2015年高考理数二轮复习讲练测热点03 函数、数列、三角函数中大小比较问题(练)(原卷版)]

合集下载

2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题二第四讲高考中的三角函数

第四讲高考中的三角函数(解答题型)1．(2014·重庆高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值．解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….由－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2 ＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158.2．(2014·湖南高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD.故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－⎝⎛⎭⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.1．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期． 2．三角形的面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别是边a ，b ，c 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S △ABC ＝ss －as －bs －c (海伦公式)． 3．解三角形常见问题(1)已知一边和两角解三角形；(2)已知两边及其中一边的对角解三角形； (3)已知两边及其夹角解三角形； (4)已知三边解三角形； (5)三角形形状的判定； (6)三角形的面积问题；(7)正弦、余弦定理的综合应用．[例1] (1)(2014·江西高考)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. ①当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；②若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．(2)(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2. ①求函数f (x )的单调递增区间；②在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，a ＝62c ，求sin B . [师生共研] (1)①f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos x ＋π2＝22()sin x ＋cos x －2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.②由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.(2)①f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1，因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，则由π6≤2x ＋π6≤7π6知，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1的最大值为2＋m ＋1＝2，所以m ＝－1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．②因为f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12，因为π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，sin A ＝32.因为a ＝62c ，所以由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即sin C ＝22. 又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以C ＝π4，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×22－12×22＝6－24.1．条件求值的一般思路(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．三角恒等变换的“五遇六想”(1)遇正切，想化弦；(2)遇多元，想消元；(3)遇差异，想联系；(4)遇高次，想降次；(5)遇特角，想求值；(6)想消元，引辅角．1．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数． f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎫π4＝14. 所以，函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 2．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋12，所以T ＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .故函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎫1＋a ＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋12＝32，所以a ＝0.[例2] (2014·潍坊模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋π4(A >0，ω>0)的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为π3.(1)若f ⎝⎛⎫23α＋π12＝65，0<α<π，求sin α； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位得到y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，1136π上有零点，求实数k 的取值范围． [师生共研] (1)由题知A ＝2，T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，又f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4＝2sin2α＋π2＝2cos 2α＝65， ∴cos 2α＝35，∴sin 2α＝1－cos 2α2＝15，又∵0<α<π，∴sin α＝55.(2)由题知g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝2sin3x －π4，则函数y ＝g (x )－k ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4－k ， ∵0≤x ≤11π36，∴－π4≤3x －π4≤2π3，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4≤2. ∵y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，11π36上有零点， ∴y ＝g (x )与y ＝k 的图象在⎣⎡⎦⎤0，11π36上有交点， ∴实数k 的取值范围是[－2，2]．研究三角函数图象与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后再求解．(2)对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛cos φ＝a a 2＋b 2，⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2的形式来求．2．已知函数f (x )＝3sin ωx 2cos ωx 2＋3sin π6cos ωx 的最小正周期为4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象上的所有的点向右平移23个单位长度得到函数g (x )的图象，点P 、Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．解：(1)f (x )＝3sin ωx 2cos ωx 2＋3sin π6cos ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ωx cos π3＋cos ωx ·sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，因为T ＝4，ω>0，所以ω＝2π4＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎫π2x ＋π3.令－π2＋2k π≤π2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－53＋4k ≤x ≤13＋4k ，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－53＋4k ，13＋4k ，k ∈Z . (2)将f (x )的图象向右平移23个单位长度得到函数g (x )＝3sin π2x ，因为P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，所以P (1，3)、Q (3，－3)，所以OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝23，所以cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·PQ ＝32，所以∠OQP ＝π6.[例3] 如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB＝60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由． [师生共研]由题意知，四边形ODCE 是平行四边形．因为∠AOB ＝60°，所以∠ODC ＝120°.连接OC ，设OC ＝r ，OD ＝x ，OE ＝y ，则CE ＝x ，CD ＝y . 在△ODC 中，由余弦定理得OC 2＝OD 2＋DC 2－2OD ·DC cos 120°，即r 2＝x 2＋y 2＋xy .所以(x ＋y )2＝r 2＋xy ≤r 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22.解得x ＋y ≤233r ，当且仅当x ＝y ＝33r 时取等号，所以x ＋y 的最大值为233r ，此时C 为的中点．即点C 应选在的中点处，才能使得修建的道路总长最大．