2016年春季新版湘教版九年级数学下学期1.2、二次函数的图象与性质课件35
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1最新湘教版初中数学九年级下册精品课件.2 二次函数的图像与性质
8 6 4 2 -4 -2
24
函数
y
1 x2, y 2
2x2
的图象与函数
y=x2的图象相
比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口方向：向上
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8
6
y 2x2
简称：左降，右升 极值：x=0时,y最小=0 不同点：开口大小不同
点，
、
(4)当a<0时，抛物线开口向 ，顶点是最 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， 在对称轴的左侧，y随x的增大而 ， a值越大，开口越 .
点，
探究 一、在同一坐标系中画二次函数的图象：
(1) y x2
(2) y x2 1
(3) y x2 1
归纳
用平移观点看函数：
抛物线 y ax2 c 可以看作是由
交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积 为8，求平移后的抛物线的解析式。
小结
二次函数 y a(x h)2 的图象及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
第4课时
复习
1、抛物线 y 1 x2 1可以看作是由 2
巩固
5、已知一次函数 y ax c 的图象如图
所示，则二次函数 y ax2 c 的图象大
致是如下图的 ( )
y
y
y
y ax c
o
x
A
C
o
x
o
x
y
y
B
o
D x
新湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图象与性质》精品课件
2 一般地，二次函数y=ax 的图象关于y轴对称.
抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点.
练习
2 1.画出二次函数y=-10x 的图象并填空： （1）抛物线的对称轴是 （2）抛物线的开口向 y轴 ，顶点是 ； ； 原点O(0，0)
下
（3）抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大 而 ；在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值 增大 的增大而 . 减小
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
例2
画二次函数
的图象 . 1 x2 y=-Biblioteka 4解列表：
x
y = - 1 x2 4
0 0
1
2 -1
3
4 -4
-1 4
-9 4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了
的图象 . x2 y = -1
4
说一说
的图象，能不能从它 y = 1 x2
2
y = - 1 x2 2
的图象呢？
在
1 x2 y =的图象上任取一点 2
，它关于 P a ，如下图所示：
x轴的对称点Q的坐标是
1 2 , a 2
a ,- 1 a 2 2
y = 1 x2 2
Q
从点Q的坐标看出，点Q在
′ B
B
′ A
A
′ B
B
2 可以证明y= x 的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分， 函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.
连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点 和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性， 画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点 用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了 的图象. 如上图所示.
湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数性质》精品课件.ppt
A．直线 y＝x 上 B．直线 y＝－x 上 C．x 轴上 D．y 轴上
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 14．抛物线 y＝2(x－2)2－6 的顶点为 C，已知 y＝ －kx＋3 的图象经过点 C，这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形的面积为__1__．
15．如图，小华在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分．若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离是__4__m.
函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1．(4 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．(4 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
解：(1)抛物线开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐 标是(3，－8) (2)当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小 (3)当 x＝3 时，y 有 最小值，最小值是－8 (4)该函数图象可由 y＝2x2 的 图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 8 个单位得到
三、解答题(共 30 分) 16．(10 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：y＝(x－1)2－1
17．(10 分)(2015·衡阳)如图，顶点 M 在 y 轴上的 抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM.
(1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ ABM 的形状，并说明理由．
解：(1)y＝x2－1 (2)△ABM 为直角三角形
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 14．抛物线 y＝2(x－2)2－6 的顶点为 C，已知 y＝ －kx＋3 的图象经过点 C，这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形的面积为__1__．
15．如图，小华在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分．若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离是__4__m.
函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1．(4 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．(4 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
解：(1)抛物线开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐 标是(3，－8) (2)当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小 (3)当 x＝3 时，y 有 最小值，最小值是－8 (4)该函数图象可由 y＝2x2 的 图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 8 个单位得到
三、解答题(共 30 分) 16．(10 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：y＝(x－1)2－1
17．(10 分)(2015·衡阳)如图，顶点 M 在 y 轴上的 抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM.
