第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算(含答案详细解析)
高中数学高考复习：第二章第10讲 变化率与导数、导数的计算
第10讲变化率与导数、导数的计算[学生用书P45]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x=x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．1.教材习题改编 函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos xB [解析] y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .2．(2017·豫东、豫北十所名校联考)已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2xB [解析] 因为f (x )＝2e x sin x ，所以f (0)＝0，f ′(x )＝2e x ·(sin x ＋cos x )，所以f ′(0)＝2，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.3．(2017·开封市第一次模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1，3)，则n＝()A．－1 B．1C．3 D．4C[解析] 对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，所以k＝3＋m，又k＋1＝3，1＋m＋n ＝3，可解得n＝3.4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．[解析] 因为f(x)＝(2x＋1)e x，所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x，所以f′(0)＝3e0＝3.[答案] 35．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．[解析] 设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，所以y0＝e ln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．[答案] (－ln 2，2)导数的计算[学生用书P46][典例引领]求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；(3)y＝3x e x－2x＋e；(4)y＝ln xx2＋1；(5)y＝ln(2x－5)．【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(3)y′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3x e x ln 3＋3x e x－2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(4)y′＝（ln x）′（x2＋1）－ln x（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x（x2＋1）－2x ln x（x2＋1）2＝x2＋1－2x2ln x x（x2＋1）2.(5)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.求下列函数的导数：(1)y＝x n e x；(2)y＝cos xsin x；(3)y＝ex ln x；(4)y＝(1＋sin x)2.[解] (1)y′＝nx n－1e x＋x n e x＝x n－1e x(n＋x)．(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.(3)y′＝e x ln x＋e x·1x＝ex⎝⎛⎭⎫1x＋ln x.(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.导数的几何意义(高频考点)[学生用书P46] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．(2)(2017·重庆适应性测试(二))若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)由题意可得当x ＞0时，f (x )＝1n x －3x ，则f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)y ＝－2x －1 (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．[题点通关]角度一 已知切点求切线方程1．(2017·广州市五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2D [解析] 因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标2．(2017·郑州市第二次质量检测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)C [解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.角度三 已知切线方程求参数值3．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．[解析] 曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．[答案] －12(－1，0)[学生用书P47]——导数与其他知识的交汇抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12.【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．(2017·武汉高三月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2017x 2 016的值为________．[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝12 017.则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016 ＝log 2 017(x 1·x 2·…·x 2 016)＝log 2 01712 017＝－1. [答案] －1[学生用书P334(独立成册)]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1B [解析] 因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ， 所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2017·赣州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2C [解析] 依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4， 所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2017·郑州市第一次质量预测)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0C [解析] 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.4．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2 C.94D ．－94D [解析] 由已知条件f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，知f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，则f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，所以f ′(2)＝－94.5．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 017D.2 0182 017D [解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017.6．设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2，则a －b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.所以a －b ＝－1，故选A.7．函数y ＝sin xx的导数为________．[解析] y ′＝（sin x ）′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin xx 2.[答案]x cos x －sin x x 28．(2017·武汉市调研测试)曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________． [解析] 由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f (1)＝0，所以所求切线方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.[答案] x －y －1＝09．(2017·兰州市诊断考试)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．[解析] 因为y ′＝x 2－3x (x ＞0)，所以令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以x ＝2. [答案] 210．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a＝－13x3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．[答案] (－∞，0) 11．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x ＋cos x x ＋sin x；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；(4)y ＝ln （2x ＋3）x 2＋1.[解] (1)法一：因为y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，所以y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′（x ＋sin x ）2＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）（x ＋sin x ）2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1（x ＋sin x ）2.(3)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， 所以y ′＝－12sin 4x －12x ·4·cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)y ′＝[ln （2x ＋3）]′（x 2＋1）－（x 2＋1）′ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝（2x ＋3）′2x ＋3·（x 2＋1）－2x ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝2（x 2＋1）－2x （2x ＋3）ln （2x ＋3）（2x ＋3）（x 2＋1）2.12．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.13．(2017·沈阳检测)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2D.2＜x 0＜ 3D [解析] 令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.14．(2017·浙江省宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .[解析] ①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＜0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．[答案] ①②③15．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．[解] 对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．所以(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 16．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理
解
．
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变化率与导数、导数的计算
考点一：导数的运算
题组练透
求下列函数的.导数
(1)y x2 sinx;
(2)y lnx பைடு நூலகம்; x
cosx (3)y ex ;
(4)y xsin(2x)cos2(x);
2
2
(5)y ln(2x5).
