2001年第一届中国西部数学奥林匹克试题及解答
中国西部数学奥林匹克试题及其解答
交流知识 共享智慧
文武光华
R A
Q
F
E
M
B
D
C N
P
证明：如图，连结 QR，则点 A 在线段 QR 上。连结 AP，则 AP⊥QR。设⊙P、⊙R、⊙Q 分别切 AB 于点 H、J、I。连结 MC、BN，则根据条件知 MC 平行且等于 QA，NB 平行且等于 QA。过点 C 作 CK∥MN 交 BN 延长线于点 K，则四边形 MCKN 为平行四边形，从而知 BK=BN+CM=QR。
续谈2001年中国西部数学奥林匹克
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中学数学教 学 参考
２０ ０ ２年 第 １ １期
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ｌ 谈 ２Ｏ 续 Ｏ 中 国西 部 数 学 奥 林 匹克 １年
陕西师范大 学数学 与信 息科学学院 罗增儒
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为 了促进 西 部 数 学 奥林 匹克 水 平 的 提 高 ， 国数 中 学会从 ２０ ０ １年起 ， 织西 部省 区的 中学 生进 行冬 令 营 组 层 次 的赛 事 ， 届 盛 会在 古 都 西 安 举 行 ． ［ ］ 布 了 首 文 １公 试 题 与解 答 ， 文 想在 这个 基 础 上 提 供 部 分 题 目的更 本
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2001小学数学奥林匹克试题及答案
2001小学数学奥林匹克试题预赛(A)卷______________。
2.有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1332，这样的三位数中最大的是________。
3.四个连续的自然数的倒数之和等于19/20，则这四个自然数两两乘积的和等于________。
4.黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后，其余各数的平均数是，擦去的数是________。
5.图中的每个小正方形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是____平方厘米。
6.一梯形面积为1400平方米，高为50米，若两底的米数都是整数且可被8整除，求两底。
此问题解的组数是______________。
7.在1000和9999之间由四个不同的数字组成，而且个位数和千位数的差（以大减小）是2，这样的整数共有___________个。
8.有32吨货物，从甲城运往乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，每种大小卡车的耗油量分别是10升和7.2升，将这批货物运完，最少需要耗油_________升。
9.今年小刚年龄的3倍与小芳年龄的5倍相等。
10年后小刚的年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等，则小刚今年的年龄是_____岁。
10.某校五年级参加数学竞赛的同学约有二百多人，考试成绩是得90-100的恰好占参赛总人数的1/7，得80-89分的占参赛总人数的1/5，得70-79分的恰好占参赛总人数的1/3，那么70分以下的有________人。
11.某人射击8枪，命中4枪，命中4枪中恰好有3枪连在一起的情况的种数是_____。
12.有若干人的年龄的和是4476岁，其中年龄最大的不超过79岁；最小的不低于30岁，而年龄相同的人不超过3个人，则这些人中至少有_____位老年人（年龄不低于60岁的为老年人）。
预赛(B)卷1.计算： =_________。
2.右式中相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则EFCBH代表的五位数是_________.3.已知2不大于A，A小于B，B不大于7，A和B都是自然数，那么的最小值是_____4.A、B两城相距60千米，甲、乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是______。
2001年全国高中数学联赛试卷与答案
二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10 月 4 日上午 8：00—9：40）题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人学生注意： 1、本试卷共有三大题（ 15 个小题），全卷满分 150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6分）本题共有 6 个小是题，每题均给出（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得0 分。
1、已知 a 为给定的实数，那么集合M={x |x 2-3x-a 2+2=0,x ∈ R} 的子集的个数为 （ A ） 1 （ B ） 2 （C ） 4 （ D ）不确定2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（ A ） 0 个 （ B ）1 个 （C ） 2个 （ D ） 3 个3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx| 中以 为周期、在（ 0， ）上单调递增的偶函数是2 （A ） y=sin|x|（ B ） y=cos|x| 4、如果满足∠ ABC=60 °， AC=12 ， BC=k（C ） y=|ctgx| （ D ） y=lg|sinx| 的⊿ ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（ A ） k=8 3 （B ） 0<k ≤ 12 （ C ） 2 （ D ） 0＜ｋ ≤ 12或k 83 2 1000 的展开式为ａ ＋ａ ｘ＋ａ ｘ ＋ ⋯ ＋ａ2000ｘ 20005．若（ 1＋ｘ＋ｘ ） ０ １ ２ ２ ， 则ａ ０ ＋ａ 3＋ａ 6＋ａ 9 ＋⋯ ＋ａ 1998的值为（）． （ A ） 3333 （ B ）3666 （C ） 3999（ D ） 320016．已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24，而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元，则2枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较，结果是（）． （ A ） 2 枝玫瑰价格高 （B ） 3 枝康乃馨价格高（ C ）价格相同 （D ）不确定二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7．椭圆 ρ＝ 1／（ 2－ｃｏｓ θ）的短轴长等于______________ ．8、若复数 z1,z 2 满足 |z1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= 3 -I, 则 z1 z2= 。
2001年中国数学奥林匹克
$ ’%（% % & ’）%（ % ) ’）! 正 $ 边形中三角形总数为
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!""# 年第 ! 期
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!""# 年中国数学奥林匹克
第一天
（!""#!"#!#$ % & $"!#’ & "" 香港）
一、给定 !，"! ( ! ( ! ) 内接于单位圆 ! 的凸四边形 "#$% 适合以下条件：
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历届西部数学奥林匹克试题
目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
全国初中数学竞赛试题及答案(2001年).doc
