电磁场与电磁波(第1章矢量分析)

第1章 矢量分析
1.1 场的概念和表示法 1.2 三种常用的坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量 散度 1.5 矢量场的环流 旋度 1.6 亥姆霍兹定理
1.1 场的概念和表示法
1、场的定义：
一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的物
理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量 场。
az
a
r
ar
dlr dr
dl rd
dlz dz
r
dr
d
rd
球面坐标系
0r
0
坐标变变化范围是:
0 2
ar a a
右手螺旋法则：
位置矢量： 矢量表示：
微分线元：
R
ar r
A ar Ar a A a A
dR
ar dr
a
rd
a r
sind
坐标线元： dlr dr
dl rd
dl
axdx
aydy
azdz
u
ax
u x
ay
u y
az
u z
du
u
dl
u
dx
u
dy
u
dz
u
dl
u
dl cos
l x y z
为矢量
dl
与矢量 u
的夹角，显然，当 dl
与 u 同方向时， 0
dl 矢量为为最短，此时dl dln 与等直面垂直， u 也与等直面垂直
梯度的计算公式：
u
ax
u x
3
1.2 三种常用正交坐标系
直角坐标系
坐标变变化范围是:
x
y
z
右手螺旋法则 位置矢量: 矢量表示： 微分线元：
ax ay az
r ax x ay y az z
A
ax
Ax
ay
Ay
az Az
dR axdx aydy az dz
度量系数：
x 1 y 1 z 1
面积元： 体积元：
grad u
lim lim u u u
u u
u0 PM
u0 PM l
为性标导量数场。其u大 x小, y与, z方,向在aPl 有点关沿。al 方向的方向
du
u(P)
u(P0
)
u x
dx
u y
dy
u z
dz
P
P0
l
u＋u
u
u u cos u cos u cos
l x
y
z
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.3 标量场的梯度
一、等值面或等位面：标量场中值相等的点构成的 面。 等值面互不相交，完全填充标量场的全部空间
u x, y, z c
二、方向性导数和梯度：描述标量场中各点场量的变化规律
◇ 定义标量函数 u(x, y,z) 在点P沿给定方向 el 的变化率。
u u
aenn N
M aell
u
P
ay
u y
az
u z
在柱坐标系中：
ar
r
a
1 r
az
z
u
ar
u r
a
1 r
u
az
u z
在球坐标系中：
ar
r
a
1 r
a
1 r sin
u
ar
u r
a
1 r
u
a
1 r sin
u
例题：
1、设点电荷位于球坐标原点，在它周围空间任一点的电位为 (r, ,) q 4 0r
式中和为常数。试求空间各点（ r 0）电位的梯度。
dl r sind
度量系数： 面积元：
体积元：
hr 1
h r
h r sin
dSr dl dl r 2 sindd dS dlr dl r sindrd dS dlr dl rdrd
d dlr dl dl r 2 sindrdd
ar
a
a
ar
0
ar
a a
r sind
d
作业：习题1.3，习题1.4，习题1.9，习题1.11，习题1.12
2、 特征：区域性、物理系统、分布
3、 场的分类： 标量场与矢量场 静态场与时变场
标量场 ：描述 物理系统中在该区域的物理量为一标量。
矢量场 ：描述 物理系统中在该区域的物理量为一矢量。
静态场：描述 物理系统中的物理量在该区域不随时间变化。
时变场：描述 物理系统中的物理量在该区域随时间变化。
4、 场的描述：场的描述方法有多种：列表法、函数法等，
u(x,
y,
z,t)
[( x
1)2
5xyzt (y
2)2
z]
例：矢量场
空间某一区域定义一个矢量分布，如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函 数来描述,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。
A(
x,
y,
z)
ax
x
ay
xy
az
yz
A(
x,
y,
z,
t)
ax xt
ay
xyt
2
az
yzt
标量场 u x, y, z, 在P点的梯度是一个矢量
大小：最大方向性导数 方向：最大方向性导数所在的方向
由方向性导数的定义可知：沿等值面法线an 的方向性导数最大。
标量场的梯度可定义为：
grad
an
n
哈密顿算符
ax
x
ay
y
az
z
对标量函数的运算
u
ax
u x
ay
u y
az
u z
而 du 可写成 dl 与 矢量 u 的标量积
u x, y, z c
40 0 30 0 20 0 10 0
标量场的等值面
◇梯度
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场 中的给定点P出发，标量场u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么， 可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，定义一个矢量G，其方向为 是函数u在点P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，
dSx dydz dS y dxdz
d dxdydz
dSz dxdy
v F
evx
x0
evy
y0
evz
z0
圆柱坐标系
坐标变变化范围是:
0r
0 2
右手螺旋法则：
位置矢量： 矢量表示：
微分线元： 度量系数：
z
ar a az
R
ar
r
az
z
dR
A
ar Ar a
ar dr a
A
rd
az
Az
az
dz
面积元： 体积元：
dSr dl dlz rddz
dS dlr dlz drdz
dS z dlr dl rdrd
d rdrddz
r 1
r
az P(r0 ,0 , z0 ) a z 1
ar
r r0
0
r 1
r
z 1
点处沿方向的长度元分别是： 度量系数分别是：
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场 函 数： 描述场在空间中分布的函数称为场函数
标量场： (x, y, z,t)
矢量场：
F ( x,
y,
z,
t)
静态场：(x, y, z)
时变场：(x, y, z,t)
静态矢量场：F（x, y, z) 时变矢量场：F(x, y, z,t)
5、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值
例：标量场
空间某一区域定义一个标量分布，如温度,电位,高度等，可以用一个标量函 数来描述，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。