2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)专题测试五不等式Word版含答案

合集下载

(完整word版)2018高考全国卷1理科数学试题及答案(word版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号•回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.题目要求的.）3•某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍•实现翻番•为更好地了解该地区农村则下面结论中不正确的是（） A •新农村建设后，种植收入减少B •新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ・新农村建设后，养殖收入增加了一倍、选择题（本题共 12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合1•设 z12i ,2•已知集合x|x 2 xC . x | x U x|xx|x w 1 U x|x >2的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例•得到如下饼图:D •新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC ,直角边AB , AC , △ ABC 的三边所围成的区域记为I, 黑色部分记为H,其余部分记为川，在整个图形中随机取一点，此点取自I, n,川的概率分别记为小,p 2, p 3，则（）A . P 1 P 2B . 口 P 3C . P 2 P 3D .211. 已知双曲线C : — y 2 1 , O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交3 点分别为M , N .若△ OMN 为直角三角形，则 MN | （）A . 3B . 3C . 2 3D . 44 •记S n 为等差数列的前n 项和. 若3S 3S2S4, a 2,A . 12 10C . 10D . 125.设函数x 3 1 x 2ax .为奇函数，则曲线在点0, 0处的切线方程为2xC . y 2x6 .在△ ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点，则 uurEB3 uuu A . - AB4 3 uu u C .二 AB4 1 uiir -AC 4 1 uuu AC 41 uuu B . - AB 4 1 uuu D . - AB 43UULT 3AC 43UHT-AC 47.某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为则在此圆柱侧面上, 从 M 到N 的路径中,最短路径的长度为（A . 2 17C .8.设抛物线 C : 4x 的焦点为F ，过点luuu iuur FM FNC .9.已知函数fe x , x w 0 ln x , x 00,2且斜率为的直线与C 交于M , N 两点,3x a ，若g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（C .1D . 1,)12 •已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）32A. 12B.二C.434二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）x 2y 2w 013 .若x , y满足约束条件x y 1> 0 ，则z 3x2y的最大值为y w 014 •记S n为数列a n的前n项和•若S n 2a. 1，则15•从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 _____________ 种.（用数字填写答案）16 .已知函数f x 2sin x sin 2x ,贝U f x的最小值是_____________17~21题为必考题，每个试题三、解答题（共70分。

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第七章不等式7-1不等关系与不等式Word版含答案

第七章不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．7．1 不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a-b________；(2)a＝b⇔a-b________；(3)a＜b⇔a-b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a-c＞b-d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠1．＞0 ＝0 ＜02．(1)b<a(2)a>c(3)> (4)ac>bc ac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)a n>b n(n∈N且n≥2)(11)na>nb(n∈N且n≥2)(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．故选D .(2016·贵州模拟)若a ，b 都是实数，则“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由a -b >0得a >b ≥0，由a 2-b 2>0得a 2>b 2，即|a |＞|b |，所以“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的充分不必要条件．故选A .(2016·贵州模拟)若c >1，0<b <a <1，则( ) A ．a c0，所以log a c <log b c .故选D .已知a ＝27，b ＝6＋22，则a ，b 的大小关系是a ________b .解：由于a ＝27，b ＝6＋22，平方作差得a 2-b2＝28-14-83＝14-83＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫74-3＞0，从而a ＞b .故填＞.(2016·武汉模拟)已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解：a 1b 1＋a 2b 2-(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1-a 2)(b 1-b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1-a 2≤0，b 1-b 2≥0，于是(a 1-a 2)(b 1-b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.故填a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b2＋a 2b 1.类型一建立不等关系(2015·湖北)设x ∈R ，表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得＝1，＝2，…，＝n 同．时成立．．．，则正整数n 的最大值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为表示不超过x 的最大整数．由＝1得1≤t <2，由＝2得2≤t 2<3，由＝4得4≤t 4<5，所以2≤t 2<5，由＝3得3≤t 3<4，所以6≤t 5<45，由＝5得5≤t 5<6，与6≤t 5<45矛盾，故正整数n 的最大值是4.故选B .【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例表示不超过x 的最大整数，故由＝k ，可得k ≤x <k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n 的最大值．(2016·湖南模拟)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于108 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解：设矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30-x 2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥108. 故填⎩⎪⎨⎪⎧0＜x≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15-x 2≥108. 类型二不等式的性质已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？解：(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc -adab＞0，由ab ＞0，bc＞ad 得②成立，所以①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc -adab＞0，则bc ＞ad ，所以①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc -adab＞0，则ab ＞0，所以②③⇒①.综上所述可组成3个正确命题．【点拨】运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac 与bc 的大小关系应注意从c ＞0，c ＝0，c ＜0三个方面讨论．(2014·四川)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解：由c ＜d ＜0⇒-1d ＞-1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得-a d ＞-b c ＞0，所以a d ＜b c.故选D .类型三不等式性质的应用(1)若1<α<3，-4<β<2，则α2-β的取值范围是________．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由-4＜β＜2得-2＜-β＜4，所以α2-β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，112.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，112.【点拨】①需要注意的是，两同向不等式可以相加但不可以相减，所以不能直接由12＜α2＜32和-4＜β＜2两式相减来得到α2-β的范围．②此类题目用线性规划也可解．(2)已知-1＜a ＋b ＜3且2＜a -b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．解：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a -b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x -y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝-12.所以-52＜52(a ＋b )＜152，-2＜-12(a -b )＜-1.所以-92＜52(a ＋b )-12(a -b )＜132，即-92＜2a ＋3b ＜132.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-92，132. 【点拨】由于a ＋b ，a -b 的范围已知，所以要求2a ＋3b 的取值范围，只需将2a ＋3b 用已知量a ＋b ，a -b 表示出来，可设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a -b )，用待定系数法求出x ，y ，再利用同向不等式的可加性求解．(1)若角α，β满足-π2<α<β<π2，则2α-β的取值范围是________．解：因为-π2＜α＜β＜π2，所以-π2＜α＜π2，-π2＜β＜π2，-π2＜-β＜π2，而α＜β，所以-π＜α-β＜0，所以2α-β＝(α-β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2，π2.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫-3π2，π2.(2)(2016·云南模拟)若-1≤lg xy≤2，1≤lg xy ≤4，则lg x 2y的取值范围是________．解：由1≤lg xy ≤4，-1≤lg xy≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，-1≤lg x -lg y ≤2，则lg x 2y ＝2lg x -lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x -lg y )，所以-1≤lg x 2y≤5.故填．类型四比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋mb ＋m 与ab的大小，则a ＋mb ＋m ________ab. 解法一：(作差比较)：a ＋mb ＋m -a b ＝b （a ＋m ）-a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b -a ）b （b ＋m ），因为b ＞a ＞0，m ＞0，所以m （b -a ）b （b ＋m ）＞0，所以a ＋mb ＋m＞ab.解法二(作商比较)：因为b ＞a ＞0，m ＞0，所以bm ＞am ⇒ab ＋bm ＞ab ＋am ＞0，所以ab ＋bm ab ＋am ＞1，即a ＋m b ＋m ·b a ＞1⇒a ＋m b ＋m ＞a b.故填＞.【点拨】本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．(2015·福建月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n的大小，则a n＋b n________c n.解：因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a n ，b n ，c n>0，而a n ＋b ncn＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .因为a 2＋b 2＝c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，所以0<a c <1，02时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，所以a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1，所以a n ＋b n <c n.故填＜.1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2015·浙江)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＋b＞0，取a＝3，b＝-2，则ab＞0不成立；反之，若a＝-2，b＝-3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选D.2．(2016·宜昌模拟)设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B.1a＜1bC．a2>b2D．a3>b3解：A选项，当c<0时，ac<bc，故A不正确；B 选项，当a>0>b时，显然B不正确；C选项，当a＝1，b＝-2时，a2<b2，C不正确；D选项，因y＝x3是单调增函数，所以当a>b时，有a3>b3，D正确．故选D.3．(2015·云南模拟)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )A．a＋c≥b-c B．(a-b)c2≥0C．ac>bc D.c2a-b>0解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b-c可能成立；B项：a>b⇒a-b>0，c2≥0，故(a-b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2a-b＝0.故选B.4．(2014·湖南)已知命题p：若x＞y，则-x＜-y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解：当x＞y时，两边乘以-1可得-x＜-y，所以命题p为真命题；当x＝1，y＝-2时，显然x2＜y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题．故选C.5．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(-1)＝f(-2)＝f(-3)≤3，则( )A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c＞9解：由f(-1)＝f(-2)＝f(-3)得，-1＋a-b＋c＝-8＋4a-2b＋c＝-27＋9a-3b＋c，消去c得⎩⎪⎨⎪⎧3a-b＝7，5a-b＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝6，b＝11，于是0＜c-6≤3，即6＜c≤9.故选C.6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解：令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可判断最低总费用是az＋by＋cx.故选B.7．(2015·江西模拟)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg e，则a，b，c的大小关系为________．解：因为e＜10，所以lge＜lg10＝12，所以(lge)2＜12·lge＝lg e，即b＜c.又因为e＜e，所以lg e＜lge，即c＜a.故填b＜c＜a.8．(2016·合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则ca的取值范围为________．解：由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a＜b＋c≤3a，a＋b＞c，a＋c＞b，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca≤3，-1＜c a -b a ＜1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为(0，2)．故填(0，2)．9．设实数a ，b ，c 满足 ①b ＋c ＝6-4a ＋3a 2， ②c -b ＝4-4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．解：因为c -b ＝(a -2)2≥0，所以c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，所以b ＝1＋a 2，所以b -a ＝a 2-a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122＋34＞0，所以b ＞a ，从而c ≥b ＞a .10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝1 000＋30x 800＋ax (a ∈N *，1≤x ≤10)．假设会超过1.5万元，则当a ＝10时有1 000＋30x800＋10x ＞1.5，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，y ＝f (x )＝1 000＋30x800＋ax，则f (x 2)-f (x 1)＝1 000＋30x 2800＋ax 2-1 000＋30x 1800＋ax 1＝（30×800-1 000a ）（x 2-x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）＞0，所以30×800-1 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．11．(2015·云南模拟改编)已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求ca的取值范围．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝-(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >-(a ＋c )>c ，且3a ＞a ＋b ＋c ＝0＞3c ，则a >0，c <0，所以1>-a ＋c a ＞ca，即1＞-1-c a ＞c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ca ＜-1，ca＞-2，解得-2＜c a ＜-12.故c a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-2，-12. (2016·武汉模拟)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1<a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得- ＝-＝(xy ＋1)(xy -1)-(x ＋y )(xy -1) ＝(xy -1)(xy -x -y ＋1) ＝(xy -1)(x -1)(y -1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy -1)(x -1)(y -1)≥0，从而x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，则x ≥1，y ≥1，由对数的换底公式得log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log c a ＝1xy，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .由(1)知所要证明的不等式成立．。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第七章不等式 7-2 Word版含答案