2001年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ）（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定2、若1≠ab ，且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ，则ba 的值是（ ） （A ）59（B ）95（C ）52001-（D ）92001- 3、已知在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC 的长为（ ）（A ）32+（B ）32-（C ）30⋅（D ）23-4、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ）（A ）BD AB BC AD •=• （B ）AC AD AB •=2（C ）∠ABD =∠ACB （D ）BD AC BC AB •=•5、①在实数范围内，一元二次方程02=++c bx ax 的根为aac b b x 242-±-=；②在△ABC 中，若222AB BC AC >+，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和111C B A ∆中，a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，111,,c b a 分别为111C B A ∆的三边，若111,,c c b b a a >>>，则△ABC 的面积S 大于111C B A ∆的面积1S 。
以上三个命题中，假命题的个数是（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）36、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）（A ）522.8元（B ）510.4元（C ）560.4元（D ）472.8二、填空题（每小题7分，共28分）1、已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO =1500，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 。
高中数学-组合-训练题-西部数学奥林匹克2001-2017精选全文完整版
组合训练题_西部数学奥林匹克1.若集合A的n个子集A1, A2, …, A n同时满足：①A1∪A2∪…∪A n= A；②A i∩A j≠∅(1≤i< j≤n)，则称A1, A2, …, A n为A的一个n划分.求最小的正整数m，使得对集合A = {1, 2, …, m}的任意一个14划分A1, A2, …, A14，一定存在某个集合A i (1≤i≤14)，在A i中有两个元素a, b满足b < a≤!! ! .2.设n为正整数，集合A1, A2, …, A n+1是集合{1, 2, …, n}的n + 1个非空子集.证明：存在{1, 2, …, n + 1}的两个不交的非空子集{i1, i2, …, i k}和{j1, j2, …, j m}，使得A!!∪A!!∪…∪A!!= A!!∪A!!∪…∪A!!.3.设S = (a1, a2, …, a n)是一个由0, 1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续的5项不同，即对任意1≤i < j≤n – 4，a i, a i+1, a i+2, a i+3, a i+4与a j, a j+1, a j+2, a j+3, a j+4不相同. 证明：数列S最前面的4项与最后面的4项相同.4.将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10. 求每一个面上四个数之和的最小值.5.1650个学生排成22行、75列. 已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对. 证明：男生的个数不超过928.6.将m×n棋盘（由m行n列方格构成，m≥3, n≥3）的所有小方格都染上红蓝二色之一. 如果两个相邻（有公共边）的小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对”. 设棋盘中“标准对”的个数为S. 试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S 为偶数？说明理由.7.设n个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识. 试求n的最大值.8.给定正整数n (n≥2)，求|X|的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集B1, B2, …, B n，都存在集合X的一个子集Y，满足：(1) |Y| = n；(2) 对i = 1, 2, …, n，都有|Y∩B i|≤1.这里|A|表示有限集合A的元素个数.9.设O为△ABC内部一点. 证明：存在正整数p, q, r，使得| p·OA+ q·OB+ r·OC| <! !""#.10.将n个白子与n个黑子任意地放在一个圆周上. 从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2, …, n. 再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1, 2, …, n. 证明：存在连续n个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为1, 2, …, n.11.在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.12.设n为给定的正整数，求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集A = {x1, x2, …,x k}，B = {y1, y2, …, y k}和C = {z1, z2, …, z k}满足：对任意1≤j≤k都有x j + y j + z j = n.13.给定整数n≥3，求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n个两两不同的实数x1, x2, …, x n，满足x1 + x2, x2 + x3, …, x n–1 + x n, x n + x1均属于A.14. 有n (n > 12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由15个填空题组成，每答对1题得1分，不答或答错得0分. 分析每一种可能的得分情况，发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少3个同样的题. 求n 的最小可能值.15. 求所有的正整数n ，使得集合{1, 2, … , n }有n 个两两不同的三元子集A 1, A 2, … , A n ，满足对任意1≤i < j ≤n ，都有| A i ∩A j |≠1.16. 有n (n ≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场. 如果选手A 的手下败将不都是B的手下败将，则称A 不亚于B . 试求所有可能的n ，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.17. 已知集合M ⊆{1, 2, … , 2011}，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元素a , b ，使得a |b 或b | a . 求|M |的最大值（其中|M |表示集合M 的元素个数）.18. 给定整数n ≥2.(1) 证明：可以将集合{1, 2, … , n }的所有子集适当地排列为A 1, A 2, … , A !!，使得A i 与A i +1的元素个数恰相差1，其中i = 1, 2, … , 2n 且A !!!! = A 1；(2) 对于满足(1)中条件的子集A 1, A 2, … , A !!，求−1!S (A !)!!!!!的所有可能值，其中S (A i ) =x !∈!!，S (∅) = 0.19. 证明：在正2n – 1 (n ≥3)边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形.20. 