2020高考数学(理)刷好题练能力：第四章 6 第5讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2020届高考理科数学一轮复习第4章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案
第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T 4.3．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法两种变换的联系与区别联系：两种变换方法都是针对x 而言的，即x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(2)把函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、选填题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 2．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选A 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到． 3．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，04.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.答案：35．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数解析式为________．解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3考点一 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象及变换[师生共研过关][典例精析]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值；(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数f (x )的解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z. 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，13π12上的图象如图所示，[解题技法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象变换的的注意点常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x ，如果x 的系数不是1，那么需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．[过关训练]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.故选D. 2．若ω＞0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝－72－6k (k ∈Z)，因为ω＞0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52考点二 由图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式[师生共研过关][典例精析][例1] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 [解析] 由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点⎝⎛⎭⎫－π2，2，最低点⎝⎛⎭⎫3π2，－2， 所以函数的最大值为2，即A ＝2.由图象可得直线x ＝－π2，x ＝3π2为相邻的两条对称轴，所以函数的最小正周期T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π， 故2πω＝4π，解得ω＝12. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. 把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)． 又0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. [答案] B[例2] 如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为________．[解析] 因为f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝12－12cos [2(ωx ＋φ)]，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω，由题图知T 2＜1，且3T 4＞1，即43＜T ＜2，所以π2＜ω＜3π4，又因为ω为正整数，所以ω的值为2.[答案] 2[解题技法]确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[过关训练]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1，故选D. 2．(2018·咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4解析：选D 由图象可得，A ＝23， T ＝2×[6－(－2)]＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由函数的对称性得f (2)＝－23， 即f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23， 即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． 因为|φ|＜π，所以φ＝－3π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4. 考点三 三角函数模型及其应用[师生共研过关][典例精析]据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．[解析] 作出函数简图如图所示，三角函数模型为： y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ， 由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000， T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[过关训练]1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析：设水深的最大值为M ，由题意结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ，k －3＝2，解得M ＝8，即水深的最大值为8.答案：82．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，令x ＝10，得y ＝20.5.答案：20.5考点四 三角函数图象与性质的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．[解] (1)由函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期T＝2×π2＝2π2ω，解得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z)，m ＝k π2＋π6(k ∈Z)，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12， 所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. [解题技法]三角函数图象和性质综合问题的解题策略 (1)图象变换问题先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期； ②根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．[过关训练]2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义- 11 - (2019·济南模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3＞0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32＜sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
2020届高三理数一轮讲义：4.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(含答案)
14.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再 把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x) 在区间0，π8上的最小值.
________.(结果用区间表示)
(2)已知函数 f(x)＝2sin ωx 在区间－3π，π4上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是
________.
基础巩固题组
一、选择题
(建议用时：40 分钟)
1. (2016·全国Ⅱ卷)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y＝2sin2x－π6 B.y＝2sin2x－π3 C.y＝2sinx＋π6
3sin
ωx 2 cos
ωx 2
＋
2cos2
ω2x－1(ω>0)的最小正周期为
π，当
x∈0，2π时，方程 f(x)＝m 恰有两个不同的实数解 x1，x2，则 f(x1＋x2)＝(
)
A.2
B.1
C.－1
D.－2
13.(2019·广东省际名校联考)将函数 f(x)＝1－2 3·cos2x－(sin x－cos x)2 的图象向 左平移π3个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，若 x∈－2π，π2，则函数 g(x)的单调递 增区间是________.
图象的对称轴方程是________.
考点三 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 角度 1 三角函数模型的应用 【例 3－1】 如图，某大风车的半径为 2 米，每 12 秒旋转一周，它的最低点 O 离 地面 1 米，点 O 在地面上的射影为 A.风车圆周上一点 M 从最低点 O 开始，逆时 针方向旋转 40 秒后到达 P 点，则点 P 到地面的距离是________米.
2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质(解析版)
第四篇三角函数与解三角形专题4.05函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【知识梳理】1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|2π表示频率，φ表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π2.所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 【真题体验】4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C. 5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 6.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【考点聚焦】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z ).由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z ). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.【规律方法】 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2B.32C.23D.12【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值. 考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1，B ⎝⎛⎭⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2， 法一T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝⎛⎭⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z ).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二 以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2， 2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).【规律方法】 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z )【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝⎛⎭⎫512π＋φ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ). 考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫π6×40＝4. 角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：①函数f (x )的最小正周期；②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图象的对称轴和对称中心. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). 【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【易错防范】1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【评析】 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3 【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.故32≤ω≤3. 【评析】 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z ).当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤78.(2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32.【评析】 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4B.－π4C.π4D.5π4【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6.∴该函数的最小正周期T ＝6.4.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增. 5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( ) A.5π24 B.7π24C.5π12D.7π12【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z )时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝724π.二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 8.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________. 【答案】143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ). ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1C.－ 2D.－ 3【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π6＝－1. 12.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100πC.1100D.440【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎡⎦⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝⎛⎭⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx＝2203⎝⎛⎭⎫32sin 100πx －12cos 100πx＝2203×sin ⎝⎛⎭⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C.13.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12，π12. 14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值.【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝⎛⎭⎫π6，0，由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
