ．60D ．72【答案】D【解析】试题分析：利用基本不等式，结合等差数列的求和及通项公式，即可求出前12项和S 12的最小值． 解：由题意，a 4+a 9≥2=12， ∴S 12=（a 1+a 12）=6（a 4+a 9）≥72，故选D ．【考点】等差数列的性质．7．已知函数()sin()f x A x ωφ=+，且()(),()()3366f x f x f x f x ππππ+=--+=-，则实数ω的值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到263T k π=-，再结合2T πω=求得63k ω=-，从而求得结果.详解：根据题意可知，点(,0)3π是图像的一个对称点，直线6x π=是图像的一条对称轴，所以会有214366k T πππ-=-=，从而可以求得263T k π=-()k N *∈，所以有22()63k N k ππω*=∈-，从而得63k ω=-，从而可以求得可以是3，故选B. 点睛：该题考查了三角函数图像的对称性、周期性等，在做题的过程中，需要我们注意对称中心与对称轴的距离与周期的关系，还有要注意就是取值可以是谁这些关键字. 8．若函数22()log 2ax f x x x +=+-为奇函数，其中0a >，则使不等式21()log 60f m ->成立的m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．1(,1)2C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】B【解析】利用函数22()log 2ax f x x x +=+-为奇函数，求出a ，不等式21()log 60f m->，即不等式21()log 6(1)f f m >=，又22()log 2x f x x x+=+-在()2,2-上单调递增，即可求出m 的取值范围． 【详解】∵函数22()log 2axf x x x+=+-为奇函数， ∴()()f x f x -=-,即2222log log 22ax axx x x x-+-+=--+-，0a >，∴1a =，所以22()log 2xf x x x+=+-，2222(1)1log 3log 2log 3log 6f =+=+=， 不等式21()log 60f m ->，即不等式21()log 6(1)f f m>=， 函数22()log 2xf x x x+=+-的定义域为(1,1)-， ∵22()log 2xf x x x+=+-在()2,2-上单调递增， ∴121m>>， ∴112m <<，即1(,1)2m ∈.故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.9．函数()y f x =的定义域为R ，且()()()x f x f x a ϕ=-+，对任意0a <，()x ϕ在R 上是增函数，则函数()y f x =的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于四个选项，举出对应的具体函数()f x ，然后利用函数的单调性验证()x ϕ是否在R 上递增，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，取()2xf x =，则()()22222122xx ax a x a x x ϕ+=-=-⋅=-⋅，由于0a <，故120a ->，故()()122axx ϕ=-⋅为增函数，符合题意.对于B 选项，取()122xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()11111122222x a xa x x ϕ⎛⎫=-+⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，由于10,102a a -，故()11122ax x ϕ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭为减函数，不符合题意.对于C 选项，取()3f x x =，则()()332233x x x a ax a x a ϕ=-+=---，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D 选项，取()f x x =，则()x a ϕ=-，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A. 【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10．已知函数()f x kx =，ln ()x g x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)eD ．1(,)e+∞【答案】A【解析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极值，通过对k 与函数()h x 的极值的大小关系的讨论得到结果. 【详解】易知当k ≤0时，方程只有一个解， 所以k >0．令2()ln h x kx x =-，21211)()2kx h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得x =，x =为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()001h e h e h e e≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A. 【点睛】该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目. 11．函数()tan()f x x ωϕ=+(0||,0)2πϕω<<>某相邻两支图象与坐标轴分别交于点2(,0),(,0),63A B ππ则方程()cos(2),[0,]3f x x x ππ=-∈所有解的和为（ ）． A ．56πB ．2π C ．512π D ．4π 【答案】A【解析】利用函数()f x 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得2ω=，从而得到()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出函数()f x 及()g cos 23x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称点，从而发现它们都关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，在同一坐标系中，作出()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，结合图像即可求解． 【详解】由函数()()tan 0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：236T πππω=-=.解得：2ω=.所以()()tan 2f x x ϕ=+ 将,06A π⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得：tan 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0，解得：3πϕ+=()k k z π∈，又02πϕ<<，所以3πϕ=-.所以()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令23x π-=2k ππ+，则()5122k x k z ππ=+∈ 所以()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于点5,0122k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称． 令()g cos 23x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23x π-=2k ππ+，解得：()5122k x k z ππ=+∈. 所以()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于点5,0122k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称. 所以函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 在同一坐标系中，作出()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，如图：由图可得：函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像在[]0,x π∈上有两个交点，这两个交点关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 所以方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭有且只有两个零点12,x x ，且 125212x x π+=. 所以方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为：1256x x π+=. 故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题．