真题演练集训
．若变量，满足(\\(＋≤，－≤，≥，))则＋的最大值是( )
．
．
．
．
答案：解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设(，)为平面区域内任意一点，则＋表示.显然，当点与点重合时，＋取得最大值，
由(\\(＋＝，－＝，))
解得(\\(＝，＝－，))故(，－)．所以＋的最大值为＋(－)＝.故选.
．若，满足(\\(－≤，＋≤，≥，))则＋的最大值为( )
．
．
．
．
答案：解析：不等式组(\\(－≤，＋≤，≥))表示的可行域如图中阴影部分所示，
由(\\(－＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝，))故当目标函数＝＋经过点()时，取得
最大值，＝×＋＝.故选.．某企业生产甲、乙两种产品均需用，两种原料，已知生产吨每种产品所需原料及每天原
料的可用限额如表所示．如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元，则该企业每天可
获得最大利润为( )
万元
．万元．万元
答案：
解析：
设每天生产甲、乙产品分别为吨、吨，每天所获利润为万元，则有
(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))目标函数为＝＋，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线＝＋经过点()时，取最大值，最大值为×＋×＝(万元)．．不等式组(\\(＋≥，－≤))的解集记为，有下面四个命题：
：∀(，)∈，＋≥－；
：∃(，)∈，＋≥；
：∀(，)∈，＋≤；
：∃(，)∈，＋≤－.
其中的真命题是( )
．，．，
．，．，
答案：
解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05不等式)

x y 1，
y 0，
（）（ A） 6 （B ） 19 （ C）21 （ D） 45
2．【答案】 C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标
函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：
xy5 ，可得点 A 的坐标为 A 2,3 ，
xy1
据此可知目标函数的最大值为 zmax 3x 5 y 3 2 5 3 21 ．故选 C．
二、填空
1．（ 2018 北京文）能说明 “若 a b ，则 1 1 ”为假命题的一组 a ， b 的值依次为 _________ ． ab
1．【答案】 1， 1（答案不唯一）
2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05 不等式）
一、选择题
1．（ 2018 北京文、理）设集合 A x, y x y 1,ax y 4, x ay 2 ，则（
Hale Waihona Puke ）A ．对任意实数 a ， 2,1 A
B．对任意实数 a ， 2,1 A
C．当且仅当 a 0 时， 2,1 A
D．当且仅当 a 3 时， 2,1 A 2
1．【答案】 D
【解析】若 2,1 A ，则 a 3 且 a 0 ，即若 2,1 2
若 a 3 ，则有 2,1 A ，故选 D ． 2
A ，则 a 3 ，此命题的逆否命题为， 2
x y 5，
2x y 4，
2．（ 2018 天津文、理）设变量 x, y 满足约束条件
则目标函数 z 3x 5y 的最大值为

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)专题测试六立体几何Word版含答案

专题测试六立体几何 (时间90分钟，满分100分)专题测试六立体几何大一轮复习数学(理)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知α，β为不重合的两个平面，直线m ⊂α，那么“m ⊥β”是“α⊥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由m ⊂α，m ⊥β，可得α⊥β，即充分性成立；由α⊥β，m ⊂α，得不出m ⊥β，即必要性不成立．故“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．2．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列命题中错误的是( ) A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β B ．若α⊥β，m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α C ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥β D ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n解析：选D.由m ⊥α，m ∥n 知，n ⊥α，又n ∥β，所以α⊥β，故A 正确；由α⊥β，m ⊥β知，m ⊂α或m ∥α，而已知条件中m ⊄α，所以m ∥α，故B 正确；易知C 正确；由α⊥β，m ⊂α，n ⊂β不能确定m ，n 的位置关系，m ，n 可能平行，故D 不正确． 3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( ) A ．6 3 B ．12 3 C ．18 3D ．24 3解析：选C.根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于23，所以这个三棱柱的表面积等于3×23×2＋2×12×23×3＝18 3. 4．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.64B.62C.22D.π4解析：选A.本题考查几何体的三视图．由题意易知其侧视图(三角形)的底为32，高为2，所以其侧视图的面积为64. 5．一空间几何体的三视图如图所示，若正视图和侧视图都是等腰直角三角形，且直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选B.由三视图知该几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形，所以四棱锥的外接球即边长为1的正方体的外接球，所以外接球的直径为3，所以外接球的表面积S ＝4π⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π. 6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与异面直线AB ，CC 1均垂直的棱有( )A．4条B．3条C．2条D．1条解析：选A.如图所示，由正方体的性质可知，在正方体的所有棱中，AD，BC，A1D1，B1C1与异面直线AB，CC1均垂直．故与异面直线AB，CC1均垂直的棱有4条．7．一简单组合体的三视图及尺寸如图所示，则该组合体的表面积为( )A．7 200 B．13 600C．12 800 D．14 400解析：选C.本题考查三视图及几何体表面积的求解．由三视图可知，该几何体由上、下两个长方体组合而成，上面长方体的长、宽、高分别为40,20,50，下面长方体的长、宽、高分别为60,40,10，所以该组合体的表面积S＝2×(40×20＋40×50＋20×50＋60×40＋60×10＋40×10)－2×40×20＝12 800.8．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，给出下列命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D.对于①，因为m⊥α，所以直线m与平面α所成的角为90°，又m∥n，所以直线n 与平面α所成的角也为90°，即n ⊥α成立，故①正确．对于②，若m ⊥α，m ⊥β，则经过m 作平面γ，设γ∩α＝a ，γ∩β＝b ，因为a ⊂α，b ⊂β，所以在平面γ内，m ⊥a ，m ⊥b ，所以直线a ，b 是平行直线．因为a ⊄β，b ⊂β，a ∥b ，所以a ∥β.经过m 作平面θ，设θ∩α＝c ，θ∩β＝d ，同样的方法可以证出c ∥β.因为a ，c 是平面α内的两条相交直线，所以α∥β，故②正确．对于③，因为m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α.因为n ⊂β，所以α⊥β，故③正确．对于④，因为m ∥α，α∩β＝n ，所以当直线m 在平面β内时，m ∥n 成立，但题设中没有给出m 在平面β内这一条件，故④不正确．综上所述，正确命题的个数是3.9．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝2，BC ＝23，∠BAC ＝π2，且此三棱柱的各顶点都在一个球面上，则球的体积为( ) A.8π3 B.16π3 C.32π3D.64π3解析：选C.因为∠BAC ＝π2，所以BA ⊥AC .又AA 1⊥平面ABC ，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1是一个底面为直角三角形的直三棱柱．作长方体ABDC A 1B 1D 1C 1，则这个直三棱柱的外接球就是长方体ABDC A 1B 1D 1C 1的外接球，且外接球的直径2R 即直四棱柱的体对角线BC 1的长，所以2R ＝BA 2＋AC 2＋AA 21＝BC 2＋AA 21＝32＋22＝4，解得R ＝2，则球的体积V ＝4π3×23＝32π3.10．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出下列命题： ①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α；②若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β. 其中假命题的序号是( ) A ．②③ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选B.①中，m ⊂β，α⊥β，则m 也可能在平面α内，也可能与平面α平行，故①错误；②中，由m ∥α，可得在平面α内一定存在一条直线n ，使得n ∥m ，由m ⊥β，可得n ⊥β，所以α⊥β，故②正确；③中，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，故③错误；④中，如果两个平面与同一个平面相交，且它们的交线平行，那么这两个平面可能平行，也可能相交，故④错误．11．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，A 1A ＝AC ＝2，BC ＝1，AB ＝5，则此三棱柱的侧视图的面积为( )A ．2B ．4 C.455D ．2 5解析：选C.本题主要考查空间几何体的三视图．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 与CC 1可确定平面C 1CD ，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧视图为侧面ACC 1A 1在平面C 1CD 上的正投影，该投影是以CD 和CC 1为邻边的矩形．在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，AB ＝5，所以AC ⊥BC ，所以12·AC ·BC＝12·AB ·CD ，即2×1＝5CD ，所以CD ＝255，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧视图的面积S ＝CC 1·CD ＝2×255＝455. 12．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )解析：选B.由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知，BO ⊥平面ACD .易知BO ＝2，则三棱锥N AMC 的高ON ＝2－x ，S △AMC ＝12·MC ·AD ＝2x ，所以三棱锥N AMC 的体积y ＝f (x )＝13·2x ·(2－x )＝13(－2x 2＋22x )(0＜x ＜2)，故函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线的一部分．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．) 13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：本题需要根据三棱锥的三视图画出三棱锥的直观图．三视图所表示的几何体的直观图如图所示．结合三视图知，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，AB ＝BC ＝2，AC ＝2. 所以PB ＝PA 2＋AB 2＝4＋2＝6，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，所以该三棱锥最长棱的棱长为2 2. 答案：2 214．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是________．解析：本题考查三视图及空间几何体体积的求解．由三视图可知，该几何体为一个空心圆柱，其中底面内圆的直径为3，外圆的直径为4，圆柱的高为1，故其体积V ＝π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫422－⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4. 答案：7π415．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．解析：本题考查旋转体的概念及其侧面积的计算方法．由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 答案：2π16．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E ，F 分别是棱PC ，PD 的中点，给出下列结论： ①AB ⊥PD ；②平面PBC ⊥平面PCD ； ③S △PCD ＞S △PAB ；④直线AE 与BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)解析：如图，对于①，易知棱AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；对于②，易知平面PBC 与平面PCD 所成的角为钝角，故②不正确；对于③，S △PAB ＝12×PA ×AB ＜12×PD ×AB ＝12×PD ×CD＝S △PCD ，故③正确；对于④，连接EF ，∵EF ∥CD ∥AB ，∴直线AE 与BF 相交，故④不正确．答案：①③三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，BE ∥PA ，BE ＝12PA ，F 为PA 的中点．(1)求证：DF ∥平面PEC ；(2)记四棱锥C PABE 的体积为V 1，三棱锥P ACD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：(1)证明：连接EF ，由已知得BE 綊AF ， ∴四边形ABEF 为平行四边形， ∴EF 綊AB .在矩形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴EF 綊CD ，∴四边形CDFE 为平行四边形，∴DF ∥EC . 又DF ⊄平面PEC ，EC ⊂平面PEC ， ∴DF ∥平面PEC . (2)连接PB .由题意知V P ACD ＝V P ABC ＝V C PAB ，即V 2＝V C PAB ， ∴V 1V 2＝S PABES △PAB.∵S △PAB ＝12AB ·PA ，S PABE ＝12(EB ＋PA )·AB ，∴S PABE S △PAB ＝12EB ＋PAAB12AB ·PA ＝32，即V 1V 2＝32. 18．(本小题满分10分)如图，在五面体ABCC 1B 1N 中，四边形CBB 1C 1为矩形，B 1C 1⊥平面ABB 1N ，四边形ABB 1N 为梯形，且AB ⊥BB 1，BC ＝AB ＝AN ＝12BB 1＝4.(1)求证：BN ⊥平面C 1B 1N ； (2)求此五面体的体积．解：(1)证明：过点N 作NM ⊥BB 1，垂足为M ，则NM ＝BM ＝AN ＝4，BN ＝ 42＋42＝4 2. ∵AN ＝12BB 1，∴MB 1＝BM ＝4，B 1N ＝NM 2＋B 1M 2＝42＋42＝4 2. ∵BB 21＝82＝64，B 1N 2＋BN 2＝(42)2＋(42)2＝64， ∴BN ⊥B 1N .∵B 1C 1⊥平面ABB 1N ，BN ⊂平面ABB 1N ， ∴B 1C 1⊥BN .∵B 1N ∩B 1C 1＝B 1，∴BN ⊥平面C 1B 1N . (2)连接CN .易知BC ⊥平面ABB 1N ，∴V C ABN ＝13·BC ·S △ABN ＝13×4×12×4×4＝323.∵B 1C 1⊥平面ABB 1N ，B 1C 1⊂平面CBB 1C 1， ∴平面CBB 1C 1⊥平面ABB 1N .又NM ⊥BB 1，NM ⊂平面ABB 1N ，平面CBB 1C 1∩平面ABB 1N ＝BB 1， ∴NM ⊥平面B 1C 1CB ，∴VN CBB 1C 1＝13·NM ·SCBB 1C 1＝13×4×4×8＝1283.∴此五面体的体积V ＝V C ABN ＋VN CBB 1C 1＝323＋1283＝1603.。