类题通法
函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等 变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免 使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复 合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然 后求导．
考点二：导数的几何意义
角度一：求切线方程
1.(201.云 5 南一)检 函数f(x) l nx2x x
的图象在(1点 ,2)处的切线方程 ( 为)
A2.x y40
B2. x y0
C.x y30
D.x y10
角度二：求切点坐标
2.(201.江 4 西高 )若考曲y线 xlnx上 点P处的切线平行 2x与 y直 10线 ,则 点P的坐标 __是 _____.____
角度三：求参数的值
3.已知f (x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7
2
2
(m 0),直线l与函数f (x), g(x)的图象都相切，
且与f (x)图象的切点为(1, f (1)),则m的值为
A. 1
第2章---第10节
x，则f′(x)＞0的解集为
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
【错解】
典 例 探 究 · 提 知 能
D．(－1,0)
高 考 体 验 · 明 考 情
2 4 2x －2x－4 ∵f′(x)＝2x－2－ ＝ ， x x
x2－x－2 ∴由 f′(x)＞0，可得 ＞0， x 解得 x＞2 或－1＜x＜0，故选 B.
1 x0＋1 从而所围三角形的面积为2| －1|· 0－1－1| |2x x0－1 1 2 ＝2| ||2x －2|＝2.是定值 x0－1 0
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
自 主 落 实 · 固 基 础
【尝试解答】
(1)f′(x)＝a－
1 ， x＋b2
2a＋ 1 ＝3， 2＋b 于是 1 a－ ＝0， 2＋b2
∵a，b∈Z， 故 f(x)＝x＋ 1 . x－1
a＝9， 4 a＝1， 解得 或 b＝－1， b＝－8. 3
高 考 体 验 · 明 考 情
自 主 落 实 · 固 基 础
轴交点的纵坐标是(
)
A．－9
【解析】
B．－3
C．9
D．15
∵y′＝(x3＋11)′＝3x2，切点P(1,12)，
高 考 体 验 · 明 考 情
∴k＝y′|x＝1＝3.
典 例 探 究 · 提 知 能
因此在点P(1,12)处的切线方程为3x－y＋9＝0， 令x＝0，得y＝9. 【答案】 C
菜 单
高考高考数学总复习 第二章 第10节 变化率与导数、导数的计算课件
A
17
[解] (1)∵y＝eexx－ ＋11＝1＋ex－ 2 1，∴y′＝－（ex2－ex1）2. (2)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－1x＝3xexln 3＋3xex－1x ＝3xexln(3e)－1x. (3)y′＝1－ －22x＋2e2x＝2x2－1＋2e2x.
A
18
考向 2 导数的几何意义
A
29
[解析] (1)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减 小，x＝0 时最大，所以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小， 在 x＝0 时变化率最大．A 项，在 x＝0 时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的， 故错误．B 项正确．
(2)设切点坐标为 P(x0，y0)，由 y′＝ex，得 y′|x＝x0＝ex0，从而切线方程为 y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线 过定点(0，0)，从而－ex0＝ex0(－x0)，解得 x0＝1，则 m＝e.
A
22
【变式训练 2】 已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程 及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直，求切 点坐标与切线的方程．
【典例 2】 已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求斜率为 1 的曲线的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程．
A
19
[解] (1)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为 x20＝1，x0＝±1. 切点为(－1，1)或1，53，
∴切线方程为 y－1＝x＋1 或 y－35＝x－1， 即 x－y＋2＝0 或 3x－3y＋2＝0.