设E 是一个给定的n 元集合，A 1, A 2, … , A k 是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对任意的1≤i < j ≤k ，要么A i 与A j 的交集为空集，要么A i 与A j 中的一个是另一个的子集. 求k 的最大值.21. 一张n ×n 的方格表，称有公共边的方格是相邻的. 开始时每个方格中都写着+1，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号. 求所有的正整数n ≥2，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变成–1.22. 把n (n ≥2)枚硬币排成一行. 如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币为左起第一枚的连续奇数枚硬币同时翻面，这称为一次操作. 当所有硬币正面朝下时，停止操作. 若开始时硬币全部正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行[!!!!!]次操作？23. 若非空集合A ⊆{1, 2, 3, … , n }满足|A |≤min !∈!x ，则称A 为n 级好集合. 记a n 为n 级好集合的个数. 证明：对一切正整数n ，都有a n +2 = a n +1 + a n + 1.24. 将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1, 2, … , n . 求所有的整数n ≥4，使得可以用n –3条在内部不交的对角线将这个n 边形分成n – 2个三角形区域，并且在这n – 3条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等.25. 给定正整数n ，设a 1, a 2, a 3, … , a n 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”.已知a 1, a 2, a 3, … , a n 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求a !!!!!的最小值.26. 对平面上的100条直线，用T 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合. 求|T |的最大可能值.27. 对数列a 1, a 2, … , a m ，定义集合A = {a i | 1≤i ≤m }, B = {a i + 2a j | 1≤i , j ≤m , i ≠j }. 设n 为给定的大于2的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列a 1, a 2, … , a n ，求集合A △B 的元素个数的最小值.（其中，A △B = (A ∪B )\(A ∩B ).）28.定义n元整数组的一次变换为(a1, a2, …, a n) →(a1 + a2, a2 + a3, …, a n + a1)，求所有的正整数对(n, k) (n, k≥2)，满足：对于任意的n元整数组(a1, a2, …, a n)，在有限次变换后所得数组中的每一个数都是k的倍数.29.给定整数n, k，n≥k≥2. 甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n×n的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行. 如果某个人染色后，每个k×k的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束，此人获胜. 问谁有必胜策略？30.设9个正整数a1, a2, …, a9（可以相同），满足：对任意1≤i < j < k≤9，都存在与i, j, k不同的l (1≤l≤9)，使得a i + a j + a k + a l = 100. 求满足上述要求的有序9元数组(a1, a2, …, a9)的个数.。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴
√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于 解得当13 < m < 当m = 当m >
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
zk ∈A 2 , yk A,x2 k 4 2 1 √
1 4 ,即
2 x2 k + yk 2 x2 k + yk
√
2xk . yk |
zk ∈A zk ∈A
历届西部数学奥林匹克试题
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（冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a 2−4a+11+15b 2−4b+11+15c 2−4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
2001年全国高中数学联赛试题及详细解析
二○○一年全国高中数学联赛（10月4日上午8：00—9：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．（A）3333（B）3666（C）3999（D）320016．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-I,则z 1z 2=。
9、正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是。
10、不等式232log 121>+x 的解集为。
11、函数232+-+=x x x y 的值域为。
14、设曲线C 1:1222=+y ax (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P。
（1）求实数m 的取值范围（用a 表示）；（2）O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A，当0<a<21时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。
解析2001小学数学奥林匹克试题预赛
2001小学数学奥林匹克试题预赛(A)卷1. 计算：＝______。
2. 有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1332，这样的三位数中最大的是_____。
3. 四个连续的自然数的倒数之和等于19/20，则这四个自然数两两乘积的和等于_____。
4. 黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后，其余各数的平均数是，擦去的数是_____。
5. 图中的每个小正方形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是____平方厘米。
6. 一梯形面积为1400平方米，高为50米，若两底的米数都是整数且可被8整除，求两底。
此问题解的组数是_______。
7. 在1000和9999之间由四个不同的数字组成，而且个位数和千位数的差（以大减小）是2，这样的整数共有______个。
8. 有32吨货物，从甲城运往乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，每种大小卡车的耗油量分别是10升和7.2升，将这批货物运完，最少需要耗油______升。
9. 今年小刚年龄的3倍与小芳年龄的5倍相等。
10年后小刚的年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等，则小刚今年的年龄是_____岁。
10. 某校五年级参加数学竞赛的同学约有二百多人，考试成绩是得90-100的恰好占参赛总人数的，得80-89分的占参赛总人数的，得70-79分的恰好占参赛总人数的，那么70分以下的有_____人。
11. 某人射击8枪，命中4枪，命中4枪中恰好有3枪连在一起的情况的种数是_____。
12. 有若干人的年龄的和是4476岁，其中年龄最大的不超过79岁；最小的不低于30岁，而年龄相同的人不超过3个人，则这些人中至少有_____位老年人（年龄不低于60岁的为老年人）。
