2017届高三数学一轮复习——数列综合(作业34)
北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列 含答案
北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数 列一、选择、填空题1、（2016年北京高考)已知{}na 为等差数列,nS 为其前n 项和，若16a=，350a a +=，则6=S _______。
.2、（2015年北京高考）设{}na 是等差数列。
下列结论中正确的是A.若021>+a a，则032>+a aB 。
若031>+a a,则021<+a aC 。
若210a a<<，则312a a a > D 。
若01<a，则()0)(3212>--a a a a3、（2014年北京高考）若等差数列{}na 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}na 的前n 项和最大.4、（朝阳区2016届高三二模）为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元。
每年销售蔬菜的收入为26万元。
设()f n 表示前n 年的纯利润(()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额）,则()f n = （用n 表示）;从第 年开始盈利.5、（东城区2016届高三二模）成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}nb 中的b 、b 、b ，则数列{}nb 的通项公式为A.12n n b -= B 。
13n n b -= C 。
22n n b -=D 。
23n n b -=6、（丰台区2016届高三一模）若数列{}na 满足*12(0,)N n n na a a n，且2a 与4a 的等差中项是5,则12n aa a 等于（A)2n（B ）21n（C ）12n (D ）121n7、(海淀区2016届高三二模）在数列{}na 中，12a=，且1(1)nn n ana ++=，则3a的值为A 。
全国版2017版高考数学一轮复习第五章数列5.5数列的综合应用课件理
个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.
提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.
【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an}的
公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则
a1 a 5 a 9 ( ) A.2 a 2 a 3 B.3
(3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,
解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求
出通项公式.
【变式训练】(2016·福州模拟)下面给出了一个三角 形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一 行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j
列数为aij(i,j∈N*),则a43=
2 2
所以An+Bn=2n3.
答案:2n3
3.(2016·保定模拟)将数列{an}中的所有项按每一
行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1
a2 a3
a4
a7
a5
a8
a6
a9 a10
„„
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,„构成的数列为{bn}, b1=a1=1. Sn为数列{bn}的前n项和,且满足
【规范解答】(1)由表知前n-1行共有
1+2+3+…+(n-1)= n n 1 项,
2 故第n行(n≥3)从左向右第 3个数为
原数列的第 即
2 n n6 答案: . 2 n2 n 6 2
n n n n6 3 2 2
2 2
项,
(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成 的等比数列的公比是q(q>0), 则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,
2017届一轮复习全国通用 数列的综合问题 课件
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第五章
热点专题突破三 数列的综合问题
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那么,当 n=k+1 时, fk+1(x)=fk(x)+xk+1 <gk(x)+xk+1
(������+1)(1+������������ ) k+1 = +x 2 2������������+1 +(������+1)������������ +������+1 = . 2
又
2������������+1 +(������+1)������������ +������+1 gk+1(x)2
=
������������������+1 -(������+1)������������ +1 , 2
令 hk(x)=kxk+1-(k+1)xk+1(x>0), 则 h'k(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1). 所以当 0<x<1 时,h'k(x)<0,hk(x)在(0,1)内递减; 当 x>1 时,h'k(x)>0,hk(x)在(1,+∞)上递增.
(������+1)(������������ +1) gn(x)= ,x>0. 2
当 x=1 时,fn(x)=gn(x). 当 x≠1 时,用数学归纳法可以证明 fn(x)<gn(x).
①当 n=2 时,f2(x)-g2(x)=-2(1-x)2<0,
所以 f2(x)<g2(x)成立. ②假设 n=k(k≥2)时,不等式成立, 即 fk(x)<gk(x).
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。
山东省高三数学理一轮复习专题突破训练：数列(含答案解析)
山东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，22a ，155S ，若}1{1nn a a 的的前n 项和为109，则n 的值为（）A ．8B ．9C ．10D ．112、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，则数列}{n a 的通项公式为3、（济南市2016届高三上学期期末）设等差数列n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S，对任意正整数n ，都有n k a a ，则k 的值为A.1006B.1007C.1008D.10094、（胶州市2016届高三上学期期末）若等差数列n a 的前7项和721S ，且21a ，则6a A.5B.6C.7D.85、（泰安市2016届高三上学期期末）设n a 是公差为正数的等差数列，若1310a a ，且1316a a ，则111213a a a 等于A.75B.90C.105D.1206、（淄博市2016高三3月模拟）在正项等比数列n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201720142015a a a a A. 3或-1 B. 9或1C. 3D. 97、（临沂市2016届高三11月期中质量检测）已知等差数列na 满足24354,10a a a a ，则它的前10项和10S _________.8、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a ，350a a ，则6=S _______..9、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2鬃?a n 的最大值为.10、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n+1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=.二、解答题1、（2016年山东高考）已知数列na的前n 项和S n =3n 2+8n ，nb 是等差数列，且1.n n n a b b （Ⅰ）求数列nb 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n nnna cb 求数列nc 的前n 项和T n .2、（2015年山东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233.nnS （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .3、（2014年山东高考）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。
高考数学一轮复习课时作业34数列求和与数列的综合应用理(含解析)新人教版
高考数学一轮复习课时作业34数列求和与数列的综合应用理（含解析）新人教版课时作业34 数列求和与数列的综合应用第一次作业 基础巩固练一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( C )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( C )A ．16B ．20C ．33D ．120解析：由已知得a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.3．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( D )A ．2n ＋1＋n －2B ．2n ＋1－n ＋2C ．2n－n －2D ．2n ＋1－n －2解析：因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n，②所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋ (2))＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.4．(2019·沈阳市教学质量监测)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 1＝2，且a 1a 5＝64，则数列{a na n －1a n ＋1－1}的前n 项和是( A )A ．1－12n ＋1－1B ．1－12n ＋1 C ．1－12n＋1D ．1－12n－1解析：∵数列{a n }为等比数列，a n >0，a 1＝2，a 1a 5＝64，∴公比q ＝2，∴a n ＝2n，a na n －1a n ＋1－1＝2n2n－12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1.设数列 {a na n －1a n ＋1－1}的前n 项和为T n ，则T n ＝1－122－1＋122－1－123－1＋123－1－124－1＋…＋12n－1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，故选A. 5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( B )A.120斤 B.125斤 C.130斤 D.136斤 解析：假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13(1－12)x ＝12×3x ；第3关收税金14(1－12－16)x ＝13×4x ；第4关收税金15(1－12－16－112)x ＝14×5x ；第5关收税金16(1－12－16－112－120)x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即(1－16)x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋1＋a n ＝2n ＋1，且S n ＝1 350.若a 2<2，则n 的最大值为( A )A ．51B ．52C ．53D ．