高考数学总复习之轨迹问题

高三数学总复习辅导材料（第27讲）一、教学进度高考数学总复习之轨迹问题主要学习： 求动点的轨迹方程．二、学习指导1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线．2．“曲线与方程”是解析几何的重要概念．在直角坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实解有如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．简言之，当组成曲线的点集．．与方程f (x ，y )＝0的解集．．之间如果能建立起一一对应的关系，则此方程称为曲线的方程，而曲线则是此方程的曲线．3．掌握求轨迹方程的常用方法：直接法、代入法、交轨法和参数法．已知曲线，怎样求出它的方程？这是解几学习中常遇到的一个问题．求曲线方程的过程有五个步骤，我们在具体解题时应注意：①建立直角坐标系时，首先要考虑坐标系的定位问题，图形中的垂直、对称、平行等条件，是定位时必须优先考虑的条件，因为这将有利于后面的计算．②步骤3是解题的关键步骤，目前初学阶段，一般将条件的几何意义直接代数化(即将几何语言“翻译”成代数语言，常见的有：两点间距离公式、夹角公式等等)即可．③如果化简过程是同解变形，则证明也就可以省略了；若不是同解变形，如两边同时平方等，则方程解集可能扩大(或缩小)，则应把因化简引起方程解集扩大(或缩小)的部分舍去(或补上)．三、典型例题例1．过M (1，3)作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1与x 轴交于A 点，l 2与y 轴交于B 点，求线段AB 中点的轨迹．分析：求动点的轨迹可以通过求动点的轨迹方程来解；也可利用平面几何的知识来处理．例2．已知椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，求M 的轨迹方程．分析：求轨迹方程的根本特点就是求出动点的横坐标x 与纵坐标y 满足的方程，即根据条件建立的等式关系．本题可以考虑用M 的坐标表示重心G 的坐标，利用G 在椭圆上来解．例3．过圆x 2＋y 2＝4内一点A (1，0)作圆的弦，求弦的中点M 的轨迹方程．分析：可以看出，弦的中点M 由弦所在的直线来决定，而弦所在的直线过定点，即直线仅由延伸方向来确定，故M 直线的延伸方向来确定，所以，M 的坐标可以用直线的斜率来表示；也可以利用弦中点的几何意义指出轨迹的特征．例4．已知点A (－a ，0)，B (a ，0)（a ＞0）．(1)若动点M 与A 、B 是一个直角三角形的三个顶点，求直角顶点M 的轨迹方程； (2)若动点M 满足条件：∠MBA ＝2∠MAB ，求点M 的轨迹方程．分析：将动点满足的几何条件“坐标化”，即直接将几何条件通过有关定理、公式“翻译”成含有x 、y 的等式，就得到了轨迹（曲线)的方程．例5．求与y 轴相切，并与圆x 2＋y 2－4x ＝0相外切的动圆圆心M 的轨迹方程．分析：利用圆的切线、两圆外切的的几何意义，找出两点之间的距离和点到直线之间的距离之间的关系，先确定轨迹的几何特征，再写出轨迹方程．例6．求过点M (1，－1)，离心率为22，且以y 轴为准线的椭圆的右焦点F 的轨迹方程． 分析：依题意，y 轴为椭圆的左准线，现已知e ＝22，故由椭圆的定义，有Mx F M || ＝e (其中F ′为椭圆的左焦点)．因而解本题的关键是寻求椭圆左焦点与右焦点坐标之间的关系．例7．如图27－1，已知椭圆42x ＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1和F 2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P 1和P 2，其中P 1的纵坐标为正数，求直线F 1P 1与F 2P 2的交点M 的轨迹方程．分析：考虑到P 1，P 2是椭圆上两个关于x 轴对称的点，点M 同时在直线F 1P 1与F 2P 2上，可利用点M 的坐标同时满足直线F 1P 1，F 2P 2的方程，消去有关参照量，建立M 的轨迹方程．例8．