1、2、321 3、119 4、7 5、18 6、3 7、840 8、67.2 9、10 10、68人11、20 12、61. 【解】原式＝8－（）＝8－（＋－）＝8－（1－）＝.2．【解】三个不同的数字可以组成6个三位数，1332÷6＝222，222是这6个数的平均数，而2则是这三个数的平均数，所以这三个数字是1、2、3，组成的三位数中最大的是321。
2001年小学数学竞赛题及答案
2001年竞赛题姓名：1．121+232+343+454+565+676+787+898= ( )2．3+33+333+3333+······+33·····3和的最末三位是（）20个33．abcd+ dcdc 不同字母代表不同数字，相同字母代表相同数字，bbdaa abcd=（）4．左图是学校校园示意图，阴影部分为绿地，从校门到办公楼共有（）条路。
（只能向左，向下走近路）5．4个完全重合的长方形拼成两个正方形，大正方形面积是81平方厘米，小正方形面积是25平方厘米，一个长方形的长=()厘米，宽=（）厘米。
6．某校一年级招收新的学生，如果每班编40人，不足445人，不足3个班；如果3个班把它编完，每班人数一样多，那么一年级招生最多招（）人。
7．甲乙二位小朋友带着同样多的钱到公园游玩，甲每次消费5元，乙每次消费3元，经过同样多次的消费后，甲余10元，乙余20元，甲原有（）元。
8．小明将10个数求平均数，再将11个数（10个数加上平均数），求其平均数，再将12个数求其平均数（10个数加上2个平均数）······一共计算了五次，第五次的平均数是23，原10个数的平均数是（）。
9．甲筐水果比乙筐多24千克，从乙筐拿出12千克给甲筐后，甲筐的水果是乙筐的5倍。
甲筐原有（）千克，乙筐原有（）千克。
10．甲乙两车同时A从B到再返回A地。
甲车去时速度是每小时60千米，返回时每小时40千米；乙车来回速度都是每小时50千米。
（）车先回到A地。
11．9÷13+8÷7+7÷11+12÷13+15÷11+6÷7+5÷13=()12．每个汉字代表不同的数字，沙区数学竞相同汉字代表相同的数字，×赛沙区数学竞赛=()。
2001年全国高中数学联赛试卷一试答案
2001年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准一． 选择题：1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A二．填空题：7．332 8．i13721330+-9．6610．),4()2,1()1,0(72∞+ 11．),2[)23,1[∞+ 12． 732三．解答题：13．设所求公差为d ，∵a 1＜a 2，∴d ＞0．由此得412121)()2(d a d a a +=+ 化简得：0422121=++d d a a 解得：1)22(a d ±-= ……………………………………………………… 5分而022<±-，故a 1＜0若1)22(a d --=，则22122)12(+==a a q若1)22(a d +-=，则22122)12(-==a a q ……………………………… 10分但12)(21+=++++∞→n n b b b lim 存在，故| q |＜1，于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a所以222)22(,211-=+-=-=a d a ……………………………… 20分14．解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(212222m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：1°△＝0得：212+=am ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合；2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合． f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－a ． 综上可知，当0＜a ＜1时，212+=am 或－a ＜m ≤a ；当a ≥1时，－a ＜m ＜a ．……………………………………………… 10分(2)△OAP 的面积p ay S 21=∵0＜a ＜21，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ，由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝221ax p -取值最大，此时22a a y p -=，∴2aa a S -=．当212+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时2121aa S -=．下面比较2a a a -与2121aa -的大小：令22121aa a a a -=-，得31=a故当0＜a ≤31时，2a a a -≤2121a a -，此时2121aa S max -=．当2131<<a 时，22121aa a a a ->-，此时2a a a S max -=．……… 20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R FG ，当R i ＝a i ，i ＝3，4，5，6，R 1、R 2是a 1、a 2的任意排列时，R FG 最小 …………………………………………………… 5分证明如下：1．设当两个电阻R 1、R 2并联时，所得组件阻值为R ，则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1＞R 2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB2132312132121R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=显然R 1＋R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ABCD++++++=+= 若记∑≤<≤=411,j i j iR RS∑≤<<≤=412k j i k j i R R R S ，则S 1、S 2为定值，于是4313212R R S R R R S R CD --=只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4＜R 3，R 3＜R 2，R 3＜R l ，即得总电阻的阻值最小 ………………………………………………………………………… 15分4°对于图3把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6＜R 5；且由1°应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5＜R 4，且应使R CD 最小． 而由3°，要使R CD 最小，应使R 4＜R 3＜R 2且R 4＜R 3＜R 1，这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分2001年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC 又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC∴OB ⊥DF ．(2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2∴OH ⊥MN …………………………………………………………………… 50分另证：以BC 所在直线为x 轴，D 为原点建立直角坐标系， 设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，则 ba k ca k AB AC -=-=,∴直线AC 的方程为)(c x ca y --=，直线BE 的方程为)(b x a c y -=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=)()(c x c a y b x ac y 得E 点坐标为E (2222222,c a abc ac c a bc c a +-++) 同理可得F (2222222,ba abc ab ba cb b a +-++)直线AC 的垂直平分线方程为)2(2c x ac a y -=-直线BC 的垂直平分线方程为2c b x +=由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-2)2(2cb xc x a c a y 得O (a a bc c b 2,22++) bca ac ab cb b a abc ab k abac abc bcb a abc k DF OB+-=+-=-+=-++=222222,22∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ．在直线BE 的方程)(b x ac y -=中令x ＝0得H (0，abc -)∴acab bc a cb a bc a abc k OH ++=+++=32222直线DF 的方程为x bca ac ab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bca ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++)同理可得M (22222222,2bbc a ababc bbc a c b b a -+--++)∴bca ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN 3)3)()(())((222222++-=++-+-=∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．二．解：先求最小值，因为∑∑∑∑=≤<≤==⇒≥+=ni inj k j k ni ini i xx x jk x x 11122112)(≥1等号成立当且仅当存在i 使得x i ＝1，x j ＝0，j ＝i∴∑=ni i x 1最小值为1． …………………………………………………………… 10分再求最大值，令k k y k x =∴∑∑=≤<≤=+nk nj k j kk y kyky 11212①设∑∑====n k nk k ky k xM 11， 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n n n a y a y y a y y y 22121 则①⇔122221=+++n a a a …………………………………………………… 30分令1-n a ＝0，则∑=+-=nk k k a a k M 11)(∑∑∑∑∑=====+--=--=-=nk nk n k n k nk k k k k k a k k a k a k a k a k 111111)1(1由柯西不等式得：212121])1([)(])1([121212∑∑∑===--=--≤nk nk knk k k a k k M等号成立⇔222221)1()1(1--==--==n n a k k a a nk222222221)1()1()12(1--=--++-++++⇔k k a n n a a a kn21])1([112∑=----=⇔nk k k k k k a (k =1，2，…，n )由于a 1≥a 2≥…≥a n ，从而0])1([)11(221121≥---++-=-=∑=+nk k k k k k k k k a a y ，即x k ≥0所求最大值为21])1([12∑=--nk k k …………………………………………… 50分三．解：记所求最小值为f (m ，n )，可义证明f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) (*)其中(m ，n ) 表示m 和n 的最大公约数 …………………………………………… 10分 事实上，不妨没m ≥n(1)关于m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn ＋n －(m ，n ) 当用m ＝1时，命题显然成立．假设当，m ≤k 时，结论成立(k ≥1)．当m ＝k ＋1时，若n ＝k ＋1，则命题显然成立．若n ＜k ＋1，从矩形ABCD 中切去正方形AA 1D 1D (如图)，由归纳假设矩形A 1BCD 1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m —n ＋n —(m －n ，n )＝m －(m ，n )，于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为rn ＋n －(m ，n ) …………………………………… 20分(2)关于m 归纳可以证明(*)成立．当m ＝1时，由于n ＝1，显然f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) 假设当m ≤k 时，对任意1≤n ≤m 有f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )若m ＝k ＋1，当n ＝k ＋1时显然f (m ，n )＝k ＋1＝rn ＋n －(m ，n )．当1≤n ≤k 时，设矩形ABCD 按要求分成了p 个正方形，其边长分别为a l ，a 2，…，a p 不妨a 1≥a 2≥…≥a p 显然a 1＝n 或a 1＜n ． 若a 1＜n ，则在AD 与BC 之间的与AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a 1＋a 2＋…＋a p 不小于AB 与CD 之和． 所以a 1＋a 2＋…＋a p ≥2m ＞rn ＋n －(m ，n )若a 1＝n ，则一个边长分别为m －n 和n 的矩形可按题目要求分成边长分别为a 2，…a p 的正方形，由归纳假设a 2＋…＋a p ≥m －n ＋n －(m －n ，n ))＝rn －(m ，n ) 从而a 1＋a 2＋…＋a p ≥rn ＋n －(m ，n )于是当rn ＝k ＋1时，f (m ，n )≥rn ＋n －(m ，n )再由(1)可知f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )． ………………………………………… 50分A A 1B n。
2001年全国高中数学联赛试题及解答
二○○一年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a 为给定的实数，那么集合M ={x | x 2-3x -a 2+2=0，x ∈R}的子集的个数为（A ） 1（B ） 2（C ） 4（D ） 不确定【答】（ C ）【解】 方程x 2-3x -a 2+2=0的根的判别式Δ=1+4a 2>0，方程有两个不相等的实数根．由M 有2个元素，得集合M 有22=4个子集． 2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有（A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个【答】（ B ）【解】 只有命题1对．3．在四个函数y =sin|x |，y =cos|x |，y =|ctg x |，y =lg|sin x |中以π为周期、在(0，2π)上单调递增的偶函数是（A ）y =sin|x |（B ）y =cos|x |（C ）y =|ctg x |（D ）y =lg|sin x |【答】（ D ）【解】 y =sin|x |不是周期函数．y =cos|x |=cos x 以2π为周期．y =|ctg x |在（0，2π）上单调递减．只有y =lg|sin x |满足全部条件． 4．如果满足∠ABC =60°，AC =12， BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（A ） k =38 （B ）0<k ≤12 （C ） k ≥12 （D ） 0<k ≤12或k =38【答】（ D ）【解】 根据题设，△ABC 共有两类如图．易得k =38或0<k ≤12．本题也可用特殊值法，排除（A ）、（B ）、（C ）． 5．若10002)1(x x ++的展开式为200020002210x a x a x a a ++++ ， 则19989630a a a a a +++++ 的值为（A ）3333 （B ） 6663 （C ） 9993 （D ） 20013【答】（ C ）【解】 令x =1可得10003=20003210a a a a a +++++ ； 令x =ω可得0=20002000332210ωωωωa a a a a +++++ ； （其中i 2321+-=ω，则3ω=1且2ω+ω+1=0）令x =2ω可得0=400020006342210ωωωωa a a a a +++++ ． 