2020高考数学(文)新一轮复习：第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲要求]1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：φπφπ－φ3πφ2π－φ3.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( ) (2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) 答案：(1)× (2)× 二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． [例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到[解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象． [解] (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a ， ∵f (x )的最大值为2， ∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin (π3x ＋φ )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( ) A.12 B.32 C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－ 2D ．F (x )是偶函数，最小值是－ 2解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9 B.2π9 C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的 函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B. 3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入可得sin ( π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象．故选C. 突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎡⎦⎤cos π(t －8)2＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000. (2)当cosπ(t －8)2＝－1时，C 达到最小值．即π(t －8)2＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎡⎦⎤cosπ(t －8)2＋22－1 000≤1 250， 则⎣⎡⎦⎤cosπ(t －8)2＋22≤2.25，∴cos π(t －8)2≤－0.5. 即2k π＋23π≤π(t －8)2≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z. 又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰． [方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)最大用电量为50万kW·h ， 最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 2．(2019·七台河联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到 解析：选A 因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3.5.(2019·武汉一中模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12D.34解析：选C 由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C.6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．答案：6 000[B 级 保分题——准做快做达标]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A. 2．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确． 3．(2019·大同一中质检)将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.4.(2019·日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2cos [ ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54，选B. 6．(2019·绵阳一诊)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12D ．x ＝0解析：选B 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －16＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B.7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3 C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x解析：选A 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6 ).则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A. 8.(2019·北京东城期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π.答案：76π9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________. 解析：依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π610．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ( π2x ＋π2 )＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－( sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 )＋2×2 018＝－504×0－sin π2－sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035. 答案：4 03511.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若α为第二象限角且sin α＝35，求f (α)的值．解：(1)由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又∵函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，0，且点⎝⎛⎭⎫5π12，0处于函数图象下降部分， ∴2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z.∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵函数图象过点(0,1)，∴A sin π6＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2( sin 2αcos π6＋cos 2αsin π6 )＝2⎝⎛⎭⎫－2425×32＋725×12＝7－24325. 12．(2019·西安长安区质检)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2π6x . (1)试说明y ＝f (x )的图象由函数y ＝3sin π3x 的图象经过怎样的变化得到；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最值．解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6＝sin π3x cos π6－cos π3x sin π6－cos π3x －1＝32sin π3x －32cos π3x －1＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3－1，∴把函数y ＝3sin πx3的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象．(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (x )＝f (4－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π3(4－x )－π3－1＝3sin π3x －1. 当x ∈[0,1]时，π3x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故当x ＝0时，函数y ＝g (x )取得最小值－1；当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最大值12. [C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·惠州调研)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6 B.49π12 C.35π6D.17π4解析：选B 由题意可得，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π12，故选B.2．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π12<φ<π2 )，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12<φ<π2，∴2×π12＋φ＝π2， ∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12<φ<π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.答案：①④⇒②③或①③⇒②④3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2. 则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|PA |＝6 3.解析：①由点A (33，－3)，可得R ＝6，由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π30，由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π6，则φ＝－π6，故①正确；②由①知，f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6， 当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π，5π3， 即当π30t －π6＝3π2时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确； ③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，故③错误；④f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6，当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期， 则∠AOP ＝2π3，所以|PA |＝63，故④正确．答案：①②④。
2020版高考数学大一轮复习函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用分层演练理含解析
第6讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.3．(2019·昆明市教学质量检测)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的图象可由函数y ＝cos π3x 的图象至少向右平移m (m >0)个单位长度得到，则m ＝( ) A ．1 B.12 C.π6D.π2解析：选A.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3（x －1），所以只需将函数y ＝cosπ3x 的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的图象，故选A.4．(2019·福建省普通高中质量检查)若将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 解析：选 A.将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A.5．(2019·贵阳市检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22D ．－24解析：选D.依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2，又A ω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D.6．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2π37．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________．解析：因为图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1， A ，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点A 到点B 经过半个周期，所以π3＝T 2＝πω，解得ω＝3.又因为图象经过点A (0，1)，f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，所以1＝2sin φ，即sin φ＝12，所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：10．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时． 解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt 8＋φ＋b .①y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20.当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4≤22，所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )解析：选B.|AB |＝5，|y A －y B |＝4，所以|x A －x B |＝3，即T2＝3，所以T ＝2πω＝6，所以ω＝π3.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象过点(2，－2)，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－1，又因为0≤φ≤π，所以2π3≤2π3＋φ≤5π3，所以2π3＋φ＝3π2，解得φ＝5π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，由2k π－π2≤π3x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k －4≤x ≤6k －1(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为[6k －4，6k －1](k ∈Z )．故选B.2．(2019·太原市模拟试题)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256 C.⎝⎛⎦⎥⎤256，112D.⎝⎛⎦⎥⎤112，376解析：选B.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3，所以19π6<ωπ－π3≤23π6，解得72<ω≤256，故选B.3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：34．(2019·福建省毕业班质量检测)已知A 是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<2π)图象上的一个最高点，B ，C 是f (x )图象上相邻的两个对称中心，且△ABC 的面积为12，若存在常数M (M >0)，使得f (x ＋M )＝Mf (－x )，则该函数的解析式是f (x )＝________． 解析：由题意得|BC |＝πω(ω>0)，所以S △ABC ＝12×πω×1＝12，解得ω＝π，所以f (x )＝sin(πx ＋φ)，所以f (－x )＝sin(－πx ＋φ)，f (x ＋M )＝sin[π(x ＋M )＋φ]．因为存在常数M (M >0)，使得f (x ＋M )＝Mf (－x )，又－1≤f (x ＋M )≤1，－M ≤Mf (－x )≤M ，所以M ＝1，所以sin[π(x ＋1)＋φ]＝sin(－πx ＋φ)，即sin(πx ＋φ)＝sin(πx －φ)，因为0<φ<2π，所以φ＝π，所以f (x )＝sin(πx ＋π)，所以f (x )＝－sin πx 为所求的函数的解析式．答案：－sin πx5．(2019·湖北省八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝1，|φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1.又g (0)＝12，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12.6．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解：(1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，又f (x )的最小正周期T ＝π2，所以T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，易知当－π3≤2x －π3≤π2，即0≤x ≤512π时，g (x )单调递增，且g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当π2<2x－π3≤2π3，即512π<x ≤π2时，g (x )单调递减，且g (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1. 又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，所以－32≤－k <32或－k ＝1，解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，32∪{－1}．。
2020年高考江苏版高考数学 第四节 函数y= Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
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2.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(36))将函数f(x)=cos x图象上所有点
的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
3
个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=
.
