最新人教版高中数学必修2第三章“直线的两点式方程”教案2
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版必修2
§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。
本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。
另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。
但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。
[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。
但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。
另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。
通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。
通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。
同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。
以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。
[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
高中数学 3.2直线的两点式方程教案学案 新人教A版必修2
山东省泰安市肥城市第三中学高一数学人教A 版必修2学案：3.2直线的两点式方程教案学习内容 即时感悟【情境导入】1、直线方程的点斜式、斜截式方程2、两点确定一直线，那么如何求过两点的直线方程？【精讲点拨】一、直线的两点式方程探究1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程探究2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1、已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
二、直线的截距式方程探究3、已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
直线的截距式方程对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．例2、求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
探究4、直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的使用范围写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：直线方程 形式 限制条件点斜式斜截式两点式截距式问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？三、直线和二元一次方程的关系探究1、 直线的方程都可以写成关于,x y 的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）都表示直线吗？①当0B ≠,0Ax By C ++=可化为 ,这是直线的 式.②当0B =,0A ≠时, 0Ax By C ++=可化为 .这也是直线方程.定义：关于,x y 的二元一次方程: 叫直线的一般式方程,简称一般式.探究2、直线方程0Ax By C ++=（A,B 不同时为0），A 、B 、C 满足什么条件时，方程表示的直线（1）平行于在x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 轴重合；（5）与x 轴y 轴都相交；（6）直线在两坐标轴上的截距相等；（7）直线过一、二、三象限。
高中数学 必修二(3.2.2 直线的两点式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。
最新人教版高中数学必修2第三章直线的两点式方程2
UITANG LIANXI
已知两点求直线的方程,可利用两点式直接写出其方程;求中线所在 的直线方程,联想到中点坐标公式即可求出中点.在没有特殊要求的条件下, 以后求出的直线方程化为 Ax+By+C=0 的形式,且尽量满足:①A>0;②A,B,C 均是整数时,最大公约数为 1.
-9-
1.1
DNA重组技术的基本工具
C.
D.
答案:B
-5-
1.1
1
DNA重组技术的基本工具
2
自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG Lห้องสมุดไป่ตู้ANXI
2.中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 x= (x,y),则有 y=
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
)
UITANG LIANXI
【做一做 1】 过点 A(5,6)和点 B(-1,2)的直线的两点式方程是( A. B.
y-5 x-6 y-6 2-6 2-6 y-6 x-6 2-6
= = = =
y+1 x-2 x-5 -1-5 -1-5 x-5 y-5 -1-5
3.2.2
直线的两点式方程
-1-
1.1
目标引航 DNA重组技术的基本工具
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
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S 随堂练习
UITANG LIANXI
1.掌握直线的两点式方程及其适用条件. 2.会选择适当的方程形式求直线方程. 3.能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式.
