带变号扰动的半线性椭圆方程正解存在的必要条件
一类半线性椭圆方程组正解的稳定性
ｒ △ ＋＾ ＋Ａ ７＝一 ， ∈ ， ７
笔 者 在定 理 １的证 明 中用 的方 程 乘 以 田， 在 （ ）中用 田的方程乘 以 ， 力上 分别积 分 ， ２ 在 然
后相减 ， 对 和 的方 程做 同样 的运 算 ，从 而得 到 （ ，）稳定 的条件 ． ｕ
下 面讨论 半线性 椭 圆方程组 （ ）正解 的稳 定 １
假设 （，）满足 （ ： ， ｇ Ａ ） 根据参 考文献 ［ ］ 方 程 ３， （ ）有实 的第 一本 征 值 （ ， ， 在所 有 的谱 ２ ｕ ） 它 点 中有最 小实 部． 么定 义 ： ，） ＞０， （ 那 ／（ ｘ 则 ，
（） １
其 中 Ａ ＞０ 是 有界 光滑 区域． ， ， ｆｇ是定 义在 ：（ ， ０ ∞）Ｘ（ ， ） 的 实值 函数 ， ０∞ 上 在 满足一 定条件 下 ， 论此半 线性椭 圆方程 组正解 的稳 定性 问题． 讨
关键词 ：半线性 椭 圆方 程组 ； 解 的稳 定性 正
０ 引ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第２ ６卷 第 ２期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ ＥＮＣ Ｓ Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡ Ｉ ＲＭＡＬ Ｕ Ｖ Ｓ Ｔ ＡＴ ＬＳ Ｉ Ｅ ＯＵ ＲＢ Ｎ ＮＯ ＮＩ ＥＲ Ｉ Ｙ
Ｖ １２ ， ｏ２２ １ ｏ．６ Ｎ ． ０ ０
一
类 半 线 性 椭 圆 方 程 组 正 解 的稳 定 性 水
李 萍 ， 仁 浩 ， 峻 平 ， 玉文 崔 史 王
（ 哈尔 滨 师 范 大学 ）
【 摘要 】 考 虑半 线性椭 圆方程组
ｒ
Ａ ＋ａ （ ） ＝ ０ ∈ ， ｕ ｆ ， ，
｛ Ａ （ ，）＝０ ∈ ， △ ＋ ｇｕ ，
一类带参数的半线性椭圆型方程边值问题的可解性
（ ～ １ ） ，
单增 ；
（ Ｈ ）ｌ ｉ ｍ ：０；
其 中参 数 Ａ， ／ ｚ＞０ ， 力ｃ Ｒ 为 有界 光滑 区域 。 带参 数 的椭 圆型方程 边值 问题 的研究 一直 是 偏微 分 方程领 域 研 究 的热 点 之一 ¨ 。 这 里 重 点 介 绍 一下文献 ［ １ ］ ， 在［ １ ］中 Ｍａ ｙ ａ 和Ｓ ｈ ｉ ｖ ａ ｊ ｉ 讨 论 了下列 问题解 的存 在性 和不存 在性 。
尽相 同 。 得 到 了参 数 人， ／ ｘ的 不 同情 况 下 问 题 （ １ ） 解 的存 在性 与不存 在性 。
证 明 显 然 “ ＝０是 问题 （ １ ）的一 个下 解 。
设 ） 是 问 题 ‘ 笔 的
解， 显然 ≥０ ， ∈ ， 取ｈ － ＝ （ ） ， 让 Ａ， “充分 小， 有：
（ ２ ） ／ ２ ， ≤ ， ∈ ； （ ３ ） Ｍ≤ ０≤ ｈ － ， ∈ｎ； （ ４ ）一Ａ ｒ ｔ—Ａ 一 ｌ 厂 （ ， ）≤ ０≤
—
这 里 Ａ ＞０是一个 参数 ， ｃ Ｒ 为有 界光滑
区域 。
非线性 项 在 无 穷远 处 是 次线 性 ， 他 们 证 明 了 存 在 一个实 数 Ａ， 使 得 Ａ≥ Ａ时 ， 问题 （ ２ ）至少有 两个 正 解 。 存在实数 Ａ ， 使得 Ａ ＜Ａ 时， 问 题
一
类带 参数的 半线性椭圆 型 方程边值问 题的 可 解性
张正青 ， 钟金 标
（ 安庆 师范学院 数学与计 算科学学 院， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要 ：本文利用上 、 下解方法和不动点定 理研究 了一类带参数 的半线性椭圆型方程边值 问题 ， 根据参数的不 同情
一类非线性项符号变化的半线性椭圆方程边值问题解的研究
２１ ０ ２年
定理 ３ 当成立 （ ， 、Ｈ ）且 ａ ） ＞０时 ， Ｈ）（ ， （ 问题 （ ）至 多只有 一个 正解 。 １ 证 明 假设 １ ，： 问题 （ ）的两个 解 ， １ ｕ为 ， １ 则有 下 面的两个 式子 成立 ：
卜 Ａ １＝ａ （ ）（ ） ｕ ａ ｘｆ １ ，
ｉ ｆ“ ＝ ｉ ｕ。 ｎ ｎｆ
ｎ 扪
定 理 ２ 当 Ａ ＞０， 条件 （ 立时 ， 且 Ｈ ）成 问题 （ ）的解 是 正解 。 １
证 由 件（：知 一 Ｕ Ｏ ， 引 （ 调 函 的 值 理 知 ０ ∈ 明 条 Ｈ） ｆ △ ≥ ，Ｅ 由 理２上 和 数 极 原 ） ＞ ， 。 ｘ
在 （ ， ）的某 个 区域 内连 续 ； ） Ｆ（ ） ＝ Ｆ Ｏ ０ ＝０ ｃ Ｆ （ ） ：一ａ４ 一Ａ （ ） Ｕ ， 是 ００ ｂ； （ ，） ； ） Ａ， ， ａ ｘ 厂（ ） 如
（ ） Ｆ （ ） Ａ， Ａ， 咖连续 ， （ Ｕ ＝一ａ ） （ ）也连 续 ， Ｆ （ ，） ：一△ ≠ ０ Ａ，） （ 厂ｕ 且 ００ 。 由引理 １存在 ０的一个邻 域 （ ， ） ， 一占 ８ 和一个 连续 可微 函数 （ ）： 一 ） Ａ （ ， 一 （ ）使 得 ｕ Ｏ 和 ， （）
Ｆ Ａ， （ ） ＝０ （ ｕＡ ） ，一ｓ ＜Ａ ＜ ， 而得 到 ： 从
定理 １ 当条件（ 成立时， Ｈ） 存在充分小的 ＞０ 当 Ｉ ＜ 时 ， 。 ＡＩ 问题（ ） １ 存在解 。 引理 ２ （ 上调和函数极值原理 ） 设 “∈Ｃ（ ， （ 。 ）ｃ ）在 中△ ０ ｕ≤０ 假设 有界 ， ， 则
解 的非负性及唯一性 ， 最后给出了一个例子说明其实现的应用。
关键词 ：隐 函数定理 ； 正解 ； 半线性椭 圆方程边值问题解 中图分类号 ：０１５ ７ 文献标 识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ ４ ６ （ ０２ ０ ０ ７— ２ ０ ２ １ ） ２—００ ０ ０ １— ２
半空间上Robin边值问题正解的存在性
研 究 了半 空 间上 带有 Ｒ ｂｎ边 值 条件 的半 线性椭 圆方程 正解 的存在 性 对参数 Ａ的依 赖 关 系。 ｏｉ
关键 词 ：Ｒ ｂｎ边值 条件 ； ｏｉ 正解 ； 在性 存
中图 分类 号 ： ７ ． ５ 文 献标识 码 ： 文章编 号 ：６ １—７ ４ ２ １ ） ５—０ １ Ｏ １５ ２ Ａ １７ １７（０ ０ ０ ７ １—０ ４
＝ （ ， ， ， 一） … ，，
＞０ ，Ｒ ｝ａ ＝ ｛ ，Ｎ （ Ｘ ）Ｉ
＝０ ， 空 间维数 ， ｝Ⅳ是
－ Ｖ
ｄ 厶Ｐ 一 Ｍｄ ＋＋ Ｉ
∈ Ｒ ） （） ２
当 ＞时ｐ （ 芝） １Ⅳ ２ ，∈ Ⅳ ２ ，∈１ ； ≤ ≤时ｐ ， 当
（ ，＋∞ ） Ａ是 一实 参数 。 用集 中 紧致 原理 得 出 ： １ ； 运
∈ （ ） Ｈ ；
： ＞Ｏ ｔ＞０，
此
（１
一
１ ）ｆ Ｉｆ＋（ ｌ ＩＩ ２
一
２ ）存在 一个 非负 函数 ｅ∈Ｈ ）使得 Ｊ ｅ （ ， （）＜０ 。
证 １ ）由 Ｓ ｂ ｌｖ 等式 可得 ｏ ｏｅ 不
一
半 空 问上 Ｒｏ ｉ 值 问题 正 解 的 存 在 性 ｂｎ边
宋 爱 丽
（喀什 师 范学 院 数 学 系 ，新疆 喀 什 ８ ４ ０ ） ４ ０７
￡
＋
＋
＝
＝ ０
∈ ∈
ａ
摘 要 ： 用 变分 方 法和没 有 ｐ 条件 的 山路 引理 ， 助 半 线性 椭 圆方程 基 态解 的指 数 衰减 性 质 ， 运 ｓ 借
ｂ ｕｎ ｒ ａ ｕｅ ｃ ｎ ｔｏ ｎ ｈ ｌ ｐａ ｅ． ｏ ｄａ ｙ ｖ ｌ ｏ ｄｉｉ ｎ ｉ ａ ｆｓ ｃ