答案
cos 12 x
6
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解析 将函数f(x)=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
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教 材 1.“五点法”作图 研 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 读
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考 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 点 突 考点二 三角函数模型的简单应用 破
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1.“五点法”作图
在确定正弦函数y=sin x在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点
3
+3
解析 由题图可得AAbb5,1,所以A=2,b=3.
易知 T =3,故T=12,
4
所以ω= 2 = .
12 6
所以f(x)=2sin 6 x φ+3. 由f(1)=5,得2sin 6 φ+3=5,即sin 6 φ=1,
象.
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探究 若将本例(3)中“y=sin x”改为“y=2cos 2x”,则如何变换?
解析
y=2cos
2x=2sin 2x
2
的图象
y=2sin 2x的图象
y=2sin 2x
3
2020年高考数学一轮复习 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)三角函数模型的简单应用(练)
第05节 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 基础巩固训练1.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度 【答案】B2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．3．【2018江西南昌上学期高三摸底】函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可以由函数cos2y x =的图像经过 A. 向右平移6π个单位长度得到 B. 向右平移3π个单位长度得到C. 向左平移6π个单位长度得到D. 向左平移3π个单位长度得到 【答案】A【解析】Q cos2sin 22y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭∴ 函数cos2y x =的图像向右平移2326πππ-= ，故选A. 3.【2018届浙江省杭州市第二中学仿真】函数f (x )＝sin(wx ＋)(w ＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x ＝对称，则函数f (x )的解析式为（ ） A. f (x )＝sin(2x ＋) B. f (x )＝sin(2x －) C. f (x )＝sin(2x ＋) D. f (x )＝sin(2x －) 【答案】D【解析】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案. 详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后， 得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.4.【2018辽宁省沈阳市东北育才学校上学期第一次模拟】若将函数()1cos22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ,02π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A.5.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移2π个单位长度，所得图象关于6x π=对称，则ω的最小值是A .6B .23C .94D .34【答案】D【解析】将f (x )＝sin ωx 的图象向左平移2π个单位，所得图象关于x ＝6π，说明原图象关于x ＝－23π对称，于是f (－23π)＝sin (－23ωπ)＝±1，故232k ωπππ=+(k ∈Z )，ω＝3k ＋34(k ∈Z )，由于ω＞0，故当k ＝0时取得最小值34.选D B 能力提升训练 1.【2018届安徽省淮南市二模】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，则函数的图象的一个对称中心是( )A.B.C.D.【答案】D即函数的对称中心为（，），当k=1时，对称中心为.故答案为：D2.【2018四川省成都七中上学期入学】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（） A. 0 B. 12C. 32D. 1【答案】D【解析】将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后， 可得函数()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得图象关于原点对称， 可得()2,,sin 2333f x x πππϕπϕ⎛⎫+=∴==+ ⎪⎝⎭. 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故当232x ππ+=时,f(x)取得最大值为1， 本题选择D 选项.3.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则（ ）． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数 【答案】A 【解析】由已知3162==ππω，ππϕϕππk f 231)6sin(2)2(+=⇒=+⇒=，因ππϕ-<≤，故3πϕ=，)31sin(2)(π+=x x f ，由]22,22[331πππππk k x ++-∈+得]621,625[ππππk k x ++-∈，)(Z k ∈，故单调增区间为]621,625[ππππk k ++-)(Z k ∈，由]223,22[331πππππk k x ++∈+得)](627,621[Z k k k x ∈++∈ππππ，故单调减区间为)](627,621[Z k k k ∈++ππππ，结合选项，故选A.4.【2018届安徽省六安市第一中学高三下学期适应性】已知函数，将的图象向右平移个单位所得图象关于点对称，将的图象向左平移个单位所得图象关于轴对称，则的值不可能．．．是 A. B. C.D.【答案】B5.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________． 【答案】143.【解析】如图所示，)3sin()(πω+=x x f Θ，且)3()6(ππf f =， 又f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内只有最小值、无最大值，)(x f ∴在4236πππ=+处取得最小值． )(3108).(,2234z k k z k k ∈-=∴∈-=+∴ωπππωπ. 又∵ω＞0， ∴当k=1时，3143108=-=ω； 当k=2时，33831016=-=ω，此时在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，内已存在最大值． 故314=ω．故答案为：143． C 思维扩展训练1.【2018湖北部分重点中学高三7月联考】已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>，若()f x 的图象向左平移3π个单位所得的图象与()f x 的图象向右平移6π个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C【解析】由题意得()*ππ2π4436k k N k ωωω⎛⎫⋅-⋅-=∈∴=≥ ⎪⎝⎭，选C. 2.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】3.【2018湖北部分重点中学高三起点】已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则A.B.C. D.【答案】A4. 【2018黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】将函数()cos2f x x =-的图像向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）A. 最大值为1，图像关于直线2x π=对称B. 周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D. 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 【答案】D【解析】将函数()cos2f x x =-的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x cos2x sin2x 4π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，显然,g(x)为奇函数，故排除C.当πx 2=时,f(x)=0,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=π2对称，故排除A. 在(0, 4π)上,2x ∈(0, 4π),y=sin2x 为增函数,故g(x)=−sin2x 为单调递减，且g(x)为奇函数，故D 满足条件. 当x=38π时,g(x)= 32-,故g(x)的图象不关于点(38π,0)对称，故排除B ，故选：D.5.【2018届浙江省名校协作体高三上学期考】已知函数()2sin cos cosf x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【答案】(Ⅰ) 1ω=；(Ⅱ)1.【解析】试题分析; (Ⅰ) 1利用二倍角公式化简函数表达式，通过函数的周期公式，求ω 的值(Ⅱ) 利用平移规律确定出g x （） 解析式，根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出函数()y g x =在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．试题解析：(Ⅰ) ()21sin 2242f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22T ππω==,所以1ω= (Ⅱ) ()()212sin 4242g x f x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭ 当,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 34,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以()min 312162g x g π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； ()()max 01g x g ==。
2020年高考数学(理)一轮复习专题4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(练)(原卷版)
A．函数 y g(x) 的最小正周期为 2
B．函数 y g(x) 的图象的一条对称轴为 x 4
C．函数
y
g(x)
的图象的一个对称中心为
2
,
0
D． y g(x) 函数为偶函数
3
3
1
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3
3
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
3
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
3
1
5．（河北省张家口市 2019 届高三期末）先将函数 y 2 sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍， 2
①函数 f x 的最小正周期是
②函数
f
x
在区间
6
, 3
上是减函数
③函数
f
x
的图像关于点 3
,
0
对称
④函数
f
x
的图像可由函数
y
2sin2x
的图像向左平移
个单位得到
3
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
14．（河北省示范性高中 2019 届高三联考）函数 f (x) Asin( x ) （其中 A 0 ， 0 ）的部分图象
（ ）个单位后关于 y 轴对称.