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的点斜式方程和两点式方程》教案
示范教案整体设计教学分析教材利用斜率公式推导出了直线的点斜式方程，利用直线的点斜式方程推导出了直线的斜截式方程，让学生讨论得出直线的两点式方程，在练习B 中给出了直线的截距式方程．值得注意的是本节所讨论直线方程的四种形式中，点斜式方程是基础是一个“母方程”，其他方程都可以看成是点斜式方程的“子方程”．因此在教学中要突出点斜式方程的教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．三维目标 1．掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；了解直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，培养普遍联系的辩证思维能力．2．理解直线的两点式方程和截距式方程，并能探讨直线方程不同形式的适用范围，提高学生思维的严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题和解决问题的能力． 重点难点教学重点：直线方程的四种形式及应用． 教学难点：求直线方程． 课时安排 1课时教学过程 导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点和斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点和斜率确定的直线方程呢？教师引出课题．设计2.上一节我们已经学习了直线方程的概念，其中直线y ＝kx ＋b 就是我们本节所要进一步学习的内容，教师引出课题．推进新课 新知探究 提出问题(1)如左下图所示，已知直线l 过P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，求直线l 的方程．(2)已知直线l 过点P(0，b)，且斜率为k(如右上图)，求直线l 的方程．(3)已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，求直线AB 的方程．(4)已知直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0.求证直线l 的方程可写为x a ＋yb＝1.(这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程)讨论结果：(1)设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0.即y －y 0＝k(x －x 0)．①方程①就是点P(x ，y)在直线l 上的条件．在l 上的点的坐标都满足这个方程，坐标满足方程①的点也一定在直线l 上．方程①是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．特别地，当k ＝0时，直线方程变为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合． (2)直线l 的点斜式方程为y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.这个方程叫做直线的斜截式方程．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．这种形式的方程，当k 不等于0时，就是我们熟知的一次函数的解析式．(3)设P(x ，y)是直线AB 上任一点，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，所以直线AB 的点斜式方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，整理得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式的方程叫做直线的两点式方程．(4)直线l 过点(a,0)，(0，b)，则直线l 的两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a ，整理得x a ＋y b ＝1.这种形式的直线方程，叫做直线的截距式方程．应用示例思路1例1求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)． 解：(1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0. (2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程． 直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程4x ＋5y ＋3＝0.另解：直线l 2的两点式方程为y －1－3－1＝x ＋23＋2，整理，得4x ＋5y ＋3＝0.点评：为了统一答案的形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax ＋by ＋c ＝0的形式． 变式训练分别求出通过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形： (1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P(3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)， 可化为2x －y －2＝0.如图(1)所示．(2)由于直线经过点P(3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4. 如图(2)所示．(3)由于直线经过点P(3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3. 如图(3)所示．图(1)图(2)图(3)例2已知三角形三个顶点分别是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．解：如下图，因为直线AB 过A(－3,0)，B(2，－2)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝－2－02－(－3)，整理，得2x ＋5y ＋6＝0，这就是直线AB 的方程；直线AC 过A(－3,0)，C(0,1)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝1－00－(－3)，整理，得x －3y＋3＝0，这就是直线AC 的方程；直线BC 的斜率是k ＝1－(－2)0－2＝－32，过点C(0,1)，由点斜式，得y －1＝－32(x －0)，整理得3x ＋2y －2＝0， 这就是直线BC 的方程．例3求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1.即x ＋2y －2＝0. 变式训练1．直线l ：y ＝4x －2在y 轴上的截距是______，斜率k ＝______. 答案：－2 42．已知直线l ：y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，试判断k 和b 的符号． 解：如下图所示因为直线l 与x 轴的正方向的夹角是钝角，与y 轴交点位于y 轴的负半轴上，所以k<0，b<0.思路2例4过两点(－1,1)和(3,9)的直线l 在x 轴上的截距是______，在y 轴上的截距是______．解析：直线l 的两点式方程是x ＋13＋1＝y －19－1，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－32.即直线l 在x 轴上的截距等于－32，在y 轴上的截距等于3.