第九讲因式分解 (添拆项与最值)

因式分解添拆项法及配方法

添拆项法及配方法【知识要点】常用公式有：平方差： )b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+± 立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+三项和平方：2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；三项立方和：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 备注：1、拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组解法进行分解因式。

2、配方：用配方法进行因式分解是添拆项中的一种特殊情况，添拆项后将产生平方公式。

【典型例题】例1、（1）32332a a a +++ （2）3234x x -+例2、（1）4224y y x x ++；（2）()()()242221121y x y x y -++-+例3、分解因式：178++x x例4、若代数式22333axy y x y x +++含有因式y x -，则=a ，在实数范围内将这个代数式分解因式，得=+++22333axy y x y x 。

例5、用多种方法分解因式：2426923+++x x x例6、若整数a 、b 满足6910303ab a b -+=，求a b +。

例7、计算)32452)(32440)(32428)(32416)(3244()32458)(32446)(32434)(32422)(32410(4444444444++++++++++【大展身手】1、分解因式：32374a a +-=__________________________2、分解因式：1512223+-+a a a =__________________________3、分解因式：153143+-x x =__________________________4、分解因式：3333a b c abc ++-=__________________________5、分解因式：1232234++++x x x x =__________________________6、分解因式：611623+++x x x =__________________________7、分解因式：422411y y x x +-=8、因式分解： =++15a a __________________________9、分解因式：61922112234+-+-x x x x =__________________________6、若010432=-+y x ，则y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值为_____________________7、求方程xy y x =-的整数解。

晨德第九讲--待定系数法

§第9讲因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法 ★★ 知识体系梳理◆ 添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。

通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。

一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。

◆ 待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。

然后再把积乘出来。

用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。

◆ 换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。

换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。

（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。

（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。

（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。

★★ 典型例题、方法导航◆ 方法一：添项拆项法【例1】分解因式：332x x -+分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。

可考虑添项拆项法分解。

从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即332x x -+()()()x a x b x c =+++，再看常数项2可分解成〒1、〒2，因此我们可猜想分解的结果可能是(1)(1)(2)x x x --+或(1)(1)(2)x x x +--或(1)(1)(2)x x x +++,但332x x -+的中间项是3x -,因此(1)(1)(2)x x x +++是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。

因式分解掌握方法与技巧

因式分解掌握方法与技巧因式分解是将一个多项式表达式写成更简单的乘积形式的过程。

它是代数学中的基础知识，无论是在学习高等数学、线性代数还是在解决实际问题中，都需要掌握因式分解的方法与技巧。

一、因式分解的基本原则1.提取公因子：将多项式中的公因子提取出来，使得剩余部分成为一个更简单的表达式。

2. 二次因式分解：对于二次多项式，可以使用因式分解公式进行分解。

（比如(a+b)² = a²+2ab+b²）3.组合因式分解：当多项式中含有因子的次数较高时，可以使用组合因式分解，即将多项式分解成几个较低次数的因子相乘的形式。