应用三角知识解决实际问题的思路如下：(1)分析题意，理解有关问题的题意和应用背景，画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等知识求解； (3)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．3.如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的点M 的地方，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？解：作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos ∠MOI ＝45.设骑摩托车的人的速度为v 千米/小时，追上汽车的时间为t 小时，由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45，即v 2＝25t 2－400t＋2 500＝25⎝⎛⎭⎫1t －82＋900≥900， ∴当t ＝18时，v 取得最小值为30，∴其行驶距离为vt ＝308＝154千米．故骑摩托车的人至少以30千米/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154 千米．热点四三角与向量的综合问题命题角度用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量的模表述三角函数间的关系等，然后考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质及解三角形等.[例4] (2014·福州模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．[师生共研] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. (2)由f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin2C ＋π6＝12.又C ∈(0，π)，∴2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2C ＋π6＝5π6，得C ＝π3.∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， ∴sin A sin B ＝12，由正弦定理得a b ＝12. ① 由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，得a 2＋b 2－ab ＝9. ②由①②解得a ＝3，b ＝2 3.在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决．解决本题的关键是利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为解三角形问题求解．4．已知向量m ＝(cos A ，－sin A )，n ＝(cos B ，sin B )，m ·n ＝cos 2C ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角．(1)求角C 的大小；(2)若AB ＝6，且＝18，求AC ，BC 的长．解：(1)m ·n ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(A ＋B )＝－cos C ＝cos 2C ，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，故cos C ＝12或cos C ＝－1，又0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为＝18，所以CA ·CB ＝36， ①由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos π3，及AB ＝6得，AC ＋BC ＝12， ②由①②解得AC ＝6，BC ＝6.课题3 利用正弦、余弦定理解三角形[典例] (2014·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．[考题揭秘] 本题考查解三角形中正弦定理的应用，三角公式的应用，三角形面积公式等基础知识和基本方法，考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力．[审题过程] 第一步：审条件．已知△ABC 中，a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.第二步：审结论．求b 的值及△ABC 的面积．第三步：建联系．(1)根据已知条件求出sin A 和sin B ，然后利用正弦定理求解；(2)求出sin C ，然后使用三角形面积公式．[规范解答] (1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝ 1－cos 2A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.① 由正弦定理a sin A ＝bsin B，②得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.③(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.[跟踪训练]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．解：(1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正弦、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22.所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.2．(2014·南昌模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x ＋a ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)保持函数y ＝f (x )的图象上的点的纵坐标不变，将横坐标缩短到原来的12，再把所得图象向右平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝2在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的所有根之和．解：(1)函数f (x )＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin2x ＋π6＋a ＋1，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， ∴f (x )min ＝a ＋2＝2，故a ＝0，f (x )＝2sin2x ＋π6＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由题意，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋1＝2sin4x －π6＋1，由g (x )＝2得sin ⎝⎛⎫4x －π6＝12，则4x －π6＝2k π＋π6或2k π＋5π6(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12或k π2＋π4(k ∈Z )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＝π12或π4，故方程g (x )＝2在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的所有根之和为π12＋π4＝π3. 3．(2014·青岛模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，sin x ，n ＝(1，sin x )，f (x )＝m ·n －12. (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝23，f ⎝⎛⎭⎫A 2＝12，若3sin(A ＋C )＝2cos C ，求b 的大小．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x －12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1－cos 2x 2－12＝32sin 2x . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝12和f (x )＝32sin 2x ，得sin A ＝33. ①若cos A ＝63，则sin(A ＋C )＝33cos C ＋63sin C ，又3sin(A ＋C )＝2cos C ，所以cos C ＝2sin C .因为0<C <π，所以cos C ＝63. ②若cos A ＝－63，同理可得：cos C ＝－63，显然不符合题意，舍去．所以sin B ＝sin(A ＋C )＝23cos C ＝223. 故b ＝a sin B sin A＝4 2. 4．(2014·厦门模拟)某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A 处到山脚滑雪服务区P 处修建了滑雪赛道A －C －P 和滑雪练习道A －E －P (如图)．已知cos ∠ACP ＝－55，cos ∠APC ＝45，cos ∠APE ＝23，公路AP 长为10(单位：百米)，滑道EP 长为6(单位：百米)．(1)求滑道CP 的长度；(2)由于C ，E 处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP 上找一处D ，修建连接道DC ，DE .问DP 多长时，才能使连接道DC ＋DE 最短，最短为多少百米？解：(1)∵cos ∠ACP ＝－55，cos ∠APC ＝45， ∴sin ∠ACP ＝255，sin ∠APC ＝35. ∵sin ∠P AC ＝sin(∠APC ＋∠ACP )＝sin ∠APC ·cos ∠ACP ＋sin ∠ACP ·cos ∠APC ＝55， AP sin ∠ACP ＝PC sin ∠P AC， ∴CP ＝5，∴滑道CP 的长度是5百米．(2)设DP ＝x ，x ∈[0,10]．∵EP ＝6，CP ＝5，cos ∠APC ＝45，cos ∠APE ＝23， ∴DE ＝x 2＋36－2x ·6·cos ∠APE ＝x 2－8x ＋36，DC ＝x 2＋25－2x ·5·cos ∠APC ＝x 2－8x ＋25，∴DE ＋DC ＝x 2－8x ＋36＋x 2－8x ＋25，令f (x )＝DE ＋DC ＝x 2－8x ＋36＋x 2－8x ＋25＝x －2＋20＋x －2＋9，当且仅当x ＝4时，f (x )min ＝f (4)＝3＋2 5.∴当DP 为4百米时，DE ＋DC 最短，为(3＋25)百米．。