以上三式相加可得10003=3（19989630a a a a a +++++ ）． 所以19989630a a a a a +++++ =9993．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．（A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）12kCBA60°12kABC60°不确定【答】（ A ）【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x 、y 元/枝． 则6x +3y >24,4x +5y <22.令6x +3y =a >24,4x +5y =b <22,解出x =)35(181b a -,y =)23(91a b -.所以2x -3y =)22122411(91)1211(91⨯-⨯>-b a =0，即2x >3y ．也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上． 7．椭圆θρcos 21-=的短轴长等于332．【解】 .31)(,1)0(=-==+=c a c a πρρ故3331,32=⇒==b c a ．从而3322=b ． 8．若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，3z 1-2z 2=i -23，则z 1·z 2=i 13721330+-．【解】由3z 1-2z 2=2111222131z z z z z z ⋅⋅-⋅⋅=)32(611221z z z z -可得=+-⨯-=--=--=i iz z z z z z z z z z 2323632)23(632)23(61221122121i 13721330+-．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是66． 【解】作正方体的截面BB 1D 1D ，则A 1C 1⊥面BB 1D 1D ．设A 1C 1与B 1D 1交于点O ，在面BB 1D 1D 内作OH ⊥BD 1，H 为垂足，则OH 为A 1C 1与BD 1的公1111HODC B A垂线．显然OH 等于直角三角形BB 1D 1斜边上高的一半，即OH =66． 10. 不等式232log 121>+x 的解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ． 【解】232l o g 121>+x等价于232log 121>+x 或232log 121-<+x ． 即21log 121->x 或27log 121-<x ． 此时2log 21-<x 或0log 21>x 或0log 7221<<-x ．∴解为x >4或0<x <1 或 1<x <722． 即解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ．11．函数232+-+=x x x y 的值域为),2[)23,1[+∞ ．【解】232+-+=x x x y ⇒0232≥-=+-x y x x ．两边平方得2)32(2-=-y x y ，从而23≠y 且3222--=y y x ．由03222≥---=-y y y x y ⇒231032232<≤⇒≥-+-y y y y 或2≥y ．任取2≥y ，令3222--=y y x ，易知2≥x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．任取231<≤y ，同样令3222--=y y x ，易知1≤x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．因此，所求函数的值域为),2[)23,1[+∞ ．12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】考虑A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A 、C 、E 种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A 、C 、E 种三种植物，此时共有P 43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1=a 12，b 2=a 22，b 3=a 32（a 1<a 2） ，又12)(lim 21+=++++∞→n n b b b ．试求{a n }的首项与公差．【解】 设所求公差为d ，∵a 1<a 2，∴d >0．由此得 a 12(a 1+2d )2=(a 1+d )4 化简得2a 12+4a 1d +d 2=0 解得d =(22±-)a 1.………………………………………………………………5分 而22±-<0，故a 1<0．若d =(22--) a 1，则22122)12(+==a a q ；若d =(22+-)a 1，则22122)12(-==a a q ；…………………………………………10分但12)(lim 21+=++++∞→n n b b b 存在，故|q |<1．于是2)12(+=q 不可能．AB C DEF从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a ．所以a 1=2-，d =(22+-) a 1=(22+-)(2-)=222-．……………………20分14．设曲线C 1：1222=+y ax （a 为正常数）与C 2：y 2=2（x +m ） 在x 轴上方仅有一个公共点P ．⑴ 求实数m 的取值范围（用a 表示）；⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a 表示）． ⑴ 【解】由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(2,12222m x y y a x 消去y 得，x 2+2a 2x +2a 2m -a 2=0． ①设f (x )= x 2+2a 2x +2a 2m -a 2，问题⑴转化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1︒ Δ=0得 m =212+a ．此时 x p = -a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合；2︒ f (a )·f (-a )<0当且仅当–a <m <a ；3︒ f (-a )=0得m =a ．此时 x p =a -2a 2，当且仅当-a < a -2a 2<a ，即0<a <1时适合．f (a )=0得m =-a ，此时 x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0<a <1时，m =212+a 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a .……………………………………………………10分⑵ 【解】 ΔOAP 的面积S =21ay p ．∵0<a <21，故-a <m ≤a 时，a m a a a <-++-<21022，由唯一性得x p =m a a a 2122-++-．显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p >0，从而221a x y p p -=取值最大，此时y p =22a a -，∴S =a 2a a -．当m =212+a 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时S =21a 21a -．下面比较a 2a a -与21a 21a -的大小：令a 2a a -=21a 21a -，得a =31.故当0<a ≤31时 , 2121)1(a a a a a -≤-．此时S max =2121a a -．当31<a <21时，2121)1(a a a a a ->-．此时S max = a 2a a -．……………20分15．用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5 、a 6 (a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R FG ．当R i =a i ，i =3，4，5，6，R 1，R 2是a 1，a 2的任意排列时，R FG 最小．