2021高中高一自主招生数学试题(有答案)
2021年芜湖一中高一自主招生考试数学试卷
芜湖一中高一自主招生考试数 学 试 卷一、选取题（每小题6分，共42分） 1．方程301x y x +-=+整数解共有（ ）组 A ．1B ．2C ．3D ．42．当1,2,3,,2015n =时，二次函数22()(21)1y n n x n x =+-++图象与x 轴所截得线段长度之和为（ ） A ．20162017 B ．20152016C ．20142015D ．201320143．某几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ） A ．168π+ B ．88π+C ．1616π+D ．816π+4．已知直角ABC 面积为13，斜边BC 长为14，则2211AB AC +=（ ） A ．1413B ．1413C ．1314D ．13145．已知关于x 不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩只有五个整数解，则t 取值范畴是（ ）A ．1162t -<<-B ．1162t -≤<-C ．1162t -<≤-D ．1162t -≤≤-6．已知a b >，2a b +=，则22a b a b+-最小值为（ ）A ．22B ．2C ．2D ．1第3题7．如图，正方形ABCD 边长为4个单位，一动点P 从点A 出发，沿正方形边界按顺时针A→B→C→D→A 方向运动，以每迈进5个单位后退3个单位方式移动。
已知点P 每秒迈进或后退1个单位，设n x 表达第n 秒点P 与A 距离，则2019x 为（ ） A ．17B ．25C ．5D ．42二、填空题（每小题6分，共54分）8．已知a 是方程2310x x -+=根，则分式543226213a a a a a-+--值是 。
9．在ABC 中，AC=2，3BC =，则A ∠取值范畴是 。
10．已知关于x 不等式2x x k +-≥有实数解，则实数k 取值范畴是 。
11．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通。
高中自主招生数学试题及答案
高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。
A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。
7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。
9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。
10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。
三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。
（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。
（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。
（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。
希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。
高中自招试题数学答案及解析
高中自招试题数学答案及解析试题一：已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其导数\( f'(x) \)。
答案：首先，根据导数的定义，我们对函数\( f(x) \)进行求导。
对于\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，其导数\( f'(x) \)为：\[ f'(x) = 6x - 2 \]解析：求导的过程涉及到幂函数的导数规则，即\( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)。
对于常数项1，其导数为0。
将各项的导数相加，得到最终的导数表达式。
试题二：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和集合B 的交集A∩B。
答案：集合A和集合B的交集A∩B为{2, 3}。
解析：交集是指两个集合中共有的元素。
在这个例子中，我们可以看到元素2和3同时出现在集合A和集合B中，因此它们构成了这两个集合的交集。
试题三：若\( \sin(2x) = 2\sin(x) \)，求\( x \)的值。
答案：根据二倍角公式，我们知道\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。
将题目中的等式代入，得到：\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x) \]由于\( \sin(x) \neq 0 \)，我们可以除以\( 2\sin(x) \)得到：\[ \cos(x) = 1 \]这意味着\( x \)的值是\( 2k\pi \)，其中\( k \)是整数。
解析：这个问题的关键在于识别并应用二倍角公式。
通过将等式转换为已知的三角恒等式，我们可以简化问题并找到\( x \)的解。
试题四：解不等式\( |x - 3| < 2 \)。
答案：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以分解为两个不等式：\[ -2 < x - 3 < 2 \]解得：\[ 1 < x < 5 \]解析：绝对值不等式可以通过将其分解为两个不等式来解决。
2021年高一探究部自主招生考试数学试题含答案
2021年高一探究部自主招生考试数学试题含答案本试卷分两部分，第一部分为选择题和填空题，第二部分为解答题，共6页.满分100分，考试用时100分钟.考试结束后，只将答题卡交回.第一部分（选择题和填空题，共42分）一、选择题：（本大题共8个小题,在每小题的四个选项中只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分,满分24分.）1.下列运算正确的是（）2.在算式的中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是( )A. 加号B. 减号C. 乘号D. 除号3.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（）A. B.C. D.4.如图，一次函数y=kx+b的图像经过A、B两点，则kx+b＞2的解集是（）A.x<-3B.x>-3C.x<0D.x>04题图 5题图5.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，ABDEF某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.58，为尽可能达到美的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm6.如图，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB ＝4cm ， E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．43cm B ．63cm C ．83cm D ．6cm（6题图） 7.一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上 的数字分别是m ，n ．若把m ，n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m ，n ）在函数 的图象上的概率是（ ） A. B.C. D.8.()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值. 小明是这样想的： 由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12 .请你根据小明的思路解答下列小题：函数y=2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）9.现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的xx 年的“双11”网上促销 活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破91217 000 000元，将91217 000 000元用科学记y x Oyx Oy xOyxOA B C D数法表示为元。
2021年高中自主招生数学卷1 、2
2021高中自主招生数学题一1、计算：333329532453++ ⋅⋅⋅+++++333332、化简：24066312305941--+++3、已知347-=m ，求15482223+-+-m m mm m 的值4、已知a 为正整数，3382++a a 为一自然数，求a 的值5、若x 、y 、z 为自然数，z y x <<，且238=++z y x ，5486=xyz 求x 、y 、z6、已知 012=++x x ，求 x x +17的值7、若x 不为零且满足0989796=++x x x ，求99x8、已知实数x 、y 满足12-3--=-+y x y x ，求x y 的值9、已知m 、n 为不同的正整数，且11211=+n m ，求n m +的值10、已知非零实数t 满足012=--t t ，求487-+t t11、设m b a ==53，且211=+b a ，求m 的值12、已知z y x z y x ++=-+-+84444，求z y x ++的值13、若正整数x 、y 满足200922=+y x ，求y x +的值14、已知83112-+-=-m m m ，求m 的取值范围15、已知实数x 、y 满足0122=-+xy x ，求22y x +的最小值16、非负实数x 、y 满足12=+y x ，求22y x x ++的最小值17、若实数x 、y 满足x y x 85622=+，求22y x +的最值18、因式分解：abc c b a 3333-++19、因式分解 2222)1(8)1(x x x x +-++20、分解因式：3542322+++++y x y xy x21、求9)4(25)3(22+-++-x x 的最小值22、解方程：136327+++=+++x x x x23、解方程：6)1)(43()762=+++x x x （高中自主招生数学题二24、解方程：0673624336127361222=-----+--x x x x x x25、解方程：x x x x x 71357139722=+-+++26、解方程：2282833=--+x x27、解方程：23455=+--y y x28、解方程644=x x29、已知正数a 、b 、c 满足c b a 643==，求证：b ac 122+=30、已知正数a 、b 、c 满足1=++c b a ，求证：9111≥++cb a31、一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（ ）A ．7.5秒B ．6秒C ．5秒D ．4秒322，结果是（ ） A ．66x - B ．66x -+ C ．4- D ．433、若p 和q 为质数，且5391p q +=，则p = ，q = ．34、在2016的中间嵌入一个数字得到五位数2016，若此五位数能被7整除，则嵌入的数字为 ．35、有一个五边形CD AB E ，若把顶点A ，B ，C ，D ，E 涂上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有 种不同的涂色方法．36、设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．37、在平行四边形CD AB 的边AB 和D A 上分别取点E 和F ，使13AE =AB ，1F D 4A =A ，连接F E 交对角线C A 于G ，则G CA A 的值是 ．38、如图，将C ∆AB 沿着它的中位线D E 折叠后，点A 落到点'A ，若C 120∠=，26∠A =，则D '∠A B 的度数是 ．39、（本小题16分）如图，直线OB 是一次函数2y x =的图象，点A 的坐标为()0,2，在直线OB 上找点C ，使得C ∆AO 为等腰三角形，求点C 的坐标．40、如果自然数x 、y 、z 满足366313029=++z y x ，求z y x ++的值41、正整数a 、b 满足3111=+b a ，求b a +42、已知实数x 、y 满足1)1)(1(22=++++y y x x ，求y x +43、解方程：579922+=-++x x44、在实数范围内解方程组623222=++=++y x y xy x45、若31=+x x ，求1146102810++++++x x x x x x 的值。
2021年合肥一中自主招生数学试卷含答案