一类半线性椭圆方程解的存在性问题
定理 ｌ ０ ∈Ｑｃ 。 是 中有光 滑边 界 的 Ｑ
有 界 区域 ， Ⅳ ７时 ， ０ ＜ 一 则对 所 有 当 若 ４，
ｋ ， 隹叮 ， 程 （ ） ＞０ 方 １ 存在 一个 非平凡解 。
（ ２ ０ 【 明 当（＝Ⅳ４ ， 。１ 了 ）， ， 手）＞ 文］ 证 ｌ ０
Ｋｅ ｒ ｓ Ｌｎ ｉ ｈ ｏｅ ｃ ｔ ａ Ｓ ｂ ｌｖ ｅ ｐ ｎ ｎ ； ｅ ｌ ｅｒ ｅ ｉ ｃ ｅ ｕ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｎ Ｔ ｅ ｒｍ； ｒ ｉ ｌ ｏ ｏｅ ｘ ｏ ｅ ｔ ｓｍｉｎ ａ ｌｐ ｑ ａ ｏ ｋ ｇ ｉｃ ｉ ｌｔ ｉ ｉ
０ 引 言
ｉｆ ｎ
∈ Ｌ ） （） Ｄ ＼ ｏ
函数，（） （ ） ＜ ’ ｋｘ ∈ Ｑ ， ２， 存在２ ＜ ‘ ｆ ， ＜ａ ２ － Ｖｉ
收 稿 日期 ： ０ ８０ ．６ ２ ０ ．３ １
作者简介 ： 陈阳佳 （ ９４ ， ， １８ ．）女 福建莆田人 ，０ ６ ２０ 级硕士研 究生。
Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０８
文章 编 号 ：６ ２４４ （０ ８ ０ —０ ６０ １７ －１３ ２ ０ ）２０ ３．５
文献 标 识 码 ： Ａ
一
类 线椭 方 解 存 性 题 半 性 圆 程 的 在 问
陈 阳佳
（ 建 师 范 大 学 数 学与 计 算机 科 学学 院 ， 福 建 福 州 ３ ００ 福 ５ ０ ７）
， ＝
其 中
ｆ ＿ ＼ Ⅳ ２
摘 要 ： 主要应用环绕定理及一些解的估计来讨论一类半线性椭圆方程：△ － 让 ‘ ｌ 计 ， ∈ 一 一ｒ ｌ ＝ ２ 。 让让
（ ， （ 满足一定条件时， ｎ） 当 ） 方程存在 一个非平凡解 。
关于奇异半线性椭圆型方程组的正整体解的存在性
福建农林大学学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ａ ｇ ｃｌ ｒ ｎ ｏ ｓ ｙＵ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃｅｃ ｄｔｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｊ ｎＡ ｒ ｕ ｕｅａｄＦｒ ｔ ｎｖ ｓｙ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｎ Ｆｉ ｉ ｔ ｅｒ ｅ ｔ ｎ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｉ ｖ ｎ ｉ ｏ ｕ ｉｎ；ｅｌ ｔ ｑ ａ ｏ ｉ ｅ ｉ ｔ ｈ ｒ ｍ ｙ ｗｏ ｄ ：ｐ ｓｔ ｅ ｅ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｉ ｒ ｏ ｌ ｐ ｃ ｅ ｕ ｔ ｎ；ｆ ｄ ｐ ｎ ｅ ｅ ｉｉ ｉ ｘ ｏ ｔｏ
近 年来在非 线性 数学 、 物理 、 物等学 科 中涌 现 出大 量非 线 性椭 圆型 方程 ， 内外 许 多数 学 工作 者 对 生 国 这类 方程 解 的存 在性 、 一性 、 唯 多解 性 及 其性 态 进 行研 究 ．９２年 Ｆ ｒｓｏ１ 表 了关 于 半 线性 椭 圆型 方 １９ ｕｕｈ 发 Ｌ 程 组 的正整体 解存 在性 的研究 论文 ． 近年来 国 内不 少 学 者 。 对 非 线 性椭 圆型 方程 组 的正 整体 解 的存在 性 进行研 究 ． 研究 在原 方程 中增 加 了奇异 项 ｕ ， 而增 加 了问题 的难度 和复 杂性 ， 本 从 但其 适用 面也 更广 ．
Ｙ（） Ｒ＋ ， ∈Ｃ （ ）且 满 足如下 常微 分方 程及 其初始 条件 ： ｔ ∈Ｃ （ ） Ｒ＋ ，
＝
（ ， （），Ｙ ｔ Ｉ （ ｔ ） ｔ ｔＹ ｔ Ｉ （） ） Ｙ （） 一，≥０ （ ＝１２ ｉ ，）
函数 ｕ 是式（ ） １ 的正整体解 ， 。 Ｃ （ 使得 ｕ 在 Ｒ 的每一点均取正值 （ ＝ ，） 且（ ｕ） 即ｕ ∈ Ｒ ） 。 ｉ １２ ， ｕ ， 满足 式 （ ）正整 体解 ｕ 径 向对称 的 ， １． 是 即如 果 ｕ 满 足 ｕ（ ）＝ｕ（ Ｉ （ ＝１２ ， ｕ是 式 （ ） Ｉ ） ｉ ，）且 １ 的正 整 体 解． 设 ： ： ０ ∞）Ｒ ： ０ ∞） 那么 ， Ｒ＋ ＝（ ， ， ＋ ＝［ ， ， 一个径向对称的函数 ｕ ＝ （ Ｉ是式 （ ） （） Ｙ Ｉ ） １ 的整体解 ， 当且仅当
一类p—laplace方程边值问题解的存在性
一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
具有Hardy项和Sobolev—Hardy临界指数的半线性椭圆方程解的存在性与多重性注记
文献 ［ — ６ 。 ５ ］ 由于 Ｈａｄ 项 ／ｌ 的存在 ， ｒｙ ｌ Ｘ。 问题
如（ ／。 』
义
ｚ ）
为 了证 明问题 （ ） １ 正解 的存在 性 ， 我们 不妨定
（ （ ）在零ｂｏｅ — 奇异ｄｙ临界 指数 ，（１ 不再具有ｒ ｙ ２ 项和 Ｓｏ 点有强 Ｈａ 性 。 ， 嵌人）含有 Ｈａｄ ） １ ｌｖ ｒ 另外 问题 紧
Ｉ 奇 异 问题 的非平 凡 解 的存 在 性 越 来越 关 注 ， 。 可
参看 文献 ［ — ４ 。 在人们 更加 关注 具有 ≠ ０ １ ］现 ，
≠ ０和一般 项 的方 程 解 的存 在 性 问题 ， 以参 考 可
． Ｊ） （ ＝ Ｑ
。
。 ，
Ｊ（ “ － ） ｌ ［ Ｉ ） ｎ ｚ ￣ １
ｌ Ｏ 十 ‘
一 ｃ ，
（） ４
定理１ 假定 Ｎ≥ ３０ ＜２０ ， ≤ｓ ，≤ ＜五 Ｕ ） Ｚ （ Ｕ ） ｄ ＋ ｃ ０ １ Ｉ ｌ 一 一 ｆ ｘ， Ｕ ） ｘ， ＋ （ ）ｌ ｌ Ｕ
ｄ ｘ － ｄ“ Ｈｆ ｘ ∈ ￣ ， （ １
这里 Ｑ是 Ｒ Ｎ≥ ３ （ ）中 具 有 光 滑 边 界 ａ 的 Ｑ
）这里 Ｆ（ “ ， ｘ，）一 Ｉｆ ｘ，）ｒ 我们 知道 问题 （） （ ｒｄ 。 １
有 区 且０ Ｑ０ 五 ）五 的正解 和泛 函 在 Ｈ５（Ｑ ）的临界 点是 一一对应 界 域 ∈ ， ≤ 一（ 。 是 ≤ ，
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第 ２ ８卷 第 ３ 期
２０ ０ ８年 ５月
孝 感 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩ ＡＯＧ ＡＮ Ｕ ＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｖ０ Ｉ ８ Ｎ０． Ｌ ２ ３ Ｍ ＡＹ． ０ ８ ２ ０
一类含有Sobolev—Hardy临界指数的边界奇异椭圆方程正解的存在性
则 问 题 （ ） 少 有 一 个 － 解 ｕＥＨ ｎ ） 足 Ｉｕ） １至 ， Ｆ （ 满 （ ＜
ｃ鲁 ｄ 』Ｉ Ｉ（ ＋ （ （ 』 ｘ ｖ ｘ） ｘｄ ２ 。 （Ａ假设（ ） 成立， ＜ ‘ 和（ ０ 一 １。则， １ Ｉ 充分小 当Ｉ ⅡＩ
正 解 的存 在 性 。 其 中 ， ｎｃＲ （ ３） 有 Ｃ 边 界 ａ 并且 ｏ∈ Ｎ 具 Ｑ
， ＜ｓ ２ ｏ ＜ ＝
时问 １ 有一 解ｕ 满足Ｉ ） 题（） 至少 个正 Ｈ（ Ｑ） （ ＜ ｕ