(1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ ABM 的形状，并说明理由．
解：(1)y＝x2－1 (2)△ABM 为直角三角形
湘教版九年级数学下册.1二次函数的图象和性质课件
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》PPT课件 湘教版
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
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。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a>0
a>0h<0来自h<0K>0
K<0
a>0
a>0
h>0
h>0
K>0
K<0
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
新湘教版九年级数学下册第一章《二次函数图像与性质》公开课课件
0 4.当x=__________ 时，函数值最_____________. 大
【总结】
当a<0时，y ax 2
的图象也具有上述性质，于是
今后在画 y ax 2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出
图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
根据上述分析，我 连线： 们可以用一条光滑曲线把 原点和y轴右边各点顺次连 接起来；然后利用对称性 ，画出图象在y轴左边的部 分（把y轴左边的对应点和 原点用一条光滑曲线顺次 连接起来），这样就得到 1 2 y x 的图象．如图 了 2 B′
5
4 3 B
1 y x2 2 A
2
1
－4 －3 －2－1
例1：
1 2 画二次函数 y 2 x
的图象．
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时 ，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
1 2 y x 2
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
... ...
描点：在平面直角坐标
系内，以x取的值为横坐 标，相应的函数值为纵坐 标，描出相应的点，如右 图 A′
O（0，0） 图象的开口向___________ 下 ____________; ； 2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的
减小 增大而____________ ，简称为右______________; 降
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 升 增大 增大而____________ ，简称为左______________;
B′
y=x2
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5
【总结】
当a<0时，y ax 2
的图象也具有上述性质，于是
今后在画 y ax 2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出
图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
根据上述分析，我 连线： 们可以用一条光滑曲线把 原点和y轴右边各点顺次连 接起来；然后利用对称性 ，画出图象在y轴左边的部 分（把y轴左边的对应点和 原点用一条光滑曲线顺次 连接起来），这样就得到 1 2 y x 的图象．如图 了 2 B′
5
4 3 B
1 y x2 2 A
2
1
－4 －3 －2－1
例1：
1 2 画二次函数 y 2 x
的图象．
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时 ，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
1 2 y x 2
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
... ...
描点：在平面直角坐标
系内，以x取的值为横坐 标，相应的函数值为纵坐 标，描出相应的点，如右 图 A′
O（0，0） 图象的开口向___________ 下 ____________; ； 2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的
减小 增大而____________ ，简称为右______________; 降
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 升 增大 增大而____________ ，简称为左______________;
B′
y=x2
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5
湘教版九年级数学下册 1.2：二次函数的图像和性质 课件(考场对接)(30张PPT)
题型六 二次函数图像与a, b, c之间的关系
例题6 [衡阳中考]图1-2-6为二次函数y=ax2 +bx+c的图像, 则下列
说法：①a>0；②2a+b>0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时, y>0.
其中正确的个数为( B ).
A．1
B．2
C．3
D．4
1.2 二次函数的图像与性质
分析 ∵二次函数图像的开口向下, ∴a<0,①错误；
1.2 二次函数的图像与性质
题型三 利用二次函数的性质比较函数值的大小
例题3 [河南中考]已知点A(4, y1 ), B( , y2 ),C(－2, y3 )都在二次 函数y=(x-2)2 -1的图像上, 则y1 ,y2 , y3 的大小关系是 __y_2 _＜__y_1_＜__y_3_ (用“＜”连接).
1.2 二次函数的图像与性质
解: (1)∵二次函数y=-x2 +2x+m的图像与x轴的一个交点为A(3, 0), ∴-9+2×3+m=0, 解得m=3. (2)由(1), 得二次函数的表达式为y=-x2 +2x+3.当y=0时, -x2 +2x+3=0, 解得x=3或x=-1, ∴点B的坐标为(-1, 0).
1.2 二次函数的图像与性质
解: ∵y=x2 +2x-1=x2 +2x+1-2=(x+1)2 -2, ∴函数图像的顶点坐标为(-1, -2), 对称轴为直线x=-1, 当x=-1时, y最小值 =-2.