2015届高考数学二轮复习专题训练试题：三角函数(3).pptx

1、A 2、 D 3、A 依题意
在
上有两个不等实根.
(方法一)问题可化为
和
在
上有
方程
两个不同交点. 对于临界直线，应有 ≥ ，即 ≤
.对于临界直线，化简
，得
，令
，解得
，∴
，
学海无涯
令
，得
，∴ ＜1，即
.综上，
≤ .(方法二)化简方程
，
得
.
令
解得
.又
，则由根的分布可得
,即
，
，∴ ≥ ，∴ ≤
.综上，
，即
，
学海无涯
取
，所以
是
的生成函数．② 设
该方程组无解．所以
不是
，即的生成函数．…
（2）
，也即
……
，则
，
因为
，即，所以
则
上单调递增，
．故，
函数
在
（3）由题意，得
，则
，解得
，所以
恒成立．
……假设存在最大的常数，使
于是设
=
令
，则
，即
……设
，
．
设
，
，
，所以
在
上单调递减，
学海无涯
，故存在最大的常数
符合条件②的区间[ ]；（Ⅱ）判断函数是闭函数，求实数的取值范围。
是否为闭
18、已知函数实数 x 的集合)．
是奇函数，定义域为区间 D(使表达式有意义的
学海无涯
(1)求实数 m 的值，并写出区间 D；(2)若底数明理由；
，试判断函数
在定义域 D 内的单调性，并说
(3)当(Fra bibliotek19、对于函数

高考数学大二轮复习微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”

而 ∈
π
,
π
2
因此 sin
,所以
π
+4
所以 2sin
12
1
于是 t +t2
2
∈ -
π
+4
=
π
θ+4
∈
π
+
4
3π 5π
,
4 4
2 2
,
2 2
,
,
,
∈(-1,1),即 t∈(-1,1).
1
(t+1)2-1∈(-1,1).
2
故 sin θ+cos θ+sin θcos θ 的取值范围是(-1,1).
考查角度
角度一变角
5π
12
[例 1—1](2021·山东淄博月考)已知 θ∈(0,π),cos 6 - =-13,则 tan +
π
=
6
.
5
答案
12
解析由于
又因为 cos
π
θ∈(0,π),所以-6
5π
-
6
<
12
π
=- ,所以
13
2
因此 sin
5π
-
6
=
所以 tan
5π
-
6
5
=-12,
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值
范围是
.
答案 (-1,1)
2 -1
θ= ,于是
2