54解析：因为a n ＋1＋a n ＝2n ＋1 ①， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1＝2n ＋3 ②，②－①得a n ＋2－a n ＝2，且a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＝4n －1，所以数列{a n }的奇数项构成以a 1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项，2为公差的等差数列，数列{a 2n －1＋a 2n }是以4为公差的等差数列，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12＋a 1－1，n 为奇数，n n ＋12，n 为偶数.当n 为偶数时，n n ＋12＝1 350，无解(因为50×51＝2 550,52×53＝2 756，所以接下来不会有相邻两数之积为2 700)． 当n 为奇数时，n n ＋12＋(a 1－1)＝1 350，a 1＝1 351－n n ＋12，因为a 2<2，所以3－a 1<2，所以a 1>1，所以1 351－n n ＋12>1，所以n (n ＋1)<2 700，又n ∈N *，所以n ≤51，故选A. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(3n －2)，则前100项和S 100等于－150.解析：∵a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝a 5＋a 6＝…＝a 99＋a 100＝－3，∴S 100＝－3×50＝－150. 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 018＝3·21_009－3.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，①∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②由①÷②得a n ＋1a n －1＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 018＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3·21009－3.9．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝－63. 解析：解法1：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16；当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32.所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.解法2：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×1－261－2＝－63.三、解答题10．(2019·贵阳市监测考试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝4，a 3－a 2＝6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1＋1T 2＋…＋1T n<2.解：(1)∵S 2＝a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝4，a 1q 2－q ＝6，∵q >0，∴q ＝3，a 1＝1，∴a n ＝1×3n －1＝3n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)证明：由(1)知b n ＝log 3a n ＋1＝log 33n＝n ，∴b 1＝1，b n ＋1－b n ＝n ＋1－n ＝1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝1的等差数列， ∴T n ＝n n ＋12，则1T n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)， ∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)<2，∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n<2.11．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知得S nn＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 而a 1＝1满足上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n(4n －3)．当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为偶数，－2n ＋1，n 为奇数.12．(2019·石家庄质量检测(二))已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n2＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4， 且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14， 设数列{a n }的公差为d ， 则有2a m ＋3d ＝14，∴d ＝2. 由S m ＝0，得ma 1＋m m －12×2＝0，即a 1＝1－m ，∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4，∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3，∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2.设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，①2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1＝2－11－2n1－2－n ×2n －1＝2n －1－12－n ×2n －1，∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12(n ∈N *)． 第二次作业 高考·模拟解答题体验1．(2019·河北名校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3，∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列，∴a n ＝3n . (2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，∴T n ＝－1×[1－－2n]1＋2＝－13[1－(－2)n]．2．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ； (2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T n K n，求证：c n ＋1>c n (n ∈N *)． 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝72，d ＝0(舍去)，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋32.又b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝4，所以b n ＝2n，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明：因为a n ·b n ＝(n ＋1)·2n，所以K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n，① 所以2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1.则c n ＝S n T n K n ＝n ＋32n－12n ＋1，c n ＋1－c n ＝n ＋42n ＋1－12n ＋2－n ＋32n－12n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n ＋1>c n (n ∈N *)． 3．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 4＝a 1q 3，得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，n ∈N *.(2)S n ＝a 11－q n 1－q＝2n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1，n∈N *.4．(2019·石家庄质量检测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又b n ＝a n n ，∴b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝121－12n －11－12＝1－12n －1，∴b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列{n2n －1}的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1 ①，12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ②， ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.5．已知S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝a 2n ＋a n ，等比数列{b n }的公比q >1，b 1＝2，且b 1，b 3，b 2＋10成等差数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ·b n ＋(－1)n·2n ＋1a n ·a n ＋1，记T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n ，求T 2n .解：(1)当n ≥2时，由题意得2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，a 2n －a 2n －1－(a n ＋a n －1)＝0，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，∵a 1>0，∴a 1＝1， ∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .由b 1＝2,2b 3＝b 1＋(b 2＋10)，得2q 2－q －6＝0， 解得q ＝2或q ＝－32(舍)，∴b n ＝b 1q n －1＝2n .(2)由(1)得c n ＝n ·2n＋(－1)n·2n ＋1n n ＋1＝n ·2n ＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1，∴T 2n ＝(1×2＋2×22＋…＋2n ·22n)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－13＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1＝(1×2＋2×22＋…＋2n ·22n)＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12n ＋1，记W 2n ＝1×2＋2×22＋…＋2n ·22n， 则2W 2n ＝1×22＋2×23＋…＋2n ·22n ＋1，以上两式相减可得－W 2n ＝2＋22＋ (22)－2n ·22n ＋1＝21－22n1－2－2n ·22n ＋1＝(1－2n )·22n ＋1－2，∴W 2n ＝(2n －1)·22n ＋1＋2，∴T 2n ＝W 2n ＋⎝⎛⎭⎪⎫－1＋12n ＋1＝(2n －1)·22n ＋1＋12n ＋1＋1. 6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2na n，数列{b n }的前n 项的和为S n ，试求数列{S 2n －S n }的最小值；(3)求证：当n ≥2时，S 2n ≥7n ＋1112. 解：(1)由条件a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n a n ，得a n ＋1n ＋1＝2·a n n ，又a 1＝2，所以a 11＝2， 因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成首项为2，公比为2的等比数列．a n n＝2·2n －1＝2n ，因此，a n ＝n ·2n . (2)由(1)得b n ＝1n，设c n ＝S 2n －S n ，则c n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以c n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，从而c n ＋1－c n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0， 因此数列{c n }是单调递增的，所以(c n )min ＝c 1＝12.。