ｂｕ ｄｒ ｉｇ ｌｒｙ ０∈ａ ． ｈ ｅｎ ｎｓ ｆ ｏｉｖ ｏｕｉｎ ｓ ｒｖｄｂ ａｉｔ ｎ ｌ ｔｏ ｎ ｘｍｕ ｒ ｃ ｌ。 ｎ ｅｓｌｔ ｎｉ ｐ ｐ ｌｒ ｅ ． ｏｎ ａｙｓ ｕａｉ （ ｎ ｔ ｓ Ｔ ｅｂｉｇ ｅｓ ｓ ｉｅｓｌｔ ｓ ｏ ｅ ｙｖ ｒ ｉ ａ ｈｄａ ｄｍａｉ ｍ ｐ ｎ ｉ ｅ ａ ｄｔ ｏｕｉ ｏ ｕａｉ ｄ ｑ） ｏｐ ｔ ｏ ｉｐ ａ ｏ ｍｅ ｉ ｐ ｈ ｏ ｓ ｚ
． ，
最 ， 多 者 究 含 算 一一 （ 和 近 很 学 研 了 有 子 △ Ｉ Ｉ ｏ。 ＜） ｓ 。 ｘ
青 ＿＿ ｘ ｘ 叶，Ｅ “ｕ Ｑ
ｄ ｘｕ ， ｛ ＋（） ０ ＝ ｆ ｄＶ
弧 ０＿ ｉ ＜ ｘ＜一 Ｉ ｘ ＝
…
是 ｓ ｂ ｌ － ａｄ 。 ０ ｖ Ｈ ｒｙ ｅ
ｘａ ｛ ∈ ０）
Ｓｂ ｌ ｏｏｅ 界 指 数 （＝ 或 Ｈ ｒｙ Ｓ ｂｌｖ临界 指 数 （≠０） 奇 异 椭 ｖ临 ｓ０） ａｄ — ｏｏ ｅ ｓ 的 圆方程解的存在性 （ 见参考文献［ ６ １ ］ｏ在 文献［］ 作者研究 了问 — ６ｄ Ｐ， 题 （ ）得 到如 下定 理 ： １，
一类具有变号权的渐进线性椭圆方程解的存在性
ｉ ：０ ．
∈ａ
在论文 ［ — ］ 中已经有 了大量 的研究 。在这些 研究 １ ３
中 ，为 了证 明 （ Ｓ 序 列 的 有 界 性 ，作 者 加 了 一 个 “ Ｐ） 厚 性 ” 条 件 ， 即 ＋ ｎ 一 ＝ 。 后 来 Ｈ＿ Ｂ ｒｓ ｃｉ Ｉ ｅ ｔ ｋ、 ． ｅｙ Ｃ ｐ ｚｏ ｏ ｅ ａ和 Ｌ ｉ ｎｅｇ在 中 去 掉 了 这 个 条 件 ， ａｕｚ —Ｄ ｌ ｔ ｃｔ Ｎｒ ｂｒ ｅ
Ⅱ∈ （ Ｒ ）和
那 么
） ｄ Ｉ ｘ
在 中将这两种方法结合 了起来 ，他们证 明了当 Ａ ＜Ａ ＜ Ａ 的时候 ，方程 （ ． ）至少存在 一个非平凡 的解 ，其 中 １２
Ａ 是 一△算子在 ０狄利克雷边值 条件下 的第 ｋ个特征值 。 。
受 的 启 发 ，Ｄ ｏｔ 等 在 和 中 研 究 了全 空 间 上 ．Ｃ ｓ ａ
关 键 词 ： 变号 权 ；渐 进 线 性 椭 圆方 程 ；Ｃ ｒｍ 条 件 ；存 在 性 。 ｅａ ｉ 中 图 分 类 号 ：Ｏ ７ ．５ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ ３ ０ （０ ０ １ ０ ６— ３ １５ ２ ６ １— ８ Ｘ ２ １ ） ２—００ ０
１ 引 言 ．
余 晓辉
（ 深圳 大学 高级研 究 中心 ，广 东 深圳
５ ８６ ） １ ０ ０
摘
要 ：研 究 渐 进 线 性 椭 圆方 程
ｒ ＝ Ｑ（ ／ ｕ ， 一△ ） ）
∈ ，
Ｉ ０ ｕ： ，
ａ 力
解的存在性具有重要的意义 ，其 中 ｎ是 中的光滑有界 区域 ， ≥ ｌ。假 定非线性 项， ｕ Ｎ （ ）在 原点超 线性 ， 在 无穷远点渐进线性增 长， ）为一 变号的 函数。将证 明在 适 当的条件 下，方程至 少存在一个非平凡的解 。 ａ（
非线性分析和半线性椭圆型问题
非线性分析和半线性椭圆型问题科学中的许多问题是通过非线性偏微分方程来描述的，然而这些微分方程是很难求解的，利用拓扑和变分形成的非线性分析方法却能够解决这些问题。
本书就是由拓扑方法和变分方法组成的求解半线性椭圆型问题的非线性分析方法。
书中论述了分岔理论、界点理论和椭圆型偏微分方程等基本问题，给出了偏微分方程研究领域的最新研究成果。
全书由五大部分组成。
第一部分预备，主要有微分学、函数空间、Nemitski算子和椭圆型方程；第二部分拓扑方法，主要内容有分岔理论、分岔的定义和必要条件、Lyapunov-Schmidt约化、单特征值的分岔、Brouwer拓扑度及其属性、Brouwer不动点定理、Leray-Schauder拓扑度及其在椭圆型方程中的应用、Leray-Schauder不动点定理、Krasnoselski分岔定理、拓扑度的全局性质、同伦不变性的改进及其在具有下解和上解的边值问题中的应用、Rabinowitz全局分岔定理、渐近线性椭圆型问题的正解和分岔；第三部分变分方法之一，主要叙述了Hilbert空间和Banach空间上的泛函极值点的存在性、梯度、线性特征值、约束临界点、微分流形、余维数为1的流形、自然约束、次水平集变形、最速下降流、变形与紧性、Palais-Smale条件、约束极小值的存在性及其在超线性Dirichlet问题中的应用、鞍点和极小一极大方法、山路定理及其应用、环绕定理、Pohozaev恒等式；第四部分变分方法之二，包含的内容有Lusternik-Schnirelman类、Lustemik-Schnirelman定理、对称流形偶泛函的临界点、Krasnoselski亏格、临界点的存在性、偶无界泛函的多重临界点及其在Dirichlet边值问题中的应用、上的半线性椭圆型方程的径向解、具有临界指数的边值问题、具有凹凸非线性项的椭圆型问题、Morse理论、代数拓扑的基本内容、Morse不等式、变分算子的分岔和山路界点的Morse指数；第五部分是五个附录，第一个附录给出了椭圆型问题解的对称结果、分类和先验性估计；第二个附录是集中紧支性原理，给出了P.L.Lions在无紧支性的情况下所得到的结果及其在半线性椭圆型问题的应用；第三个附录是R上的分岔问题，叙述了R上在特征值存在的条件下的分岔问题、本质谱产生的分岔；第四个附录是理想流体中涡流环，给出了问题的描述和全局存在性结果；第五个附录是扰动方法，了扰动法在椭圆型问题中的应用、非线性SchrtMinger方程的半典型状态、奇异扰动Neumann问题和偶泛函的扰动。
具有非线性奇异项和变指数的拟线性椭圆问题解的存在性
具有非线性奇异项和变指数的拟线性椭圆问题解的存在性初颖;贾小宁【期刊名称】《长春理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【摘要】In this paper,we proved the existence of the solutions for the Dirichlet boundary value problem of quasilin-ear elliptic equation with singular term and variable exponent. Firstly, we constructed an approximation problem, using Sobolev embedding theorem and the supremum and infimum of the variable exponent to overcome difficulties arising from singular term, thus we prove the boundedness of the solution sequence for the approximation problem, then we solved the difficuties caused by p-Laplace operator by selecting the suitable test functions and a priori estimate tech-nique, and with the help of the boundedness of solution sequence for the approximation problem, the sufficient condi-tions of the existence of solutions for this problem are obtained. By contrast,the approximation method we used in this paper is better than the upper and lower solution method in the past.