12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 的动点，则下列4个命题中正确的有（ ）个（1）11DC D P ⊥ （2）平面11D A P ⊥平面1A AP（3）1APD ∠的最大值为90 （4）1AP PD +22+A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分别连接1CD ，1DC ，作出图形后逐一分析：对于（1），利用线面垂直的判定定理可证1DC ⊥平面11A BCD ，而1D P ⊂平面11D DCC ，故（1）正确；对于（2），11D A ⊥平面11A ABB ，而平面11A ABB ，就是平面1A AP ， 故平面11D A P ⊥平面1A AP ，从而可判定（2）正确； 对于（3），当1202A P <<时，1APD ∠为钝角，故可判断（3）错误； 对于（4），将面1AA B 与面11A BCD 沿1A B 展成平面图形，线段1AD 即为1AP PD +的最小值，通过解三角形11AA D 可求得122AD =+，可判断（4）正确．【详解】分别连接1CD ，1DC ，如图：对于（1），∵11A D ⊥平面11D DCC ，1DC ⊂平面11D DCC ，∴111A D DC ⊥ ,又11A B DC ⊥ ，1111A D A B A = ，∴1DC ⊥ 平面11A BCD ，1D P ⊂ 平面11D DCC ，∴11DC D P ⊥，正确； 对于（2），∵平面11D A P 即为平面11D A BC ，平面1A AP 即为平面11A ABB ， 且11D A ⊥ 平面11A ABB ， ∴平面11D A BC ⊥ 平面11A ABB ， ∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，正确；对于（3），在1D AP ∆中，由余弦定理可知，当1202A P <<时，1APD ∠为钝角，错误；对于（4），将面1AA B 与面11A BCD 沿1A B 展成平面图形，线段1AD 即为1AP PD +的最小值，在11AA D ∆中，利用余弦定理解三角形得122AD =+，正确.故选：C. 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何体中直线和平面的位置关系，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值为________ 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.14．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()22224011x y x x y ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y +-≤来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.【答案】15+【解析】直接利用线性规划知识求最值． 【详解】如图，作出直线l ：20x y +=，当直线l 往上平移至与阴影部分的圆()2211x y +-=的边界相切时，z 最大， 此时圆心()0,1到直线2x y z +=的距离等于半径1，即：2201121z +-=+.解得：15z =+ 【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题．15．已知1F 、2F 为双曲线C ：2221(0)2x y b b -=>的左、右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B ，2AF B ∆是等腰直角三角形，22AF B π∠=，则双曲线C 的离心率为____． 【答案】3【解析】根据双曲线的定义得1221222AF AF BF BF a -=-==，根据2AF B ∆是等腰直角三角形得22AF BF =,解得224BF AF ==，1422BF =-，1422AF =+，42AB =，再由余弦定理可得到结果.【详解】设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c .如图，根据双曲线的定义得1221222AF AF BF BF a -=-==2AF B ∆是等腰直角三角形得22AF BF =，解得224BF AF ==，1422BF =-，1422AF =+，42AB =.在12AF F中，由余弦定理得(222212||444F F c ==++(244cos244π-⨯⨯+⨯=，解得c =则双曲线C的离心率为c a ==【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 16．已知数列{}n b 的前n 项和n S 满足：(1)(2)n n nS b n n =-++，则n S 为__________．【答案】111()22n n S n +=-+ 【解析】当2n ≥时，1n n n b S S -=-，将已知式子变形得：1((1)(2))n n n n S S S n n -=--++，继而推出1112()2(1)2n n S S n n --=-+-+，可知数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解n S 即可. 【详解】当2n ≥时，1n n n b S S -=-，∴1((1)(2))n n n n S S S n n -=--++，也即：12(1)(2)n n nS S n n -++=+，1112()2(1)2n n S S n n -∴-=-+-+，即：111212(1)2n n S n S n --+=--+， 当1n =时，1116S b =-，解得：1112S =，11134S -=-，∴数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，公比为12的等比数列， ∴111()22n n S n +-=-+，即111()22n n S n +=-+. 故答案为：111()22n n S n +=-+.【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是由1(2)n n n b S S n -=-≥，将已知式子变形得：1((1)(2))n n n n S S S n n -=--++，进一步得出数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，考查逻辑思维能力和运算能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1AD =，2DC =，求AC 的长. 【答案】（1）sin 1sin 2B C ∠=∠；（2）1AC =.【解析】（1）先根据面积比得到2AB AC =，再根据平分关系和正弦定理得到sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠；（2）根据边角关系，设AC x =，2AB x =， 由ADB ADC π∠+∠=，知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可. 【详解】 （1）由题1sin 2ABDS AB AD BAD =⋅⋅∠，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABDACDSS=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =，由正弦定理可知：sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠；（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =，∴BD = 设AC x =，则2AB x =，在ABD ∆与ACD ∆中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅，22223cos 2xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠223x -=解得1x =，即1AC =. 【点睛】本题考查正、余弦定理和三角形中的几何计算，考查计算能力，属于常考题. 18．已知数列{}n a ，{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 的前n 项和2n n S n a = *()n N ∈，数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1(1)n a n n =+，2nn b =；（2）()()21243421,43242143n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩为奇数，为偶数. 