北京市2017届高三数学(理)综合练习34 Word版含答案
北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分， 考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=+Z x x A x ,42211的元素个数有（ ） A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．无数个2. 若()014455513a x a x a x a x ++⋅⋅⋅++=+，则2a 的值为（ ） A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x3. 若a a 3,4,为等差数列的连续三项，则921a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ） A ． 1023B ．1025C ．1062D ． 20474. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是 （ ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥，则α⊥nD ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥ 5.已知命题(1)∃ α∈R ，使sin cos 1αα=成立；(2) ∃ α∈R ，使()β+α=β+αtan tan tan 成立；(3) ∀α，β∈R ，有()βα-β+α=β+αtan tan 1tan tan tan 成立； (4)若B A ,是ABC ∆的内角，则“B A >” 的充要条件是“B A sin sin >”．其中正确命题的个数是 （ ） A ． 1B ． 2C ． 3D ．46.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（ ）7. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}654321，，，，，=S .令事件{}5,3,2=A ,事件{}65421，，，，=B ，则()B A P 的值为（ ） A ． 53B ．21 C ．52 D ．518. 如图抛物线1C ： px y 22=和圆2C : 42222p y p x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中0>p ，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则CD AB ⋅的值为 （ ）A ． 42pB ． 32pC ． 22pD ．2p第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的值域是 . 10. 若i 是虚数单位，则832i 8i 3i 2i +⋅⋅⋅+++= . 11.如图，D C B A ,,,为空间四点,ABC △是等腰三角形，且o 90=∠ACB ,∆ADB 是等边三角形.则AB 与CD 所成角的大小为 .12. 如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ， 则圆O 的半径等于 ．13.数列721,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有5个a ，2个b ()b a ≠，则不相同的数列共有 个.A ． ()x x x f ln 2+=B ． ()x x x f ln 2-=C ．()x x x f ln +=D ．()x x x f ln -=DBAAEOBPCD14. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题： ①1cos =θρ与曲线y y x =+22无公共点； ②极坐标为 (23，π43)的点P 所对应的复数是-3+3i ； ③圆θ=ρsin 2的圆心到直线01sin cos 2=+θρ-θρ④()04>ρπ=θ与曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0相交于点P ,则点P 坐标是1212(,)55. 其中假命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共13分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο，相距10海里C 处的乙船.（Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，求()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ=()R x ∈的值域.16. （本小题共13分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， （Ⅰ）求这个组合体的表面积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为1111D C B A ABCD -，其中BA B A 11为正方形.（i ）求证：D C AB B A 111平面⊥；北2010 A B ••C（ii ）设点P 为棱11D A 上一点，求直线AP 与平面D C AB 11所成角的正弦值的取值范围.17. （本小题共13分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；(Ⅱ)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.18. （本小题共13分）设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对于所有的正整数n ,有12+=n n a S ．(I) 求1a ，2a 的值；(II) 求数列{}n a 的通项公式；（III ）令11=b ，k k k a b )1(122-+=-，kk k a b 3212+=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n b 的前12+n 项和12+n T ．19. （本小题共14分）已知函数()xxx f ln =. （I ）判断函数()x f 的单调性；（Ⅱ）若=y ()x xf +x1的图像总在直线a y =的上方，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()x f 与()3261+-=x m x x g 的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值.20.（本小题共14分）已知0>p ，动点M 到定点F ⎪⎭⎫⎝⎛0,2p 的距离比M 到定直线p x l -=:的距离小2p .（I ）求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设B A ,是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，0OA OB ⋅=uu r uu u r,求AOB ∆面积的最小值；（Ⅲ）在轨迹C 上是否存在两点Q P ,关于直线()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得2BC =202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC =107. ……………………………………5分（Ⅱ）∵710120sin 20sin ︒=θ， ∴sin θ =73∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()ϕ+=+x x x sin 75cos 74sin 73∴()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-75,75. ……………………………………13分 16. （本题满分13分）(Ⅰ)=表面积S 104421210810828822⨯⨯π+⨯π⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=π+56368. ………4分(Ⅱ)（i ）∵长方体1111D C B A ABCD -∴BA B A AD 11平面⊥ ∵BA B A B A 111平面⊂∴B A AD 1⊥又∵BA B A 11是边长为8的正方形 ∴11AB B A ⊥ ∵A AD AB =⋂1∴D C AB B A 111平面⊥. …………………………9分（ii ）建立直角坐标系xyz D -，则()0,0,10A ,()8,0,m P∴()8,0,10-=m ∵D C AB B A 111平面⊥∴()8,8,01-=B A 为平面D C AB 11的法向量()()64102428641064sin 22+-=⋅+-==θm m∵[]10,0∈m∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈θ22,41822sin . …………………………13分 17. （本题满分13分）解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：64141412121=⨯⨯⨯.………5分(Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：()649434321214=⨯⨯⨯==ξP ()64242434121212434321215=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==ξP()64226==ξP ()6487==ξP ()==ξ8P 64141412121=⨯⨯⨯分布列为：……………………………13分18. （本题满分13分）解： (I) 当1=n 时，1211+=a a ，∴()0121=-a ，11=a当2=n 时，11222+=+a a ，∴212=+a ，32=a ;……………3分 (II) ∵12+=n n a S ，∴()214+=n n a S()21114+=--n n a S ，相减得：()()0211=--+--n n n n a a a a∵{}n a 是正数组成的数列，∴21=--n n a a ，∴12-=n a n ； …………………8分（Ⅲ）()[]()()[]()242312111123131++-++++-++=+a a a a b T n +⋅⋅⋅+()nn a 32+=1+()()()()[]nn n S 1113332122-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=1+()()()()()()111113131322-----+--+nn n =()2182321nn n -++-+. …………………13分 19.（本题满分14分） 解：（Ⅰ）可得'21ln ()xf x x -=. 