答案：－323点评：已知直线的截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上的截距；已知直线的非截距式方程时，令x ＝0，解得y 的值即是在y 轴上的截距，令y ＝0，解得x 的值即是在x 轴上的截距．变式训练已知直线过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线的方程为y －3＝k(x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ＋3； 令y ＝0，得x ＝－3k－2.∴由题意，得12|(2k ＋3)(－3k －2)|＝4.若(2k ＋3)(－3k －2)＝－8，无解；若(2k ＋3)(－3k－2)＝8，解得k ＝－12，k ＝－92.∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)和y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0和 9x ＋2y＋12＝0.例5 设△ABC 的顶点A(1,3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．分析：为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出图形，帮助思考问题．解：如下图，设AC 的中点为F ，则AC 边上的中线BF 为y ＝1.AB 边的中点为E ，则AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n)．在A 、C 、F 三点中A 点已知，C 点未知，F 虽然为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件．这样用中点公式⎩⎨⎧m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1＝0. ∴m ＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点．设B 点为(a ，b)，显然b ＝1. 又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a,1)，E 点坐标为(1＋a 2，3＋12)，即(1＋a 2，2)．E 点在CE 上，应当满足CE 的方程1＋a2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)．由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线的方程．l AC ：x －y ＋2＝0.l AB ：x ＋2y －7＝0. 点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来．变式训练 已知点M(1,0)，N(－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上， ∴设P(x 0,2x 0－1)．∴|PM|2＋|PN|2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2＝10x 20－8x 0＋4＝10(x 0－25)2＋125≥125.∴最小值为125.例6 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A(1,2)，则得k ＝2，即y ＝2x.当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a＝1，过点A(1,2)，则得a ＝3，或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.综上，所求的直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.点评：本题易漏掉直线y ＝2x ，其原因是忽视了直线方程的截距式满足的条件之一：在两坐标轴上的截距均不为零．变式训练过点P(4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：直线l 在两坐标轴上的截距相等都为0时，直线过(0,0)、(4，－3)，由两点式得直线方程为y ＝－34x ；当直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可以设截距为a ，直线方程为x a ＋ya＝1，过点(4，－3)，解得直线的方程为x ＋y ＝1.知能训练1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是( ) A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y ＋2＝3(x －2) C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 答案：C2．已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是( ) A ．(4,3)，60° B ．(－3，－4)，30° C ．(4,3)，30° D ．(－4，－3)，60° 答案：A3．直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )A ．直线的斜率存在B ．直线的斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案 答案：A4．直线y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是______． 解析：直线y ＝－3(x －2)的倾斜角为120°，绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，则所得直线方程是x ＝2，即x －2＝0.答案：x －2＝05．已知△ABC 的顶点坐标为A(－1,5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M 是BC 边上的中点． (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长；解：(1)由两点式写方程，得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0. (2)设M 的坐标为(x 0，y 0)，则由中点坐标公式，得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1，故M(1,1)，AM ＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.6．已知如下图，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．分析：由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ 、MN 、x 轴、y 轴则不能用截距式，其中PQ 、MN 应选用斜截式，x 轴，y 轴的方程可以直接写出．解：因为|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝42＝2 2.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)．所以AB 所在直线的方程是x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.BC 所在直线的方程是x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0. CD 所在直线的方程是x －22＋y－22＝1，即x ＋y ＋22＝0.DA 所在直线的方程是x 22＋y－22＝1，即x －y －22＝0.对称轴方程分别为x±y ＝0，x ＝0，y ＝0. 