合肥一中自主招生《科学素养》测试数学试题（满分：150分）一、选取题：（本大题共4小题，每小题8分，共32分．在每小题给出四个选项中，有且只有一项是对的．）1.如图一张圆桌旁有四个座位，A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上，A 则D 与相邻概率是（ ）2.3A B. 12 C. 14 D. 292. 小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一种棱长为10正方体表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸边长至少为（ ）A ．40B ．30+22C ．202D ．10+1023.在平面直角坐标系中，第一种正方形ABCD 位置如图所示，点A 坐标为（1,0），点D 坐标为（1,0）,延长CB 交x 轴与A 1，作作第二个正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作第二个正方形 A 2B 2C 2C 1•••，按这样规律进行下去，第个正方形面积为（ ）A. 200935()2 B. 200895()4 C. 401835()2 D. 201095()44.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=6，通过点C 且与边AB 相切动圆与CA,CB 分别相交于点P,Q ，则线段PQ 长度为（ ）A.4.75B.4.8C.5D.42二、填空题（本大题共有5小题，每题10分，共50分）5.某县为了理解“五·一”期间该县常住居民出游状况，关于部门随机调查了1600名居民，并依照调查成果绘制了如下记录图：若该县常住居民共24万人，则预计该县常住居民中，运用“五·一”期间出游采集发展信息人数约为 万人。
6.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y ≤x+4,x,y 为整数，符合上述条件点P 共有 个。
7. 如图，已知菱形OABC,点C 在直线y=x 通过点A ，菱形OABC 面积是2，若反比例函数图象通过点B,则此反比例函数表达式为 。
（第7题） （第8题）8.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC,，AD ＝2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连结AE ，若△ADE 面积是3，则BC 长为_ ________．A BC DE9.如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1小正方形构成L型模板如图放置，则矩形ABCD周长为。
高一数学自主招生预录考试训练试题一理科实验班,扫描 试题
中学2021年高一数学自主招生预录考试训练试题〔一〕〔理科实验班，扫描版〕预录考试数学训练题〔一〕参考答案一、选择题〔一共4小题，每一小题5分，一共20分〕1．D ．解析：设高速列车和普通列车的车速分别为x 米/秒和y 米/秒，那么100520(/)x y m s -=÷=， 所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是是：80÷20=4秒 ．2．D ．3．C ．4．C ．二、填空题〔一共8小题，每一小题5分，一共40分〕5．17，2．6．1或者8．7．﹣5或者﹣6．8．30．9．18．解析：由题意，得222255202860(552)156()aa a k k N ∆=-+=-+=∈，即22(552)156[(552)][(552)]782262k a k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯． 因为[(552)][(552)]k a k a +---和具有相同的奇偶性，且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0，故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或， 解得，只有=40=18k a ，符合题意．即所求a 的值是18．G M E F C A D B 10．17． 解析：如图，1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒=， 113367AG AE AE AE AG GC CM CD DM AE AE AC ∴====⇒=++． 11．112°．解析：分别延长BD ，CE ，交点即为点A ，由三角形中位线的性质知DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B =180°－∠C －∠A =180°－120°－26°=34°，又由轴对称的性质知∠A ′DE =∠ADE =34°，∴∠A ′DB =180°－∠ADE －∠A ′DE =180°－2×34°=112°．12．24<x <38．解析：分别求线段AB 、BC 与线段OD 的交点的横坐标．三、解答题〔本大题一一共4小题，一共60分〕13．〔本小题12分〕〔Ⅰ〕35； 〔Ⅱ〕〔1〕35； 〔2〕1319151=3531036⨯+⨯+⨯． 14．〔本小题16分〕四个点），）、（，）、，）、，121554552(554552(51658(--． 15．〔本小题14分〕连接AC 和BD ． ∵弦CD 垂直于直径AB ，∴BC =BD ，∴∠BCD =∠BDC ．∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ．∵∠BDC =∠OAC ，∴∠BCD =∠OCA ，∴△BCD ∽△OCA ，∴CO CB =CACD ． ∵∠DCN =∠ACM ，∠CDN =∠CAM ，∴△CDN ∽△CAM ．∵CM CN =CA CD =CO CB =CM CB 2，∴CN =21CB ，即BN =CN ． 16．〔本小题18分〕〔1〕由于派往A 地的乙型收割机x 台，那么派往B 地的乙型收割机为〔30－x 〕台，派往A ，B 地区的甲型收割机分别为〔30－x 〕台和〔x －10〕台．∴y =1600x +1200〔30－x 〕+1800〔30－x 〕+1600〔x －10〕=200x +74000〔10≤x ≤30〕． 〔2〕由题意，得200x +74000≥79600，解得x ≥28，∵10≤x ≤30，x 是正整数，∴x =28、29、30∴有3种不同分派方案：①当x =28时，派往A 地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B 地区； ②当x =29时，派往A 地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B 地区； ③当x =30时，即30台乙型收割机全部派往A 地区，20台甲型收割机全部派往B 地区； 〔3〕∵y=200x +74000中，200>0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =30时，y 获得最大值， 此时，y =200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A 地区，20台甲型收割机全部派往B 地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2021年数学高中自主招生考试数学试卷
高中自主招生考试数学试卷1、试卷分试题卷和答题卷两部分。
满分为100分；考试时间为70分钟。
2、答题时；应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。
3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上；请务必注意试题序号和答题序号相对应。
一、选择题：（每个题目只有一个正确答案；每题4分；共32分） 1．计算tan 602sin 452cos30︒+︒-︒的结果是（ ）A ．2B ．2C ．1D ．32．如图；边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''；图中阴影部分的面积为（ ）A ．313-B ．33C ．314-D ．123．已知b a ,为实数；且1=ab ；设11+++=b b a a M ；1111+++=b a N ；则N M ,的大小关系是（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场； 10分钟走了总路程的41；估计步行不能准时到达；于是他改乘出租车赶往考场；他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1）；则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟5.二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位；向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位；向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位；向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位；向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔•盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦；其中是数学家的是（ ）A ．①④⑦B ．②④⑧C ．②⑥⑧D ．②⑤⑥7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品；这三件物品的原价和优惠方欲购买的 商品原价（元）优惠方式一件衣服 420 每付现金200元；返购物券200元；且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元；返购物券200元；但付款时不可以使用购物券 一套化妆品300付款时可以使用购物券；但不返购物券ABC DB 'D 'C '请帮张阿姨分析一下；选择一个最省钱的购买方案. 此时；张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ）A ． 500元B ． 600元C ． 700元D ． 800元 8．向高为H 的水瓶中注水；注满为止；如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如上图所示；那么水瓶的形状是（ ）二、填空题：（每题6分；共30分）9. 若关于x 的分式方程3131+=-+x ax 在实数范围内无解；则实数=a _____. 10．三角形的两边长为4cm 和7cm ；则这个三角形面积的最大值为_____________cm 2. 11．对正实数b a ,作定义b a ab b a +-=*；若444=*x ；则x 的值是________．12．已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解；并且恰有一个解大于1小于2；则a 的取值范围是 ．13．如果有2007名学生排成一列；按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数；那么第2007名学生所报的数是 ．三、解答题：（本题有4个小题；共38分）解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤。
2021高中高一自主招生数学试题(有答案)
2021高中高一自主招生数学试题1、已知，2a a a a =÷，求a 的值2、已知，x 、y 均为正数，且511=+++yx y x ， 求y x +的最值3、设正数a 、b 满足111=+b a ，求aba b a 25++的最小值4、已知，122=+y x ，求22122-+-++-y x xy x x 的值5、如图，ABCD 为正方形，DE=5，EF=3， DF=4，求正方形的面积6、若5433=+y x ，求y x +的最大值7、若0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值8、已知正数a 、b 满足14522=-+b ab a ，则22812b ab a -+的最小值是多少9、如图，在矩形ABCD 中，AB=3 ，AE=1， P 是AB 上一动点，EP EF ⊥，G 为PF 的中点，求点G 运动路径的长度10、如图，在ABC ∆中，090=∠ACB ，060=∠B ,CB=2 , D 为AB 上一动点，则2CD+AD 的最小值是多少11、如图，在矩形ABCD 中，AB=20， BC=10，若AC 、 AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，求这个最小值。
