2020年考研数学一真题及答案(全)

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2020考研数学一真题及解析【完整版】

2020考研数学一真题及解析【完整版】

( x, y2
y))
|
0
3.答案:A 解析:
f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0
lim f (x, y) f (0, 0) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
x0 y0
x2 y2
即 lim f (x, y) f x(0, 0) x f y(0, 0) y 0
4 12 6
P(BAC) P(B AUC) P(B) P[B(AUC)] P(B) P(BA) P(BC) P(ABC) 1 0 1 0 1
4 12 6
P(CBA) P(C BUA) P(C) P[CU (BUA)] P(C) P(CB) P(CA) P(ABC) 1 1 1 0 1
1
2 f y 2
48y
当 x 0, y 0时.A 0.B 1.C 0
AC B2 0 故不是极值.
当x1y 1 时 6 12
A 1.B 1.C 4.
AC
B2
0.A
1
0故
1, 6
1 12
是极小值点
极小值
f
1 6
,
1 12
1 3 6
8
1 12
3
6 1 12
1 216
16.(本题满分 10 分)
x0 y0
x2 y2
n x, y, f (x, y) f x(0, 0)x f y(0, 0) y f (x, y)
n x, y, f (x, y)
lim
0 存在
( x, y)(0,0)
x2 y2
选 A.
4.设 R 为幂级数 anr n 的收敛半径,r 是实数,则( ) n1
明过程或演算步骤. 15.(本题满分 10 分)

2020年考研数学一真题及答案解析

2020年考研数学一真题及答案解析

(4)【答案】(A).
【解析】若 anrn 发散,则 r R ,否则,若 r R ,由阿贝尔定理知, anrn
n 1
n 1
绝对收敛,矛盾. 故应选(A).
(5)若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ,则
()
(A)存在矩阵 P ,使得 PA B.
(B)存在矩阵 P ,使得 BP A.
(C)存在矩阵 P ,使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点,法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
()
(A) α1 可由 α2 , α3 线性表示.
(B) α2 可由 α1, α3 线性表示.
(C) α3 可由 α1, α2 线性表示. (6)【答案】(C).
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ,故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ,
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选(A).
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
(4) 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径, r 是实数,则 n 1
()
(A) anrn 发散时, r R . n 1
(B) anrn 发散时, r R . n 1
(C) r R 时, anrn 发散. n 1

2020-数一真题答案解析

2020-数一真题答案解析
x→0
e
1 x−
1

1 ln(1 +
x)
=
lim
x→0
ln(1+ x) − ex (ex −1) ln(1+
+1 x)
=
lim
x→0
ln(1 +
x) − x2
ex
+1
2020 数学(一)真题 第 5 页 共 13 页
1 − ex = lim 1+ x = −1.
x→0 2x
(10)若
=x y =
∑ 可得
P
100 i =1
Xi
55
的近似值为
(A) 1− Φ(1)
(B) Φ(1)
(C) 1− Φ(2)
(D) Φ(2)
【答案】B.
【解析】由题意= EX 1= ,DX 1 ,
2
4
∑ E
100 i =1
= Xi X
1= 00EX
50 ,
∑ D
1= i0=01 X i
1= 00DX
25 .

∑ (C) | r | R 时, a2nr2n 发散 n=1

∑ (B) a2nr2n 收敛时, | r | R n=1

∑ (D) | r | R 时, a2nr2n 收敛 n=1
【答案】A.
(5)若矩阵 A 经初等列变换化成 B ,则
(A) 存在矩阵 P ,使得 PA = B
(B) 存在矩阵 P ,使得 BP = A
1 x2 2 0
5
= 52 ⋅
1 2
2
⋅ x5 .
(2)设函数 f (x) 在区间 (−1,1) 内有定义,且 lim f (x) = 0 ,则 x→0

2020年考研数学一真题(含完整答案)

2020年考研数学一真题(含完整答案)

x2
+
y2
=
2,方向为逆时针方向.
(17)
( 设数列 {an} 满足 a1 = 1,(n + 1)an+1 = n +
1 2
)
an.
证明:当
|x|
<
1
时,幂级数
∑∞
anxn
收敛,
n=1
并求其和函数.
√ (18) 设 Σ 为曲面 z = x2 + y2(1 ≤ x2 + y2 ≤ 4) 的下侧,f (x) 为连续函数. 计算
.