高考数学大一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数、导数的计算课件
2．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)gfxx′＝f′xgx[g－xf]2xg′x(g(x)≠0)． 3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的 关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导 数的乘积．
判断正误
(1)sin
π3′＝cos
π 3
(2)若(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
( ×) ( ×) ( √)
基础盘查三 导数四则运算法则 (一)循纲忆知 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能运用复合函数的求导法则进行简单复合函数的求导． (二)小题查验 1．判断正误
[类题通法] 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利 用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可 以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中 间变量，确定复合过程，然后求导．
D．3x－y＋1＝0
解析：∵y＝sin x＋ex， ∴y′＝cos x＋ex， ∴y′x＝0＝cos 0＋e0＝2， ∴曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即 2x－y＋1＝0.故选 C.
基础盘查二 基本初等函数的导数公式 (一)循纲忆知
能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． (二)小题查验
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
专题2.10 变化率与导数、导数的计算(解析版)
第二篇 函数、导数及其应用 专题2.10 变化率与导数、导数的计算【考纲要求】1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y ＝C(C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 【命题趋势】1. 导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质． 2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题. 【核心素养】本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x → ΔyΔx ＝0limx →00()()f x x f x x +∆-∆❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx →Δy Δx ＝limx →00()()f x x f x x +∆-∆.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝limx →00()()f x x f x x +∆-∆为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) 2()()()()()()[()]f x f 'x g x f x g'x 'g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【素养清单•常用结论】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3) 21()()[()]f 'x 'f x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 【真题体验】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ）A ．B ．a=e ，b =1C ．D ．，【答案】D【解析】∵∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.2.【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3.【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则（）A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，则a>–1，b<0.故选C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b 最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5. 【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是.【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.【答案】【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，，则曲线在点A处的切线为，即，将点代入，得，即，考察函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点7. 【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.【考法拓展•题型解码】考法一导数的运算解题技巧：导数的运算方法(1)连乘形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．【例1】 (1)(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为__________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝__________.(3)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π6sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝__________.【答案】(1)e (2)－94 (3)－1【解析】(1)因为f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e(0＋1)＝e.(2)因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.(3)因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π6sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π6·cos x －sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π6＝32f ′⎝⎛⎭⎫π6－12，所以f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－(2＋3)，所以f (x )＝－(2＋3)sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝－12(2＋3)＋32＝－1. 【例2】 求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e. 【答案】见解析【解析】 (1)因为y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12 －x 12 ， 所以y ′＝(x －12 )′－(x 12 )′＝－12x －32 －12x －12 .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝2(ln )ln x 'x x'x x-＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. (3)y ′＝2(sin )cos sin (cos)cos x 'x x x'x-＝2cos cos sin (sin)cos x x x xx--＝1cos 2x . (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2. 考法二 导数的几何意义解题技巧：导数几何意义的应用类型及求解思路(1)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由1101101()()()y f x y y f 'x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩求解即可．(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x【答案】D【解析】由f (x )为奇函数知a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，f ′(0)＝1，则切线方程为y ＝x .故选D(2)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为__________．【答案】(1,1)【解析】由y ′＝e x，知曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．(3)(2019·金陵中学月考)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝__________. 【答案】－2【解析】因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.又g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.【易错警示】易错点 审题不认真致误【典例】 求曲线S ：y ＝f(x)＝2x －x3过点A(1,1)的切线方程． 【错解】：易知点A(1,1)在f(x)＝2x －x3的图象上， 又f′(x)＝2－3x2，所以f′(1)＝2－3＝－1＝k ，所以过点A 的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.【错因分析】：审题时忽视了曲线“在点P 处的切线”与曲线“过点P 的切线”的不同．【正解】：设切点为(x0，f(x0))．