已知平面内两点M (－1，0)，N (1，0)，若动点P 满足MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·NP 成等差数列，且公差为负数，求点P 的轨迹方程．分析：将向量的数量积用P 的坐标x ，y 表示，结合三个数成等差数列的等价条件，建立关于x ，y 的方程，就是P 的轨迹． 巩固练习图 27－11．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹．2．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比到定点M (2，0)的距离大2，求点P 的轨迹．3．求与两定圆x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－8x －33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程．4．已知直线l ：y ＝k (x －5)及圆C ：x 2＋y 2＝16． (1)若直线l 与圆C 相切，求k 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求当k 变动时，弦AB 的中点的轨迹．5．已知两直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且截l 1，l 2所得的弦长分别是定值26和24，求圆心M 的轨迹方程．6．已知椭圆E 经过定点M (1，0)，以直线x ＋2＝0为准线，离心率为21，求椭圆E 的左顶点的轨迹方程．7．已知抛物线C ：y 2＝4x ，若椭圆的左焦点及相应准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合（图26－2），求椭圆短轴端点B 与焦点F 所连线段的中点P 的轨迹方程．8．已知△ABC 中，A (－2，0)，B (2，0)，顶点C 在直线l ：y ＝3上移动，求△ABC 垂心H 的轨迹方程．9．如图27－3，已知椭圆42x＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1和A 2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P 1和P 2，其中P 1的纵坐标为正数，求直线A 1P 1与A 2P 2的交点M 的轨迹方程．10．设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝（x ＋5）i ＋y j ，b ＝（x －5）i ＋y j ，且｜a ｜－｜b ｜＝8．求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程．图 27－3参考答案1．解 由题意及椭圆的定义知，｜F 1P ｜＋｜F 2P ｜＝4． ∵ ｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，∴｜F 1Q ｜＝4． ∴ Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆． 2．解法1 设P (x ，y )，则｜x ＋4｜－2＝22)2(y x +-． ∵22)2(y x +-≥0，∴ x ≤－6或x ≥－2． 当x ≤－6时，得－x －6＝22)2(y x +-． 两边平方得x 2＋12x ＋36＝x 2－4x ＋4＋y 2， 整理，得y 2＝16x ＋32≤－96＋32＜0． 与y 2≥0矛盾， ∴ x ≥－2．∴ x ＋2＝22)2(y x +-． 两边平方得x 2＋4x ＋4＝x 2－4x ＋4＋y 2， 即 y 2＝8x ．这就是P 点的轨迹方程，它表示一条顶点为原点，焦点是(2，0)的抛物线． 解法2 ∵ P 点到直线x ＋4＝0的距离比到定点M (2，0)的距离大2， ∴ P 点在直线x ＋4＝0的右侧．将直线右移2个单位，得到直线x ＋2＝0，则P 点到直线x ＋2＝0的距离等于到定点M (2，0)的距离， ∴ P 点的轨迹是以直线x ＋2＝0为准线，定点M (2，0)为焦点的抛物线，其方程为y 2＝8x ． 