【解析】（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{}n a 的通项公式，12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求出{}n b 的通项公式； （2）当n 为奇数时，()241131113n n n T b b b a a na -⎛⎫=+++++++⎪⎝⎭，当n 为偶数时，()241311113(1)n n n T b b b a a n a -⎡⎤=+++++++⎢⎥-⎣⎦，由此能推出数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）因为2n n S n a =*()n N ∈， 当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-， 所以2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，所以1(1)(1)n n n a n a -+=-，即111n n a n a n --=+， 又112a =，所以12321123211232111.11432(1)n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=+-+， 当1n =时，上式成立， 所以1(1)n a n n =+，因为12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn b =； （2）当n 为奇数时，()()24124113111[24(1)]2223n n n n T b b b n a a na --⎛⎫=+++++++=++++++++ ⎪⎝⎭()122141421143421221443n n n n n n --⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭=⋅+=+--， 当n 为偶数时，()()2424131111(24)2223(1)n n n n T b b b n a a n a -⎡⎤=+++++++=+++++++⎢⎥-⎣⎦()2241422421221443nn n n n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=⋅+=+--， 因此()()21243421,43242143n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩为奇数，为偶数. 【点睛】本题考查用累乘法求数列的通项公式，考查数列的求和方法，考查了推理能力和计算能力，属于常考题.数列求和的方法一般有：倒序相加法、分组（并项）求和法、裂项相消法、错位相减法等.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，,AD BC λ=//,AD BC 90,BCD ∠=M 为线段PB 上一点．(1)若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90角，二面角B PC D --的余弦值为1010-，求CD 的长． 【答案】（1）存在，点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点；（2）2. 【解析】(1) 延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ．通过证明AMPE 及13AD BC =，AD BC 可得M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P ．(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面1PBC n 法向量和平面PCD 的法向量2n ，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t 的值，进而求得CD 的长． 【详解】解：（1）延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD . 若AM平面PCD ，由平面PBE ⋂平面PCD PE =，AM ⊂平面PBE ，则AM PE .由13AD BC =，AD BC ，则13PM EA PB EB ==， 故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点.（2）∵PA AD ⊥，PA CD ⊥，AD CD D ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥平面ABCD以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0D ，(),1,0C t ，1,1,0B t λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则10,2,0BC λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),1,2PC t -，(),0,0CD t -设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =.由1n BC ⊥，1n PC ⊥得1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112020y tx y z λ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+-=⎩， 令11x =，则12t z =，故11,0,2t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理可求得()20,2,1n =.于是1212cos n n n n θ⋅=，2102152t t =⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭解之得2t =±（负值舍去），故2t =.∴2CD =. 【点睛】本题考查了立体几何的证明，空间向量在夹角问题中的综合应用，法向量的求法与用法，属于中档题．20．动点P 到(1,0)F 距离与到直线4x =的距离之比为12，记动点P 的轨迹为C . （1）求出曲线C 的方程，并求出||2||PA PF +的最小值，其中点(1,1)A（2）,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点1(0,)2，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=，最小值为3；（2）存在，定点(0,6)Q .【解析】（1）设动点为(,)P x y ，设点P 到直线4x =的距离为d ，由动点P 到(1,0)F 距离与到直线4x =的距离之比为12，利用直接法求出点的轨迹；又||2||||PA PF PA d +=+，||PA d +的最小值即为点A 到直线4x =的距离；（2）假设存在满足题意的定点Q ，设(0,)Q m ，设直线l 的方程为12y kx =+， 11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x ，得()22344110k x kx ++-=，利用韦达定理以及MQO NQO ∠=∠，得直线MQ 与NQ 的斜率和为零，建立方程求解m 即可. 【详解】（1）设动点(,)P x y ，设点P 到直线4x =的距离为d ，由已知||12PF d =12=， 化简得到轨迹C 的方程为：22143x y +=，所以||2||||PA PF PA d +=+，||PA d +的最小值即为点A 到直线4x =的距离，最小值为3；（2）假设存在满足题意的定点Q ，设(0,)Q m ，设直线l 的方程为12y kx =+， 11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x ，得()22344110k x kx ++-=， 由直线l 过椭圆内一点1(0,)2作直线，故>0∆， 由韦达定理得：122434k x x k -+=+，1221134x x k-⋅=+， 由MQO NQO ∠=∠，得直线MQ 与NQ 的斜率和为零，所以有：1212MQ NQ y m y mk k x x --+=+， ()121212121211122220kx x m x x kx m kx m x x x x ⎛⎫+-++-+- ⎪⎝⎭=+==， 故：()1212222111144(6)22023423434k k m kx x m x x k m k kk ---⎛⎫⎛⎫+-+=⋅+-⋅== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，6m ∴=,所以存在定点(0,6)，当直线l 斜率不存在时定点(0,6)也符合题意， 综上所述，定点(0,6)Q . 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查椭圆中满足某种条件的定点问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.21．已知定义域为R 的函数()nn f x x =（*n N ∈，2n ≥）（1）设21()()(1)n n F x f x f x -=⋅-，求()F x 的单调区间；（2）设'()n f x 为()n f x 导数，（i ）证明：当2a ≥，0x >时，1x a x a +>+；（ii ）设关于x 的方程''11(1)21(1)21n n n n f x f x +++-=+-的根为0x ，求证：001x << 【答案】（1）当n 为奇数时()F x 的增区间为21(,)31n n --∞-，减区间为21(,)31n n -+∞-；当n 为偶数时()F x 的增区间为21(,)31n n --∞-及(1,)+∞，减区间为21(,1)31n n --．（2）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析． 