…………………………………………5分证明如下1°设当两个电阻R 1，R 2并联时，所得组件阻值为R ：则21111R R R+=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1>R 2．2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB ：2132********1R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=．显然R 1+R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的一个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD ：43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=． 若记∑≤<≤=411j i jiRR S ，∑≤<<≤=412k j i kjiRR R S ．则S 1、S 2为定值．于是4313212R R S R R R S R CD --=．只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4<R 3，R 3<R 2，R 3<R 1，即得总电阻的阻值最小．……………………………………………………………………15分4°对于图3，把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6<R 5；且由1°，应使R CE 最小．由2°知要使R CE图1BA R 1R 3R 2图2DCR 3R 4R 1 R 2最小，必需使R 5< R 4，且应使R CD 最小．而由3°，要使R CD 最小，应使R 4< R 3 < R 2且R 4< R 3 < R 1． 这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分图3R 1 A R 2 R 4R 6R 3R 5B CD FGE二○○一年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一．如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ， FD 和AC 交于点N ． 求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ．（2）OH ⊥MN ．【证明】（1）∵A ，C ，D ，F 四点共圆， ∴∠BDF =∠BAC ． 又∵∠OBC =21(180°-∠BOC )=90°-∠BAC ， ∴OB ⊥DF ．同理OC ⊥DE ．………………………10分（2） ∵CF ⊥MA ，∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2．……① ∵BE ⊥NA ，∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2．……② ∵DA ⊥BC ，∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2．……③ ∵OB ⊥DF ，∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2．……④ ∵OC ⊥DE ， ∴CM2-CD2=OM2-OD2．……⑤………………………………………………30分 ①-②+③+④-⑤，得O ABC H FE DNMNH 2-MH 2=ON 2-OM 2． MO 2-MH 2=NO 2-NH 2． 所以OH ⊥MN ．…………………………………………………………………………50分二．设0≥i x （i =1，2，…，n ），且12112=+∑∑≤<≤=nj k j k ni i x x j kx ，求∑=ni i x 1的最大值与最小值．【解】先求最小值，因为⇒≥+=∑∑∑≤<≤==12)(11221nj k j kni ini i x xx x ∑=ni ix1≥1，等号成立当且仅当存在i 使得 x i =1，x j =0，j ≠i ． ∴∑=ni ix1的最小值为1．………………………………………………………………10分再求最大值，令k k y k x =，∴12112=+∑∑≤<≤=nj k jk nk kyky ky ．…………①设M =∑=nk k x 1=∑=nk k y k 1．令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++.,,22121n n n n a y a y y a y y y则①⇔122221=+++n a a a ．………………………………………………………30分令a n +1=0，则M =∑=+-nk k k a a k 11)(=∑∑∑∑∑====+=--=--=-nk k n k n k k k n k k n k k a k k a k a k a k a k 111111)1(1．由柯西不等式得M 211221122112)1()()1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤∑∑∑===nk nk knk k k a k k ．等号成立222221)1()1(1--==--==⇔n n a k k a a n k 222222221)1()1()12(1--=--++-++++⇔k k a n n a a a kn2112)1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⇔∑=n k k k k k k a ．（k =1，2，…，n ）由于n a a a ≥≥≥ 21，从而=-=+1k k k a a y 0)1()11(22112≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-∑=n k k k k k k ，即0≥k x ．所求最大值为2112)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=nk k k ．……………………………………………50分三．将边长为正整数m ，n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．【解】记所求最小值为f （m ，n ），可以证明f （m ，n ）=m +n -(m ，n )． (*) 其中(m，n )表示m和n的最大公约数．………………………………………………10分事实上，不妨设m ≥n ．(1)关于m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为m +n -(m ，n )．nmDAC B当m =1时,命题显然成立．假设当m ≤k 时，结论成立（k ≥1）．当m =k +1时，若n = k +1，则命题显然成立．若n < k +1，从矩形ABCD 中切去正方形AA 1D 1D （如图），由归纳假设矩形A 1BCD 1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m -n +n -(m -n ，n )= m -(m ，n ).于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为m +n - (m ，n )．…………20分(2)关于m 归纳可以证明(*)成立．当m =1时,由于n =1，显然f (m ，n )=1= m +n - (m ，n )． 假设当m ≤k 时，对任意1≤n ≤m 有f (m ，n )= m +n - (m ，n )． 若m =k +1，当n = k +1时显然f （m ，n ）= k +1= m +n - (m ，n )．当1≤n ≤k 时，设矩形ABCD 按要求分成了p 个正方形，其边长分别为a 1，a 2，…，a p ，不妨设a 1≥a 2≥…≥a p ．显然a 1=n 或a 1<n ．若a 1<n ，则在AD 与BC 之间的与AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形（或其边界），于是a 1+a 2+…+a p 不小于AB 与CD 之和． 所以a 1+a 2+…+a p ≥2m > m +n - (m ，n )．若a 1=n ，则一个边长分别为m -n 和n 的矩形可按题目要求分成边长分别为a 2，…，a p 的正方形，由归纳假设a 2+…+a p ≥m -n +n -(m -n ，n )= m - (m ，n )． 从而a 1+a 2+…+a p ≥m +n -(m ，n )．于是当m =k +1时，f （m ，n ）≥m +n - (m ，n )． 再由(1)可知f (m ，n )=m +n - (m ，n )．…………………………………………………50分nm DAC BA 1D 1。