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

A单元集合与常用逻辑用语A1集合及其运算3.A1若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为( ) A．2 B．3C．4 D．163．C A∩B＝{1，3}，子集共有22＝4个，故选C.1．A1设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝( )A．{1，2} B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5} D．1．B 所求的集合是由全集中不属于集合A的元素组成的集合，显然是{3，4，5}．1．A1已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( )A．{0} B．{－1，0}C．{0，1} D．{－1，0，1}1．B ∵－1∈B，0∈B，1 B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.2．A1已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1，0，1} D．{0，1}2．A 因为A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．1．A1已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( )A．(－∞，2] B．C． D．1．D A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．1．A1设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{－2，2}，则A∩B＝( )A． B．{2}C．{－2，2} D．{－2，1，2，3}1．B 集合A与B中公共元素只有2.1．A1设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M，则∁R M为( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D． M＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，故∁R M＝ (1，＋∞)．2．A1已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3，4} D．2．A ∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}，又∵B＝{1，2}，∴{3} A {1，2，3}，∴∁U B＝{3，4}，A∩∁U B＝{3}．1．A1已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N＝( )A．{－2，－1，0，1} B．{－3，－2，－1，0}C．{－2，－1，0} D．{－3，－2，－1}1．C M∩N＝{－2，－1，0}．故选C.1．A1已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝( )A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}1．B 由题意可知，|x|<2，得－2<x<2，从而B＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{0，1}，故选B.4．A1集合{－1，0，1}共有________个子集．4．8 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.10．A1已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁U A)∩B＝________．10．{6，8} 由已知得∁U A＝{6，8}，又B＝{2，6，8}，所以(∁U A)∩B＝{6，8}．1．A1已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则B∩(∁U A)＝( )A．{2} B．{3，4}C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}1．B ∁U A＝{3，4，5}，B∩(∁U A)＝{3，4}．1．A1设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝( ) A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}1．A S ＝{－2，0}，T ＝{0，2}，S∩T＝{0}，故选A.1．A1 设集合S ＝{x|x 2＋2x ＝0，x∈R }，T ＝{x|x 2－2x ＝0，x∈R }，则S∩T＝( )A ．{0}B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}1．A S ＝{－2，0}，T ＝{0，2}，S∩T＝{0}，故选A.1．A1 已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＝n 2，n∈A}，则A∩B＝( )A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{9，16}D ．{1，2}1．A 集合B ＝{1，4，9，16}，所以A∩B＝{1，4}．1．A1 设集合S ＝{x|x>－2}，T ＝{x|－4≤x ≤1}，则S∩T＝( )A ． D ．(－2，1]1．D 从数轴可知，S∩T＝(－2，1]．所以选择D.1．A1 已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A∪B)＝( )A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}1．D 因为A∪B＝{1，2，3} ，所以∁U (A∪B)＝{4}，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件4.A2 “(2x－1)x ＝0”是“x＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．B (2x －1)x ＝0 x ＝12或x ＝0；x ＝0 (2x －1)x ＝0.故“(2x－1)x ＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．8．A2 给定两个命题p ，q ，若瘙綈p是q的必要而不充分条件，则p是瘙綈q的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．A∵“若q，则瘙綈p”与“若p，则瘙綈q”互为逆否命题，又“若q，则瘙綈p”为真命题，故p是瘙綈q的充分而不必要条件．2．A2“1<x<2”是“x<2”成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．A 1<x<2，一定有x<2；反之，x<2，则不一定有1<x<2，如x＝0.故“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件，选A.3．A2在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(瘙綈p)∨(瘙綈q) B．p∨(瘙綈q)C．(瘙綈p)∧(瘙綈q) D ．p ∨q3．A “至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.2．A2 设点P(x ，y)，则“x＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．A 当x ＝2，y ＝－1时，x ＋y －1＝0；但x ＋y －1＝0不能推出x ＝2，y ＝－1，故选A.7．A2，H6 双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12B ．m ≥1C ．m>1D ．m>27．C 双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋m>2，解得m>1.故选C. 4．A2 设a ，b∈R ，则“(a－b)·a 2<0”是“a<b”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．A 当(a －b)·a 2<0时，易得a<b ，反之当a ＝0，b ＝1时，(a －b)·a 2＝0，不成立．故选A.4．A2 设x∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ： x ∈A ，2x∈B，则( )A ．瘙綈p： x∈A，2x∈B B．瘙綈p： x A，2x∈BC．瘙綈p： x∈A，2x B D．瘙綈p ： x A ，2x B4．C 注意“全称命题”的否定为“特称命题”．6．A2，L4 设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<06．C 设z ＝a ＋bi(a ，b∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ，若z 2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，即b ＝0，故z 是实数，A 正确．若z 2<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b≠0，故B 正确．若z 是虚数，则b≠0，z 2＝a 2－b 2＋2abi 无法与0比较大小，故C 是假命题．若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b≠0，z 2＝－b 2<0，故D 正确．3．A2 若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．A 若α＝0，则sin 0＝0<cos 0＝1，而sin α<cos α，则2sin α－π4<0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件．所以选择A.A3 基本逻辑联结词及量词5.A3 已知命题p ： x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ： x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．瘙綈p∧qC．p∧瘙綈q D．瘙綈p∧瘙綈q5．B命题p假、命题q真，所以瘙綈p∧q 为真命题．2．A3 命题“对任意x∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0B ．对任意x∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x∈R ，使得x 2<02．A 根据定义可知命题的否定为：存在x 0∈R ，使得x 20<0，故选A.A4 单元综合16.A4，B14 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足：(i)T ＝{f(x)|x∈S}；(ii)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f(x 1)<f(x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①A ＝N ，B ＝N *；②A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|－8≤x≤10}；③A ＝{x|0<x<1}，B ＝R .其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)16．①②③ 函数f(x)为定义域S 上的增函数，值域为T.构造函数f(x)＝x ＋1，x∈N ，则f(x)值域为N ，且为增函数，①正确．构造过两点(－1，－8)，(3，10)的线段对应的函数f(x)＝92x －72，－1≤x≤3，满足题设条件，②正确．构造函数f(x)＝tanx －12π，0<x<1，满足题设条件，③正确．。

2018届高考数学一轮复习精选试题不等式(解答题) Word版含答案

不等式
解答题(本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米小时)是车流密度（单位:辆千米）的函数，当桥上的的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时，研究表明；当
时，车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ）当时，求函数的表达式;
(Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到辆小时）.
【答案】(）由题意，当时，；当时，设
由已知，解得.
故函数的表达式为.
()由题意并由（）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，
当且仅当即时等号成立.
所以当时，在区间上取得最大值.
综上可知，当时，在区间上取得最大值.
即当车流密度为辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为辆小时
．已知是正实数,且<,求证:<
【答案】证明：由是正实数,故要证<
只要证（）<() 只要证<
只要证<, 而> 只要证 <,
由条件<成立，故原不等式成立。

．设均为正实数．
(Ⅰ）若，求的最小值；
(Ⅱ）求证：.
【答案】（Ⅰ）：因为均为正实数，由柯西不等式得
，当且仅当时等号成立，∴
的最小值为
(Ⅱ）∵均为正实数，∴，当时等号成立；。