%针对于具有奇异项和变指数的拟线性椭圆方程Dirichlet边值问题,给出了证明该问题解的存在性的方法.首先构造一个逼近问题,利用Sobolev嵌入定理和变指数的上下确界,克服了来自奇异项和变指数的困难,证明了逼近问题解序列的有界性,然后通过选取适当的检验函数和先验估计技巧克服了来自p-Laplace算子的困难,再借助于逼近问题解序列的有界性,得到了该问题解存在的充分条件.通过对比,采用的逼近方法要优于以往常用的上下解方法.【总页数】4页(P123-126)【作者】初颖;贾小宁【作者单位】长春理工大学理学院,长春 130022;长春理工大学理学院,长春130022【正文语种】中文【中图分类】O175.2【相关文献】1.具有变号非线性项的奇异三点边值问题正解的存在性和不存在性 [J], 闫宝强2.具有非线性奇异项的半线性椭圆方程解的存在性 [J], 初颖;孙艳;高文杰3.一类具奇异项和梯度项的拟线性椭圆方程正解的不存在性 [J], 景元萍;郭斌;张永胜4.具有凹凸非线性项和变号位势函数拟线性椭圆系统解的多重结果 [J], 储昌木; 唐春雷5.具有奇异项的拟线性椭圆型方程组无穷多弱解的存在性(英文) [J], 胡业新因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理
§荔囊关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理张辉(广东外语外贸大学南国商学院广东广州510545)[摘要】证明一个关于方程以Ⅳ=I ⅣI ”1扯非平凡解的存在性的定理，拓宽了现有的定理[关键词]弱解半线性中围分类号；0175．29文献标识码：^文章编号：1871—7597(2008)1210131-01众所周知，如下的半线性椭圆方程f —缸：训r 1。
柚Ⅳ=0D 葡Q教育科学(1．1)如果虑如下的函数y(砷=嘉(R2一k 一卅2)。
我们知道它是如下Poissi on 方程Q 是一个有界的星型区域，且边界足够光滑，则方程的解青如下的结论：结论1：若l <尸<兰去，则方程(1．1)存在非平方的解，若p>!号，疗一Z。
甩一2则方程(1．1)只有平凡解。
【l 】从这个事实中，我们知道方程(1．1)的解和P 的取值范围有关，而P 的取值范围又和定义域所在的维数有密切的关系。
通过研究，我们发现当维数很大的时候在一定的条件下，方程解的存在性具有独立性，即不依赖P 。
在本文我们将证明如下一个结论；假设ocR 。
是一个有界区域，且边界足够光滑oc 峨(‰，R 1)={工∈彤肛一而1<对，并且我们取酬(锄=扣∈日1(固p=o ，鲫aQ )，则我们有如下的定理：定理：若存在一个常数A >0。
使得卜(J)I ≤名．V uO )∈州(Q)。
则方程(1，1)存在非平凡的解M (D E 州(Q )．我{『]知道，对于r 等三，由椭圆方程的￡2(Q)理论知道A-a 是紧算子．我们令H (u)=-A 1I ul 川“，则胃：纠(Q )_州(Q )是连续的，我们考的解：-&u ：T2m l丑‘引理I ：我们取矽=pE 碰(五)陋(曲is 丑z ∈Q 】，则H (W )cW ，且日(∥)有界证明：任取u(x)e 矿，则只要m 足够大，有△(片0)一U )=-A “I Ⅳ．p4u+2彤m l ≥o ，而(H 伽)一u)Im =-U [柚SO 由椭圆方程的性质，我们知道抒(")s u ，施．由于【厂(力s 名，所以有日(矽)cW ，显然牙(矿)是有界的．由Ⅳ(聊r-H 2(∥)n 础(矿)和引理1，我们知道矿还是紧的，E 自Schauder 不动点定理知道H ：W -÷矿存在一个不动点．参考文献：[I ]L ．C ．E vanstPar ti alD i ff e r e nt ia lEqua t i ons ．Spr i n ger ，N e ．Y ork ，1998．[2]伍卓群、尹景学、王春鹏。
一类半线性椭圆型方程正解的存在性
鲁东大学学报(自然科学版) Ludong University Journal(Na tural Science Edition)2008,24(4):309—312 收稿日期223;修回日期22 作者简介吴淑君(—),女,山东潍坊人。
助教,硕士,研究方向为偏微分方程及其应用。
T 5325663,2j @y 。
一类半线性椭圆型方程正解的存在性吴淑君1,王际科2(1.中国石油大学(华东) 数学与计算科学学院,山东东营257061;2.鲁东大学 学报编辑部,山东烟台264025)摘要:在适当条件下,运用不动点定理结合上、下解的方法证明了一类半线性椭圆型方程全局正解的存在性,并在无穷远处趋于任意预先给定的正数.关键词:半线性椭圆型方程;上、下解方法;Schuauder 2Tych onoff 不动点定理中图分类号:O175125 文献标志码:A 文章编号:167328020(2008)0420309204 不动点定理是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分,它与近代数学的许多分支有着紧密的联系,特别是在建立方程(包括各类线性或非线性的、确定性或非确定的微分方程、积分方程以及各类算子方程)解的唯一性问题中起着重要的作用[1].近年来,利用不动点定理解决方程问题已成为偏微分发展的新方向,并取得了很多成果[2—5]. 对于如下的半线性椭圆型方程-Δu =p (x )u α+q (x )u -β-h (x )u γ,x ∈R N,N ≥3,(1)其中α∈[0,1),β>0,γ≥1,p (x),q (x),h (x)≥0均为θ2H ¨older 连续函数,θ∈(0,1),p (x)+q (x)>0,x ∈R N,其全局正解的存在性问题已被广泛地研究[6—7].方程的全局正解是指函数u (x )∈C 2,θloc (R N)>0,并在R N上逐点满足此方程,方程(1)的一般形式为-Δu =f (x,u ).(2)文[8]指出当p >0,k (x )∈C θlo c (R N )时,存在一个集合I ,对于任意的η∈I ,方程-Δu =k (x )u p(x ∈R N,p 为常数)(3)有满足l i m |x|→+∞u (x)=η(4)的正整体解存在.文[9]证明当p ∈(0,1)或p <0时,方程(3)存在有界正解;文[10]证明了在适当的条件下,对于足够大的正常数η,方程(2)存在满足式(4)的全局正解;文[11]在区域ΩΑR N上解决了问题(1)、(4).当p ≥1时,方程(3)称为超线性型;当p ∈(0,1)时,称为下线性型;当p <0时,称为奇异型.方程(1)含有上述的三种类型,故解的存在性问题不能由上面的文献得出.本文研究了利用Schuaude r 2Tychonoff 的不动点定理来解决方程(1)满足(4)的解的问题. 引理1[12] (i)0<m ≤1,a,b >0且均为常数,则有|a m -b m |≤2|a -b |a1-m-b1-m;(ii)m >1,a,b ≥0且均为常数,则有|am-b m |≤2m|a -b |(am -1-bm -1). 