【解析】（1）对()()211nn F x x x -=-，求导可得()()()12221'31131n n n F x n x x x n ---⎛⎫=---- ⎪-⎝⎭，分当n 为大于1的奇数，和n 为偶数时两种情况讨论可得()F x 的单调区间； （2）（i ）设()1x x ax a ϕ+=--，0x >，求导得()1'ln 1x x a a ϕ+=-，根据()'x ϕ研究()x 的单调性，ϕ即可得到所证结论；（ii ）()'1n nfx nx-=，原方程化为()()()()()11121112111n n nn n x nn x n x -++-==++-++解得()()()0121121n nn x n -+=+-，因为2n ≥，所以00x >；作差得，()()10221121n n n x n ++--=+-，由（i ）知，可得122n n +>+，所以010x -<，即可得证. 【详解】（1）()()211nn F x x x -=-， 当*n N ∈，2n ≥时()()()()22121'2111n nn n F x n x nx x ---=----即()()()()()()11222221'121131131n n n n n F x x x n x nx n x x x n -----⎛⎫⎡⎤=----=---- ⎪⎣⎦-⎝⎭（a ）当n 为大于1的奇数时，1n -是偶数，()110n x --≥，220n x -≥，310n ->当2131n x n -<-时，()'0F x >，当2131n x n ->-时()'0F x < 故()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，减区间为21,31n n -⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当n 为偶数时，1n -是奇数，由于21131n n -<-，所以 当2131n x n -<-或1x >时，()'0F x >，当21131n x n -<<-时()'0F x < 故()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭及()1,+∞，减区间为21,131n n -⎛⎫⎪-⎝⎭综上，当n 为奇数时()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，减区间为21,31n n -⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭， 当n 为偶数时()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭及()1,+∞，减区间为21,131n n -⎛⎫⎪-⎝⎭， （2）（i ）证明：设()1x x ax a ϕ+=--，0x >，则()1'ln 1x x a a ϕ+=-，因为21a ≥>，ln ln20a ≥>，故()'x ϕ在()0,+∞是增函数， 从而()()''0ln 1x a a ϕϕ>=-，由于2a ≥，ln ln20a ≥> 所以ln 2ln ln41a a a >=>，()'0x ϕ>所以()x ϕ在()0,+∞是增函数，()()00x ϕϕ>=，即1x a x a +>+（ii ）()'1n nfx nx-=，原方程化为()()()()()11121112111n n nn n x nn x n x -++-==++-++ 解得()()()0121121n n n x n -+=+-，因为2n ≥，所以00x >；作差得，()()10221121n n n x n ++--=+-，由（i ）知，当2a ≥，0x >时，1x a x a +>+，令2a =，x n =，故有122n n +>+，所以010x -<，01x <， 综上，001x << 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为622x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）．现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cosθ． （Ⅰ） 写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 过点M （-1，0）且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求|AB |． 【答案】（Ⅰ）x -y -6=0．x 2+y 2-6x =0（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）消去参数方程中的参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形后结合转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）由直线l 1与直线l 平行可得直线l 1的参数方程，代入曲线C 的方程后根据参数的几何意义可求得弦长AB ． 【详解】（Ⅰ）由6x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为60x y --=．又由6cos ρθ=得26cos ρρθ=，将222,cos x y x ρρθ=+=代入上式得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=．（Ⅱ） 由题意得过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线l 1的参数方程为12.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将其代入2260x y x +-=整理得270t -+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12127t t t t +==，所以122AB t t =-==． 【点睛】直线的参数方程中，只有当参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：||t 是直线上任一点(,)M x y 到000(,)M x y 的距离，即0||||M M t =，利用此几何意义可解决弦长问题． 23．已知()21f x x x =+-． (1)解关于x 的不等式()4f x >；(2)对任意正数a b 、，求使得不等式()223338f x ab a b <++恒成立的x 的取值集合M . 【答案】（1）1x <-或53x >；（2）24{|}33M x x =-<<.【解析】(1)对x 的范围分类，分段表示出()f x ，即可求解()4f x >。
福建厦门2019高三上质量检查试题-数学(理)
福建厦门2019高三上质量检查试题-数学（理）数学〔理〕试题本卷须知1、本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名、2、本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，全卷总分值150分，考试时间120分钟、 参考公式：柱体体积公式：V=Sh ，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：V= 13sh，其中s 为底面面积，^为高、第一卷 〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的、 1、集合A={2|430x x x -+≤}，集合B为函数y =AB 等于A 、{x|1≤x ≤2}B 、 {x| 2≤x ≤3}C 、 {x|x ≥2}D 、 {x| x ≥3} 2、设向量a= 〔2，0〕，b=〔1，1〕，那么以下结论中正确的选项是 A 、A 、b= 12B 、|a|=|b|C 、a ∥bD 、〔a 一b 〕⊥b3、以下说法正确的选项是A 、“x=6"是“x 2－5x －6 =0"的必要不充分条件 C 、命题“x R ∃∈，使得x 2+x+1<0"的否定是“x ∀∈R ，均有x 2+x+1≥0”D 、命题“假设x=y ，那么sinx=siny ”的逆命题为真命题4、在△ABC 中，∠A=60°,AB=2，且△ABC 的面积为32，那么BC 的长为AB 、3CD 、75、设x ，y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，假设目标函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕的最小值为2，那么ab 的最大值为A 、1B 、12C 、14D 、166、m ，n 是空间两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，那么以下命题正确的选项是A 、假设α∥β，m ⊂α，n ⊂β，那么m ∥nB 、假设,,m n αγβγ==m,∥n ，那么α∥βC 、假设,,m a ββ⊂⊥那么m α⊥D 、假设,m β⊥m,∥α，那么αβ⊥’7、抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为222,1(0)x l l y a a-=>与双曲线交于A ，B 两点，假设△FAB 为直角三角形，那么双曲线的离心率是ABC 、2D 18、设直线l 过点〔2，0〕且与曲线C ：y=1x相切，那么l 与C 及直线x=2围成的封闭图形的面积为A 、1n2一12B 、1一1n2C 、2一1n2D 、2－21n29、记S 为四面体四个面的面积S 1,S 2,S 3,S 4中的最大者，假设1234S S S S Sλ+++=，那么A 、2<λ<3B 、2<λ≤4C 、3<λ≤4D 、3、5<λ<510、如图，A ，B 分别为椭圆22221()x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点，直线l ∥AB ，l 与x 轴、y 轴分别交于 C ，D 两点，直线CE ，DF 为椭圆的切线，那么CE 与DF 的斜率之积k CE ·k DF 等于A 、22a b ± B 、222a b a -±C 、22b a± D 、222a b b -±第二卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：本大题分必做题和选做题、〔一〕必做题〔共4题，每题4分，共16分〕 11、tana=2，那么sin cos sin cos αααα+=-。