[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(2011)和答案

大纲理数3.E1下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3大纲理数3.E1 A 【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.大纲文数5.E1下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3大纲文数5.E1A 【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.课标文数 6.E1 若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件课标文数6.E1 D 【解析】当0<ab <1，a <0，b <0时，有b >1a；反过来b <1a ，当a <0时，则有ab >1，∴“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分也不必要条件．课标理数9.E2不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．课标理数9.E2{x|x≥1} 【解析】由|x＋1|≥|x－3|两边平方得x2＋2x＋1≥x2－6x＋9，即8x≥8，解得x≥1.课标理数4.E2不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A．B．C．(－∞，－5]∪∪ D 【解析】当|x－5|＋|x＋3|＝10时，求出x1＝6，x2＝－4，画出数轴，显然当x≥6或x≤－4时，满足|x －5|＋|x＋3|≥10.课标理数1.A1，E3已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．D．(－∞，－1]∪ C 【解析】由P∪M＝P，可知M⊆P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.课标文数 1.A1，E3已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)课标文数1.A1，E3 D 【解析】因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以∁U P＝{x|x<－1或x>1}，故选D.课标文数6.E3若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－2，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)课标文数6.E3 C 【解析】由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.课标文数5.E3 不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)课标文数5.E3 D 【解析】不等式2x 2－x －1>0化为(x －1)(2x ＋1)>0，解得x <－12或x >1，故选D.课标文数1.E3 设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．C ．(2，3]D ．课标文数1.E3 A 【解析】由解不等式知识知M ＝{x |－3＜x ＜2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．课标文数6.E5 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1课标文数6.E5 B 【解析】画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u ＝x ＋2y 经过A (0，1)，C (0，－1)时分别对应u 的最大值和最小值．故u max ＝2，u min ＝－2.课标理数4.E5 设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1课标理数4.E5 B 【解析】法一：特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，故排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，故排除D ，答案为B.法二：直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，平移目标函数线易知当直线x ＋2y ＝u 分别经过点B ，D 时对应u 的最小值和最大值，所以u min ＝－2，u max ＝2.大纲文数4.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3大纲文数4.E5 C 【解析】通过约束条件画出可行域，可知z 的最小值为5，故选C.课标理数8.E5，F3 已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．课标理数8.E5，F3 C 【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，图1－2当它经过点C (1，1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0；当它经过点B (0，2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2. ∴ z 的取值范围是，即OA →·OM →的取值范围是，故选C.课标文数21.E5，C9 设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．课标文数21.E5，C9 【解答】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图1－7所示，其中A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)．图1－7于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.课标理数5.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA→的最大值为( ) A ．4 2 B ．3 2 C ．4 D ．3 课标理数5.E5图1－1C 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标文数6.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA→的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2 课标文数6.E5图1－1B 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标理数8.E5 已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．课标理数8.E5 D 【解析】因为a ＝()x ＋z ，3，b ＝()2，y －z ，且a ⊥b ，所以a·b ＝2()x ＋z ＋3()y －z ＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又||x ＋||y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．图1－1所以当2x ＋3y －z ＝0过点B ()0，－1时，z min ＝－3；当2x ＋3y －z ＝0过点A ()0，1时，z max ＝3.所以z ∈[]－3，3.课标文数8.E5 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个课标文数8.E5 B 【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．图1－1因为直线2x ＋y －10＝0过点A ()5，0，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点()5，0.课标理数7.E5 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1，1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)课标理数7.E5 A【解析】先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1.表示的可行域，如图1－1.图1－1直线x ＋y ＝1与y ＝mx的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.由图可知，当x ＝1m ＋1，y ＝m m ＋1时，目标函数z ＝x ＋my 有最大值小于2，则有1m ＋1＋m ×mm ＋1<2，得1－2<m <1＋ 2. 又因为m >1，故m 的取值范围为1<m <1＋2，故选A.课标文数14.E5 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．课标文数14.E5 3【解析】先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域：如右图1－3：图1－3直线x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，得到当x ＝1m ＋1，y ＝mm ＋1时目标函数z ＝x ＋5y 有最大值4，则有1m ＋1＋5×mm ＋1＝4，得m ＝3.课标理数13.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z＝x ＋2y 的最小值为________．课标理数13.E5 －6 【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数14.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z＝x ＋2y 的最小值为________________________________________________________________________．课标文数14.E5 －6 【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数7.E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5课标文数7.E5 B 【解析】画出x ，y 的可行域，如图1－1阴影部分，直线x ＋2y －5＝0与直线x －y －2＝0交于点A (3，1)，当z ＝2x ＋3y ＋1过A 点时，使得z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3＋1＝10.图1－1图1－6课标文数12.E5如图1－6所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．课标文数12.E5 1 【解析】由图象知函数在点A(1，1)时，2x－y＝1；在点B(3，2)时，2x－y＝23－2>1；在点C(5，1)时，2x－y＝25－1＞1；在点D(1，0)时，2x－y＝2－0＝2>1，故最小值为1.大纲文数10.E5某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲文数10.E5 C 【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x ＋350y －z .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.大纲理数9.E5 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲理数9.E5 C 【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.课标文数2.E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4课标文数2.E5 D 【解析】作出可行域，如图1－1所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移至(2，2)时，z ＝3x －y 有最大值4.图1－1课标理数5.E5 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19课标理数5.E5 B 【解析】可行域如图所示：图1－3联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋4y 过点(4，1)时，有最小值16.课标文数3.E5 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28课标文数3.E5 A 【解析】可行域如图阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴当z ＝3x ＋4y 过点(3，1)时，有最小值13.课标文数7.B10，E6 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件课标文数7.B10，E6 B 【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x＝800x＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80件(x >0)时，取最小值，故选B.课标文数10.B12，E6 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9课标文数10.B12，E6 D 【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.课标理数10.N4，E6 设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6 9 【解析】方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，等号成立．课标文数3.E6 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b课标文数 3.E6 B 【解析】因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b2＝b ，a ＝aa <ab ，故答案为B.课标理数16.E6 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．课标理数16.E6 2105【解析】 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.课标文数16.E6 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．课标文数16.E6 233【解析】 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2－xy ＝1，即(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， ∴(x ＋y )2≤43，x ＋y ≤233.大纲理数7.E6 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 大纲理数7.E6 C 【解析】 1a ＋4b ＝12(a ＋b )1a ＋4b ＝125＋b a ＋4a b ≥125＋2b a ·4a b ＝92. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2即a ＝23，b ＝43时取到等号．∴y min ＝92.大纲文数7.E6 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4大纲文数7.E6 C 【解析】 ∵x ＞2， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．大纲文数15.E6 若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，则c 的最大值是________________________________________________________________________．大纲文数15.E6 2－log 23 【解析】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，2a ＋b ≥4取“＝”．由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c＝2a ＋b 2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.课标文数20.D5，E7设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，2a n ≤b n ＋1＋1.课标文数20.D5，E7 【解答】 (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0，n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1bA n －1＝1b ＋…＋1b n －1＋1b n －1A 1＝1b＋ (1)n －1＋1bn .①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n （b －1），②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n （b －1）b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n （b －1）b n－1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1.∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n －1＋…＋b ＋1b>b n (2＋2＋…＋2) ＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n （b －1）b n－1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1. 综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.大纲理数22.B12，E8 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－2xx ＋2，证明：当x >0时，f (x )>0；(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.大纲理数22.B12，E8 【解答】 (1)f ′(x )＝x 2（x ＋1）（x ＋2）2.当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )为增函数，又f (0)＝0.因此当x >0时，f (x )>0.(2)p ＝100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…，91×89<902，所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019.由(1)知：当x >0时，ln(1＋x )>2xx ＋2. 因此，⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x ln(1＋x )>2.在上式中，令x ＝19，则19ln 109>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫10919>e 2.所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.课标文数22.B12，E8 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k .问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．课标文数22.B12，E8【解答】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－42，x2＝a＋a2－42.当0<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a>2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝f（x1）－f（x2）x1－x2＝1＋1x1x2－a·ln x1－ln x2x1－x2.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·ln x1－ln x2 x1－x2.若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)．(*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t－2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .课标文数21.B12，E8 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．课标文数21.B12，E8 【解答】 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，故(0，1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－（x －1）2x2. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0. 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.即g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a ＜1，从而得0＜a ＜e.课标理数19.E9(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1<a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .课标理数19.E9 【解析】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力．【解答】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立．课标理数21.B12，E9(1)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值；(2)设a k ，b k (k ＝1，2，…，n )均为正数，证明：①若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤b 1＋b 2＋…＋b n ，则ab 11ab 22…ab nn ≤1； ②若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1n≤bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n .课标理数21.B12，E9 【解答】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝1x－1＝0，解得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1)内是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)内是减函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：①由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1.∵a k ，b k >0，从而有ln a k ≤a k －1，得b k ln a k ≤a k b k －b k (k ＝1，2，…，n )，于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 2b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb n b n≤1，即1bb 11bb 22…bb nn ≤nb 1＋b 2＋…＋b n ＝n ， ∴bb 11bb 22…bb nn ≥1n.(ii)再证bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n ，记S ＝∑k ＝1nb 2k ，设a k ＝b kS (k ＝1，2，…，n )，则∑k ＝1na kb k ＝1S，于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1S b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2S b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫b n S b n≤1，即bb 11bb 22…bb nn ≤Sb 1＋b 2＋…＋b n ＝S ，∴bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n .综合(i)(ii)，②得证．课标文数20.B12，E9 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．课标文数20.B12，E9 【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3.由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2.对任意的x ∈，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0，又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.大纲理数10.E9 设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．12D ．13大纲理数10.E9 D 【解析】设f (x )＝mx 2－kx ＋2，由f (0)＝2，知f (x )的图象恒过定点(0，2)．因此要使已知方程在区间(0，1)内有两个不同的根，即f (x )的图象在区间(0，1)内有两个不同的交点，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f （1）＝m －k ＋2>0，0<k 2m <1，Δ＝k 2－8m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，k >0，m －k ＋2>0，2m －k >0，k 2－8m >0，在直角坐标系mOk 中作出满足不等式平面区域，如图1－4所示，设z ＝m ＋k ，则直线m ＋k －z ＝0经过图中的阴影中的整点(6，7)时，z ＝m ＋k 取得最小值，即z min ＝13.图1－4。

2018年高考数学—不等式专题

不等式(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y得到－5. 答案－5(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x＋3y －5的最小值为_____.解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.5 解析画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4.答案 C(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12 解析作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示， x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大.所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.答案 C(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b，即b＝2a时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C 答案 C。

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测第七章不等式7-3Word版含答案

A 组专项基础训练(时间：25分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【解析】由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．【答案】 B2．(2015·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】画出约束条件的可行域如图阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0，3)，所以z max ＝0＋6×3＝18，选C.【答案】 C3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5【解析】作出可行域(如图)，令z ＝2x ＋y ，则当目标函数线过点A (1，2)时，2x ＋y 取得最大值，且最大值为2×1＋2＝4.故选C.【答案】 C4．(2016·河南洛阳期中)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】先根据约束条件画出可行域，如图．设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，将z 转化为直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距．当直线z ＝x ＋y 经过直线x －my ＋1＝0与直线2x －y －3＝0的交点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝9，2x －y －3＝0得A (4，5)，将点A 的坐标代入x －my ＋1＝0得m ＝1，故选C.【答案】 C5．(2016·北京丰台模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙种产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A 原料不能超过10吨，B 原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x 吨，乙种产品的产量为y 吨，则在坐标系xOy 中，满足上述条件的x ，y 的可行域用阴影部分表示正确的是()【解析】由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，3x ＋y ≤10，2x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0，故选A.【答案】 A6．(2016·株洲模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13 C ．1 D ．2【解析】如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点(1，－2a )处取得最小值，2×1－2a ＝1，解得a ＝12.【答案】 A7．(2016·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，，则ω＝y ＋1x的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1，0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.【答案】 D8．(2016·贵阳模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z ＜2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.【答案】 D9．(2016·山西质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．【答案】10．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 10B 组专项能力提升 (时间：15分钟)11．(2016·黑龙江哈六中月考)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z .平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大为6，即x ＋y ＝6.当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3，3)． ∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x ＋2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，即B (－6，3)．此时z 的最小值为－6＋3＝－3，故选A. 【答案】 A12．(2016·河北衡水中学四调)设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【解析】由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z ，直线y ＝－ax ＋z 是斜率为－a ，在y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域，如图，则A (1，1)，B (2，4)．∵z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，∴直线z ＝ax ＋y 过点B 时，z 取得最大值2a ＋4，过点A 时取得最小值a ＋1.若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件．若a ＞0，则目标函数线的斜率k ＝－a ＜0，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a ≥k BC ＝－1，即0＜a ≤1.若a ＜0，则目标函数线的斜率k ＝－a ＞0，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a ＜0.综上，－2≤a ≤1，故选B.【答案】 B13．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6【解析】由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝3 2.故选C.【答案】 C14．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( )A.115B ．2 C.95D ．1 【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x－4y －13＝0的距离的最小值为2.【答案】 B15．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，表示的可行域如图：由x －2y ＋4＝0及3x －y －3＝0得A (2，3)，由x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )与点(0，0)的距离的平方可得(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，其中d 表示点(0，0)到直线2x ＋y －2＝0的距离，所以x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1316．(2016·山东淄博模拟)电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320 min.问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【解析】设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 则目标函数为z ＝60x ＋20y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ∈N ，y ∈N .作出⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图．作出直线y ＝－3x 并平移，由图可知，当直线过点A 时纵截距z20最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ＝320，x ＋y ＝6，得点A 的坐标为(2，4)，满足x ∈N ，y ∈N ，所以z max ＝60×2＋20×4＝200.所以电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．。