引理2[13] 对于方程(2),设f(x,s)是定义在R N ×(0,+∞)上的函数,关于变量s 是局部θ2H ¨olde r 连续,且对于所有的x 关于s 是局部L ipschitz 连续的.如果存在函数v ,w ∈C 2(R N ),使得对任x ∈R N ,成立Δv(x)+f (x,v(x))≤0,(5)Δw (x)+f (x,w (x))≥0,(6)v (x )≥w (x )>0,:2008092:20081017:1981el :028081E mai l :wu s h 310 鲁东大学学报(自然科学版)第24卷 则方程(2)存在全局正解u(x),并满足w(x)≤u(x)≤v(x),x∈R N. 称函数v(x)为方程(2)在R N上的一个上解,若v∈C2(R N)并且满足不等式(5);称w(x)为方程(2)在R N上的一个下解,若w∈C2(R N)并且满足不等式(6). 定理 设η>0是任一给定的正常数,方程(1)如果满足(H1)0≤h(x)≤p(x)ηα-γ+q(x)η-β-γ,x∈R N;(H2)1N-2∫+∞0t(p3(t)+q3(t))d t=A<+∞,其中p3(t)=m ax|x|=tp(x),q3(t)=m ax|x|=tq(x),则方程(1)存在满足(4)的全局正解. 证明 定义集合Y={y(t)∈C[0,+∞):η≤y(t)≤η+CA},其中常数C=m ax{η,η-β,(1 +η+A)α1-α}.易见,集合Y是一个闭凸集. 记f(x,u):=p(x)uα+q(x)u-β,定义算子J:Y→C[0,+∞),J y(t)=η+1N-2∫+∞t rf(r,y(r))d r+1N-2t2-N∫t0sf(s,y(s))d s,t>0η+1N-2∫+∞0rf(r,y(r))d r,t=0. (i)首先证明J Y<Y. Πy(t)∈Y,有η≤y(t)≤η+CA,根据J的定义,当t>0时,J y(t)=η+1N-2∫+∞t rf(r,y(r))d r+1N-2t2-N∫t0sf(s,y(s))d s=η+1N-2∫+∞t rf(r,y(r))d r+1N-2∫t0rf(r,y(r))d r-1N-2t2-N∫t0s N-3∫s0rf(r,y(r))d r d s=η+1N-2∫+∞0rf(r,y(r))d r-t2-N∫t0s N-3∫s0rf(r,y(r))d r d s≤η+1N-2∫+∞0t(p3(t)(η+CA)α+q3(t)η-β)d t.根据C的取法,C≥η-β,C1α-η-CA=C(C1-αα-A)-η≥C(1+η)-η>0,即C>(η+CA)α.所以对于R>0,J y(t)≤η+1N-2∫+∞0t(p3(t)(η+CA)α+q3(t)η-β)d t≤η+C1N-2∫∞0t(p3(t)+q3(t))d t=η+CA.易知,J Y(t)≥η(0≤t≤R).对于任意的y(t)∈Y有η≤J y(t)≤η+CA,所以J y∈Y. (i i)然后证明J在Y上连续. 设{y m(t)}是Y中的序列,按照Y中的拓扑收敛于函数y(t)∈Y,即对于任意的R>0,都有m ax 0≤t≤R |ym(t)-y(t)|→0,m→+∞,|J ym (t)-J y(t)|=1N-2∫+∞t r[f(r,y m(r))-f(r,y(r))]d r+1N-2t2-N∫t0s[f(s,y m(s))-f(s,y(s))]d s≤1N-2∫+∞t r|f(r,y m(r))-f(r,y(r))|d r+1N-2t2-N∫t0s|f(s,y m(s))-f(s,y(s))|d s.由于r|f(r,y m(r))-f(r,y(r))|≤2r(p3(t)(η+CA)α+q3(t)η-β)≤2r C(p3(t)+q3(t)),以及∫+∞0r(p3(r)+q3(t))d r=A(N-2)<+∞,根据控制收敛定理以及引理,ΠR>0,{J y m(t)}在[0,R]上一致收敛于J y(t).按照Y中的拓扑,{J y m(t)}收敛于J y(t),因此J是连续的. (i ii)最后证明集合J Y是列紧的. Πy()∈Y,都满足η≤y()≤η+t J t CA. 第4期吴淑君,等:一类半线性椭圆型方程正解的存在性311 |J y ′(t )|=|t 1-N∫t 0sN -1f (s,y (s ))d s |≤|∫t 0f (s ,y (s ))d s |≤∫t[p 3(t )(η+CA )α+q 3(t )η-β]d t ≤C∫t[p 3(t )+q 3(t )]d t .ΠR >0,J Y 在[0,R ]上是一致有界且等度连续的,根据A rze la 2A scoli 定理,J Y 在[0,R ]上是列紧的. 证明集合J Y 是Y 上的列紧集,即要证明J Y 中的任意序列{Jw i (t )}都包含一个子序列,该子序列按照规定的拓扑收敛于Y 中的一个元素. 根据上面的论证,{Jw i (t )}在[0,1]上是列紧的,从而存在子序列,记为{Jw 1i },一致收敛于函数y 1∈{Jw i (t )}<Y,即Jw 1i (t )→y 1(t ),i →∞,Πt ∈[0,1].同样{J w 1i }在[0,2]上一致收敛且等度连续,所以存在子序列{J w 2i }在[0,2]上一致收敛于函数y 2∈{Jw i (t)}<Y ,即J w 2i (t)→y 2(t),i →∞,Πt ∈[0,2].由于{J w 2i }是{Jw 1i }的子序列,因此在[0,1]上y 1≡y 2. 利用同样的方法,可以找到满足下列性质的序列:{y k }:y k (t )=y 1(t ),Πt ∈[0,1];y k (t )=y 2(t ),Πt ∈[0,2];…;y k (t )=y k -1(t ),Πt ∈[0,k -1]. 在任意有界区域[0,R ]上,根据Cauchy 收敛准则,序列{y k (t)}是一致收敛的,即存在函数y (t)∈C [0,+∞),使得li m k →+∞y k (t)=y (t)在[0,R ]上一致成立,并且y (t)=y k (t)(t ∈[0,k ]).由于η≤y k (t )≤η+CA,所以η≤y (t )≤η+CA,y (t )∈Y . 采用Cantor 对角线法,选取{Jw i (t)}的子序列{J w i i (t)},下面证明这个子序列在Y 中收敛.按照Y 中的拓扑,只要在任意有界区域[0,k 0](k 0∈N)上证明收敛性成立即可. Πε>0,取N =k 0,当i >k >N 时,Πt ∈[0,k 0],|Jw ii (t )-y (t )|≤|Jw ii (t )-Jw k0i (t )|+|Jw k0i (t )-y (t )|. 当i >N 时,{J w i i (t)}是{J w k 0i (t)}的子序列,而{Jw k 0i (t)}在[0,k 0]是一致收敛的序列,从而Πt ∈[0,k 0]<[0,k ],|Jw i i (t )-Jw k 0i (t )|<ε/2.{Jw k0i (t )}在[0,k 0]上一致收敛于函数y k 0(t ),而y (t )=y k 0(t ),Πt ∈[0,k 0].当i >N 时,Πt ∈[0,k 0]<[0,k ],|Jw k0i (t )-y (t )|<ε/2.联合上面的两个不等式可以得到,当i >N 时,Πt ∈[0,k 0],|Jw i i (t )-y (t )|<ε. 以上证明了Schauder 2Tuchnoff 不动点定理的条件全部满足,所以J 存在不动点y (t )∈Y ,即J y (t )=y (t ). 下面证明li m t →+∞y (t)=η.