当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数. ……4分 （Ⅱ）依题意， 转化为不等式xx a 1ln +<对于0>x 恒成立 令1()ln g x x x=+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是(1)+∞，上的增函数， 当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()g x 是()1,0上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是()1,∞-. …………………8分（Ⅲ）转化为m x x x -+=3261ln 2，x y ln =与m x x y -+=32612在公共点00(,)x y 处的切线相同由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=323113261ln 000200x x m x x x∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代人第一式，即有65=m . (4)20.（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵动点M 到定点F 与到定直线2px -=的距离相等 ∴点M 的轨迹为抛物线，轨迹C 的方程为：px y 22=. ……………4分（Ⅱ）设()()2211,,,y x B y x A∵0OA OB ⋅=uu r uu u r∴02121=+y y x x ∵2221212,2px y px y == ∴2214p x x = ∴()()222222211221144AOBSOA OB x y x y ∆==++uu r uu u r =()()2221212241px x px x ++ =()()[]21221212214241x x p x x x px x x +++ ≥()[]212212122142241x x p x x x px x x +⋅+=416p ∴当且仅当p x x 221==时取等号，AOB ∆面积最小值为24p . ……………9分（Ⅲ）设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在轨迹C 上 ∴4243232,2px y px y ==两式相减得：()()()4343432x x p y y y y -=+-∴pk y y x x p y y 22434343-=--=+∴pk y -=0∵()00,y x D 在()02:≠⎪⎭⎫⎝⎛-=k p x k y m 上 ∴020<-=px ，点()00,y x D 在抛物线外 ∴在轨迹C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. ……………14分。
2017年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2017年高考数学试题分项版—数列（解析版）一、选择题1．(2017·浙江，6)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件1．【答案】C【解析】方法一∵数列{an}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．故选C.方法二∵S4＋S6＞2S5?S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)?a6＞a5?a5＋d＞a5?d ＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．故选C.2．(2017·全国Ⅰ理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )A．1 B．2 C．4 D．82．【答案】C【解析】设{an}的公差为d，由得解得d＝4.故选C.3．(2017·全国Ⅰ理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A．440 B．330 C．220 D．1103．【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推．则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意知，N>100，令>100?n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n.设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440.故选A.4．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏4．【答案】B【解析】设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B.5．(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为( )A．－24 B．－3 C．3 D．85．【答案】A【解析】由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2.所以S6＝6×1＋＝－24.故选A.二、填空题1．(2017·江苏，9)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.1．【答案】32【解析】设{an}的首项为a1，公比为q，则解得所以a8＝×27＝25＝322．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则________.2．【答案】【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由得∴Sn＝n×1＋×1＝，＝＝2.∴＋＋…＋＝2＝2＝.3．(2017·全国Ⅲ理，14)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.3．【答案】－8【解析】设等比数列{an}的公比为q.∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，①a1(1－q2)＝－3.②②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.∴a1＝1，∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.4．(2017·北京理，10)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.4．【解析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，由b4＝b1q3，得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1.三、解答题1．(2017·全国Ⅰ文，17)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．1．解(1)设{an}的公比为q，由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．2．(2017·全国Ⅱ文，17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.2．解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.3．(2017·全国Ⅲ文，17)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．解(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减，得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，所以{an}的通项公式为an＝.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知＝＝－，则Sn＝－＋－＋…＋－＝.4．(2017·北京文，15)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.4．解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q，因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.5．(2017·天津文，18)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．5．解(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.又因为q＞0，所以q＝2.所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn.由a2n＝6n－2，得Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.上述两式相减，得－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16，所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.6．(2017·山东文，19)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.6．解(1)设{an}的公比为q，由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，则cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.7．(2017·浙江，22)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，(1)0＜xn＋1＜xn；(2)2xn＋1－xn≤；(3)≤xn≤.7．证明(1)用数学归纳法证明xn＞0.当n＝1时，x1＝1＞0.假设n＝k时，xk＞0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，与假设矛盾，故xk＋1＞0，因此xn＞0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，因此0＜xn＋1＜xn(x∈N*)．(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)．f′(x)＝＋ln＞0(x＞0)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，所以xn≥.由≥2xn＋1－xn得－≥2＞0，所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故xn≤.综上，≤xn≤(n∈N*)．8．(2017·江苏，19)对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．8．证明(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”．(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{an}是等差数列．9．(2017·北京理，20)设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1,2,3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．9．(1)解：c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，所以bk－nak关于k∈N*单调递减．所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以{cn}是等差数列．(2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)．所以cn＝①当d1＞0时，取正整数m＞，则当n≥m时，nd1＞d2，因此，cn＝b1－a1n，此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．②当d1＝0时，对任意n≥1，cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2,0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2,0}－a1)．