(完整word版)2018届高考数学(文)大一轮复习检测第六章第3讲基本不等式Word版含答案

第3讲基本不等式，［学生用书P115]）1．基本不等式错误!≤错误!（1）基本不等式成立的条件:a ≥0，b ≥0．（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0,b 〉0，则a ，b 的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x 〉0，y 〉0，则(1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2错误!．（简记:积定和最小）（2）如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是错误!．（简记:和定积最大) 1．辨明两个易误点（1）使用基本不等式求最值，“一正，二定,三相等”三个条件缺一不可；（2）连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式 a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ）；错误!＋错误!≥2(a ,b 同号且都不为0）； ab ≤错误!错误!(a ，b ∈R ）；错误!错误!≤错误!（a ，b ∈R ）． 3．巧用“拆”“拼”“凑"在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑"等技巧，使其满足基本不等式中“正"“定”“等”的条件．1.错误! 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为（） A ．(0，错误!］ B ．（0，错误!] C ．［错误!，＋∞） D ．[错误!，＋∞) B [解析］ a ＋b ＝m ≥2错误!, 所以ab ≤错误!，故选B 。

2.错误! 函数f (x )＝x ＋错误!的值域为（ ) A ．［－2，2］ B ．[2,＋∞）C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞）D ．RC ［解析] 当x 〉0时，x ＋1x≥2错误!＝2。

当x 〈0时，－x >0.－x ＋错误!≥2错误!＝2。

2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第五章数列5

课时规范训练 A 组基础演练1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－n＋12 B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π解析：选D.令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：选A.由a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15，故选A. 3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53B.43 C ．1D.23解析：选A.由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53. 4．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A.由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋＝3×5＝15.5．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 019的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：选B.由a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12可知，数列{a n }是周期为3的数列，且a 1·a 2·a 3＝－1，从而T 2 019＝(－1)673＝－1. 6．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130D ．30解析：选D.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1nn ＋，所以1a 5＝5×6＝30.7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55解析：选A.∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.8．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1解析：选A.当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，3×4n －2n∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.9．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：选D.法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列，且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n .法二(累乘法)：当n ≥2时，a n a n －1＝nn －1. a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n .10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( ) A ．{1,2} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解析：选B.因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，故所有满足的正整数n ＝1,2,3,4.B 组能力突破1．将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差，即a 2 018－5＝( )A ．2 018×1 012B ．2 024×2 017C ．1 009×2 018D ．1 012×2 017解析：选D.∵a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5.∴a 2 018＝(a 2 018－a 2 017)＋(a 2 017－a 2 016)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 020＋2 019＋…＋4＋5＝020＋2＋5＝1 012×2 017＋5.∴a 2 018－5＝1 012×2 017.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13B.2nn ＋C.6n ＋n ＋D.5－2n3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n－1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n n ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n n ＋，故选B.3．已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．解析：n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7. 答案：74．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥25．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.解析：由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.答案：61166．已知数列{a 2n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________. 解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2 018＝a 2＝0. 答案：0。

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

数学H 单元解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kc k 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x2－23. ①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离15．B12、H2 设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．15．(1，1) 对y ＝e x求导得y ′＝e x，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x2＝－1，得x ＝1，则y＝1，所以P 的坐标为(1，1)．H3 圆的方程14．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准．．方程为________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 14．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)．设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）b －（2－2）（2＋1）b －（2＋2）＝（2－1）（b －2）（2＋1）（b －2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA ||NB |＝2－1.所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.7．H3 过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．107．C 方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12||AC ＝5，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法三：由AB →·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二．14．H3 一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．14.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 设圆心为(t ，0)(t >0)，则半径为4－t ，所以4＋t 2＝(4－t )2，解得t ＝32，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.8．H3、H4 已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2108．C 由题设，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝－4＝36，所以|AB |＝6.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系5．H4 平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝05．A 设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则圆心到该直线的距离为|m |22＋1＝5，∴|m |＝5，即m ＝±5.14．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准．．方程为________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 14．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)．设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）b －（2－2）（2＋1）b －（2＋2）＝（2－1）（b －2）（2＋1）（b －2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA ||NB |＝2－1.所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.9．H4 一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－349．D 设反射光线所在直线的斜率为k ，反射光线过点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)．又∵其与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 10．H4，H7 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 当直线l 与x 轴垂直，且0<r <5时，满足条件的直线有且仅有2条．当直线l 与x 轴不垂直时，不妨设切点M (5＋r cos θ，r sin θ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k ＝－cos θsin θ.另一方面，由于M 是AB 的中点，故由点差法得k ＝2r sin θ，则r ＝－2cos θ，所以r ＞2. 因为M (5＋r cos θ，r sin θ)在抛物线内，所以r 2sin 2θ<4(5＋r cos θ)，又r cos θ＝－2，所以化简得r ＜4，故2＜r ＜4.当2＜r ＜4时，由r ＝－2cos θ知满足条件且在x 轴上方的切点M 只有1个，从而总的切线有4条．故选D.8．H3、H4 已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2108．C 由题设，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝－4＝36，所以|AB |＝6.H5 椭圆及其几何性质20．H5、H8 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b .又k OM ＝510，所以b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3，所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.21．H9、H5、H8、H10 一种作图工具如图16所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图17所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图16图1721．解：(1)设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意， MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得 S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |·2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m21－4k2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.18．H5、H10 如图14，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.20．H5、H8 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k ＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ，所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )，设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．13．H5 设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．13. 5 由已知，令F (－c ，0)，虚轴的一个端点B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故P (c ，2b )．又P 在双曲线上，代人双曲线方程得c 2a 2－4b 2b 2＝1，即e ＝ca＝ 5.20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．20．解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时，S 取得最大值23，由(i)知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图17，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图1720．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20．H5、H8、H9 如图15所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.图15(1)求椭圆E 的方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．解：(1)由已知得，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点．如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，得|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k ＋1，x 1x 2＝－22k ＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)．又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立．19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kc k 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x2－23. ①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.19．H5、H8 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．图1619．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1mx ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2的坐标代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得，m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 21．H5、H8 如图16所示，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .图1621．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝ |F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：如图，设点P (x 0，y 0)，由点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，得x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由 |PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此 (2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12×1＋42＋2－12＝6－ 3.方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.H6 双曲线及其几何性质4．H6 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 4．C 选项A ，B 中的双曲线的焦点在x 轴上，不正确；C 中的双曲线的焦点在y 轴上，且渐近线方程为y ＝±2x ，符合题意；D 中的双曲线的焦点在y 轴上，但渐近线方程为y ＝±12x ，不符合题意．故选C. 7．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 7．C 由题知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝54，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，故b 2＝c 2－a 2＝9.8．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a b 时，e 1<e 2；当a e 2 8．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a 0)，得bm <am ，即b <a .同理可得，当b >a 时，有e 1>e 2.故选D.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22. 11．H6 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 211．D 由题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，设M 在第一象限，由题意知|AB |＝|BM |＝2a ，∠ABM ＝120°，所以在△ABM 中，|AM |＝23a ，所以M (2a ，3a )，代入双曲线方程得（2a ）2a 2－（3a ）2b2＝1，解得a 2＝b 2，所以e ＝ 2.故选D.5．H6 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．A 由题意不妨取F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 2＋y 20－3<0.又点M 在曲线C 上，所以有x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，代入上式得y 20<13，所以－33<y 0<33，故选A.10．H6 已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________．10.33 双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程是y ＝±1a x ，又知一条渐近线为3x ＋y＝0，所以1a ＝3，解得a ＝33.3．H6 若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．B 由题知||PF 1－||PF 2＝±6，所以||PF 2＝||PF 1±6＝－3或9(负值舍去)，故||PF 2＝9.15．H6、H7 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15.32 设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，OB 所在的直线方程为y ＝－bax ，抛物线C 2的焦点为F ，则可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.又∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，即AF →·OB →＝0.又∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，p 2－2pb 2a 2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，∴4p 2b2a 2＋2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－2pb 2a 2＝0，整理得5a 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋54＝32. 14．H6、H7 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．2 2 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p ＝2 2.5．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33B ．2 3C ．6D ．4 3 5．D 易知双曲线的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝±2 3，故|AB |＝4 3.6．H6、H7 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 6．D 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 的渐近线是y ＝±b ax .因为一条渐近线过点(2，3)，所以2b a＝ 3.抛物线y 2＝47x 的准线是x ＝－7，因为双曲线的一个焦点在直线x ＝－7上，所以a 2＋b 2＝7，解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.9．H6 双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．9．2 3 y ＝±22x c 2＝a 2＋b 2＝3⇒c ＝3，则焦距为2 3，渐近线方程为y ＝±22x .10．H6、E1 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．A 由题意得A (a ，0)，不妨取Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x 0，0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x 0·b 2a a －c ＝－1，解得c －x 0＝b 4a 2（c －a ），由题可知c －x 0＝b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b 4a 2<c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2<1⇒0b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．15．H6、H7 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15.32 设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，OB 所在的直线方程为y ＝－bax ，抛物线C 2的焦点为F ，则可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.又∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，即AF →·OB →＝0.又∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，p 2－2pb 2a 2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，∴4p 2b2a 2＋2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－2pb 2a 2＝0，整理得5a 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋54＝32. 14．H6、H7 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．2 2 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p ＝2 2.10．H4，H7 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 当直线l 与x 轴垂直，且0<r <5时，满足条件的直线有且仅有2条．当直线l 与x 轴不垂直时，不妨设切点M (5＋r cos θ，r sin θ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k ＝－cos θsin θ.另一方面，由于M 是AB 的中点，故由点差法得k ＝2r sin θ，则r ＝－2cos θ，所以r ＞2. 因为M (5＋r cos θ，r sin θ)在抛物线内，所以r 2sin 2θ<4(5＋r cos θ)，。