3．解 将⊙O 1的方程化为(x －4)2＋y 2＝49，∴ O 1(4，0),r 1＝7，设动圆圆心为C (x ，y )． (1) 动圆C 与⊙O 外切而与⊙O 1内切（如图27－4）. 由两圆相切时圆心距与两圆半径之关系，有： 7－|O 1C |＝|OC |－1， 即 |OC |＋|O 1C |＝8.也就是说C 点到点O 1、O 的距离之和等于8．由椭圆定义知点C 的轨迹是以(0，0)和(4，0)为焦点，长轴长为8的椭圆． 由a ＝4，c ＝2，得b 2＝a 2－c 2＝12．∴ 动圆圆心C 的轨迹方程为16)2(2-x ＋122y ＝1．(2)当动圆C 与⊙O 、⊙O 1，都内切时，有|OC |＋|O 1C |＝6．同理可得动圆圆心C 的轨迹方程为9)2(2-x ＋52y ＝1.4．解 (1) 直线l 的方程可化为kx －y －5k ＝0， 由题知，1|5|2+k k ＝4，解得 k ＝±34． (2)设弦AB 的中点为M ．显然，直线l 过定点P (5，0)． 当直线l 不过圆心(即原点O )时，OM ⊥AB ，∴ M 在以线段OP 为直径的圆上，以线段OP 为直径的圆的方程为 (x －25)2＋y 2＝425； (*) 当直线l 过圆心(即原点O )时，O 恰为弦AB 的中点，O 点的坐标满足的方程(*)． ∵ 弦AB 中点在已知圆内，∴弦AB 中点的轨迹是以OP 为直径的圆在已知圆内的部分，它的方程为 (x －25)2＋y 2＝425(0≤x ＜516)． 5．解 设动圆圆心M (x ，y )，动圆的半径为r ，点M 到l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2． 根据弦、弦心距、半径三者间关系，有 21d ＋(226)2＝r 2，22d ＋(224)2＝r 2， 可得 21d ＋132＝22d ＋122， 即 22d －21d ＝52． ①根据点到直线距离公式，得 d 1＝13|232|+-y x ，d 2＝13|323|+-y x ，代入①式得213323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x －213232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x ＝52． 化简得(x ＋1)2－y 2＝65，这就是所求的轨迹方程． 6．解 如图27－5，设椭圆的左顶点为A (x ，y )． 作AD ⊥l ，为垂足． ∵||||MN FM ＝||||AD FA ＝21.从而 F (223+x ，y )． 又|MN |＝3，∴ |FM |＝23. ∴ (223+x －1)2＋y 2＝(23)2.即椭圆左顶点的轨迹方程为 x 2＋942y ＝1．7．解法１ 如图27－6，由已知得F (1，0)，l ：x ＝－1． 设B (x 0，y 0)，则椭圆的半焦距为c ＝｜OF ｜＝｜OO 1｜－｜OF ｜＝x 0－1（x 0＞1），椭圆的半长轴为a ＝｜BF ｜＝2020)1(y x +-．椭圆的短轴端点B 到准线l 的距离为｜BB 1｜＝｜NO ｜＋｜OO 1｜＝x 0＋1． 由椭圆的定义，得椭圆的离心率e ＝||||1BB BF ＝1)1(02020++-x y x ,又 e ＝a c＝20200)1(1y x x +--．∴1)1(0220++-x y x ＝20200)1(1y x x +--，化简得y 02＝2(x 0－1)（x 0＞1）． ① 设线段BF 的中点为P (x ，y )， ∴ ⎩⎨⎧．＝，－＝y y x x 2120代入①式，化简得点P 的轨迹方程为y 2＝x －1（x ＞1）． 解法2 设P (x ，y )，则B (2x －1，y )． ∵ F (1，0)，l ：x ＝－1， ∴ ｜BB 1｜＝(2x －1)＋1＝2x ． 又 c ＝(2x －1)－1＝2(x －1)（x ＞1）， a 2＝｜BF ｜2＝(2x －2)2＋4y 2. 由椭圆的定义，得||||1BB BF ＝a c ，即x a 2＝ac ， ∴ a 2＝2cx ． ② 将a 2及c 代入②式，并化简得P 点之轨迹方程：27y 2＝x －1（x ＞1）． 