12、如图，已知平行四边形ABCD ，a AB =，b BC =（b a >） P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值13、等腰直角三角形ABC 中，090=∠ACB ,030=∠CAD ,AD ＝ AC ，则∠DBC= ．14、如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1 ,090=∠=∠DCB DAB ,BC 、AD 的延长线交于P ，求PAB S AB ∆⋅的最大值15、如图，求∠DAC 的度数16、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，求阴影部分的面积17、自然数n 使得n 222118++是一个完全平方数，求n18、解方程：2213+=-+x x x19、已知1=xyz ，2=++z y x ，3222=++z y x ，求111111-++-++-+y xz x yz z xy 的值20、ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，a BC = b CA = 问：当ACB ∠为何值时，CD 两点间的距离最大，最大值是多少21、如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作ADE Rt ∆，090=∠AED ，连OE ，DE=6，OE=28，求AE 的长。
数学试卷-芜湖一中2021年高一自主招生考试
芜湖一中2021年高一自主招生考试数学试卷（满分：150分）一､选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1.若2020,2022a b ==，且a b +的绝对值与其相反数相等，则a b -的值为（）A.2-B.2或4042C.2-或4042- D.2或4042-2.一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）A.①②B.②④C.①②④D.②③④3.已知2222,11a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++=（）A.-22B.-1C.7D.114.两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为（）A.1136B.518C.13D.5125.函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则()()222222,,2,,,ab bc a b a c b a b c b a ++-+--代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个6.如图，已知直线()111:0l y k x k =>和()222:0l y k x k =>与x 轴相交所成的锐角分别为60,40 ，点A 坐标为(，点P 为直线1l 上的一个动点，,M N 为直线2l 上的两个动点，则AM MP PN ++长度的最小值为（）A.2B. C.4sin40D.()4sin201cos20sin20cos20++7.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=>在第一象限经过ABO 的顶点A ，且点B 在x 轴上，过点B 作x 轴的垂线交反比例函数图象于点C ，连结OC 交AB于点D ，已知32AO AD OC OB DB ===，则k 的值为（）A.6B. C. D.二､填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）8.已知()2311a a --=，则a 的取值可能是__________．9.分解因式32452x x x +++=__________．10.若关于整数x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解为31x -≤≤，则a b -的最大值为______．11.设,,a b c 是正整数，且7080,8090,90100a b c ≤<≤<≤<，当数据,,a b c 的方差最小时，a b c ++的值为__________．12.若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于与它相邻的前后两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2025个，第五个数为3，且具有“波动性质”，则这2025个数的和是__________．13.如图，A 是圆B 上任意一点，点C 在圆B 外，已知2,4AB BC ACD == ，是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为__________．14.不超过6的最大整数为__________．三､解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15.（1）已知m 是方程2710x x --=的一根，求22127m m m -+的值；（2）解关于x 的方程723x x +=+-．16.某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能重新组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能重新组成一个正方形队列．原长方形队列有多少名学生？17.如图，ABC 中，90,,ACB CB CA CE AB ∠==⊥ 于E ，点F 是CE 上一点，连接AF并延长交BC 于点,D CG AD ⊥于点G ，连接EG ．（1）如图（1），若236CF EF ==，求线段BD 的长度；（2）如图（2），若2,GC GE ==，求tan CDA ∠的值．18.材料：对抛物线21(0)2y x p p=>，定义：点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭叫做该抛物线的焦点，直线2py =-叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线2:4C y ax ax =-的图象与x 轴交于,O A 两点，且过点31,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，（1）求抛物线C 的解析式和点A 的坐标；（2）若将抛物线C 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线C '的图象．①设M 为抛物线C '位于第一象限内图象上的任意一点，MN x ⊥轴于点N ，求MN MA +的最小值；②若过抛物线C '的焦点F 作直线AB ，与抛物线C '交于,A B 两点，再过,A B 两点分别做抛物线的切线，两条切线交于点P ，求2PF FA FB -⋅的值．参考答案1.【答案】B【分析】由a b +的绝对值与其相反数相等可得0a b +≤，然后可得,a b 的值，然后可得答案.【详解】因为a b +的绝对值与其相反数相等，所以0a b +≤，因为2020,2022a b ==，所以20202022a b =⎧⎨=-⎩或20202022a b =-⎧⎨=-⎩，所以4042a b -=或2，故选：B 2.【答案】C【分析】结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果．【详解】当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：①；当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是④；当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：②．故选：C 3.【答案】B【分析】解方程求,,a b c ，由此可求ab bc ca ++.【详解】因为2a b b c -=-=，所以2,2a b c b =+=-，又22211a b c ++=，所以()()2222211b b b +++-=，所以1b =或1b =-，当1b =时，3,1a c ==-，故1ab bc ca ++=-，当1b =-时，1,3a c ==-，故1ab bc ca ++=-，故选：B.4.【答案】D【分析】根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被6整除的概率.【详解】由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共36种情况，所得结果之积为：1,2,3,4,5,6,2,4,6,8,10,12,3,6,9,12,15,18,4,8,12,16,20,24,5,10,15,20,25,30,6,12,18,24,30,36所得之积能被6整除的概率1553612P ==故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率.5.【答案】A【分析】观察图象，可得0,0,012ba c a<<<-<，0,0a b c a b c ++>-+<，由此判断各值的正负，确定正数的个数.【详解】因为函数2y ax bx c =++的图象为开口向下的抛物线，对称轴在0x =和1x =之间，所以a<0，012ba<-<，故02b a <<-因为函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点的纵坐标为负数，所以0c <，由此可得0ab <，0bc <，20a b +<，由图象可得当1x =时，0y >，故0a b c ++>，所以0a b c a b c +->++>，故()22a b c -+>0，当=1x -时，0y <，故<0a b c -+，所以()220a c b +-<，因为a<0，0b <，0a b c +>->所以()()220b a b a b a -=-+>，故()()222222,,2,,,ab bc a b a c b a b c b a ++-+--中正值有22b a -，()22a b c +-，故选：A.6.【答案】B【分析】通过作直线的对称直线，通过找点的对称点将AM MP PN ++转化为一条线段的长，进而结合作图分析，求得该线段的长，即可得答案.【详解】如图，作()111:0l y k x k =>关于()222:0l y k x k =>的对称直线3y k x =，取A 在其对称直线上的对称点为A '，则OA OA '=,作()222:0l y k x k =>关于()111:0l y k x k =>的对称直线4y k x =，连接A P '交2l 为M 点，延长A P '交4y k x =于点N ',设N '在2y k x =上的对称点为N ，则,MA MA PN PN ''==,故AM MP PN A M MP PN A N ''''++=++=,由于A 为定点，则A '也为定点，故当A N ''垂直于4y k x =时，A N ''的长最短，即此时AM MP PN ++取得最小值，因为直线1l 和2l 与x 轴相交所成的锐角分别为60,40 ，所以604020PON ∠=-= ，则20A ON PON ''∠=∠= ,故60A ON ''∠= ，而A 坐标为(，故4OA OA '==,而sin sin 604A N A N A ON OA ''''''∠==='，所以342A N ''=⨯=,即AM MP PN ++长度的最小值为故选：B 7.【答案】D【分析】利用反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，作出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系即可求解.【详解】过A 作AF OB ⊥于点F ,交OC 于点E ,如图所示AF BC ∴ ,AED BCD ∴ ，32AE AD BC BD ∴==，EF AF AEBC BC-∴=，设()0AFt t BC=>，则AF tBC =,32EF AF AE tBC AE t BC BC BC --∴===-，又k OF AF OB BC =⨯=⨯,1OF BC OB AF t==∴，又EF BC ∥,OEF OCB ∴ ,OF EFOB BC∴=,312t t ∴-=，解得2t =或12t =-（舍），2,2AF BC OB OF ∴==，又32OA OB =,322OA OF ∴=,3OA OF ∴=.在Rt AOF 中，由勾股定理可得AF =,2OF AF OF BC OB OF∴⋅⋅===.在Rt OBC △中，222OB BC OC +=,即())(2222OF +=，解得OF =或OF =，AF ∴==,k OF AF ∴=⨯=.故选：D.8.【答案】2或23或0【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求a 的取值.【详解】因为()2311a a --=，当311a -=，即23a =时，()4233111a a ---==，满足要求，当311a -=-，即0a =时，()()223111a a ---=-=，满足要求，当311a -≠且311a -≠-时，由()2311a a --=可得20a -=，所以2a =，所以a 的取值可能是2或23或0，故答案为：2或23或0.9.