2015高考数学数列专题热点复习指导

2015年高考数学数列专题热点复习指导(一)基础题复习导引：数列是定义在正整数集或正整数子集上的函数，函数的图象是平面直角坐标系上的点集。

项an是n的函数，同数Sn也是n的函数，af(n)是复合函数，如下面的第2、3题。

等差、等比中项始终是高考(Q吧)拟题的知识点，如下面的第1、5题。

在数列问题中，从一般到特殊的思想方法，是重要的思路，如第3、5题。

1.若an是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a20040成立的最大自然n是()A、4005B、4006C、4007D、4008解：∵a2003·a2004 ∴a2003与a2004中必有一个为负。

又a1>0只有 d a2003+a2004=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a4006>0 ∴S4006=-(a1+a4006)>0S4007=-(a1+a4007)=-·2a2004 ∴选B注：本题不同于当Sn最大时求n的值,在审题中注意区别。

2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且-=-，则使得-为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5解：∵an,bn为等差数列∴可设An=(7n+45)gn,Bn=(n+3)gnan=An-An-1=14n+38,bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)-=-=k,k为正整数n=-,n为正整数，719K=8、9、10、11、13∴选D注：若{an}为等差数列，那么Sn=pn2+qn，是常数项为0，关于n的二次函数。

3.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1,b1∈N*。

设cn=-(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于()A.55B.70C.85D.100解：某些数列问题经常用一般到特殊的思考方法。

c1=-=a1+(b1-1)·1c2=-=a1+(b2-1)·1c3=-=a1+(b3-1)·1c2-c1=b2-b1=1,c3-c2=b3-b2=1c1=a1+b1-1=4∴{cn}为c1=4，公差为1的等差数列∴S10=85选C注：-其中bn是项数，在数列中，项an是项数n的函数。

2015届高考数学二轮题型归纳训练数列要点讲解

数列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列.②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

2015高考数学大二轮总复习课件：第1部分专题3第2讲

热点聚焦 ·题型突第五页，编辑归于星纳期总五：结十五·点思五分。
综上，对于 n∈N*，cn＋1＝2cn 都成立，即 an＋1－1＝2(an－1)都成立，即数列{an－1}是等比数列，其首项为 1，公比为 2. 所以 an－1＝1×2n－1，所以 an＝2n－1＋1. (2)由 Sn＝an＋1＋n－2，得 Sn－n＋2＝an＋1＝2n＋1，故 Sn－n＋1＝2n，所以 bn＝32nn. 所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝32＋3×22 2＋…＋32nn ，①
热点聚焦 ·题型突第十八页，编归辑于纳星总期五结：十·五思点五分。
解 (1)设函数 f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b，由 f′(x)＝6x－2，得 a＝3，b＝－2，所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数 y＝f(x)的图象上，所以 Sn＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)] ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，所以，an＝6n－5(n∈N*)．
热点聚焦 ·题型突第十一页，编归辑于纳星总期五结：十·五思点五分。
(1)解设公差为 d，则4aa11＋＋26dd＝2＝1a41，a1＋6d，解得 d＝1 或 d＝0(舍去)，a1＝2，所以 an＝n＋1，Sn＝nn2＋3. 又 a1＝2，d＝1，所以 a3＝4，即 b2＝4. 所以数列{bn}的首项为 b1＝2，公比 q＝bb21＝2，所以 bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.
热点聚焦 ·题型突第十四页，编归辑于纳星总期五结：十·五思点五分。
(1)解直线 l 的斜率为 k＝12－3－－01＝2，故直线 l 的方程为 y＝2[x－(－1)]，即 y＝2x＋2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2. 把点 C(1,2)代入函数 f(x)＝ax，得 a＝2，所以数列{bn}的前 n 项和 Sn＝f(n)－1＝2n－1. 当 n＝1 时，b1＝S1＝1；当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当 n＝1 时也适合，所以数列{bn}的通项公式为 bn＝2n－1.