2019-2020年高三12月校际联考理科数学含答案
2019-2020年高三12月校际联考理科数学含答案本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，，h 是锥体的高。
球的体积公式343V R π=，其中R 是球的半径。
第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)设集合{}21|2,|12A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B = (A){}|12x x << (B){}|12x x -<< (C)1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(D){}|11x x -<< (2)若函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则(())f e （e 为自然对数的底数）=(A)0 (B)1 (C)2 (D)2ln(1)e +(3)已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan()πα+的值是 (A) 43 (B)34 (C)43- (D)34-(4)设34-且1a ≠，则“函数()x f x a =”在R 上是增函数”是“函数()ag x x =”“在(0,)+∞上是增函数”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)函数2()2xf x x =-的大致图象为(6)定积分420(16)x dx π-⎰等于(A)1283π (B)52π (C)643π (D)83π(7)若函数cos y x x -的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则m 的最小值是 (A)6π (B)4π (C)23π (D)3π(8)设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7a a S ==，则5S = (A)152 (B)314 (C)334 (D)172(9)已知,,a b c R ∈，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若ab ≠0，则2a bb a+≥；③若0,a b n N *>>∈，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则a ，b 中至少有一个大于1．其中真命题的个数为(A)2 (B)3 (C)4 (D)1 (10)已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图， 左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆 与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )(A)132+ (B)4136π+(C)166+ (D)2132π+ (A) (B) (C) (D)(11)若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ．且20OA AB AC OA AB ++==，则CA CB 等于 (A)32(C) (D)3 (12)设函数[)()1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈，则方程2()log f x x =的根有(A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)无数个第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．(13)已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-，则实数x 等于______________. (14)111()1...()23f n n N n *=++++∈，计算35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f =>>>，7(32)2f >，推测当2n ≥时，有_____________． (15)设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a+b 的最小值为_____________．(16)若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象和直线y=x 无交点，现有下列结论： ①方程[()]f f x x =一定没有实数根；②若a>0，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若a<0，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >;④函数2()(0)g x ax bx c a =-+≠的图象与直线y=-x 一定没有交点，其中正确的结论是____________（写出所有正确结论的编号）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． (17)（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．( I)若3b a ==，求边c 的值； ( II)设sin sin t A C =，求f 的最大值． (18)（本小题满分12分）已知函数()22,xxf x k k R -=+∈. ( I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；( II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2x f x ->成立，求实数k 的取值范围．(19)（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ， PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90,1,2ADC AB AD PD CD ∠=====ADC-900,AB= AD=PD=1.CD=2.(I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角E-BD -P 的大小为45．(20)（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：11(),1n n a a n N a *+>∈=，该数列的前三项分别加上l ，l ，3后顺次成为等比数列{}n b 的前三项． (I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ( II)设1212...()n n na a a T n Nb b b *=+++∈，若231()2n n n T c c Z n ++-<∈恒成立，求c 的最小值．(21)（本小题满分13分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线 2()1(0)f x a x a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．( I)将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)； (II)若12t =，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值． (22)（本小题满分13分）已知函数()ln r x x =，函数11()(1)(0),()()()h x a f x r x h x a x=->=-． ( I)试求f (x)的单调区间。
2019-2020年高三上学期12月月考数学理试题