【答案】()()212x x ++【分析】通过拆项，结合分组分解法，提公因式法，完全平方公式分解因式即可.【详解】32452x x x +++32442x x x x =++++()2442x x x x =++++()222x x x =+++()()2221x x x =+++()()212x x =++故答案为：()()212x x ++.10.【答案】132【解析】【分析】由条件确定,a b 的范围，结合不等式性质求a b -的最大值.【详解】不等式21x a -<可化为12a x +<，不等式23xb ->可化为23x b >+，由已知可得11224233a b +⎧<≤⎪⎨⎪-≤+<-⎩，所以13732a b <≤⎧⎪⎨-≤<-⎪⎩，所以13732a b <≤⎧⎪⎨<-≤⎪⎩，所以1342a b <-≤，当且仅当73,2a b ==-时等号成立，故a b -的最大值为132.故答案为：132.11.【答案】253或254【分析】设3a b c x ++=，根据数据,,a b c 的方差为()()()222213s a x b x c x ⎡⎤=-+-+-⎣⎦可化简为()()2221)]9([ b a c b c a -+-+-，推出2s 要取到最小值，需2()c a -最小切最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时,,a b c 的值，求得答案.【详解】设3a b c x ++=，则数据,,a b c 的方差为()()()222213s a x b x c x ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22221323a b c x x a b c ⎡⎤=+++-++⎣⎦()22221133a b c a b c ⎡⎤=++-++⎢⎥⎣⎦()()2221)] (9[b a c b c a =-+-+-，显然()()c a c b b a -=-+-且c b a >>，故2s 要取到最小值，需2()c a -最小，最小值为907911-=，设()*N 011,b a t t t -=∈<<，则11c b t -=-，则()22222122224211119999s t t t t ⎡⎤=+-+=-+⎣⎦，当5t =或6t =时，2s 取到最小值，即90,84c b ==或85b =时，2s 取到最小值，故当数据,,a b c 的方差最小时，即79,90,84a c b ===或79,90,85a c b ===，a b c ++的值为253或254，故答案为：253或25412.【答案】6-【分析】由条件证明123450n n n n n n a a a a a a ++++++++++=，利用分组求和法求和即可.【详解】设第n 个数为n a ，1,2,3,,2025n =⋅⋅⋅，由已知12n n n a a a ++=+①，1,2,3,,2023n =⋅⋅⋅，213n n n a a a +++=+②，1,2,3,,2022n =⋅⋅⋅，324n n n a a a +++=+③，1,2,3,,2021n =⋅⋅⋅，435n n n a a a +++=+④，1,2,3,,2020n =⋅⋅⋅，①+②+③，可得240n n n a a a ++++=，1,2,3,,2021n =⋅⋅⋅，②+③+④，可得1350n n n a a a +++++=，1,2,3,,2020n =⋅⋅⋅，所以123450n n n n n n a a a a a a ++++++++++=，所以123420242025a a a a a a ++++⋅⋅⋅++()()123456789202020212022202320242025a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅++++++123a a a =++，又4653a a a +==，1234560a a a a a a +++++=，所以1234202420256a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=-.故答案为：6-.13.【答案】4【分析】以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，根据几何条件，找到DCM CAB ≅△△，由此确定点D 的运动轨迹，再根据三角形面积公式即可得到D 点位置与三角形面积关系得出答案.【详解】以BC 为边作等边BCM ，连接DM .⸪60DCA MCB ∠=∠=︒，⸫DCM ACB =∠∠，⸪,DC AC MC BC ==，⸫DCM CAB ≅△△（SAS ），⸫2DM AB ==为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 的中垂线与圆的交点时，CB 边上的高取最大值为2+，此时面积为4+.故答案为：4+.14.【答案】7039,x y +=利用完全平方公式以及和的立方公式即可求解.,x y ==则()2222204x y x y x y xy xy ⎧+=⎪⇒+=+-=⎨=⎪⎩，所以()()3662222223320316207040x y x y x y x y +=+-+=-⨯⨯=，即667040+=，又01<<，所以601<<，所以不超过6的最大整数为7039，故答案为：703915.【答案】（1）52；（2）7292x +=．【分析】（1）由条件可得2710m m --=，即17m m -=，22127m m m -+可化为213m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，代入条件可得其值；（2）变形可得4303x x x +-+-=-，再分别在3x <，3x >条件下解方程.【详解】（1）由于2710m m --=，则17m m -=，所以222222*********m m m m m m m m-+=-++=++，所以2221127352m m m m m ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）由知可得4x ≥-且3x ≠，原方程可变形为4303x x x +-+-=-当43x -≤<时，430,0,03x x x +-<<≥-所以4303x x x +-+-<-故方程无解当3x >时，方程可变形为20-=，=，即3x -=，所以2750x x -+=，解得7292x ±=，由于3x >，所以7292x =，综上方程的解为7292x +=.16.【答案】所以原有队列人数为136或904【分析】设原长方形队列有同学8x 人，根据题意可得2281208120x m x n ⎧+=⎨-=⎩，进而分析可得2012m n m n +=⎧⎨-=⎩或604m n m n +=⎧⎨-=⎩，运算求解即可.【详解】设原长方形队列有同学8x 人，由已知条件知8120x +和8120x -均为完全平方数，于是可设2281208120x m x n⎧+=⎨-=⎩，其中,m n 均为正整数，且m n >。
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案2021年浙江省重点高中自主招生考试数学试题卷本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．1112 B ． C ． D ． 43232．若关于x 的一元一次不等式组⎨有解，则m 的取值范围为（▲ ）A ．m b 成立的函数是（▲ ）A ．y =-2x +3B ．y =-2(x +3) +4C ．y =3(x -2) -1D ．y =-4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克) ，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（▲ ）A ．64B ．71C ．82D ．1045．十进制数2378，记作2378(10) ，其实2378(10) =2⨯10+3⨯10+7⨯10+8⨯10，二进制数1001(2) =1⨯2+0⨯2+0⨯2+1⨯2．有一个（0165(k ) ，把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561(k ) 是原数的3倍，则k =（▲ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（▲ ）A ．4B ．3C ．2 D7．如图，在Rt △AB C 中，AC =3，BC =4，D 为斜边上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
2021年高一下学期自主学习数学试卷含解析
2021年高一下学期自主学习数学试卷含解析一、填空题（每小题5分，共60分）1．已知sin（+α）=，则cosα=．2．不等式＞3﹣x的解集为．3．设x，y，z∈R，若2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2之最小值为，又此时y= ．4．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是．5．已知2sinα+cosα=0，求2sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=．6．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．7．已知2sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=．8．设0＜t＜，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a= ．9．函数y=（x＞1）的最小值是．10．已知函数y=sin[2（x﹣）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ=．11．已知x，y，z∈R+，x﹣2y+3z=0，则的最小值．12．已知函数f（x）=，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是．二、解答题（共3小题，共40分）13．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜0）的最小周期为π，且f（）=．（1）求函数y=f（x）解析式，并写出周期、振幅；（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；（3）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．14．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．15．已知函数f（x）=且f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，2）．（1）求k的值；（2）如果实数t同时满足下列两个命题；①∀x∈（，1），t﹣1＜f（x）恒成立；②∃x0∈（﹣5，0），t﹣1＜f（x0）成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3﹣ax）仅有一解，求实数a的取值范围．附加题：（共1小题，满分0分）16．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j （1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．xx学年北京师大附中高一（下）自主学习数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共60分）1．已知sin（+α）=，则cosα=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】sin（+α）==cosα，由此能求出结果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴sin（+α）==sincos=cosα=．∴cosα=．故答案为：．2．不等式＞3﹣x的解集为（1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】先求出根式成立的条件，再分类讨论，即可求出不等式的解集．【解答】解：由x+3≥0得x≥﹣3，①当3﹣x≤0时，即x≥3时，不等式恒成立，②当3﹣x＞0时，即﹣3≤x＜3原不等式化为x+3＞（3﹣x）2=9﹣6x+x2，即为x2﹣7x+6＜0，即为（x﹣1）（x﹣6）＜0，解得1＜x＜3，不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）3．设x，y，z∈R，若2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2之最小值为，又此时y=﹣．【考点】柯西不等式的几何意义．【分析】由条件可得z=3﹣2x+3y，x2+（y﹣1）2+z2=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2，配方由非负数概念，可得最小值和y的值．