d2 y dx2
=
t=1
.
(11)

f (x)
满足
f ′′(x)
+
af ′(x)
+
f (x)
=
0(a
>
0),f (0)
=
m,f ′(0)
=
n,则
´ +∞
0
f (x)dx
=
.
(12)

f (x,
y)
=
´ xy
0
ext2 dt,则
∂2f ∂x∂y
=
(1,1)
.
a 0 −1 1
(13) 行列式 0
a
1 −1 =
,·-·O X
.r-0 X
.r-·•O X
排除 CD)'故应选 CC). (3) 【答案】A
。, + 【解析】
利用函数z=

.I 位,y)在(x
Yo)处可微的充要条件Jim 幻 -J'心 . X 汇�,Jt:,x2
- J:t:,y= t:,yZ

2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析

2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析

2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时,下列无穷小量中是最高阶的是( ).A.B.C.D.正确答案:D参考解析:2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:C参考解析:3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:A 参考解析:4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:A参考解析:5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B,则( ).A. 存在矩阵P,使得PA=BB. 存在矩阵P,使得BP=AC. 存在矩阵P,使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案:B参考解析:6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:C 参考解析:7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:D 参考解析:8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案:B参考解析:9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了正确答案:参考解析:15. 【解答题】求函数f(x,y)=x3+8y3-xy的极值.请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断:答对了答错了参考解析:。

2020年考研数学(一)真题及解析

2020年考研数学(一)真题及解析

2020年考研数学(一)真题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分. 下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1. +→0x 时,下列无穷小量中最高阶是( )A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰,可知0x +→,2301(1)~3x t e dt x -⎰, ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰,可知5202ln(1~5x dt x +⎰,0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰,可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰,0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰,可知1cos 50~x -⎰,0x +→ 通过对比,⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高,故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义,且()0lim 0=→x f x ,则( )A. 当()0lim=→xx f x ,()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ,()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时,()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时,()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时,由()0(0)lim 0x f f x →==,且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-,也即0()lim x f x x →存在,从而()0lim0=→xx f x ,故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微,()00,0=f ,()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直,则( )A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微,()00,0=f ,(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=,00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-,所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径,r 是实数,则( )A.1nn n a r∞=∑发散时,R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时,R r ≤.C.R r ≥时,1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时,1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径,所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛,所以1nn n a r∞=∑发散时,R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ,则( )A. 存在矩阵P ,使得B PA =.B.存在矩阵P ,使得A BP =.C.存在矩阵P ,使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ,存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=,得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点,法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===,即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两条线相交,得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=,故选C 7. 设A ,B ,C 为三个随机事件,且()()()41===C P B P A P ,()0=AB P , ()()121==BC P AC P ,则A ,B ,C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,其中()()2110====X P X P , ()x Φ表示标准正态分布函数,则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =,14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题:9~14小题,每小题2分,共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ,则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ,且()m f =0,()n f ='0,则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=,则1212,1a λλλλ+=-⋅=,所以两个特征根都是负的。

2020考研数学(一)答案解析

2020考研数学(一)答案解析
E ( X ) 0,
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
(15)(本题满分10分)
f ( x) 0.
x
x
综上,
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt,则

x y
(1,1)
(12)【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
,又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
(4) 设R为幂级数anxn的收敛半径,r是实数,则


n1
(A)anrn发散时,
r
R.
n 1
(B)anrn发散时,
r
R.
n 1
(C)
r
R时,anrn发散.
n 1
(D)
r
R时,anrn发散.
n 1
(4)【答案】(A).
【解析】若anrn发散,则

2020年考研数学一真题及答案(全)

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:1〜8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续,则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=,_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导,且—。

)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增,尸⑴>(3)函数/。

,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §,偏导数f; = 2xy,f; = x\f! = 2z,代入 cos af; + cos /f: + cos yf;即可.(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。

(单位:in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。

=25时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量,七为〃阶单位矩阵,则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似,8与。

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

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2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

XXX 时,下列无穷小量中最高阶是()A。

$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。

$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。

$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。

$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义,且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$,则()A。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$,$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

B。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$,$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

C。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时,$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。

D。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时,$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。

3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微,$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直,则()A。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。

