1-5大连海洋微积分课件

由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 ∴ lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x2 − 1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0 先约去无穷小因子 x − 1 后再求极限 .
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2 取 N = max{ N 1 , N 2 }, 当 x > N时, 恒有 ε ε = ε, α±β ≤ α + β < + ∴ α ± β → 0 ( x → ∞) 2 2
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
2 3 5 + 2+ 3 x = lim x x x →∞ 4 1 =0 7+ − 3 x x 3 5 2x + 2 + 3 x x = lim =∞ x→∞ 4 1 7+ − 3 x x
5 2 x3 = . 1 7 x3
“抓大头” 抓大头” 抓大头
小结: 小结: 当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有 a0 b , 当n = m , m m −1 0 a 0 x + a1 x + L + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x→∞ b x + b x + L + bn 0 1 ∞ , 当n < m , 无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 分母,以分出无穷小,然后再求极限. 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 练习
a0 n c.无穷小分出法求极限 无穷小分出法求极限 无穷小分出法求极限; b ,当 = m, 0 a0 xm + a1 xm−1 + L+ am lim n = 0,当 > m, x→∞ b xn + b xn−1 + L+ b 0 1 n ∞,当 < m, n d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限
先变形再求极限. 先变形再求极限
1 2 n 1 + 2 + L+ n lim( 2 + 2 + L+ 2 ) = lim 2 n→∞ n n→∞ n n n
1 n(n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→∞ n→∞ 2 x→∞ x
3
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
又 lim f (u) = A，
u→a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ( x)]当 x → x0 时的极限也存在，
且 lim f [ϕ( x)] = lim f (u) = A.
x→x0 u→a
意义： 意义： lim f [ϕ( x)]
x→x0
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
x→0
1
y = x2 + 1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x) = 1.
x→0
（ 6 法则） 定理 复合函数的极限运算 ） 法则 设函数u = ϕ( x) a 当 x → x0 时的极限存在且等于 ，即 lim ϕ( x) = a，
x→x0
但在点x0 的某去心邻域内 ( x) ≠ a， ϕ
x → x0
代入法。 代入法。
. 若Q( x0 ) = 0,则商的法则不能应用
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
Q lim( x 2 + 2 x − 3) = 0, 解 x →1
商的法则不能用
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
解
1 , 当x → ∞时, 为无穷小 x
y=
sin x x
而sin x是有界函数 . sin x 1 ∴lim = lim ⋅ sin x = 0. x→∞ x→∞ x x sin x 1 不能写成 lim = lim ⋅ lim sin x x→∞ x→∞ x x→∞ x = 0⋅ limsin x = 0.
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan x x
x tan x ,5 sin x .
3
都是无穷小
二、极限运算法则
定理3 定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim f ( x) ± g( x)] = A± B; [ (2) lim f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; [ f ( x) A (3) lim B = , 其中 ≠ 0. g( x) B
第五节 极限运算法则
一、无穷小的运算法则 二、极限运算法则 三、求极限方法举例 四、小结
一、无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小, ∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
lim f (u)
u→a →
x→x0
lim f [ϕ( x)]
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
lim f (u)
u→a →
例8 解
x −1 求 lim x→1 x −1
2
x −1 设u= x −1
2
x −1 lim =2 x →1 x − 1
2
x −1 则 lim ＝lim u = 2 x→1 x − 1 u→2
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x0 < δ 2时, 恒有 α <
ε
M
.
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x 0 < δ时, 恒有
ε u⋅α = u ⋅ α < M ⋅ = ε, M ∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
作 第43页 页 4（1，2）、 （ ， ）、 ）、6 第48页 页
业
1（1，3，5，7，9，11，13） （ ， ， ， ， ， ， ） 2（1，3）、 （ ， ）、 ）、3 预
第七节 无穷小的比较
习：
第六节 极限存在准则 两个重要极限
思考题
1.设f ( x )在x0点有极限， g ( x )在x0点无极限， 点有极限， 点无极限， 点是否必无极限？ 则f ( x )＋g ( x )在x0点是否必无极限？ 点是否有极限？ 又f ( x ) ∗ g( x )在x0点是否有极限？ 2.设f ( x )，g ( x )在x0点均无极限， 点均无极限， 点是否必无极限？ 则f ( x )＋g ( x )在x0点是否必无极限？ 点是否无极限？ 又f ( x ) ∗ g( x )在x0点是否无极限？
(无穷小分出法 无穷小分出法) 无穷小分出法
如：
2x + 3x + 5 lim 3 x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1
2
2x4 + 3x + 5 lim 3 x→∞ 7x + 4x2 − 1
3 2
3 2+ + 2x + 3x + 5 x lim = lim 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 x →∞ 4 7+ − x
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n
1 但n个 之和为1不是无穷小 : n
1 lim n = lim 1 = 1 n→∞ n n→∞
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
内有界， 证 设函数u在U ( x 0 , δ 1 )内有界，