2020年高考数学复习讲练测浙江版第05讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(讲)含解析
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第四章 三角函数与解三角形第05讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ---讲1.了解函数 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的物理意义，掌握 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的图象，了解参数 A ， ω，φ 对函数图象变化的影响.2.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）函数图象的变换； （3）三角函数模型的应用问题.（4）往往将恒等变换与图象和性质结合考查 5.备考重点：（1）掌握函数图象的变换； （2）掌握三角函数模型的应用.知识点1．求三角函数解析式（1）的有关概念，（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：【典例1】（2019·广东高考模拟（理））把函数()y f x =的图象向左平移3个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵g （0）＝2sin φ＝1，即sin φ12=，∴φ或φ（舍去）则g （x ）＝2sin （ωx 56π+）， 又当k=1, 2ω=即g （x ）＝2sin （2x 56π+）， 把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56π+），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23π个单位长度得到函数g （x ）的图象， 即g （x ）＝sin[4（x -23π）56π+]＝故选：B ． 【总结提升】 1.由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得.【变式1】（2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.知识点2．三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数的图象; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数的图象; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数的图象; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数的图象.伸缩变换:把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数的图象;把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数的图象.2. 由sin y x =的图象变换出()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 【典例2】（2019·内蒙古高考模拟（文））要得到函数的图象，只需将函数sin 2y x=的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】C 【解析】 函数＝sin （2x 3π+）＝sin2（x 6π+）， 故把函数sin2y x =的图象向左平移6π个单位，可得函数的图象，故选：C ． 【总结提升】图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【变式2】（2018·浙江杭十四中高三月考）已知函数，若要得到的图象，只需将函数()y f x =的图象上所有的点( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度【答案】A 【解析】 ∵f（x ）＝sin （3π- 2x ）＝-sin （2x-3π ）=-sin2（x-6π），g （x ）＝sin （6π-- 2x ）=-sin （6π+ 2x ）=-sin2（x+12π）∴要想得到函数g （x ）＝sin （6π-- 2x ）的图象，只需把函数f （x ）＝sin （3π- 2x ）的图象上的所有的点向左平移4π个单位． 故选：A ．知识点3．函数的图象与性质的综合应用（1）x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是2||T πω=.【典例3】（2019·全国高考真题（理））设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【解析】 当[0,2]x π∈时，，∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则，即<3ϖ ， ∵，故③正确．故选：D ． 【易错提醒】解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【变式3】（2018年理天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.考点1 求三角函数解析式【典例4】．（2019·河南高考模拟（文））把函数y＝sin（x+）的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）在区间上的值域为_____．【答案】【解析】把函数y＝sin（x+）的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，再将图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，即，∵x∈，∴2x∈（），∵当2x＝3π时y＝﹣cos2x取得最大值，为y＝﹣cos3π＝1，当2x＝时，y＝﹣cos2x取得最小值为y＝﹣cos＝﹣cos＝﹣，即g （x ）在区间上的值域为，故答案为：．【总结提升】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【变式4】（2017·天津高考真题（理））设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A 【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A ．考点2 三角函数图象的变换【典例5】（2017·全国高考真题（理））已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【总结提升】1. 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．注3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【变式5】（2019·广东高考模拟（理））函数的部分图象如图所示，先把函数()y f x=图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x=的图象，则函数()y g x=的图象的一条对称轴为（）A．34xπ=B．4xπ=C．4πx=-D．34xπ=-【答案】C【解析】由图得，从而，, ,选C.考点3 三角函数模型的应用【典例6】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从①，②，③中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1) 选②做为函数模型，;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全.【解析】（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②做为函数模型，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：令 1.05y ≥，即又518t ≤≤∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．【变式6】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为 元．【答案】6000．【解析】作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6. 考点4函数的图象与性质的综合应用【典例7】（2017·山东高考真题（理））设函数，其中.已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1). (2) . 【解析】（Ⅰ）因为， 所以由题设知， 所以，. 故，，又， 所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．2.研究y＝A sin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．【变式7】（2018·全国高考真题（理））函数在的零点个数为________．【答案】【解析】由题可知，或解得,或故有3个零点.。
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4-4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(练)含解析
专题4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用1．（江苏省南京市六校联合体2018-2019学年联考）将函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）. A ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．1sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B【解析】sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度得：sin sin 636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所有点横坐标变为原来2倍得：1sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，本题选B 。