B。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。

2020考研数一真题答案及详细解析

2020考研数一真题答案及详细解析

一、选择题(1)【答案】D【解析】(方法一)利用结论:若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续,且当x-o时,f位)~g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万)dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊(占)寺x故应选CD).(方法二)设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续,且当x-0时,f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小,则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小.。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立,n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一,n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】(方法一)直接法若f(x)在x=O处可导,则f(x)在x=O处连续,且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�(方法二)排除法取f (x)= {X3, X # 0,则l im f位)=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导,因为f(x)在X = 0处不连续,则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导,但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位,y)在(x 。

2020年考研数学一真题及答案(全)

2020年考研数学一真题及答案(全)

2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。

& x>0 \\ a x + b。

& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续,则 $ab=$答案:A详解:由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。

2.设函数 $f(x)$ 可导,且 $f(x)f'(x)>0$,则A) $f(1)>f(-1)$;(B) $f(1)f(-1)$;(D) $f(1)<f(-1)$。

答案:C详解:$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调,且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减,在$(0,+\infty)$ 上单调递增,所以 $f(1)>f(-1)$。

3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$;(B) $6$;(C) $4$;(D) $2$。

答案:D详解:方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$,$\cos\beta=\frac{2}{3}$,$\cos\gamma=\frac{2}{3}$,偏导数$f_x'=2xy$,$f_y'=x^2$,$f_z'=2z$,代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。

2020年考研数学一答案+解析

2020年考研数学一答案+解析
1
使 AQ1Q2 Qt B ,则 A B Q1Q2 Qt ,即 A BP ,选(B)。
(6)已知直线 L1 :
x a2 a1
y b2 b1
2 c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
2 c3 c2
相交与一
ai
点,法向量 i
bi
,
i
1, 2,3 ,则(

ci
(A) a1 可由 a2, a3 线性表示
sinx
(C) sin t2dt sin sin2 x x2 0
(D)
1cos x
sin t2 dt
sin(1 cos x)2 sin x 1 x3
0
2
经比较,选(D)
(2)设函数 f x 在区间 1,1 内有定义,且 lim f x 0, 则( ) x0
f x
(A)当 lim
4 12 6
P(ABC) P(C A B) P(C) P(C(A B))
P(ABC) P(AB C) P( A) P(A(B C))
111 P( A) P( AB) P( AC) P( ABC) = ;
4 12 6
P(ABC) P(B A C) P(B) P(B( A C))
111 P(B) P( AB) P(BC) P( ABC) = ;
Born to win
2020 全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
(1)当 x 0 时,下列无穷小量中最高阶是( )

2020考研数学一真题及答案解析

2020考研数学一真题及答案解析
为连续函数. 计算
I xf xy 2x ydydz yf (xy) 2y xdzdx zf xy z dxdy
.
【详解】将曲面 Z x2 y2 向 xoy 面投影得 Dxy
Dxy 为1
x2
y2
4
,又
Z
' x
x x2
y2
,
Z
' y
y x2 y2
I
{[ xf
(
xy)
又 G(0) G(1) 0 ,从而 G(x) 0 ,即 f (x) Mx , 0 x 1 .
因此 f(1) M ,从而 M 0 .
综上所述,最终 M 0
(20)(本题满分 11 分)
设二次型
f
x1, x2
x12
4 x1x2
4 x22
经正交变化
x1 x2
Q
y1 y2
化为二次型
,
AC A
1
B2 =3>0 0
x y
1 6 1 12
,为极小值点
f (1 , 1 ) 1 极小值为 6 12 216
(16)(本题满分 10 分)
I
计算
L
4x 4x2
y y
2
dx
x y 4x2 y2
dy
,其中
L为
x2
y2
2
,方向为逆时针方向.
【详解】补曲线 L1 : 4x2 y2 2 ,逆时针方向
(C)3 可由1 ,2 线性表示
(D)1,2 ,3 线性无关
【答案】(C).
(7)
PA
PB
PC
1 4
,
P AB
0,
P AC

2020年考研数学一真题详细答案解析

2020年考研数学一真题详细答案解析

一、选择题(1)【答案】D【解析】(方法一)利用结论:若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续,且当x-o时,f位)~g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万)dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊(占)寺x故应选CD).(方法二)设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续,且当x-0时,f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小,则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小.。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立,n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一,n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】(方法一)直接法若f(x)在x=O处可导,则f(x)在x=O处连续,且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0Xr•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�(方法二)排除法取f (x)= {X, X # 0,则l im f位)=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导,因为f(x)在X = 0处不连续,则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导,但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位,y)在(x 。