【解答】解：z=3﹣2x+3y，x2+（y﹣1）2+z2=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8y2+1.6y+2.8=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+y+（）2]+2.8﹣=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+）2+≥．当且仅当x=，y=﹣时，取得最小值，且为．故答案为：，﹣．4．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是a＞1．【分析】先求不等式|x﹣3|+|x﹣4|的最大值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于不等式|x﹣3|+|x﹣4|的最大值即可．【解答】解：|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1．其它情况都大于1所以|x﹣3|+|x﹣4|≥1如果不是空集，所以a＞1故选A＞15．已知2sinα+cosα=0，求2sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】求出正切函数值，化简所求的表达式为正切函数的形式，求解即可．【解答】解：2sinα+cosα=0，可得tanα=﹣．2sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α====﹣．故答案为：﹣．6．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．【考点】弧长公式．【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为α•r=2×=，故答案为．7．已知2sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ=﹣．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】由题意和cos2θ+sin2θ=1，解方程组可得sinθ和cosθ，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵θ∈（0，π），2sinθ+cosθ=，∴可得：cosθ=﹣2sinθ，又∵cos2θ+sin2θ=1，∴5sin2θ﹣sinθ﹣=0，解得：sinθ=，∴cosθ=，∴tanθ==﹣．故答案为：﹣．8．设0＜t＜，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=9．【分析】凑出f（t）=（）•（cost+1﹣cost）整理后，利用基本不等式求得f（t）的最小值，求得t．【解答】解：∵0＜t＜，∴0＜cost＜1，f（t）==（）•（cost+1﹣cost）=1+++a≥1+a+2=16，当且仅当=时，等号成立．求得=3或﹣5（舍去），∴a=9，故答案为：9．9．函数y=（x＞1）的最小值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由y=，得到（4﹣y）x2+（2﹣y）x+5﹣y=0，即关于x的方程由大于1的根，方程根的关系即可求出y的范围，即可求出y的最小值．【解答】解：∵y=，∴yx2+yx+y=4x2+2x+5，∴（4﹣y）x2+（2﹣y）x+5﹣y=0，当y=4时，此时x=，不满足题意，当y≠4时，∵x＞1，∴，解得≤y＜4，故y的最小值为，故答案为：10．已知函数y=sin[2（x﹣）+φ]是偶函数，且0＜φ＜π，则φ=．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意利用三角函数的奇偶性，正弦函数的图象的对称性可得﹣+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，由此求得φ的值．【解答】解：∵函数y=sin[2（x﹣）+φ]是偶函数，∴﹣+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，则φ=，故答案为：．11．已知x，y，z∈R+，x﹣2y+3z=0，则的最小值3．【考点】基本不等式．【分析】由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为：3．12．已知函数f（x）=，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是①②．【考点】正弦函数的图象．【分析】画出函数的图象，①根据函数的单调性即可求出单调增区间；②根据函数的对称中心即可求出函数f（x）的对称中心；③根据函数图象的平移即可得到结论；④根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数【解答】解：∵f（x）=，画出函数的图象如图所示∴函数f（x）的增区间为{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z}即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ，k∈z}，∴区间[﹣，]是函数f（x）一个增函数：故①正确，∴函数f（x）图象的对称中心为2x+=kπ，即x=kπ﹣，当k=1时，x=，∴点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故②正确，对于③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到，故③错误；对于④x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[﹣1，]，故④错误．故答案为：①②二、解答题（共3小题，共40分）13．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜0）的最小周期为π，且f（）=．（1）求函数y=f（x）解析式，并写出周期、振幅；（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；（3）通过列表描点的方法，在给定坐标中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】（1）根据函数的最小周期求出ω，f（）求出φ的值，写出f（x）的解析式、周期和振幅；（2）根据余弦函数的图象与性质，即可得出y=f（x）的单调递减区间；（3）利用列表描点法，作出函数f（x）在[0，π]上的图象即可．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（ωx+φ）的最小周期为π，∴T==π，∴ω=2；又f（）=cos（2×+φ）=﹣sinφ=，∴sinφ=﹣；又﹣＜φ＜0，∴φ=﹣，∴函数y=f（x）=cos（2x﹣），且周期是kπ，k∈Z，振幅为1；（2）∵函数y=f（x）=cos（2x﹣），令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数y=f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z；（3）∵0≤x≤π，∴﹣≤2x﹣≤；则列表如下：2x﹣﹣0 πx 0 πy 1 0 ﹣1 0通过列表描点，作出函数f（x）在[0，π]上的图象如图所示：14．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．15．已知函数f（x）=且f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，2）．（1）求k的值；（2）如果实数t同时满足下列两个命题；①∀x∈（，1），t﹣1＜f（x）恒成立；②∃x0∈（﹣5，0），t﹣1＜f（x0）成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3﹣ax）仅有一解，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据根与系数的关系，以及不等式的解集即可求出k的值，（2）先求出f（z），再根据导数判断出单调性，①∀x∈（，1），t﹣1＜f（x）恒成立，转化为求f（x）min，②∃x0∈（﹣5，0），t﹣1＜f（x0）成立，转化为求f（x）max，问题得以解决，（3）x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3﹣ax）仅有一解转化为x2﹣（a+1）x+1=0在（0，2）上仅有一个解，根据方程根的问题即可求出【解答】解：（1）f（x）=且f（x）＞0，等价于﹣kx2+x+2＞0，且x≠0即kx2﹣x﹣2＜0，且x≠0，∵f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，2），∴k＞0，且﹣1+2=，解得k=1（2）①∵∀x∈（，1），t﹣1＜f（x）恒成立，∴t＜f（x）+1在x∈（，1）上恒成立，由（1）可得f（x）==+﹣1，∴f′（x）=﹣﹣＜0，在x∈（，1）上恒成立，∴f（x）在（，1）上为减函数，∴f（x）＜f（1）=1+2﹣1=2，∴t≤2+1=3，②由①可知，f（x）在（﹣5，0）上为减函数∴f（x）＞f（﹣5）=﹣+﹣1=﹣，∴t≤﹣+1=﹣∴t∈[﹣，3]（3）∵关于x的方程lnf（x）+2lnx=ln（3﹣ax）仅有一解，∴0＜x＜2∴f（x）•x2=3﹣ax，即﹣x2+x+2=3﹣ax，即x2﹣（a+1）x+1=0在（0，2）上仅有一个解，当△=（a+1）2﹣4=0时，即a=1时，方程有唯一解，当△=（a+1）2﹣4＞0时，即a＞1或a＜﹣3，∴f（0）f（2）≤0，∴1×[4﹣2（a+1）+1]≤0，解得a≥，综上所述a的取值范围为{1}∪[，+∞）附加题：（共1小题，满分0分）16．已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j （1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，∴，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，∴且；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有，，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴，∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．精品文档xx年11月12日)26387 6713 朓36657 8F31 輱35679 8B5F 譟25579 63EB 揫25132 622C 戬4 23262 5ADE 嫞23878 5D46 嵆$33169 8191 膑&31830 7C56 籖实用文档。
2021年湖南省永州一中自主招生数学试卷及答案解析