2019-2020年高三上学期12月月考数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（xx•江西）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．分析：不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．解答：解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．2．（5分）已知t＞0，若∫0t（2x﹣2）dx=8，则t=（）A．1B．2C．4D．4或2考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出一次函数的f（x）=2x﹣2的原函数，然后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．解答：解：∫0t（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）|0t=t2﹣2t=8，（t＞0）∴t=4或t=﹣2（舍）．故选C．点评：此题考查定积分的性质及其计算，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数，属于基础题．3．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：数形结合．分析：确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．解答：解：设f（x）=，则函数的定义域为R∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x）∴函数为奇函数∵，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增故选C．点评：本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．4．（5分）（xx•泰安二模）下列命题中的真命题是（）A．B．∀x∈（0，π），sinx＞cosxC．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1考点：特称命题；全称命题．分析：选项A应把sinx+cosx化积求值域；B选项可取特值排除，C命题可用幂函数的单调性；D分析较为困难，可建立辅助函数，求导分析单调性解决．解答：解：由sinx+cosx=，最大值为小于x不存在∴A不正确；B选项（特值）可取x=，sin=cos，∴不是全部都符合，排除B．C选项，∀x∈（﹣∞，0），x一旦选定就是一个具体值，运用幂函数在幂指数小于0时为减函数，都有2x＞3x，排除C．D选项分析：可令辅助函数y=e x﹣x﹣1，y′=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时恒大于0，∴函数f（x）=e x﹣x﹣1在0，∞）上位增函数，∴f（x）＞0，即e x﹣x﹣1＞0，即e x ＞x+1．得到结论正确．故选D点评：对于全称命题和特称命题排除法是解决的常用方法，全称可以举反例验证，或者结合已知条件证明出来5．（5分）（xx•济宁二模）对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A、B、C都不正确，只有D正确，从而得到结论．解答：解：由于平面α和共面的直线m，n，若m，n与α所成的角相等，则直线m，n平行或相交，故A不正确．若m∥α，n∥α，则，直线m，n平行或相交，故B不正确．若m⊥α，m⊥n，则n与平面α平行或n在平面α内，故C不正确．若m⊂α，n∥α，根据直线m，n是共面的直线，则一定有m∥n，故D正确，故选D．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题．6．（5分）（2011•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．解答：解：∵S==2∴a=1由余弦定理得=25∴b=5故选A点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．7．（5分）（xx•莆田模拟）若点（m，n）在直线4x+3y﹣10=0上，则m2+n2的最小值是（）A．2B．C．4D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，由此能求出m2+n2的最小值．解答：解：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直线与两轴交于A（，0），B（0，），直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边AB==，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，∵△OAB面积=×OA×OB=×AB×h，∴h===2，∴m2+n2的最小值=h2=4，故选C．点评：本题考查点到直线的距离的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．（5分）（xx•郑州二模）如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题．分析：先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．解答：解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S===．故答案选D．点评： 本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．9．（5分）（xx •泰安二模）在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E ，F 为边BC 的三等分点，则=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1， ∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C （0，0），A （1，0），B （0，）又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E （0，），F （0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故选A ．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．10．（5分）若函数，若af （﹣a ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣1，0）∪（1，+∞）D ． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：由已知中函数，分别讨论a ＜0时和a ＞0时不等式af （﹣a ）＞0的解集，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：当a ＜0时，﹣a ＞0 若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=log 2（﹣a ）＜0，解得0＜﹣a ＜1∴﹣1＜a ＜0当a ＞0时，﹣a ＜0若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=＞0，解得0＜a ＜1综上实数a 的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）故选A点评： 本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的11．（5分）（xx•泰安二模）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，ϕ的值为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出ϕ的值即可．解答：解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D 关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．故选B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（xx•泰安二模）已知，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b ＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案．解答：解：∵在（0，+∞）上是减函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）时，b＜x0＜c，此时B，C成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＜a，此时A成立．综上可得，D不可能成立点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题纸的相应位置．13．（4分）（xx•泰安二模）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．14．（4分）（xx•泰安二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C 的对角线相交于点A，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：确定三棱柱为直三棱柱，取AC中点D，连接BM，DM，则可得∠BMD为BM与平面AA1C1C所成角，由此可求结论．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形∴三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱取AC中点D，连接BM，DM，则BD⊥平面AA1C1C，∴∠BMD为BM与平面AA1C1C 所成设正方形的边长为2a，则DM=a，BM=a，∴tan∠BMD=∴∠BMD=故答案为：点评：本题考查直线与平面所成的角，确定三棱柱为直三棱柱，正确作出线面角是关键．15．（4分）（xx•宝鸡模拟）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4．