2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)专题测试四数列含答案

专题测试四数列(时间90分钟,满分100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知数列｛a n｝满足3a n＋1＋a n＝0,a2＝－错误!,则｛a n}的前10项和等于（)A．－6(1－3－10) B。

错误!（1－3－10)C．3（1－3－10）D．3（1＋3－10）解析：选C。

由题意可知数列为等比数列,设等比数列的公比为q,则有q＝错误!＝－错误!，a1＝错误!＝4，因此其前10项和等于错误!＝3(1－3－10），故选C。

2．等比数列｛a n｝的前n项和为S n。

已知S3＝a2＋10a1,a5＝9，则a1＝（)A。

错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!解析：选C.∵数列{a n｝是等比数列,S3＝a2＋10a1且a5＝9，∴错误!即错误!∵a1≠0，∴q2＝9,a1＝错误!＝错误!＝错误!，故选C。

3．在等差数列｛a n｝中，a n＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a2·a9的最大值是（)A．3 B．6C．9 D．36解析：选C。

∵数列{a n｝为等差数列，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6，又a1＋a2＋…＋a10＝5（a2＋a9)＝30，∴a2＋a9＝6。

∵a n ＞0，∴a2·a9≤错误!2＝9，当且仅当a2＝a9时取等号，则a2·a9的最大值等于9，故选C。

4．在等差数列｛a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120,则2a10－a12的值为( ）A．20 B．22C．24 D．28解析：选C。

依题意得5a8＝120，a8＝24,2a10－a12＝(a12＋a8）－a12＝a8＝24，故选C。

5．已知等差数列{a n｝的公差d≠0，若a3＋2a m＋a13＝24，a9＋a7＝12，则正整数m为( )A．6 B．7C．8 D．9解析:选C。

依题意得2a8＝12，a8＝6，2a8＋2a m＝24,a m＝6＝a8，又d≠0，因此m＝8，故选C.6．已知等比数列｛a n｝的前n项和S n＝2n＋r，则r的值为（) A．2 B．1C．－1 D．0解析:选C.由已知得a1＝S1＝2＋r，a2＝S2－S1＝22＋r－(2＋r）＝2，a3＝S3－S2＝23＋r－(22＋r）＝4，由a22＝a1a3⇒22＝(2＋r）×4⇒r＝－1,故选C.7．已知数列{a n｝是等比数列，若a2＝2,a5＝错误!，则a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝( ）A.错误!(1－4－n）B．8(1－2－n）C。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(理科2013)和答案

E 单元不等式E1 不等式的概念与性质12．H2，E1 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－2，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1212．B 方法一：易得△ABC 面积为1，利用极限位置和特值法．当a ＝0时，易得b ＝1－2；当a ＝13时，易得b ＝13；当a ＝1时，易得b ＝2－1>13.故选B. 方法二：(直接法)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋by ＝a ＋b a ＋1 ，y ＝ax ＋b 与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形与a>0 ，12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12(a ＋b)2＝a(a ＋1)>0a ＝b 21－2b. ∵a>0，∴b 21－2b >0b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22，故答案为B.8．B7，E1 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c8．D a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0，b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0，所以a>b>c ，选D.E2 绝对值不等式的解法E3 一元二次不等式的解法6．E3、B6、B7 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x 错误!x<－1或x>错误!，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}6．D 根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x<12，解得x<－lg 2.9．E3 不等式x 2＋x －2<0的解集为________．9．{x|－2<x<1} x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1.故不等式的解集是{x|－2<x<1}．14．B4，E3 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．14．(－7，3) 当x ＋2≥0时，f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4(x ＋2)＝x 2－4，由f(x ＋2)＜5，得x 2－4＜5，即x 2＜9，解得－3＜x ＜3，又x ＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，于是－7＜x ＜－2也满足不等式．(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)E4 简单的一元高次不等式的解法14．E4、K3 在区间上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．14.13 当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.E5 简单的线性规划问题9．F2、E5 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB→|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．42 D ．439．D 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1，所以12x －12 3y ＋13y ≤1，即|3x －y|＋|2y|≤23.①⎩⎪⎨⎪⎧3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②⎩⎪⎨⎪⎧3x －y≥0，y<0，3x －3y≤2 3或 ③⎩⎪⎨⎪⎧3x －y<0，y≥0，－3x ＋3y≤23或④⎩⎪⎨⎪⎧3x －y<0，y<0，－3x －y≤23.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是43.8．E5 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－538．C 在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x －2y ＝2有交点，当点(－m ，m)在直线x －2y ＝2上时，有m ＝－23，所以m<－23，故选C.13．E5 给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取值最大值或最小值的点}．则T 中的点共确定________条不同的直线．13．6 由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z ＝x ＋y 在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．20．I3，E5假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P.(1)求P的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于P的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？20．解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得P＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝12＋12P(700<X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y，依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥P.由(1)知，P 0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥P 0等价于36x ＋60y≥900，于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y≤x＋7，36x ＋60y≥900，x ，y≥0，x ，y∈N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y 值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．4．E5 若变量x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2x，x ＋y≤1，y≥－1，则x ＋2y 的最大值是()A ．－52B ．0 C.53 D.524．C 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23处x ＋2y 取最大值为53.9．E5 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 由y ＝x 2得y′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.6．E5 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－126．C 不等式组表示的可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，解得P ()3，－1，当M 与P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝－1－03－0＝－13.图1－113．E5 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．13．－4 结合题目可以作出y ＝∣x－1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－1，2)时，z 取最小值为－4.2．E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 2．A 作出可行域，如图阴影部分．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z ＝3－2×5＝－7.9．E5，H1 已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤3，y≥a（x －3）.若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．29．B 直线y ＝a(x －3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y ＝－2x ，平移易知直线过A 点时直线在y 轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a ＝12.答案为B.13．E5 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________．13．2 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝2.基本不等式3．E6 （3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3 223．B 因为－6≤a≤3，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时等号成立，故选B.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用22．B12，E8 设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1； (3)设x∈R ，记为不小于．．．x 的最小整数，例如＝2，＝4，－32＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7) 22．解： (1)因为f′(x)＝(r ＋1)(1＋x)r －(r ＋1)＝(r ＋1)，令f′(x)＝0，解得x ＝0.当－1<x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x ＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x>－1且x≠0时，有(1＋x)r ＋1>1＋(r ＋1)x.①在①中，令x ＝1n (这时x>－1且x≠0)，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n . 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.② 当n>1时，在①中令x ＝－1n(这时x>－1且x≠0)，类似可得n r >n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1，③ 且当n ＝1时，③也成立，综合②，③得n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④ (3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得 34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)，将以上各式相加，并整理得34(12543－8043)<S<34(12643－8143)，代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，34(12643－8143)≈210.9. 由的定义，得＝211.20．E8 在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图1－5所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处，现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．图1－520．解：设点P 的坐标为(x ，y)．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x －3|＋|y －20|，x∈R ，y∈时，不等式(**)中的等号成立．所以d 1(x)≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y)＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3，1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y －20|.此时，d 1(x)＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|，d 2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y －20|＝22－y≥21.由①知，d 1(x)≥24，故d 1(x)＋d 2(y)≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P(3，1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．12．E8设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为( )A．0 B．1 C.94D．312．B 由题意得z＝x2－3xy＋4y2，∴xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤12xy·4yx－3＝1，当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时，等号成立，∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－24y2－6y2＋4y2＝－⎝⎛⎭⎪⎫1y－12＋1≤1.9．E8在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )图1－2A．B．C．D．9．C 如下图，可知△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则x40＝错误!，所以y ＝40－x.又xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x 2－40x ＋300≤0，则10≤x≤30.15．C8，E8，N1 设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…，P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ 对于①，如果中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB 上时，如果不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为5，显然25＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A ，B ，C ，D 四点共线时，不妨设他们的顺序就是A ，B ，C ，D ，则当点P 在B ，C 之间运动时，点P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．E9单元综合。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(2011)和答案