此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列．③当d1＜0时，当n＞时，有nd1＜d2，所以＝＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.对任意正数M，取正整数m＞max，故当n≥m时，＞M.10．(2017·天津理，18)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．10．解(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，③4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，④③－④，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，得Tn＝×4n＋1＋.所以，数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.11．(2017·山东理，19)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y ＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.11．解(1)设数列{xn}的公比为q.由题意得所以3q2－5q－2＝0，由已知得q＞0，所以q＝2，x1＝1.因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2.①又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，②①－②得－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1＝＋－(2n＋1)×2n－1.所以Tn＝.。
2017高考一轮复习教案(有答案)-数列的综合应用
第五节 数列的综合应用数列的综合应用能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题．知识点 数列的实际应用问题 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是前n 项和S n 与S n ＋1之间的递推关系．必备方法 解答数列应用题的步骤： (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤用框图表示如下：[自测练习]1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴1－2n 1－2≥100，∴n ≥7.答案：B2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________． 解析：由于凸n 边形的内角和为(n －2)π， 故2π3n ＋n (n －1)2×π36＝(n －2)π. 化简得n 2－25n ＋144＝0.解得n ＝9或n ＝16(舍去)． 答案：93．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6考点一 等差、等比数列的综合应用|在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝12，a 3＝54，数列{a n ＋1－3a n }是等比数列．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n －1是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：∵a 1＝2，a 2＝12，a 3＝54， ∴a 2－3a 1＝6，a 3－3a 2＝18. 又∵数列{a n ＋1－3a n }是等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝6×3n －1＝2×3n ，∴a n ＋13n －a n3n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n －1是等差数列．(2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n －1是等差数列，∴a n 3n －1＝a 130＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝2n ×3n －1.∵S n ＝2×1×30＋2×2×31＋…＋2n ×3n －1，∴3S n ＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2n ×3n .∴S n －3S n ＝2×1×30＋2×1×3＋…＋2×1×3n －1－2n ×3n＝2×1－3n1－3－2n ×3n＝3n －1－2n ×3n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫n －12×3n ＋12.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．1．(2016·贵州七校联考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．(1)求a n 和b n ；(2)若a n <a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧q 2(3＋3d )＝36，q (2＋d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－23，q ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝13(5－2n )，b n ＝6n －1.(2)若a n <a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.考点二 数列的实际应用问题|为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以{a n }的前n 项和S n ＝128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－32＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， {b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2a . 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1＋400n ＋n (n －1)2a . (2)若计划7年内完成全部更换，则S (7)≥10000，所以256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10000， 即21a ≥3082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.解决数列应用题一个注意点解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，要求a n 还是S n ，特别是要弄清项数．2．某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年SO 2的年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：823≈0.9505，923≈0.9559解：(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列， 所以y ＝5×9.3＋5×(5－1)2×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43.5万吨． (2)由已知得，2012年的SO 2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1－p 的等比数列． 由题意得9×(1－p )8<6，由于0<p <1， 所以1－p <823，所以1－p <0.9505，解得p >4.95%.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围为(4.95%,1)．考点三 数列与不等式的综合问题|(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1≤a na n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *)． [证明] (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ， 故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈[1,2]，即1≤a na n ＋1≤2. (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1， 所以S n ＝a 1－a n ＋1.① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得1≤1a n ＋1－1a n ≤2， 所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12(n ＋1)≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *)．②由①②得12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *)．数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．3．(2016·云南一检)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .(1)证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小．解：(1)∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n ，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n (n －1)2＝n 22－3n .(2)由(1)知：b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72.∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0， ∴a n ≤S n ＋7.6.数列的综合应用的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考四川卷)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[思路点拨] 由S n ＝2a n －a 1，得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，再通过a 1，a 2＋1，a 3成等差数列确定首项a 1＝2是解决(1)的切入点；由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以T n ＝1－12n ，然后解不等式即可．[规范解答] (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．所以a ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.(2分)又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)． 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n .(6分) (2)由(1)得1a n ＝12n .所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .(8分)由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n >1000. 因为29＝512<1000<1024＝210， 所以n ≥10.(10分) 于是，使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.