因为f′(x)＝2－3x2，所以切线方程为y ＝f′(x0)(x －x0)＋f(x0)，即y ＝(2－3x20)(x －x0)＋2x0－x30，将点A 的坐标(1,1)代入得1＝(2－3x20)(1－x0)＋2x0－x30，整理得2x30－3x20＋1＝0，即2x30－2x20－x20＋1＝0， 所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或－12， 所以y0＝1，f′(x0)＝－1或y0＝－78，f′(x0)＝54. 所以切线方程为y ＝－x ＋2或y ＝54x －14. 归纳总结:若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)点P (x 0，y 0)不是切点时，可分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，由此即可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 【跟踪训练】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 【答案】见解析【解析】 (1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)·(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 【递进题组】1．已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B【解析】 由题意和图可得y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13.因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1. 【答案】见解析【解析】 (1)y ′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝2(sin )cos sin (cos)cos x x 'x x x x'x-＝22(sin cos )cos sin cos x x x x x x x ++＝sin x cos x ＋x cos 2x . (3)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，所以y ′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)y ′＝2(1)(1)(1)(1)(1)x 'x x x 'x -+--++＝21(1)(1)x x x +--+＝22(1)x +.3．(2019·盐城伍佑中学调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 因为f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝x －a ＋1x .因为函数f (x )存在垂直于y 轴的切线，所以f ′(x )＝x －a ＋1x ＝0在区间(0，＋∞)上有解，即a ＝x ＋1x 在区间(0，＋∞)上有解．因为当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a ≥2. 故实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 4．已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由． 【答案】见解析【解析】(1)因为y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以k ＝y ′|x ＝1＝12－6－18＝－12.又由x ＝1，得y ＝3－2－9＋4＝－4，所以切点的坐标为(1，－4)．所求切线的方程为y ＋4＝－12(x －1)，即12x ＋y －8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0，y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0， 整理，得(x －1)2(x ＋2)(3x －2)＝0，所以x ＝1或－2或23.所以切线与曲线C 还有其他公共点，由x ＝－2，得y ＝32；由x ＝23，得y ＝0.所以另外两个点的坐标为(－2,32)，⎝⎛⎭⎫23，0. 【考卷送检】 一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4【答案】D【解析】 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4. 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．12 C ．－2D ．2【答案】A【解析】 因为y ′＝－1－cos x sin 2 x ，所以y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，所以a ＝－1. 3.(2019·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2【答案】A【解析】 因为y ＝1－2x ＋2，所以y ′＝22(2)x +，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4.在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( ) A ．0 B ．26 C ．29 D ．212【答案】D【解析】 因为f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)·…·(x －a 8)，所以f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′,＝(x －a 1)·…·(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′， 所以f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫0，π4B ．⎣⎡⎭⎫3π4，πC ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2【答案】B【解析】 因为y ＝4e x＋1，所以y ′＝24(1)xxe e -+＝24()21xx xe e e -++＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1⎝⎛⎭⎫当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时，等号成立，又－4e x＋1e x ＋2＜0，所以－1≤tan α<0.又因为0≤α<π，所以3π4≤α<π.故选B ．6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A ．13B ．－23C ．73D ．－13或53【答案】D【解析】 因为f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，所以f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．若f ′(x )的图象为①，此时a＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，所以a ＝－1，所以f (－1)＝－13. 二、填空题7．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【答案】 5x ＋y ＋2＝0【解析】 由y ＝－5e x＋3得y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.8．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.【答案】 －3【解析】 y ′＝a e x＋(ax ＋1)e x＝e x(ax ＋a ＋1)， y ′|x ＝0＝e 0(a ＋1)＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫3，94－3ln 3【解析】 因为y ′＝x 2－3x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝⎛⎭⎫3，94－3ln 3.三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 【答案】见解析【解析】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝3x 2＋1，所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.所以切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过原点(0,0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．11．(2019·哈尔滨三中期中)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ． (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2019·吉林校级联考)设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 【答案】见解析【解析】 (1)由题意得y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12. (2)过点P 作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0.设点Q 的坐标为(x 2，y 2)，则x 1x 2＝9，又x 1＝2.所以x 2＝92，y 2＝－4.所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.13．设过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________． 【答案】[－2,3]【解析】 设曲线f (x )上任意一点A (x 1，y 1)，曲线g (x )上存在一点B (x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x －1，g ′(x )＝m －3cos x ．由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－e x 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x－x 上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以－1()f 'x ∈(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3.。
高考数学 2.10 变化率与导数、导数的计算
有时也记作y′.