2021年湖南省永州一中自主招生数学试卷一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）1．（3分）我国南海海域的面积约为3500000km2，该面积用科学记数法应表示为km2．2．（3分）函数的自变量x的取值范围是．3．（3分）分解因式：x2+x﹣2＝．4．（3分）已知a＞b，则﹣a+c﹣b+c（填＞、＜或＝）．5．（3分）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y＝．6．（3分）若化简|1﹣x|﹣的结果为2x﹣5，则x的取值范围是．7．（3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100＝5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S＝1+2+3+…+98+99+100①S＝100+99+98+…+3+2+1②①+②：有2S＝（1+100）×100解得：S＝5050请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）＝168，则n＝．8．（3分）已知x1，x2为方程x2+4x+2＝0的两实根，则x13+14x2+55＝．二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9．（3分）对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（）A．众数是3B．中位数是6C．平均数是5D．极差是7 10．（3分）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°11．（3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．413．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为（）A．2B．3C．4D．514．（3分）如图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第200个结点在（）A．线OA上B．线OB上C．线OC上D．线OF上15．（3分）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36B．37C．38D．3916．（3分）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）三、解答题（本题8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）17．（5分）计算：．18．（5分）先化简，后计算：，其中a＝﹣3．19．（8分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．20．（8分）如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD∥AB，且交AO的延长线于点D．EO：OC＝1：2，CD＝4，求圆O的半径．21．（10分）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？22．（10分）问题探究：（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．23．（12分）已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．24．（14分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．2021年湖南省永州一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．故答案为：3.5×106．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，解得x≤2．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．【分析】因为（﹣1）×2＝﹣2，2﹣1＝1，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：∵（﹣1）×2＝﹣2，2﹣1＝1，∴x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．故答案为：（x﹣1）（x+2）．【点评】本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．4．【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．【解答】解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a+c＜﹣b+c．【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．【分析】先根据非负数的性质得出关于x、y的方程组，求出x、y的值代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵与|x﹣y﹣3|互为相反数，∴，解得，∴x+y＝15+12＝27．故答案为：27．【点评】本题考查的是非负数的性质，根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键．6．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．【解答】解：∵|1﹣x|﹣＝|1﹣x|﹣＝2x﹣5，则|1﹣x|﹣＝x﹣1+x﹣4，即1﹣x≤0，x﹣4≤0，解得1≤x≤4．【点评】此题难点不是根据x的取值化简绝对值和二次根式，而是由绝对值和二次根式得化简值求x的取值范围．所以要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质熟练、灵活掌握．7．【分析】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．【解答】解：设S＝3+5+7+…+（2n+1）＝168①，则S＝（2n+1）+…+7+5+3＝168②，①+②得，2S＝n（2n+1+3）＝2×168，整理得，n2+2n﹣168＝0，即（n﹣12）（n+14）＝0，解得n1＝12，n2＝﹣14（舍去）．故答案为：12．【点评】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键．8．【分析】由于x1，x2为方程x2+4x+2＝0的两实根，由此得到x12+4x1+2＝0，x1+x2＝﹣4，x1•x2＝2，而x13＝x12•x1，然后代入所求代数式即可求解．【解答】解：∵x1，x2为方程x2+4x+2＝0的两实根，∴x12+4x1+2＝0，x1+x2＝﹣4，x1•x2＝2，∴x12＝﹣4x1﹣2，而x13＝x12•x1，∴x13+14x2+55＝x12•x1+14x2+55＝（﹣4x1﹣2）•x1+14x2+55＝﹣4x12﹣2x1+14x2+55＝﹣4（﹣4x1﹣2）﹣2x1+14x2+55＝14（x1+x2）+8+55＝14×（﹣4）+63＝7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9．【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．【解答】解：A．∵3出现了2次，最多，∴众数为3，故此选项正确；B．∵排序后为：2，3，3，6，7，9，∴中位数为：（3+6）÷2＝4.5；故此选项错误；C.＝＝5；故此选项正确；D．极差是9﹣2＝7，故此选项正确；故选：B．【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及极差后找到正确的选项即可．10．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝55°，∵∠4+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°，∴∠2＝35°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．11．【分析】先得出点M关于x轴对称点的坐标为（1﹣2m，1﹣m），再由第一象限的点的横、纵坐标均为正可得出关于m的不等式，继而可得出m的范围，在数轴上表示出来即可．【解答】解：由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，∴，解得：，在数轴上表示为：．故选：A．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，及关于x轴对称的点的坐标的特点，根据题意得出点M对称点的坐标是解答本题的关键．12．【分析】连接O′C，O′F，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D＝O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB＝∠ACB＝×60°＝30°，由勾股定理得FC＝2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，与BC相切于点F．连接O′C，O′F，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D＝O′F．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB＝∠ACB＝×60°＝30°．∵O′C＝2O′B＝2×2＝4，∴FC＝＝＝2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．13．【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把y＝b代入y＝得，b＝，则x＝，即A的横坐标是，；同理可得：B的横坐标是：﹣．则AB＝﹣（﹣）＝．则S▱ABCD＝×b＝5．故选：D．【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．14．【分析】根据题意分析可得：OA上的点为：1，7，13，即1+6（n﹣1）；OB上的点为：2，8，14，即2+6（n﹣1）；依次可得：OC、OD、OE上的点的性质．【解答】解：第200个结点所在的位置，通过计算可得，200÷6＝33…2．在OB上，故选B．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．15．【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n的值．【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n＝1则m+n＝1+36＝37故选：B．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．16．【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB 交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【解答】解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y＝得：y1＝2，y2＝，∴A（，2），B（2，），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，b＝，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+，当y＝0时，x＝，即P（，0），故选：D．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．三、解答题（本题8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）17．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝4×﹣2++1﹣3+9＝8【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝••＝，当a＝﹣3时，原式＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．【分析】（1）根据B类有60人，占10%，据此即可求得抽查的总人数；（2）利用总数减去其它各组的人数即可求得C类的人数，然后求得百分比即可；（3）利用总数8000乘以对应的百分比即可求解．【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%＝600（人）；（2）C类的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是：×100%＝20%，A类所占的百分比是：×100%＝30%．；（3）8000×40%＝3200（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．【分析】根据E为AB的中点，则OE⊥AB，根据CD∥AB，可以得到△AEO∽△DCO，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，在Rt△AOE中，根据勾股定理，就得到半径．【解答】解：∵E是AB的中点，∴OE⊥AB，即∠3＝90°，（1分）∵AB∥CD，∴∠4＝90°，（2分）∵∠1＝∠2，（3分）∴△AOE∽△DOC，（4分）∴AE：DC＝OE：OC＝1：2，（5分）∴AE＝CD＝2，（6分）又∵OA＝OC＝2OE，（7分）而AE2+OE2＝OA2，∴OE2+4＝（2OE）2，∴OE＝，（8分）∴圆O的半径OA＝2OE＝×2＝．（9分）【点评】本题主要考查了垂径定理，利用勾股定理把求半径的问题转化为解方程的问题．21．【分析】（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．【解答】解：（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台．依题意，得7x+5×（6﹣x）≤34．解这个不等式，得x≤2，即x可取0，1，2三个值．∴该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台．方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台．方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台．