拓展提升如左下图，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如右上图，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P(x,20－2x3)(0≤x ≤30)，则S矩形＝(100－x)[80－(20－2x3)]＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x ≤30)，∴当x ＝5，y ＝503，即P(5，503)时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2)． 课堂小结本节课学习了：1．直线方程的四种形式； 2．会求直线方程；3．注意直线方程的使用条件，尤其关注直线的斜率是否存在从而分类讨论． 作业本节练习B 2,3题．设计感想 本节教学设计，以课程标准为指南，对直线方程的四种形式放在一起集中学习，这样有利于对比方程的适用范围，比教材中分散学习效果要好，特别是应用示例思路2的总体难度较大，适用于基础扎实、学习有余力的同学．备课资料 解析几何的应用解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何．在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质．在空间解析几何中，除了研究平面、直线的有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆、双曲线、抛物线的有关性质，在生产或生活中被广泛应用．比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的．总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质．运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案．备选习题1．求与两坐标轴正向围成面积为2的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程．解：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则由题意知12ab ＝2，∴ab ＝4.又|a －b|＝3，解得a ＝4，b ＝1或a ＝1，b ＝4.则直线方程是x 4＋y 1＝1或x 1＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.2．已知直线l 1：y ＝4x 和点P(6,4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程．分析：因为直线l 过定点P(6,4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程．解：因为过点P(6,4)的直线方程为x ＝6和y －4＝k(x －6)， 当l 的方程为x ＝6时，△OQR 的面积为S ＝72；当l 的方程为y －4＝k(x －6)时，点R 的坐标为R(6k －4k ，0)，点Q 的坐标为Q(6k －4k －4，24k －16k －4)，此时△OQR 的面积S ＝12×6k －4k ×24k －16k －4＝8(3k －2)2k (k －4).∵S ≥0，∴r(r －4)>0，∴r>4或r<0.变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32＝0(S ≠72)． 因为上述方程根的判别式Δ≥0， 所以(96－4S)2＋4·32(S －72)≥0， 解得16S(S －40)≥0，即S ≥40.此时k ＝－1，所以，当且仅当k ＝－1时，S 有最小值40. 此时，直线l 的方程为y －4＝－(x －6)，即x ＋y －10＝0.点评：此题是一道有关函数最值的综合题．如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键．怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导．3．已知直线y ＝kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3,0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围．分析：本题要首先画出图形如下图，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y ＝kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2＝k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1,2)点的一组直线．设这个定点为P(－1,2)．解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1≤α≤α2. 则k 1＝tanα1≤k ≤k 2＝tanα2.又k 1＝2＋3－1＝－5，k 2＝2－1－3＝－12，则实数k 的取值范围是－5≤k ≤－12.。
高中数学直线方程的两点式教案新人教版必修2
高一数学导学案课题：直线方程的两点式和截距式 时间：_________________ 班级：_______________ 姓名：_________________【学习目标】灵活运用直线方程的两点式和截距式【重点难点】灵活运用直线方程的两点式和截距式【知识链结】直线方程的点斜式________________________________________直线方程的斜截式________________________________________【学习过程】问题一：在实际生活中，如果没有测角仪器，通过求斜率来求直线方程相对较难，而点的坐标往往更容易确定，那么，知道两个点的坐标，如何求过这两个点的直线方程呢？直线方程的两点式________________________________________⑴ 给定两点1122(,),(,)A x y B x y 是否就可以用两点式写出直线AB 的方程？需要注意哪特殊情况.⑵ 两点式方程变形后，是否可以表示任何过两点1122(,),(,)A x y B x y 的直线呢？问题二：若已知直线l 与两坐标轴的交点(,0)a 和(0,)b （其中0ab ），试用两点式写出直线l 的方程，所得方程是否可以转化为一个比较简捷的形式？直线方程的截距式________________________________________⑴ 能用两点式表示的直线方程，就一定可以用截距式表示吗？⑵ 如图所示，直线1234,,,l l l l 中，在两坐标轴上的截距相等的直线有哪几例1、看课本例5并做练习2的第1题于导学案上.例2、若直线l 的方程为1213x y -=-，则它的截距式方程为 _______________________，斜截式方程为______________________，直线l 与x 轴交于点____________，与y 轴交于点__________________.例3、已知直线120mx ny ++=在x 轴、y 轴上的截距分别为3,4-，则,m n 的值分别为___________________________________________.例4、根据下列条件求直线方程：⑴ 过点(2,1),(0,3)A B -⑵ 在y 轴上的截距是5-，在x 轴上的截距是3。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》优质课教案_3
1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1、利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.