(3)基本初等函数的导数公式:
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sinx f(x)=cosx
x
【解析】(1)错误.应先求f′(x),再求f′(x0). (2)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线,但其交点个数有无数个. (3)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物线 y2=x的切线. (4)正确.f′(x)=(f′(a)x2+ln x)′=(f′(a)x2)′+(ln x)′ =2xf′(a)+ .1
第十节 变化率与导数、导数的计算
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:
①定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 _ l_xim _0_f_(_x_0__ _x_x)__f_(_x_0_)_= l i m y 为y=f(x)在x=x0处的导数，记作
x
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(选修2-2P11T1改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面
的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.则运动员的速度v=
,
加速度a=
.
【解析】v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8.
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用导数求切线的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合. (3)记忆口诀: 导数概念要理清,专门刻画变化量, 放大放大再放大,逼近逼近再逼近. 几何意义在切线,物理应用求速度. 常见函数的导数,定义证明会推导. 导数的四则运算,记住法则计算巧. 简单函数的复合,记住公式会运算.
第十节 变化率与导数、导数的计算
线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=
.
【解析】y′=1+ 1,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线
x
斜率为k=y′|x0
=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为
1
y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立
y y
2x 1,
ax2
a
得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由
x 1
由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于a,所以a≤0, 综上-2≤a≤0.
【技法感悟】 1.与切线有关问题的处理策略 (1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数 值,k=f′(x0). (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点 A(x0,f(x0)),则切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再 把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.
12 12
,所1 以
x0
x3 1 sin x x3 1 2
x3 1
cos x x3 1 3x2sin x
x3 1 2
.
考向二 导数几何意义的应用 【考情快递】
【考题例析】
命题方向1:与切线方程有关的问题
【典例2】(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=
ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则
(3)因为y=x-sin xcos x
22
=x-1 sinx,
2
所以 y (x 1 sin x)
高考数学一轮复习 第二章第十节 变化率与导数 导数的计算 文 湘教版
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个， 这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
第四页，共27页。
[试一试] 1．(2013·江西高考)若曲线 y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切
线经过坐标原点，则 α＝________. 解析：由题意 y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为 k＝α，又切线过坐标原点，所以 α＝12－－00＝2. 答案：2
[针对训练] 已知 f(x)＝sin 2x，记 fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N*)，则 f1π6＋f2π6 ＋…＋f2 013π6＋f2 014π6＝________. 解析：由题意，可知f2(x)＝f1′(x)＝(sin 2x)′＝2cos 2x； f3(x)＝f2′(x)＝(2cos 2x)′＝－4sin 2x； f4(x)＝f3′(x)＝(－4sin 2x)′＝－8cos 2x； f5(x)＝f4′(x)＝(－8cos 2x)′＝16sin 2x； …
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝_Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f__x_0___.