(12分) [模板形成][跟踪练习] (2015·湖北七市联考)数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意得(1－a 2)2＝a 1(a 3＋1)，即⎝⎛⎭⎫1－12a 12＝a 1⎝⎛⎭⎫14a 1＋1， 解得a 1＝12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 设{b n }的公差为d ，又⎩⎪⎨⎪⎧ T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，即⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，d ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，d ＝0(舍)，∴λ＝12.(2)由(1)知S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴12S n ＝12－⎝⎛⎭⎫12n ＋1≥14，① 又T n ＝4n 2＋4n ，1T n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<14，② 由①②可知1T 1＋1T 2＋…＋1T n <12S n .A 组 考点能力演练1．(2015·杭州二模)在正项等比数列{a n }中，22为a 4与a 14的等比中项，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．6D ．4解析：因为{a n }是正项等比数列，且22为a 4与a 14的等比中项，所以a 4a 14＝8＝a 7a 11，则2a 7＋a 11＝2a 7＋8a 7≥22a 7·8a 7＝8，当且仅当a 7＝2时，等号成立，所以2a 7＋a 11的最小值为8，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116解析：由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d,20＋2d ，较小的两份为20－d,20－2d ，由已知条件可得17(20＋20＋d ＋20＋2d )＝20－d ＋20－2d ，解得d＝556，∴最小的一份为20－2d ＝20－2×556＝53，故选A. 答案：A3．(2016·豫南十校联考)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：在f (x )·f (y )＝f (x ＋y )中令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )f (1)，又a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a n ＋1＝12a n ，所以数列{a n }是首项和公比都是12的等比数列，其前n 项和S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ∈⎣⎡⎭⎫12，1，故选择C. 答案：C4．已知在等差数列{a n }中，a 1>0，d >0，前n 项和为S n ，等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 4，前n 项和为T n ，则( )A ．S 4>T 4B ．S 4<T 4C ．S 4＝T 4D ．S 4≤T 4解析：法一：设等比数列{b n }的公比为q ，则由题意可得q >1，数列{b n }单调递增，又S 4－T 4＝a 2＋a 3－(b 2＋b 3)＝a 1＋a 4－a 1q －a 4q ＝a 1(1－q )＋a 4⎝⎛⎭⎫1－1q ＝q －1q (a 4－a 1q )＝q －1q(b 4－b 2)>0，所以S 4>T 4. 法二：不妨取a n ＝7n －4，则等比数列{b n }的公比q ＝3a 4a 1＝2，所以S 4＝54，T 4＝b 1(1－q 4)1－q ＝45，显然S 4>T 4，选A.答案：A5．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n 的最小值为( )A ．2B ．16 C.114D.32解析：设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114.答案：C6．(2016·兰州双基)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析：由题意，得(a 1＋3×2)2＝(a 1＋2)(a 1＋7×2)，解得a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n .答案：n 2＋n7．(2015·高考湖南卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.答案：3n －18．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.解析：设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ， 则a n ＝⎝⎛⎭⎫12n，由题意知⎝⎛⎭⎫12n <10%， ∴n ≥4. 答案：49．已知f (x )＝2sin π2x ，集合M ＝{x ||f (x )|＝2，x >0}，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a 2n ＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.解：(1)∵|f (x )|＝2，∴π2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝2k ＋1，k ∈Z .又∵x >0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝1a 2n ＋1＝1(2n ＋1)2＝14n 2＋4n ＋1<14n 2＋4n ＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14－14(n ＋1)<14， ∴T n <14得证．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n . 解：(1)∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)， ∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列， ∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ， ∴S n ＝12n. 将S n ＝12n代入a n ＝－2S n ·S n －1， 得a n＝⎩⎨⎧ 12， (n ＝1)，12n －2n 2，(n ≥2).(2)证明：∵S 2n ＝14n 2<14n (n －1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n (n ≥2)， S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝⎛⎫1－12＋…＋14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝12－14n； 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. B 组 高考题型专练1．(2015.高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)． 2．(2015·高考安徽卷)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标． (1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n . 解：(1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 所以数列{x n }的通项公式x n ＝n n ＋1. (2)证明：由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫342…⎝⎛⎭⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14. 当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －12n 2＝(2n －1)2(2n )2>(2n －1)2－1(2n )2＝2n －22n ＝n －1n ， 所以T n >⎝⎛⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n. 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n. 3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2， 因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n 1 ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.。
2017届高考数学大一轮复习 专题3 数列综合题的解答课件 文 北师大版
[例1] 设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn} 的前n项和Sn.
【审题】 关键点：①公比为正数；②等比数列
【转化】 (1)求出基本量后，直接求an. (2)采用分组转化法求和
所以 an＝45an－1＋r(500－an－1)， 故 an＝45－ran－1＋500r.
(2)因为 r＝130，且选 A 套餐的学生人数保持不变，故 an＝12an －1＋150＝an－1，
解得 an－1＝a1＝300. (3)an－k是等比数列，an－k＝45－r(an－1－k)，得 an＝45－ran －1＋15＋rk，故15＋rk＝500r，得 k＝255r＋001r；因为 k∈[250,300]， 故 250≤255r＋001r≤300，所以15≤r≤130.
专题三 数列综合题的解答
数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型， 数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考考查学生数学综 合素质的良好素材，是数十年来高考试题中的一棵常青树．其命 题不仅常与不等式交汇，还与函数、方程、复数等相联系，同时 还与三角、立体几何密切相关．数列在实际问题中也有着广泛的 应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其 中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高 等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点．
【反思】 解决此类题目仅靠单一知识点，无异于杯水车薪， 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟 它在解题中的重要作用
探究三
数列实际应用问题
数列作为一种特殊的函数，是高考考查学生数学综合素质的
良好素材，数列在实际问题中也有着广泛的应用，如增长率、银
名师导学2017届高考数学一轮总复习第五章数列第34讲数列的综合应用课件文
1 1 (2) 证 明 ： ＝ n ＝ an·ln bn＋1 （2n＋2）· ln 2 1 2n（n＋1）· ln 2 1 1 1 ＝ ·n－n＋1 ， 2ln 2
1 1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋ … ＋ － Tn＝ n n＋1 2 2 3 2ln 2 1 1 1 － ＝ ， n ＋ 1 2ln 2 1 1 由 0< <1，则 Tn< . 2ln 2 n＋ 1
第34讲 数列的综合应用
【学习目标】 1．数列综合题
【基础检测】 1.已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝x2 －2x＋3 的顶点是(b，c)，则 ad 等于( B ) A.3 B.2 C.1 D.－2
【解析】∵曲线的顶点是(1，2)，∴b＝1，c＝2， 又∵a，b，c，d 成等比数列，∴ad＝bc＝2.