1.提取公因子：多项式中常常会有公因子，可以通过提取公因子来简化多项式。

例如，对于多项式2a+4b，可以提取公因子2，得到2(a+2b)，这样就将多项式简化成了更简单的形式。

2.分解差的平方：当多项式为a²-b²形式时，可以使用差的平方公式进行分解。

差的平方公式为a²-b²=(a+b)(a-b)。

例如，多项式x²-9可以分解为(x+3)(x-3)。

3. 分解完全平方差：当多项式为a²+2ab+b² 或者a²-2ab+b² 形式时，可以使用完全平方公式进行分解。

完全平方公式为a²+2ab+b²=(a+b)² 和a²-2ab+b²=(a-b)²。

例如，多项式x²+2x+1 可以分解为(x+1)²。

4. 分解三角公式：当多项式为a²±b² 形式时，可以使用三角公式进行分解。

三角公式为a²±b²=(a±b)(a²∓ab±b²)。

例如，多项式x²+1 可以分解为 (x-i)(x+i)。

5. 分解二次多项式：对于二次多项式ax²+bx+c，可以使用二次因式分解公式进行分解，即将多项式分解成两个一次因式相乘的形式。

因式分解知识点总结

因式分解知识点总结因式分解是初中数学中的重要知识点，它与解方程、化简式子等许多数学问题有着紧密的联系。

因式分解的核心思想是找出多项式的因子，并将其拆解为更简单的形式。

在本文中，我们将综合讨论因式分解的几种常见方法和技巧。

一、提公因式法提公因式法是最基本也是最常用的因式分解方法之一。

它的核心思想是将多项式中的公因子提出来。

例如，对于多项式2x + 4y，我们可以发现其中的公因子为2。

因此，我们可以将2提取出来，得到2(x + 2y)。

这样，我们就成功将原多项式进行了因式分解。

二、配方法配方法亦称为乘法公式反算法。

它适用于多项式满足一个较为特殊的乘法公式形式，即(a + b)²。

例如，对于多项式x² + 2x + 1，我们可以将其视为(x + 1)²形式。

根据乘法公式，我们可以得到x² + 2x + 1 = (x + 1)²。

通过这样的处理，我们就成功地将多项式进行了因式分解。

三、差平方公式差平方公式是一种常见的因式分解方法，它是通过一个平方差的形式来进行因式分解。

例如，对于多项式x² - y²，我们可以利用差平方公式将其因式分解为(x + y)(x - y)。

通过这样的操作，我们可以看到多项式的差平方已经被成功拆解为两个因子的乘积。

四、分组分解法分组分解法亦称为二次拆分法，它适用于多项式含有四个及以上的项，并且存在某种规律性的分组方式。

例如，对于多项式x³ + 3x² + 3x + 1，我们可以进行如下的分组：(x³+ 3x²) + (3x + 1)。

接下来，我们可以对每个分组因式进行公因式提取，得到x²(x + 3) + 1(x + 3)。

最后，我们可以将公因式 (x + 3) 提取出来，得到(x + 3)(x² + 1)。

五、特殊公式法特殊公式法适用于特定形式的多项式，其中包括一些常见的平方差公式、立方差公式等。

添项拆项法

谢谢！
添项拆项法
知识回顾
1、提公因式进行因式分解。 2、公式法进行因式分解。
知识导入
对于有些多项式，直接用提公因式和公式法不能直接进行因式分解。用分组分解法分解后，仍好象缺一些项，这类究
1、添项法在什么情况下使用？如： 4x4+1
解：原式= （2x2）2+12 =（2x2）2+12 + 4x2- 4x2 =[(2x2)2+4x2+12]-4x2 =(2x2+1)2-(2x)2 =(2x2+2x+1) (2x2-2x+1)
用拆项法使用的条件: 1）一般多使用能够进行两个完全平方公式的多项式。
2）拆项通过加减变形后，能分配到其它项组成完全平方公式。
课堂练习
对下列多项式进行因式分解：
1） 36x8 16
2） 4x21x2 1y6 24y0 16
课堂小结
1、添项法进行因式分解适用的条件。 2、拆项法进行因式分解适用的条件。
用添项法使用的条件: 1）一般多使用完全平方公式。 2）直接用完全平方公式，缺项。 3）已给的数的次数比较高（都是2的倍数）。
知识探究
2、拆项法在什么情况下使用？
如：x21x2y28y20
解：原式= x21x2 y28y(3 6 1)6 x21x2 3 6y28y16
x62y42 x 6 y 4 x 6 y 4 x y 1x 0 y 2

因式分解之分组分解法及添拆项法

分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

例把多项式am+bn+an+bm 分解因式。

解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组，例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。

2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。

（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。

（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。

因式分解中的拆项、添项法讲解学习

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因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚239000
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解•现举一例：
例分解因式：x3-9x+8・
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成・1+9・
原式=X3・9X・1+9
=(x 3-1)-9x+9
=(x-1)(x 2+X+1)-9(X-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法2将一次项-9x拆成-x-8x・
原式=x3-x-8x+8
=(x 3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法3将三次项x3拆成9X3-8X3•
原式=9x?・8x，9x+8
=(9x 3-9X)+(-8X3+8)
=9x(x+1 )(x-1 )-8(x-1 )(x 2+x+1) =(x-1 )(x 2+X-8).
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解法4添加两项-x 2+x2・
原式=x，9x+8
=X3-X2+X2-9X+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.。