（2）根据题意，100x+60（6﹣x）≥380，解之，可得：x≥，由上题解得：x≤2，即≤x≤2，∴x可取1，2两个值，即有以下两种购买方案：方案一购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金为1×7+5×5＝32万元；方案二购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为2×7+4×5＝34万元．∴为了节约资金应选择方案一．故应选择方案一．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案是解决本题的关键．22．【分析】（1）蚂蚁爬行的最短路程为矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得．（2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′＝PA＝4．（3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A到PA的距离．【解答】解：（1）∵BB′＝2π×＝3，AB′＝＝5．即蚂蚁爬行的最短路程为5．（4分）（2）连接AA′，则AA′的长为蚂蚁爬行的最短路程，设r1为圆锥底面半径，r2为侧面展开图（扇形）的半径，则，由题意得：，即，∴n＝60，∴△PAA′是等边三角形，∴最短路程为AA′＝PA＝4．（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A作AC⊥PA′于点C，则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程．∴AC＝PA•sin∠APA'＝4×sin60°＝4×＝，∴蚂蚁爬行的最短距离为．【点评】本题利用了勾股定理，矩形的性质，圆周长公式，弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质求解．23．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．24．【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA＝90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE＝∠BAE，由此证得∠CBA＝∠CBE+∠ABE＝∠BAE+∠ABE＝90°，此题得证．（3）△ABE中，∠AEB＝90°，tan∠BAE＝，即AE＝3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）．将E（0，3）代入上式，解得：a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+3．则点B（1，4）．（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3．在Rt△EMB中，EM＝OM﹣OE＝1＝BM，∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝．∴∠BEA＝180°﹣∠1﹣∠MEB＝90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE+∠3＝90°，∴∠CBE+∠3＝90°．∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线．（3）解：Rt△ABE中，∠AEB＝90°，tan∠BAE＝，sin∠BAE＝，cos∠BAE＝；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD＝1、OE＝3，即tan∠DEO＝＝tan∠BAE，即∠DEO ＝∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．②DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2＝∠AEB＝90°，sin∠DP2E＝sin∠BAE＝；而DE＝＝，则DP2＝DE÷sin∠DP2E＝÷＝10，OP2＝DP2﹣OD＝9即：P2（9，0）；③DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3＝∠AEB＝90°，cos∠DEP3＝cos∠BAE＝；则EP3＝DE÷cos∠DEP3＝÷＝，OP3＝EP3﹣OE＝；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．∴y＝﹣2x+6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝，∴F（，3）．情况一：如图2，当0＜t＜时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．则ON＝AG＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHG∽△FHM，得，即．解得HK＝2t．∴S阴＝S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG＝×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t＝﹣t2+3t．当t＝时，S＝××＝，情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ＝2（3﹣t）．∵AQ＝VQ＝3﹣t，∴S阴＝IV•AQ＝（3﹣t）2＝t2﹣3t+．综上所述：s＝．【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．。
安徽师范大学附属中学2021年高中自主招生考试数学试题及参考答案
一．选择题(本大题共6小题；每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上)： 1．杨辉三角是二项式(a ＋b )n 展开式中各项系数的一种几何排列．它最早出现在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中．利用杨辉三角，我们很容易知道 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3．设(3a －2b )3＝ma 3＋na 2b ＋pab 2＋qb 3，则系数n ＝( ▲ )．A ．54B ．－54C ．36D ．－362．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1：S 2等于( ▲ )． A ．4：9 B ．2：3 C ：1：4 D ．1：23．在数轴上点A 、B 对应的数分别是a 、b ，点A 在表示－3和－2的两点之间（包括这两点）移动，点B 在表示－1和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是( ▲ )．A ．b －aB ．1b －aC ．1b －1aD ． 1a －1b 4.三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心．三角形的外心是三角形三边的垂 直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 (或内切圆的圆心)，三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是 三角形三条中线的交点．三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系．当且仅当三角形 是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心．如图，H 是△ABC 的垂心，AH 、BH 、CH 分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，则H 是△DEF 的( ▲ )．A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心5．在凸四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝120°，BC ＝CD ＝10，则A 、C 两点之间的距离是( ▲ )．A ．9B ．10C ．11D ．不能确定6．若在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A ､B ､C 三点的坐标分别为(3，0)，(5，0)，(0，4)，点D 在第一象限内，且∠ADB ＝45°．则线段CD 的长最小值是( ▲ )．A ．5B ．5－ 2C ．5＋ 2D ．4－ 2C D B A A B C EF DH 第4题 第5题 第6题 安徽师范大学附属中学2021年高中自主招生考试数学试题注意事项：1．本试卷总分150分，考试时间120分钟。
2021年省示范高中自主招生素质检测数学试卷及参考答案
２０２１数学试题注意事项：１．本试卷满分１５０分，考试时间为１２０分钟。
２．全卷包括“试题卷”（４页）和“答题卡”（２页）两部分。
３．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题无效。
４．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回。
一、选择题：共１０小题，每小题５分，共５０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１．下列运算正确的是Ａ．槡８１·１槡２７＝１３Ｂ．（－３ａ２）２＝９ａ４Ｃ．（ａ＋２）（ａ－３）＝ａ２＋ａ－６Ｄ．３ｃ４ａｂ÷５ａｃ２ｂ＝１１０２．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器七小器二容三斛，大器二小器七容二斛。
”大致意思是有大小两种盛米的桶，７大桶２小桶共盛３斛米，２大桶７小桶共盛２斛米，依据条件，２大桶加２小桶共盛Ａ．１０９斛米Ｂ．１斛米Ｃ．５９斛米Ｄ．１９斛米３．若关于ｘ的不等式组３ｘ≤４ｘ＋１ｘ－ａ{＜０恰有３个整数解，则ａ的取值范围为Ａ．０＜ａ≤１Ｂ．１≤ａ＜２Ｃ．２＜ａ≤３Ｄ．１＜ａ≤２４．如图，四边形ＡＣＢＤ中，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＡＤ＝３，ＢＣ＝ＢＤ＝４，把它沿着ＡＢ所在的直线旋转一周，所得几何体的全面积为Ａ．３６πＢ．８４５πＣ．４８５πＤ．２４π５．在平面直角坐标系中，点Ａ（ｍ，ｎ）在ｙ＝槡４３ｘ上，当ＯＡ所在的直线与ｘ轴正半轴的夹角为３０°，则点Ａ的坐标为Ａ．（槡２３，２）Ｂ．（２，槡２３）Ｃ．（槡２３，２）或（槡－２３，－２）Ｄ．（２，槡２３）或（－２，槡－２３）６．我们记函数ｙ的最大值为ｙｍａｘ，函数的最小值为ｙｍｉｎ，已知函数ｙ＝－３ｘ＋２（ａ≤ｘ≤ｂ，ａ≠ｂ）的ｙｍａｘ＝ｂ，且ｙｍｉｎ≤３ａ，则ａ的取值范围为Ａ．ａ＜１２Ｂ．ａ≤２３Ｃ．１２＜ａ≤２３Ｄ．ａ＜２３７．如图，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ＣＢ，ＡＤ＝２，ＣＤ＝４，将ＢＤ绕点Ｂ逆时针旋转９０°得到ＢＤ′，连接ＤＤ′，则ＤＤ′的最大值为槡槡Ａ．２５Ｂ．１０Ｃ．２Ｄ．６８．如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｄ为ＣＥ上一点，△ＤＢＣ的面积４，ＤＯ⊥ＢＣ，则△ＯＡＣ的面积为Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８９．已知Ａ（ｍ，ｈ）、Ｂ（ｎ，ｈ）分别是直线ｌ１：ｙ＝１２ｘ＋１０和ｌ２：ｙ＝ｘ＋１０上的两点，当以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ｘ轴相切时，ＡＢ＝Ａ．２Ｂ．１０或１０３Ｃ．２０或８３Ｄ．２０或２０３１０．如图，菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝９，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、ＡＢ上，Ａ关于ＥＦ的对称点为Ｇ，当点Ｇ落在ＢＤ上时，ＢＧ＝３，则ＤＥ＝Ａ．３Ｂ．１５２Ｃ．１５４Ｄ．１５８二、填空题：共４小题，每小题５分，共２０分。
2021年安徽省淮南一中自主招生数学试卷