2n－1 2n＋1 1 3 5 则 Sn＝ 2＋ 3＋…＋ n ＋ n＋1 ， 2 2 2 2 2
1 1 1 2n＋1 1 3 两式相减得： Sn＝ ＋222＋23＋…＋2n－ n＋1 ， 2 2 2
2n＋5 ∴Sn＝5－ n ， 2 ∴Sn<5.
二、数列与三角的综合问题 x 例 2 设函数 f(x)＝ ＋sin x 的所有正的极小值 2 点从小到大排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式； (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn，求 sin Sn.
－
知： 2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n(n＋1)(2n－3)，① 所以 2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)n(2n －5).② ①－②得 bn＝3n－4，所以{bn}为等差数列. 故点列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)共线，直 线方程为 y＝3x－4.
2017高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)(word版可编辑修改)
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生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”。
若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。
1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法。
2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法。
4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.四、典型例题分析【题型5】 构造法：1）构造等差数列或等比数列例5 设各项均为正数的数列的前n 项和为,对于任意正整数n ，都有等式：{}n a n S 成立，求的通项.n n n S a a 422=+{}n a n a 解：，n n n S a a 422=+⇒112142---=+n n n S a a ∴nn n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+----，∵，∴。
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：数列.doc
江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练数列一、填空题1、（2016年江苏高考）已知{a n }是等差数列，S n1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .2、（2015年江苏高考）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________。
3、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，2682a a a +=，则6a 的值是 ▲4、（南京市2016届高三三模）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．5、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ．6、（南通市2016届高三一模）设等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若15,342==S S ，则6S 的值为7、（苏锡常镇四市2016届高三一模）设数列{a n }是首项为l ，公差不为零的等差数列，S n 为 其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n }的公差 为 。
8、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．9、（镇江市2016届高三一模）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．10、（常州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1249a a +=，3456a a a a +++＝40，则7899a a a ++的值为11、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则1321b b b +⋯++的值为 12、（南京、盐城市2016届高三上期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲13、（无锡市2016届高三上期末）对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：1()n n n b a a n N *+=-∈，且1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =14、（扬州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲15、（扬州中学2016届高三3月质检）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝ .二、解答题1、（2016年江苏省高考）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C DD S S S +≥.2、（2014年江苏高考）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列， （1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。
各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：数列 含答案
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 2、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,,234nL . ① 第二步：将数列①的各项乘以2n，得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a L . 则1223341n n a a a a a a a a -++++=L ．3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考） 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为( )A.4B.11C.2D. 124、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则105S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ．335、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知数列}{n a 与}{n b 满足)(32*∈+=N n b a n n ，若}{n b 的前n 项和为)13(23-=nn S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 .6、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考） 已知等差数列{}n a 前9项和为27，()1099=8=a a ，则A ． 100 B. 99 C. 98 D. 977、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos1b b a a +-⋅的值是（ ）A.12B.2C.12-D.2-8、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）n n n C B A ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n C B A ∆的面积为n S ，n=1,2,3,…，若11c b >，1112a c b =+，n n a a =+1，21nn n a c b +=+，21nn n a b c +=+，则 A.{S n }为递增数列 B.{S n }为递减数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））数列{}n a 满足143a =，()()*111n n n a a a n N +-=-∈，且12111n nS a a a =+++…学科网，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{}0 1 2，， B ．{}0 1 2 3，，， C.{}1 2， D ．{}0 2， 10、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{11+n a }是等差数列，则a 4=( ) （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）6111、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．12、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）已知数列{}n a 满足：112(2)n n n a a a n -+=+≥，11=a ，且2410a a +=，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2183n n S a ++的最小值为（A ）4（B ）3（C ）264（D ）13313、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）等比数列{a n }的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=LA ．12B ．10C ．8D ．32log 5+ 14、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）数列n n n n n n a a a S S n a 的通项公式为则且项和为的前}{,12,}{-== 二、解答题 1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）已知数列{a n }满足111,(1)(1)!.n n a a n a n +==+++(Ⅰ)求证：数列!n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭学科网是等差数列，并求{a n }的通项公式； (Ⅱ)设11++=n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2、（莆田市2017届高三3月教学质量检查） 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，1413,,a a a 成等比数列. （1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)(3)n n n b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：512n T <.3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）在数列}{n a 中，1,111+•==+n nn a c a a a （c为常数，*N ∈n ），且521,,a a a 成公比不为1的等比数列. （1）求证：数列}1{na 是等差数列；并求c 的值； （2）设1+=n n n a ab ，求数列}{n b 的前n 项和为.n S4、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1122log ,S n n n n n b a a b b b ==+++L ，求使1262n n S n ++>g 成立的正整数n 的最小值．