（2）已知两点 其中 ，求通过这两点的直线方程。
遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。
教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：
（1）
（2）
教师指出：当 时，方程可以写成
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：
教师指出： 的几何意义和截距式方程的概念。
4、例4教学
已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
7、布置作业
巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。
学生课后完成
2、若点 中有 ，或 ，此时这两点的直线方程是什么？
使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。
高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程 教案1
3.2.2《直线的两点式方程》教案【教学目标】1.直线的两点式方程的推导过程；2.直线的截距式方程的构成，了解直线方程截距式的形式特点及适用范围； 3 截距的含义。
掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。
【导入新课】 问题导入：利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。
（2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
新授课阶段1.直线的两点式方程的推导过程已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：（1）)1(232-=-x y（2）)(112121x x x x y y y y---=-指出：当21y y ≠时，方程可以写成),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。
思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y轴垂直，直线方程为：1y y=。
例1 已知直线l ：120kx y k -++= (1) 证明直线l 经过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（3） 若直线不经过第三象限，求k 的取值范围。
解：（1）（－2，1）；（2）由直线l 的方程得A （－12kk+，0），B （0，1＋2k)，由题知：－12kk+＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0 ∵S=12 |OA||OB|=11(44)2k k++≥4．当且仅当k ＞0,4k=1k ,即k=12时，面积取最小值4，此时直线的方程是：x －2y ＋4=0．(3)由（2）知直线l 在坐标轴上的截距，直线不经过第四象限则－12kk+≤0，且1＋2k≥0，∴k ＞0。
高中数学(3.2.2直线的两点式方程)示范教案新人教A版必修2
整体设计
教学分析
本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率
k 不存在或斜率 k=0 时对两点式的讨论及变
形. 直线方程的两点式可由点斜式导出 . 若已知两点恰好在坐标轴上 ( 非原点 ) ，则可用两点式
的特例截距式写出直线的方程 . 由于由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思路 1. 上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样
推导的？利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线 l 经过两点 P1(1,2),P 2(3,5), 求直线 l 的方程 .
（2）已知两点 P1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)( 其中 x 1≠ｘ2,y 1≠ｙ2) ，求通过这两点的直线方程 .
. 教师引
导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线
l 的方程？哪种方法
更为简捷？然后求出直线方程 .
因为直线 l 经过 (a ，0) 和 (0 ，b) 两点，将这两点的坐标代入两点式，得
y
b
就是 x
y
=1. ②
ab
注意： ②这个方程形式对称、美观 , 其中 a 是直线与 x 轴交点的横坐标，称
思路 2. 要学生求直线的方程，题目如下：
①A(8， -1) ， B(-2 ，4) ；
②A(6， -4) ， B(-1 ，2) ；
③A(x 1， y1) ， B(x 2， y 2)(x 1≠ｘ2).
( 分别找 3 个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求
k 及求解过程 )
【精品教案】高中数学必修2第三章《直线的两点式方程》教案
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：
教师指出： 的几何意义和截距式方程的概念。
4、例4教学
已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
2、若点 中有 ，或 ，此时这两点的直线方程是什么？
使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。
教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当 时，直线与 轴垂直，所以直线方程为： ；当 时，直线与 轴垂直，直线方程为： 。
问题
设计意图
师生活动
3、例3教学
已知直线 与 轴的交点为A ，与 轴的交点为B ，其中 ，求直线 的方程。
教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学率，从而可求出直线方程：
（1）
（2）
教师指出：当 时，方程可以写成
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
3.2.2 直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
2.2.2直线的两点式方程教案
2.2.2 直线的两点式方程教案教学目标•理解直线的两点式方程的概念。
•掌握求解直线的两点式方程的方法。
•能够应用直线的两点式方程解决实际问题。
教学内容1.直线的两点式方程的定义和特点。
2.求解直线的两点式方程的步骤和方法。
3.直线的两点式方程在实际问题中的应用。