大纲理数3.E1下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3大纲理数3.E1 A 【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.大纲文数5.E1下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3大纲文数5.E1A 【解析】对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件，故选A.课标文数6.E1若a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件课标文数6.E1 D 【解析】当0<ab <1，a <0，b <0时，有b >1a ；反过来b <1a，当a <0时，则有ab >1，∴“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分也不必要条件．课标理数9.E2不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．课标理数9.E2 {x|x≥1} 【解析】由|x＋1|≥|x－3|两边平方得x2＋2x＋1≥x2－6x＋9，即8x≥8，解得x≥1.课标理数4.E2不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )A．B．C．(－∞，－5]∪∪D 【解析】当|x－5|＋|x＋3|＝10时，求出x1＝6，x＝－4，画出数轴，显然当x≥6或x≤－4时，满足|x－5|＋|x＋3|≥10.2课标理数1.A1，E3已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1]B．D．(－∞，－1]∪C 【解析】由P∪M＝P，可知M⊆P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.课标文数1.A1，E3已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( ) A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)课标文数1.A1，E3D 【解析】因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以∁U P＝{x|x<－1或x>1}，故选D.课标文数6.E3若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－2，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)课标文数6.E3C 【解析】由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝m 2－4>0，解得m <－2或m >2，故选C.课标文数5.E3 不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)课标文数5.E3 D 【解析】不等式2x 2－x －1>0化为(x －1)(2x ＋1)>0，解得x <－12或x >1，故选D.课标文数1.E3 设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．C ．(2，3]D ．课标文数1.E3 A 【解析】由解不等式知识知M ＝{x |－3＜x ＜2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．课标文数6.E5 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1课标文数6.E5 B 【解析】画出可行域(如图所示阴影部分)．可知当直线u ＝x ＋2y 经过A (0，1)，C (0，－1)时分别对应u 的最大值和最小值．故u max ＝2，u min ＝－2.课标理数4.E5 设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1课标理数4.E5 B 【解析】法一：特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，故排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，故排除D ，答案为B.法二：直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，平移目标函数线易知当直线x ＋2y ＝u 分别经过点B ，D 时对应u 的最小值和最大值，所以u min ＝－2，u max ＝2.大纲文数4.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．17B ．14C ．5D ．3大纲文数4.E5 C 【解析】通过约束条件画出可行域，可知z 的最小值为5，故选C.课标理数8.E5，F3 已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA→·OM →的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．课标理数8.E5，F3 C 【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)，又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，图1－2当它经过点C (1，1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0；当它经过点B (0，2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2. ∴ z 的取值范围是，即OA →·OM →的取值范围是，故选C.课标文数21.E5，C9 设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．课标文数21.E5，C9 【解答】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图1－7所示，其中A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)．图1－7于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.课标理数 5.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM→·OA →的最大值为( ) A ．4 2 B ．3 2 C ．4 D ．3 课标理数5.E5图1－1C 【解析】 z ＝OM →·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标文数 6.E5 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM→·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2 课标文数6.E5图1－1B 【解析】 z ＝OM→·OA →＝(x ，y )·(2，1)＝2x ＋y ，画出不等式组表示的区域(如图1－1)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.课标理数8.E5 已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．课标理数8.E5 D 【解析】因为a ＝()x ＋z ，3，b ＝()2，y －z ，且a ⊥b ，所以a·b ＝2()x ＋z ＋3()y －z ＝0，即2x ＋3y －z ＝0.又||x ＋||y ≤1表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)．图1－1所以当2x ＋3y －z ＝0过点B ()0，－1时，z min ＝－3；当2x ＋3y －z ＝0过点A ()0，1时，z max ＝3.所以z ∈[]－3，3.课标文数8.E5 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个课标文数8.E5 B【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．图1－1因为直线2x ＋y －10＝0过点A ()5，0，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点()5，0.课标理数7.E5 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1，1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)课标理数7.E5 A【解析】先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1.表示的可行域，如图1－1.图1－1直线x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1.由图可知，当x ＝1m ＋1，y ＝m m ＋1时，目标函数z ＝x ＋my 有最大值小于2，则有1m ＋1＋m ×mm ＋1<2，得1－2<m <1＋ 2.又因为m >1，故m 的取值范围为1<m <1＋2，故选A.课标文数14.E5 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．课标文数14.E5 3【解析】先画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1表示的可行域：如右图1－3：图1－3直线x ＋y ＝1与y ＝mx 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，得到当x ＝1m ＋1，y ＝m m ＋1时目标函数z ＝x ＋5y 有最大值4，则有1m ＋1＋5×mm ＋1＝4，得m ＝3.课标理数13.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．课标理数13.E5 －6 【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9解得A (4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数14.E5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________________________________________________________________________．课标文数14.E5 －6 【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9解得A (4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.图1－6课标文数7.E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5课标文数7.E5 B 【解析】画出x ，y 的可行域，如图1－1阴影部分，直线x ＋2y －5＝0与直线x －y －2＝0交于点A (3，1)，当z ＝2x ＋3y ＋1过A 点时，使得z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3＋1＝10.图1－1图1－6课标文数12.E5 如图1－6所示，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．课标文数12.E5 1 【解析】由图象知函数在点A (1，1)时，2x －y ＝1；在点B (3，2)时，2x －y ＝23－2>1；在点C (5，1)时，2x －y ＝25－1＞1；在点D (1，0)时，2x －y ＝2－0＝2>1，故最小值为1.大纲文数10.E5 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲文数10.E5 C 【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝450x ＋350y －z .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.大纲理数9.E5 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元大纲理数9.E5 C 【解析】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z＝450x ＋350y .作出约束条件所表示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7，5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900.课标文数2.E5 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x－y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4课标文数 2.E5 D 【解析】作出可行域，如图1－1所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 当目标函数z ＝3x －y 移至(2，2)时，z ＝3x －y 有最大值4.图1－1课标理数5.E5 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19课标理数5.E5 B 【解析】可行域如图所示：图1－3联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋4y 过点(4，1)时，有最小值16.课标文数3.E5 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28课标文数3.E5 A 【解析】可行域如图阴影部分所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴当z ＝3x ＋4y 过点(3，1)时，有最小值13.课标文数7.B10，E6 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件课标文数7.B10，E6 B 【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x＝800x ＋x 8≥2800x ×x8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80件(x >0)时，取最小值，故选B.课标文数10.B12，E6 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9课标文数10.B12，E6 D 【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.课标理数10.N4，E6 设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6 9 【解析】方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，等号成立．课标文数3.E6 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b课标文数3.E6 B 【解析】因为0<a <b ，由基本不等式得ab <a ＋b 2，a <b ，故a ＋b 2<b ＋b 2＝b ，a ＝aa <ab ，故答案为B.课标理数16.E6 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．课标理数16.E6 2105【解析】 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.课标文数16.E6 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．课标文数16.E6 23【解析】 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2－xy ＝1，即(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1，∴(x ＋y )2≤43，x ＋y ≤233.大纲理数7.E6 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 大纲理数7.E6 C 【解析】 1a ＋4b ＝12(a ＋b )1a ＋4b ＝125＋b a ＋4a b ≥125＋2b a ·4a b＝92. 当且仅当⎩⎨⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝2即a ＝23，b ＝43时取到等号．∴y min ＝92.大纲文数7.E6 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4大纲文数7.E6 C 【解析】 ∵x ＞2， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．大纲文数15.E6 若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是________________________________________________________________________．大纲文数15.E6 2－log 23 【解析】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，2a ＋b ≥4取“＝”．由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c＝2a ＋b2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.课标文数20.D5，E7设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，2a n ≤b n ＋1＋1.课标文数20.D5，E7 【解答】 (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0，n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b ，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1b A n －1＝1b ＋…＋1b n －1＋1b n －1A 1 ＝1b ＋…＋1b n －1＋1b n. ①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1b n 1－1b＝b n －1b n （b －1），②当b ＝1时，A n ＝n .∴a n＝⎩⎨⎧nb n （b －1）b n －1，b ≠1，1，b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n （b －1）b n－1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1.∵(b n ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n －1＋…＋b ＋1b>b n (2＋2＋…＋2) ＝2nb n ，∴2a n ＝2nb n （b －1）b n－1<1＋b n ＋1. 当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1. 综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.大纲理数22.B12，E8 (1)设函数f (x )＝ln(1＋x )－2xx ＋2，证明：当x >0时，f (x )>0；(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.大纲理数22.B12，E8 【解答】 (1)f ′(x )＝x 2（x ＋1）（x ＋2）2.当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )为增函数，又f (0)＝0.因此当x >0时，f (x )>0. (2)p ＝100×99×98×…×8110020.又99×81<902，98×82<902，…，91×89<902，所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019.由(1)知：当x >0时，ln(1＋x )>2xx ＋2.因此，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ln(1＋x )>2.在上式中，令x ＝19，则19ln 109>2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫10919>e 2.所以p <⎝ ⎛⎭⎪⎫91019<1e 2.课标文数22.B12，E8 设函数f (x )＝x －1x－a ln x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k .问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．课标文数22.B12，E8 【解答】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4.①当|a |≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <－2时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0. 在(0，＋∞)上，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >2时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－4，x 2＝a ＋a 2－4.当0<x <x 1时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；当x >x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．(2)由(1)知，a >2.因为f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2－a (ln x 1－ln x 2)，所以，k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1＋1x 1x 2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又由(1)知，x 1x 2＝1，于是 k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a ，则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)．(*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t－2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .课标文数21.B12，E8 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．课标文数21.B12，E8 【解答】 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，故(0，1)是g (x )的单调减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g (x )的最小值为g (1)＝1. (2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－（x －1）2x2. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0. 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0. 即g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以，g (a )－g (x )<1a，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a＜1，从而得0＜a＜e.课标理数19.E9(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1<a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .课标理数19.E9 【解析】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力．【解答】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)立知所要证明的不等式成立．课标理数21.B12，E9(1)已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值；(2)设a k，b k(k＝1，2，…，n)均为正数，证明：①若a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≤b1＋b2＋…＋b n，则ab11ab22…ab nn≤1；②若b1＋b2＋…＋b n＝1，则1n≤bb11bb22…bb nn≤b21＋b22＋…＋b2n.课标理数21.B12，E9【解答】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝1x－1＝0，解得x＝1，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)内是增函数；当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)内是减函数．故函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.(2)证明：①由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，有f(x)≤f(1)＝0，即ln x≤x－1. ∵a k，b k>0，从而有ln a k≤a k－1，得b k ln a k≤a k b k－b k(k＝1，2，…，n)，于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb 2b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1nb n b n ≤1，即1bb 11bb 22…bb nn ≤nb 1＋b 2＋…＋b n ＝n ，∴bb 11bb 22…bb nn ≥1n. (ii)再证bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n ，记S ＝∑k ＝1n b 2k ，设a k ＝b k S (k ＝1，2，…，n )，则∑k ＝1n a k b k ＝1S ，于是由①得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1S b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2S b 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫b n S b n ≤1，即bb 11bb 22…bb nn ≤Sb 1＋b 2＋…＋b n ＝S ，∴bb 11bb 22…bb nn ≤b 21＋b 22＋…＋b 2n .综合(i)(ii)，②得证．课标文数20.B12，E9 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．课标文数20.B12，E9 【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5. 所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14. 又对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0.由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2.对任意的x ∈，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0，又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.大纲理数10.E9 设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m ＋k 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．12D ．13大纲理数10.E9 D 【解析】设f (x )＝mx 2－kx ＋2，由f (0)＝2，知f (x )的图象恒过定点(0，2)．因此要使已知方程在区间(0，1)内有两个不同的根，即f (x )的图象在区间(0，1)内有两个不同的交点，必有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f （1）＝m －k ＋2>0，0<k 2m <1，Δ＝k 2－8m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，k >0，m －k ＋2>0，2m －k >0，k 2－8m >0，在直角坐标系mOk 中作出满足不等式平面区域，如图1－4所示，设z ＝m ＋k ，则直线m ＋k －z ＝0经过图中的阴影中的整点(6，7)时，z ＝m ＋k 取得最小值，即z min ＝13.图1－4。