1.2 二次函数的图像与性质
锦囊妙计
求二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像的顶点坐标、对称轴 及函数的最值时, 将表达式化成y=a(x-h)2 +k(a≠0)的形式, 可快 速求解.
湘教版数学九下《二次函数的图象与性质》课件
归纳：二次函数y=ax2的图象及其性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0 y=ax2
a<0
开口向上 开口向下 最大(小)值
x=0
（ 0， 0）
增减性
a>0
a<0
a>0
a<0
当x=0时，当x=0时， 有最小值 有最大值 y=0. y=0.
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练一练
• 1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图 象： • （1）y=3x2； （2）y=- x2. 1
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
yx
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随x的增大而 减小。 当a>0时，在对称轴的 右侧，y随x的增大而 增大。 当a<0时，在对称轴的 左侧，y随x的增大而 增大。 当 x=-2 当 x=1时， 时，y=4 y=1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=1 y=4
当 x=-2 当 x=1时， 时，y=-4 y=-1 当 x=-1 当 x=2时， 时，y=-1 y=-4
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧，y随x的增大而 减小。
• 小结：通过本节课的学习，你学到了什么 知识？有何体会？ • 作业：
2
...
0.25 0 -4 - 2.25 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
y x2
描点法
2 y x
1 y x
列表 描点 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
湘教版九年级数学下册1.2.1：二次函数的图象和性质课件(19张ppt)
0
0.5
2
4.5 ...
在平面直角坐标系 内，以x取的值为横坐标，相 应的函数值为纵坐标，描出 相应的点，如右图
连线：根据上述分析，我们
可以用一条光滑曲线把原点和 y轴右边各点顺次连接起来； 然后利用对称性，画出图象在 y轴左边的部分（把y轴左边的 对应点和原点用一条光滑曲线 顺次连接起来），这样就得到 了 y 1 x2 的图象．如图
对称轴与图象的交点是__O_(_0_,_0_)_；
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
的图象．并比较它们的共同点和不同点。
4
列表
x
0
0.5
1
2
y 2x2
0
0.5
2
8
描点 连线
y 2x2
思考：
列表
x
y 1 x2 4
a的绝对值越大 图像的开口度越小
0
1
2
3
4
1
9
0
4
1
4
4
描点 连线
y 2x2
y 1 x2 4
结论：
二次函数
（a>0)的性质：
1.图象的对称轴是___y_轴__，对称轴与图象的交点是_O_（__0_，__0_）___; 图象的开口向____上____；
湘教版九下数学课件1.2.2二次函数图像与性质
y ax 2 当h>0时,向右平移 当h<0时,向左平移
y a(x - h)2 的图象
y a(x - h)2
a＞0时，开口________,最____点是顶点;a ＜0时，开口________,最____点是顶点;
对称轴是_直__线_x=h
顶点坐标是__(_h_,0__)____。
练习:
4、画出二次函数y=-2（x-2）2+3的图像。
5、已知某抛物线的顶点坐标为（-3,2）且与y轴相交 于点（-1,0）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。
讨论归纳:
y ax 2 当h>0时,向右平移 当h<0时,向左平移
y a(x - h)2
h左加右减
当k>０时向上平移 当k<０时向下平移
的 是形 _y_状___相_1_同（__，x__且_4顶）2点坐2标是（４，-２）则3函数关系式
3
3、指出下列二次函数的开口方向、对称顶点坐标：
(1) y 3x 2 6
(2)
y 2(x 1 )2 7 2
(3) y 5(x 2)2 3
(4) y 2 (x 2)2
1 a2 2
(a 1, 1 a2 ) 2
证明：
记从b 而a点Q1,的则坐a 标b为1
b, 1 b 12
2
这表明：点Q在函数的y图象1上x，-1由2此得出，抛物线
F是函数的图象，
2 y
1
x
-12
2
这样我们证明了：函数的y图 象1 是x 抛-1物2 线F，它的开口
2
纵坐标
1 a -12
2
1 a -12 3
2
湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图像与性质》课件2
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2,y=-1/2x2 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
1.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax²（a<0） 的图象与性质
情景引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y ax2 bx c （a,b,c为常数，a≠0）
2.下列函数中，哪些是二次函数？
y x2, y x2 1 , y x x2, y x2 x 1. x
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利用对称性画出y轴左边的部分.