教学步骤步骤一：引入1.进行导入：引导学生回顾直线的一般式方程，指出其限制和不足之处。
2.引入直线的两点式方程的概念：告诉学生直线的两点式方程可以更便捷地表示直线的方程，使得解直线方程的计算更加简单。
步骤二：讲解概念和特点1.定义直线的两点式方程：是用直线上的两个点(x₁, y₁) 和(x₂, y₂) 来表示直线方程的一种方式。
2.解释直线两点式方程的特点：通过给出直线上的两个点，可以唯一确定直线的方程。
步骤三：求解直线的两点式方程1.介绍求解直线两点式方程的步骤：a.确定直线上的两个点坐标。
b.根据两点的坐标，计算直线的斜率。
c.根据斜率和其中一个点的坐标，使用斜截式方程得到直线的方程。
d.化简直线的方程，得到最终的两点式方程。
步骤四：应用实际问题1.通过实际问题的例子，展示直线的两点式方程的应用：a.解决给定两点的直线问题，如求直线的方程、距离等。
b.引导学生应用直线的两点式方程解决其他几何问题。
步骤五：总结与扩展1.总结直线的两点式方程的概念和求解方法。
2.引导学生思考直线两点式方程的优缺点，与其他直线方程的比较。
3.拓展其他相关概念，如点斜式方程、截距式方程等。
教学资源•教材《数学课程标准实验教科书》•讲义：直线的两点式方程教学评估1.布置课后作业，让学生练习求解直线的两点式方程。
2.参与课堂讨论，回答教师提出的问题，并解决相关问题。
3.课堂小结，检查学生对直线的两点式方程的理解程度及掌握情况。
拓展练习1.给定两点A(1,2)和B(4,5)，求过这两点的直线方程。
2.已知直线的两点式方程为：2x + 3y - 6 = 0，求直线的斜率和截距。
人教版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》公开课教案_2
例二:把直线 的一般方程 化成斜截式方程,
并求出直线 与 轴、 轴的截距
变式：设直线 的方程为 ,根据下列条件分别求的值.
① 在 轴上的截距为 .②斜率为 :
例三．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5 ＝0平行；
(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直．
2．直线2x－y＋3＝0化为斜截式方程为( )
A．y＝2x＋3 B．x＝ y－ C．y－3＝2xD. － x＝1
3．直线l的方程为Ax＋B y＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0D．AB>0，C＝0
4．直线a x＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a等于( )
课题
3.2.3直线的一般式方程
课型
学习目标
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式
重点难点
直线方程的一般式及对直线方程一般式的理解与应用。
导学过程
备注
一、新知探讨：
1.定义:关于 的二元一次方程________________ ( 不全为0)叫直线的一般式方程,简称一般式.
5．已知直线 经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．
四.小结:（
1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
人教版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》公开课教案_2
3.2.2 直线的两点式方程教学目标1、知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
教学重点、难点：1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
教学过程：一、复习准备：1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②已知直线经过两点,求直线的方程.设计意图：遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。
使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。
二、讲授新课：1.直线两点式方程的教学:① 探讨:已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜式方程? 211121()y y y y x x x x --=-- 两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.设计意图：教师引导学生把问题转化为已经解决的问题，师生共同完成。
若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？设计意图：使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。
2．例题与练习例1：教材P97练习1题设计意图：对两点式方程的应用.例2：已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的交点为B （0，b ），其中a≠0，b ≠0，求l 的方程② 当直线l 不经过原点时,其方程可以化为1xy a b+= ⑵, 方程⑵称为直线的截矩式方程,其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x轴、y 轴的截距分别为,a b .设计意图：理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。
高中数学 必修二 (3.2.2 直线的两点式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程.②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22).所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. 证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即ab a f b f ac c f c f --=--)()()()(. ∴f(c)-f(a)= a b a c --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. ∴f(c)的近似值是f(a)+a b a c --［f(b)-f(a)］. 课堂小结通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.作业课本习题3.2 A 组9、10.设计感想计算机技术的发展日新月异，将计算机引进课堂是大势所趋，有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学，以提高教学效果，激发学生兴趣，达到事半功倍的效果.介绍如下：在直角坐标系中，给出两个已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，但A 点B 点的坐标受变量控制，即是可变的，坐标系中显示A 、B 两点决定的直线，且显示相对应的两点式表示的直线方程，当A 、B 两点不断任意变化时，直线和直线方程也随之不断变化(通过动感引发学生的兴趣)，并伴随悦耳的音乐声，只有当x 1=x 2或y 1=y 2时，直线依然存在，而直线方程显示“不存在”(并不断闪烁)，伴以悦耳的提示音，且变幻的画面,需用鼠标点击才能继续运转.对于两点式的其他变式也可以同样如法炮制.通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣，达到意想不到的效果.。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》教案_16