解法3 设P (x ，y )，则B (2x －1，2y )． 设x 轴与准线l 的交点为N ，则｜FN ｜＝2．∵ ｜FN ｜＝c a 2－c ＝cb 2，∴ cb 2＝2，即 b 2＝2c ． ③ ∵ b ＝｜2y ｜，c ＝2x －2（x ＞1），代入③式得 y 2＝x －1（x ＞1）．111211且 421x ＋y 21＝1． ①由于直线F 1P 1与F 2P 2的交点不可能落在坐标轴上， ∴ x 1≠0，y 1＞0． 设M (x ，y )，则A 1P 1的方程为：2+x y＝211+x y ， ② A 2P 2的方程为：2-x y ＝211--x y ， ③ ②×③得422-x y ＝42121--x y . ④由①得 42121--x y ＝4． ⑤将⑤代入④，得42x －162y ＝1.由y 1＞0及②得 y ≠0，故M 点的轨迹方程为42x －162y ＝1（y ≠0）.10．解法1 ∵ a ＝（x ＋5）i ＋y j ，b ＝（x －5）i ＋y j ，且｜a ｜－｜b ｜＝8． ∴ 点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－5），F 2（0，5）的距离之差为8． ∴ 轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，方程为162x －92y ＝1（x ≥4）．解法2 由题知，22)5(y x ++－22)5(y x +-＝8， 移项，得 22)5(y x ++＝8＋22)5(y x +-． ① ∴22)5(y x ++＞22)5(y x +-．解得 x ＞0．①两边平方，得 22)5(y x ++＝22)5(y x +-＋1622)5(y x +-＋64， 整理，得 422)5(y x +-＝5x －16， 两边平方，得 16[22)5(y x +-]＝（5x －16）2 (x ≥2532)， 展开，整理得 162x －92y ＝1（x ≥4）．附录例1．解法1 如图27－8，设P (x ，y )是轨迹上任意一点． ∵ P 为线段AB 的中点， ∴ A （2x ，0）、B (0，2y )．①当两直线斜率存在时，k MA ·k MB ＝－1，即x 213－·123y －＝－1(x ≠21)， 化简得x ＋3y －5＝0(x ≠21)． ②若k 1不存在，即A (1，0)，此时B (0，3)，AB 中点为(21，23)，代入方程x ＋3y －5＝0适合，即此点在直线x ＋3y －5＝0上．综合①、②，所求轨迹方程为x ＋3y －5＝0，它表示一条直线． 解法2 设P (x ，y )是轨迹上任意一点．∵ P 为线段AB 的中点，AB 为Rt △ABC 与Rt △ABM 公共的斜边， ∴ ｜OP ｜＝｜MP ｜．∴ P (x ，y )的轨迹是线段OM 的垂直平分线．说明 解法1是通过斜率的关系来列式的，所以要分k 1存在与不存在两种情况(k 2一定存在)来解题，结果②中所得点(21，23)恰好是①中直线上所缺的一个点；解法2是利用动点的几何性质来求的，是直接法的体现．往往，用动点的几何性质求轨迹方程比较简捷，在下面的学习中应好好体会．另外，“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、大小、位置，后者仅指方程．例2．解 设M 的坐标为(x ，y )．∵ 椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴ △MF 1F 2的重心G 的坐标为(3x，3y )． ∵ G 是椭圆上的点，∴ 1539322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛y x ，即1458122=+y x ． ∵ M ，F 1，F 2三点不共线， ∴ y ≠0．∴ M 的轨迹方程是1458122=+y x (y ≠0)． 说明 本题采用的是转移法求轨迹方程，这是求轨迹方程的最基本方法，其基本特点是：利用动点的坐标表示参照点(或称之为相关点)的坐标，结合参照点的坐标满足已知曲线方程，从而间接得到动点的坐标满足的方程，即轨迹方程．