2021年安徽省淮南一中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知＝3+，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．2．把直线y＝﹣x+2向上平移a个单位后，与直线y＝2x+3的交点在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＞1B．﹣＜a＜0C．﹣＜a＜1D．a＜13．已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在抛物线y＝x2+bx上，x1，x2，x3分别为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1，x2，x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2B．b＞﹣3C．b＞﹣4D．b＞﹣54．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（）A．B．3C．D．55．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为（）A．0B．1C．2D．36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，点C为OA上一动点，过点C 作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥x轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得∠DCF＝90°，连接OF，当OF+CF的值最小时，点F的坐标为（）A．（1，）B．（，）C．（2，2）D．（3，1）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）7．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为cm2．8．分解因式：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝．9．关于x的一元二次方程x2﹣mx+5（m﹣5）＝0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2＝7，则m的值是．10．若x﹣1＝，则x2+y2+z2可取得的最小值为．11．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为．12．我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么当﹣1≤x＜0或1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方，则实数a的取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，A（1，0），B （﹣1，0），连接P A，PB，则P A2+PB2的最小值是．14．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A'，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为．三、解答题（本大题共5小题，共64分。
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2021高中高一自主招生数学试题1、已知，2a a a a =÷，求a 的值2、已知，x 、y 均为正数，且511=+++yx y x ， 求y x +的最值3、设正数a 、b 满足111=+b a ，求aba b a 25++的最小值4、已知，122=+y x ，求22122-+-++-y x xy x x 的值5、如图，ABCD 为正方形，DE=5，EF=3， DF=4，求正方形的面积6、若5433=+y x ，求y x +的最大值7、若0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值8、已知正数a 、b 满足14522=-+b ab a ，则22812b ab a -+的最小值是多少9、如图，在矩形ABCD 中，AB=3 ，AE=1， P 是AB 上一动点，EP EF ⊥，G 为PF 的中点，求点G 运动路径的长度10、如图，在ABC ∆中，090=∠ACB ，060=∠B ,CB=2 , D 为AB 上一动点，则2CD+AD 的最小值是多少11、如图，在矩形ABCD 中，AB=20， BC=10，若AC 、 AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，求这个最小值。
12、如图，已知平行四边形ABCD ，a AB =，b BC =（b a >） P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值13、等腰直角三角形ABC 中，090=∠ACB ,030=∠CAD ,AD ＝ AC ，则∠DBC= ．14、如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1 ,090=∠=∠DCB DAB ,BC 、AD 的延长线交于P ，求PAB S AB ∆⋅的最大值15、如图，求∠DAC 的度数16、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，求阴影部分的面积17、自然数n 使得n 222118++是一个完全平方数，求n18、解方程：2213+=-+x x x19、已知1=xyz ，2=++z y x ，3222=++z y x ，求111111-++-++-+y xz x yz z xy 的值20、ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，a BC = b CA = 问：当ACB ∠为何值时，CD 两点间的距离最大，最大值是多少21、如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作ADE Rt ∆，090=∠AED ，连OE ，DE=6，OE=28，求AE 的长。
高中自主招生数学试题91、如图，正方形DEFG 内接于ABC Rt ∆中，3=AC ，4=BC ，求正方形DEFG 的面积2、如图，求三角形的面积3、如图，求AB 的长度4、如图，正方形ABCD 中，0781=∠，0332=∠，求3∠5、如图，在三角形ABC 中，BD 为AC 边上的中线，CAB DBA ∠=∠2，BD=25 ,CB=38，则AB 的长是多少。
6、如图，在ABC Rt ∆中，090=∠ACB ，AC=BC ，D 为BC 的中点，AD CE ⊥于E ，其延长线交AB 于F ，求证：BDF ADC ∠=∠7、如图，在钝角三角形ABC 中，B ACB ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点H ，若CH=3，则AB 等于多少8、如图，AC=BD ，求B ∠9、如图，已知A 点的坐标为（4，0），点B 是y 轴上一动点，ΔABC 为等边三角形，求线段OC 的最小值10、在ΔABC 中，CB>CA ，035=∠ABC ,满足CB=CA+AI ,I 为ΔABC 的内心，则∠BAC=11、如图，在平行四边形ABCD 中，045=∠A ,AB=4，22=AD ,M 是AD 的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 旋转090至N M '，连B N '、C N ',则 N C N B '+'的最小值是多少12、已知，如图，在正方形ABCD 中，AD=AB ，090=∠=∠=∠BAD D B ，E 、F 分别为CD 、BC 边上的点，且045=∠EAF ，连EF ，求证：EF=BF+DE13、ΔABC 中有正ΔADE ，D 、E 在BC 边上，BAD C ∠=∠2 ,BE=5 ,EC=2 ,则AC=14、已知正方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，连BE 、AF 相交于P ，连PC ，求证：PC=BC15、如图，在正方形ABCD 中，求∠AFD 的度数16、如图，E 为正方形ABCD 内一点，DE AE ⊥，DE=2，求ΔDEC 的面积17、如图，在41圆O 中，D 为AD 上一点DA CD ⊥ ,CD=3，AD=4，求扇形AOB 的面积18、四边形ABCD 中，AB=AC 090=∠BAC 075=∠ADC AD=3 23=CD 求BD19、在ABC Rt ∆中，090=∠C ，AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，AD 、BE 相交于F ，且 AF=4 ,2=EF ,求AC20、如图，在ABC Rt ∆中，090=∠C ，D 在边CA 上，使得CD=1 DA=3 , 且∠BDC=3∠BAC 求BC 的长21、如图，已知D 为正三角形ABC 外一点，∠ADC=0150 连BD ，求证：BD=AC22、如图，已知P 为正三角形内一点，0120=∠APC ，D 为AC 边的中点，连BP 、PD 求证：BP=2PD23、如图，CD AC AB == 0100=∠A 020=∠ACD 求ABD ∠24、如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，BD=AC 030=∠C 045=∠DAC 求B ∠25、化简：325-7参考答案二、填空题（每题5分，共20分）11、2- 12、9 13、51314三、解答题（本题6小题，共90分）15、224443x x y y --+-22(441)(44)x x y y =-+--+ …………6分122= （2x-）-(y-2)= (2x+y-3)(2x-y+1) …………12分17、要考虑的不同画线方案，可归纳为如下4类：（1）如图（1），其周长和=112(212)5.33⨯⨯+⨯= …………3分 （2）如图（2），其周长和=[]2(3)2(1)3(1)8.x x x x ++-+-= …………6分（3）如图（3），其周长和=8. …………9分（4）如图（4），其周长和=3162(3)2(3)8.33x x x x x -⎡⎤++-+=+⎢⎥⎣⎦∵031x <≤，10.3x <≤ ∴当13x =时，周长和有最大值79.9…………14分综上所述，剪得的两个小长方形周长之和的最大值为79.9…………15分 18、（1）证明：连接AD ，BC ，BD∵AB 是直径，AB ⊥CD,∴BC=BD ，∠CAB=∠DAB, ∴∠DAG=2∠CAB,∵∠BOF=2∠CAB, ∴∠BOF=∠DAG ,又∵∠OBF=∠ADG, ∴△BOF ∽△DAG , ∴OB DA OF AG=, ∵OB=OC=2OF,∴2DA AG =, 又∵AC=DA ，∴AC=2AG , ∴AG=GC; …………7分（2）解：连接BC ，则∠BCA=90°，又∵CH ⊥AB,∴2AC AH AB =,∵222,:1:3AC AG AH AB ===∴21(23),3AB AB = ∴AB=6，∴AH=2，∴CH=22,∴S △ACD =1124242,22CD AH =⨯⨯=又∵AG=CG ，∴S △CDG = S △DAG =12 S △ACD =22, …………11分 ∵△BOF ∽△DAG ,∴23(),4BOF DAG S OB S AD == ∴S △BOF =32.2 …………15分19、（1）证明：如图（1）当B,D 在AC 异侧时，连接BM,DM901224M AC ADC BM DM AC BDM N MN BD ∠∠=∴==∴∴⊥为中点，ABC=分为等腰三角形又为BD 中点分如图（2）当B,D 在AC 同侧时同理可证MN BD ⊥ …………6分（2）如图三：连接BM 、MD ，延长DM ，过B 作DM 延长线的垂线段BE ， 则可知在Rt △BEM 中，∠EMB=30°，∵AC=4，∴BM=2，∴BE=1，EM=3，MD=2，从而可知 BD=1223+=+2（2+3），∴BN=23+ 由Rt △BMN 可得：MN=2622232--=-=2（2+3）（不化简不扣分） …………11分 如图四：连接BM 、MD ，延长AD ，过B 作垂线BE ， ∵M 、N 分别是AC 、BD 中点，∴MD=12AC ，MB=12AC ，∴MD=MB∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，∴∠BMD=30°，∴∠BDM=18030752-= ∵∠MDA=45°，∴∠EDB=180°-∠BDM -∠MDA=60° 令ED=x ，则BE=3x ，AD=22，AB=23∴由Rt △ABE 可得：222(23)(3)(22)x x =++，解得23x =-，则BD=223-∵M 、N 分别是AC 、BD 中点∴MD=2，DN=23-由Rt △MND 可得：MN=22622(23)232+--=+=（不化简不扣分） …………16分15注：本题也可以用75或三角函数解答，答案对就给分20、解：（1）由题意不妨设a 最大，即,,0.a b a c a ≥≥>且42,.b c a bc a+=-= ∴ b 、c 是方程24(2)0x a x a--+=的两实根 △24(2)40a a =--⨯≥ ∴2(4)(4)0a a +-≥∴4a ≥（当4a =时，1b c ==-满足题意） ……………9分（2）∵0abc > ∴,,a b c 全大于0，或一正二负 若,,a b c 均大于0，由（1）知，,,a b c 最大者不小于4，这与2a b c ++=矛盾，故此情况不存在 故,,a b c 为一正二负，不妨设0,0,0a b c ><< (2)226a b c a b c a a a ++=--=--=-≥（当4a =时成立） 所以a b c ++最小值为6 …………18分。