5、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝n 2－3n .（I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n ＝1S n ＋4n ，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N *），当T n ＞20162017 时，求n 的最小值.6、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考） 已知等差数列{}n a 满足：1=2a ，且1313a a a ，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）记S n 为数列{}n a 的前项n 和，是否存在正整数n ，使得S 40600?n n >+若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.7、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()n N *∈，且满足222n n a S n +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：21223111133(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)4n n n a a a a a a +⋯+++<------.8、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）记S n 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >, 22S =2n n n a a --（n N *∈）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设2223n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项n 和n T .9、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =。
四川省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列 含答案
四川省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数 列一、选择、填空题1、(四川省2016届高三预测金卷 ）已知等差数列}{na 的前n 项和为nS ，若564318a a a a--=+，则=8S 。
2、（成都市都江堰2016届高三11月调研）等比数列}{na 的前n 项和为nS ，已知12310a a S+=，95=a，则=1a （ )A ．31B ．31-C ．91D ．91-3、（乐山市高中2016届高三第二次调查研究）等差数列{}na 中,1910a a+=，21a =-,则数列{}n a 的公差为A 。
1B 。
2C 。
3 D. 44、(绵阳市高中2016届高三第一次(11月）诊断性考试）在等差数列｛na ｝中，若a 4＋a 9＋a l4＝36,则101112aa -＝ （A)3 （B)6 （C)12 （D ）245、（内江市2016届高三第四次（3月）模拟)若d c b a ,,,成等比数列，则下列三个数：①d c c b b a +++,, ②cd bc ab ,, ③d c c b b a ---,,，必成等比数列的个数为（ B ）A 。
0B 。
1C 。
2D 。
3 6、(资阳市资阳中学2017届高三上学期入学考试）在等差数列}{na 中,若1203963=++a a a，则872a a -的值为（ ）A ．24B ．24-C ．20D ．20-7、等比数列｛a n }满足a 1=3,135a aa ++ =21，则357aa a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 (D)848、已知正项等差数列{}na 中，12315a aa ++=,若1232,5,13a a a +++成等比数列,则10a=（ )A ．19B ．20C ．21D ．22 9、已知数列}{na 的前n 项和为nS ，且满足11a=-,32n n a S n =+（其中*)n ∈N ，则nS = 。
2017届高三上期末复习数列大题讲义.ppt
an
3 2
n
，
n
，证明：
an
2， n ．
2019-11-2
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3
（2015 浙江高考理科 T20）
已知数列
an
满足 a1 =
1 2
且
an1 = an
-
a
2 n
（n
N*
）
(I)
证明：1 an 2 （n N * ）；
an1
(II)
设数列
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6
（2016 届高三第一学期理 T20）
对任意正整数
n
，设
an
是方程
x2
x n
1
的正根.
求证：（Ⅰ） an1 an ；
（Ⅱ） 1 1 2a2 3a3
1 1 1 1
nan
23
1 n
.
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7
（2015 届高三第一学期理 T19）
2017届高三上期末复习6
——数列大题讲义
2019-11-2
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1
（2017年浙江高考样卷）
2019-11-2
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2
（2016 年浙江高考理）
设数列
an
满足
an
an1 2
1， n ．
（I）证明： an 2n1 a1 2 ， n ；
（II）若
an2
的前
n
项和为 Sn ,证明
1 2(n 2)
Sn n
山东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：数列 含答案
山东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）若12,x x 是函数()()20,0f x xax b a b =-+>> 的两个不同的零点，且12,2,x x -成等比数列，若这三个数重新排序后成等差数列，则a b + 的值等于（ ） （A ）7 (B ）8 （C)9 (D)10 2、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，则角B 3、(德州市2016届高三上学期期末）已知数列｛na ｝为等差数列,1233a aa ++=，5679a a a ++=，则4a =A ．1B ．2C ．3D ．44、（莱芜市2016届高三上学期期末）若等差数列{}na 的前7项和721S=，且21a=-，则6a =A 。
5 B.6 C 。
7 D.85、（泰安市2016届高三上学期期末）设{}na 是公差为正数的等差数列，若1310a a+=,1316a a =，则12a 等于A.25B.30 C 。
35 D.406、（（济宁市2016届高三上学期期末）在数列{}na 中,112,2(*)n n n aa a n N +==+∈，则数列{}n a 的通项公式为7、（胶州市2016届高三上学期期末)等比数列{}na 的前项和为nS ,已知12323S S S ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比为8、（泰安市2016高三3月模拟）已知{}na 为等比数列,下列结论 ①3542a a a +≥；②2223542aa a +≥；③若35a a =，则12a a =； ④若53aa >，则75a a >。
其中正确结论的序号是 ▲ 。
9、（威海市2016高三3月模拟）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且21()n n S a n *=-∈N ,则5a =A.16- B. 16 C 。
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2017届高三数学一轮复习——数列综合（作业34）
1．在各项均为正数的等比数列中,若569a a =,则3132310log log log a a a +++= .
2．设等比数列的公比为q ，前n 项和为n S ，若12, , n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为 .
3．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-，且满足11622k k a a +<+<，则正整数k = .
4
．数列n a =()n N *
∈，则在此数列的前30项中，最大项是第 项. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若514a ≤≤,623a ≤≤,则6S 的取值范围是 .
6．已知{}n a 是递增数列，且对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 .
7．编辑一个运算程序：1&12=，&m n k =，()&13m n k +=+(), , m n k N *∈，1&2016的输出结果为 .
8．已知函数()()()5 6=4 4 62x f a x x a x x -⎧>⎪⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭
⎩，数列{}n a 满足()()n f a n n N *=∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 .
9．在正项等比数列中，512a =
，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为 .
10．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项, m n a a
14a ，则14m n +的最小值为 .
11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3n n S k =+．
（1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足
()142
n n a b n a k +=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
{}n a {}n a {}n a
12．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441
,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．
（1）求数列{}n a 通项公式；
（2）是否存在实数λ，对于任意的正整数n 均有12231
111n n a a a a a a λ++++< 恒成立，说明理由．
13．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC PB ⊥，平面ABCD ，CD BD ⊥，1PB AB AD ===，点E 在线段PA 上，且满足2PE EA =．
（1）求三棱锥E BAD -的体积；（2）求证：//PC 平面BDE ．。