《§3.2.2直线的两点式方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能
(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情感、态度和价值观
(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；
(2)培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线的两点式方程；
2、难点：直线的两点式方程推导过程的理解。
三、教具：三角板。
学具：三角尺。
四、教学设想。
《直线的两点式方程》教案
《直线的两点式方程》教案
一、教学目标
【知识与技能】
掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围，能根据两点求直线的点斜式方程。
【过程与方法】
通过应用直线的点斜式方程的探究过程中获得两点式方程，增强比较、分析、应用的能力。
【情感态度与价值观】
通过学习直线的两点式方程的特征和适用范围，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。
二、教学重难点
重点：直线的两点式方程。
难点：两点式方程推导过程的理解。
三、教学过程
(一)导入新课
1.利用点斜式方程求解直线方程：
(1)已知直线过求直线方程。
(2)已知两点其中求直线方程。
(二)探究新知
问题1：用什么方法求解直线方程?体现了什么数学思想?(化归转化)
两点式方程:由上述知,经过(其中)两点的直线方程为我们称为直线的两点式方程,简称两点式。
问题2：若点此时这两点的直线方程是什么?
教师引导学生通过画图、观察、分析，共同总结结论。
问题3：直线两点式适用于怎样的直线?
(斜率存在，且不为零)
(三)巩固提高
1.求过两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式。
2.已知的三个顶点是A(0,7)，B(5,3)，C(5,-3)，求(1)三边所
在直线的方程;(2)中线AD所在直线的方程。
(四)小结作业
小结：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?要求一条直线的方程，必须知道多少个条件?作业：练习题1、2题
四、板书设计。
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3.2.2 直线的两点式方程
●教学目标
1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围;
2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
●教学重点 直线方程的两点式
●教学难点 两点式推导过程的理解
●教学方法 学导式
●教具准备 幻灯片
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师:上一节课,我们一起学习了直线方程的点斜式,并要求大家熟练掌握,首先我们作一简要的回顾(略), 这一节,我们将利用点斜式来推导直线方程的两点式.
Ⅱ.讲授新课
1. 直线方程的两点式:),(21211
21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标.
推导:因为直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，并且21x x ≠，所以它的斜率1
212x x y y k --=.代入点斜式, 得,)(11
2121x x x x y y y y ---=-. 当12112112,x x x x y y y y y y --=--≠方程可以写成
时. 说明:①这个方程由直线上两点确定;
②当直线没有斜率(21x x =)或斜率为)(021y y =时,不能用两点式求出它的方程.
2. 直线方程的截距式:1=+b
y a x ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距. 说明:①这一直线方程由直线在x 轴和y 轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式; ②截距式的推导由例2给出.
3. 例题讲解:
例2.已知直线l 与x 轴的交点为（a ，0），与y 轴的交点为（0，b ），其中a ≠0,b ≠0,求直线l 的方程.
解:因为直线l 经过A (a ,0)和B (0,b )两点,将这两点的坐标代入两点式,得:
.1,000=+--=--b
y a x a a x b y 就是
说明:此题应用两点式推导出了直线方程的截距式.
例3.三角形的顶点是A (-5,0)、B （3，-3）、C （0，2）,求这个
三角形三边所在直线的方程.
解:直线AB 过A (-5,0)、B （3，-3）两点，由两点式得
)
5(3)5(030----=---x y 整理得：01583=++y x ，即直线AB 的方程.
直线BC 过C (0,2),斜率是3
530)3(2-=---=k , 由点斜式得:)0(3
52--=-x y
整理得:0635=-+y x ,即直线BC 的方程. 直线AC 过A (-5,0),C (0,2)两点,由两点式得:)
5(0)5(020----=--x y 整理得：01052=+-y x ，即直线AC 的方程.
说明:例3中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.
Ⅲ.课堂练习
课本练习
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握直线方程的两点式,并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.
●课后作业
习题。