(2)导数的几何意义：
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x) 上点 P(x0，y0)处的 切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时 间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
第五页，共27页。
2．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为________． 解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案：－xsin x
第十节 变化率与导数、导数的计算
【例 5】 (2019·深圳二模)设函数 f(x)＝x＋1x＋b，若
曲线 y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则 ab
＝( )
A．1
B．0
C．－1
D．－2
解析：由题意可得，f(a)＝a＋1a＋b，f′(x)＝1－x12，
所以 f′(a)＝1－a12，故切线方程是 y－a－1a－b＝1－a12(x
f（x0＋Δx）－f（x0） ______________Δ_x_________．
(2)函数 f(x)的导函数．
f（x＋Δx）－f（x） 函数 f′(x)＝____________Δ_x________为 f(x)的导函数． 2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的_斜__率__，过点 P 的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
[变式训练]
Байду номын сангаас
1．若 y＝x－cos
x 2sin
x2，则 y′＝________．
解析：因为 y＝x－12sin x， 所以 y′＝x－12 sin x′＝x′－12sin x′＝1－12cos x. 答案：1－12cos x
答案：B
1．熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数 计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量， 提高运算速度，减少差错．
2．(1)函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求 导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程 思想求解．
f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
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第2章 函数、导数及其应用
第10节 变化率与导数、导数的计算
考点一 导数的几何意义
1．（2013广东，5分）若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 解析：本题主要考查导数的几何意义，考查考生的运算能力．y ′|x ＝1＝0，即当x ＝1时，k ＋1x
＝k ＋1＝0，解得k ＝－1. 答案：－1
2．（2013北京，13分）设L 为曲线C ：y ＝ln x x
在点(1,0)处的切线． (1)求L 的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．
解：本题考查导数的几何意义、导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基本方法，意在考查函数与方程思想、化归与转化思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2
. 所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1.
又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.
(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．
g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )
＝x 2－1＋ln x x 2
. 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减；
当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增．
所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)．
所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．
3．（2011山东，5分）曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )
A ．－9
B ．－3
C ．9
D ．15
解析：y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.
答案：C
4．（2011湖南，5分）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12
在点M (π4，0)处的切线的斜率为( ) A ．－12
B.12 C ．－22 D.22
解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x
，把x ＝π4代入得导数值为12. 答案：B
5．（2010辽宁，5分）已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A ．[0，π4
) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4
，π) 解析：设曲线在点P 处的切线斜率为k ，
则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4e x ＋1e x ＋2， 因为e x >0，
所以由均值不等式得k ≥
－4
2e x ×1e x ＋2，又k <0， ∴－1≤k <0，即－1≤tan α<0，所以3π4
≤α<π. 答案：D
6．(2009·辽宁，5分)曲线y ＝
x x －2在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2
B ．y ＝－3x ＋2
C ．y ＝2x －3
D ．y ＝－2x ＋1
解析：y ′＝(x x －2)′＝－2(x －2)2
，∴k ＝y ′|x ＝1＝－2. l ：y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.
答案：D
7．（2012新课标全国，5分）曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 解析：y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.
答案：y ＝4x －3
8．（2012广东，5分）曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x ＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，
即y ＝2x ＋1.
答案：y ＝2x ＋1
9．（2011江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数ƒ(x )＝e x (x ＞0)的图像上的动点，该图像在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N .设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是____．
解析：设点P 的坐标为(x 0，e x 0)，则切线l 的方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，则过点P 作l
的垂线m 的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)，令x ＝0，得M (0，e x 0－x 0e x 0)，N (0，e x 0＋x 01e x 0
)，所以t ＝e x 0＋x 02e x 0－x 0e x 02，得t ′＝(1－x 0)(e x 02＋12e x 0
)，令t ′＝0，得x 0＝1，当0＜x 0＜1时，t ′＞0，t ＝e x 0＋x 02e x 0－x 0e x 02单调递增；当x 0＞1时，t ′＜0，t ＝e x 0＋x 02e x 0－x 0e x 02
单调递减，所以当x 0＝1时，t 取最大值，为12(e ＋1e
)． 答案：12(e ＋1e
) 10．（2010江苏，5分）函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
解析：∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴
的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12
，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.
答案：21
11．(2009·福建，4分)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x
， ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，
∴f ′(x )＝0有解，即3ax 2＋1x
＝0有解， ∴3a ＝－1x 3，而x >0，∴a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)
考点二 导数的概念与运算
（2011江西，5分）若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0)
解析：令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x
＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.
答案：C。