当t >0时,η≤y (t)=η+1N -2∫+∞trf (r,y (r))d r+1N -2t2-N∫tsf (s,y (s))d s =η+1N -2∫+∞rf(r ,y (r))d r -t2-N∫t 0s N -3∫srf (r,y (r))d r d s,li m t →+∞t2-N∫tsN -3∫srf (r,y (r))d r d s =li mt →+∞∫t 0s N -3∫srf (r ,y (r ))d r d stN -2=li mt →+∞tN -3∫t 0rf (r,y (r ))d r(N -2)tN -3=1N -2∫∞rf (r,y (r ))d r .所以li m t →+∞y (t )=η. 定义函数u (x)=y (|x|),x ≠0,η+1N -2∫+∞0rf (r ,y (r ))d r,x=0,容易验证函数u (x)为方程-Δu =p (x)uα+q (x )u-β满足条件的全局正解,也是方程的上解.根据引理2即可得到结论.参考文献:[] 张石生不动点理论及应用[M ]重庆重庆出版社,[] 刘玉仁,许兴业一类半线性椭圆型方程的整体解[]广州师范学院学报,5,()—31..:1984.2.J .1992:287. 鲁东大学学报(自然科学版)第24卷 312[3] 杨作东,陆启韶.一类拟线性椭圆型方程正整体解的存在性[J].北京航空航天大学学报,2001,27(2):217—220.[4] 杨海涛.R N上一类半线性椭圆型方程的存在唯一性及渐近性态[J].数学物理学报,1997,17(4):403—411.[5] 朱熹平.R N上半线性椭圆型方程的多解性[J].数学学报,1989,32(1):20—34.[6] Lair A V,Shaker A W.Cla ssica l and weak s oluti ons of a si ngular se m ilinea r elli p tic p r oble m[J].J M ath Anal App l,1997,211(2):371—385.[7] Bachar I M ED,Noutreddine Zeddine.On the existence of positive s oluti ons for a class of sem ili near e lli ptic equati ons[J].Nonlinear Ana l ysis,2003,52(4):1239—1247.[8] Nait o M.A note on bounded positiv e entire s oluti ons of qua silinea r elli p tic equa tions[J].H iroshi m a M ath J,1984,14(1):211—214.[9] Ku wano N.On bounded positi ve entire s olutions of qua silinear e lli ptic equati ons[J].Hir oshi ma M ath J,1984,14(1):125—158.[10] Y AO M iao2xi n.Positive s oluti ons to singular sem ilinea r e llipti c equati ons of m ixed type[J].Transati ons of Tianji n Unive r2sity,1995,1(1):38—41.[11] HabibMA^AG L I,M alek Z R I B I.Existence and e sti m ents of sol uti ons for singular n onlinea r elli p tic p roblem s[J].J Ma th A2na l App l,2001,263(2):522—542.[12] Y ANG Zu o2dong.Existence of positive bounded entire soluti ons for quasilinea r ellipti c equations[J].App lied Ma t hema ticsand Co mput a tion,2004,156(3):743—754.[13] Nait o M.A n o t e on bounded positi ve entire s o l uti on sof se m ilinea r ellipti c equati ons[J].H iroshi m a M ath J,1984,14(1):211—214.Ex istence of Posit i ve Soluti on s to a K i nd of Sem ili n ea r E lli p ti c Equa tio n sWU Shu2jun1,WA N G J i2ke2(1.School ofM athematics and C omp utat i onal Sci ence,Ch i na University of Petr o l eum,Dongying257061,China;2.Edit o rial Depart ment,Ludong Un i versity,Yantai264025,Ch i na)Abstrac t:S om e suitable conditi ons are given,f or any positive constant given in advance,by the aid of fix2point theore m and super2sub s olution m ethod,guaranteeing the existence of an entire positive solution a se m ilinea r e lliptic equati on that tends to the given constant at infinity.Key wor ds:se m ilinear elli p tic equati on;supe r2sub s oluti on m ethod;Schuauder2Tychonoff fixed2point theore m(责任编辑 司丽琴)。
一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性
一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性一、什么是半线性椭圆方程半线性椭圆方程是由一个项组合而成的一类“椭圆”方程，这些项中可能含有线性，二次项，以及不变的项或常数项（常数项比较少）。
一般情况下，这个方程的表达式可以写成“Ax2+Bx+C=D”的形式。
其中“A”，“B”，“C”和“D”均为实数，而A不能为0，为了使该方程形成一个完整的“椭圆”形状，A应当比B和C大。
二、半线性椭圆方程的解半线性椭圆方程的解在不同情况下是不同的。
1、当系数“A”，“B”，“C”和“D”都是实数时，半线性椭圆方程的解为：x=(-B±√(B2-4AC))/2A。
2、当“A”，“B”，“C”为实数，而“D”为负数时，半线性椭圆方程的解为：x=(-B±√(B2+4AC))/2A。
3、当“A”，“B”，“C”为实数，而“D”为零时，半线性椭圆方程的解为：x=-B/2A 。
三、水平集的凸性水平集的凸性是指水平集如果是凸的，也就是说任意两点的连线都在集合里，那么集合的图形就被称为凸集合。