2015年高考数学真题分类汇编：专题(04)三角函数与三角形(理科)及答案

专题四三角函数与三角形1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）（B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 2.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C)13 (,),44kk k Z-+∈(D)13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A xωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）()cos(2)2A y xπ=+()sin(2)2B y xπ=+()sin2cos2C y x x=+()sin cosD y x x=+【答案】A【解析】对于选项A，因为2sin2,2y x Tππ=-==，且图象关于原点对称，故选A.【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2015高考重庆，理9】若tan2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A、1B、2C、3D、4【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cossin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为．【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=，又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DFE ⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1．【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又3a =由正弦定理得sin sin a b A B =3sin sin 36b ππ=解得1b =，故应填入1．【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56B π=． 10.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.11.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数，函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。

2015届高考数学二轮复习专题讲解课件第二讲高考中的数列(解答题型)

＝13.
高考专题辅导与测试·数学
第十五页，编辑于星期五：十点三分。
创新方案系列丛书
(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而 a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0. ①
但212n<221n－1，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|. ②
六招解决数列求和问题 (1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为 n 个等差数列或等比数列，然后应用公式求和． (2)错位相减法：(见主干整合) (3)裂项相消法：(见主干整合) (4)倒序相加法：(见主干整合) (5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求 Sn. (6)归纳猜想法：通过对 S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出 Sn，然后给出证明．
高考专题辅导与测试·数学
第十四页，编辑于星期五：十点三分。
创新方案系列丛书
1．已知数列{an}满足 a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.
(1)若{an}是递增数列，且 a1,2a2,3a3 成等差数列，求 p 的值；
(2)若 p＝21，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
高考专题辅导与测试·数学
第六页，编辑于星期五：十点三分。
创新方案系列丛书
数列求和常用的方法 1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成
cn＝an＋bn 形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，
创新方案系列丛书
高考专题辅导与测试·数学
第一页，编辑于星期五：十点三分。

2015年高考真题解答题专项训练：三角函数(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：三角函数（理科）1．（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在.2，R x ∈ （Ⅰ）求()f x 最小正周期（Ⅱ）求()f x 在区间上的最大值和最小值.3．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx ，cosx ），x ∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．4．【2015高考山东，理16 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若求ABC ∆面积的最大值.5．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22b a -=（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.6．（本小题13（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；7．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．与()cos ,sin n =A B平行．（Ⅰ）求A ；，2b =求C ∆AB 的面积．8，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1（2.9．（本小题满分12分）在ABC ∆点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.10．（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ）（Ⅱ）若1AD =，，求BD 和AC 的长．2015年高考真题解答题专项训练：三角函数参考答案1．（1）最小正周期为p ，最大值为（2）()f x 在上单调递增；()f x 在. 【解析】试题分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为sin()A x k εϕ++形式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、（1（2上分别是增函数和减函数，因此可得()f x 单调区间．试题解析：（1）因此()f x 的最小正周期为p ，最大值为. 考点：三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力．2．（Ⅰ）π; （Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由已知，有所以()f x 的最小正周期（Ⅱ）因为()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以()f x 在区间考点：三角恒等变形、三角函数的图象与性质. 3．（1）tanx=1；（2）【解析】试题分析：（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx ，即tanx=1；（2）∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx ，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin （x ﹣）=， ∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣= 即x=+=．点评：本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（Ⅱ）ABC ∆【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：所以函数()f x；由题意知A 为锐角，所以由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-当且仅当b c =时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 5．（1）2；（2）3b =. 【解析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得，故3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.6．（Ⅰ）2π；【解析】试题解析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++0,x π-≤≤时，()f x 取得最小值为：试题解析：（Ⅰ）()f x 的最小正周期为()f x 取得最小值为：考点：本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂公式与辅助角公式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等．7．【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用//m n可得，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；（Ⅱ）由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C∆AB 的面积．试题解析：（Ⅰ）因为//m n，所以又sin 0B ≠，从而由于0A π<<，所以（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB 的面积为又由a b >，知A B >，所以所以C ∆AB 的面积为考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式．8．（1）详见解析；（2 【解析】试题分析：（1件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，转化为只与A 有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）由tan a b A =，∴sin cos B A =，即（2）由（1）知，()C A B π=-+∴sin sin A C +的取值范围考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.9【解析】试题分析：根据题意，设出ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理求出a 的长度，再由正弦定理求出角B 的大小，在ABD ∆中.利用正弦定理即可求出AD 的长度.试题解析：如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得，在ABD ∆中，由正弦定理得考点：1.正弦定理、余弦定理的应用.10．（Ⅱ）1．【解析】（Ⅰ2ABD ADC S S ∆∆=，（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．。