因式分解综合应用(添项拆项) (人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为________________．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法．问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的．答：分组分解法，式子结构．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为．答：四种基本方法．因式分解综合应用（添项拆项）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法2.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法3.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法4.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法5.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法6.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法7.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法8.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法9.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法10.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。

因式分解综合应用(添项拆项) (人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为________________．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法．问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的．答：分组分解法，式子结构．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为．答：四种基本方法．因式分解综合应用（添项拆项）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法2.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法3.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法4.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法5.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法6.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法7.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法8.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法9.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法10.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。

实用文档之因式分解中的拆项、添项法

实用文档之" 因式分解中的拆项、添项法"
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。

因式分解最全方法归纳

因式分解最全方法归纳因式分解是代数学习中的重要内容，它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决方程和不等式等问题。

下面就为大家归纳一下因式分解的各种方法。

一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例如，对于多项式 6x ＋ 9，6 和 9 都有公因数 3，所以可以提出 3 得到：3(2x ＋ 3)。

提公因式法的关键在于准确找出多项式各项的公因式。

公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都含有的相同字母，字母的指数取次数最低的。

二、运用公式法（1）平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b)例如，分解 9x² 25，可写成（3x)² 5²，然后利用平方差公式得到：（3x ＋ 5)（3x 5)（2）完全平方公式：a² ± 2ab ＋ b²＝（a ± b)²比如，对于 x²＋ 6x ＋ 9，可以将其写成 x²＋ 2×3×x ＋ 3²，符合完全平方公式，分解为（x ＋ 3)²三、分组分解法将多项式分组后，组与组之间能提公因式或运用公式进行分解。

例如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn，可以将其分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn)，然后分别提公因式得到：a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n)，再提公因式（m ＋ n) 得到：（m ＋ n)（a ＋ b)四、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c，如果存在两个数 p、q，使得 a ＝p×q，c ＝ m×n，且 b ＝ p×n ＋ q×m，那么 ax²＋ bx ＋ c ＝（px ＋ m)（qx ＋ n)比如，分解 6x²＋ 5x 6，将 6 分解为 2×3，－6 分解为－2×3，交叉相乘 2×3 ＋ 3×（－2) ＝ 0，所以可以分解为（2x 1)（3x ＋ 6)五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开或加上互为相反数的两项，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

因式分解中的拆项、添项法讲解学习

因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。

因式分解拆添项

因式分解：1、拆项法：a 2+b 2+4a+2b+5a 2+b 2+4a+2b+3x 3－3x 2+4a 3+3a 2+3a+22、凑项法巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解444y x +解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++=)22)(22(2222y xy x y xy x +-++例4、因式分解 4323+-x x解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x=)1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x=2)2)(1(-+x x3x 3+7x 2-4 x 5+x+1x 3-9x+8一、填空1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。

2、（）+2ab+1=（）23、因式分解=（）-4x 2=（）2-（）2=（）（）4、二次三项式=（）（）5、立方和8（a-b ）3+27=（）（）6、（n 是大于2的整数）中，各项的公因式是（）7、己知x 2-2xy+1是完全平方式，则y=8、（3x-y ）（）=27x 3-y 396422+--a x a 22576y xy x -+2311536-++-n n n x x x二、选择题（四选一；每题3分，共15分）1、多项式4a 4-2a 作因式分解，结果为（） A 、a （4a 3-21） B 、2a （2a-1）（4a 2+2a+1） C 、2a （2a-1）（4a 2-2a+1） D 、2a （2a-1）（4a 2+4a+1） 2、2-x 和3+x 同是下面某多项式的因式，它是（）A 、6+x-x 2B 、6-x+x 2C 、x 2+x +6D 、6-x-x 23、因式分解时，正确分组方法有（）A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种4、因式分解时，正确分组方法有（）A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种5、若将（2x ）n -81分解后得，那么n 的值为（） A 、2 B 、6 C 、4 D 、8三、把下列各式分解因式1、x 3-9x+82、x 2y 2+5xy+63、4、 5、四、利用因式分解计算1、17.52-12.522、83×773、1.222×9-1.332×44、10125、16.8×3215+7.6×1615五、求值1、己知a+b=-3, ab=-2，求bc c b a 2222+--bc ac ab a -+-2)32)(32)(94(2-++x x x 4)(12)(92+---b a b a 2236129y xy x -+-)()(22x y y y x x -+-32232ab b a b a +-3、己知x+y=﹣2，a+b=﹣21，，求的值六、把下列各式分解因式1、2、3、4、5、（）（-9）+18七、己知a 、b 、c 均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定的值的符号（5分）122-=+-y xy x 3333ax by ay bx +++241414)(222++--x x x x 6)2(11)2(2222-+-+a a a a 8306251022+-++-n m n mn m x xy y x 21372-+-a a -22a a -22222222)(4a c b c b -+-。

