允许缺货的经济订货批量模型

允许缺货的经济订货批量模型

在有些情况下，存贮系统允许缺货现象存在。在存贮水平变为零以后，还要等一段时间后再去订货，此时，由于缺货就要带来一定的缺货损失费。但是，该存贮系统库存量比不允许缺货时要少，从而存贮费相对就可节省，同时，不必经常地去订货，也会使订购费用减少。当降低的成本大于造成的缺货经损失时，存贮系统自然就采取缺货的策略了。

这个存贮模型的基本假设前提是：

（1）当库存量减少到零时，延迟一段时问再进行补充。但一旦进行补充，瞬时就能到货，补充一次性完成；

（2）需求均匀连续，需求速率u 为常数，在订货周期t 内的需求量为ut ，每次订购批量Q ，ut Q =；

（3）每次订购费a 相同，单位时间内单位货物的存贮费b 不变，单位货物的缺货费c 不变。

该模型的存贮状态变化如图10—3所示。

库存量

t t t

图10—3

如图所设，每一个订货周期t 内的最大缺货量为2Q ，实际进库量为1Q ，当进货时，每批的订购批量为

21Q Q Q +=

在这里，我们假定采用“缺货预约”的办法：未能满足的需求量作为缺货予以登记，待进货后立即进行补偿。或者在实际问题中也可以如此处理：该存贮系统有一个安全库存量2Q （支付超存贮费，也即缺货损失费），一旦缺货就动用安全库存量2Q 。当进货时，被动用的安全库存量2Q 应该得到补偿。

同前面一个模型一样，我们设单位时间内存贮货物的总费用的平均值为函数f 。在订货周期t 内总费用为订货费、存贮费与缺货费之和。

根据假设，单位时间的订货费为eu + (a/t) 。

由图10—3可知，在订货周期t 内的存储量为一个三角形的面积：2/11t Q ，因此，单位时间内的存贮费为t t bQ 2/11。

在订货周期t 内的缺货量为一个三角形的面积：2/)(12t t Q -，因此，单位时间内的缺货费为t t t cQ 2/)(12-。

根据相似三角形对应边关系，有Q Q t t t //)(21=-，又ut Q =，12Q Q Q -=，故单位时间内的缺货费为ut Q ut c 2/)(21-。

综上所述，单位时间内存贮货物的平均总费用函数为

t

u Q ut c u bQ eut a f 1)2)(2(2121⋅-+++=。 我们将f 对t 和1Q 分别求一阶偏导数，并令其为零，即

0=∂∂t f 和01=∂∂Q f ，解此方程组，可得： 最佳订货周期bcu

c b a t )(2*+=， （10—4） )

(2*1c b b acu Q +=。 （10—5） 由ut Q =可得，最佳订购批量bc c b au Q )(2*+=

， （10—6） 由11ut Q =得，)

(2*1c b bu ac t +=， （10—7） 最小平均费用eu c b abcu f ++=

2*。 （10—8） 例10—3 若在例10—1中，其他条件不变，现可以考虑允许缺货，每月的缺货损失费c 为1.5元/件。试计算这时的最佳订购批量、最佳订货周期、最小平均费用。

解 根据公式（10—6）、（10—4）和（10—8），可得： 最佳订购批量bc c b au Q )(2*+==5

.14.0)5.14.0(10052⨯+⨯⨯⨯=56（件）； 最佳订货周期bcu c b a t )(2*+==1006.14.0)6.14.0(52⨯⨯+⨯⨯=0.56（月）； 最小平均费用eu c b abcu f ++=2*=10046

.14.01006.14.052⨯++⨯⨯⨯⨯=417.89（元/月）