2．（安徽省池州市2018-2019学年期末）若函数()2sin 314f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移（ ）个单位后关于y 轴对称. A ．12π B ．4π C ．6π D ．2π 【答案】A【解析】由题意，将函数()2sin 314f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位后得到函数()2sin[3()]12cos3112124f x x x πππ+=+++=+，此时可得函数2cos31y x =+图像关于y 轴对称，故选A 。
3．（山东省潍坊市2018-2019学年期中）若将函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ．1,26x k k Z ππ=-∈ B ．1,26x k k Z ππ=+∈ C ．1,212x k k Z ππ=-∈D ．1,212x k k Z ππ=+∈【解析】将函数cos2y x =的图象向右平移12π个单位长度即可得cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦根据余弦函数的对称轴方程可知26x k ππ-=解得1212x k ππ=+，k Z ∈ 所以选D 。
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4-4：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(讲)
专题 4.4函数 y ＝ Asin( ω x ＋φ )的图象及应用1．认识函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的物理意义；能画出 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的图象，认识参数 A ， ω，φ对函数图象变化的影响．2．认识三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实质问题．知识点一 函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的图象1．函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的相关观点y ＝ Asin( ωx＋ φ)振幅周期频次 相位初相(A>0， ω>0) A2π1 ωT ＝ ωf ＝ T ＝2πωx＋ φ φ2.用五点法画 y ＝ Asin( ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画 y ＝Asin( ωx＋ φ)一个周期内的简图时，要找五个重点点，以下表所示：xφ π φπ－ φ 3π φ2π－ φ－ ω－ωω －ωω2ω 2ω ωx＋φ0 ππ3π2π 22y ＝ Asin(ωx＋ φ)A－ A3.由函数 y ＝ sin x 的图象变换获得 y ＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0 ，ω>0) 的图象的两种方法知识点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实质中的应用表此刻两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的相关性质解决问题，其重点是正确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法例．(2)把实质问题抽象转变成数学识题，成立三角函数模型，再利用三角函数的相关知识解决问题，其关键是建模．考点一 函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的图象及变换【典例1】 (2017 ·全国卷Ⅰ )已知曲线 C 1：y ＝ cosx ， C 2：y ＝ sin 2x ＋2π，则下边结论正确的选项是 ()3A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到本来的2 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移π个单位长度，得6到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到本来的2 倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移π个单位长度，12获得曲线 C 2C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向右平移π个单位长度，得26到曲线 C 2D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变，再把获得的曲线向左平移π个单位长度，得2 12到曲线 C 2【答案】 D【分析】易知 C 1x ＋ π，把曲线 C 1上的各点的横坐标缩短到本来的 1倍，纵坐标不变，： y ＝ cosx ＝sin2 2πππ π获得函数 y ＝ sin 2x ＋ 2 的图象，再把所得函数的图象向左平移12个单位长度， 可得函数 y ＝ sin 2 x ＋ 12 ＋ 2＝ sin 2x ＋ 2π的图象，即曲线 C 2，所以 D 项正确。
2020高考数学总复习课时作业：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 含解析
4．(2020·××市模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ) 的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在 上的最小值为()
A. B.
C．－ D．－
解析：D[函数f(x)＝sin (2x＋φ) 的图象向左平移 个单位后，得到函数
y＝sin ＝sin 的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得 ＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－ ，f(x)＝sin .由题意x∈ ，得2x－ ∈ ，∴sin ∈
(3)写出f(x)的单调递增区间．
解：(1)令X＝2x＋ ，则y＝sin ＝sinX.
列表：
xபைடு நூலகம்
－
X
0
π
2π
y＝sin
0
1
0
－1
0
描点，画出函数f(x)在 上的图象：
(2)因为 ≤x≤ ，所以 ≤2x＋ ≤ ，
当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，sin 最大值等于1，即f(x)的最大值等于1；
当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，sin 最小值等于－ ，即f(x)的最小值等于－ .
∴函数y＝sin 在区间 的最小值为－ .]
5．(2020·××市一模)如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，那么中午12时温度的近似值(精确到1℃)是()
A．25℃B．26℃
C．27℃D．28℃
解析：C[由函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的图象，可得b＝20，A＝ ＝10， · ＝14－6，得ω＝ .再根据五点法作图可得 ·6＋φ＝ ，φ＝ ，故y＝10sin ＋20.
解析：函数f(x)＝2sin (ω＞0)的图象向右平移 个单位，
2020版高考数学一轮复习-第5节函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用习题(理)(含解析)
第5节函数y=Asin (ωx+ϕ)的图象及应用知识点、方法题号三角函数图象及变换1,4,5,7三角函数的解析式及模型应用2,3,8,13综合应用6,9,10,11,12,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·莱芜期中)要得到函数f(x)=cos(2x-)的图象,只需将函数g(x)=sin 2x的图象( A )(A)向左平移个单位长度(B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度(D)向右平移个单位长度解析:f(x)=cos(2x-)=sin(2x-+)=sin(2x+)=sin[2(x+)].故将函数g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到f(x)的图象.故选A.2.(2018·石嘴山三中)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(其中A>0,ω>0,|ϕ|<)的一部分图象如图所示,将函数上的每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象表示的函数可以为( A )(A)f(x)=sin(x+) (B)f(x)=sin(4x+)(C)f(x)=sin(x+) (D)f(x)=sin(4x+)解析:由题中图象知,A=1,=2×(-),Asin(ω+ϕ)=0.又|ϕ|<,故ω=2,ϕ=.所以f(x)=sin（2x+）.将图象上横坐标伸长为原来的2倍,得f(x)=sin（x+）.故选A.3.(2018·武邑中学)已知函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)+1(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的最大值为3,y=f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2,与y轴的交点的纵坐标为1,则f()等于( D ) (A)1 (B)-1 (C)(D)0解析:由题设条件得A=2,=2,所以T=4=,所以ω=,所以f(x)=2cos（x+ϕ）+1.将(0,1)代入f(x)得1=2cos ϕ+1,所以ϕ=kπ+,k∈Z.因为0<ϕ<π,所以ϕ=.所以f(x)=2cos(x+)+1,则f()=2cos +1=0.故选D.4.