在这里，建立在半线性椭圆方程上的水平集也需要满足这样的一个条件，那就是一类半线性椭圆方程组成的水平集必须是凸集，否则就会出现问题。
特别要注意的是，半线性椭圆方程的A不能为0，为了保证水平集是凸的，这是必须要考虑的一个条件。
四、总结在本文中，我们讨论了一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性，其中，一类半线性椭圆方程定义为由一个项组合而成的一类“椭圆”方程；半线性椭圆方程的解取决于系数“A”，“B”，“C”和“D”；水平集的凸性则指水平集如果是凸的，任意两点的连线都在集合里，而一类半线性椭圆方程组成的水平集也必须是凸的，否则就会出现问题。
本文为大家介绍了一类半线性椭圆方程的解及水平集的凸性，其中一类半线性椭圆方程包含有多项，解的情况也有几种，并且要特别注意水平集的凸性。
希望大家在以后的学习当中能够认真的去理解半线性椭圆方程，从而熟悉掌握这类方程的解法和设置水平集的凸性。
有界洞型区域内半线性椭圆方程组的正解
没有 正解 （ 见定理 ２ ； 而将 文献 ［ —３ 中上 述结 论推 广 到 了方 程组 问题 （ ） ． 文 还给 ）从 １ ］ １上 本 出 了 问题 （ ） 的 满 足 唯 一 性 的 条 件 （ 定 理 ３ ， 及 两 个 应 用 实 例 ． 后 讨 论 了 问 题 （ ） １解 见 ）以 最 １ 中
收 稿 日 期 ：０ １ Ｙ－４ ２ ０ ４２ １ 基 金 璃 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７ ０ ０ ； 赣 省 教 委 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ９１１２ 国 ｔ０ １￣ ） 安 ９ｊ ４ ） ０
作 者葡 介 ： 金 标 ． ．９ ４年生 ， 钟 男 １６ 在读 博 士 生 ． 副教 授 ．
Ｌ Ｇ ＦＣ ＩＡ Ｆ ｂ Ｏ ＹＯ ＨＮ ｅ ２００ ２
有 界 洞 型 区 域 内半 线 性 椭 圆 方 程 组 的 正 解
钟金标 ， 陈祖 墀
（ 国科 学 技 术 大 学 数 学 系 ． 徽 台 肥 ２Ｏ ２ ） 中 安 ３Ｏ ６
摘 要 ： 用 不 动 点 定 理 ， 明 了几 种 半 线 性 椭 圆型 方 程 组 在 洞 型 区域 内正 解 的存 在 性 利 证 与 不 存 在 性 以及 唯 一 性 ， 给 出两 个应 用 实例 并
，
式作下 述变换 ： （） ５
『 ＝ ， ， ＋ｂ ， ＋ｂ ） ∈ ｎ 一△ （ ｈ ｈ，
则 问 题 （ ）转 换 为 １
｛ 一盘 ＝ ｇ（ ＋ ｂ ＋ ｂ ） ∈ ｎ ， ｈ， ｈ，
＝ ＝
（） ６
０，
同于文献 ｉ １～ ３ ］的方 法 ， 明 了问 题 （ ）存 在 有 界 正 解 （ 定 理 １ ； 而 对 问 题 （ ）中 方 程 证 １ 见 ）进 １
【国家自然科学基金】_半线性椭圆方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
科研热词 推荐指数 正解 2 半线性椭圆方程 2 非平凡解 1 集中紧性引理 1 环绕定理 1 正解存在的必要条件 1 椭圆方程 1 梯度项 1 最优控制 1 必要条件 1 带变号扰动的半线性椭圆方程 1 对称山路定理 1 存在性 1 多重解 1 变分泛函 1 变分方法 1 临界sobolev指数 1 不适定 1 robin边值条件 1 pohozaev恒等式 1 hardy-sobolev临界指数 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 正解 hardy-sobolev临界指数 集中紧性原理 山路引理 非径向 紧性 混合dirichlet-neumann边界 椭圆方程 无界域 对偶喷泉定理 存在性 奇异半线性椭圆方程 基态解 半线性椭圆方程组 半线性椭圆方程 上-下解方法 pohozaev等式 hardy项 allee效应 (ps)c*条件
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2011年
2012年 科研热词 推荐指数 序号 正解 2 半线性椭圆方程 2 ekeland变分原理 2 （ps）c条件 1 （ps）c condition 1 非负解 1 非线性方程 1 非平凡解 1 线性化方程 1 稳定解 1 瀑布型多重网格 1 椭圆方程 1 最优控制问题 1 最优性条件 1 山路引理 1 对称山路引理 1 奇异椭圆方程 1 半线性椭圆问题 1 半线性椭圆微分方程 1 加权hardy-sobolev临界指教 1 人口扩散模型 1 临界带权hardy-sobolev指数 1 不动点定理 1 sobolev-hardy不等式 1 positive solution 1 mountain pass lemma 1 lipschitz连续 1 ekeland variational principle 1 critical weighted hardy-sobolev 1 exponents (ps)c-条件 1
半线性椭圆方程多解的存在性
Ｆ ＝｛ ｙ∈Ｃ ［ ，］Ｘ ： （ ）＝０ ’ １ （０１ ，） ｙｏ ， （ ）＝Ｙ ， ， ｝ Ｒ满足非光滑 Ｐ Ｓ条件 ， ．． 则有 ｃ ｉ ： （ ） 并 ｎ ｆ ， ｘ， ｇ
（ ） 称为 在点 ∈Ｘ ） 处的广义方向导数． 容易 证明 。 ＾ 是次线性的、 （ ） ； 连续的． 从而 由 Ｈ ｈ ａｎ— Ｂ ｎ ｃ 定 理 的推论 可 知 。 ；）是 却 （ ａａｈ （ ＾ ）的 支 撑
半 线性 椭 圆方 程 多解 的存 在 性
韩摘颖， 李春来自雷 （ 江 师 范 大 学 数 学 系 ， 江 金 华 ３ １０ ） 浙 浙 ２０ ４
要： 文中在非光滑 临界点理论的基础上 ， 用变分 法证 明了一类具有非光滑位势的半线性 椭圆方程 多重解的存在性． 运
关键词 ： 共振 ； 非光滑 Ｐ Ｓ 条件 ； ．． 局部环绕定理； 山路 引理 中图分类号 ： １５ ２ 文献标志码 ： 文章编号 ：０ ８— ９ ４ ２ｏ ） ８— ０ １ ３ ０ ７ ．５ Ａ １０ ７ ７ （ｏ ８ ０ ０ ２ —０ 收稿 日期 ：０ ８一Ｏ ２０ １—１ Ｏ
＜ ’
ａ（ ）： ｛ ＝ ’∈Ｘ’：
，
ｈ ＞ｓ 。 ；） Ｖｈ ∈Ｘ｝ （ ＾， ，
却 （ 是 凸 的 ， 且 是 ’的有界子集 ． 却 ） 并 称
２ ＼ ｝ ｛ 是 的广 义次微分． 并且若 是局部 Ｌｐ 泛函， ｉ． 则有 （ ＋ ） 却 ＋ ， 和 凸时 当
： Ｒ 如果 ｛ ｝ Ｘ ．
ｃ ， （ ） ｛ ｝ 有界 ，
ｍ （ ： ｉ｛１’ｌ． ’∈却（ ｝ Ｏ ９ ） ＝ｍｎ ｌ １ ： ） 蕴涵
｛｝ 有收敛子列 ， 则称泛函 满足非光滑的 Ｐ Ｓ条 ．． 件． 下 面的定 理来 自张恭 庆 Ｈ 是 Ａ ｂ ｅｉ ａｉ ｍ ｍｓｔ —Ｒ ｂ— ｔ
波动方程的椭圆波问题
波动方程的椭圆波问题波动方程是物理学和数学领域中重要的研究对象之一。
它是描述波动现象的数学模型，包含时间和空间两个变量。
在波动方程的研究中，椭圆波问题是一个经典的问题，其解法对于深入理解波动方程的性质和应用具有重要意义。
椭圆波问题指的是具有椭圆型偏微分方程的波动方程问题。