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)

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2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、选择题:1~8小题,第小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x +→时,下列无穷小量中最高阶是( )A.()201x t e dt -⎰B.0ln(1)x ⎰C.sin 20sin xt dt ⎰D.1cos 0-⎰2.设函数()f x 在区间(-1,1)内有定义,且0lim ()0,x f x →=则( )A.当00,()0x f x x →==在处可导.B.当00,()0x f x x →==在处可导.C.当0()00.x f x x →==在处可导时,D.当0()00.x f x x →==在处可导时,3.设函数()f x 在点(0,0)处可微,(0,0)(0,0)0,,,1fff n x y ⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭非零向量d 与n 重直,则()A.(,)lim 0x y →=存在 B.(,)lim 0x y →=存在C.(,)lim 0x y →=存在D.(,)lim 0x y →=4.设R 为幂级数1n nn a x ∞=∑的收敛半径,r 是实数,则( )A.1n nn a x ∞=∑发散时,||r R ≥B.1n nn a x ∞=∑发散时,||r R ≤C.||r R ≥时,1n nn a x ∞=∑发散D.||r R ≤时,1n nn a x ∞=∑发散5.若矩阵A 经初等变换化成B ,则( )A.存在矩阵P ,使得P A =BB.存在矩阵P ,使得BP =AC.存在矩阵P ,使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解6.已知直线22211112:x a y b c L a b c ---== 与直线33322222:x a y b c L a b c ---==相交于一点,法向量,1,2,3.i i i i a a b i c ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦则 A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关7.设A,B,C 为三个随机事件,且11()()(),()0()()412P A P B P C P AB P AC P BC ======,则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.5128.设12(),,,n x x x …为来自总体X 的简单随机样本,其中1(0)(1),()2P X P X x ====Φ表示标准正态分布函数,则利用中心极限定理可得100155i i P X =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑的近似值为 A.1(1)-ΦB.(1)ΦC.1(0,2)-ΦD.(0,2)Φ 二、填空题:9—14小题,每小题2分,共24分。

2020考研数学一真题及解析【完整版】

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2020考研数学一真题及解析(完整版)一、选择题:1~8小题,第小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x 0 时,下列无穷小阶数最高的是A. 0xe t 21d tB. 0xln 1+t 3d t C.sin 20sin d xt tD.1cos 30sin d x t t1.答案:D解析:A.232001~3xx t x e dt t dtB.35322002ln 1~5x x t dt t dt x C.sin 223001sin ~3xxt dt t dt x D.2311cos 3220sin ~xx tdt t dt25122025x t 5252152x2.设函数()f x 在区间(-1,1)内有定义,且0lim ()0,x f x 则()A.当0()lim 0,()0||x f x f x x x在处可导.B.当2()lim0,()0x f x f x x x在处可导.C.当()()0lim0.||x f x f x x x 在处可导时,D.当2()()0lim 0.x f x f x x x在处可导时,2.答案:B解析:0200()()()()lim 0lim 0lim 0,lim 0||x x x x f x f x f x f x x x x x00()lim 0,lim ()0x x f x f x x00()(0)()lim lim 0(0)0x x f x f f x f x x()f x 在0x 处可导 选B3.设函数(,)f x y 在点(0,0)处可微,(0,0)(0,0)0,,,1f ff x yn 且非零向量d 与n 垂直,则()A.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n B.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n C.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在d D.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x yd 3.答案:A 解析:(,)(0,0)f x y 在处可微.(0,0)0f =22(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim 0x y x y f x y f f x f yx y即2200(,)(0,0)(0,0)lim 0x yx y f x y f x f y x y,,(,)(0,0)(0,0)(,)x y n x y f x y f x f y f x y22(,)(0,0),,(,)lim 0x y n x y f x y x y存在选A.4.设R 为幂级数1nn n a r的收敛半径,r 是实数,则()A.1nn n a r发散时,||r R B.1nnn a r发散时,||r RC.||r R 时,1n nn a r发散D.||r R 时,1nnn a r发散4.答案:A 解析:∵R 为幂级数1nn n a x的收敛半径.∴1n nn a x在(,)R R 内必收敛.∴1nnn a r发散时,||r R .∴选A.5.若矩阵A 经初等列变换化成B ,则()A.存在矩阵P ,使得PA =BB.存在矩阵P ,使得BP =AC.存在矩阵P ,使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解5.答案:B 解析:A 经初等列变换化成B.存在可逆矩阵1P使得1AP B 1111A BP P P 令..A BPB 选6.已知直线22211112:x a y b c L a b c 与直线33322222:x a y b c L a b c相交于一点,相交于一点,法法向量,1,2,3.i i i i a a b i c则A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关6.答案:C 解析:令1L的方程222111=x a y b z c t a b c即有21212121=a a x y b t b t z c c由2L 的方程得32323223=a a x yb t b t zc c由直线1L 与2L 相交得存在t 使2132t t 即312(1)t t ,3 可由12, 线性表示,故应选C.7.设A,B,C 为三个随机事件,且1()()(),()04P A P B P C P AB 1()()12P AC P BC,则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.5127.答案:D解析:()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC ()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC选择D8.设12,,,nX X X…为来自总体X 的简单随机样本,其中1(0)(1),()2P X P X x 表示标准正态分布函数,则利用中心极限定理可得100155i i P X的近似值为A.1(1) B.(1) C.1(2) D.(2)8.答案:B解析:由题意11,24EX DX1001001110050.10025i i i i E X X EX D X DX由中心极限定理1001~(50,25)i i X N∴1001001155555055(1)55i i i i X P X P故选择B二、填空题:9—14小题,每小题2分,共24分。