这样我们得到了 的图象，如图
－4
y 1 x2 4
－2 －2 －4
2
4
观察图 y 1 x2 的图象跟实际生活中的什么相像？
4
－4 －2 －2 －4
2
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线 4
－4 －2 －2 －4
2
4
以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐 标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求 出铅球在空中经过的路线是形式为 y ax2 (a 0) 的图象的 一段.
（1）求满足条件的m的值 （2）m为何值时，图象有最低点？最低点的
坐标是什么？此时，当x为何值时，y随x的 增大而增大？ (3)m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 此时x的值为多少？你能说明函数y的值随x的变化 而变化的规律次函数y=-3x2 (1)图象的开口向下 ，对称轴y轴是 顶点是原点 ，顶点坐标（是0,0）
湘教版九下数学课件1.2.3二次函数图像与性质
画函数图象
人生的价值，并不是用时间，而是用 深度去衡量的。 ——列夫·托尔斯泰
－4
求函数的最y 大值1 x2 2x 1
2
解配方： y 1 x2 2x 1
2
1 x2 4x 22 22 1 2
1 x 22 1 4 1
2
2
1 x 22 1
2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达
到最大值1.
一般地，对于二次函数 y ax2 bx c
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第一章二次函数
二次函数y=ax² y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
时，图象将发生怎样的变化？
1、顶点坐标？ （0，0）
2、对称轴？ y轴（直线x=0）
3、平移问题？
（h，0） （直线x=h）
（h，k） （直线x=h）
一般地，函数y=ax²的图象先向左（当h<0）或向右（当h>0）平 移|h|个单位可得y=a(x-h)2的图象；若再向上（当k>0）或向下（ 当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
利用对称性，画出图象在 对称轴
y 2x2 6x 1
左边的部分，这样就得到 函数的图象，如图
4
3 2
1
－1 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －5
从图看出，当x等于多少时，函数的y 值2最x2大 6？x 这1 个最大 值是多少？
4
当x等于项点 3
2
的横坐标时7，函数值
2
最大。这个最大值等
于顶点的纵坐标
(5) y 2x 2 4x 5
(6) y 3x 2 6x 4
二次函数
人生的价值，并不是用时间，而是用 深度去衡量的。 ——列夫·托尔斯泰
－4
求函数的最y 大值1 x2 2x 1
2
解配方： y 1 x2 2x 1
2
1 x2 4x 22 22 1 2
1 x 22 1 4 1
2
2
1 x 22 1
2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达
到最大值1.
一般地，对于二次函数 y ax2 bx c
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第一章二次函数
二次函数y=ax² y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
时，图象将发生怎样的变化？
1、顶点坐标？ （0，0）
2、对称轴？ y轴（直线x=0）
3、平移问题？
（h，0） （直线x=h）
（h，k） （直线x=h）
一般地，函数y=ax²的图象先向左（当h<0）或向右（当h>0）平 移|h|个单位可得y=a(x-h)2的图象；若再向上（当k>0）或向下（ 当k<0）平移|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
利用对称性，画出图象在 对称轴
y 2x2 6x 1
左边的部分，这样就得到 函数的图象，如图
4
3 2
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－1 1 2 3 4 －1 －2 －3 －4 －5
从图看出，当x等于多少时，函数的y 值2最x2大 6？x 这1 个最大 值是多少？
4
当x等于项点 3
2
的横坐标时7，函数值
2
最大。这个最大值等
于顶点的纵坐标
(5) y 2x 2 4x 5
(6) y 3x 2 6x 4
二次函数