因式分解中的添拆项法

因式分解中的添拆项法在因式分解中的添拆项法是指在化简多项式或者分解因式时，通过添加或者拆分一些项来改变多项式的形式，使得因式分解更加方便或者简化。

具体的操作方法有以下几种：1. 添拆零项：在多项式中添加零项（系数为0的项），使得多项式的某些项具有类似的形式，方便进行因式分解。

例如，将多项式2x^3 + 4x^2 + 3x + 5进行因式分解时，可以添加零项，变为2x^3 + 0x^2 + 4x^2 + 3x + 5，然后将前两项2x^3 + 0x^2进行提取公因式得到x^2(2x + 0)，即变为x^2(2x^2 + 1) + 4x^2 + 3x + 5。

2. 添拆中间项：在多项式中添加或者拆分中间项，使得多项式的某些项具有类似的形式，方便进行因式分解。

例如，将多项式3x^2 + 9x + 6进行因式分解时，可以将中间项9x拆分为2x + 7x，即变为3x^2 + 2x + 7x + 6，然后将前两项3x^2 + 2x进行提取公因式得到x(3x + 2)，即变为x(3x + 2) + 7x + 6，再将后两项7x + 6进行提取公因式得到x(7x + 6)，即最后因式分解为(x + 1)(3x + 2)。

3. 添拆相同项：当多项式中有相同的项时，可以进行添拆相同项来进行因式分解。

例如，将多项式x^3 - 3x^2 + 3x - 1进行因式分解时，可以将前两项x^3 - 3x^2进行提取公因式得到x^2(x - 3)，再将后两项3x - 1进行提取公因式得到-(x - 1)，即最后因式分解为(x^2 - 1)(x - 1)。

通过添拆项法，可以改变多项式的形式，简化因式分解的步骤，并找到多项式的公因式，以便进行进一步的因式分解。

因式分解综合应用(添项拆项)(人教版)(含答案).docx

学生做题前请先回答以下问题问题1:因式分解的四种基本方法有哪些？问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________ 进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________ ・问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为__________________ .因式分解综合应用（添项拆项）（人教版）一、单选题（共10道，每道10分）1.把4/+1因式分解，正确结果是（）A 4(x+ 1)4B (2X24-2X+1)(2X2—2X+1)c 3+2X+2)3-2X+2)D (2/+1)2答案：B解题思路：原式=(2X2)2+4X2+1-4X2=(2X2+1)2-4X2=(2X2+1+2X X2X2+1-2X)= (2x2+2x+l)(2x‘ - 2x+l) 故选B・试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧一一添项拆项法2.把F + 2&因式分解，正确结果是（）A （?+8）2B（H-4X+8）（F+4X+0C（X —2）2（X +2）2D（F-叩原式=(x2)2 +16x2 + 8, -16x2 =(工+8)2—(4x)2= (x2 +4x+8)(x2 -4x4-8) 故选B试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧一一添项拆项法3.把尸一1因式分解，正确结果是（）A(X+1)(X_1)B(X- 1)(^ _X+1)C(X- 1)(3^ +X + %(X4-1)(3? -X4-1)答案：C解题思路：法(一)：原式=x3 - X2+工-1"(x-l)+(x+l)(x-l) = (x-l)(x2+x+l)法(二)：原式一兀+兀一1= x(x+lXx_l) + (x_l) = (x-l)(x2 +x+l)故选C・试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧一一添项拆项法+ 4 4 ° 2 24把因式分解，正确结果是（）A （2” +戸）2 B（2/ _ &+0 （2/ + & +0C （2x+尹尸（2兀_尹）2D （女+尹+幼（2x+y _劝原式=(2x 2)2 +4x 2v 2 + (v 2)2- x 2y 2=(2工+丹一阳= (2x 2 y 2X2x 2 -AJ + y 2)故选BA (。