(2018·广东一模)已知曲线C:y=sin(2x-),则下列结论正确的是( B )(A)把C向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称(B)把C向右平移个单位长度,得到的曲线关于y轴对称(C)把C向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称(D)把C向右平移个单位长度,得到的曲线关于y轴对称解析:对于A,将C向左平移个单位长度,得y=sin[2(x+)-]=cos 2x.其图象关于y轴对称,A错;对于B,将C向右平移个单位长度,得y=sin[2(x-)-]=sin(2x-)=-cos 2x.其图象关于y轴对称,B正确;对于C,将C向左平移个单位长度,得y=sin[2(x+)-]=sin(2x+).其图象不关于原点对称,C错;对于D,将C向右平移个单位长度,得y=sin[2(x-)-]=sin(2x-).其图象不关于y轴对称,D错.故选B.5.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( B )(A)x=-(k∈Z) (B)x=+(k∈Z)(C)x=-(k∈Z) (D)x=+(k∈Z)解析:将y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得y=2sin (2x+)的图象.令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.故选B.6.(2018·武昌调研)函数f(x)=Acos (ωx+ϕ)的部分图象如图所示,给出以下结论:①f(x)的最小正周期为2;②f(x)的一条对称轴为x=-;③f(x)在(2k-,2k+),k∈Z上是减函数;④f(x)的最大值为A.则正确结论的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×(-)=2,故①正确;因为函数f(x)的图象过点(,0)和(,0),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=×(+)+=+k(k∈Z),故直线x=-不是函数f(x)图象的对称轴,故②不正确;由题图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+(k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.故选B.7.设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(|ϕ|<)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个奇函数,则ϕ= .解析:函数f(x)=sin(2x+ϕ)(|ϕ|<)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=sin[2(x+)+ϕ]=sin(2x++ϕ)的图象,由于平移后的函数为奇函数,即+ϕ=kπ,k∈Z,又因为|ϕ|<,所以ϕ=.答案:8.已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ){x∈[-,],ϕ∈(0,)}的图象如图所示,若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,则f(x1+x2)的值为.解析:法一由f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈[-,]的图象,得最小正周期T==(+)=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+ϕ),将点(,-2)代入,得sin(+ϕ)=-1,又ϕ∈(0,),解得ϕ=,所以f(x)=2sin(2x+){x∈[-,]},由f(x1)=f(x2)得sin(2x1+)=sin(2x2+){x1,x2∈[-,],x1≠x2},因为x∈[-,],所以0≤2x+≤,所以2x1++2x2+=π,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin =1.法二由f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈[-,]的图象,得最小正周期T==(+)=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+ϕ),将点(,-2)代入,得sin(+ϕ)=-1,又ϕ∈(0,),解得ϕ=,所以f(x)=2sin(2x+){x∈[-,]},因为f(x1)=f(x2)且x1≠x2,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=2sin =1.答案:1能力提升(时间:15分钟)9.已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<),f(x1)=2,f(x2)=0,若|x1-x2|的最小值为,且f()=1,则f(x)的单调递增区间为( B )(A)[-+2k,+2k],k∈Z(B)[-+2k,+2k],k∈Z(C)[-+2kπ,+2kπ],k∈Z(D)[+2k,+2k],k∈Z解析:由f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为可知,=,所以T=2⇒ω=π,又f()=1,则ϕ=±+2kπ,k∈Z,因为0<ϕ<,所以ϕ=,所以f(x)=2sin(πx+),由2kπ-≤πx+≤2kπ+(k∈Z),得f(x)的单调递增区间为[-+2k,+2k],k∈Z,故选B.10.(2018·佳木斯模拟)函数y=sin πx的部分图象如图所示,O为坐标原点,P是图象的最高点,A,B分别是图象与x轴的两交点,则tan ∠APB等于( D )(A)10 (B)8 (C)(D)解析:由y=sin πx可知T=2,所以AB=1,P(,1),A(1,0),B(2,0),过点P作PC⊥AB,则有C(,0),AC=,CB=,tan∠BPC=,tan∠APC=,所以tan∠APB=tan (∠BPC-∠APC)==,故选D.11.将函数y=sin(2x-)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin 2x的图象上,则( A )(A)t=,s的最小值为(B)t=,s的最小值为(C)t=,s的最小值为(D)t=,s的最小值为解析:因为点P(,t)在函数y=sin(2x-)的图象上,所以t=sin(2×-)=sin =.所以P(,).将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′(-s,).因为P′在函数y=sin 2x的图象上,所以sin[2(-s)]=,即cos 2s=,所以2s=2kπ+,k∈Z或2s=2kπ+π,k∈Z,即s=kπ+,k∈Z或s=kπ+,k∈Z,所以s的最小值为.故选A.12.(2018·六安一中)已知函数f(x)=sin(2x+ϕ),其中ϕ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是( C )(A)[kπ-,kπ+](k∈Z)(B)[kπ,kπ+](k∈Z)(C)[kπ+,kπ+](k∈Z)(D)[kπ-,kπ](k∈Z)解析:若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,则f()为函数的最大值或最小值.则2×+ϕ=+kπ,k∈Z.解得ϕ=+kπ,k∈Z.又因为f()>f(π),所以sin(π+ϕ)=-sin ϕ>sin(2π+ϕ)=sin ϕ,所以sin ϕ<0.令k=-1,此时ϕ=-,满足条件sin ϕ<0.令2x-∈[2kπ-,2kπ+],k∈Z.解得x∈[kπ+,kπ+],k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).故选C.13.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+ϕ){t≥0,ω>0,|ϕ|<},则下列叙述正确的序号是.①R=6,ω=,ϕ=-;②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;③当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减;④当t=20时,|PA|=6.解析:由点A(3,-3)可得R=6,由旋转一周用时60秒,可得ω=,由∠xOA=,可得ϕ=-,所以①正确.由①得y=f(t)=6sin(t-).由t∈[35,55]可得t-∈[π,],则当t-=,即t=50时,|y|取到最大值为6,所以②正确.由t∈[10,25]可得t-∈[,],函数y=f(t)先增后减,所以③错误.t=20时,点P(0,6),可得|PA|=6,所以④正确.答案:①②④14.设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3.已知f()=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx=(sin ωx-cos ωx)=sin(ωx-).由题设知f()=0,所以-=kπ,k∈Z,所以ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-). 因为x∈[-,],所以x-∈[-,].当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.。