2015届高考数学总复习配套专题精讲：专题二高考中的三角函数综合问题(共47张PPT)

x4，cos2x4.
(1)由向量数量积的运算转化
(1)若 m·n＝1，求 cos23π－x的值；成三角函数式，化简求值．
(2)记 f(x)＝m·n，在△ABC 中，角 A， (2)在△ABC 中，求出∠A 的
B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足范围，再求 f(A)的取值范围．
(2a－c)cos B＝bcos C，求函数 f(A)
题型一
三角函数的图象和性质
【例 1】已知函数 f(x)＝sin(ωx
＋
π 6
)
＋
sin(ωx－
π 6
)
－
2cos2
ωx 2
，
x∈R(其中 ω>0)．
(1)求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 y＝f(x)的图象与直线
y＝－1 的两个相邻交点间的距
离为π2，求函数 y＝f(x)的单调增
区间．
思维启迪
的值．
思维启迪
解析
思维升华
tan2αsin Asin B－tan αsin(A ＋B)＋cos Acos B＝ 52.①
因为 C＝34π，所以 A＋B＝π4，所以 sin(A＋B)＝ 22，
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－
sin Asin B，
即352－sin Asin B＝ 22，
考点自测
高考题型突破
练出高分第十三页，编辑于星期五：十点十分。
高考题型突破
题型二
三角函数和解三角形
【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中，
内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2.
(1)求 C；
(2) 设

专题2.3 函数、数列、三角函数中大小比较问题(讲)-2019年高考数学(理)二轮复习讲练测 Word版含解析

热点三函数、数列、三角函数中大小比较问题纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 函数中的大小比较问题函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.1.1指数函数中的大小比较问题比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．例1【云南省昆明市2019届高三1月诊断】已知，，，则下列不等式正确的是（）A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】因为在R上递减，且，所以.又因为在R上递增，且，所以 .所以.故选：D.对数函数中的大小比较问题比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．例2【2018年天津卷理】已知，，，则a，b，c的大小关系为A ．B ．C ．D ．【答案】D1.3幂函数、指数函数、对数函数值的综合比较基本初等函数是高中数学必修教材中重要内容，应用广泛，从近几年高考命题看，涉及函数性质的应用比较大小问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数等综合在一起，考查考生的综合应用知识解决问题的能力.例3【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考】设0.60.3a =， 0.60.5b =， 3log 4c ππ=,则( )A. b a c >>B. a b c >>C. c b a >>D. c b a >>【答案】A【解析】由幂函数的性质可得，,由对数函数的性质可得， 3log 14ππ<,所以b a c >>，故选C.1.4 通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.上恒成立，求正数a 的取值范围．【答案】（1）将解析；（2）.【解析】（1）由题意知，要证，只需证，求导得，当时，，当时，，∴f （x ）在是增函数，在时是减函数，即在时取最小值，∴，即，∴．（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，以下求在上的最小值，,当时，，当]时，，∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，∴在处取得最小值为，∴正数a的取值范围是．2 数列与不等式相结合数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．2.1 数列中的不等问题例5【2018届河南省南阳市第一中学高三第六次考】已知单调递增的等差数列{}n a，其前n项和为a的取值范围是__________．，则5【答案】5,52⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，由题意可得，即，且514a a d =+．令，则①，4z x y =+．画出不等式组①表示的可行域（如图所示），由4z x y =+得，平移直线．设直线经过可行域内的点A 时， z 的值为2z ；经过可行域内的点B 时， z 的值为1z ，则12z z z <≤．由条件可得，所以．∴552z <≤． ∴5a 的取值范围是5,52⎛⎤⎥⎝⎦．答案： 5,52⎛⎤⎥⎝⎦2.2 数列参与的不等式证明此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．例6【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知在数列中，，，前项和为，若.（2）若数列的前项和为，求证：.【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）在数列中，①∵②且，∴①式÷②式得：，∴数列以为首项，公差为1的等差数列，∴∴当时，当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为（2）由（1）知，，则数列的前项和∵当时，，∴当时，，满足∴∵在中，，，∴∴∴ ∴. 3 三角函数的最值与综合运用1. 掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性；（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响. 3.1 解三角形中的最值问题例7在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足．（1）求角C 的大小；（2）若，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）C 3π=（2）【解析】（1）由得解得1cosC 2=，由0C π<<，所以C 3π=（2）取C B 中点D ，则在DC ∆A 中，（注：也可将两边平方）即，所以8ab ≤，当且仅当4a =， 2b =时取等号此时，其最大值为3.2 与三角函数有关的最值问题例8【2018届江苏省泰州中学高三10月】已知函数.（1）将()f x 化简为的形式，并求()f x 最小正周期；（2）求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】（1）()f x ， T π=；（2）4x π=-时，， 12x π=时，.【反思提升】综合上面的三种类型，解决函数、数列、三角函数中的大小比较问题，解答时首先要找准模型，通过转化来解决，一般情况下，此类问题是几个知识点的交汇，需综合不等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一，解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象，同时，常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用最值来求解.。