点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（4分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示x ﹣1 0 2 4 5F（x） 1 2 1.5 2 1下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：由导函数的图象得出单调性和极值点，再由对应值表得出极值和最值，进而得出函数的值域，并画出图象．即可判断出答案．解答：解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，由表格可知：函数f（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：③根据以上知识可得：当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）﹣a有2个3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．故④正确．综上可知①②④正确．故答案为①②④．点评：由导函数的图象和对应值表得出单调性、极值、最值及值域并画出图象是解题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置．17．（12分）（xx•泰安二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）设数列的首项为a1，利用S5=35，且a2，a7，a22成等比数列，等差数列{a n}的公差d≠0，求得数列的首项与公差，即可求得数列{a n}的通项公式；（II）先求出S n，再用裂项法，可求数列的前n项和．解答：解：（I）设数列的首项为a1，则∵S5=35，且a2，a7，a22成等比数列∴∵d≠0，∴d=2，a1=3∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1；（II）S n=∴∴T n===﹣点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，正确求通项，利用裂项法求数列的和数关键．18．（12分）（xx•泰安二模）已知函数．（I）若，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值与单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；（II）将函数f（x）和f（﹣x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=sin（2x+）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．解答：解：=1+2sincos﹣（1﹣cosx）∴f（x）=sinx+cosx（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=（II）∵f（x）•f（﹣x）=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，f2（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x∴函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）=1+sin2x+cos2x，化简，得数F（x）=sin（2x+）+1当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为+1令﹣+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ＜x＜+kπ∴函数F（x）单调递增区间为（﹣+kπ，+kπ）．点评：本题将已知三角函数式化简，并求与之相关的另一个函数的最值和单调区间，着重考查了同角三角函数基本关系、三角函数的最值和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．19．（12分）（xx•泰安二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，点E是棱PB的中点．（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；（II）求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）证明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可证平面ECD⊥平面PAD；（II）过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角，先利用AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE，在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．解答：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面PAD；（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=在Rt△CBE中，CE==，∵CD=，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin60°=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==．点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确作出面面角，求出三角形的三边，利用余弦定理求面面角．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（12分）（xx•泰安二模）已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程组，即可求得椭圆的方程；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．解答：解：（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则△=16k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0，∴k2＜设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=﹣∴AB的中点的坐标为（）∴AB的垂直平分线的方程为y+=﹣（x﹣）将点C（m，0）代入可得0+=﹣（m﹣）∴m=∵0＜m＜2∴恒成立∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，求出AB 的垂直平分线的方程是关键．22．（14分）（xx•泰安二模）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a＞．（I）求证f（x）≥1+lna；（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），求实数a 的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；（II）首先确定g（x）∈[，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：（I）证明：求导数可得f′（x）=a﹣（x＞0）令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜∴x=时，函数取得最小值∴f（x）≥f（）=1+lna；（II）解：g′（x）=＞0，∴函数g（x），当时，函数为增函数，∴g（x）∈[，2]当时，函数f（x）在上单调减，∴f（x）∈[，ae﹣1]∴，无解；当时，函数f（x）在上单调减，在上单调增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤当时，函数f（x）在上单调增，∴f（x）∈[，ae﹣1]，∴，无解综上知，＜a≤．点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
福建省2019届高三上学期12月联考试题(数学理)
3 5 2 高三数学（理科）试卷（考试时间：120 分钟总分：150 分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若集合 A = {x | -1 < 2 - x ≤ 1}, B = {0,1,2,3} ，则 A B = （ ） A.{0,1}B.{2,3}C.{1,2}D.{1,2,3}1 2.若平面向量 a , b 满足 a ⋅ (a + b ) = 3 ，且 a = ( , ) ，2 2| b |= 2 ，则| a + b |= （ ）A ．5B ． 3C ．18D ．25 3. 某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：cm³）是( ) A.6B.10 +2C.10 + 2D.16 + 2 4. 下列说法正确的是（）A. 命题“若cos x = cos y ，则 x = y ”的逆否命题为真命题B.命题“若 xy = 0 ，则 x = 0 ”的否命题为“若 xy = 0 ，则 x ≠ 0 ”C ．命题“ ∃x ∈ R ，使得2x 2 -1 < 0 ”的否定是“ ∀x ∈ R ，都有 2x 2 -1 < 0 ”D ．若 a ∈ R ，则“ a > 2 ”是“| a |> 2 ”的充分不必要条件5. 《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作。