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全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续,则 (A) 12ab =. (B) 12ab =-. (C) 0ab =. (D) 2ab =.【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.(2)设函数()f x 可导,且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- . (B) ()()11f f <-. (C) ()()11f f >-. (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. (3)函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12. (B) 6.(C) 4.(D)2 .【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处.图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:m/s),三块阴影部分面积的数值一次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位:s),则(A) 010t =. (B) 01520t <<. (C) 025t =. (D) 025t >.【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A) TE -αα不可逆. (B) TE +αα不可逆. (C) T 2E +αα不可逆. (D) T2E -αα不可逆.【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.(6)设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似,B 与C 相似. (B) A 与C 相似,B 与C 不相似.(C) A 与C 不相似,B 与C 相似. (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似. 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.(7)设,A B 为随机事件,若0()1P A <<,0()1P B <<,则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >. (B) (|)(|)P B A P B A <. (C) (|)(|)P B A P B A >. (D) (|)(|)P B A P B A <.【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . (8)设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 . (B) 212()n X X -服从2χ分布.(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布. (D) 2()n X -μ服从2χ分布.【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = . 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.(10)微分方程032=+'+''y y y 的通解为 .【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.(11)若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关,则=a. 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. (12)幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = .【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.(13)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ,321ααα,,是3维线性无关的列向量,则()321,,αααA A A 的秩为 .【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A(14)设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ,其中)(x Φ为标准正态分布函数,则EX = . 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸...指定位置上. (15)(本题满分10分).设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数,(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- (16)(本题满分10分).求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰(17)(本题满分10分).已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定,求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①,方程①两边对x 求导得:22''33330x y y y +-+=②,令'0y =,得233,1x x ==±.当1x =时1y =,当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导:'22''''66()330x y y y y y +++=,令'0y =,2''6(31)0x y y ++=,当1x =,1y =时''32y =-,当1x =-,0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值,极大值为1,当1x =-时函数有极小值,极小值为0.(18)(本题满分10分).设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数,且(1)0f >,0()lim 0x f x x+→<.证明: (I )方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;(II )方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<,由极限的局部保号性,(0,),()0c f c δ∃∈<使得,又(1)0,f >由零点存在定理知,(c,1)ξ∃∈,使得,()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =,(0)(0)'(0)0F f f ==,()()'()0F f f ξξξ==,()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-,'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂,使得1'()0f ξ=,111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

(19)(本题满分10分).设薄片型物体S 是圆锥面22y x z +=被x z 22=割下的有限部分,其上任意一点处的密度为2229),,(z y x z y x ++=μ,记圆锥面与柱面的交线为C ; (I )求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程;(II )求S 的质量M 。

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