2015高考数学大二轮总复习课件：第1部分专题1第3讲

热点聚焦 ·题型第十九页，编归辑于纳星期总五结：十·五思点四分。
①当－a2≤1 时，即－2≤a＜0 时，f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1)，
由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2－2，均不符合题意．
②当 1＜－a2≤4 时，即－8≤a＜－2 时，f(x)在[1,4]上的最小值
热点聚焦 ·题型第十五页，编归辑于纳星期总五结：十·五思点四分。
所以 f(x)的最大值 M＝f(－k)＝－2k3－k. 综上所述，当 k<0 时，f(x)在[k，－k]上的最小值 m＝f(k)＝k，最大值 M＝f(－k)＝－2k3－k. 法二当 k＜0 时，对∀x∈[k，－k]，都有 f(x) － f(k) ＝ x3 － kx2 ＋ x － k3 ＋ k3 － k ＝ (x2 ＋ 1)(x － k)≥0 ，故 f(x)≥f(k)； f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x＋k3＋k3＋k＝(x＋k)(x2－2kx＋2k2＋1) ＝(x＋k)[(x－k)2＋k2＋1]≤0，故 f(x)≤f(－k)．而 f(k)＝k＜0，f(－k)＝－2k3－k＞0，所以 f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k，f(x)min＝f(k)＝k.
(2)求函数 f(x)的极值．解 (1)由 f(x)＝x－1＋eax，得 f′(x)＝1－eax，
又曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于 x 轴，所以 f′(1)
＝0，
即 1－ae＝0，解之得 a＝e.
热点聚焦 ·题型第十页，编辑归于星纳期五总：结十五·点思四分。
(2)f′(x)＝1－eax， ①当 a≤0 时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值． ②当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，x＝ln a. 当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1.练高考
1.【2014高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时 )3|2||(|2
1)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（） A.]61
,61[- B.]66,66[- C. ]3
1,31[- D. ]33,33[- 2.【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都
有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .
3.【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2
}n a a 为递减数列，
则（） A.0d < B.0d > C.10a d < D.10a d >
4.【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边， 2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为_________．
5.【2014全国2高考理第14题】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为
_________. 由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=，则tan θ的最大值
.
2.练模拟
1．【2015届宁夏银川市唐徕回民中学高三上学期期中考试】已知三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（）
A.(0,
B.
C.(0,
D.
2．【2015届山东省枣庄市第三中学高三1月月考】已知定义域为R 的函数2cos 3sin ()2cos a a x x f x x
++=+ （a ，b R ∈）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a =（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 【2015届江苏省宿迁市高三上学期第一次摸底考试】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+，则关于x 的不等式()2f x <-的解集是．
其中正确结论的是（把正确的序号填在横线上）.
5. 【2014-2015学年浙江省杭州地区六校高一上学期期中考试】函数22)(2+-=x x x f 在区
间 [0,]m 上的最大值为2，最小值为1，则m 的取值范围是 .
3.练原创
1.已知等比数列{}n a 的首项为43
，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为．
2．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ,前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 最大，则d 的取值范围________.
3．在ABC ∆中，,sin 22tan
C B A =+若1AB =，则12
AC BC +的最大值． 4．函数1()2sin cos()2262π=++x x f x 的最大值为． 5．已知函数4411()11sin cos f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，则函数()f x 的最小值为 .。