具体来说，它是形如下面的方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \Delta u + c(x,t)u = f(x,t)$$其中，$u(x,t)$是待求函数，$a$为常数，$\Delta$表示Laplace算子，$c(x,t)$和$f(x,t)$分别为已知的函数。
椭圆波问题的求解需要借助于散射理论和衰减估计等数学方法。
在这里，我们将介绍其中的一种解法——半空间问题的适定性理论。
半空间问题指的是波动方程在无限大半空间上的解。
它是一个重要的实际问题，在地震勘探、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
下面，我们将从适定性理论的角度出发，介绍半空间问题的一些本质性质。
首先，我们需要定义什么是解的“适定性”。
在数学上，适定性是指方程是否存在唯一的解，并且这个解的存在和唯一性能够通过某种数学方法进行证明。
对于波动方程来说，通常会采用分离解法、变分法、最优控制和衰减估计等方法来证明其适定性。
在半空间问题中，适定性的证明可以通过把具体的边界条件代入波动方程，再利用某些数学技巧来证明方程的解的存在唯一性。
具体来说，我们可以将半空间割成一个“下接口”和一个“上接口”，从而将半空间问题转化为了界面问题。
通过一些技巧性的推导，我们可以得到界面问题的解的存在唯一性，从而推出半空间问题的解的存在唯一性。
另外，半空间问题中的适定性与边界条件的特征有着密切的关系。
事实上，边界条件的性质直接影响着半空间问题存在解的性质。
比如，如果边界条件是自由边界，那么半空间问题存在唯一的弱解；而如果边界条件是固定边界，那么半空间问题只有强解，并且其存在性和唯一性需要借助于衰减估计或者瞬发条件等额外条件来证明。
半正定矩阵充要条件的证明
半正定矩阵充要条件的证明半正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如优化问题、信号处理、图论等。
本文将证明半正定矩阵的充要条件，以帮助读者更好地理解和应用半正定矩阵的性质。
正文一、半正定矩阵的定义在证明半正定矩阵的充要条件之前，我们先回顾一下半正定矩阵的定义。
给定一个n阶方阵A，如果对于任意的n维非零列向量x，都有x^T * A * x >= 0成立，那么A就是半正定矩阵。
二、充分条件的证明我们先证明半正定矩阵的充分条件，即如果A是半正定矩阵，则A的所有特征值均大于等于0。
假设A是半正定矩阵，那么对于任意的n维非零列向量x，都有x^T * A * x >= 0成立。
我们取x为A的特征向量，假设对应的特征值为λ，即Ax = λx。
将这个特征向量代入不等式中，有x^T * A * x = x^T * (λx) = λ(x^T * x)。
由于x是非零向量，所以x^T * x > 0。
因此，x^T * A * x >= 0成立，即λ(x^T * x) >= 0，由此可知λ >= 0。
由于x是A的特征向量，我们可以得出结论：A的所有特征值均大于等于0。
三、必要条件的证明接下来我们证明半正定矩阵的必要条件，即如果A的所有特征值均大于等于0，则A是半正定矩阵。
假设A的所有特征值均大于等于0，我们需要证明对于任意的n 维非零列向量x，都有x^T * A * x >= 0。
由于A的特征值均大于等于0，那么存在一个n阶正交矩阵P，使得P^T * A * P = D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。
我们取x = Py，其中y是一个n维非零列向量。
将x代入不等式中，有x^T * A * x = (Py)^T * A * (Py) = y^T * (P^T * A * P) * y = y^T * D * y。
由于D是对角矩阵，所以y^T * D * y = λ_1 * y_1^2 + λ_2 * y_2^2 + ... + λ_n * y_n^2，其中λ_i是D的对角线上的元素。
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庞善状 ，曾宪 忠
（ 湖南科技大学 数学学 院 ，湖南 湘潭 ４ １０ １ ２ １）
摘
要：研 究了一类带变号扰动的半线性椭 圆方程正解存在的必要条件 ，获得 了对于合适的参数，如果半
线性 椭 圆方程 都存 在 满足 一 定条件 的 正解 ，那 么 ，对应 的 线性 方程 存在 非 负解 。
收 稿 日期 ：２ － ９ ０ ００—７
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０ 引 言
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当， ０ （） 时的情况 国内外已有较多研究 ，并且得到了
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第 ２卷 第 １ ４ 期
２１ ００年 １ 月
湖
南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ． ４ＮＯ １ １ ． ２ Ｊ ｎ ０１ ａ ．２ ０
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ Ｔｅ
带变号扰动的半线性椭圆方程正解存在的必要条件
（∈ Ｑ） ａ ，
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…
（ 没 有正解 ，并且 能验证 当 分小时式 （ ）的正 ２） 充 １
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其 中 ｃ Ｒ 是 有 解 光 滑 区 域 ， Ｎ ３ Ｐ＞Ｉ ＞０ ， ， ，
有 足够 小 的 ，式 （ １）都 存 在 正解 并 且有 １个 正解
而对／ 在 上变号的问题研究较少，只有文献［ ７ （） ６ ］ — 对 ０ ＝ 时的方程作了一些研究。由￣ｆ ｘ 在 上变号 Ｚ （）
的 问题在工 程 问题 中普遍存 在 ，因此 ，仔细 地研究 这
（ ， …方 ～下 程
关键词 ：带 变号扰动 的半 线性椭 圆方程 ；正 解存在 的必要 条件 ；变分 泛 函 ；Ｐ ｈ ｚ ｅ ｏ ｏ ａ ｖ恒等式 中图分类号 ： ． Ｏ１５２ ７ ５ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： ３ ９ ３ （０ ００ －０ ５ ０ １７ — ８ ３２ １）１０２ —４ ６
Ｐａ ｇ Ｓ ｎ ｈ ｎ ｎ ｈａ ｚ ｕａ ｇ， Ｚｅ ｇ Ｘｉｎ ｈ ｎ ｎ ａｚ ｏ ｇ
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ Ｍａ ｍａｉ ，Ｈｕ ｍ＇ Ｕ ｉ ｅｓ ｙｏ Ｓ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｘｉ ｇ ａ ｕ ａ １ ２ １ ｈｎ ） ｏ ｈ ｃ ｎ ，， ｎ ｖ ｒ ｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｌ ｌ ， ｉ ａ ｔｎＨ ｎ ｎ４ １ ０ ，Ｃ ｉａ ｎ
１ｖ ｖ （ （ ∈ａ２ ｆ ＝ ＋ ｘ ∈ ） — ｆ ） ｇ Ａ （ Ｑ） ， ｖ ：０ 。
（ ２）
类 问 题是 有意 义 和价值 的。
本 文 主要研究 下 列半线 性椭 圆方 程正 解存 在 的必 要条件 ：
存在较多变号函数ｆ ｘ 使得式 （ ） （） １ 存在正解， 而式