郭保军(优质课二项式定理)

n
C a
k nk n
b C b
k
n n n
k nk n
bk的特点：
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列； b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
0 2 ③二项式系数规律：Cn、C1、Cn、 、Cn n n
课本习题1、2、3 习题1.3A组2、3、 5
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b
2 2 2 2 3
0 1 1 0 2 2 0 3 3
1 1 1 1 2 1 2 3
（a b) C a C a b C a b C ab C b
4 0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3
n
4 4 4
r （a b) C0an C1 an-1b Cnan-rbr Cn bn n n n
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2
尝试二项式定理的发现:
考虑b
（a b) (a b)(a b)(a b)
3
C a C a b C ab C b
二项展开式、二项式定理及相关概念
使用了什么数学思想方法？
从特殊到一般，归纳猜想的数学思想
类比
1）区别二项式系数，项的系数 2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
0 1 2 (a b) Cn a n Cna n1b Cn a n2b2
n
①项数：共n+1项
(a b) 的展开式通项T k 1 C a
10
D
）
5 10
A.
C
6 10
B. C
6 10
C.
C
5 10
D.
C
x 5 2. (1 ) 的展开式中 2
x
2
的系数为（
5 2
C
）
A. 10 其中
B. 5
C.
D.1
a 8 3.已知 ( x x ) 的展开式中常数项为1120，
a是常数，则 a =
_______ 2
这节课我们学到了哪些知识点？
x
n
例2 (1)求(1 2 x) 的展开式的第4项的二
7
项式系数与系数 解： 2 x)7 的展开式的第4项是 (1
T31 C 1
3 7
3 7 3
73
(2x)
3
3
C 2 x
35 8x
280x3
3
所以展开式的第4项的系数是280
二项式系数
C 35
3 7
1 9 例2(2)求 ( x x ) 的展开式中
2
2 2
(a b)
100
？
尝试二项式定理的发现:
（a b) a b
1
（a b) a 2ab b
2 2
2
(a b) a 3a b 3ab b 4 3 4 3 2 2 4 （a b) a a b a b ab b
3 3 2 2 3
（a b) a a 式系数规律：
0 n
C 、C 、C 、 、C
(2 x) C 2 C 2 x C 2 x C 2 x C x
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 1 3 4
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.若a=2, b=x :
n
n
n -1
n2 2
ab b
n 1
n
(a b) ? (n N )
n *
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) =
a + 2ab + b
2
a2 +ab +ba
2
+b2
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
考虑b
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。 恰有0个取b的情况有 C20种，则a2前的系数为C20
0 3 3 1 2 3 2 3 2
3 3 3
a
3
ab
2
ab
2
b
3
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
尝试二项式定理的发现:
4
（a b) (a b)(a b)(a b) a b) （
C a C a b C a b C ab C b
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3 4 4 4
探究
你会化简下面的代数式吗？
1 Cn0 ( x 1)n Cn ( x 1)n1 Cn2 ( x 1)n2 ... (1)r Cnr ( x 1)nr ... (1)n Cnn
解： 通过观察可以看出上面的代数式很象 二项展开式，通过逆向思维可以看出： n n 它是 ( x 1) 1 x 的二项展开式 即原式=
k
n k
b 叫做二项式通项，用
k
即通项为展开式的第
k项。 1
k n n k
表示， Tk 1
通项公式 Tk 1 C a
b
k
定理 (a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n
1 n1 n
2 n
r n r r n
n n n
二项式定理
0 1 k n (a b)n Cn an Cn an1b Cn ank bk Cn bn (n N * )
右边的多项式叫做 (a b) 的展开式，其中的系 数 C k k 0,1,2,, n 叫做二项式系数。
n
n
式中的 C n a
x
3
的系数
1 9 解： ( x ) 的展开式的通项是 x
k 9 9 k
1 k k k 92 k Tk 1 C x ( ) (1) C9 x x 根据题意，得 9 2k 3 则 k 3
因此，x 的系数是 (1) C 84
3 3 9
3
课堂检测：
1. ( x 1) 的展开式的第6项的系数（
a
4
ab
C
1 4
3
ab
C
1 n
2 2
ab
3
b
C
4
2 4
4 4 n n
（a b)
n
C、
C 、C
n -1 n
探求得:
（a b) C a C b
1 2
（a b) C a C ab C b 3 2 3 3 （a b) C a C a b C ab C3b
n n
4 4 4
则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数 1 3 1 为： C4 2 32 ，二项式系数为： C4 4
1 4 例1、求(2 ) 的展开式. x
1 解：不妨设 a 2, b ，再展开． x
1 4 0 4 1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 3 (2 ) C4 2 C4 2 ( ) C4 2 ( ) C4 2 ( ) x x x x 4 1 4 C4 ( ) x 32 24 8 1 16 2 3 4 x x x x