因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。

例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变为$y^2+3xy+2x^2$。

将$y$代入可得$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。

最终结果为$(x^2+3x+4)^2-x+16$。

例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-12$。

将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。

例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。

将$a+5$代入可得$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。

例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。

将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。

例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-12$。

将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。

板块二：选主元例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。

展开可得$x^2-2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。

例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x-2$。

展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终结果为$(3a+b+1)^2$。

例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。

用拆项或添项法分解因式

用拆项或添项法分解因式
让学生们学会运用拆解因式法，来解决许多数学问题是非常重要的。

因为它可以有助于学生们更好地理解不同的数学公式，并且能帮助他们探索解决问题的新方法。

拆解因式法是指将复杂的数学算式分解为若干可处理的部分，并依此解决原算式的问题。

一般来说，拆解因式法需要三个步骤：先确定算式中的变量，比如x和y，然后把数字和变量的乘积分解成可以拆分的项，最后再将算式按顺序分解成几个元部分，明确每一部分的变量和常量。

实际上，拆解因式法也常常被称为添加法，因为它在解决问题时是往减少方向走的，把复杂的算式拆解成简单的部分，然后添加元素。

所以拆解因式法不仅可以广泛应用在解决数学问题，也可以用在日常生活中。

比如，我们想要解决一个假期度假的问题，可以把它分解成三个步骤：安排出行、安排住宿和安排活动，明确每一部分的具体要求，然后再步步实施，把最后的结果通过拆解因式法解决。

运用拆解因式法分解因式可以让学生们更好地理解和应用数学知识，帮助他们完成许多复杂的数学任务。

在日常生活中，我们也可以使用这一方法来解决许多问题，比如，如何解决一个复杂的计划，我们可以先把任务分解成可控制的小任务，进而再一步步去实现。

这有助于我们在聪明、创新的智慧中学会思考问题，并在实践中做出更有效的决策。

添项法因式分解

添项法因式分解“哎呀，这添项法因式分解可真是个有意思的东西啊！”添项法因式分解呢，就是在一个多项式中添加一项或几项，使其能够通过分组等方式进行因式分解。

这种方法有时候能让看似复杂的多项式变得容易分解。

比如说，给你一个式子 x^4 + 1。

直接看好像不太好分解，但我们可以用添项法。

我们可以添上 2x^2，然后再减去 2x^2，这样式子就变成了x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2。

前三项可以写成(x^2 + 1)^2，后面两项可以写成-(2x^2)，这样就可以进一步化简得到(x^2 + 1 + √2x)(x^2 + 1 -√2x)。

再比如 4x^4 - 13x^2 + 9，我们可以把它看作是关于 x^2 的二次多项式。

我们添上一项 4x^2，然后再减去 4x^2，式子就变成了 4x^4 + 4x^2 - 13x^2 + 9，整理一下就是 4x^4 - 9x^2 + 9。

然后可以分成两组，(4x^4 - 9x^2)和 9，前面一组可以提取公因式 x^2 得到 x^2(4x^2 - 9)，再利用平方差公式 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，4x^2 - 9 可以分解为(2x + 3)(2x - 3)，所以最终式子可以分解为(x^2 - 3)(x^2 - 1) = (x + √3)(x - √3)(x + 1)(x - 1)。

在实际应用中，添项法可以帮助我们解决一些看起来比较困难的因式分解问题。

但要注意的是，添项的时候要根据式子的特点来添，不能盲目添加，否则可能会越弄越复杂。

而且有时候可能需要多次尝试不同的添项方式才能找到合适的分解方法。

就像解一道难题一样，需要我们耐心地去分析、去尝试。

刚开始可能会觉得有点难，但只要多做几道题，慢慢就会掌握其中的技巧。

比如说给你一个复杂的多项式，你要先观察它的各项之间有没有什么规律，有没有可以利用的特殊形式。

然后再根据这些来决定怎么添项。

总之，添项法因式分解是一种很有用的方法，掌握了它，能让我们在处理一些多项式的时候更加得心应手。

第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

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