一般地，在一些问题中，动点P (x ，y )随着另一动点Q (x 1，y 1)(参照点)而运动，如果参照点Q 的运动规律易于揭示或Q 点就在一已知曲线上运动，即满足约束条件f (x 1，y 1)＝0，这时，只要寻求P 、Q 两点坐标之间的关系，如⎩⎨⎧==),,(),,(11y x h y y x g x 并将这种关系代入f (x 1，y 1)＝0，即可求得动点P 的轨迹方程．方程f (x ，y )＝0被称为动点P 的轨迹方程的母方程．例3．解法1 如图27－9，设过A 的直线方程为y ＝k (x －1)．由 ⎩⎨⎧=+-=4),1(22y x x k y 消去y ，得 (1＋k 2)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，再设弦的端点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，线段CD 的中点为M (x ，y )，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=(2) )1((1) ,122221，x k y kk x x x 当x ≠1时，由(2)解得k ＝1-x y，代入(1)，整理得 x 2＋y 2－x ＝0． ①当k 不存在，即CD ⊥ox 轴时，线段CD 的中点就是A (1，0)点． ∵ A (1，0)在曲线①上， ∴方程①就是所求的轨迹方程． 解法2 ∵ OM ⊥AM ，∴ 点M 在以OA 为直径的圆上． ∴ 线段OA 中点(21，0)是此圆的圆心，此圆的半径r ＝21． 又A 点也是轨迹上的点．∴ 线段CD 的中点M 的轨迹方程为(x －21)2＋y 2＝41． 说明 解法1是利用“参数法”，即用一个确定动点的量来表示动点的坐标(建立动点的坐标与这个参数之间的函数关系)，消去这个量(参数)，得到动点的坐标满足的方程；解法2是用动点的几何意义，利用已知的轨迹来求方程．两解法相比，优劣不言自明．因此在解有关圆的题目时，尽量运用它的几何性质，会给你的计算中带来便捷．例4．解 (1)如图27－10，设M (x ，y )．由于MA ⊥MB ⇔ ｜MA ｜2＋｜MB ｜2＝｜AB ｜2，故(22)(y a x ++)2＋(22)(y a x +-)2＝(2a )2且y ≠0． ① 化简得 x 2＋y 2＝a 2（y ≠0）． ② 也可以这样解：由于MA ⊥MB ⇔ k MA ·k MB ＝1，图27－9即 a x y +·ax y -＝－1， ③ 化简得 x 2＋y 2＝a 2（x ≠±a ）. ④(2) 设∠MAB ＝α，∠MBA ＝β，∵ tan β＝tan2α， ⑤由图26－10知，0≤α＋β≤π．∵ β＝2α， ⑥∴ 0≤α≤3π，又x ＞－a ． ∴当y ≥0时，tan α＝k MA ＝ax y +（x ≠－a ）， tan β＝tan(π－∠xBM )＝－k MB ＝x a y -（x ≠a ）． 由 tan β＝tan2α＝α-α2tan 1tan 2， 即 x a y -＝2)(12a x y a x y+-+⋅， ⑦ 整理得 y (3x 2－y 2＋2ax －a 2)＝0． ⑧当y ＜0时，同样可得上式．又x ＝a 时，tan β不存在，但β＝2π，依题意，只要α＝4π，M 仍为所求的点． ∵ 1＝tan 4π＝tan α＝±ax y +＝±a y 2， ∴ y ＝±2a ，即点(a ，±2a )在所求的轨迹上．容易验证点(a ，2a )与(a ，－2a )的坐标都满足方程⑧，故所求的轨迹方程为y ＝0（－a ＜x ＜a ）与3x 2－y 2＋2ax －a 2＝0（x ＞－a ）.说明 对β＝2π的情况进行验证是必要的，否则将破坏轨迹的完备性． 例5．解 将已知圆的方程化为(x －2)2＋y 2＝4． 这是圆心在P (2，0)，半径r ＝2的一个圆(圆27－10 ). 当⊙M 位于y 轴右方时，作直线x ＝－2． 依题意，点M 到P 点的距离等于它到直线x ＝－2的距离． 由抛物线的定义，即得动点M 的轨迹方程为y 2＝8x ．