2001答案
【解析】 设所求公差为 d ，∵ a1＜a2 ，∴ d 0 ．由此得
a12 (a1 2d )2 (a1 d )4 ，化简得： 2a12 4a1d d 2 0
解得： d (2 2)a1 而 2 2 0 ，故 a1 0 若 d (2 2)a1 ，则 q 若 d (2 2)a1 ，则 q 但 lim (b1 b2
8．
若复数 z1 、 z2 满足 z1 2 ， z2 3 ， 3z1 2 z2
3 i ，则 z1 z2 ______________． 2
【解析】
30 72 i． 13 13 根据问题的特点，用复数的三角形式相对不繁． 3 i 及复数相等的充要条件， 2
令 z1 2 cos isin ， z2 3 cos isin ，则由 3z1 2 z2
3b 2a ． 9 11a 12b ∴ 2x 3 y ． 9 ∵ a 24 ， b 22 ， ∴ 11a 12b 11 24 12 22 0 ． ∴ 2 x 3 y ，选 A． 解法 2： 由不等式及 x 0 、 y 0 组成的平面区域如图中的阴影部分（不含边界） ． y
2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
（10 月 4 日上午 8：00—9：40）
一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
1．
已知 a 为给定的实数，那么集合 M x | x2 3x a 2 2 0 ， x R 的子集的个数为（
）
A．1 B．2 C ．4 D．不确定 【解析】 C． 表示方程 x2 3x a2 2 0 在实数范围内的解集．由于 1 4a2 0 ，所以 M 含有 2 个元 素．故集合 M 有 22 4 个子集，选 C． 2． 命题 1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
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参 考 答 案 第一天
对 任 意 " $ &， 均有 ! " 用 数 学 归 纳 法 证 明： #" ) " ’ " # 当 " ! % 时， 由条件知"成立 ’ 设 " ! 1 时 " 成立， 即 #1 ) 1 ’ 当 " ! 1 + % 时， # 有 ## % 1 # 1 #1 + % ! #1 + #1 ) + # # # 1 1
是一个完全平方数 ’ （潘承彪）
且 # + % + - " #%- ’ 求 % " 设 #、 %、 - 为 正 实 数， ## + %# + -# 的最小值 ’ （冯志刚） #%-
第二天
使得 ［ #" ］ ［ %］ ! " 求所有的实数 # ， ! * # + " ’ 这里 表示不超过实数 % 的最大整数 ’ （杨文鹏） 过 + 作# . 的两条切线， 切 # " + 为# . 外一点， 点分别为 ’ 、 过 ,作 ( ’ 设 , 为 +. 与 ’( 的 交 点， # . 的任意一条弦 )* ’ 证明： +’( 与 +)* 有相 同的内心 ’ （刘康宁） # ， 使得 $ " 求所有的实数 # $ $， # （# - 234 # # ） 234 # + # *
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（ ， )， &） ’ 由 %% + %# + %" + %* ! #$ 有 *） #& ! %" % & & ! (， 以及 %( + %) + %& ! %$ 有 ,# ," %. 组正整数解， . 组正整 数解， 可知此时 " 有满足条件的 ," ,# %.・ . ! "* //* 组 正整数解 ’ 在 ! ! &， 仍设 #$ ! & %（ #， "， " ! %& 时， "） $ $ ! %， （ ， )， &） ’ 由 %% + %# + %" + %* ! & 与 *） #& ! %" % & & ! (，
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# 可知 %( + %) + %& ! %& 分别有 ," ) 与 ,%) 组正整数解，
-% " + %# + %" + %* ! "" 有 ,* "" - % ! ,"# ! * .)$ 组正整数
解 ’ 可知此时 " 有满足条件的 , ! * .)$ 组正整数 解’ 在 万方数据 设 #$ ! & %（ ! ! #$， " ! %$ 时， $ ! %， #， "， #） $
*,! + , *
中 等 数 学 , 4# 0 # , ! 或 0 "( ’ 矛盾 ’ 又当 0 "!) 时， （ "!) 5 " 5 !2 6 "31， 1 0） 故 0 $｛, 4， ， …， ， ｝ ,1 ,! ( ’ 分别计算， 可知满足!的 0 只有两个， 即 0 & , 0， , 3’ 3 从而， ) & , 或 , !’ 0 记 2 ’ " 如 图 !， 为线段 3! 与 ) 3 的 交点， 4 为 !% 与 ) 3 的交点 （不同于 %） ’ ・’% 7 $’ ・’# & "’" ， & "’ 图! ・’3 & "’" ， !’ ・ ・ 8 $’ ’% & !’ ’3 ’ 于是， !、 $、 3、 % 四点共圆 ’ 故! 3!$ & ! 3%$ & ! 3$% & ! 3!% ， 即 !3 为 ! $!% 的平分线 ’ 又由 ! 、 得 ! $32 & ! $%4 ’ $、 3、 % 四点共圆， 即 有 $2 & 而! $34 & " ! $%4 ， 故 ! $32 & ! 234 ，
(
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{
第二天
则可设 ) & % " 设 ) 为 满 足 条 件 的 实 数， （ 0 $ &） ， 且 0 0 即 .# , 0 / 0， [ 10 ] & 0 + . ’ 于是， 10
. .
0 0
（ 0 + 2） !("# （ 0 0 , 2） / "31 ’ ! 记（ （ 0 + 2） ， 则 0、 1 0） &（ 0 0 , 2） 0 , 2、 0+2中 万方数据 或都大于 )， 即 恰有两个数都小于 )，
" "#
此时"有满足条件的 ," ・ ,# ) %) ! # *$$ 组正整数解 ’ 综上， "满足条件的正整数解的组数为
" " ・ ・ ,# ,# ," "# + ,%. . + ,) %) ! *# #** ’
"0 ! 从而， !" ・!# #$% ! "!# & !， " " 即 !" ・!# & "’ #$% ! "!# " 等号仅当! "!# & ()*时成立 ’ 这表明点 ! 在以 "# 为 直径的圆上， 该圆应与 $% 有公共点 ’ "# 于是， ・!# 取最小值时， 应有 #$ # ， 即 !" " "# "" #$ ’ （"） 设 "!# 的内切圆半径为 & ， 则 ・!# & （ & + "’） （ & + #’） !" ・#’ ’ &（ & & + "’ + #’） + "’ 而 !" ・!# & " ( "!# ， （ & & + "’ + #’） &( 于是， ・#’ & ( "!# & ! ’ "’ !"记 "" & )" , ! )" , !
（刘康宁
提供）
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# % ， ’证 #" + % ! #" + # " （李伟固）
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并证明你的结论 ’ （李胜宏） …， ’# ， ’" 为集合 ’ 的 一 个 " 分 % " 我们称 ’% ， 划， 如果 （%） ’% % ’# %…% ’" ! ’ ； （#） %) $ 0 & ) " ’ ’$ & ’& ’(， 求最小正整数 ! ， 使得对 ’ ! ｛ …， 的任意一 %， #， !｝ 个 %* 分划 ’% ， …， 一定存在某个集合 ’（ ’# ， ’%* ， $ %) ， 在 ’$ 中有两个元素 / 、 $ )%*） 0 满足 0 0 / ) * 0’ " （冷岗松）