其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：ー丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（ ） A.九尺五寸 B.一丈五寸C.一丈一尺五寸D.一丈六尺五寸5 53⎪⎩3 4 21 ⎧x -1 ≥ 0 6.若 x , y 满足约束条件⎨x - y ≤ 0⎪x + y - 4 ≤ 0y ，则 的最大值为（ ）x A ． -1B ．1C ．2D ．3 7.已知 a , b ∈ R ，且 2a - 3b + 6 = 0 ，则 4a+ 11 8b的最小值为（） 1 A ．128B ．32C ．16D ．4A. x 1 < x 3 < x 2B. x 1 < x 2 < x 3C. x 2 < x 1 < x 3D. x 3 < x 1 < x 29.已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f (1+ x ) = f (1- x ) ．若 f (1) = 1 ，则f (1) + f (2) + f (3) + + f (2019) = （）A. -1B.0C.1D.201910. 在三棱柱 ABC - A B C 中， ∠A AB = ∠A AC = 60， ∠BAC=90°，1 1 1 1 1AB = AC = 1AA ，则 AC 与 A B 所成角的余弦值为（）2 11 11 A.B.C.D.2321145π 5π ππA.B ．C ．6123612. 在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色。
2020届福建省厦门市上学期高三期末质量检测数学理科试题
厦门市2019-2020学年度第一学期高三年级质量检测数学（理科）试题（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的．1.设集合{}{}2160A x x B x x x =>=--≤，，则A B =I （ ）A. [)3-+∞，B. [)2-+∞，C. (]12，D. (]13， 2.已知0a bc d >>>，，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b >B. a d b c ->-C.a bc d> D. ac bd >3.已知()()0cos a ππα∈+=，，，则tan α的值为（ ） A. -2B. 12-C.12D. 24.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）A. 221362x y +=B. 2211816x y +=C. 221126x y += D. 22198x y +=5.在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ） A. 60B. 70C. 80D. 906.甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ）A.127B.19C.13D. 237.在边长为2的菱形ABCD 中，3DAB BM MC π∠==u u u ur u u u u r ，，则AC DM ⋅=u u u r u u u u r （ ） A. 1B. C. 3D.8.已知直线l 与平面α所成角为45°，l 在α内的射影为m ，直线n ⊂α，且n 与m 所成角为45°，则l 与n 所成角为（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°9.已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0π，上的值域为32⎡⎢⎣，则实数ω的取值范围是（ ） A. 1163⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 1162⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 3211⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 10.地震波分为纵波和横波，纵波传播快，破坏性弱；横波传播慢，破坏性强．地震预警是指在地震发生后，利用地震波传播速度小于电波传播速度特点，地震发生地提前对地震波尚未到达的地方进行预警．通过地震预警能在地震到达之前，为民众争取到更多逃生时间．2019年6月17日22时55分四川省宜宾市长宁县发生6.0级地震，震源深度约16千米，震中长宁县探测到纵波后4秒内通过电波向成都等地发出地震警报．已知纵波传播速度约为5.5~7千米/秒，横波传播速度约为3.2~4千米／秒，长宁县距成都约261千米，则成都预警时间（电波与横波到达的时间差）可能为（ ） A. 51秒B. 56秒C. 61秒D. 80秒11.已知函数()()e sin 'xf x x f x =，是()f x 的导函数，有下述四个结论①()f x 是奇函数 ②()f x 在()1010ππ-，内有21个极值点 ③()'f x 在区间04π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数 ④()f x ax ≥在区间04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立的充要条件是1a ≤其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ①③④D. ②③④12.已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分的别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（ ）A.3B.32C.53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知z C ∈，i虚数单位，121zi i=+-，则z =__________________． 14.某企业计划通过广告宣传来提高销售额，经统计，产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：由表中的数据得线性回归方程为$$8y x a=+．投入的广告费6x =时，销售额的预报值为_______百万元． 15.一个各面封闭的直三棱柱，底面是直角三角形，其内部有一个半径为1的球，则该直三棱柱的体积最小值为___________．16.ABC V 的内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，角A 的平分线AD 交BC 于D 点．23AD a ==，，()sin cos 2cos sin c A C b c A C =-，则A =___________，ABC V 的面积为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.等比数列{}n a 中，12a =且2，231a a +，，成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1232bna a a a =…，求数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，BC PBC =V ，是等边三角形，PAD △是直角三角形，O 为AD 中点．（1）求证：BC OP ⊥；（2）求二面角A PB C --的余弦值．19.已知抛物线()220y px p =>，过点()10，的直线l 与抛物线交于A B ，两点，3OA OB ⋅=-u u u r u u u r． （1）求抛物线的方程；（2）以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，当点C 在y 轴上时，求ABC V 的面积．20.习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量X （单位：吨）的分布列如下：紫长茄今年的平均统一收购价格Y （单位：万元／吨）的分布列如下：（1）某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚1亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于34吨的概率；（2）紫长茄今年每亩种植成本约1.5万元，设Z 表示该村紫长茄今年平均每亩的利润（单位：万元），求Z的分布列和数学期望．21.函数()()log 01a f x x x a a =->≠，且． （1）当3a =时，求方程()1f x =的根的个数； （2）若()ef x a≥恒成立，求a 的取值范围． 注：e 2.71828=… 为自然对数的底数（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过点()10P -，作倾斜角为α直线1l 交2C 于A B ，两点，过O 作与1l 平行的直线2l 交1C 于Q 点，若4PA PB OQ +=，求α．［选修4-5：不等式选讲］23.已知函数()2f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x >的解集；（2）若[]()013x f x x a ∈=+，，恒成立，求实数a 的取值范围．的的。