2020高考山西数学_理_大一轮复习_4-第四章 三角函数_解三角形 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第六节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用A组基础题组1.函数y=sin在区间上的简图是( )答案 A 令x=0,得y=sin=-,排除B,D.令x=-,得y=sin(-π)=0,排除C.2.将函数f(x)=cos 2x-sin 2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象,则下列说法中正确的是( )A.函数F(x)是奇函数,最小值是-2B.函数F(x)是偶函数,最小值是-2C.函数F(x)是奇函数,最小值是-D.函数F(x)是偶函数,最小值是-答案 C f(x)=cos 2x-sin 2x=cos,将f(x)的图象向左平移个单位后得F(x)的图象,则F(x)=·cos=cos=-sin 2x,所以F(x)是奇函数,最小值为-.故选C.3.(2018河北、河南重点中学第三次联考,7)若对于任意的x∈R都有f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,则函数f(2x)图象的对称中心为( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案 D 因为f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,1 / 9所以f(-x)+2f(x)=3cos x+sin x.可得f(x)=cos x+sin x=sin,所以f(2x)=sin.令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).所以f(2x)图象的对称中心为(k∈Z).4.(2018山东潍坊统一考试)函数y=sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的值为( )A. B. C. D.答案 B 由题意知y=sin 2x-cos 2x=2sin,其图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=2sin的图象,因为g(x)为偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=+,k∈Z,又φ∈,所以φ=.5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin答案 A 根据函数的图象可得A=1,=-=,∴T=π,∴ω==2.∵f=1,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)=sin.故选A.6.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是.答案,k∈Z2 / 9解析令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是,k∈Z.7.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<, f(x)的最小正周期为π,且f(0)=,则ω= ,φ= .答案 2解析由函数f(x)的最小正周期为π,得到ω=2(ω>0),又由f(0)=且|φ|<得到φ=.8.(2019江西南昌模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM 为等腰直角三角形,则f(x)= .答案cos πx解析由题意可得·=KL=1,所以ω=π,易得A=,所以f(x)=sin(πx+φ).再结合f(x)为偶函数以及所给的图象,可得φ=,所以f(x)=cos πx.9.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,ω的值和M,P两点间的距离.3 / 9解析依题意,有A=2,=3,因为T=,所以ω=,所以y=2sinx,x∈[0,4],所以当x=4时,y=2sin=3,所以M(4,3),又P(8,0),所以MP===5(km),即M,P两点间的距离为5 km.10.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)试求ω的值,并求出函数的单调增区间;(2)先列表,再作出函数f(x)在[-π,π]上的图象.解析(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心,所以-+=kπ,k∈Z,所以ω=-3k+(k∈Z),因为0<ω<1,所以当k=0时,可得ω=.所以f(x)=2sin,令2kπ-<x+<2kπ+,k∈Z, 解得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,所以函数的增区间为,k∈Z.(2)由(1)知, f(x)=2sin,x∈[-π,π],列表如下:4 / 95 / 9作图如下:B 组 提升题组1.已知A,B,C,D,E 是函数y=sin(ωx+φ)的一个周期内的图象上的五个点,如图所示,A,B 为y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,在x 轴上的投影为,则ω,φ的值分别为( )A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=答案 A 根据题意,E 为该函数图象的一个对称中心,B与D 关于点E 对称,且||在x 轴上的投影为,所以最小正周期T=4×=π, 所以ω==2.又A,所以sin=0,又0<φ<,所以φ=.故选A.2.水车是古代劳动人民进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时6 / 9针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t 秒后,水斗旋转到点P,设P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述错误的是( )A.R=6,ω=,φ=-B.当t ∈[35,55]时,点P 到x 轴的距离的最大值为6C.当t ∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减D.当t=20时,|PA|=6答案 C 由点A(3,-3)可得R=6.由旋转一周用时60秒可得T==60,则ω=.由点A(3,-3)可得∠AOx=-,则φ=-,故A 叙述正确. 当t ∈[35,55]时,t-∈, ∴当t-=时,得点P(0,-6),此时,点P 到x 轴的距离最大且为6, 故B 叙述正确.当t ∈[10,25]时,t-∈,此时函数f(t)不单调.故C 叙述错误.∵f(t)=6sin, ∴当t=20时,水车旋转了三分之一周期,则∠AOP=, ∴可求得|PA|=6,故D 叙述正确.故选C.3.如图,某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π).7 / 9(1)求该曲线所对应的函数解析式;(2)若某行业在当地需要的温度在[20-5,20+5]之间为最佳营业时间,那么该行业在6~14时,最佳营业时间为多少小时? 解析 (1)由图象知且×=14-6, 所以A=10,b=20,ω=, 所以y=10sin+20.①当t=6时,y=10,代入①得φ=+2k π,k ∈Z. 因为0<φ<π,所以φ=π.所以该曲线所对应的函数解析式为y=10sin+20,t ∈[6,14]. (2)由题意得,20-5≤10sin+20≤20+5, 即-≤sin ≤,所以k π-≤t+≤k π+,k ∈Z. 即8k-8≤t ≤8k-4,因为t ∈[6,14],所以k=2,即8≤t ≤12, 所以最佳营业时间为12-8=4小时.4.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos 2ωx-(ω>0),其最小正周期为. (1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.解析(1)f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-=sin 2ωx+-=sin.因为f(x)的最小正周期T=,所以T===,所以ω=2,所以f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,所以g(x)=sin,当0≤x≤时,-≤2x-≤,易知当-≤2x-≤,即0≤x≤π时,g(x)单调递增,且g(x)∈;当<2x-≤,即π<x≤时,g(x)单调递减,且g(x)∈.又g(x)+k=0在上有且只有一个实数解,即函数y=g(x)与y=-k的图象在上有且只有一个交点,所以-≤-k<或-k=1,解得-<k≤或k=-1,8 / 9所以实数k的取值范围是∪{-1}.9 / 9。
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[基础题组练]1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin(x －π4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin(x 2－5π24)B ．y ＝sin(x 2－π3)C ．y ＝sin(x 2－5π12)D ．y ＝sin(2x －7π12)解析：选B.函数y ＝sin(x －π4)经伸长变换得y ＝sin(x 2－π4)，再作平移变换得y ＝sin[12(x －π6)－π4]＝sin(x 2－π3)． 2．(2019·益阳、湘潭调研)要得到函数f (x )＝sin 2x ，x ∈R 的图象，只需将函数g (x )＝sin(2x ＋π3)，x ∈R的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选D.由于把函数y ＝sin 2x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin 2(x ＋π6)＝sin(2x ＋π3)的图象，故为了得到函数f (x )＝sin 2x ，x ∈R 的图象，只需把g (x )＝sin(2x ＋π3)，x ∈R 的图象向右平移π6个单位即可，故选D.3．(2019·广州调研)将函数y ＝2sin(x ＋π3)cos(x ＋π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B.根据题意可得y ＝sin(2x ＋2π3)，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin(2x ＋2π3＋2φ)的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.4．(2019·郑州质量预测)若将函数f (x )＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A ．[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )B ．[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )C ．[k π－2π3，k π－π6](k ∈Z )D ．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )解析：选A.