2018年大一轮数学高考复习(人教)课件：6-3

第13页
返回导航
第十三页，编辑于星期六：二十二点十五分。
数学
∴(x－1)＋x－4 1＋2≥2 x－1·x－4 1＋2＝6，当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时取“＝”，∴a≤6，即 a 的最大值为 6，故选 B. 答案：B
第14页
返回导航
第十四页，编辑于星期六：二十二点十五分。
数学
1xy2，∴xy≤3.当且仅当3x＝
第19页
返回导航
第十九页，编辑于星期六：二十二点十五分。
数学
2．将本例(2)变为当 x＞0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的最大值为________．
第20页
返回导航
第二十页，编辑于星期六：二十二点十五分。
数学
解析：∵x＞0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号．
数学
2．(2015·高考陕西卷)设 f(x)＝ln x,0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝
fa＋2 b，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(
)
A．q＝r＜p
B．p＝r<q
C．q＝r>p
D．p＝r＞q
第39页
返回导航
第三十九页，编辑于星期六：二十二点十五分。
数学
解析：选 B.因为 b>a>0，故a＋2 b> ab.又 f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以 fa＋2 b>f( ab)，即 q>p.又 r＝12(f(a)＋f(b))＝12(ln a＋ln b)＝ ln ab＝p.
答案：1
第21页
返回导航
第二十一页，编辑于星期六：二十二点十五分。

2018版高考数学(文)(人教A版)大一轮复习配套讲义：选修4-5 不等式选讲含解析

第1讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b｜≤｜a｜＋|b｜(a，b∈R）；｜a－b|≤｜a－c|＋|c－b｜（a，b∈R）；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b｜≤c；｜ax＋b｜≥c；|x－c|＋|x－b｜≥a.知识梳理1。

绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|<a与|x|〉a的解集不等式a〉0a＝0a<0｜x|〈a（－a,a）∅∅|x|> a （－∞，－a）∪（a，＋∞）(－∞，0）∪（0，＋∞)R（2）｜ax＋b|≤c (c〉0）和｜ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法①｜ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c;②|ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)｜x－a|＋｜x－b|≥c(c＞0）和|x－a｜＋｜x－b｜≤c(c＞0）型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法"求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数,利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。

2。

含有绝对值的不等式的性质（1）如果a，b是实数，则｜a|－｜b|≤|a±b｜≤|a｜＋|b｜，当且仅当ab≥0时，等号成立.（2)如果a，b，c是实数，那么｜a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当（a－b)（b－c）≥0时，等号成立。

诊断自测1.判断正误（在括号内打“√”或“×”)（1）若｜x|＞c的解集为R，则c≤0。

（）（2)不等式|x－1｜＋｜x＋2|＜2的解集为∅。

( )(3）对｜a＋b｜≥|a｜－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.（）（4）对｜a｜－｜b｜≤｜a－b｜当且仅当|a｜≥｜b|时等号成立。

（)(5）对|a－b｜≤｜a|＋|b｜当且仅当ab≤0时等号成立.（）答案(1)×（2）√(3)×（4)×(5)√2.若函数f(x）＝｜x＋1|＋|2x＋a｜的最小值为3，则实数a的值为（）A.5或8B.－1或5C.－1或－4D.－4或8解析分类讨论：当a≤2时,f（x）＝错误!显然，x＝－错误!时，f（x)min＝错误!＋1－a＝3,∴a＝－4，当a〉2时，f(x）＝错误!显然x＝－错误!时，f(x）min＝－错误!－1＋a＝3，∴a＝8.答案D3。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题测试五不等式 (时间90分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列命题中，正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若ac ＞bc ，则a ＞b C ．若a c 2＜b c
2，则a ＜b
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d
解析：选C.取a ＝c ＝1，b ＝d ＝－1，可知A 错误；取a ＝1，b ＝2，c ＝－1，可知B 错误；根据不等式的性质可知C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误． 2.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a
＋3b
的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3
D ．243
解析：选B.本题考查基本不等式3a
＋3b
≥23a
·3b
＝23a ＋b
＝232
＝6，当且仅当a ＝b ＝1时
等号成立．
3．在a ＞0，b ＞0的条件下，有三个结论：①2ab a ＋b ≤a ＋b 2；②a ＋b
2≤
a 2＋
b 2
2；③b 2a ＋a 2
b
≥a ＋b ，其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选D.①可化为(a ＋b )2
≥4ab ，由基本不等式知其正确；②两边同时平方可得(a ＋b )2
≤2(a
2
＋b 2
)，正确；③b 2a ＋a 2b －a －b ＝b －a 2b ＋a
ab
≥0，正确．
4．若函数f (x )＝ax 2
＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0
D ．－4＜a ≤0
解析：选D.若a ＝0，则f (x )＝－1＜0恒成立；若a ≠0，要使ax 2
＋ax －1＜0恒成立，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜0
a 2
＋4a ＜0，即－4＜a ＜0.综上可知，－4＜a ≤0.
5．下面四个条件中，哪个是a ＞b 成立的充分不必要条件？ A ．a ＞b ＋1
B ．a ＞b －1
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
解析：选A.由a ＞b ＋1，得a ＞b ；反之，不成立，∴a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分不必要条件． 6．已知集合A 是函数f (x )＝ln(x 2
－2x )的定义域，集合B ＝{x |x 2
－5＞0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A
D ．A ⊆B
解析：选C.由x 2
－2x ＞0可得x ＜0或x ＞2，故A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，又B ＝{x |x ＜－5或x ＞5}，所以B ⊆A .
7．如果方程x 2
＋(m －1)x ＋m 2
－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－2,1) C ．(－2,0)
D ．(－2，2)
解析：选 A.记f (x )＝x 2
＋(m －1)x ＋m
2
－2，依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧
f
－＜0f
＜0
，即
⎩⎪⎨⎪⎧
1－m －＋m 2
－2＜01＋
m －
＋m 2
－2＜0
，解得0＜m ＜1.
8．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
21－x ，x ≤1
1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．∪
解析：选D.由9x
＋(4＋a )·3x
＋4＝0得4＋a ＝－9x
＋43x ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ≤－2
3x
·43
x ＝－4，即
a ≤－8，当且仅当3x ＝2时等号成立．
12．已知P (x ，y )为区域⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
－x 2
≤0
0≤x ≤a 内的任意一点，若该区域的面积为4，则z ＝2x －y 的最
大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2
D ．2 2
解析：选A.由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y 2
－x 2
≤00≤x ≤a
作出可行域如图中阴影部分所示，由图可得A (a ，－a )，B (a ，a )，
由S △OAB ＝1
2·2a ·a ＝4，得a ＝2，∴A (2，－2)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，∴当y
＝2x －z 过A 点时，z 取得最大值，即z max ＝2×2－(－2)＝6.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)
13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0x ＋2y －8≤0
x ≥0
，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．
解析：作出满足条件的可行域为如图所示的阴影部分，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A (0,1)时，
z 取得最小值，z min ＝3×0＋1＝1.
答案：1
14．已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8x y
≥m 2
＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：因为x ＞0，y ＞0，所以由基本不等式知，2y x ＋8x
y
≥2
2y x ·8x y ＝8，当且仅当2y x ＝8x y
，
即y ＝2x 时等号成立，故8≥m 2
＋2m ，解得－4≤m ≤2. 答案：－4≤m ≤2
15．对于实数x 和y ，定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若对任意x ＞2，不等式(x －m )⊗x ≤m ＋2都成立，则实数m 的取值范围是________．
解析：由新定义知，(x －m )⊗x ≤m ＋2，即(x －m )(1－x )≤m ＋2，即m (x －2)≤x 2
－x ＋2，从而
m ≤x 2－x ＋2x －2在x ＞2时恒成立，又x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2
＋3≥2
x －
4
x －2
＋3＝7，当且仅当(x －2)2
＝4，即x ＝4时，等号成立，故实数m 的取值范围是(－∞，7]．答案：(－∞，7]
16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，a 6＝a 1＋5d ，所以1≤a 1＋4d ≤4,2≤a 1＋5d ≤3，因为S 6＝6a 1＋15d ，所以对a 1＋4d ，a 1＋5d 进行变形整理，得出6a 1＋15d 即可，令x (a 1＋4d )＋y (a 1＋5d )＝6a 1＋15d ，则x ＋y ＝6,4x ＋5y ＝15，解得x ＝15，y ＝－9，又15≤15a 1＋60d ≤60，－27≤－9a 1－45d ≤－18，两式相加，得－12≤6a 1＋15d ≤42，即－12≤S 6≤42. 答案：
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知f (x )＝－3x 2
＋a (5－a )x ＋b . (1)当不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)＜0恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f (x )＞0即－3x 2
＋a (5－a )x ＋b ＞0， ∴3x 2
－a (5－a )x －b ＜0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3＋a －a －b ＝027－3a
－a －b ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ＝9或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝9.
(2)f (2)＜0，即－12＋2a (5－a )＋b ＜0，则2a 2
－10a ＋(12－b )＞0对任意实数a 恒成立， ∴Δ＝100－8(12－b )＜0，∴b ＜－1
2.
∴实数b 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 18．(本小题满分10分)已知f (x )＝x 2
－px ＋q ，其中p ＞0，q ＞0. (1)当p ＞q 时，证明
f q p ＜f p q
； (2)若f (x )＝0在区间(0,1)，(1,2)内各有一个根，求p ＋q 的取值范围；
解：(1)证明：f q p ＝q 2－pq ＋q p ＝q 2＋q p －q ，f p q ＝p 2－p 2＋q
q ＝1，
∴f q p －f p q ＝q 2＋q p
－q －1＝
q ＋
q －p p
，
∵p ＞q ＞0，∴q ＋
q －p
p
＜0，即
f q p －f p
q
＜0， ∴
f q p ＜f p
q
.
(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
f ＞0f
＜0f
＞0
，即⎩⎪⎨⎪
⎧
q ＞01－p ＋q ＜0
4－2p ＋q ＞0
，
又p ＞0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由线性规划的知识可知，1＜p ＋q ＜5.。

2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)专题测试五不等式Word版含答案

(完整word版)2018高考全国卷1理科数学试题及答案(word版)

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第七章不等式7-1不等关系与不等式Word版含答案

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第七章 不等式 7-2 Word版含答案

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05不等式)

2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)专题测试六立体几何Word版含答案

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

2018届高考数学一轮复习精选试题不等式(解答题) Word版含答案

最新-2018年高考数学一轮经典例题 不等式解法 理 精品

[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元 不等式(2011)和答案

2018年高考数学—不等式专题

2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测第七章不等式7-3Word版含答案

(完整word版)2018届高考数学(文)大一轮复习检测第六章第3讲基本不等式Word版含答案

2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第五章 数列5

2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类

2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)专题测试四数列含答案

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元 不等式(理科2013)和答案

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元 不等式(2011)和答案

2018年大一轮数学高考复习(人教)课件：6-3

2018版高考数学(文)(人教A版)大一轮复习配套讲义：选修4-5 不等式选讲含解析

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第七章不等式 7-2 Word版含答案

最新-2018年高考数学一轮经典例题不等式解法理精品

[精品]2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(2011)和答案

2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第五章数列5

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(理科2013)和答案

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 E单元不等式(2011)和答案