当⊙M 位于y 轴左方时，依题意，⊙M 只能与⊙P 相切于O 点，此时，⊙M 的圆心M 必落在x 轴的负半轴上，∴ M 点的轨迹方程为y ＝0（x ＜0）．∴ M 点的轨迹方程为y 2＝8x 或y ＝0（x ＜0）．说明 (1)本题没有直接运用距离公式，通过添作辅助线，创造了运用抛物线定义的条件，从而避免了繁杂的运算．可见在解题中要善于创造条件，充分运用圆锥曲线的定义以简化运算．(2)在求动点的轨迹的问题中，要考虑各种可能出现的情况，如本题中若遗漏方程y ＝0（x ＜0），将破坏轨迹的完备性．例6．解 设F (x ，y )，则椭圆左焦点F ′的坐标为'F x ＝x －2c ，'F y ＝y .∵ ac ＝22， ∴ a 2＝2c 2．又y 轴为椭圆的左准线，∴ x ＝ca 2＋c ＝3c ． ∴ c ＝3x ． ∴ 左焦点F ′的坐标为(x －32x ，y )，即F ′(3x ，y )． 又由已知点M 在椭圆上，∴ Mx F M ||'＝22． 即 1)1()13(22++-y x ＝22． ∴ 椭圆右焦点F 的轨迹方程为9)3(22-x ＋2(y ＋1)2＝1． 说明 通过本题，更能看出“转移法”在求轨迹方程过程中的重要作用．由题知，a ＝2，b ＝1，得 c ＝3．∴ F 1(－3，0)、F 2(3，0)．设 P 1(x 1，y 1)，则P 2(x 1，－y 1)．由题知， 421x ＋y 21＝1（x 1＞0）． ① 设M (x ，y )，则F 1P 1：3+x y ＝311+x y ， ②F 2P 2：3-x y ＝311--x y ， ③ ②÷③得x 1＝x 3， 代入②得y 1＝xy 3． 将x 1，y 1代入①，得4x 2－12y 2＝9．由于直线F 1P 1与F 2P 2的交点只可能落在第一或第三象限，故M 点的轨迹方程为4x 2－12y 2＝9（xy ＞0）．说明 (1)在本题中，P ＝{M ｜M ∈直线F 1P 1且M ∈直线F 2P 2}，故M ＝F 1P 1∩F 2P 2．由曲线与方程的定义，M 点的坐标就是方程组②、③的解．由于点M 的运动与动点P 1相关，因而本题的技巧在于没有直接从方程组②、③中求x ，y ,而是求出了x 1，y 1，再利用代入法求得点M 的轨迹方程，这种预见性在解题中常常可以达到减少思维回路、缩简运算程序的目的，值得引起重视．(2)本题答案中条件“xy ＞0”不可遗漏，否则将破坏轨迹的纯粹性．例8．解 设P (x ，y )．∵ M (－1，0)，N (1，0)，∴ ＝(x ＋1，y )，＝(－x －1，－y )，＝(2，0)，＝(－2，0)，PN (1－x ，y )，＝(x －1，－y )，∴ MP ·MN ＝2(x ＋1)，PM ·PN ＝x 2＋y 2－1，NM ·NP ＝2(1－x )．∵ MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·NP 成等差数列，且公差为负数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+,0)1(2)1(2)],1(2)1(2[21122x x x x y x 即 22y x +＝3(x ＞0)．∴ 这就是点P 的轨迹方程，轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆在y 轴右边的部分(半圆不含端点)．说明 这是2002年全国高考(新课程卷)的一道解答题，是以向量为背景的轨迹题，充分体现了向量的工具性作用，这一点在求轨迹方程时应好好体会．一般来说，求曲线(轨迹)方程式，如果实际到两直线的夹角、两直线互相垂直等知识，应考虑是否能利用向量知识来解，既方便，又简捷．分析：考虑到P 1，P 2是椭圆上两个关于x 轴对称的点，点M 同时在直线F 1P 1与F 2P 2上，可利用点M 的坐标同时满足直线F 1P 1，F 2P 2的方程，消去有关参照量，建立M 的轨迹方程．例8．已知平面内两点M (－1，0)，N (1，0)，若动点P 满足MP ·MN ，PM ·PN ，NM ·NP 成等差数列，且公差为负数，求点P的轨迹方程．分析：将向量的数量积用P的坐标x，y表示，结合三个数成等差数列的等价条件，建立关于x，y的方程，就是P的轨迹方程．。