将函数f (x )＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝12sin[2(x＋π3)＋π3]＝12sin(2x ＋π)＝－12sin 2x 的图象，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )，故选A.5．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π3个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝2π3B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝1，φ＝－π3D ．ω＝1，φ＝2π3解析：选A.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π3个单位后可得y ＝sin(ωx ＋πω3＋φ)．由函数的图象可知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，所以T ＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y ＝sin(2x ＋φ＋2π3)．由图知当y ＝－1时，x ＝12×(π3－π6)＝π12，所以函数的图象过(π12，－1)，所以sin(5π6＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝2π3.故选A.6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)的值等于( )A.22B. 2C.2＋2D ．1解析：选C.由题图知A ＝2，T2＝6－2＝4，所以T ＝8，则ω＝2π8＝π4.所以y ＝2sin(π4x ＋φ)．又因为函数图象过点(2，2)，所以2sin(π4×2＋φ)＝2，所以π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin(π4x )．因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)＝2f (1)＋2f (2)＋…＋2f (8)＋f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (2)＝2＋2，故选C. 7．(2019·湖南、江西等地十四校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x 1，x 2∈(π2，π)，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.解析：由题意可得A ＝2，34T ＝34×2πω＝11π12－π6＝34π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，则ωx ＋φ＝2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，据此可得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，因为0<φ<π，令k ＝0可得φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)．当x ∈(π2，π)时，7π6<2x ＋π6<13π6，所以f (x )在此区间上的对称轴方程为x ＝2π3.由x 1，x 2∈(π2，π)，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，可得x 1＋x 2＝4π3，则f (4π3)＝2sin(2×4π3＋π6)＝2sin 17π6＝2×12＝1.答案：18．(2019·无锡模拟)函数y ＝cos(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象重合，则φ＝________．解析：把函数y ＝cos (2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，得到y ＝cos (2x －π＋φ)的图象， 与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象重合，则cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以－π2＋φ＝－π3，则φ＝π6，答案：π69．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，(ω>0，|φ|<π2)，若f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则φ＝________.解析：由f (x )的最小正周期大于2π，得T 4>π2.又f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，由题意得T 4＝11π8－5π8＝3π4，所以T ＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝23，所以f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＝2sin(23x ＋φ)．由f (5π8)＝2sin(23×5π8＋φ)＝2⇒sin(5π12＋φ)＝1，所以5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，取k ＝0，得φ＝π12. 答案：π1210．(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z 上是减函数；④f (x )的最大值为A .则正确的结论为________．(填序号)解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×(54－14)＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点(14，0)和(54，0)，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12(14＋54)＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．答案：①③11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，所以ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)， 又图象过点P (π12，0)，所以5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝－π6， 所以y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.[综合题组练]1．(创新型)定义运算|a b c d |＝ad －bc .将函数f (x )＝|3 sin x1 cos x |的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A.π3 B.76π C.π6D.56π 解析：选D.f (x )＝|3 sin x 1 cos x |＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋π6)，向左平移φ个单位得到y ＝2cos(x ＋π6＋φ)，由题意y ＝2cos(x ＋π6＋φ)是偶函数，所以π6＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(φ>0)．故当k ＝1时，φ的最小值为56π.2．(创新型)(2019·华南师范大学附属中学综合测试)如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )A ．－1B ．1C ．－32D.32解析：选D.由题设并结合图形可知， AB ＝（3）2＋[（3）2＋（T2）2]＝6＋T 42＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝32.3．(应用型)若在区间(n ，m )上，函数f (x )＝2cos 2x 的图象总在函数g (x )＝－7－43sin x 的图象的上方，则m －n 的最大值为( )A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：选D.根据题意，函数f (x )＝2cos 2x 的图象总在函数g (x )＝－7－43sin x 的图象的上方可以转化为2cos 2x >－7－43sin x 恒成立，即2cos 2x ＋7＋43sin x >0.根据二倍角公式化简为4sin 2x －43sin x －9<0⇒－32<sin x <332. 因为sin x ∈[－1，1]，所以sin x ∈(－32，1]．在一个周期[－π2，3π2]上画出图象可得x ∈(－π3，4π3)，所以(m －n )max ＝5π3. 4．(应用型)(2019·济宁模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0. (1)若y ＝f (x )在[－π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围．(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．①求函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象； ②对任意a ∈R ，求函数y ＝g (x )在区间[a ，a ＋10π]上零点个数的所有可能值．解：(1)因为在[－π4，2π3]上，函数f (x )＝2sin ωx 单调递增，所以ω·2π3≤π2，求得ω≤34，所以ω的取值范围为(0，34]．(2)①令ω＝2，将函数y ＝f (x )＝2sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝2sin 2(x ＋π6)的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1的图象． 即函数y ＝g (x )的解析式为y ＝g (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.列表：故函数g(x)最多有21个零点，最少有20个零点．零点个数的所有可能值为20，21.。